Vul de coëfficiënten a, b en c van het linkerlid, ax² + bx + c, in en het teken waarmee je het met 0 vergelijkt. De ongelijkheid hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de coëfficiënten ook er direct in aanpassen.
Je kunt kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 gebruiken. Een leeg veld bij a telt als 1 (x² betekent 1x²) en een leeg veld bij b of c telt als 0. Is a gelijk aan 0, dan wordt het opgelost als een lineaire ongelijkheid.
Resultaat en grafiek
Vul links de coëfficiënten a, b en c en het ongelijkheidsteken in en klik op “Berekenen”. De oplossing, de stappen en een grafiek verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en grafieken
-
Positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) en twee nulpunten (\(>0\) is “buiten de twee nulpunten”)
-
Positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) en twee nulpunten (\(<0\) is “tussen de twee nulpunten”)
-
De discriminant (bepaalt de vorm van de oplossing)
-
Negatieve coëfficiënt van \(x^{2}\) (vermenigvuldig beide leden met \(-1\) om hem positief te maken)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Bereken de oplossing van een kwadratische ongelijkheid zoals \(ax^{2}+bx+c>0\) door alleen de coëfficiënten in te vullen en het teken te kiezen. Alle vier de tekens, \(>\), \(\ge\), \(<\) en \(\le\), worden ondersteund
- De stappen onderscheiden gevallen naar het teken van de discriminant \(D=b^{2}-4ac\), regel voor regel, in dezelfde volgorde als in een schoolboek. Behalve “buiten de twee nulpunten” en “tussen de twee nulpunten” worden ook lastige antwoorden goed herkend, zoals \(x \neq \alpha\), geen oplossing en alle reële getallen
- Is de coëfficiënt van \(x^{2}\) negatief, dan laten de stappen ook zien hoe je beide leden met \(-1\) vermenigvuldigt en het ongelijkheidsteken omdraait
- Grenswaarden staan als exacte waarden met vereenvoudigde wortels, zoals \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), met erbij het kommagetal als ze irrationaal zijn. Coëfficiënten mogen kommagetallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn
- Een grafiek in kleur van de parabool en de oplossing laat zien dat “de oplossing van \(y>0\) het gebied van \(x\) is waar de grafiek boven de \(x\)-as ligt”
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Het rechterlid staat vast op 0. Staat er rechts een uitdrukking, zoals bij \(x^{2}+2x > 3x+1\), verplaats dan eerst alles naar links (vul hier \(x^{2}-x-1>0\) in). Vul je 0 in voor de coëfficiënt \(a\) van \(x^{2}\), dan is het geen kwadratische ongelijkheid en wordt ze opgelost als de lineaire ongelijkheid \(bx+c>0\) (is \(b\) ook 0, dan blijft alleen een constante over en is het antwoord “alle reële getallen” of “geen oplossing”).
Waarvoor is deze berekening handig?
Wanneer een omhoog gegooide bal boven een bepaalde hoogte is (sport en natuurkunde)
De hoogte van een voorwerp dat recht omhoog wordt gegooid is een kwadratische functie van de tijd \(t\) in seconden: \(h = v_{0}t - 5t^{2}\) meter, waarbij \(v_{0}\) de beginsnelheid in meter per seconde is (de valversnelling vereenvoudigd tot 10 m/s²). De vraag “gedurende welke tijd is het minstens een bepaalde hoogte?” geeft meteen een kwadratische ongelijkheid.
Bij een bal die met 20 meter per seconde omhoog wordt gegooid, komt de tijd dat hij minstens 15 meter hoog is uit \(20t - 5t^{2} \ge 15\), oftewel \(t^{2} - 4t + 3 \le 0\), en dat geeft 1 tot 3 seconden na het gooien, samen 2 seconden. Luchtweerstand is buiten beschouwing gelaten, maar je krijgt zo een idee van hoe lang vuurwerk te zien is of hoe lang een hoge bal in de lucht blijft.
De hoogste snelheid vinden waarbij je veilig kunt stoppen (verkeersveiligheid)
De stopafstand van een auto is de afstand die je aflegt terwijl je reageert en op de rem trapt (reactieafstand) plus de afstand die je aflegt terwijl je remt (remafstand). De reactieafstand groeit evenredig met de snelheid, maar de remafstand groeit met het kwadraat van de snelheid, dus de stopafstand is een kwadratische functie van de snelheid.
