Vul de drie halve assen \(a\), \(b\) en \(c\) van de ellipsoïde in (de lengte van het middelpunt tot het oppervlak). Je ziet de inhoud \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) en de omrekening naar liters als je in cm invult.
Vul de drie halve assen in dezelfde eenheid in, alleen getallen van 0 of meer en zonder eenheid (bij 10 cm vul je “10” in).
Resultaat en figuur
Vul links de lengtes van de drie halve assen in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en de 3D-figuur verschijnen dan hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de drie halve assen \(a\), \(b\) en \(c\) in (de lengte van het middelpunt tot het oppervlak) en je ziet meteen de inhoud van de ellipsoïde (\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\))
- Het resultaat wordt ook als 3D-figuur getekend die je met de muis kunt draaien, zodat je in één oogopslag ziet welke lengte bij welke richting hoort
- Vul je in de drie velden dezelfde lengte in, dan werkt het ook voor de inhoud van een bol (\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
- De omrekening naar liters (L) staat er ook bij als je in cm hebt ingevuld
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Vul de drie halve assen in dezelfde eenheid in (allemaal in cm of allemaal in m). Wat je invult is “de lengte van het middelpunt tot het oppervlak” (de halve as), dus de helft van de lengte van uiteinde tot uiteinde (de as).
Waarvoor is deze berekening handig?
De inhoud van een rugbybal schatten (sport)
Een rugbybal lijkt op een langgerekte omwentelingsellipsoïde. Een bal van ongeveer 30 cm lang en 19 cm breed heeft halve assen van \(15 \times 9{,}5 \times 9{,}5\,\mathrm{cm}\) en een inhoud van \(\dfrac{4}{3}\pi \times 15 \times 9{,}5 \times 9{,}5 \approx 5.671\,\mathrm{cm^3}\) (ongeveer 5,7 L).
Handig als je de inhoud wilt weten van iets ronds dat geen bol is, bijvoorbeeld om de hoeveelheid lucht, het drijfvermogen of de opbergruimte te berekenen (een echte bal wijkt door naden en bolling iets af, dus het is een benadering).
De inhoud van een orgaan of tumor schatten met een echo (geneeskunde)
Bij echografie wordt vaak de inhoud van een orgaan, cyste of tumor geschat door de vorm te benaderen met een ellipsoïde. Je meet de drie onderlinge loodrechte diameters (van uiteinde tot uiteinde), deelt ze elk door 2 en vult de halve assen in deze formule in. (In de praktijk wordt de formule vaak geschreven als lengte × breedte × hoogte × 0,52, omdat \(\pi/6 \approx 0{,}52\).)
Zijn de diameters bijvoorbeeld \(4 \times 3 \times 3\,\mathrm{cm}\), dan zijn de halve assen \(2 \times 1{,}5 \times 1{,}5\,\mathrm{cm}\) en is de inhoud \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2 \times 1{,}5 \times 1{,}5 \approx 18{,}8\,\mathrm{mL}\) (1 cm³ = 1 mL). Het is een berekening die dagelijks wordt gebruikt, bijvoorbeeld bij het meten van de prostaat of de blaas (organen zijn geen perfecte ellipsoïden, dus het blijft een schatting).
Het gewicht van een watermeloen of meloen schatten uit de inhoud (landbouw en voeding)
Watermeloenen en meloenen lijken op een ellipsoïde, dus met deze formule schat je uit de afmetingen de inhoud en het gewicht. Een watermeloen met halve assen van \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) heeft een inhoud van \(\dfrac{4}{3}\pi \times 12 \times 10 \times 10 \approx 5.027\,\mathrm{cm^3}\) (ongeveer 5 L).
De dichtheid van een watermeloen ligt dicht bij die van water (1 gram per cm³), dus het gewicht is ongeveer 5 kg. Dat is handig voor het ontwerpen van dozen en voor richtmaten bij het verzenden.
De inhoud van de aarde berekenen (aardwetenschappen en ruimte)
De aarde is door de middelpuntvliedende kracht van de draaiing een licht afgeplatte omwentelingsellipsoïde. Vul je de evenaarsstraal van ongeveer 6.378 km en de poolstraal van ongeveer 6.357 km in, dan is de inhoud \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6378 \times 6378 \times 6357 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\), ongeveer 1,083 biljoen km³ (een biljoen is 10¹²).
