Vul het aantal termen (hoe ver je gaat) in en klik op “Berekenen”. Je krijgt de eerste paar termen van de rij van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), de n-de term en de som van de eerste n termen in één keer.
Vul het aantal termen n in als een positief geheel getal (1 tot en met 1.000). Alle berekeningen gebruiken exacte gehele getallen, dus ook grote termen hebben geen afrondingsfout in welk cijfer ook.
Resultaat en grafiek
Vul links het aantal termen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een grafiek.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en grafieken
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul slechts één waarde in, het aantal termen (hoe ver je gaat), en je krijgt tegelijk de \(n\)-de term van de rij van Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) en de som van de eerste \(n\) termen
- Het werkt direct voor vragen als “Wat is het 20e getal van Fibonacci? Wat is de som van de eerste 20?”
- Je krijgt exacte waarden, met elk cijfer, tot en met term 1.000 (een getal van 209 cijfers)
- Naast het resultaat laat een grafiek zien hoe de rij van Fibonacci groeit, waarbij elke term de som is van de twee termen ervoor
- Op deze pagina staan ook een uitleg van de formule (de recursieve formule) en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Deze rekenmachine begint de rij van Fibonacci bij 1, als “1, 1, 2, 3, 5, …” (term 1 = 1, term 2 = 1). Sommige boeken zetten er een 0 voor en beginnen met “0, 1, 1, 2, 3, …”. Dan telt de 0 meestal als term 0, dus vanaf term 1 = 1 is de nummering gelijk aan die op deze pagina. (Pas op, want als je de 0 als 1e term telt, schuift elk volgnummer één plaats op.)
Waarvoor is deze berekening handig?
Een klassieke oefening om te leren programmeren (informatica)
De rij van Fibonacci volgt de eenvoudige regel “tel de twee voorgaande termen op”, dus het is een klassieke oefening om lussen en recursie (een functie die zichzelf aanroept) te leren in een inleiding programmeren. Hetzelfde antwoord kan heel verschillende rekentijden kosten afhankelijk van hoe je de code schrijft (gewone recursie heeft een enorm aantal aanroepen nodig om term 50 te bereiken), dus het is ook populair bij colleges over algoritmen.
Er zijn ook een datastructuur (de Fibonacci-heap) en een zoekmethode (Fibonacci-zoeken) naar vernoemd, waardoor het een van de basisbegrippen van de informatica is.
De verhouding van opeenvolgende termen komt dicht bij de gulden snede (wiskunde en ontwerp)
Het is bewezen dat de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci (latere ÷ eerdere) steeds dichter bij de gulden snede \(\varphi = 1{,}618\cdots\) komt naarmate je verder gaat. Er geldt \(55 \div 34 \approx 1{,}6176\) en \(89 \div 55 \approx 1{,}6182\), dus rond term 10 komen ze al op 2 decimalen overeen.
De gulden snede wordt in ontwerp soms gebruikt als evenwichtige verhouding. Van de vorm van een creditcard wordt bijvoorbeeld vaak gezegd dat die er dichtbij komt. Dat de gulden snede opduikt uit een rij die alleen met het optellen van gehele getallen is opgebouwd, is de mooiste eigenschap van de rij van Fibonacci.
Hoe konijnenparen zich vermenigvuldigen (het probleem achter de rij)
De rij van Fibonacci komt uit een probleem in het boek Liber Abaci van de Italiaanse wiskundige Fibonacci uit de 13e eeuw: “Een pasgeboren konijnenpaar krijgt vanaf de leeftijd van 2 maanden elke maand een nieuw paar. Hoe verandert het aantal paren van maand tot maand?” Het aantal paren per maand groeit als 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, en bereikt in maand 12 het aantal van 144 paren.
Echte konijnen vermenigvuldigen zich natuurlijk niet precies zo; het is een geïdealiseerd model. Toch werd het het beginpunt om met rijen te beschrijven hoe een hoeveelheid groeit afhankelijk van de hoeveelheden iets eerder.