Bij een reactietijd van 1 seconde en een wrijvingscoëfficiënt tussen weg en band van 0,7 is de stopafstand ongeveer \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72}\) meter (met \(v\) in meter per seconde en \(g = 9{,}8\) m/s²). Om binnen 100 meter vrij zicht te stoppen, los je \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72} \le 100\) op: de snelheid mag hoogstens ongeveer 30,8 meter per seconde zijn, ofwel zo’n 111 km/u. Snelheidslimieten en richtlijnen voor de volgafstand zijn gebaseerd op kwadratische verbanden zoals dit.
Het prijsbereik vinden waarmee je winst maakt (ondernemen)
Verhoog je de prijs, dan stijgt de winst per stuk, maar worden er minder stuks verkocht. Is het aantal verkochte stuks een lineaire functie van de prijs, dan is de winst (winst per stuk × aantal verkocht − vaste kosten) een kwadratische functie van de prijs, en “de prijzen waarbij de winst 0 of meer is” volgen uit een kwadratische ongelijkheid.
Stel dat een artikel € 3 kost om te maken, dat bij een prijs van \(p\) euro \(1.000 - 200p\) stuks worden verkocht en dat de vaste kosten € 100 zijn. Het oplossen van \((p-3)(1.000-200p) - 100 \ge 0\) laat zien dat er winst is tussen ongeveer € 3,29 en € 4,71. Het gevoel dat “te goedkoop of te duur allebei geld kost” wordt zo met getallen bevestigd.
Genoeg oppervlakte krijgen uit een vaste lengte materiaal (ontwerpen, klussen, landbouw)
Bij een rechthoek met een vaste omtrek ligt met het kiezen van de lengte ook de breedte vast, dus de oppervlakte is een kwadratische functie van de lengte. “Welke afmetingen geven minstens de oppervlakte die ik nodig heb?” is een kwadratische ongelijkheid.
Stel dat je een rechthoekige moestuin omheint met 40 meter hekwerk en minstens 91 vierkante meter wilt. Bij een lengte van \(x\) meter is de breedte \(20-x\) meter, dus \(x(20-x) \ge 91\), en dat geeft een lengte van 7 tot 13 meter. Je ziet ook dat de oppervlakte groter is naarmate de vorm dichter bij een vierkant ligt (hier is de grootste oppervlakte 100 vierkante meter bij 10 meter).
Uitrekenen hoe breed een boog hoog genoeg is (bouwkunde en vervoer)
De doorsnede van een parabolische brugboog of tunnel kun je schrijven als een kwadratische functie. “Hoe ver van het midden kan een hoog voertuig of schip nog door?” is precies een kwadratische ongelijkheid.
Stel dat een boog van 80 meter breed en 16 meter hoog in het midden \(y = -0{,}01x^{2} + 16\) is (\(x\) is de afstand tot het midden). Het deel dat minstens 15 meter hoog is, volgt uit \(-0{,}01x^{2} + 16 \ge 15\): 10 meter aan weerszijden van het midden, samen 20 meter breed. Beslissingen zoals grote vrachtwagens bij het midden houden of een hoogtebeperking aangeven, zijn gebaseerd op berekeningen als deze.
Formules en grafieken
Positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) en twee nulpunten (\(>0\) is “buiten de twee nulpunten”)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{of}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(x\): oplossing
\(<\)
①
\(\alpha\): kleinste nulpunt
\(\ \text{of}\ \)
②
\(\beta\): grootste nulpunt
\(<\)
\(x\): oplossing
De formule in woorden
①
Noem de twee nulpunten (de oplossingen van de kwadratische vergelijking \(ax^{2}+bx+c=0\)) \(\alpha < \beta\). Het deel kleiner dan
\(\alpha\): kleinste nulpunt
en
②
het deel groter dan
\(\beta\): grootste nulpunt
(dus buiten de twee nulpunten)
③
is
\(x\): oplossing
(want een dalparabool ligt boven de \(x\)-as buiten de twee snijpunten)
Een eenvoudig voorbeeld
De oplossing van \(x^{2}-3x+2>0\) (omdat \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\), zijn de oplossingen van \(=0\) \(x=1;\ 2\)) is:
\(x\): oplossing
\(<\)
kleinste nulpunt (1)
\(\ \text{of}\ \)
grootste nulpunt (2)
\(<\)
\(x\): oplossing
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{of}\ 2 < x\)
Het belangrijkste idee
Zie een kwadratische ongelijkheid niet als “een berekening” maar als “aflezen waar de grafiek boven (of onder) de \(x\)-as ligt”. Dan hoef je veel minder te onthouden.