Dit komt vrijwel overeen met de waarde in naslagwerken. Voor hemellichamen die door hun draaiing zijn afgeplat, wordt in de sterrenkunde deze formule werkelijk gebruikt.
De inhoud van een ei en andere ellipsvormige etenswaren schatten (koken en voeding)
Een kippenei lijkt op een ellipsoïde. Een ei van ongeveer 6 cm lang en 4,5 cm dik heeft halve assen van \(3 \times 2{,}25 \times 2{,}25\,\mathrm{cm}\) en een inhoud van \(\dfrac{4}{3}\pi \times 3 \times 2{,}25 \times 2{,}25 \approx 64\,\mathrm{cm^3}\) (een echt ei is iets asymmetrisch, dus een meting geeft iets minder).
Zo schat je zonder weegschaal de inhoud van brood, broodjes of fruit die ongeveer een ellipsoïde zijn, de maat van een bakje of de hoeveelheid water voor in een bain-marie.
Formules en figuren
Inhoud van een ellipsoïde
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(c\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑥
\(V\): inhoud van de ellipsoïde
\(=\)
⑤
\(\dfrac{4}{3}\): constante
\(\times\)
④
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(a\): halve as
\(\times\)
②
\(b\): halve as
\(\times\)
③
\(c\): halve as
De formule in woorden
①
Neem de
\(a\): halve as
②
en de
\(b\): halve as
③
en de
\(c\): halve as
en vermenigvuldig ze met elkaar,
④
vermenigvuldig het product met
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
⑤
en vermenigvuldig ten slotte met
\(\dfrac{4}{3}\): constante
⑥
en je krijgt de
\(V\): inhoud van de ellipsoïde
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van een ellipsoïde met halve assen van 3 cm, 2 cm en 1 cm is
\(V\): inhoud van de ellipsoïde
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
halve as (3 cm)
\(\times\)
halve as (2 cm)
\(\times\)
halve as (1 cm)
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 \times 1 = 8\pi\)
\(8\pi = 8 \times 3{,}14159\ldots \approx 25{,}13\,\mathrm{cm^3}\)
Het belangrijkste idee
Een ellipsoïde is “een bol die in drie richtingen met een verschillende factor is uitgerekt of ingedrukt”. Rek je een bol met straal 1 (inhoud \(\dfrac{4}{3}\pi\)) in de breedte met een factor \(a\), in de diepte met een factor \(b\) en in de hoogte met een factor \(c\), dan wordt de inhoud ook \(a \times b \times c\) keer zo groot. Zo krijg je \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\). Het is een verwant van de formule voor de inhoud van een bol, waarin “straal × straal × straal” is vervangen door “het product van de halve assen in de drie richtingen”.
Wat je invult is steeds “de lengte van het middelpunt tot het oppervlak” (de halve as). Heb je de lengte van uiteinde tot uiteinde (de as) gemeten, deel die dan eerst door 2.
Inhoud van een bol (een bijzonder geval van de ellipsoïde)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(V\): inhoud van de bol
\(=\)
④
\(\dfrac{4}{3}\): constante
\(\times\)
③
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(r\): straal
②
derde macht (dezelfde lengte drie keer vermenigvuldigd)
De formule in woorden
①
Neem de
\(r\): straal
②
neem die
tot de derde macht (dezelfde lengte drie keer vermenigvuldigd)
③
vermenigvuldig met
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
④
en daarna met
\(\dfrac{4}{3}\): constante
⑤
en je krijgt de
\(V\): inhoud van de bol
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van een bol met een straal van 3 cm is
\(V\): inhoud van de bol
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal (3 cm)
derde macht
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^3}\)
Het belangrijkste idee
Een bol is “een bijzondere ellipsoïde waarvan de drie halve assen allemaal gelijk zijn”. Vul je in de formule voor de ellipsoïde \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) \(a = b = c = r\) in, dan krijg je de formule voor de inhoud van een bol, \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\), die je op school leert. Ook in deze rekenmachine kun je de inhoud van een bol berekenen door in de drie velden hetzelfde getal in te vullen.
