Vul de straal en de middelpuntshoek van de cirkelsector in. De oppervlakte (πr² × middelpuntshoek ÷ 360) wordt berekend en de cirkelsector wordt getekend.
Vul de middelpuntshoek in bij “graden” of bij “radialen”, maar niet in allebei. Vul alleen getallen in, zonder eenheid (vul je de straal in cm in, dan is de oppervlakte in cm², bij m in m²).
Resultaat en figuur
Vul links de straal en de middelpuntshoek in (in graden of in radialen, maar niet allebei) en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een figuur van de cirkelsector verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de straal en de middelpuntshoek in en je ziet meteen de oppervlakte van de cirkelsector (\(\pi r^2 \times\) middelpuntshoek \(\div\, 360\))
- Je kunt de middelpuntshoek in graden (°) of in radialen invullen (in één van de twee velden)
- Als het uitkomt, zie je ook de exacte vorm met pi \(\pi\) (bij een straal van 30 en een middelpuntshoek van 90° is dat \(225\pi\))
- Bij het resultaat wordt ook een figuur van de cirkelsector getekend, zodat je in één oogopslag ziet welk deel van de hele cirkel je hebt berekend
- Op deze pagina vind je ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Pi wordt gebruikt als \(\pi = 3{,}14159\ldots\) (de “3,14” die je op de basisschool gebruikt is een benadering). Vul alleen getallen in, zonder eenheid. Vul je de straal in cm in, dan is de oppervlakte in cm² (bij m: m²).
Waarvoor is deze berekening handig?
De grootte van punten van een pizza of taart vergelijken (eerlijk verdelen)
Snijd je een pizza met een diameter van 30 cm (straal 15 cm) in 8 gelijke punten, dan is elke punt een cirkelsector met een middelpuntshoek van \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\). De oppervlakte is \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4\,\mathrm{cm^2}\).
Ook een vergelijking als “is een punt van een middelgrote pizza in 8 stukken groter of kleiner dan een punt van een grote pizza in 12 stukken?” kun je met deze formule met getallen beantwoorden.
Het bereik van een gazonsproeier schatten (tuinieren en landbouw)
Een zwenksproeier verspreidt water over een cirkelsector, met de afstand die het water haalt als straal en de hoek waarover de sproeier draait als middelpuntshoek. Draait hij met een straal van 10 m over 180°, dan is het bereik \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \approx 157{,}1\,\mathrm{m^2}\).
Vergelijk je dat met de oppervlakte van je tuin of akker, dan kun je vóór het kopen plannen hoeveel sproeiers je nodig hebt en waar ze moeten staan (hoeveel water er echt valt hangt ook van wind en waterdruk af, dus het is een indicatie van het bereik).
Het bereik van de ruitenwisser van een auto bepalen (autotechniek en onderhoud)
Een ruitenwisser beweegt vanuit het draaipunt van de arm over een cirkelsector. Reikt de punt tot 60 cm en draait de arm over 90°, dan is het geveegde gebied \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\) (ongeveer 0,28 m²).
Wat de ruitenwisser echt schoonveegt, is dit gebied min de kleinere cirkelsector aan de binnenkant waar het blad niet komt (een vorm als een stuk van een ring). Je gebruikt de formule dus twee keer: “grote cirkelsector − kleine cirkelsector”.
De oppervlakte van een waaiervormige border of plein berekenen (tuinaanleg)
Op een hoek van een weg of voor een gebouw worden vaak waaiervormige borders of grasveldjes aangelegd. Een border met een straal van 3 m en een middelpuntshoek van 120° heeft een oppervlakte van \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \approx 9{,}4\,\mathrm{m^2}\).
Gras, grond en stenen worden verkocht per oppervlakte (zoveel zakken per m²), dus met de oppervlakte weet je hoeveel je moet kopen.
Nagaan welk gebied een bewakingscamera of sensor bestrijkt (beveiliging)
In de specificaties van een bewakingscamera of bewegingsmelder staat bijvoorbeeld “kijkhoek 90° en bereik 8 m”. Beschouw je het gebied dat horizontaal wordt bestreken als een cirkelsector, dan is dat \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \approx 50{,}3\,\mathrm{m^2}\).
Leg je dat over de plattegrond van een parkeerplaats of winkel, dan kun je vóór de installatie nagaan of er dode hoeken zijn en hoeveel camera’s je nodig hebt (obstakels en de richting in de hoogte beïnvloeden wat er echt in beeld komt).