Een parabool met een positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) opent naar boven (een dalparabool). Snijdt hij de \(x\)-as in twee punten, dan zakt alleen het middelste deel, met de bodem van het dal, onder de \(x\)-as en liggen de delen daarbuiten erboven. Daarom is de oplossing van \(>0\) buiten de nulpunten en die van \(<0\) tussen de nulpunten.
“Buiten” zijn twee losse gebieden, dus schrijf ze op met “of”, zoals \(x<1\) of \(2<x\). Schrijf je ze als één keten zoals \(2<x<1\), dan is dat fout, want dat zou betekenen dat \(x\) tegelijk groter dan 2 en kleiner dan 1 is.
Bevat het teken “gelijk aan”, zoals bij \(\ge 0\), dan doen de grenswaarden zelf ook mee: \(x \le 1\) of \(2 \le x\).
Positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) en twee nulpunten (\(<0\) is “tussen de twee nulpunten”)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(\alpha\): kleinste nulpunt
\(<\)
③
\(x\): oplossing
\(<\)
②
\(\beta\): grootste nulpunt
De formule in woorden
①
Het deel groter dan
\(\alpha\): kleinste nulpunt
en
②
kleiner dan
\(\beta\): grootste nulpunt
(dus tussen de twee nulpunten)
③
is
\(x\): oplossing
(want een dalparabool zakt onder de \(x\)-as tussen de twee snijpunten)
Een eenvoudig voorbeeld
De oplossing van \(x^{2}-3x+2<0\) (de oplossingen van \(=0\) zijn net als hiervoor \(x=1;\ 2\)) is:
kleinste nulpunt (1)
\(<\)
\(x\): oplossing
\(<\)
grootste nulpunt (2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
Het belangrijkste idee
Bij dezelfde \(x^{2}-3x+2\) wisselt de oplossing van “buiten” naar “tussen” als je alleen het ongelijkheidsteken omdraait. Is het linkerlid hetzelfde, dan zijn de grenswaarden (de oplossingen van \(=0\)) altijd dezelfde; het enige wat verandert is aan welke kant van de grenzen je zit.
\(1<x<2\) betekent de waarden van \(x\) die tegelijk aan \(1<x\) en \(x<2\) voldoen: “groter dan 1 en kleiner dan 2”. Zo’n dubbele ongelijkheid, waarin je meerdere ongelijkheden tegelijk oplost, noem je een dubbele ongelijkheid; de vorm \(A<B<C\) schrijft haar als één keten.
Bevat het teken “gelijk aan”, zoals bij \(\le 0\), dan wordt het \(1 \le x \le 2\) en zijn ook de eindpunten 1 en 2 oplossingen.
De discriminant (bepaalt de vorm van de oplossing)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(D\): discriminant
\(=\)
①
\(b^{2}\): de coëfficiënt van \(x\) in het kwadraat
\(-\)
②
\(4ac\): 4 maal de coëfficiënt van \(x^{2}\) maal de constante
De formule in woorden
①
Trek van
\(b^{2}\): de coëfficiënt van \(x\) in het kwadraat
②
\(4ac\): 4 maal de coëfficiënt \(a\) van \(x^{2}\) maal de constante \(c\)
af
③
en je krijgt
\(D\): discriminant
(alleen het teken ervan bepaalt hoe de parabool de \(x\)-as snijdt, en dus de vorm van de oplossing)
Een eenvoudig voorbeeld
De discriminant van \(x^{2}-3x+2\) is:
\(D\): discriminant
\(=\)
\(-3\) in het kwadraat
\(-\)
4 maal 1 maal 2
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
Het belangrijkste idee
De discriminant vertelt hoe vaak de parabool de \(x\)-as ontmoet: in twee punten als \(D>0\), met een raakpunt als \(D=0\) en helemaal niet als \(D<0\). Ook bij een kwadratische uitdrukking die je niet kunt ontbinden bepaalt deze ene waarde de vorm van de oplossing.
