Vul het gehele getal in dat je wilt ontbinden. Je krijgt in één keer het product van priemgetallen, de machtsvorm, de stappen van herhaald delen en het aantal delers.
Vul een geheel getal van 2 tot en met 100 biljoen (100.000.000.000.000) in.
Resultaat
Vul links een geheel getal in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul een geheel getal van 2 of meer in en je ziet meteen de ontbinding in priemfactoren, geschreven als product, bijvoorbeeld \(2 \times 2 \times 5 \times 5\)
- De machtsvorm (\(2^{2} \times 5^{2}\)) en de stappen van herhaald delen worden ook getoond
- Als toepassing van ontbinden in priemfactoren telt de rekenmachine ook hoeveel delers het getal heeft
- Vul een priemgetal in (een getal dat je niet verder kunt ontbinden) en je krijgt te zien dat het een priemgetal is, dus je kunt de rekenmachine ook gebruiken als priemgetallencontrole
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Je kunt hele getallen van 2 tot en met 100 biljoen (100.000.000.000.000) gebruiken. 1 is een bijzonder getal dat geen priemgetal en ook geen samengesteld getal is, dus je kunt het niet ontbinden in priemfactoren.
Waarvoor is deze berekening handig?
Breuken vereenvoudigen door de ggd te vinden (school en dagelijkse sommen)
Zelfs een grote breuk als \(\frac{84}{126}\) kun je stap voor stap vereenvoudigen met ontbinden in priemfactoren. \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\) en \(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\), dus het gemeenschappelijke deel \(2 \times 3 \times 7 = 42\) is de grootste gemene deler. Deel je beide door 42, dan krijg je \(\frac{2}{3}\).
Breuken vereenvoudigen, breuken gelijknamig maken en het kleinste gemeen veelvoud vinden, ze bouwen allemaal voort op ontbinden in priemfactoren, dus je kunt elke berekening met breuken er beter mee doorzien.
RSA-versleuteling, die online winkelen en bankieren beveiligt
RSA-versleuteling, die bijvoorbeeld creditcardnummers beschermt, is gebaseerd op het feit dat het ontbinden van een heel groot getal enorm veel tijd kost, zelfs voor computers. Het ontbinden van een getal van 232 cijfers (RSA-768) kostte in werkelijkheid ongeveer twee jaar met honderden computers.
Een computer kan een getal van rond de 100 biljoen (15 cijfers) in een oogwenk ontbinden, maar de moeilijkheid explodeert als het aantal cijfers groeit. Dit verschil houdt het internet veilig.
Tandwielen en terugkerende cycli ontwerpen (maakindustrie)
Een tandwiel met 12 tanden en een tandwiel met 18 tanden staan weer in de beginstand nadat er 36 tanden voorbij zijn gekomen, het kleinste gemeen veelvoud van \(12 = 2^{2} \times 3\) en \(18 = 2 \times 3^{2}\) (3 keer rond voor het kleine wiel en 2 keer rond voor het grote).
Ontbinden in priemfactoren is een betrouwbaar hulpmiddel om kleinste gemene veelvouden te vinden. Het wordt daarom gebruikt bij ontwerpen die de slijtage van tandwielen gelijk verdelen en om uit te rekenen wanneer meerdere cycli samenvallen.
Tellen op hoeveel manieren je een groep gelijk kunt verdelen (teams en klaslokalen)
Op hoeveel manieren kun je 36 leerlingen verdelen in groepjes van gelijke grootte? Uit \(36 = 2^{2} \times 3^{2}\) volgt dat het aantal delers \((2+1) \times (2+1) = 9\) is, dus er zijn 9 manieren, van “36 groepjes van 1” tot “1 groep van 36”.
Bij teams, bij tegels leggen of bij het inpakken van producten in dozen: wil je iets precies gelijk verdelen, dan kun je de mogelijkheden tellen zonder ze allemaal op te schrijven.
Periodieke cicaden, priemgetallen in de natuur
In het oosten van de Verenigde Staten komen sommige cicaden elke 13 of 17 jaar allemaal tegelijk uit de grond (periodieke cicaden). Een priemgetal als cyclus valt zelden samen met andere cycli. Zo komen cicaden met een cyclus van 13 jaar en een vijand met een cyclus van 12 jaar maar eens in de 156 jaar in hetzelfde jaar tevoorschijn, het kleinste gemeen veelvoud.
Een belangrijke hypothese is dat een priemgetal als cyclus ze hielp te overleven. Door met ontbinden in priemfactoren uit te rekenen hoe zelden de cycli samenvallen, kun je dit idee zelf controleren.
Formule
Ontbinden in priemfactoren (een getal schrijven als product van priemgetallen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(n\)
\(=\)
\(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(n\): oorspronkelijk getal
\(=\)
②
product van de priemfactoren \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
De formule in woorden
①
Het
\(n\): oorspronkelijk getal
kun je schrijven als een
②
product van de priemfactoren \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
op precies één manier, afgezien van de volgorde van de factoren
Een eenvoudig voorbeeld
Ontbind je 100 met herhaald delen door de kleinste priemgetallen eerst (100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5), dan krijg je
oorspronkelijk getal (100)
\(=\)
product van priemfactoren (2 × 2 × 5 × 5)
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)
Het belangrijkste idee
Priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11, …) hebben geen andere delers dan 1 en zichzelf. Ze zijn de bouwstenen van de gehele getallen, de delen die je niet verder kunt splitsen. Ontbinden in priemfactoren splitst een geheel getal in deze bouwstenen, en voor elk geheel getal van 2 of meer is de uitkomst elke keer hetzelfde, afgezien van de volgorde van de factoren (de hoofdstelling van de rekenkunde).
Ontbind je met de hand, dan is de zekerste manier om door de kleinste priemgetallen te delen in volgorde (2 → 3 → 5 → …), elk zo vaak als het precies past (proefdelen). Een factorboom, waarin je het getal in twee willekeurige factoren splitst en steeds verder splitst, levert uiteindelijk dezelfde priemgetallen op.
Machtsvorm (dezelfde priemfactoren samennemen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(n\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times \cdots\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(n\): oorspronkelijk getal
\(=\)
①
\(p\): eerste priemfactor
②
\(a\): aantal keer
\(\times\)
③
\(q\): tweede priemfactor
④
\(b\): aantal keer
\(\times \cdots\)
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig de
\(p\): eerste priemfactor
②
met zichzelf,
\(a\): aantal keer (exponent)
③
vermenigvuldig de
\(q\): tweede priemfactor
④
met zichzelf,
\(b\): aantal keer (exponent)
en vermenigvuldig alles met elkaar
⑤
om weer het
\(n\): oorspronkelijk getal
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
Neem je in 100 = 2 × 2 × 5 × 5 dezelfde priemfactoren samen en schrijf je ze in machtsvorm, dan krijg je
oorspronkelijk getal (100)
\(=\)
priemfactor 2
2 keer
\(\times\)
priemfactor 5
2 keer
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)
Het belangrijkste idee
Komt dezelfde priemfactor 2 of meer keer voor, dan neem je hem samen door een klein getal rechtsboven te schrijven (de exponent) dat aangeeft hoe vaak hij wordt vermenigvuldigd. Dit heet de machtsvorm. Schrijf de priemfactoren van klein naar groot.
Een priemfactor die maar één keer voorkomt, krijgt geen exponent. In \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\) staat de 5 bijvoorbeeld zonder exponent.
Aantal delers (een toepassing van ontbinden in priemfactoren)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(d\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(d\): aantal delers
\(=\)
①
\((a+1)\): exponent van \(p\) plus 1
\(\times\)
②
\((b+1)\): exponent van \(q\) plus 1
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig het
\((a+1)\): exponent van de priemfactor \(p\) plus 1
②
met het
\((b+1)\): exponent van de priemfactor \(q\) plus 1
③
en je krijgt het
\(d\): aantal delers
Een eenvoudig voorbeeld
De ontbinding in priemfactoren van 100 is \(2^{2} \times 5^{2}\). Het aantal delers van 100 is dus
\(d\): aantal delers
\(=\)
exponent van 2 plus 1 (2 + 1)
\(\times\)
exponent van 5 plus 1 (2 + 1)
\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)
Het belangrijkste idee
Schrijf je de delers van 100 echt op, dan krijg je 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 en 100: 9 delers, net zoals de formule zegt.
Waarom tel je bij elke exponent 1 op? Elke deler van 100 maak je door de priemfactor 2 nul, één of twee keer te kiezen (3 keuzes) en de priemfactor 5 nul, één of twee keer te kiezen (3 keuzes), en die te vermenigvuldigen. Een priemgetal nul keer kiezen telt ook mee, dus er is één keuze meer dan de exponent. Heb je 3 of meer verschillende priemfactoren, dan vermenigvuldig je alle waarden (exponent + 1) op dezelfde manier.
Ontbinden in priemfactoren splitst een geheel getal in een product van alleen priemgetallen, en er is precies één uitkomst. Als je het met de hand doet, is herhaald delen door de kleinste priemgetallen in volgorde de zekerste manier.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(n\) | n | Het oorspronkelijke gehele getal dat je wilt ontbinden (2 of meer). (Voorbeeld: 100) |
| \(p, q\) | p, q | Priemfactoren (priemgetallen die \(n\) zonder rest delen). Je schrijft ze van klein naar groot. (Voorbeeld: de priemfactoren van 100 zijn 2 en 5) |
| \(p^{a}\) | p tot de macht a | De priemfactor \(p\) die \(a\) keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd. De kleine \(a\) rechtsboven is de exponent, die zegt dat je \(a\) keer vermenigvuldigt. (Voorbeeld: \(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)) |
| \(d\) | d | Het aantal delers. De letter komt van “divisor”, het Engelse woord voor deler. (Voorbeeld: bij 100 is \(d = 9\)) |
Begrippen
| priemgetal | Een geheel getal van 2 of meer waarvan de enige delers 1 en het getal zelf zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 1 is geen priemgetal, en 2 is het enige even priemgetal. |
| samengesteld getal | Een geheel getal van 2 of meer dat geen priemgetal is. Met andere woorden: een getal dat je kunt maken door 2 of meer priemgetallen met elkaar te vermenigvuldigen (voorbeeld: 100 = 2 × 2 × 5 × 5). |
| priemfactor | Een priemgetal dat een geheel getal zonder rest deelt. De priemfactoren van 100 zijn 2 en 5. |
| ontbinden in priemfactoren | Een geheel getal splitsen in een product van alleen priemgetallen. De uitkomst is altijd hetzelfde, afgezien van de volgorde van de factoren. |
| deler | Een geheel getal dat een getal zonder rest deelt. 12 heeft 6 delers: 1, 2, 3, 4, 6 en 12. |
| exponent | Het kleine getal rechtsboven dat zegt hoe vaak je vermenigvuldigt. \(2^{3}\) is 2 drie keer vermenigvuldigd (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)). |
| hoofdstelling van de rekenkunde | De stelling dat elk geheel getal van 2 of meer op precies één manier als product van priemgetallen kan worden geschreven. Daarom heeft een ontbinding in priemfactoren maar één antwoord. |
| herhaald delen door priemgetallen | Een schriftelijke methode waarbij je steeds door kleine priemgetallen deelt. Schrijf links het priemgetal waardoor je deelt en eronder de uitkomst, en stop als de uitkomst zelf een priemgetal is. Vermenigvuldig je alle priemgetallen links en de laatste uitkomst, dan krijg je het oorspronkelijke getal weer. Je kunt ook een factorboom gebruiken, die op dezelfde priemgetallen uitkomt. |
| proefdelen | Een manier om een getal te ontbinden door na te gaan of het precies deelbaar is door de kleinste priemgetallen in volgorde: 2, 3, 5, … Is het getal tot en met \(\sqrt{n}\) door niets deelbaar, dan is wat overblijft een priemgetal. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Tafels van vermenigvuldiging en delen (groep 4-5, 7-9 jaar) |
|
| Even en oneven getallen, delers en veelvouden (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Priemgetallen en ontbinden in priemfactoren (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Machten en exponenten (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om te controleren dat de priemfactoren vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal geven
| Priemfactor 1 | 2 |
| Priemfactor 2 | 2 |
| Priemfactor 3 | 5 |
| Priemfactor 4 | 5 |
| Oorspronkelijk getal n | =B1*B2*B3*B4 |
Tabel om het oorspronkelijke getal uit de machtsvorm te berekenen
| Priemfactor p | 2 |
| Exponent van p, a | 2 |
| Priemfactor q | 5 |
| Exponent van q, b | 2 |
| Oorspronkelijk getal n | =B1^B2*B3^B4 |
Tabel om het aantal delers te berekenen
| Exponent van p, a | 2 |
| Exponent van q, b | 2 |
| Aantal delers d | =(B1+1)*(B2+1) |
Excel heeft geen functie die in één keer ontbindt in priemfactoren, dus met deze tabellen controleer je of een ontbinding klopt. Het ontbinden zelf doe je met de rekenmachine op deze pagina of met Python.
De eerste tabel controleert of de priemfactoren vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal geven. B5 toont 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
De tweede tabel gaat uit van de machtsvorm (2² × 5²). “^” is het teken voor een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt). B5 toont 100.
De derde tabel berekent het aantal delers. B3 toont (2+1) × (2+1) = 9. Vervang de priemfactoren en exponenten gewoon door je eigen resultaten.
De eerste tabel controleert of de priemfactoren vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal geven. B5 toont 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
De tweede tabel gaat uit van de machtsvorm (2² × 5²). “^” is het teken voor een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt). B5 toont 100.
De derde tabel berekent het aantal delers. B3 toont (2+1) × (2+1) = 9. Vervang de priemfactoren en exponenten gewoon door je eigen resultaten.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om te controleren dat de priemfactoren vermenigvuldigd weer het oorspronkelijke getal geven
| Priemfactor 1 | 2 |
| Priemfactor 2 | 2 |
| Priemfactor 3 | 5 |
| Priemfactor 4 | 5 |
| Oorspronkelijk getal n | =B1*B2*B3*B4 |
Tabel om het oorspronkelijke getal uit de machtsvorm te berekenen
| Priemfactor p | 2 |
| Exponent van p, a | 2 |
| Priemfactor q | 5 |
| Exponent van q, b | 2 |
| Oorspronkelijk getal n | =B1^B2*B3^B4 |
Tabel om het aantal delers te berekenen
| Exponent van p, a | 2 |
| Exponent van q, b | 2 |
| Aantal delers d | =(B1+1)*(B2+1) |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de priemfactoren en exponenten door je eigen resultaten.
Berekenen met Python
number = 100 # het gehele getal dat je ontbindt (2 of meer)
prime_factors = [] # lijst met priemfactoren, de kleinste eerst
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
while remaining % divisor == 0: # blijf door hetzelfde getal delen zolang het precies past
prime_factors.append(divisor)
remaining //= divisor
divisor += 1
if remaining > 1: # wat boven 1 overblijft, is een priemgetal
prime_factors.append(remaining)
print(f"Priemfactoren van {number}: {prime_factors}")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Het is proefdelen als code: je test of elk getal, vanaf het kleinste, het getal precies deelt. “%” geeft de rest van een deling en “//=” deelt en laat het deel achter de komma weg. Verander number bovenaan en voer de code uit. Bij 100 krijg je [2, 2, 5, 5].
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Ontbinden in priemfactoren (een getal schrijven als product van priemgetallen)
n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ
n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k
FactorInteger[n]
ifactor(n);
factor(n)
n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k
Machtsvorm (dezelfde priemfactoren samennemen)
n = pᵃ × qᵇ × ⋯
n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
n = p^a xx q^b xx cdots
p^a * q^b
n := p^a * q^b;
n = p^a * q^b;
n = p^a × q^b × ⋯
Aantal delers (een toepassing van ontbinden in priemfactoren)
d = (a + 1) × (b + 1)
d = (a+1) \times (b+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
d = (a + 1) xx (b + 1)
(a + 1)*(b + 1)
d := (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1) × (b + 1)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor gehele getallen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord op basis van hoofdrekenen of gokken). Ontbind 360 in priemfactoren. 1. Noem alle priemfactoren van klein naar groot (herhaal een priemfactor zo vaak als hij voorkomt) 2. Schrijf het in machtsvorm (bijvoorbeeld in een vorm als 2^3 × 3^2 × 5) 3. Bereken ook het aantal delers van 360 Laat de code zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Breuken vereenvoudigen (breuk in de eenvoudigste vorm)
Deelt teller en noemer door de ggd, zodat de breuk in de eenvoudigste vorm staat
Rekenmachine voor breuken (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen)
Telt breuken op, trekt ze af, vermenigvuldigt en deelt ze, met tussenstappen
Breuk omzetten naar kommagetal (teller ÷ noemer, repeterende breuken)
Maakt van een teller en noemer een kommagetal. Ook breuken met een repeterend decimaal worden ondersteund