Gebruikt voor schattingen in softwareteams (IT en projectmanagement)
Bij agile softwareontwikkeling is het gebruikelijk om werk te schatten met getallen op basis van de rij van Fibonacci, zoals 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (storypoints genoemd).
De verschillen worden groter naarmate de getallen groter worden, wat past bij de werkelijkheid dat grotere taken niet precies te schatten zijn. Het voorkomt ook zinloos fijne discussies als “is dit een 8 of een 9?”.
Te vinden in de spiralen van planten (biologie en natuur)
Er zijn veel voorbeelden gemeld waarbij het aantal spiralen een getal van Fibonacci is (8, 13, 21, 34, 55, …), zoals de spiralen van de zaden in een zonnebloem (bijvoorbeeld 34 de ene kant op en 55 de andere) en de spiralen van de schubben op dennenappels en ananassen. Dit patroon wordt verklaard door hoe planten groeien: nieuwe knoppen en zaden vormen zich in richtingen die de al aanwezige delen niet overlappen.
Niet elke plant of elk exemplaar volgt het, al is het bekend als tendens: veel voorbeelden blijken getallen van Fibonacci te zijn. Probeer de spiralen van een plant bij jou in de buurt te tellen en misschien kom je deze rij tegen.
Formules en grafieken
Formule voor de volgende term (de recursieve formule van Fibonacci)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_{n-1}\)
\(+\)
\(a_{n-2}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(a_n\): \(n\)-de term
\(=\)
①
\(a_{n-1}\): voorgaande term
\(+\)
②
\(a_{n-2}\): term twee plaatsen eerder
De formule in woorden
①
Tel de
\(a_{n-1}\): voorgaande term
en de
②
\(a_{n-2}\): term twee plaatsen eerder
bij elkaar op,
③
en je krijgt de
\(a_n\): \(n\)-de term
Een eenvoudig voorbeeld
In de rij van Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … is term 7 gelijk aan
\(a_7\): term 7
\(=\)
voorgaande term (term 6 = 8)
\(+\)
term twee plaatsen eerder (term 5 = 5)
\(8 + 5 = 13\)
Het belangrijkste idee
Deze formule alleen legt de eerste twee termen niet vast. De rij ligt pas helemaal vast als je de regel (de beginwaarden) toevoegt dat de eerste twee termen allebei \(1\) zijn (\(a_1 = 1;\ a_2 = 1\)).
Een formule die je schrijft als “een regel die de volgende term uit eerdere termen haalt”, zoals deze, heet een recursieve formule. Anders dan de directe formule van een rekenkundige of meetkundige rij (een formule die de waarde geeft zodra je \(n\) invult) ga je hier, om de \(n\)-de term te vinden, terug naar term 2 en tel je je in volgorde omhoog.
Sommige boeken zetten er een \(0\) voor en beginnen met \(0, 1, 1, 2, 3, \cdots\). In die schrijfwijze telt de \(0\) meestal als term 0 (\(a_0 = 0\)), dus vanaf term 1 (\(a_1 = 1;\ a_2 = 1, \cdots\)) zijn de nummers en waarden gelijk aan die op deze pagina. De volgnummers schuiven alleen één plaats op als je de \(0\) als 1e term telt. Deze rekenmachine gebruikt de gangbare schoolboekafspraak: begin met \(1, 1\), met term 1 = 1.
Formule voor de som van de eerste \(n\) termen (de somregel)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S_n\)
\(=\)
\(a_{n+2}\)
\(-\)
\(1\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(S_n\): som van termen 1 t/m \(n\)
\(=\)
①
\(a_{n+2}\): term twee plaatsen verder
\(-\)
②
\(1\)
De formule in woorden
①
Neem de
\(a_{n+2}\): term twee plaatsen verder
, trek er
②
\(1\)
van af,
③
en je krijgt de
\(S_n\): som van termen 1 t/m \(n\)
Een eenvoudig voorbeeld
In de rij van Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … is de som van termen 1 t/m 6 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8) gelijk aan
\(S_6\): som tot en met term 6
\(=\)
term twee plaatsen verder (term 8 = 21)
\(-\)
1
\(21 - 1 = 20\)
Het belangrijkste idee
“Om de som te krijgen, kijk je alleen naar de term twee plaatsen verder en trek je \(1\) af.” Deze handige eigenschap hoort bij de rij van Fibonacci. Je krijgt de som in één stap, zonder de termen één voor één op te tellen.