Is de coëfficiënt van \(x^{2}\) positief (de parabool opent naar boven), dan geven de vier tekens deze oplossingen:
\(D>0\) (snijdt in twee punten): \(>0\) en \(\ge 0\) zijn buiten de twee nulpunten; \(<0\) en \(\le 0\) zijn ertussen.
\(D=0\) (raakt in één punt): met het raakpunt bij \(x=\alpha\) is \(>0\) gelijk aan \(x \neq \alpha\) (alleen het raakpunt valt af), is \(\ge 0\) alle reële getallen, heeft \(<0\) geen oplossing en is \(\le 0\) het ene punt \(x=\alpha\).
\(D<0\) (raakt niet): de hele parabool ligt boven de \(x\)-as, dus \(>0\) en \(\ge 0\) zijn alle reële getallen, en \(<0\) en \(\le 0\) hebben geen oplossing.
Bij \(D=0\) of \(D<0\) is het antwoord geen gebied, en deze gevallen worden bij toetsen vaak gemist. Schets de grafiek en vraag je af “zakt een deel van de parabool onder de \(x\)-as?”, dan raak je niet de weg kwijt.
Negatieve coëfficiënt van \(x^{2}\) (vermenigvuldig beide leden met \(-1\) om hem positief te maken)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(ax^{2}+bx+c\): een kwadratische uitdrukking met negatieve \(a\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\): alle tekens omgedraaid (positieve coëfficiënt van \(x^{2}\))
\(> 0\)
De formule in woorden
①
De ongelijkheid dat
\(ax^{2}+bx+c\): een kwadratische uitdrukking met een negatieve coëfficiënt \(a\) van \(x^{2}\)
kleiner is dan 0
②
kun je herschrijven als dat
\(-ax^{2}-bx-c\): de kwadratische uitdrukking met alle tekens omgedraaid (positieve coëfficiënt van \(x^{2}\))
groter is dan 0 (beide leden zijn met het negatieve getal \(-1\) vermenigvuldigd, dus het ongelijkheidsteken draait ook om)
Een eenvoudig voorbeeld
Vermenigvuldig je beide leden van \(-x^{2}+4x-3 \ge 0\) met \(-1\), dan krijg je:
\(-x^{2}+4x-3\) (coëfficiënt van \(x^{2}\) is \(-1\))
\(\ge 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\) (coëfficiënt van \(x^{2}\) is \(1\))
\(\le 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0\)
\((x-1)(x-3) \le 0\)
\(1 \le x \le 3\)
Het belangrijkste idee
Blijft de coëfficiënt van \(x^{2}\) negatief, dan opent de parabool naar beneden (een bergparabool) en wisselen “buiten” en “tussen” van plaats, en dat is verwarrend. Vermenigvuldig daarom eerst beide leden met \(-1\) om er een parabool van te maken die naar boven opent, dan hoef je maar één patroon te onthouden.
Bij een ongelijkheid draait het teken om als je beide leden met een negatief getal vermenigvuldigt of erdoor deelt. Vermenigvuldig je bijvoorbeeld beide leden van \(2<3\) met \(-1\), dan krijg je \(-2>-3\), omdat het omdraaien van de tekens links en rechts op de getallenlijn verwisselt. Bij vergelijkingen heb je dit probleem niet; het gaat alleen om ongelijkheden.
Beide leden met \(-1\) vermenigvuldigen verandert de discriminant \(D\) niet (\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). In het voorbeeld hebben \(-x^{2}+4x-3\) en \(x^{2}-4x+3\) allebei \(D=4\).
Los een kwadratische ongelijkheid zo op: maak eerst de coëfficiënt van \(x^{2}\) positief (is hij negatief, vermenigvuldig dan beide leden met \(-1\) en draai het teken om) en onderscheid dan gevallen naar het teken van de discriminant \(D=b^{2}-4ac\). Bij \(D>0\) is \(>0\) buiten de twee nulpunten en \(<0\) ertussen; bij \(D=0\) of \(D<0\) kan het antwoord “alle reële getallen”, “geen oplossing” of “maar één punt” zijn. Stel je een parabool voor die naar boven opent en lees af waar hij boven de \(x\)-as ligt, en elk geval werkt op dezelfde manier.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | De coëfficiënten van de kwadratische ongelijkheid \(ax^{2}+bx+c>0\): \(a\) is de coëfficiënt van \(x^{2}\), \(b\) die van \(x\) en \(c\) de constante term. Gewoonlijk staan letters aan het begin van het alfabet, \(a,\ b,\ c\), voor getallen die vooraf gegeven zijn. |
| \(x\) | x | Het onbekende getal. Een kwadratische ongelijkheid vraagt “van waar tot waar klopt het voor de waarden van \(x\)?”, dus het antwoord is een gebied en geen enkel getal. Gewoonlijk gebruik je letters aan het eind van het alfabet, \(x,\ y,\ z\), voor onbekenden. |
| \(D\) | D | De discriminant, \(b^{2}-4ac\). \(D\) is de eerste letter van “discriminant” (iets wat gevallen van elkaar onderscheidt). Alleen het teken ervan bepaalt hoe de parabool de \(x\)-as snijdt (de vorm van de oplossing). |
| \(\alpha,\ \beta\) | alfa, bèta | Namen voor de twee nulpunten, de oplossingen van de kwadratische vergelijking \(ax^{2}+bx+c=0\). Het zijn de eerste en tweede letter van het Griekse alfabet en gewoonlijk geldt \(\alpha < \beta\) (\(\alpha\) is de kleinste). Bij een kwadratische ongelijkheid zijn deze twee de grenzen van de oplossing. |
| \(>,\ <\) | groter dan, kleiner dan | Ongelijkheidstekens. \(A>B\) betekent “\(A\) is groter dan \(B\)” en \(A<B\) betekent “\(A\) is kleiner dan \(B\)”; de open kant wijst altijd naar het grotere getal. Ze bevatten geen “gelijk aan”, dus de grenswaarden zelf zijn geen oplossingen. |
| \(\ge,\ \le\) | groter dan of gelijk aan, kleiner dan of gelijk aan | Ongelijkheidstekens met “gelijk aan”. \(A \ge B\) betekent “\(A\) is groter dan of gelijk aan \(B\)” en \(A \le B\) betekent “\(A\) is kleiner dan of gelijk aan \(B\)”. De grenswaarden zelf zijn ook oplossingen. Sommige boeken schrijven ze met een dubbele streep onder het teken (≧, ≦); de betekenis is hetzelfde. |
| \(\neq\) | is niet gelijk aan | Het teken voor “is niet gelijk aan”. \(x \neq 3\) betekent “\(x\) mag elke waarde hebben behalve 3”. Bij kwadratische ongelijkheden komt deze vorm van antwoord voor als de parabool de \(x\)-as raakt (\(D=0\)). |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | wortel | Het teken voor het positieve getal waarvan het kwadraat het getal eronder is (de wortel). \(\sqrt{5}\) is “het positieve getal waarvan het kwadraat 5 is”, ongeveer 2,236. Het zou afstammen van een gestileerde letter r, van het Latijnse woord radix, “wortel”. Je ziet het als de grenswaarden niet precies uitkomen. |
| \(\Longleftrightarrow\) | is gelijkwaardig aan | Een teken dat zegt dat de linker- en de rechterkant hetzelfde betekenen. \(P \Longleftrightarrow Q\) betekent “als \(P\) klopt, dan klopt \(Q\), en andersom”. Als je een ongelijkheid omwerkt, let er dan op dat deze relatie behouden blijft (zodat de oplossing niet verandert). |
| \(y\) | y | De waarde van de kwadratische functie \(y=ax^{2}+bx+c\), de “hoogte” van de parabool. \(ax^{2}+bx+c>0\) oplossen is hetzelfde als het gebied van \(x\) vinden waarvoor deze hoogte groter is dan 0 (waar de grafiek boven de \(x\)-as ligt). |
Begrippen
| kwadratische ongelijkheid | Een ongelijkheid met een term met \(x^{2}\), zoals \(ax^{2}+bx+c>0\). Het antwoord is een gebied van \(x\) en geen enkel getal. Je leert het in klas 3–4 (14-16 jaar). |
| ongelijkheid | Een bewering die twee grootheden vergelijkt met \(>\), \(<\), \(\ge\) of \(\le\). Aan beide kanten hetzelfde getal optellen of aftrekken verandert de richting niet, maar vermenigvuldigen of delen met een negatief getal draait haar om. |
| kwadratische functie | Een functie van de vorm \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a \neq 0\)). De grafiek is een parabool. Een kwadratische ongelijkheid kun je zien als aflezen waar deze grafiek boven of onder de \(x\)-as ligt. |
| parabool | De gladde, symmetrische kromme die de grafiek van een kwadratische functie is. Een bal die schuin omhoog wordt gegooid volgt deze vorm. |
| dalparabool | Een parabool in de vorm van een dal (beide uiteinden wijzen omhoog), dus een parabool die naar boven opent. Dat gebeurt als de coëfficiënt van \(x^{2}\) positief is. Is de coëfficiënt negatief, dan is het een berg en heet het een bergparabool (die naar beneden opent). |
| bergparabool | Een parabool in de vorm van een berg (beide uiteinden wijzen omlaag), dus een parabool die naar beneden opent. Dat gebeurt als de coëfficiënt van \(x^{2}\) negatief is. |
| discriminant | \(D=b^{2}-4ac\). Hij vertelt hoeveel reële oplossingen de kwadratische vergelijking heeft (hoe vaak de parabool de \(x\)-as ontmoet): 2 als \(D>0\), 1 (een dubbele wortel) als \(D=0\) en 0 als \(D<0\). |
| reële oplossing | Een oplossing die een gewoon getal op de getallenlijn is (een reëel getal). Is \(D<0\), dan zijn er geen reële oplossingen en raakt de parabool de \(x\)-as niet. |
| dubbele wortel | De oplossing als \(D=0\). Twee gelijke oplossingen vallen samen, zoals bij \((x-3)^{2}=0\), en de parabool raakt de \(x\)-as in één punt. |
| abc-formule | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\). Ze lost kwadratische vergelijkingen op, ook als je ze niet kunt ontbinden, en bij kwadratische ongelijkheden geeft ze de grenswaarden. |
| ontbinden in factoren | Een uitdrukking schrijven als een product, zoals \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\). Kun je bij een kwadratische ongelijkheid ontbinden, dan zie je de grenswaarden in één oogopslag. |
| grenswaarde (nulpunt) | Een waarde waar de oplossing begint of ophoudt. Bij een kwadratische ongelijkheid zijn het de oplossingen van \(ax^{2}+bx+c=0\), de \(x\)-coördinaten waar de parabool de \(x\)-as snijdt (de nulpunten). Ze doen mee bij \(\ge\) of \(\le\) en vallen af bij \(>\) of \(<\). |
| oplossingsverzameling | Alle waarden van \(x\) waarvoor de ongelijkheid klopt. Het kan één gebied zijn, zoals \(1<x<2\), of twee losse gebieden, zoals \(x<1\) of \(2<x\). |
| dubbele ongelijkheid | De \(x\) vinden die aan meerdere ongelijkheden tegelijk voldoet. Het gebied dat zowel aan \(1<x\) als aan \(x<2\) voldoet, schrijf je als één keten, \(1<x<2\). |
| geen oplossing | Er is helemaal geen \(x\) waarvoor de ongelijkheid klopt. Dat gebeurt bijvoorbeeld bij \(x^{2}+2x+5<0\), waar een parabool die naar boven opent nooit onder de \(x\)-as komt. |
| alle reële getallen | De ongelijkheid klopt voor elke \(x\). Bij een positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) is dit het antwoord op \(>0\) of \(\ge 0\) als \(D<0\) (de parabool raakt de \(x\)-as nooit). Bij \(D=0\) geeft \(\ge 0\) ook alle reële getallen, omdat het raakpunt meetelt door “gelijk aan”. (Bij dezelfde \(D<0\) hebben \(<0\) of \(\le 0\) geen oplossing.) |
| getallenlijn | Een tekening waarin getallen op een rechte lijn staan. Om de oplossing van een kwadratische ongelijkheid te laten zien, teken je het gebied als een dikke lijn, met een gevuld bolletje bij een grens die meedoet en een open bolletje bij een grens die niet meedoet. |
| termen verplaatsen | Een term van een ongelijkheid of vergelijking naar de andere kant brengen en het teken veranderen. Staat er rechts een uitdrukking, breng die dan naar links, zodat het rechterlid 0 is voordat je oplost. |
| constante term | Een term met alleen een getal en geen \(x\), zoals de 5 in \(x^{2}+3x+5\). Hij heet constant omdat hij niet verandert, welke waarde \(x\) ook heeft. |
| coëfficiënt | Het getal voor een letter. In \(3x^{2}\) is de coëfficiënt 3. Staat er geen getal, zoals bij \(x^{2}\), dan is de coëfficiënt 1. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina écht te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Eigenschappen van ongelijkheden (klas 2–3, 13-15 jaar) |
|
| Ontbinden in factoren (klas 2–3, 13-15 jaar) |
|
| Kwadratische vergelijkingen oplossen (klas 3, 14-15 jaar) |
|
| Grafieken van kwadratische functies (klas 3, 14-15 jaar) |
|
| Wortels (klas 2–3, 13-15 jaar) |
|
| De getallenlijn en gebieden (klas 1, 12-13 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor twee nulpunten, buiten (ax²+bx+c > 0)
| Coëfficiënt van x², a | 1 |
| Coëfficiënt van x, b | -3 |
| Constante term c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinste nulpunt α | =(-B2-WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Grootste nulpunt β | =(-B2+WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Oplossing (buiten) | ="x < "&B5&" of "&B6&" < x" |
Tabel voor twee nulpunten, ertussen (ax²+bx+c < 0)
| Coëfficiënt van x², a | 1 |
| Coëfficiënt van x, b | -3 |
| Constante term c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinste nulpunt α | =(-B2-WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Grootste nulpunt β | =(-B2+WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Oplossing (ertussen) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabel om de discriminant D = b²−4ac te vinden
| Coëfficiënt van x², a | 1 |
| Coëfficiënt van x, b | -3 |
| Constante term c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Aantal snijpunten met de x-as | =ALS(B4>0;2;ALS(B4=0;1;0)) |
Tabel om het omdraaien van de tekens te controleren als de coëfficiënt van x² negatief is
| Coëfficiënt van x², a | -1 |
| Coëfficiënt van x, b | 4 |
| Constante term c | -3 |
| Coëfficiënt van x² maal −1 | =-B1 |
| Coëfficiënt van x maal −1 | =-B2 |
| Constante term maal −1 | =-B3 |
| Discriminant na het omdraaien (gelijk aan die ervoor) | =B5^2-4*B4*B6 |
Na het plakken zijn de bovenste drie rijen (de coëfficiënten a, b en c) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
“^” betekent een macht, WORTEL is de wortel en “&” plakt tekst aan elkaar.
De eerste en de tweede tabel gebruiken allebei a=1, b=−3, c=2 (dus x²−3x+2). De discriminant is 1, de grenswaarden zijn 1 en 2 en de oplossingen zijn “x < 1 of 2 < x” (buiten) en “1 < x < 2” (ertussen). Vul je coëfficiënten in waarbij de discriminant negatief is, dan geeft WORTEL een foutmelding, dus controleer eerst het aantal snijpunten met de derde tabel.
De derde tabel bepaalt alleen de discriminant, en de functie ALS bepaalt ook het aantal snijpunten met de x-as (2, 1 of 0).
De vierde tabel draait alle tekens om als de coëfficiënt van x² negatief is (a=−1, b=4, c=−3). De nieuwe coëfficiënten zijn 1, −4 en 3, en je kunt controleren dat de discriminant zowel voor als na het omdraaien 4 is.
“^” betekent een macht, WORTEL is de wortel en “&” plakt tekst aan elkaar.
De eerste en de tweede tabel gebruiken allebei a=1, b=−3, c=2 (dus x²−3x+2). De discriminant is 1, de grenswaarden zijn 1 en 2 en de oplossingen zijn “x < 1 of 2 < x” (buiten) en “1 < x < 2” (ertussen). Vul je coëfficiënten in waarbij de discriminant negatief is, dan geeft WORTEL een foutmelding, dus controleer eerst het aantal snijpunten met de derde tabel.
De derde tabel bepaalt alleen de discriminant, en de functie ALS bepaalt ook het aantal snijpunten met de x-as (2, 1 of 0).
De vierde tabel draait alle tekens om als de coëfficiënt van x² negatief is (a=−1, b=4, c=−3). De nieuwe coëfficiënten zijn 1, −4 en 3, en je kunt controleren dat de discriminant zowel voor als na het omdraaien 4 is.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor twee nulpunten, buiten (ax²+bx+c > 0)
| Coëfficiënt van x², a | 1 |
| Coëfficiënt van x, b | -3 |
| Constante term c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinste nulpunt α | =(-B2-WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Grootste nulpunt β | =(-B2+WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Oplossing (buiten) | ="x < "&B5&" of "&B6&" < x" |
Tabel voor twee nulpunten, ertussen (ax²+bx+c < 0)
| Coëfficiënt van x², a | 1 |
| Coëfficiënt van x, b | -3 |
| Constante term c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinste nulpunt α | =(-B2-WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Grootste nulpunt β | =(-B2+WORTEL(B4))/(2*B1) |
| Oplossing (ertussen) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabel om de discriminant D = b²−4ac te vinden
| Coëfficiënt van x², a | 1 |
| Coëfficiënt van x, b | -3 |
| Constante term c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Aantal snijpunten met de x-as | =ALS(B4>0;2;ALS(B4=0;1;0)) |
Tabel om het omdraaien van de tekens te controleren als de coëfficiënt van x² negatief is
| Coëfficiënt van x², a | -1 |
| Coëfficiënt van x, b | 4 |
| Constante term c | -3 |
| Coëfficiënt van x² maal −1 | =-B1 |
| Coëfficiënt van x maal −1 | =-B2 |
| Constante term maal −1 | =-B3 |
| Discriminant na het omdraaien (gelijk aan die ervoor) | =B5^2-4*B4*B6 |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier (WORTEL, ALS en & heten in Google Spreadsheets hetzelfde). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
import math
# Coëfficiënten van de kwadratische ongelijkheid (het linkerlid a*x^2 + b*x + c wordt met 0 vergeleken) en het teken (">", ">=", "<" of "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# Maak de coëfficiënt van x^2 positief (is hij negatief, vermenigvuldig dan beide leden met -1 en draai het teken om)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} of {beta} {mark} x" # buiten de twee nulpunten
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # tussen de twee nulpunten
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "alle reële getallen",
"<": "geen oplossing", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "alle reële getallen" if is_greater else "geen oplossing"
print(f"Discriminant D = {discriminant}")
print(f"Oplossing: {answer}")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Maak je van de coëfficiënten fractions.Fraction, dan wordt het teken van de discriminant niet beïnvloed door afrondingsfouten van kommagetallen. Dit voorbeeld is x² − 3x + 2 > 0 en als je het uitvoert, verschijnen twee regels: “Discriminant D = 1” en een regel met de oplossing, x kleiner dan 1 of groter dan 2. Pas de coëfficiënten en het teken aan en voer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) en twee nulpunten (\(>0\) is “buiten de twee nulpunten”)
x < α of β < x
x < \alpha \ \text{of}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> of </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " of " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α of β < x
Positieve coëfficiënt van \(x^{2}\) en twee nulpunten (\(<0\) is “tussen de twee nulpunten”)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
De discriminant (bepaalt de vorm van de oplossing)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
Negatieve coëfficiënt van \(x^{2}\) (vermenigvuldig beide leden met \(-1\) om hem positief te maken)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor algebra. Los het volgende probleem op door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit hoofdrekenen of gokken). Los de kwadratische ongelijkheid x² − 3x + 2 > 0 op. Laat elk van de volgende onderdelen zien: 1. De waarde van de discriminant D = b² − 4ac 2. De grenswaarden (de oplossingen van x² − 3x + 2 = 0) 3. De oplossing (zeg ook of het “buiten de twee nulpunten”, “tussen de twee nulpunten”, “alle reële getallen” of “geen oplossing” is) 4. Als de coëfficiënt van x² negatief zou zijn, laat dan ook de stap zien waarin je beide leden met −1 vermenigvuldigt en het teken omdraait Gebruik in Python zowel solve_univariate_inequality van sympy als een exacte berekening van de discriminant met fractions, en geef pas antwoord nadat je hebt bevestigd dat de uitkomsten overeenkomen.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Abc-formule (kwadratische vergelijking oplossen met de discriminant)
Vul a, b en c in om de kwadratische vergelijking ax²+bx+c=0 op te lossen, met de discriminant en stappen
Kwadraat afsplitsen berekenen (topvorm, top, symmetrieas, maximum en minimum)
Schrijf y=ax²+bx+c met kwadraat afsplitsen in topvorm en bereken de top, de symmetrieas en het maximum of minimum, met stappen en een grafiek