Inhoud omrekenen (cm³ naar L)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1.000\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): inhoud in L
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): inhoud in cm³
\(\div\)
②
\(1.000\): aantal cm³ in 1 L
De formule in woorden
①
Neem de
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): inhoud in cm³
②
deel die door
\(1.000\): aantal cm³ in 1 L
③
en je krijgt de
\(V_{\mathrm{L}}\): inhoud in L
Een eenvoudig voorbeeld
Een aquarium in de vorm van een ellipsoïde met een inhoud van 2.000 cm³: het water dat erin past is, omgerekend naar liters,
inhoud in L
\(=\)
inhoud in cm³ (2.000)
\(\div\)
aantal cm³ in 1 L (1.000)
\(2.000 \div 1.000 = 2\,\mathrm{L}\)
Het belangrijkste idee
\(1\,\mathrm{L}\) is de inhoud van een kubus met ribben van 10 cm: \(10 \times 10 \times 10 = 1.000\,\mathrm{cm^3}\). Een pak melk van 1 liter is precies 1.000 cm³.
De grotere eenheid m³: omdat \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) is \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\) (= 1.000 L). De omrekenfactor voor inhoud is de factor voor lengte tot de derde macht, en dat gaat vaak fout.
De inhoud van een ellipsoïde is “4/3 × π × het product van de halve assen a, b en c in de drie richtingen”. Een bol (V = 4/3 πr³) is een ellipsoïde met drie gelijke halve assen. Vul de halve assen in dezelfde eenheid in. Het antwoord is in de derde macht van die eenheid (bij cm dus cm³). Omrekenen van cm³ naar L is gewoon delen door 1.000.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(V\) | vee | Een veelgebruikt symbool voor inhoud, van het Engelse “volume”. Op deze pagina staat het voor de inhoud van de ellipsoïde (bol). |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b en c | De lengtes van de halve assen van de ellipsoïde in drie richtingen. Het zijn alle drie “de lengte van het middelpunt tot het oppervlak”, zoals de straal bij een bol: de helft van de lengte van uiteinde tot uiteinde (de as). |
| \(\pi\) | pi | De verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Het getal \(3{,}14159265\ldots\) gaat eindeloos door zonder zich te herhalen (een irrationaal getal). De 3,14 die je op de basisschool gebruikt is een afronding. |
| \(r\) | er | De straal van de bol, van “radius”. Een bol is een ellipsoïde waarvan de drie halve assen allemaal \(r\) zijn. |
| \(r^3\) | r tot de derde macht | Het getal \(r\) drie keer met zichzelf vermenigvuldigd (\(r \times r \times r\)). De kleine 3 rechtsboven is een exponent die aangeeft hoe vaak je het getal als factor gebruikt. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | kubieke centimeter | Een eenheid van inhoud. Een kubus met ribben van 1 cm heeft een inhoud van 1 cm³. Spreek het uit als “kubieke centimeter” en verwar het niet met cm² (vierkante centimeter) voor oppervlakte. |
| \(\mathrm{L}\) | liter | Een eenheid van inhoud (hoeveel er in past): \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\), de hoeveelheid die in een kubus met ribben van 10 cm past. |
Begrippen
| ellipsoïde | Een ellips in drie dimensies: een gladde, eivormige ruimtelijke figuur. Elke doorsnede is een ellips (of een cirkel). Een rugbybal of een watermeloen lijkt erop. |
| halve as | De lengte van het middelpunt van een ellipsoïde tot het oppervlak, gemeten in drie symmetrische richtingen (loodrecht op elkaar). De grootte en de vorm van de ellipsoïde liggen met deze drie lengtes vast. Een halve as is de helft van de hele as (van uiteinde tot uiteinde). |
| ellips | Een cirkel die in één richting is uitgerekt (of ingedrukt). Het is een ronde, langgerekte kromme lijn, zoals de omtrek van een rugbybal van opzij gezien. |
| bol | Een bijzondere ellipsoïde waarvan de drie halve assen allemaal gelijk zijn. Een ruimtelijke figuur die er uit elke richting als een cirkel van dezelfde grootte uitziet. De inhoud is \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). |
| omwentelingsellipsoïde | De figuur die ontstaat als je een ellips om een van haar assen laat wentelen. Twee van de drie halve assen zijn dan gelijk. Een rugbybal (langgerekt) en een mandarijn (afgeplat) horen hierbij, en ook de aarde is een licht afgeplatte omwentelingsellipsoïde. |
| inhoud | De grootte van een ruimtelijke figuur, uitgedrukt in een getal: hoeveel kubusjes van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm (1 cm³) erin passen. |
Handig om vooraf te weten
Dit zijn de dingen die handig zijn om vooraf te weten, zodat je de berekening op deze pagina met begrip gebruikt en niet alleen op de knop drukt.