Waarom werkt het? Lees de recursieve formule als \(a_k = a_{k+2} - a_{k+1}\) (een term is gelijk aan de term twee plaatsen verder min de volgende term). Pas dit toe op elke term van \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\), en naburige delen heffen elkaar de een na de ander op, zodat alleen \(a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} - 1\) overblijft.
Je kunt deze eigenschap gebruiken om de rekenmachine te controleren. De som tot en met term 10 is bijvoorbeeld 143, precies 1 minder dan term 12, die 144 is.
In de rij van Fibonacci is elke term de som van de twee termen ervoor (de eerste twee termen zijn allebei 1). Je vindt de \(n\)-de term stap voor stap met de recursieve formule \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) en de som van termen 1 t/m \(n\) met “neem de term twee plaatsen verder en trek \(1\) af” (\(S_n = a_{n+2} - 1\)).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(n\) | en | Het aantal termen. Een positief geheel getal dat aangeeft hoe ver je in de rij gaat. “Tot en met term 10” is \(n = 10\). |
| \(a_n\) | a n | De \(n\)-de term. Het \(n\)-de getal van de rij. De kleine letter rechtsonder (de index) geeft aan op welke plaats het staat. In de rij van Fibonacci geldt \(a_1 = 1;\ a_2 = 1;\ a_3 = 2;\ a_4 = 3, \cdots\). |
| \(a_{n-1}\) | a n min één | De term vlak voor de \(n\)-de term (één terug). Voor term 10 is dat term 9. De min in de index betekent “één plaats eerder”. |
| \(a_{n-2}\) | a n min twee | De term twee plaatsen voor de \(n\)-de term. Voor term 10 is dat term 8. |
| \(a_{n+2}\) | a n plus twee | De term twee plaatsen na de \(n\)-de term. Voor term 10 is dat term 12. De som van termen 1 t/m \(n\) is gelijk aan deze term min \(1\). |
| \(S_n\) | es n | De som van termen 1 t/m \(n\). Een korte schrijfwijze voor \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). De letter S komt van “som”. |
| \(\varphi\) | fie | Het symbool voor de gulden snede. De waarde is \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\cdots\). De verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci (latere ÷ eerdere) komt steeds dichter bij deze waarde naarmate je verder gaat. |
| \(\cdots\) | puntjes (beletselteken) | Een teken dat zegt dat het patroon op dezelfde manier doorgaat. Als je 1, 1, 2, 3, 5, 8, … schrijft, bedoel je dat de rij doorgaat door telkens de twee voorgaande termen op te tellen. |
Begrippen
| rij | Getallen in een vaste volgorde achter elkaar. Elk getal in de rij heet een term. |
| rij van Fibonacci | Een rij die begint met 1, 1 en dan doorgaat volgens de regel “elke term is de som van de twee termen ervoor”, wat 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … geeft. De naam komt van een probleem over hoe konijnenparen zich vermenigvuldigen, dat de Italiaanse wiskundige Fibonacci in de 13e eeuw in zijn boek beschreef. Elk getal erin heet een getal van Fibonacci. |
| term | Elk getal in een rij. Vanaf het begin heten ze term 1, term 2, enzovoort. |
| eerste term | De allereerste term van een rij, dus term 1. In de rij van Fibonacci (zoals op deze pagina geteld) is het 1. |