Formules en figuren
Oppervlakte van een cirkelsector (als de middelpuntshoek in graden is)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(\theta\)
\(\div\)
\(360\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑥
\(S\): oppervlakte van de cirkelsector
\(=\)
③
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(r\): straal
②
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
\(\times\)
④
\(\theta\): middelpuntshoek (graden)
\(\div\)
⑤
\(360^\circ\): hoek van de hele cirkel
De formule in woorden
①
Neem de
\(r\): straal
②
neem het
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
③
vermenigvuldig met
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
en je krijgt eerst de oppervlakte van de hele cirkel \(\pi r^2\). Vermenigvuldig die met de
④
\(\theta\): middelpuntshoek (graden)
en deel door de
⑤
\(360^\circ\): hoek van de hele cirkel
(je vermenigvuldigt dus met de fractie van de hele cirkel die de middelpuntshoek beslaat), dan krijg je de
⑥
\(S\): oppervlakte van de cirkelsector
Een eenvoudig voorbeeld
De oppervlakte van een cirkelsector met een straal van 30 cm en een middelpuntshoek van 90° is
\(S\): oppervlakte van de cirkelsector
\(=\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal (30 cm)
kwadraat
\(\times\)
middelpuntshoek (90°)
\(\div\)
hoek van de hele cirkel (360°)
\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)
\(225\pi = 225 \times 3{,}14159\ldots \approx 706{,}86\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Een cirkelsector is “een punt uit een cirkel, zoals een punt van een taart of pizza, afgesneden volgens de middelpuntshoek”. De oppervlakte vind je daarom door de oppervlakte van de hele cirkel \(\pi r^2\) te vermenigvuldigen met “de fractie van de hele cirkel (360°) die de middelpuntshoek beslaat” \(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\). Bij een middelpuntshoek van 90° is dat \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) van de hele cirkel, bij 180° de helft en bij 360° precies de hele cirkel.
Is de middelpuntshoek een deler van 360° (zoals 90°, 60° of 45°), vereenvoudig dan eerst \(\dfrac{\theta}{360}\) en vermenigvuldig daarna: dat rekent makkelijker.
Oppervlakte van een cirkelsector (als de middelpuntshoek in radialen is)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(\theta\)
\(\div\)
\(2\pi\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑥
\(S\): oppervlakte van de cirkelsector
\(=\)
③
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(r\): straal
②
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
\(\times\)
④
\(\theta\): middelpuntshoek (radialen)
\(\div\)
⑤
\(2\pi\): hoek van de hele cirkel
De formule in woorden
①
Neem de
\(r\): straal
②
neem het
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
③
vermenigvuldig met
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
en je krijgt eerst de oppervlakte van de hele cirkel \(\pi r^2\). Vermenigvuldig die met de
④
\(\theta\): middelpuntshoek (radialen)
en deel door de
⑤
\(2\pi\): hoek van de hele cirkel (radialen)
(je vermenigvuldigt dus met de fractie van de hele cirkel die de middelpuntshoek beslaat), dan krijg je de
⑥
\(S\): oppervlakte van de cirkelsector
Een eenvoudig voorbeeld
De oppervlakte van een cirkelsector met een straal van 10 cm en een middelpuntshoek van 1,5708 radialen (ongeveer 90°) is
\(S\): oppervlakte van de cirkelsector
\(=\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal (10 cm)
kwadraat
\(\times\)
middelpuntshoek (1,5708 radialen)
\(\div\)
hoek van de hele cirkel (\(2\pi\) radialen)
\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2}\)
\(100 \times 1{,}5708 \div 2 = 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Radialen zijn een manier om hoeken te meten die je in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs leert (radialen): \(180^\circ = \pi\) radialen en \(360^\circ = 2\pi\) radialen. Het idee is precies hetzelfde als bij graden: je vermenigvuldigt de oppervlakte van de hele cirkel \(\pi r^2\) met “de fractie van de hele cirkel (\(2\pi\) radialen) die de middelpuntshoek beslaat”.
In deze formule vallen de \(\pi\) in de teller en de \(\pi\) in de noemer tegen elkaar weg. Na vereenvoudigen krijg je de eenvoudige vorm \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\) (het kwadraat van de straal × de middelpuntshoek ÷ 2), zoals je die in schoolboeken ziet.