| Vermenigvuldigen en vermenigvuldigen met decimale getallen (groep 5-7, 8-11 jaar) |
|
| Inhoud: betekenis en eenheden (groep 6-7, 9-11 jaar) |
|
| Pi (groep 8 en klas 1, 11-13 jaar) |
|
| Vermenigvuldigen van breuken (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Inhoud van een bol (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor de inhoud van een ellipsoïde
| Lengte van halve as a | 10 |
| Lengte van halve as b | 5 |
| Lengte van halve as c | 8 |
| Inhoud van de ellipsoïde | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
Tabel voor de inhoud van een bol
| Straal | 3 |
| Inhoud van de bol | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabel voor het omrekenen van cm³ naar L
| Inhoud in cm³ | 2000 |
| Inhoud in L | =B1/1000 |
Na het plakken staan de namen in kolom A en de getallen in kolom B. De bovenste rijen zijn je invoer; de formule in de laatste rij rekent daar automatisch mee.
In een formule betekenen “B1” en “B2” dat het getal uit die cel wordt gebruikt, “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen, “^” is een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt) en “PI()” is de functie die pi geeft.
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld in B4 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = ongeveer 1675,52 (cm³, want je vult cm in). De tweede tabel geeft in B2 ongeveer 113,10 en de derde tabel in B2 de waarde 2. Vervang de invoergetallen door je eigen lengtes en je kunt de tabellen meteen gebruiken.
In een formule betekenen “B1” en “B2” dat het getal uit die cel wordt gebruikt, “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen, “^” is een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt) en “PI()” is de functie die pi geeft.
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld in B4 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = ongeveer 1675,52 (cm³, want je vult cm in). De tweede tabel geeft in B2 ongeveer 113,10 en de derde tabel in B2 de waarde 2. Vervang de invoergetallen door je eigen lengtes en je kunt de tabellen meteen gebruiken.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor de inhoud van een ellipsoïde
| Lengte van halve as a | 10 |
| Lengte van halve as b | 5 |
| Lengte van halve as c | 8 |
| Inhoud van de ellipsoïde | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
Tabel voor de inhoud van een bol
| Straal | 3 |
| Inhoud van de bol | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabel voor het omrekenen van cm³ naar L
| Inhoud in cm³ | 2000 |
| Inhoud in L | =B1/1000 |
Dezelfde formules als in Excel (ook de functie PI()) werken hier gewoon. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoergetallen door je eigen lengtes.
Berekenen met Python
import math
a = 10 # lengte van halve as a (in dit voorbeeld in cm; van het middelpunt tot het oppervlak)
b = 5 # lengte van halve as b (in dezelfde eenheid als a)
c = 8 # lengte van halve as c (in dezelfde eenheid als a en b)
volume = 4 / 3 * math.pi * a * b * c # inhoud van de ellipsoïde (derde macht van de ingevulde eenheid, in dit voorbeeld cm3)
volume_l = volume / 1000 # inhoud omgerekend naar L (als je in cm hebt ingevuld)
print(f"Inhoud van de ellipsoïde: {volume} cm3")
print(f"Omgerekend naar L: {volume_l} L")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “math.pi” is pi, “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen. Pas bovenaan de waarden van de drie halve assen aan en voer het uit. Met drie gelijke waarden krijg je de inhoud van een bol (de omrekening naar L is een voorbeeld voor invoer in cm).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Inhoud van een ellipsoïde
V = (4/3)πabc
V = \dfrac{4}{3}\pi abc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi a b c
(4/3) Pi a b c
V := (4/3)*Pi*a*b*c;
V = 4/3*pi*a*b*c;
V = (4/3)πabc
Inhoud van een bol (een bijzonder geval van de ellipsoïde)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3) Pi r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = 4/3*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Inhoud omrekenen (cm³ naar L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor rekenen en wiskunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (niet uit je hoofd rekenen en niet gokken). Een ellipsoïde heeft halve assen a = 10 cm, b = 5 cm en c = 8 cm (een halve as is de lengte van het middelpunt tot het oppervlak). Bereken de volgende waarden: 1. De inhoud van deze ellipsoïde in cm³ (V = 4/3 × π × a × b × c) 2. Die inhoud omgerekend naar liter (L) Geef de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering weer.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Cirkel berekenen (straal, diameter, omtrek en oppervlakte)
Berekent de oppervlakte en de omtrek van de cirkel die in een doorsnede van een ellipsoïde voorkomt uit één waarde, zoals de straal
