Plaatmateriaal indelen (hoeveel delen uit een plaat multiplex?)

Vul de afmetingen van de plaat, het zaagverlies, de nerfrichting en de breedte, hoogte en het aantal van elk onderdeel in (maximaal 8 soorten; rijen zonder breedte en hoogte worden genegeerd). De dikte en de prijs per plaat mogen leeg blijven.

Eenheden

Afmetingen van de plaat (breedte × hoogte, mm)

× mm

Zaagverlies (dikte zaagblad, mm)

Dikte (mm, optioneel)

Nerfrichting (onderdelen draaien) Benodigde onderdelen (breedte, hoogte en aantal)

Rij Naam (optioneel) Breedte (mm) Hoogte (mm) Aantal

Prijs per plaat (€, optioneel)

Vul alle lengtes in mm (millimeter) in. Een leeg zaagverlies geldt als 3 mm en een leeg aantal als 1. Heeft een onderdeel geen naam, dan heet het “Onderdeel A” tot “Onderdeel H”.

Resultaat en figuur

Vul links de afmetingen van de plaat en de breedte, hoogte en het aantal van je onderdelen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een tekening van het zaagplan.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en tekeningen
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de afmetingen van de plaat in (kies 2440 × 1220 mm of een ander formaat uit de lijst, of typ ze zelf in) en de breedte, hoogte en het aantal van elk onderdeel dat je nodig hebt (maximaal 8 soorten), en je ziet meteen hoeveel platen je moet kopen
Het zaagverlies (de dikte van het zaagblad, standaard 3 mm) en de nerfrichting (mag je onderdelen een kwartslag draaien?) worden meegerekend. Bij één soort onderdeel telt de rekenmachine een raster van “breed × hoog” (ook met het gedraaide onderdeel en met gedraaide onderdelen in de overgebleven strook). Bij meer soorten worden ze gecombineerd met de rijenmethode: rij voor rij vullen, te beginnen met het hoogste onderdeel
Je krijgt per plaat een gekleurd zaagplan dat laat zien wat waar komt, en een tabel zoals “Plaat 1: Top × 2 + Zij × 2, restant 0,522 m²”. Ook zie je hoeveel platen gecombineerd zagen bespaart ten opzichte van elk onderdeel uit eigen platen zagen
De oppervlakte van het restant, het rendement (totale oppervlakte van de onderdelen ÷ totale oppervlakte van de platen) en het theoretische minimum aantal platen uit de oppervlakte (de ondergrens) staan erbij, met de vraag of het zaagplan daarmee overeenkomt. Vul de prijs per plaat in (optioneel) en je krijgt ook de geschatte kosten
Op deze pagina vind je ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python

Het zaagplan komt uit vaste werkwijzen (heuristieken) (“één soort onderdeel in een raster van breed × hoog leggen” en “de onderdelen op hoogte sorteren en in rijen leggen”, de rijenmethode), dus het levert niet altijd het laagste aantal platen op (de beste oplossing is niet gegarandeerd). Elke zaagsnede loopt in een rechte lijn van de ene rand van de plaat naar de andere (een doorlopende zaagsnede). Zo zaagt ook een plaatzaag, bijvoorbeeld bij een zaagservice van een bouwmarkt of houthandel (alleen rechte zaagsneden; sommige winkels beperken het aantal zaagsneden per plaat). Professionele zaagsoftware doorzoekt ingewikkeldere combinaties, maar dit is nauwkeurig genoeg om te kopen en te zagen bij een klus. Voor een zaagplan op lengte alleen, zoals bij balken, latten en buizen, gebruik je de rekenmachine “Zaagplan maken”.

Waarvoor is deze berekening handig?

Multiplex kopen voor een zelfgemaakte boekenkast, opbergkist of bureau

Stel dat je een klus maakt van multiplex van 2440 × 1220 mm met 2 bovenplaten van 1200 × 600 mm, 4 zijwanden van 940 × 540 mm en 3 legplanken van 800 × 470 mm. Per onderdeel apart kopen kost 3 platen, maar gecombineerd zagen met rijen op hoogte kost er maar 2 (plaat 1: 2 bovenplaten + 2 zijwanden; plaat 2: 2 zijwanden + 3 legplanken).
Platen multiplex zijn log, moeilijk in een auto te krijgen en lastig op te bergen als je er te veel koopt. Als je het aantal platen en het zaagplan vóór het winkelen vastlegt, voorkom je verspilling. Kies “Uitgelijnd houden” bij decoratief multiplex waarvan de nerf op één lijn moet liggen, en “Maakt niet uit” bij constructiemultiplex of platen die je gaat verven, om platen te besparen.

Instructies voor een zaagservice van een bouwmarkt

Veel bouwmarkten en houthandels hebben een zaagservice met een plaatzaag, die alleen in een rechte lijn van de ene rand van de plaat naar de andere kan zagen. Sommige winkels doen een paar zaagsneden gratis en rekenen daarna per zaagsnede, en sommige beperken het aantal zaagsneden per plaat; vraag het na bij jouw winkel. De tekening van het zaagplan op deze pagina volgt zulke zaagsneden (doorlopende zaagsneden), dus je kunt duidelijke instructies geven aan de hand van de tekening, zoals “zaag de plaat eerst door op 600 mm van de bovenrand en zaag de bovenste strook dan op 1200 mm van links” (het zaagverlies is wat het blad wegzaagt, dus de plekken van de zaagsneden zijn de maten van de onderdelen zelf).
Als je de zaagsneden vooraf telt, heb je een idee van de kosten en weet je of je binnen een eventuele limiet blijft. Stel het zaagverlies in op het blad van de plaatzaag van de winkel (vraag het gerust). Sommige winkels zagen heel smalle stroken, hoeken of zaagsneden die halverwege stoppen niet; check het dus eerst als je veel dunne onderdelen nodig hebt.

Het ontwerp afstemmen op maten die goed uit de plaat komen

Een plaat van 2440 × 1220 mm in acht gelijke stukken van 610 × 610 mm verdelen lijkt zonder zaagverlies 8 stuks op te leveren, maar met 3 mm zaagverlies krijg je maar \(\lfloor 2.443 \div 613 \rfloor = 3\) breed en \(\lfloor 1.223 \div 613 \rfloor = 1\) hoog, dus 3 stuks. Maak je ze 606 × 606 mm, dan krijg je \(\lfloor 2.443 \div 609 \rfloor = 4\) breed en \(\lfloor 1.223 \div 609 \rfloor = 2\) hoog, dus 8 stuks.
Als je een maat in het ontwerp een beetje aanpast, kan dat veel schelen in het aantal platen. Probeer met deze rekenmachine vóór het winkelen aanpassingen, zoals de legplanken 4 mm minder diep maken of een bovenplaat in twee stukken verdelen, om materiaal te besparen.

Materiaalplanning in meubelmakerijen, timmerwerkplaatsen en reclamebedrijven (nesting)

In meubelmakerijen, timmerwerkplaatsen, reclamebedrijven (aluminium composietplaten en acrylplaten) en plaatwerkerijen vormt het materiaal een groot deel van de kosten, dus hoe onderdelen uit platen worden gezaagd (nesting) en het rendement worden elke dag bijgehouden. Het “rendement” op deze pagina, de totale oppervlakte van de onderdelen gedeeld door de totale oppervlakte van de platen, heeft dezelfde definitie als in de industrie.
In echte bedrijven worden honderden soorten onderdelen ingedeeld, dus gebruiken ze speciale nestingsoftware. De rijenmethode is een klassieke heuristiek voor het indelen van rechthoeken in het vlak en een van de ideeën achter zulke software.

Acrylplaat, glas, gipsplaat, decoratieve platen en ander plaatmateriaal

Alles waarbij je rechthoeken uit platen van een standaardformaat zaagt, reken je met dezelfde formules als multiplex: acryl- en pvc-platen, gipsplaat, decoratieve platen, OSB enzovoort. Bij materialen die je kerft en breekt, zoals glas of gipsplaat, stel je het zaagverlies in op 0 (bij tegels ook, als je een handmatige tegelsnijder gebruikt; gebruik je een natte zaag, vul dan de breedte van het blad in), en kies je bij materialen zonder nerf “Maakt niet uit” om het aantal te verlagen.
Glas en dun acryl scheuren makkelijk en platen met een patroon hebben beperkingen in de richting, dus pas het zaagverlies en het draaien aan op het materiaal.

Formules en tekeningen

Aantal stuks per plaat bij één soort onderdeel

Tekening

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(W\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(w\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(H\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(h\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(m\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(r\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(c\): aantal breed \(=\) \(\lfloor\) \((\) ① \(W\): breedte van de plaat \(+\) ② \(k\): zaagverlies \()\) \(\div\) \((\) ③ \(w\): breedte van het onderdeel \(+\) \(k\): zaagverlies \()\) \(\rfloor\)

⑦ \(r\): aantal hoog \(=\) \(\lfloor\) \((\) ⑤ \(H\): hoogte van de plaat \(+\) \(k\): zaagverlies \()\) \(\div\) \((\) ⑥ \(h\): hoogte van het onderdeel \(+\) \(k\): zaagverlies \()\) \(\rfloor\)

⑧ \(m\): aantal stuks per plaat \(=\) \(c\): aantal breed \(\times\) \(r\): aantal hoog

De formule in woorden

① Tel bij de \(W\): breedte van de plaat het

② \(k\): zaagverlies op en deel het resultaat door de

③ \(w\): breedte van het onderdeel plus het zaagverlies \(k\). Rond af naar beneden op een geheel getal (het teken \(\lfloor\ \rfloor\) betekent “naar beneden afronden”) en je krijgt het

④ \(c\): aantal breed . Deel op dezelfde manier de

⑤ \(H\): hoogte van de plaat plus het zaagverlies door de

⑥ \(h\): hoogte van het onderdeel plus het zaagverlies en rond naar beneden af voor het

⑦ \(r\): aantal hoog . Vermenigvuldig deze twee en je krijgt het

⑧ \(m\): aantal stuks per plaat

Een eenvoudig voorbeeld

Als je legplanken van 800 × 500 mm zaagt uit een plaat multiplex van 2440 × 1220 mm met een zaagverlies van 3 mm, krijg je per plaat

\(c\): aantal breed \(=\) \(\lfloor\) \((\) breedte plaat (2.440 mm) \(+\) zaagverlies (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) breedte onderdeel (800 mm) \(+\) zaagverlies (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(r\): aantal hoog \(=\) \(\lfloor\) \((\) hoogte plaat (1.220 mm) \(+\) zaagverlies (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) hoogte onderdeel (500 mm) \(+\) zaagverlies (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(m\): aantal stuks per plaat \(=\) \(c\): aantal breed \(\times\) \(r\): aantal hoog

\(c = \lfloor 2.443 \div 803 \rfloor = \lfloor 3{,}04 \cdots \rfloor = 3\)

\(r = \lfloor 1.223 \div 503 \rfloor = \lfloor 2{,}43 \cdots \rfloor = 2\)

\(m = 3 \times 2 = 6\)

Het belangrijkste idee

Om \(n\) stuks naast elkaar te leggen, moeten de breedtes van \(n\) stuks plus \(n - 1\) keer het zaagverlies ertussen in de breedte van de plaat passen (het laatste stuk loopt tot de rand van de plaat, dus daar is geen zaagsnede nodig). Dat is \(n \times w + (n - 1) \times k \le W\) en als je aan beide kanten \(k\) optelt, wordt het \(n \times (w + k) \le W + k\). Deel je dus “breedte van de plaat + zaagverlies” door “breedte van het onderdeel + zaagverlies” en rond je naar beneden af, dan heb je het aantal naast elkaar. Met de hoogte gaat het net zo, dus tweedimensionaal zagen is een vermenigvuldiging: “aantal breed × aantal hoog”. Deze formule gebruikt de fabrieksrand van de plaat als rand van de onderdelen. Zijn de randen beschadigd of niet haaks en zaag je ze eraf, vul dan de maat van de plaat min wat je afzaagt in. Het zaagverlies negeren kan een verkeerd aantal geven. Een plaat van 2440 × 1220 mm in acht gelijke stukken van 610 × 610 mm verdelen lijkt zonder zaagverlies 4 breed × 2 hoog = 8 stuks op te leveren. Met 3 mm zaagverlies krijg je maar \(\lfloor 2.443 \div 613 \rfloor = 3\) breed en \(\lfloor 1.223 \div 613 \rfloor = 1\) hoog, dus 3 stuks (het vierde stuk breed is 9 mm te kort en de tweede rij 3 mm). Maakt de nerfrichting niet uit, dan telt deze rekenmachine hetzelfde met het onderdeel een kwartslag gedraaid (breedte en hoogte verwisseld) en neemt ze het grootste aantal. Ook probeert ze gedraaide onderdelen in de strook rechts of onderaan het raster te leggen (bij de zijwanden van 940 × 540 mm hieronder past bijvoorbeeld 2 breed × 2 hoog = 4, plus 1 gedraaid onderdeel in de strook van 557 mm rechts, samen 5). Deze eenvoudige telling geldt voor één soort onderdeel; meerdere soorten onderdelen combineer je met de rijenmethode hieronder.

Aantal platen bij los kopen per onderdeel

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(B_i\) \(=\) \(\lceil\) \(q_i\) \(\div\) \(m_i\) \(\rceil\)

\(B_{\text{sep}}\) \(=\) \(B_1 + B_2 + \cdots\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(B_i\): aantal platen dat nodig is voor alleen onderdeel \(i\) \(=\) \(\lceil\) ① \(q_i\): benodigd aantal van onderdeel \(i\) \(\div\) ② \(m_i\): aantal stuks per plaat \(\rceil\)

⑤ \(B_{\text{sep}}\): totaal aantal platen bij los kopen \(=\) ④ som van de platen per onderdeel \(B_1,\ B_2,\ \ldots\)

De formule in woorden

① Deel het \(q_i\): benodigd aantal van onderdeel \(i\) door het

② \(m_i\): aantal stuks per plaat en rond naar boven af op een geheel getal (het teken \(\lceil\ \rceil\) betekent “naar boven afronden”) en je krijgt het

③ \(B_i\): aantal platen dat nodig is voor alleen onderdeel \(i\) . De

④ som van de platen per onderdeel \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) is het

⑤ \(B_{\text{sep}}\): totaal aantal platen bij los kopen

Een eenvoudig voorbeeld

Uit platen van 2440 × 1220 mm (zaagverlies 3 mm, onderdelen mogen draaien) zaag je 2 bovenplaten van 1200 × 600 mm, 4 zijwanden van 940 × 540 mm en 3 legplanken van 800 × 470 mm. Zaag je elk soort onderdeel uit eigen platen, dan heb je nodig

\(\text{Top}: \lceil 2 \div 4 \rceil = 1,\quad \text{Zij}: \lceil 4 \div 5 \rceil = 1,\quad \text{Plank}: \lceil 3 \div 6 \rceil = 1\)

\(B_{\text{sep}} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Het belangrijkste idee

Deze eenvoudige telling koopt voor elk soort onderdeel aparte platen: “platen voor de bovenplaten”, “platen voor de zijwanden” enzovoort. Uit één plaat haal je 4 bovenplaten (2 breed × 2 hoog), dus voor 2 bovenplaten heb je 1 plaat nodig (met nog 2 stuks over). Uit één plaat haal je 5 zijwanden (2 breed × 2 hoog, plus 1 gedraaid in de strook van 557 mm rechts), dus voor 4 zijwanden heb je 1 plaat nodig. Uit één plaat haal je 6 legplanken (3 breed × 2 hoog), dus voor 3 legplanken heb je 1 plaat nodig (met nog 3 stuks over). Dat is samen 3 platen. Deze manier is makkelijk te bedenken en te zagen, maar de platen voor de bovenplaten en de legplanken houden veel restant over. De rijenmethode hieronder vult dat restant met andere onderdelen, zodat je minder platen nodig hebt.

Rijenmethode (wanneer onderdelen in een rij passen en wanneer rijen op een plaat passen)

Tekening

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(w_1 + w_2 + \cdots + w_n\) \(+\) \((n - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leq\) \(W\)

\(h_1 + h_2 + \cdots + h_s\) \(+\) \((s - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leq\) \(H\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① som van de breedtes van de onderdelen in één rij \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) \(+\) ② aantal onderdelen in de rij \(n\), min 1 \(\times\) ③ \(k\): zaagverlies \(\leq\) ④ \(W\): breedte van de plaat

⑤ som van de hoogtes van de rijen (elk de hoogte van het hoogste onderdeel in die rij) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) \(+\) ⑥ aantal rijen \(s\), min 1 \(\times\) \(k\): zaagverlies \(\leq\) ⑦ \(H\): hoogte van de plaat

De formule in woorden

① Is de som van de breedtes van de onderdelen in één rij \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) plus het

② aantal onderdelen in de rij \(n\), min 1 keer het

③ \(k\): zaagverlies (het totale zaagverlies tussen de onderdelen) niet groter dan de

④ \(W\): breedte van de plaat , dan passen de onderdelen in die rij. Past op dezelfde manier de

⑤ som van de hoogtes van de rijen \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) plus het

⑥ aantal rijen \(s\), min 1 keer het zaagverlies \(k\) niet groter dan de

⑦ \(H\): hoogte van de plaat , dan passen de rijen op die plaat

Een eenvoudig voorbeeld

Leg je het voorbeeld hierboven (2 bovenplaten van 1200 × 600 mm, 4 zijwanden van 940 × 540 mm en 3 legplanken van 800 × 470 mm, zaagverlies 3 mm) met de rijenmethode op platen van 2440 × 1220 mm, dan krijgt plaat 1 twee rijen: “2 bovenplaten” en “2 zijwanden”

\(\text{Rij 1 (hoogte 600)}: 1.200 + 1.200 + 1 \times 3 = 2.403 \leq 2.440\)

\(\text{Rij 2 (hoogte 540)}: 940 + 940 + 1 \times 3 = 1.883 \leq 2.440\)

\(\text{Totale hoogte van de rijen}: 600 + 540 + 1 \times 3 = 1.143 \leq 1.220\)

Het belangrijkste idee

De rijenmethode (FFDH, First Fit Decreasing Height) bepaalt het zaagplan in deze stappen. (1) Sorteer alle onderdelen van hoog naar laag (onderdelen van dezelfde hoogte van breed naar smal, en daarna in de volgorde van de ingevulde rijen). (2) Leg elk onderdeel, te beginnen bij het eerste, in de eerste bestaande rij waarin het in de resterende breedte past en niet hoger is dan de rij. Maakt de nerfrichting niet uit, dan telt ook een rij waarin het onderdeel gedraaid past. (3) Heeft geen enkele rij ruimte, begin dan een nieuwe rij op de eerste plaat die nog genoeg hoogte over heeft voor het onderdeel. Is die er niet, voeg dan een nieuwe plaat toe. De hoogte van een rij is de hoogte van het eerste onderdeel dat erin ligt (het hoogste onderdeel van die rij). Binnen een rij schuift elk onderdeel “breedte + zaagverlies” naar rechts en elke rij schuift “hoogte + zaagverlies” naar beneden, wat de twee ongelijkheden hierboven geeft. Door de plaat in rijen te verdelen, loopt elke zaagsnede in een rechte lijn van de ene rand van de plaat naar de andere (een doorlopende zaagsnede), dezelfde zaagsneden die een plaatzaag van een zaagservice kan maken. Deze rekenmachine probeert elke combinatie van de richting van de onderdelen (maakt de nerfrichting niet uit: lange zijde breed, lange zijde hoog of zoals ingevuld) en de richting van de rijen (rijen naast elkaar of stroken boven elkaar) en gebruikt de combinatie met de minste platen. Ze vergelijkt dit ook met “eerst platen vullen met één soort onderdeel en de rest in rijen leggen” en met “elk onderdeel uit eigen platen zagen” en toont de laagste. Toch zijn er bij tweedimensionaal zagen enorm veel combinaties en is niet gegarandeerd dat dit het minste aantal platen is. Professionele zaagsoftware doorzoekt ingewikkeldere combinaties, ook met zaagsneden die niet van rand tot rand lopen, maar bij een klus thuis is het praktisch om dit resultaat als richtlijn te gebruiken en van het restant kleine dingen te maken.

Oppervlakte van het restant en rendement

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(A_{\text{off}}\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \(-\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

\(Y\) \(=\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑤ \(A_{\text{off}}\): oppervlakte van het restant \(=\) ① \(B\): aantal platen \(\times\) ② \(W\): breedte van de plaat \(\times\) ③ \(H\): hoogte van de plaat \(-\) ④ \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\): totale oppervlakte van alle onderdelen

⑥ \(Y\): rendement (%) \(=\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\): totale oppervlakte van alle onderdelen \(\div\) \((\) \(B\): aantal platen \(\times\) \(W\): breedte van de plaat \(\times\) \(H\): hoogte van de plaat \()\) \(\times\) \(100\)

De formule in woorden

① Vermenigvuldig het \(B\): aantal platen met de

② \(W\): breedte van de plaat en de

③ \(H\): hoogte van de plaat (de totale oppervlakte van de platen die je koopt) en trek daar de

④ \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\): totale oppervlakte van alle onderdelen van af. Dat geeft de

⑤ \(A_{\text{off}}\): oppervlakte van het restant . Deel je de totale oppervlakte van de onderdelen door de totale oppervlakte van de platen en vermenigvuldig je met 100, dan krijg je het

⑥ \(Y\): rendement (%)

Een eenvoudig voorbeeld

Voor het voorbeeld hierboven (2 bovenplaten, 4 zijwanden en 3 legplanken op twee platen van 2440 × 1220 mm) zijn de oppervlakte van het restant en het rendement

\(\sum q\,w\,h = 2 \times 1.200 \times 600 + 4 \times 940 \times 540 + 3 \times 800 \times 470\)

\(= 1.440.000 + 2.030.400 + 1.128.000 = 4.598.400\ \text{mm}^2\)

\(A_{\text{off}} = 2 \times 2.440 \times 1.220 - 4.598.400 = 1.355.200\ \text{mm}^2 \approx 1{,}355\ \text{m}^2\)

\(Y = 4.598.400 \div 5.953.600 \times 100 \approx 77{,}2\%\)

Het belangrijkste idee

De oppervlakte van het restant is het verschil tussen de oppervlakte van de platen die je koopt en de oppervlakte die je voor onderdelen gebruikt, dus daar zit ook bij wat bij het zaagverlies in zaagsel verandert (3 mm zaagverlies langs een zaagsnede van 2.440 mm kost 2.440 × 3 = 7.320 mm², en dat loopt op met meer onderdelen). 1 m² = 1.000.000 mm², dus deel een waarde in mm² door 1.000.000 om m² te krijgen. Het rendement is het aandeel van het materiaal dat onderdeel wordt. Hoe dichter bij 100%, hoe minder verspilling. Het hangt sterk af van hoe goed de maten van de onderdelen bij de maat van de plaat passen (maten die precies in de plaat gaan, geven een hoog rendement; vreemde maten of veel soorten onderdelen een lager) en wat restant is bij een klus thuis heel normaal. Van restant kun je kleine plankjes of dragers maken, dus het rendement alleen bepaalt niet of een zaagplan goed is.

Theoretisch minimum aantal platen uit de oppervlakte (ondergrens)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(B_{\min}\): theoretisch minimum aantal platen \(=\) \(\lceil\) ① \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\): som van (breedte + zaagverlies) × (hoogte + zaagverlies) van alle onderdelen \(\div\) ② \((W + k)(H + k)\): (breedte plaat + zaagverlies) × (hoogte plaat + zaagverlies) \(\rceil\)

De formule in woorden

① Deel de \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\): som van (breedte + zaagverlies) × (hoogte + zaagverlies) van alle onderdelen door

② \((W + k)(H + k)\): (breedte plaat + zaagverlies) × (hoogte plaat + zaagverlies) en rond naar boven af voor het

③ \(B_{\min}\): theoretisch minimum aantal platen

Een eenvoudig voorbeeld

Voor het voorbeeld hierboven (2 bovenplaten van 1200 × 600 mm, 4 zijwanden van 940 × 540 mm en 3 legplanken van 800 × 470 mm, platen van 2440 × 1220 mm, zaagverlies 3 mm) is het theoretische minimum

\(2 \times 1.203 \times 603 + 4 \times 943 \times 543 + 3 \times 803 \times 473\)

\(= 1.450.818 + 2.048.196 + 1.139.457 = 4.638.471\)

\((2.440 + 3) \times (1.220 + 3) = 2.443 \times 1.223 = 2.987.789\)

\(4.638.471 \div 2.987.789 \approx 1{,}55,\quad \lceil 1{,}55 \rceil = 2\)

Het belangrijkste idee

Hoe slim je de onderdelen ook legt, ze passen nooit op platen met minder oppervlakte dan de onderdelen. Reken je het zaagverlies mee, dan neemt elk onderdeel \((w + k) \times (h + k)\) in beslag en biedt elke plaat \((W + k) \times (H + k)\); de uitkomst van de deling naar boven afgerond is de ondergrens die alleen door de oppervlakte wordt bepaald (je kunt nooit met minder platen toe). In het voorbeeld komen de 2 platen van de rijenmethode overeen met de ondergrens van 2, dus 2 is bevestigd als het optimale aantal. Bij tweedimensionaal zagen passen onderdelen vaak toch niet, ook al is er genoeg oppervlakte, doordat de vormen niet bij elkaar passen. Zaag je bijvoorbeeld één bureaublad van 2400 × 600 mm en twee zijkanten van 650 × 650 mm uit een plaat van 2440 × 1220 mm, dan is de ondergrens uit de oppervlakte 1 plaat. Maar de hoogte onder het bureaublad is \(1.220 - 600 - 3 = 617\) mm, dus de zijkanten van 650 mm passen er niet in en je hebt 2 platen nodig. Het verschil tussen de ondergrens en het werkelijke aantal is groter dan bij het zagen van hout op lengte. Staat er in het resultaat “Benadering”, dan geeft een andere combinatie dus niet per se minder platen.

Bespaarde platen en geschatte kosten

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\Delta\) \(=\) \(B_{\text{sep}}\) \(-\) \(B\)

\(T\) \(=\) \(u\) \(\times\) \(B\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\Delta\): bespaarde platen \(=\) ① \(B_{\text{sep}}\): aantal platen bij los kopen \(-\) ② \(B\): aantal platen bij gecombineerd zagen

⑤ \(T\): geschatte kosten \(=\) ④ \(u\): prijs per plaat \(\times\) \(B\): aantal platen bij gecombineerd zagen

De formule in woorden

① Trek het \(B_{\text{sep}}\): aantal platen bij los kopen af van het

② \(B\): aantal platen bij gecombineerd zagen en je krijgt de

③ \(\Delta\): bespaarde platen . Vermenigvuldig de

④ \(u\): prijs per plaat met het aantal platen bij gecombineerd zagen \(B\) en je krijgt de

⑤ \(T\): geschatte kosten

Een eenvoudig voorbeeld

Kost een plaat in het voorbeeld hierboven € 85, dan zijn de bespaarde platen en de kosten

\(\Delta = 3 - 2 = 1\)

\(T = 85 \times 2 = 170\)

\(85 \times 3 - 170 = 85\)

Het belangrijkste idee

Los kopen kost \(u \times B_{\text{sep}}\) en gecombineerd zagen kost \(u \times B\), dus het verschil is \(u \times \Delta\). Vul de prijs van één plaat in als prijs per plaat. De kosten gelden alleen voor de platen: de kosten van zaagwerk (sommige winkels rekenen per zaagsnede, vaak na een paar gratis zaagsneden), bezorging, afwerking enzovoort zitten er niet in. Wil je de kosten van het zagen schatten, tel dan de zaaglijnen in de tekening van het zaagplan.

Bij één soort onderdeel geeft “(breedte van de plaat + zaagverlies) ÷ (breedte van het onderdeel + zaagverlies), naar beneden afgerond” maal “hetzelfde voor de hoogte” het aantal stuks per plaat. Meerdere soorten onderdelen combineer je met de rijenmethode, rij voor rij gevuld te beginnen met het hoogste onderdeel (elke zaagsnede loopt van rand tot rand, een doorlopende zaagsnede); komt het resultaat overeen met de ondergrens uit de oppervlakte, dan kan het niet met minder platen. Komt het niet overeen, dan haal je de ondergrens bij tweedimensionaal zagen door de vorm van de onderdelen vaak niet, en is het zaagplan van deze rekenmachine een richtlijn die het beste antwoord niet garandeert.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(W\)	hoofdletter W	De breedte van de plaat (mm), de lengte van de ene zijde naar de andere van één plaat die je koopt. De eerste letter van “breedte” (width), als hoofdletter om het te onderscheiden van de breedte van een onderdeel \(w\).
\(H\)	hoofdletter H	De hoogte van de plaat (mm), de lengte van boven naar beneden van één plaat. De eerste letter van “hoogte” (height), als hoofdletter om het te onderscheiden van de hoogte van een onderdeel \(h\). Maakt de nerfrichting niet uit, dan verandert het aantal niet als je breedte en hoogte verwisselt (bij “Uitgelijnd houden” moet het bij de richting van de onderdelen passen).
\(w\), \(w_i\)	w, w index i	De breedte van een onderdeel (een stuk dat je wilt zagen, mm). De \(i\) in \(w_i\) is het nummer van de soort onderdeel (“de \(i\)-de soort”), omdat er meerdere soorten zijn, zoals bovenplaten, zijwanden en legplanken.
\(h\), \(h_i\)	h, h index i	De hoogte van een onderdeel (mm). In de formule van de rijenmethode staan \(h_1,\ h_2,\ \ldots\) ook voor de hoogte van elke rij (de hoogte van het hoogste onderdeel in die rij).
\(k\)	k	Het zaagverlies (de dikte van het zaagblad, mm). Bij elke zaagsnede gaat zoveel van de plaat verloren. De letter komt van het Engelse “kerf” (de zaagsnede).
\(c\)	c	Het aantal stuks naast elkaar langs de breedte van de plaat als je één soort onderdeel zaagt, berekend met \(\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor\). De eerste letter van “column” (kolom).
\(r\)	r	Het aantal stuks boven elkaar langs de hoogte van de plaat als je één soort onderdeel zaagt, berekend met \(\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor\). De eerste letter van “row” (rij).
\(m\), \(m_i\)	m, m index i	Het aantal stuks per plaat als je één soort onderdeel zaagt: het aantal breed \(c\) maal het aantal hoog \(r\), \(m = c \times r\).
\(q_i\)	q index i	Het benodigde aantal van onderdeel \(i\), van de eerste letter van “quantity” (hoeveelheid).
\(B_i\)	B index i	Het aantal platen dat nodig is voor alleen onderdeel \(i\), berekend met \(\lceil q_i \div m_i \rceil\).
\(B_{\text{sep}}\)	B sep	Het totale aantal platen als je elk onderdeel uit eigen platen zaagt (los koopt): alle \(B_i\) bij elkaar opgeteld. “sep” staat voor “separaat” (los).
\(B\)	B	Het aantal platen dat je nodig hebt bij gecombineerd zagen (rijenmethode en dergelijke). Dit is het belangrijkste antwoord op deze pagina.
\(n\)	n	Het aantal onderdelen naast elkaar in één rij. Daartussen zitten \(n - 1\) keer zaagverlies, dus het komt voor in de voorwaarde om in een rij te passen. De eerste letter van “number” (aantal).
\(s\)	s	Het aantal rijen op één plaat. Daartussen zitten \(s - 1\) keer zaagverlies, dus het komt voor in de voorwaarde dat de rijen passen. De eerste letter van “shelf”, want de rijen heten in de rijenmethode in het Engels “shelves”.
\(A_{\text{off}}\)	A off	De oppervlakte van het restant (mm², m²). Het is de totale oppervlakte van de gekochte platen min de totale oppervlakte van de onderdelen, en daar zit ook bij wat bij het zaagverlies in zaagsel verandert. De \(A\) is de eerste letter van “area” (oppervlakte) en “off” staat voor “offcut” (restant).
\(Y\)	Y	Het rendement (%), de totale oppervlakte van de onderdelen gedeeld door de totale oppervlakte van de platen, maal 100. De eerste letter van “yield” (opbrengst).
\(B_{\min}\)	B min	Het theoretische minimum aantal platen uit de oppervlakte (de ondergrens), berekend met \(\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil\). Komt het aantal platen bij gecombineerd zagen \(B\) daarmee overeen, dan is het zaagplan optimaal. “min” is de afkorting van minimum.
\(\Delta\)	delta	Het aantal bespaarde platen, \(B_{\text{sep}} - B\). De Griekse letter delta wordt vaak gebruikt voor een verschil (het komt overeen met de d van “difference”).
\(u\)	u	De prijs van één plaat (€), van “unit price” (prijs per stuk).
\(T\)	T	De geschatte kosten (€), van de eerste letter van “total” (totaal). Het gaat alleen om de platen, niet om zaagkosten of bezorging.
\(\lfloor x \rfloor\)	entier van x (naar beneden afronden)	Het teken voor naar beneden afronden op een geheel getal. (Voorbeeld: \(\lfloor 3{,}04 \rfloor = 3\), \(\lfloor 2 \rfloor = 2\).) Het aantal stuks dat je kunt zagen laat het deel weg dat niet meer past, daarom gebruiken we dit teken.
\(\lceil x \rceil\)	plafond van x (naar boven afronden)	Het teken voor naar boven afronden op een geheel getal. (Voorbeeld: \(\lceil 1{,}55 \rceil = 2\), \(\lceil 2 \rceil = 2\).) Het aantal platen dat je koopt gaat met één omhoog voor wat er nog tekortkomt, daarom gebruiken we dit teken.
\(\sum\)	sigma	Het teken voor “alles optellen”. \(\sum_i q_i w_i h_i\) betekent: bereken voor elke soort onderdeel \(i\) het product \(q_i w_i h_i\) (aantal × breedte × hoogte) en tel alles op. Het is de Griekse hoofdletter sigma, de S van “som”.

Begrippen

plaat	De grote plaat waaruit je de onderdelen zaagt. Het kan elk plaatmateriaal zijn dat in standaardformaten wordt verkocht, zoals multiplex, MDF, decoratieve platen, acryl of plaatstaal. Deze pagina behandelt het als een rechthoek van breedte \(W\) × hoogte \(H\).
zaagplan	Bepalen hoe je de onderdelen die je nodig hebt uit de platen zaagt (ook wel zaaglijst of snijplan genoemd). Deze pagina behandelt tweedimensionaal zagen, waarbij zowel de breedte als de hoogte telt; zagen op lengte alleen, zoals bij balken en buizen, doe je met de rekenmachine “Zaagplan maken”.
zaagverlies	De breedte van het materiaal die bij elke zaagsnede verloren gaat, gelijk aan de dikte van het zaagblad. Veel cirkelzaagbladen en plaatzagen hebben een blad van ongeveer 1,5 tot 3 mm dik. Kijk of de dikte op je zaagblad staat en vul die in als je die weet. Het loopt op bij elke zaagsnede, dus het telt het zwaarst als je veel kleine onderdelen zaagt.
nerfrichting	De richting van de houtvezels, die je ziet als het patroon op het oppervlak van een plaat. Bij decoratief multiplex of massief hout zien onderdelen er raar uit als de nerf niet overal dezelfde kant op loopt, dus soms mag je onderdelen niet een kwartslag draaien. Op deze pagina kies je bij “Nerfrichting” of onderdelen mogen draaien. Bij constructiemultiplex of platen die je gaat verven is “Maakt niet uit” prima.
doorlopende zaagsnede (guillotinesnede)	Een zaagsnede die in een rechte lijn van de ene rand van de plaat naar de andere loopt. De stukken zaag je daarna weer van rand tot rand, enzovoort, tot de onderdelen los zijn. De plaatzagen van een zaagservice kunnen alleen zo zagen, dus deze rekenmachine beperkt het zaagplan tot vormen die zo te zagen zijn (rijenmethode). Zaagsneden die halverwege stoppen (L-vormige uitsparingen) kunnen soms nog dichter bij elkaar passen, maar ze zijn ook lastig met een cirkelzaag thuis, dus ze worden niet gebruikt.
rijenmethode (FFDH)	Een werkwijze voor het zaagplan waarbij je de onderdelen van hoog naar laag sorteert en van boven naar beneden rijen over de plaat vult. FFDH staat voor First Fit Decreasing Height (hoogste eerst, in de eerste rij waar het past), een klassieke heuristiek voor het indelen van rechthoeken in het vlak. Elke zaagsnede loopt van rand tot rand, dus het zaagplan kan direct naar een zaagservice. Voor zo’n eenvoudige werkwijze geeft het goede resultaten, maar niet altijd het minste aantal platen.
restant	Het materiaal dat overblijft nadat de onderdelen zijn gezaagd, zoals lange smalle stroken aan de rand van de plaat of reststukjes aan het eind van een rij. Hoe minder restant, hoe minder verspild materiaal en hoe hoger het rendement. Van grote restanten kun je kleine plankjes of dragers maken.
rendement	Het aandeel van het materiaal dat product (onderdelen) is geworden. Op deze pagina is het “totale oppervlakte van de onderdelen ÷ totale oppervlakte van de gekochte platen” en het komt dichter bij 100% met minder restant en minder zaagverlies.
ondergrens	Een waarde waar je, hoe slim je ook bent, nooit onder komt. Het theoretische minimum aantal platen op deze pagina is een ondergrens uit de oppervlakte; gebruikt het zaagplan zoveel platen, dan is het optimaal. Ook als dat niet zo is, haal je de ondergrens bij tweedimensionaal zagen door de vorm van de onderdelen vaak niet.
optimale oplossing	Het beste antwoord van alle mogelijke manieren. Hier is dat het zaagplan met het minste aantal platen. Komt het aantal platen bij gecombineerd zagen overeen met de ondergrens, dan is het een optimale oplossing; zo niet, dan doorzoekt deze rekenmachine niet alle combinaties en kan ze dus niet zeggen of het zaagplan optimaal is.
heuristiek (vuistregel)	Een methode die met vaste stappen snel een goed antwoord vindt, maar niet garandeert dat het beste antwoord eruit komt. Bij combinatieproblemen zoals een zaagplan loopt het aantal mogelijke indelingen enorm op als er onderdelen bijkomen, zodat je niet alle kunt proberen en heuristieken in de praktijk veel worden gebruikt. De rijenmethode en het raster op deze pagina zijn ook heuristieken.
multiplex	Een plaat die is gemaakt door dunne lagen hout (fineer) op elkaar te lijmen, steeds met de nerf haaks op de laag eronder. Het trekt weinig krom en kan in grote platen worden gemaakt, dus het wordt veel gebruikt voor kasten, kisten en vloeren. Er is constructiemultiplex, geschuurd multiplex (zoals berken of populier) en decoratief multiplex. Gebruikelijke diktes zijn bijvoorbeeld 9, 12 en 18 mm. In Nederland is een plaat multiplex meestal 2440 of 2500 mm lang en 1220 mm breed.
OSB	Oriented strand board, een plaat van geperste en gelijmde houtspanen. Het is een veelgebruikt, goedkoop plaatmateriaal voor wanden, daken en vloeren, dat net als multiplex in grote platen wordt verkocht. Het oppervlak is ruw, dus het wordt vooral gebruikt waar het afgewerkt wordt.
standaardplaat 2440 × 1220 mm	Het veelgebruikte plaatformaat van 2440 × 1220 mm (8 × 4 ft) voor multiplex en andere platen. Het is de standaardkeuze op deze pagina. Ook 2500 × 1220 mm komt voor. Het formaat verschilt per product en winkel, dus vul de maat van jouw plaat in.
grote plaat 3050 × 1525 mm	Een groter plaatformaat van 3050 × 1525 mm (10 × 5 ft), dat vooral bij berkenmultiplex voorkomt. Gebruik het voor hoge wanden en lange onderdelen zonder naad. Controleer de exacte maat van het product dat je koopt en vul die in.
kleine plaat	Een kleinere, voorgezaagde plaat die in bouwmarkten wordt verkocht. Hij is makkelijker mee te nemen, maar kost per vierkante meter meestal meer dan een hele plaat van 2440 × 1220 mm.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.

Delen met rest (groep 5-6, 8-10 jaar)	Weten dat bij een deling zoals “2.440 ÷ 800 = 3 rest 40” het quotiënt aangeeft hoeveel stuks naast elkaar passen en de rest hoeveel er overblijft
Afronden (groep 5-6, 8-10 jaar)	Het verschil weten tussen naar beneden afronden, naar boven afronden en afronden op het dichtstbijzijnde getal In je eigen woorden kunnen uitleggen waarom je het aantal stuks dat je kunt zagen naar beneden afrondt, maar het aantal platen dat je koopt naar boven
Oppervlakte van een rechthoek (groep 5-6, 8-10 jaar)	Weten dat de oppervlakte van een rechthoek breedte × hoogte is, en kunnen omrekenen tussen mm² en m² (\(1\,\text{m}^2 = 1.000.000\,\text{mm}^2\))
Verhoudingen en procenten (groep 7, 10-11 jaar)	Een verhouding kunnen weergeven als percentage, zoals bij het rendement “totale oppervlakte van de onderdelen ÷ totale oppervlakte van de platen × 100”
Formules met letters en ongelijkheden (klas 1-2, 12-14 jaar)	Een voorwaarde kunnen opschrijven met letters, zoals “er passen \(n\) stuks als \(n \times w + (n-1) \times k \le W\)” Weten dat de ongelijkheid blijft kloppen als je aan beide kanten hetzelfde getal optelt (de stap naar \(n(w + k) \le W + k\))

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor het aantal stuks per plaat bij één soort onderdeel

Breedte van de plaat (mm)	2440
Hoogte van de plaat (mm)	1220
Breedte van het onderdeel (mm)	800
Hoogte van het onderdeel (mm)	500
Zaagverlies (mm)	3
Aantal breed	=INTEGER((B1+B5)/(B3+B5))
Aantal hoog	=INTEGER((B2+B5)/(B4+B5))
Aantal stuks per plaat	=B6*B7

Tabel voor het aantal platen bij los kopen per onderdeel

Benodigd aantal van het onderdeel	8
Aantal stuks per plaat	6
Benodigd aantal platen	=AFRONDEN.NAAR.BOVEN(B1/B2;0)

Tabel voor de oppervlakte van het restant en het rendement

Aantal platen	2
Breedte van de plaat (mm)	2440
Hoogte van de plaat (mm)	1220
Totale oppervlakte van alle onderdelen (mm²)	3200000
Oppervlakte restant (mm²)	=B1B2B3-B4
Oppervlakte restant (m²)	=B5/1000000
Rendement (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabel voor het theoretische minimum aantal platen uit de oppervlakte

Som van (breedte + zaagverlies) × (hoogte + zaagverlies) van alle onderdelen (mm²)	4638471
(Breedte plaat + zaagverlies) × (hoogte plaat + zaagverlies) (mm²)	2987789
Theoretisch minimum aantal platen	=AFRONDEN.NAAR.BOVEN(B1/B2;0)

Tabel voor de bespaarde platen en de geschatte kosten

Aantal platen bij los kopen	3
Aantal platen bij gecombineerd zagen	2
Prijs per plaat (€)	85
Bespaarde platen	=B1-B2
Geschatte kosten (€)	=B3*B2

Na het plakken zijn de bovenste rijen van kolom B je invoer en de onderste rijen worden automatisch berekend.
“INTEGER(waarde)” rondt naar beneden af op een geheel getal (de ⌊ ⌋ in de formules) en “AFRONDEN.NAAR.BOVEN(waarde; 0)” rondt naar boven af (de ⌈ ⌉).
B8 in de eerste tabel is 6 stuks (3 breed × 2 hoog). B3 in de tweede tabel is 2 platen. In de derde tabel (acht onderdelen van 800 × 500 mm op twee platen) is B6 ongeveer 2,7536 m² en B7 ongeveer 53,75%. B3 in de vierde tabel is 2 platen en de vijfde tabel geeft 1 bespaarde plaat en kosten van € 170.
De rijenmethode zelf is onderdelen op hoogte sorteren en van boven naar beneden in rijen leggen, en dat is handwerk. Gebruik het spreadsheet om het aantal stuks per plaat, het restant en de ondergrens te controleren en maak het zaagplan op deze pagina of met de Python-code hieronder.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor het aantal stuks per plaat bij één soort onderdeel

Breedte van de plaat (mm)	2440
Hoogte van de plaat (mm)	1220
Breedte van het onderdeel (mm)	800
Hoogte van het onderdeel (mm)	500
Zaagverlies (mm)	3
Aantal breed	=INTEGER((B1+B5)/(B3+B5))
Aantal hoog	=INTEGER((B2+B5)/(B4+B5))
Aantal stuks per plaat	=B6*B7

Tabel voor het aantal platen bij los kopen per onderdeel

Benodigd aantal van het onderdeel	8
Aantal stuks per plaat	6
Benodigd aantal platen	=AFRONDEN.NAAR.BOVEN(B1/B2;0)

Tabel voor de oppervlakte van het restant en het rendement

Aantal platen	2
Breedte van de plaat (mm)	2440
Hoogte van de plaat (mm)	1220
Totale oppervlakte van alle onderdelen (mm²)	3200000
Oppervlakte restant (mm²)	=B1B2B3-B4
Oppervlakte restant (m²)	=B5/1000000
Rendement (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabel voor het theoretische minimum aantal platen uit de oppervlakte

Som van (breedte + zaagverlies) × (hoogte + zaagverlies) van alle onderdelen (mm²)	4638471
(Breedte plaat + zaagverlies) × (hoogte plaat + zaagverlies) (mm²)	2987789
Theoretisch minimum aantal platen	=AFRONDEN.NAAR.BOVEN(B1/B2;0)

Tabel voor de bespaarde platen en de geschatte kosten

Aantal platen bij los kopen	3
Aantal platen bij gecombineerd zagen	2
Prijs per plaat (€)	85
Bespaarde platen	=B1-B2
Geschatte kosten (€)	=B3*B2

De formules zijn dezelfde als in Excel (ook de functienamen INTEGER en AFRONDEN.NAAR.BOVEN in de Nederlandse versie). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen in kolom B door je eigen getallen.

Berekenen met Python

import math

sheet_w, sheet_h = 2440, 1220  # breedte en hoogte van de plaat (mm)
kerf = 3                       # zaagverlies (dikte zaagblad, mm)
rotate = True                  # True als de nerfrichting niet uitmaakt (onderdelen mogen een kwartslag draaien)
unit_price = 85                # prijs van één plaat (€)
# Onderdelen die je wilt zagen: (naam, breedte mm, hoogte mm, aantal)
parts = [("Top", 1200, 600, 2), ("Zij", 940, 540, 4), ("Plank", 800, 470, 3)]

# Aantal platen bij los kopen per onderdeel (raster breed × hoog; mag je draaien, probeer dan ook het gedraaide onderdeel)
def per_sheet(w, h):
    return ((sheet_w + kerf) // (w + kerf)) * ((sheet_h + kerf) // (h + kerf))   # naar beneden afronden (de ⌊ ⌋ in de formules)
sheets_separate = 0
for name, w, h, qty in parts:
    m = max(per_sheet(w, h), per_sheet(h, w) if rotate else 0)
    sheets_separate += math.ceil(qty / m)   # naar boven afronden (de ⌈ ⌉ in de formules)

# Gecombineerd zagen: rijenmethode (hoogste eerst, in de eerste rij waar het past; mag je draaien, dan de lange zijde breed)
pieces = []
for name, w, h, qty in parts:
    pw, ph = (max(w, h), min(w, h)) if rotate else (w, h)
    pieces += [(name, pw, ph)] * qty
pieces.sort(key=lambda p: (-p[2], -p[1]))
sheets = []   # per plaat {"y": waar de volgende rij begint, "shelves": [{"y", "h", "x", "parts"}]}
for name, pw, ph in pieces:
    for sheet in sheets:
        shelf = next((s for s in sheet["shelves"] if ph <= s["h"] and pw <= sheet_w - s["x"]), None)
        if shelf is None and ph <= sheet_h - sheet["y"]:
            shelf = {"y": sheet["y"], "h": ph, "x": 0, "parts": []}
            sheet["shelves"].append(shelf)
            sheet["y"] += ph + kerf
        if shelf is not None:
            shelf["parts"].append((name, shelf["x"], shelf["y"], pw, ph))
            shelf["x"] += pw + kerf
            break
    else:
        sheets.append({"y": ph + kerf, "shelves": [{"y": 0, "h": ph, "x": pw + kerf, "parts": [(name, 0, 0, pw, ph)]}]})

# Restant, rendement en de ondergrens uit de oppervlakte
parts_area = sum(qty * w * h for name, w, h, qty in parts)
total_area = len(sheets) * sheet_w * sheet_h
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (w + kerf) * (h + kerf) for name, w, h, qty in parts) / ((sheet_w + kerf) * (sheet_h + kerf)))

print(f"Bij los kopen per onderdeel: {sheets_separate} platen")
print(f"Gecombineerd zagen (rijenmethode): {len(sheets)} platen (ondergrens uit de oppervlakte {lower_bound})")
for i, sheet in enumerate(sheets, 1):
    for shelf in sheet["shelves"]:
        print(f"  Plaat {i} rij (y={shelf['y']}): " + ", ".join(f"{n}@x={x} {pw}x{ph}" for n, x, y, pw, ph in shelf["parts"]))
print(f"Oppervlakte restant: {(total_area - parts_area) / 1e6:.3f} m²  Rendement: {parts_area / total_area * 100:.1f} %")
print(f"Geschatte kosten: € {unit_price * len(sheets)}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “//” is een deling die naar beneden afrondt (de ⌊ ⌋ in de formules) en math.ceil() rondt naar boven af (de ⌈ ⌉). Deze code is de basisvorm van de rijenmethode (lange zijde breed, alleen rijen naast elkaar). Vindt de rekenmachine op deze pagina met andere combinaties van de richting van onderdelen en rijen of door gedraaide onderdelen in overgebleven stroken te leggen minder platen, dan kunnen de aantallen verschillen (ze komen overeen als het resultaat gelijk is aan de ondergrens). De else bij de for-lus wordt uitgevoerd als de lus zonder break eindigt (als het onderdeel op geen enkele bestaande plaat past) en voegt een nieuwe plaat toe. Vervang de maat van de plaat, het zaagverlies en de lijst met onderdelen bovenaan door je eigen gegevens en voer de code uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Aantal stuks per plaat bij één soort onderdeel

c = ⌊(W + k) ÷ (w + k)⌋,  r = ⌊(H + k) ÷ (h + k)⌋,  m = c × r

c = \left\lfloor \frac{W + k}{w + k} \right\rfloor,\quad r = \left\lfloor \frac{H + k}{h + k} \right\rfloor,\quad m = c \times r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>h</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

c = |__ (W + k) / (w + k) __|,  r = |__ (H + k) / (h + k) __|,  m = c * r

c = Floor[(W + k)/(w + k)]; r = Floor[(H + k)/(h + k)]; m = c*r

c := floor((W + k)/(w + k));  r := floor((H + k)/(h + k));  m := c*r;

c = floor((W + k)/(w + k)); r = floor((H + k)/(h + k)); m = c*r;

c = ⌊(W + k)/(w + k)⌋, r = ⌊(H + k)/(h + k)⌋, m = c × r

Aantal platen bij los kopen per onderdeel

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  Bsep = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{sep}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"sep" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_sep = ∑_i B_i

Rijenmethode (wanneer onderdelen in een rij passen en wanneer rijen op een plaat passen)

w₁ + w₂ + … + wₙ + (n − 1)k ≤ W,  h₁ + h₂ + … + hₛ + (s − 1)k ≤ H

\sum_{j=1}^{n} w_j + (n - 1)k \leq W,\quad \sum_{t=1}^{s} h_t + (s - 1)k \leq H

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>W</mi>
    <mo>,</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>s</mi></munderover>
    <msub><mi>h</mi><mi>t</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>H</mi>
  </mrow>
</math>

sum_(j=1)^n w_j + (n - 1) k <= W,  sum_(t=1)^s h_t + (s - 1) k <= H

Total[w] + (Length[w] - 1)*k <= W && Total[h] + (Length[h] - 1)*k <= H

add(w[j], j = 1 .. n) + (n - 1)*k <= W;  add(h[t], t = 1 .. s) + (s - 1)*k <= H;

sum(w) + (numel(w) - 1)*k <= W && sum(h) + (numel(h) - 1)*k <= H

∑_(j=1)^n w_j + (n − 1)k ≤ W, ∑_(t=1)^s h_t + (s − 1)k ≤ H

Oppervlakte van het restant en rendement

Aoff = B × W × H − Σ qᵢ wᵢ hᵢ,  Y = Σ qᵢ wᵢ hᵢ ÷ (B × W × H) × 100

A_{\text{off}} = B\,W\,H - \sum_i q_i w_i h_i,\quad Y = \frac{\sum_i q_i w_i h_i}{B\,W\,H} \times 100

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>A</mi><mtext>off</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>Y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

A_"off" = B W H - sum_i q_i w_i h_i,  Y = (sum_i q_i w_i h_i) / (B W H) * 100

{B*W*H - Total[q*w*h], Total[q*w*h]/(B*W*H)*100}

Awaste := B*W*H - add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n);  Y := add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n)/(B*W*H)*100;

Awaste = B*W*H - sum(q .* w .* h); Y = sum(q .* w .* h)/(B*W*H)*100;

A_off = BWH − ∑_i q_i w_i h_i, Y = (∑_i q_i w_i h_i)/(BWH) × 100

Theoretisch minimum aantal platen uit de oppervlakte (ondergrens)

Bmin = ⌈Σ qᵢ (wᵢ + k)(hᵢ + k) ÷ ((W + k)(H + k))⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)}{(W + k)(H + k)} \right\rceil

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)) / ((W + k)(H + k)) ~|

Ceiling[Total[q*(w + k)*(h + k)]/((W + k)*(H + k))]

Bmin := ceil(add(q[i]*(w[i] + k)*(h[i] + k), i = 1 .. n)/((W + k)*(H + k)));

Bmin = ceil(sum(q .* (w + k) .* (h + k))/((W + k)*(H + k)));

B_min = ⌈(∑_i q_i (w_i + k)(h_i + k))/((W + k)(H + k))⌉

Bespaarde platen en geschatte kosten

Δ = Bsep − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{sep}} - B,\quad T = u \times B

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"sep" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_sep − B, T = u × B

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor zaagplannen van platen (multiplex). Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit hoofdrekenen of gokken).

Uit platen multiplex van 2.440 × 1.220 mm, met een zaagverlies van 3 mm en onderdelen die een kwartslag mogen draaien, zaag ik 2 bovenplaten van 1.200 × 600 mm, 4 zijwanden van 940 × 540 mm en 3 legplanken van 800 × 470 mm.
Bereken elk van de volgende dingen:
1. Per onderdeel het aantal stuks per plaat als je alleen dat onderdeel zaagt (⌊(2.440 + 3) ÷ (breedte + 3)⌋ × ⌊(1.220 + 3) ÷ (hoogte + 3)⌋; reken ook met breedte en hoogte verwisseld en neem het grootste)
2. Het totale aantal platen als je elk onderdeel uit eigen platen zaagt (de som van “aantal ÷ stuks per plaat, naar boven afgerond”)
3. Het aantal platen en de plek van elk onderdeel op elke plaat met de rijenmethode: sorteer de onderdelen van hoog naar laag en vul van boven naar beneden rijen over de plaat (First Fit Decreasing Height; binnen een rij schuift elk onderdeel breedte + zaagverlies naar rechts en elke rij schuift hoogte + zaagverlies naar beneden)
4. De oppervlakte van het restant (totale oppervlakte van de platen − totale oppervlakte van de onderdelen, in m²) en het rendement (%)
5. Het theoretische minimum aantal platen uit de oppervlakte (de som van (breedte + 3) × (hoogte + 3) van alle onderdelen, gedeeld door (2.440 + 3) × (1.220 + 3), naar boven afgerond)

Laat de code zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule