Omtrekshoek berekenen (middelpuntshoek, boogverhouding, koordenvierhoek)

Kies een modus en vul de hoek (of de verhouding van de booglengtes) in.

Modus

Omtrekshoek (graden)

Middelpuntshoek (graden)

Verhouding van boog AB, m

Verhouding van boog CD, n

Omtrekshoek op boog AB (graden)

Eén hoek van de vierhoek ∠A (graden)

Vul alleen getallen in. Voor hoeken en verhoudingen kun je decimalen en breuken zoals 250/7 gebruiken.

Resultaat en figuur

Kies links een modus, vul de hoek in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een figuur van de cirkel verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Met de stelling van de omtrekshoek (een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog) reken je meteen uit de omtrekshoek de middelpuntshoek uit (twee keer zo groot), of uit de middelpuntshoek de omtrekshoek (de helft). Hoeken die niet netjes uitkomen, zoals \(\dfrac{250}{7}^\circ\), zie je zowel exact (als breuk) als in decimalen
In dezelfde cirkel zijn, als boog AB : boog CD \(= m : n\), de omtrekshoeken in dezelfde verhouding (omtrekshoeken zijn evenredig met de lengte van de boog). Daarmee reken je uit de ene omtrekshoek de andere uit
De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn samen \(180^\circ\). Daarmee reken je uit één hoek de overstaande hoek uit
Bij het resultaat hoort een figuur van de cirkel, zodat je ziet waar de boog, de middelpuntshoek en de omtrekshoek zitten en kunt controleren dat omtrekshoeken op dezelfde boog gelijk zijn, vanuit welk punt je ook kijkt (in de modus voor de boogverhouding wordt alleen als de twee bogen te groot zijn voor één cirkel de figuur weggelaten en zie je alleen de getallen)
De figuren bij de formules leggen uit waarom de stellingen kloppen, zoals “een hoek op een halve cirkel is \(90^\circ\)” (de stelling van Thales)

Op deze pagina zijn de omtrekshoek en de middelpuntshoek de hoeken op één boog (de omtrekshoek is groter dan 0° en kleiner dan 180°; de middelpuntshoek is groter dan 0° en kleiner dan 360°).

Waarvoor is deze berekening handig?

De positie van een schip bepalen (navigatie en kustmetingen)

Een schip dicht bij de kust kan zijn positie bepalen door de hoek te meten tussen twee oriëntatiepunten aan land (zoals vuurtorens). Volgens het omgekeerde van de stelling van de omtrekshoek liggen alle punten van waaruit je twee oriëntatiepunten onder dezelfde hoek ziet op één cirkelboog. Meet je de hoeken voor twee paren oriëntatiepunten, dan zit het schip in het ene punt waar de twee bogen elkaar snijden (een klassieke methode die je op de kaart uitzet met een driearmige hoekmeter).
Het wordt nog steeds aan stuurlieden geleerd als reserve voor als gps niet beschikbaar is.

Weten waar een schot het makkelijkst is (voetbal en basketbal)

Bij voetbal laat de hoek tussen de twee doelpalen, gezien vanaf de schutter, zien hoe breed het doel eruitziet. Volgens de stelling van de omtrekshoek liggen alle plekken met dezelfde hoek op één boog door de twee palen. Als je langs deze boog zijwaarts van het midden van het doel af beweegt, blijft de hoek hetzelfde.
In sportanalyse wordt deze “schothoek” echt gebruikt als een van de belangrijkste maten om te verklaren hoe vaak een schot raak is.

Het midden van een rond voorwerp vinden (timmerwerk, knutselen en metaalbewerking)

Met het omgekeerde van de stelling van Thales (is de omtrekshoek 90°, dan is de koorde een middellijn) vind je makkelijk het middelpunt van een ronde plank of een cilinder. Zet de hoek van een winkelhaak op de rand van de cirkel; de lijn tussen de twee punten waar de benen de rand snijden is een middellijn. Doe dit twee keer vanuit verschillende richtingen, en het middelpunt ligt waar de twee middellijnen elkaar snijden.
Een middelpuntzoeker voor houtbewerkers is deze stelling in de vorm van een gereedschap.

Ontwerpen hoe het podium er vanaf de zitplaatsen uitziet (theaters en stadions)

Hoe groter de hoek tussen de twee uiteinden van het podium, hoe breder het podium eruitziet. Volgens de stelling van de omtrekshoek liggen stoelen die het podium onder dezelfde hoek zien op dezelfde boog. Zet je de stoelen in bogen, dan is het zicht langs elke rij ongeveer gelijk.
Van de halfronde theaters uit de Griekse oudheid tot moderne concertzalen: zitplaatsen in bogen maken gebruik van deze meetkundige eigenschap (bij een echt ontwerp spelen ook akoestiek, vluchtwegen en andere factoren een rol).

Formules en figuren

Stelling van de omtrekshoek (een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(c\) \(\div\) \(2\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(x\): omtrekshoek op boog AB \(=\) ① \(c\): middelpuntshoek op dezelfde boog \(\div\) ② \(2\): neemt de helft

De formule in woorden

① Neem de \(c\): middelpuntshoek op dezelfde boog

② deel die door \(2\): neemt de helft

③ en je krijgt de \(x\): omtrekshoek op boog AB

Een eenvoudig voorbeeld

Is de middelpuntshoek op boog AB gelijk aan \(100^\circ\), dan is de omtrekshoek op dezelfde boog

omtrekshoek op boog AB \(=\) middelpuntshoek (\(100^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(100^\circ \div 2 = 50^\circ\)

Het belangrijkste idee

Je kunt het ook andersom gebruiken: “middelpuntshoek \(c = \) omtrekshoek \(x \times 2\)” (de modus “Omtrekshoek → middelpuntshoek” van deze rekenmachine). Waarom is het de helft? Noem het middelpunt van de cirkel \(O\) en het punt op de cirkel \(P\), en teken de lijn van \(P\) door \(O\). Omdat \(OA = OP\) en \(OB = OP\) (allemaal stralen), krijg je twee gelijkbenige driehoeken. De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk, en een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee binnenhoeken die er niet naast liggen. Zo is de middelpuntshoek precies \(2\) keer zo groot als de omtrekshoek. De stelling geldt ook als de middelpuntshoek groter is dan \(180^\circ\) (als de boog langer is dan een halve cirkel). De omtrekshoek bij een middelpuntshoek van \(240^\circ\) is bijvoorbeeld \(120^\circ\).

Omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(\angle APB\) \(=\) \(\angle AQB\)

① \(\angle APB\): omtrekshoek vanuit punt \(P\) \(=\) ② \(\angle AQB\): omtrekshoek vanuit punt \(Q\)

De formule in woorden

① Zolang beide naar dezelfde boog AB kijken, is de \(\angle APB\): omtrekshoek vanuit punt \(P\)

② altijd gelijk aan de \(\angle AQB\): omtrekshoek vanuit punt \(Q\)

Een eenvoudig voorbeeld

Is de omtrekshoek op boog AB in punt \(P\) gelijk aan \(50^\circ\), dan is hij dat vanuit elk punt van de cirkel

omtrekshoek vanuit \(P\) \(=\) omtrekshoek vanuit \(Q\) (\(50^\circ\))

\(\angle APB = \angle AQB = 50^\circ\)

Het belangrijkste idee

De reden is eenvoudig: beide omtrekshoeken zijn de helft van dezelfde middelpuntshoek. Bij boog AB hoort maar één middelpuntshoek, dus de omtrekshoek, die daar de helft van is, is hetzelfde vanuit elk punt. Maar ze zijn alleen gelijk als \(P\) en \(Q\) aan dezelfde kant van boog AB liggen (op de cirkel, maar niet op boog AB). Neem je het punt aan de andere kant (op boog AB zelf), dan wordt de hoek \(180^\circ - x\). Dat leidt naar de laatste formule op deze pagina: “de overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn samen \(180^\circ\)”.

Een hoek op een halve cirkel is 90° (stelling van Thales)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(\angle APB\) \(=\) \(90^\circ\)

① \(\angle APB\): omtrekshoek op middellijn AB \(=\) ② \(90^\circ\): rechte hoek

De formule in woorden

① Is koorde AB een middellijn (de boog is een halve cirkel), dan is de \(\angle APB\): omtrekshoek op middellijn AB

② altijd een \(90^\circ\): rechte hoek

Een eenvoudig voorbeeld

De middelpuntshoek op een middellijn is een gestrekte hoek van \(180^\circ\), dus de omtrekshoek is daar de helft van

omtrekshoek op een middellijn \(=\) middelpuntshoek (\(180^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(180^\circ \div 2 = 90^\circ\)

Het belangrijkste idee

Dit is een bijzonder geval van de stelling van de omtrekshoek, de stelling van Thales. Ze is genoemd naar de Griekse wiskundige Thales uit de oudheid en geldt als een van de oudst overgeleverde stellingen. Het omgekeerde geldt ook: is \(\angle APB = 90^\circ\) in een punt \(P\) van de cirkel, dan is koorde AB altijd een middellijn. Dit omgekeerde helpt je het middelpunt van een rond voorwerp te vinden. Zet een rechte hoek (zoals een winkelhaak) tegen de cirkel en markeer twee punten A en B; AB is dan een middellijn, dus het middelpunt ligt waar twee van zulke middellijnen elkaar snijden.

Omtrekshoeken zijn evenredig met de lengte van de boog

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x_1 : x_2\) \(=\) \(m : n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(x_1 : x_2\): verhouding van de omtrekshoeken \(=\) ① \(m : n\): verhouding van de booglengtes

De formule in woorden

① In dezelfde cirkel (of in cirkels met dezelfde straal), met de \(m : n\): verhouding van de booglengtes

② is de \(x_1 : x_2\): verhouding van de omtrekshoeken op elke boog dezelfde verhouding

Een eenvoudig voorbeeld

Is boog AB : boog CD \(= 2 : 3\) en de omtrekshoek op boog AB gelijk aan \(30^\circ\), dan is de omtrekshoek op boog CD

omtrekshoek op boog CD \(=\) omtrekshoek op boog AB (\(30^\circ\)) \(\times\) factor uit de boogverhouding \(\dfrac{3}{2}\)

\(30^\circ \times \dfrac{3}{2} = 45^\circ\)

Het belangrijkste idee

Wordt een boog 2 of 3 keer zo lang, dan wordt ook zijn middelpuntshoek 2 of 3 keer zo groot (de lengte van een boog is evenredig met de middelpuntshoek). De omtrekshoek is de helft van die middelpuntshoek, dus ook omtrekshoeken zijn evenredig met de lengte van de boog. Pas op: de lengte van een koorde is niet evenredig met de omtrekshoek. Bij omtrekshoeken van \(30^\circ\) en \(60^\circ\) zijn de booglengtes bijvoorbeeld precies \(1 : 2\), maar de lengtes van de koordes niet (een koorde neemt de rechte weg en valt daardoor korter uit dan evenredig). “Boog” en “koorde” door elkaar halen is een klassieke valkuil bij toetsen.

De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn samen 180°

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\angle A\) \(+\) \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(\angle A\): één hoek \(+\) ② \(\angle C\): de overstaande hoek \(=\) ③ \(180^\circ\): gestrekte hoek

De formule in woorden

① Tel in een koordenvierhoek bij \(\angle A\): één hoek

② de \(\angle C\): de overstaande hoek op

③ en je krijgt altijd een \(180^\circ\): gestrekte hoek

Een eenvoudig voorbeeld

In een koordenvierhoek ABCD met \(\angle A = 110^\circ\) is de overstaande hoek \(\angle C\)

overstaande hoek \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) hoek \(\angle A\) (\(110^\circ\))

\(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

Het belangrijkste idee

Ook dit volgt uit de stelling van de omtrekshoek. \(\angle A\) is de omtrekshoek op boog BCD (de kant met hoekpunt C) en \(\angle C\) is de omtrekshoek op boog DAB (de kant met hoekpunt A). Samen vormen de twee bogen precies één hele cirkel, dus hun middelpuntshoeken zijn samen \(360^\circ\). Elke omtrekshoek is de helft van zijn middelpuntshoek, dus de twee zijn samen \(360^\circ \div 2 = 180^\circ\). Hieruit volgt ook dat een buitenhoek van een koordenvierhoek gelijk is aan de overstaande binnenhoek. De buitenhoek die je krijgt door zijde BC te verlengen is \(180^\circ - \angle C = \angle A\).

De stelling van de omtrekshoek zegt: “een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog”. Daaruit volgt een hele reeks eigenschappen van hoeken in cirkels: “omtrekshoeken op dezelfde boog zijn allemaal gelijk”, “een hoek op een halve cirkel is \(90^\circ\)” (de stelling van Thales), “omtrekshoeken zijn evenredig met de lengte van de boog” en “de overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn samen \(180^\circ\)”.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(\angle\)	hoek	Het symbool voor een hoek. \(\angle APB\) is de hoek met hoekpunt \(P\), gevormd door de twee lijnen van \(P\) naar \(A\) en \(B\). De middelste letter is het hoekpunt.
\(\overset{\frown}{AB}\)	boog A B	Het symbool voor boog AB, het deel van de cirkel tussen twee punten \(A\) en \(B\) op de cirkel. Het gebogen streepje boven de letters laat zien dat het om de gebogen boog gaat en niet om het rechte lijnstuk AB.
\(x,\ c\)	x, c	Op deze pagina is de omtrekshoek \(x\) en de middelpuntshoek \(c\). Een onbekend getal \(x\) noemen is gebruikelijk in schoolboeken; de \(c\) staat voor het Engelse “center”, het midden.
\(O\)	O	De letter voor het middelpunt van de cirkel. De middelpuntshoek is de hoek met hoekpunt \(O\).
\(P,\ Q\)	P, Q	Letters voor punten op de cirkel. Het is gebruikelijk om punten op te volgen met letters als \(P\) en \(Q\). De omtrekshoek is de hoek met hoekpunt \(P\) of \(Q\).
\(m : n\)	m staat tot n	De verhouding tussen twee grootheden. Op deze pagina is het de verhouding tussen de lengtes van boog AB en boog CD. \(2 : 3\) betekent dat boog CD \(\dfrac{3}{2}\) keer zo lang is als boog AB.
\(^\circ\)	graden	Het symbool voor de graad, een eenheid voor hoeken. Een hele draai verdeeld in 360 gelijke delen is \(1^\circ\). De keuze van 360 voor een hele draai komt waarschijnlijk doordat 360 veel delers heeft en dus makkelijk in gelijke delen te verdelen is.

Begrippen

omtrekshoek	De hoek die twee koordes maken die vanuit één punt op een cirkel naar de uiteinden \(A\) en \(B\) van een boog lopen. Hij hoort altijd bij de boog waarnaar hij kijkt, zoals in “de omtrekshoek op boog AB”. Waar je het hoekpunt ook neemt op de cirkel (buiten boog AB), de grootte blijft hetzelfde.
middelpuntshoek	De hoek die twee stralen maken die vanuit het middelpunt \(O\) naar de uiteinden \(A\) en \(B\) van een boog lopen. Bij elke boog hoort maar één middelpuntshoek, en die is precies twee keer zo groot als de omtrekshoek op dezelfde boog.
stelling van de omtrekshoek	De stelling dat “een omtrekshoek de helft is van de middelpuntshoek op dezelfde boog” en dat “omtrekshoeken op dezelfde boog allemaal gelijk zijn”. Het is de belangrijkste stelling over cirkels in de bovenbouw van havo en vwo (ook wel omtrekshoekstelling genoemd). Voor het bewijs gebruik je gelijkbenige driehoeken en de buitenhoek van een driehoek.
boog	Het deel van een cirkel tussen twee punten op de cirkel. Twee punten verdelen de cirkel in twee bogen; de kortste is de kleine boog en de langste is de grote boog. Met “boog AB” bedoel je meestal de kortste (de kleine boog).
grote boog	Als twee punten een cirkel in twee delen verdelen, de boog die langer is dan een halve cirkel. De middelpuntshoek is groter dan \(180^\circ\). De stelling van de omtrekshoek geldt voor beide bogen.
kleine boog	Als twee punten een cirkel in twee delen verdelen, de boog die korter is dan een halve cirkel. De middelpuntshoek is kleiner dan \(180^\circ\). De stelling van de omtrekshoek geldt voor beide bogen.
koorde	Een recht lijnstuk tussen twee punten op een cirkel. Een boog is het gebogen pad langs de cirkel, een koorde is de rechte, kortste weg tussen de twee punten. De lengte van een boog is evenredig met de omtrekshoek, die van een koorde niet.
middellijn	Een koorde door het middelpunt van een cirkel (ook wel diameter genoemd). Het is de langste koorde, twee keer zo lang als de straal. De boog op een middellijn is precies een halve cirkel en de omtrekshoek erop is altijd \(90^\circ\) (stelling van Thales).
straal	De afstand (of het lijnstuk) van het middelpunt van een cirkel naar een punt op de cirkel. Alle stralen van één cirkel zijn gelijk, en de gelijkbenige driehoeken die daardoor ontstaan zijn de sleutel tot het bewijs van de stelling van de omtrekshoek.
stelling van Thales	De stelling dat “een hoek op een halve cirkel \(90^\circ\) is”. Het is een bijzonder geval van de stelling van de omtrekshoek (als de middelpuntshoek \(180^\circ\) is). Ze is genoemd naar de Griekse wiskundige Thales uit de oudheid, en het omgekeerde (is de omtrekshoek \(90^\circ\), dan is de koorde een middellijn) geldt ook.
koordenvierhoek	Een vierhoek waarvan alle vier de hoekpunten op één cirkel liggen. Hij heet zo omdat de zijden koordes van die cirkel zijn. De overstaande hoeken hebben de bijzondere eigenschap dat ze samen \(180^\circ\) zijn.
overstaande hoeken	Hoeken die in een vierhoek tegenover elkaar liggen. In vierhoek ABCD zijn \(\angle A\) en \(\angle C\) een paar overstaande hoeken, en \(\angle B\) en \(\angle D\) het andere paar.
gelijkbenige driehoek	Een driehoek met twee even lange zijden. De twee hoeken tegenover de gelijke zijden (de basishoeken) zijn gelijk. Hij komt in het bewijs van de stelling van de omtrekshoek voor, omdat alle stralen even lang zijn.
evenredig	Een verband waarbij, als de ene grootheid 2 of 3 keer zo groot wordt, de andere dat ook wordt. De lengte van een boog en de middelpuntshoek, en de lengte van een boog en de omtrekshoek, zijn allebei evenredig.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, ga dan terug naar deze onderwerpen. Dat is de snelste weg.

Woorden over de cirkel (groep 5-8, 8-12 jaar)	De woorden middelpunt, straal, middellijn en omtrek kennen en weten dat alle stralen van één cirkel even lang zijn Het verschil kennen tussen een boog (een deel van de cirkel) en een koorde (een lijnstuk tussen twee punten op de cirkel)
Hoeken en draaiingen (groep 6, 9-10 jaar)	Weten dat een hele draai \(360^\circ\) is, een halve draai (een gestrekte hoek) \(180^\circ\) en een rechte hoek \(90^\circ\) Een idee hebben van de grootte van een hoek, zoals je die met een gradenboog meet
Gelijkbenige driehoeken (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat in een driehoek met twee even lange zijden de basishoeken (de twee hoeken tegenover de gelijke zijden) gelijk zijn {Je gebruikt dit in het bewijs van de stelling van de omtrekshoek=“stralen zijn even lang, dus er ontstaat een gelijkbenige driehoek”}
Binnenhoeken en buitenhoeken van een driehoek (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat de hoeken van een driehoek samen \(180^\circ\) zijn en dat een buitenhoek gelijk is aan de som van de twee binnenhoeken die er niet naast liggen Deze eigenschap van de buitenhoek is de kern van waarom de middelpuntshoek twee keer de omtrekshoek is
Verhoudingen en evenredige verbanden (groep 7-8 en klas 1, 10-13 jaar)	Weten wat een verhouding zoals \(2 : 3\) is en kunnen rekenen met een verhouding, zoals in \(30 \times \dfrac{3}{2}\) {Een idee hebben van een evenredig verband=“wordt de ene grootheid twee keer zo groot, dan wordt de andere dat ook”}
Delen en breuken (groep 6-8 en klas 1, 9-13 jaar)	Een deling zoals \(80 \div 2 = 40\) uit het hoofd of op papier kunnen uitvoeren Een antwoord dat niet netjes uitkomt kunnen laten staan als exacte breuk, zoals \(\dfrac{250}{7}\)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor omtrekshoek → middelpuntshoek

Omtrekshoek (graden)	50
Middelpuntshoek (graden)	=B1*2

Tabel voor middelpuntshoek → omtrekshoek

Middelpuntshoek (graden)	100
Omtrekshoek (graden)	=B1/2

Tabel voor boogverhouding → omtrekshoek

Verhouding van boog AB, m	2
Verhouding van boog CD, n	3
Omtrekshoek op boog AB (graden)	30
Omtrekshoek op boog CD (graden)	=B3*B2/B1

Tabel voor de overstaande hoeken van een koordenvierhoek

Hoek van de vierhoek ∠A (graden)	110
Overstaande hoek ∠C (graden)	=180-B1

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en is de onderste rij het automatisch berekende resultaat.
“*” is vermenigvuldigen en “/” is delen.
De eerste tabel berekent uit een omtrekshoek van 50° de middelpuntshoek; het antwoord is 100. De tweede doet het omgekeerde en berekent de omtrekshoek 50 uit een middelpuntshoek van 100°.
De derde tabel is voor boog AB : boog CD = 2 : 3 met een omtrekshoek van 30° op boog AB. Omtrekshoeken zijn evenredig met de booglengte, dus het antwoord is 30 × 3 ÷ 2 = 45.
De vierde tabel is voor een koordenvierhoek: vul 110 in voor ∠A en de overstaande hoek ∠C is 70.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor omtrekshoek → middelpuntshoek

Omtrekshoek (graden)	50
Middelpuntshoek (graden)	=B1*2

Tabel voor middelpuntshoek → omtrekshoek

Middelpuntshoek (graden)	100
Omtrekshoek (graden)	=B1/2

Tabel voor boogverhouding → omtrekshoek

Verhouding van boog AB, m	2
Verhouding van boog CD, n	3
Omtrekshoek op boog AB (graden)	30
Omtrekshoek op boog CD (graden)	=B3*B2/B1