De oppervlakte van een cirkelsector is “de oppervlakte van de hele cirkel \(\pi r^2\) × de fractie die de middelpuntshoek van de hele cirkel beslaat”. Bij graden deel je door 360, bij radialen door \(2\pi\) (vereenvoudigd \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)). Vul je de straal in cm in, dan is het antwoord in cm².
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(S\) | S | Een letter die vaak voor oppervlakte wordt gebruikt. Op deze pagina is het de oppervlakte van de cirkelsector. In Nederlandse schoolboeken zie je ook vaak \(A\) of \(O\); de betekenis is hetzelfde. |
| \(r\) | r | De straal, van de eerste letter van het Engelse “radius”. De afstand van het middelpunt van de cirkel tot de boog. |
| \(r^2\) | r kwadraat | Het getal \(r\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(r \times r\)). Het kleine verhoogde cijfer 2 is een exponent en zegt: “gebruik het getal twee keer als factor”. |
| \(\theta\) | theta | Een Griekse letter die vaak voor de grootte van een hoek wordt gebruikt. Op deze pagina is het de middelpuntshoek van de cirkelsector. |
| \(\pi\) | pi | Pi. Het getal dat zegt hoeveel keer de diameter in de omtrek past: \(3{,}14159265\ldots\), een decimaal getal dat eindeloos doorgaat zonder zich te herhalen (een irrationaal getal). Op de basisschool reken je met ongeveer 3,14. |
| \(^\circ\) | graad (graden) | Een eenheid voor hoeken. Een hoek van 1° is één driehonderdzestigste deel van een volledige draai. Dit is de manier van meten die je kent van de gradenboog (graden). |
| \(\mathrm{rad}\) | radiaal (radialen) | Een eenheid voor hoeken die je in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs leert (radialen). De middelpuntshoek die hoort bij een boog die even lang is als de straal, is 1 radiaal; er geldt \(180^\circ = \pi\) radialen (1 radiaal ≈ 57,3°). |
Begrippen
| cirkelsector | Het deel van een cirkel dat wordt afgesneden door twee stralen, zoals een punt van een taart of de vorm van een waaier. Het wordt begrensd door twee stralen en een boog. Je zegt ook wel kortweg “sector”. |
| middelpuntshoek | De hoek in het middelpunt van de cirkel, waar de twee stralen van de cirkelsector samenkomen. Hij geeft aan hoe wijd de cirkelsector openstaat. Hoe groter de hoek, hoe groter de oppervlakte en de boog. |
| boog | Een deel van de omtrek van een cirkel. Het is de gebogen buitenkant van de cirkelsector. |
| pi | De waarde van omtrek ÷ diameter. Bij elke cirkel, hoe groot ook, is dat dezelfde waarde (\(3{,}14159\ldots\)). Het symbool is \(\pi\). |
| graden | De manier om hoeken te meten waarbij een volledige draai 360° is. Dit is de maat in graden (°) die je al kent van de basisschool. |
| radialen | De manier om hoeken te meten met de lengte van een boog (eenheid: radiaal). Een volledige draai is \(2\pi\) radialen. Je gebruikt dit in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs. |
| fractie | Een getal dat aangeeft welk deel van het geheel iets is. Op deze pagina is “middelpuntshoek ÷ hoek van de hele cirkel” de fractie die de cirkelsector van de hele cirkel is. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
| Fracties en breuken vermenigvuldigen (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| De oppervlakte van een cirkel (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Formules met letters en pi π (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Vlakke figuren, de cirkelsector (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Radialen (havo/vwo wiskunde B, klas 4-5, 15-17 jaar), alleen als je het veld voor radialen gebruikt |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de oppervlakte van een cirkelsector te berekenen (middelpuntshoek in graden)
| Straal | 30 |
| Middelpuntshoek (graden) | 90 |
| Oppervlakte van de cirkelsector | =PI()*B1^2*B2/360 |
Tabel om de oppervlakte van een cirkelsector te berekenen (middelpuntshoek in radialen)
| Straal | 10 |
| Middelpuntshoek (radialen) | 1,5708 |
| Oppervlakte van de cirkelsector | =B1^2*B2/2 |
Na het plakken staan in kolom A de namen en in kolom B de getallen. De bovenste rijen zijn je invoer; de formule in de laatste rij rekent automatisch met die invoer.
“B1” en “B2” in een formule betekenen “gebruik het getal in die cel”. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is machtsverheffen (hoe vaak je vermenigvuldigt). “PI()” geeft pi π (3,14159…).
In de eerste tabel staat in B3 bijvoorbeeld π × 30² × 90 ÷ 360 = ongeveer 706,86 (cm², want je vulde cm in). In de tweede tabel (de versie voor radialen is straal² × middelpuntshoek ÷ 2) staat in B3 78,54. Vervang de getallen in de invoer door je eigen cirkelsector.
“B1” en “B2” in een formule betekenen “gebruik het getal in die cel”. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is machtsverheffen (hoe vaak je vermenigvuldigt). “PI()” geeft pi π (3,14159…).
In de eerste tabel staat in B3 bijvoorbeeld π × 30² × 90 ÷ 360 = ongeveer 706,86 (cm², want je vulde cm in). In de tweede tabel (de versie voor radialen is straal² × middelpuntshoek ÷ 2) staat in B3 78,54. Vervang de getallen in de invoer door je eigen cirkelsector.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de oppervlakte van een cirkelsector te berekenen (middelpuntshoek in graden)
| Straal | 30 |
| Middelpuntshoek (graden) | 90 |
| Oppervlakte van de cirkelsector | =PI()*B1^2*B2/360 |
Tabel om de oppervlakte van een cirkelsector te berekenen (middelpuntshoek in radialen)
| Straal | 10 |
| Middelpuntshoek (radialen) | 1,5708 |
| Oppervlakte van de cirkelsector | =B1^2*B2/2 |
Dezelfde formules als in Excel (ook de functie PI()) werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak hem in cel A1 en vervang de getallen in de invoer door je eigen cirkelsector.
Berekenen met Python
import math
radius = 30 # straal (in dit voorbeeld in cm)
degrees = 90 # middelpuntshoek (graden)
area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360 # oppervlakte van de cirkelsector (invoereenheid in het kwadraat; hier cm2)
print(f"Oppervlakte van de cirkelsector: {area} cm2")
# als je de middelpuntshoek in radialen meet: "straal in het kwadraat × middelpuntshoek ÷ 2"
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"Bij een middelpuntshoek van {radians} radialen: {area_by_radians} cm2")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “math.pi” is pi π, “**” is machtsverheffen (het kwadraat), “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen. Pas bovenaan de straal en de middelpuntshoek aan en voer de code uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Oppervlakte van een cirkelsector (als de middelpuntshoek in graden is)
S = πr² × θ ÷ 360
S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>θ</mi><mn>360</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 xx theta/360
Pi r^2 theta/360
S := Pi*r^2*theta/360;
S = pi*r^2*theta/360;
S = πr^2 × θ/360
Oppervlakte van een cirkelsector (als de middelpuntshoek in radialen is)
S = πr² × θ ÷ (2π)
S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 xx theta/(2 pi)
Pi r^2 theta/(2 Pi)
S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);
S = pi*r^2*theta/(2*pi);
S = πr^2 × θ/(2π)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor reken- en wiskundeberekeningen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een schatting). Een cirkelsector heeft een straal van 30 cm en een middelpuntshoek van 90°. Bereken elk van de volgende waarden: 1. De oppervlakte van deze cirkelsector in cm² (als decimaal getal) 2. Die oppervlakte in de exacte vorm met pi Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Cirkel berekenen (straal, diameter, omtrek en oppervlakte)
De berekening voor de hele cirkel waar de cirkelsector een deel van is. Bereken uit één van straal, diameter, omtrek of oppervlakte de andere drie
Oppervlakte van een driehoek berekenen (uit drie zijden met de formule van Heron)
Vul de lengtes van de drie zijden in en bereken de oppervlakte van een driehoek. Onderdeel van de reeks over oppervlakte van figuren
Oppervlakte van een rechthoek berekenen (lengte × breedte)
Bereken de oppervlakte van een rechthoek (of vierkant) uit de lengte en de breedte, met omrekening tussen cm² en m²
Hoeken van een veelhoek berekenen (hoekensom, buitenhoeken en regelmatige veelhoeken)
Bereken de som van de binnenhoeken en de som van de buitenhoeken van een n-hoek en één hoek van een regelmatige n-hoek (ook terugrekenen van de hoek naar het aantal hoeken)