| recursieve formule | Een formule die een rij beschrijft als “een regel die de volgende term uit eerdere termen haalt”. De recursieve formule van de rij van Fibonacci is \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\). Je leert recursieve formules in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs. |
| beginwaarden | De waarden van de eerste termen, gegeven samen met een recursieve formule. Voor de rij van Fibonacci zijn de beginwaarden \(a_1 = 1;\ a_2 = 1\). Zonder die waarden legt de recursieve formule alleen de rij niet vast. |
| gulden snede | De verhouding \(1 : \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (ongeveer \(1 : 1{,}618\)). Al sinds de oudheid wordt het gezien als een evenwichtige verhouding en je schrijft haar met het symbool \(\varphi\) (phi). Het is bewezen dat de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci steeds dichter bij de gulden snede komt naarmate je verder gaat. |
| directe formule | De \(n\)-de term geschreven als formule in \(n\). De rij van Fibonacci heeft er ook een die de gulden snede \(\varphi\) gebruikt, de formule van Binet. Ze bevat \(\sqrt{5}\) en is wat ingewikkeld, dus als je alleen de waarde nodig hebt, is stap voor stap optellen met de recursieve formule betrouwbaarder. |
| rekenkundige rij | Een rij waarin het verschil tussen opeenvolgende termen altijd hetzelfde is, zoals 5, 8, 11, 14, … (elke keer 3 erbij). Een rekenkundige rij telt een vast getal op, terwijl de rij van Fibonacci de twee voorgaande termen optelt. |
| meetkundige rij | Een rij waarin de verhouding tussen opeenvolgende termen altijd hetzelfde is, zoals 3, 6, 12, 24, … (elke keer maal 2). De rij van Fibonacci is geen meetkundige rij, maar verderop groeit hij met een bijna constante factor van ongeveer 1,618, dus hij gedraagt zich er veel op. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Optellen van gehele getallen (groep 4-5, 7-9 jaar) |
|
| Getalpatronen (groep 6-8, 9-12 jaar) |
|
| Letters en formules (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Notatie van rijen (bovenbouw havo en vwo, 15-18 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de n-de term te vinden (tot en met term 10)
| Term 1 | 1 |
| Term 2 | 1 |
| Term 3 | =B1+B2 |
| Term 4 | =B2+B3 |
| Term 5 | =B3+B4 |
| Term 6 | =B4+B5 |
| Term 7 | =B5+B6 |
| Term 8 | =B6+B7 |
| Term 9 | =B7+B8 |
| Term 10 | =B8+B9 |
Tabel om de som van termen 1 t/m n te vinden (som tot en met term 10)
| Term 1 | 1 |
| Term 2 | 1 |
| Term 3 | =B1+B2 |
| Term 4 | =B2+B3 |
| Term 5 | =B3+B4 |
| Term 6 | =B4+B5 |
| Term 7 | =B5+B6 |
| Term 8 | =B6+B7 |
| Term 9 | =B7+B8 |
| Term 10 | =B8+B9 |
| Som van termen 1 t/m 10 | =SOM(B1:B10) |
Na het plakken zijn alleen B1 en B2 (de eerste twee termen, allebei 1) invoer. Vanaf B3 berekent elke cel automatisch “de cel één erboven + de cel twee erboven”. In de formules betekent “B1” en “B2” “gebruik het getal in die cel”, is “+” optellen en betekent SOM(B1:B10) “tel alles op van B1 tot en met B10”.
In de eerste tabel staat 55 (term 10) in B10 en in de tweede tabel staat 143 (de som tot en met term 10) in B11. Voor termen verderop selecteer je de onderste cel “=B8+B9” en sleep je het kleine vierkantje rechtsonder in de cel omlaag. Dezelfde regel gaat door (de recursieve formule “tel de twee voorgaande termen op” is precies de celformule).
In de eerste tabel staat 55 (term 10) in B10 en in de tweede tabel staat 143 (de som tot en met term 10) in B11. Voor termen verderop selecteer je de onderste cel “=B8+B9” en sleep je het kleine vierkantje rechtsonder in de cel omlaag. Dezelfde regel gaat door (de recursieve formule “tel de twee voorgaande termen op” is precies de celformule).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de n-de term te vinden (tot en met term 10)
| Term 1 | 1 |
| Term 2 | 1 |
| Term 3 | =B1+B2 |
| Term 4 | =B2+B3 |
| Term 5 | =B3+B4 |
| Term 6 | =B4+B5 |
| Term 7 | =B5+B6 |
| Term 8 | =B6+B7 |
| Term 9 | =B7+B8 |
| Term 10 | =B8+B9 |
Tabel om de som van termen 1 t/m n te vinden (som tot en met term 10)
| Term 1 | 1 |
| Term 2 | 1 |
| Term 3 | =B1+B2 |
| Term 4 | =B2+B3 |
| Term 5 | =B3+B4 |
| Term 6 | =B4+B5 |
| Term 7 | =B5+B6 |
| Term 8 | =B6+B7 |
| Term 9 | =B7+B8 |
| Term 10 | =B8+B9 |
| Som van termen 1 t/m 10 | =SOM(B1:B10) |
Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing. Kopieer de hele tabel en plak die in cel A1. B10 toont 55 (term 10) en in de tweede tabel toont B11 143 (de som). Voor termen verderop sleep je de onderste formulecel omlaag om door te gaan.
Berekenen met Python
number_of_terms = 10 # aantal termen (hoe ver je gaat)
# Rij van Fibonacci: de eerste twee termen zijn 1, daarna is elke term de som van de twee termen ervoor
fibonacci = [1, 1]
while len(fibonacci) < number_of_terms:
fibonacci.append(fibonacci[-1] + fibonacci[-2])
fibonacci = fibonacci[:number_of_terms]
nth_term = fibonacci[-1] # n-de term
sum_of_terms = sum(fibonacci) # som van term 1 t/m n
print(f"Eerste termen: {fibonacci[:10]}")
print(f"Term {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Som van term 1 t/m {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Het werkt met alleen de standaardbibliotheek. Pas het getal bovenaan aan (het aantal termen) en voer het uit. Dit voorbeeld toont 55 voor term 10 en 143 voor de som. Gehele getallen in Python hebben geen limiet aan het aantal cijfers, dus ook met 1.000 termen (term 1.000 heeft 209 cijfers) krijg je de exacte waarde. In fibonacci[-1] is “-1” “het laatste item in de lijst” en [-2] is “het één na laatste”, dus de code schrijft de recursieve formule “tel de twee voorgaande termen op” direct uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Formule voor de volgende term (de recursieve formule van Fibonacci)
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3,\ a_1 = a_2 = 1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mrow>
</math>
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a[n] == a[n - 1] + a[n - 2]
a(n) := a(n - 1) + a(n - 2);
a(n) = a(n - 1) + a(n - 2);
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
Formule voor de som van de eerste \(n\) termen (de somregel)
Sₙ = aₙ₊₂ − 1
S_n = a_{n+2} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
S_n = a_(n+2) - 1
Fibonacci[n + 2] - 1
Sn := a(n + 2) - 1;
S_n = a(n + 2) - 1;
S_n = a_(n+2) - 1
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor berekeningen met de rij van Fibonacci. Voer de volgende berekeningen uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (geef geen antwoord door hoofdrekenen of gokken). Definieer de rij van Fibonacci met a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n ≥ 3). Bereken elke som door de termen echt op te tellen en controleer ook dat die overeenkomt met de eigenschap S_n = a_(n+2) - 1. 1. Term 10 van de rij van Fibonacci en de som van term 1 t/m 10 2. Term 20 van de rij van Fibonacci en de som van term 1 t/m 20 3. Term 50 van de rij van Fibonacci, en term 50 gedeeld door term 49 (controleer ook dat het dicht bij de gulden snede 1,6180… ligt) Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit de uitvoer.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Rekenkundige rij berekenen (n-de term en som)
Bereken de n-de term en de som uit de eerste term, het verschil en het aantal termen (een rij die groeit door hetzelfde getal op te tellen, net als de rij van Fibonacci een van de standaardrijen uit de wiskunde op school)
Meetkundige rij berekenen (n-de term en som)
Bereken de n-de term en de som uit de eerste term, de reden en het aantal termen (een rij die groeit door met hetzelfde getal te vermenigvuldigen; verderop groeit de rij van Fibonacci ook met een bijna constante factor, de gulden snede)