Tabel voor de overstaande hoeken van een koordenvierhoek

Hoek van de vierhoek ∠A (graden)	110
Overstaande hoek ∠C (graden)	=180-B1

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak hem in cel A1 en vervang de hoeken en verhoudingen door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Omtrekshoek -> middelpuntshoek (de middelpuntshoek is twee keer de omtrekshoek)
inscribed_angle = Fraction(250, 7)   # een breuk zoals 250/7 graden kun je zo opschrijven
central_angle = inscribed_angle * 2
print(f"Omtrekshoek {inscribed_angle}° -> middelpuntshoek {central_angle}° ≈ {float(central_angle):.2f}°")

# Middelpuntshoek -> omtrekshoek (de omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek)
central_angle = Fraction(100)
inscribed_angle = central_angle / 2
print(f"Middelpuntshoek {central_angle}° -> omtrekshoek {inscribed_angle}°")

# Boogverhouding -> omtrekshoek (omtrekshoeken zijn evenredig met de booglengte)
arc_ab, arc_cd = Fraction(2), Fraction(3)   # boog AB : boog CD = 2 : 3
angle_ab = Fraction(30)                     # omtrekshoek op boog AB
angle_cd = angle_ab * arc_cd / arc_ab
print(f"Boogverhouding {arc_ab}:{arc_cd}, omtrekshoek {angle_ab}° -> andere omtrekshoek {angle_cd}°")

# Overstaande hoeken van een koordenvierhoek (samen 180 graden)
angle_a = Fraction(110)
angle_c = 180 - angle_a
print(f"∠A = {angle_a}° -> overstaande hoek ∠C = {angle_c}°")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek blijven hoeken die niet netjes uitkomen, zoals 250/7°, exacte breuken zonder afrondingsfout. Voer je de code uit, dan zie je eerst de middelpuntshoek 500/7° (ook als afgerond getal), dan de omtrekshoek 50°, dan de omtrekshoek 45° op boog CD en tot slot de overstaande hoek 70°. Pas de getallen aan en voer de code opnieuw uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Stelling van de omtrekshoek (een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek)

x = c / 2

x = \frac{c}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>c</mi>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = c/2

x = c/2

x := c/2;

x = c/2;

x = c/2

Omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk

∠APB = ∠AQB

\angle APB = \angle AQB

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>Q</mi><mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

/_ APB = /_ AQB

angleAPB == angleAQB

angleAPB = angleAQB;

angleAPB == angleAQB

∠APB = ∠AQB

Een hoek op een halve cirkel is 90° (stelling van Thales)

∠APB = 90°

\angle APB = 90^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>90</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ APB = 90^circ

angleAPB == 90 Degree

angleAPB = 90;

angleAPB = 90;

∠APB = 90°

Omtrekshoeken zijn evenredig met de lengte van de boog

x₁ : x₂ = m : n

x_1 : x_2 = m : n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>:</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>:</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

x_1 : x_2 = m : n

x1/x2 == m/n

x1/x2 = m/n;

x1/x2 == m/n

x_1 : x_2 = m : n

De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn samen 180°

∠A + ∠C = 180°

\angle A + \angle C = 180^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ A + /_ C = 180^circ

angleA + angleC == 180 Degree

angleA + angleC = 180;

angleA + angleC == 180

∠A + ∠C = 180°

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor wiskundeberekeningen (vlakke meetkunde en eigenschappen van cirkels). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een schatting).

Laat met de stelling van de omtrekshoek (een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog) het volgende zien.
1. De middelpuntshoek als de omtrekshoek 250/7° is (zowel als vereenvoudigde breuk als in decimalen)
2. De omtrekshoek als de middelpuntshoek 100° is
3. In dezelfde cirkel, met boog AB : boog CD = 2 : 3 en een omtrekshoek van 30° op boog AB, de omtrekshoek op boog CD (gebruik dat omtrekshoeken evenredig zijn met de booglengte)
4. In een koordenvierhoek met ∠A = 110° de overstaande hoek ∠C (gebruik dat overstaande hoeken samen 180° zijn)

Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen, en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule