Vul de breedtegraad en de lengtegraad van twee punten in om de afstand tussen die punten langs het aardoppervlak in km en mijl te krijgen. Je kunt de invoer wisselen tussen decimale graden en graden-minuten-seconden.
Vul alle velden in met getallen. In de decimale vorm zijn zuiderbreedtes en westerlengtes negatief (bijvoorbeeld 77,0366° WL → −77,0366). Bij graden-minuten-seconden kies je NB/ZB en OL/WL in de keuzemenu’s.
Resultaat
Vul links de breedtegraad en de lengtegraad van de twee punten in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de breedtegraad en de lengtegraad van twee punten in en je ziet meteen de afstand tussen die punten langs het aardoppervlak (in km en mijl)
- Je kunt decimale graden invullen (bijvoorbeeld 52,3676) of graden, minuten en seconden (DMS, bijvoorbeeld 52°22′3,36″). Je schakelt met de keuzerondjes
- De afstand wordt berekend met de formule van Lambert, die de aarde behandelt als een ellipsoïde (een licht afgeplatte bol). Dat komt dichter bij de echte aarde dan de haversine-formule, die de aarde als een perfecte bol ziet
- Op deze pagina vind je ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Het resultaat is de ongeveer berekende lengte van de kortste weg langs het aardoppervlak (de geodetische lijn), niet de reisafstand over wegen of spoorlijnen. In de decimale vorm vul je zuiderbreedtes en westerlengtes in als negatieve getallen (Nederland ligt ten oosten van Greenwich, dus de lengtegraad is hier positief).
Waarvoor is deze berekening handig?
Vliegroutes en vliegafstanden (luchtvaart)
Vliegtuigen vliegen dicht bij de kortste weg langs de kromming van de aarde (de grootcirkel), dus de vliegafstand tussen steden wordt geschat als een afstand langs het aardoppervlak, zoals die op deze pagina (van Amsterdam naar New York is ongeveer 5.880 km, ofwel ongeveer 3.650 mijl). Ook de afstanden voor spaarmijlen van luchtvaartmaatschappijen zijn op zo’n afstand gebaseerd.
Op een platte kaart lijkt een vlucht van Nederland naar de Verenigde Staten of naar Oost-Azië een omweg over het noorden te maken. Als je deze afstand berekent, zie je waarom die route juist de kortste is.
Locatiediensten op je telefoon (zoeken op “in de buurt”)
Sorteert een kaart- of bezorgapp plaatsen op “dichtstbijzijnde eerst”, dan berekent hij de afstand tussen jouw locatie en elke winkel uit hun breedtegraden en lengtegraden. Bij het programmeren is de haversine-formule (bolmodel) hiervoor het standaardgereedschap, en ellipsoïde-formules als de formule van Lambert op deze pagina gebruik je als je meer nauwkeurigheid nodig hebt.
Achter de apps die je elke dag gebruikt, wordt zo’n formule steeds opnieuw uitgerekend.
Gps-afstand in hardloop- en wandelapps (sport)
Een gps-horloge of hardloopapp legt om de paar seconden je positie vast, berekent met zo’n formule de afstand tussen elk paar punten en telt die op. Elke stap is maar enkele tot tientallen meters, maar de omrekening van breedtegraad en lengtegraad naar afstand wordt duizenden keren herhaald om te laten zien dat je vandaag 10,2 km hebt gelopen.
Reisplanning op zee en zeemijlen (scheepvaart en logistiek)
Op zee meet je afstand in zeemijlen (1 zeemijl = 1,852 km, ongeveer 1,15 mijl, ruwweg de lengte van 1 minuut breedtegraad). De route van de vertrekhaven naar de bestemming wordt gepland als een afstand langs de kromming van de aarde, en aankomsttijden en brandstofschattingen beginnen bij deze afstandsberekening.
De scheepvaart vervoert een groot deel van de wereldhandel, zoals via de haven van Rotterdam, en afstanden uit breedtegraad en lengtegraad horen bij wat dat draaiende houdt.
“X km van het epicentrum” in aardbevingsmeldingen (veiligheid)
Aardbevingsmeldingen, zoals die van het KNMI, noemen het epicentrum en zeggen bijvoorbeeld “het epicentrum lag 12 km ten zuidwesten van de stad”. Die uitspraken komen uit dezelfde soort berekening: de afstand tussen de breedtegraad en lengtegraad van het epicentrum (het punt aan het oppervlak recht boven de aardbeving) en die van elke plaats of meetstation.
In getallen weten hoe ver je woning van het epicentrum van een aardbeving ligt, is een goede eerste stap om je op aardbevingen voor te bereiden.
Formule
Middelpuntshoek \(c\) tussen de twee punten (formule van Lambert, deel 1)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(U\)
\(=\)
\(\arctan\bigl((1 - f)\tan \varphi\bigr)\)
\(c\)
\(=\)
\(2\arcsin\sqrt{\sin^2\!\frac{U_2 - U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\!\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(U\): gereduceerde breedte
\(=\)
①
breedtegraad \(\varphi\) verkleind met de afplatting \(f\)
④
\(c\): middelpuntshoek tussen de twee punten
\(=\)
③
hoek opgebouwd uit de verschillen in gereduceerde breedte en lengtegraad
De formule in woorden
①
Bereken voor elk van de twee punten de
breedtegraad \(\varphi\) verkleind met de afplatting \(f\), \(\arctan((1-f)\tan\varphi)\)
②
om de
gereduceerde breedte \(U\)
te krijgen (\(U_1\) en \(U_2\)). Bereken daarna de
③
hoek opgebouwd uit het verschil in gereduceerde breedte \(U_2 - U_1\) en het verschil in lengtegraad \(\lambda_2 - \lambda_1\)
④
en je krijgt de
middelpuntshoek \(c\) tussen de twee punten
(de hoek tussen de twee punten gezien vanuit het middelpunt van de aarde)
Een eenvoudig voorbeeld
De middelpuntshoek tussen Amsterdam (52,3676° NB, 4,9041° OL) en Maastricht (50,8514° NB, 5,6910° OL) is
middelpuntshoek \(c\)
\(=\)
hoek uit de verschillen in gereduceerde breedte en lengtegraad van Amsterdam en Maastricht
\(U_1 = \arctan\bigl((1 - \tfrac{1}{298{,}257})\tan 52{,}3676^\circ\bigr) \approx 52{,}2745^\circ, \quad U_2 \approx 50{,}7572^\circ\)
\(c = 2\arcsin\sqrt{0{,}00019358} \approx 0{,}027827 \ \mathrm{rad} \ (\approx 1{,}5944^\circ)\)
Het belangrijkste idee
De aarde is geen perfecte bol. De evenaarsstraal is ongeveer 6378 km en de poolstraal ongeveer 6357 km, dus ze is van noord naar zuid ongeveer 1/300 afgeplat. Deze vorm heet een omwentelingsellipsoïde (een ellipsoïde). De afplatting \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\) meet hoe afgeplat ze is, en vul je de breedtegraad zomaar in een formule voor een bol, dan zit het resultaat er met zoveel naast. Daarom wordt eerst elke breedtegraad omgezet in de gereduceerde breedte \(U\), een breedtegraad die zo is aangepast dat je de ellipsoïde als een bol kunt behandelen. Daarna gebruik je de standaardformule voor de middelpuntshoek tussen twee punten op een bol (een formule van het haversine-type).
Programmeer je het, dan geeft \(c = 2\,\mathrm{atan2}(\sqrt{a},\ \sqrt{1-a})\) (waarbij \(a\) de uitdrukking onder de wortel is) dezelfde waarde als \(2\arcsin\sqrt{a}\), maar is numeriek stabieler. De rekenmachine op deze pagina gebruikt deze vorm.
Correctie voor de ellipsoïde en de afstand \(d\) (formule van Lambert, deel 2)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(d\)
\(=\)
\(6378{,}1\)
\(\times\)
\(\bigl(\)
\(c\)
\(-\)
\(\frac{f(X + Y)}{2}\)
\(\bigr)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(d\): afstand tussen de twee punten
\(=\)
③
evenaarsstraal, 6378,1 km
\(\times\)
\(\bigl(\)
①
\(c\): middelpuntshoek
\(-\)
②
correctie voor de afplatting \(f(X+Y) \div 2\)
\(\bigr)\)
De formule in woorden
①
Neem de
middelpuntshoek \(c\) (in radialen)
②
trek er de
correctie voor de afplatting \(f(X+Y) \div 2\) (\(X\) en \(Y\) zijn tussenwaarden voor de correctie)
van af
③
vermenigvuldig dat met de
evenaarsstraal, 6378,1 km
④
en je krijgt de
afstand \(d\) tussen de twee punten
(de eenheid is km)
Een eenvoudig voorbeeld
Voor Amsterdam en Maastricht (middelpuntshoek c ≈ 0,027827 rad)
afstand \(d\)
\(=\)
evenaarsstraal (6378,1 km)
\(\times\)
\(\bigl(\)
middelpuntshoek (0,027827 rad)
\(-\)
correctie voor de afplatting (ongeveer 0,0000327)
\(\bigr)\)
\(X \approx 0{,}0000022, \quad Y \approx 0{,}019519, \quad \frac{f(X + Y)}{2} \approx 0{,}0000327\)
\(d = 6378{,}1 \times (0{,}027827 - 0{,}0000327) \approx 177{,}3 \ \mathrm{km}\)
Het belangrijkste idee
De basis is de booglengteregel voor een cirkelsector: booglengte = straal × middelpuntshoek (in radialen). \(6378{,}1 \times c\) alleen is de booglengte op een bol met de evenaarsstraal, en dat is van Amsterdam naar Maastricht ongeveer 177,49 km. De term \(\dfrac{f(X+Y)}{2}\) corrigeert daarna voor de afgeplatte vorm (hier maakt hij de afstand ongeveer 0,2 km, dus zo’n 200 m, korter: 177,3 km).
De exacte definities van de tussenwaarden \(X\) en \(Y\) zijn \(X = \dfrac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)}\) en \(Y = \dfrac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)}\), waarbij \(P = \dfrac{U_1 + U_2}{2}\) en \(Q = \dfrac{U_2 - U_1}{2}\). Ze zien er ingewikkeld uit, maar ze worden allemaal stap voor stap berekend uit de gereduceerde breedtes en de middelpuntshoek uit de eerste formule. De fout van de formule van Lambert is naar verluidt ongeveer 10 meter, ook bij afstanden van duizenden kilometers.
Graden, minuten en seconden omrekenen naar decimale graden
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(D\)
\(=\)
\(d\)
\(+\)
\(\frac{m}{60}\)
\(+\)
\(\frac{s}{3600}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(D\): hoek in decimale graden
\(=\)
①
\(d\): graden
\(+\)
②
minuten \(m \div 60\)
\(+\)
③
seconden \(s \div 3600\)
De formule in woorden
①
Tel bij de
graden \(d\)
②
de
minuten \(m\) gedeeld door 60
③
en de
seconden \(s\) gedeeld door 3600
op
④
en je krijgt de
hoek in decimale graden \(D\)
(bij zuiderbreedtes en westerlengtes zet je aan het eind een minteken ervoor)
Een eenvoudig voorbeeld
De breedtegraad van Amsterdam, 52°22′3,36″ NB, in decimale graden is
hoek in decimale graden \(D\)
\(=\)
graden (52)
\(+\)
minuten (22) ÷ 60
\(+\)
seconden (3,36) ÷ 3600
\(52 + \frac{22}{60} + \frac{3{,}36}{3600} = 52 + 0{,}366667\ldots + 0{,}000933\ldots \approx 52{,}3676\)
Het belangrijkste idee
Graden, minuten en seconden tellen in het zestigtallig stelsel, net als uren, minuten en seconden bij tijd. 1 graad = 60 minuten en 1 minuut = 60 seconden (dus 1 graad = 3600 seconden). Daarom deel je minuten door 60 en seconden door 3600 om ze om te zetten in graden.
Bij zuiderbreedtes en westerlengtes zet je een minteken voor de hele omgerekende waarde (bijvoorbeeld 77°2′11,76″ WL → −77,0366°). In de decimale vorm vul je deze negatieve waarde in de rekenmachine in. Bij graden-minuten-seconden doet het kiezen van “ZB” of “WL” in het keuzemenu hetzelfde.
De formule van Lambert vindt de afstand tussen twee punten uit breedtegraad en lengtegraad in drie stappen - zie de aarde als een licht afgeplatte ellipsoïde, bepaal de middelpuntshoek tussen de twee punten en pas “booglengte = straal × middelpuntshoek” toe met een correctie voor de afplatting. Graden-minuten-seconden tellen in het zestigtallig stelsel zoals tijd, dus minuten ÷ 60 en seconden ÷ 3600 zetten ze om in decimale graden.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\varphi\) | fi | Breedtegraad: de hoek die aangeeft hoe ver een plaats ten noorden of ten zuiden van de evenaar (0°) ligt. Noord is positief en zuid is negatief (−90° tot 90°). |
| \(\lambda\) | lambda | Lengtegraad: de hoek die de plaats in oost-westrichting aangeeft, gemeten vanaf de nulmeridiaan (0°) door het oude Koninklijk Observatorium in Greenwich, Engeland. Oost is positief en west is negatief (−180° tot 180°). |
| \(f\) | ef | De afplatting van de aarde: hoe afgeplat de ellipsoïde is, als verhouding. Deze berekening gebruikt \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\). |
| \(U\) | uu | De gereduceerde breedte: de breedtegraad op de ellipsoïde, omgerekend met \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\) zodat je hem in formules voor een bol kunt gebruiken. |
| \(c\) | se | De middelpuntshoek: de hoek tussen de twee punten gezien vanuit het middelpunt van de aarde (in radialen). Via “booglengte = straal × middelpuntshoek” is dit de basis van de afstand. |
| \(X\), \(Y\) | iks, ypsilon | Tussenwaarden om te corrigeren voor de afgeplatte vorm. Ze worden berekend uit de middelpuntshoek \(c\), het gemiddelde van de gereduceerde breedtes \(P = \dfrac{U_1+U_2}{2}\) en het halve verschil \(Q = \dfrac{U_2-U_1}{2}\). |
| \(d\) | dee | De afstand tussen de twee punten. Op deze pagina staat hij in km (kilometer) en mijl. |
| ° ′ ″ | graad, minuut, seconde | De tekens voor graden, minuten en seconden van een hoek. 1° = 60′ en 1′ = 60″. Voorbeeld: 52°22′3,36″ (52 graden, 22 minuten, 3,36 seconden). |
Begrippen
| breedtegraad | De hoek die de plaats in noord-zuidrichting aangeeft, met de evenaar op 0°. De Noordpool ligt op 90° NB en de Zuidpool op 90° ZB. Het is een basisbegrip bij kaarten en locatiegegevens, dat je leert bij aardrijkskunde. Nederland ligt ongeveer tussen 50,7° en 53,6° noorderbreedte. |
| lengtegraad | De hoek die de plaats in oost-westrichting aangeeft, met de nulmeridiaan (de lijn door Greenwich in Engeland) op 0°. Hij loopt tot 180° oost en 180° west. Nederland ligt ongeveer tussen 3,3° en 7,3° oosterlengte. |
| DMS | Een manier om hoeken op te schrijven in het zestigtallig stelsel met graden, minuten en seconden (in het Engels DMS genoemd). 1 graad = 60 minuten en 1 minuut = 60 seconden. Je ziet het vaak op topografische kaarten, zeekaarten en gps-apparaten. |
| ellipsoïde | Hier een omwentelingsellipsoïde - het lichaam dat je krijgt door een ellips om zijn as te draaien. Door de draaiing van de aarde bolt ze bij de evenaar op, dus ze wordt benaderd met een ellipsoïde en niet met een bol. |
| afplatting | De verhouding die laat zien hoe afgeplat een ellipsoïde is, gedefinieerd als (evenaarsstraal − poolstraal) ÷ evenaarsstraal. Voor de aarde is dat ongeveer 1/300. |
| gereduceerde breedte | De breedtegraad van een punt op de ellipsoïde nadat het is overgebracht naar de hulpcirkel (bol) waarop de ellips is gebaseerd. Je vindt hem met \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\) en hij wordt gebruikt in de geodesie (de wetenschap van het meten van de vorm van de aarde). Hij heet ook wel de parametrische breedte. |
| middelpuntshoek | De hoek tussen twee punten gezien vanuit het middelpunt van een cirkel of bol. De regel voor een cirkelsector “booglengte = straal × middelpuntshoek (in radialen)” is de basis van de afstandsberekening op deze pagina. |
| geodetische lijn | De kortste weg tussen twee punten op een gekromd oppervlak. Op de aarde ligt hij dicht bij de grootcirkel, en vliegroutes volgen ongeveer deze vorm. Deze pagina bepaalt de ongeveer berekende lengte langs de geodetische lijn. |
| haversine-formule | Een bekende formule voor de afstand tussen twee punten die de aarde als een perfecte bol behandelt. De formule van Lambert op deze pagina is een verbeterde versie voor de ellipsoïde en gebruikt in de eerste stap een formule van het haversine-type voor de middelpuntshoek. |
| formule van Lambert | Een methode voor de afstand tussen twee punten die de aarde als een ellipsoïde benadert (Lambert’s formula). De fout is naar verluidt ongeveer 10 meter, ook bij afstanden van duizenden kilometers, en dat is nauwkeuriger dan de aarde als bol te behandelen. |
| mijl | Een lengtemaat die vooral in de Verenigde Staten en het Verenigd Koninkrijk wordt gebruikt (de statute mile, de Engelse mijl). 1 mijl ≈ 1,609 km (precies 1,609344 km volgens de internationale definitie). Deze rekenmachine rekent om met 1 mijl = 1,60935 km. Het is een andere eenheid dan de zeemijl hieronder. |
| zeemijl | Een lengtemaat die op zee en in de luchtvaart wordt gebruikt. 1 zeemijl = 1,852 km (ongeveer 1,15 mijl). Ze is zo gekozen dat ze ongeveer even lang is als 1 minuut (1/60 graad) breedtegraad. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Om alleen een afstand te vinden, is het genoeg te weten hoe je breedtegraad en lengtegraad leest. Wil je begrijpen wat er in de formules zit, ga dan terug tot goniometrie en radialen.
| Breedtegraad en lengtegraad (aardrijkskunde, groep 7-8 en klas 1, 10-13 jaar) |
|
| Hoeken en het zestigtallig stelsel (groep 5-6, 8-10 jaar, hoeken en klokkijken) |
|
| Booglengte van een cirkelsector (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Goniometrie: sin, cos en tan (klas 3-4, 14-16 jaar) |
|
| Radialen (bovenbouw havo/vwo, wiskunde B) |
|
| De vorm van de aarde (aardrijkskunde en natuurkunde, onderbouw) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om graden-minuten-seconden om te rekenen naar decimale graden
| Graden | 52 |
| Minuten | 22 |
| Seconden | 3,36 |
| Decimale graden (zet − voor ZB en WL) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tabel om de afstand te vinden met de formule van Lambert
| Breedtegraad van punt 1 (decimaal; ZB is −) | 52,3676 |
| Lengtegraad van punt 1 (decimaal; WL is −) | 4,9041 |
| Breedtegraad van punt 2 | 50,8514 |
| Lengtegraad van punt 2 | 5,6910 |
| Afplatting f | =1/298,257 |
| Gereduceerde breedte U1 | =BOOGTAN((1-B5)*TAN(RADIALEN(B1))) |
| Gereduceerde breedte U2 | =BOOGTAN((1-B5)*TAN(RADIALEN(B3))) |
| Verschil in lengtegraad Δλ (radialen) | =RADIALEN(B4-B2) |
| Haversine-term a | =SIN((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SIN(B8/2)^2 |
| Middelpuntshoek c (radialen) | =2*BOOGTAN2(WORTEL(1-B9);WORTEL(B9)) |
| Gemiddelde P | =(B6+B7)/2 |
| Half verschil Q | =(B7-B6)/2 |
| Tussenwaarde X voor de correctie | =(B10-SIN(B10))*SIN(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Tussenwaarde Y voor de correctie | =(B10+SIN(B10))*SIN(B12)^2*COS(B11)^2/SIN(B10/2)^2 |
| Afstand (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Afstand (mijl) | =B15/1,60935 |
De eerste tabel rekent graden-minuten-seconden om naar decimale graden. B4 toont 52,3676.
De tweede tabel bevat alle stappen van de formule van Lambert. B1 tot en met B4 zijn de invoer (decimale graden), vanaf B6 staan de tussenwaarden van formule 1 en 2, B15 is de afstand in km (ongeveer 177,28) en B16 is de afstand in mijl (ongeveer 110,15). De rekenmachine op deze pagina rondt die af op 177,3 km en 110,2 mijl.
RADIALEN(…) zet graden om in radialen. In Excel neemt BOOGTAN2(x; y) zijn argumenten in de volgorde (x-coördinaat, y-coördinaat), dus let erop dat c is geschreven als 2×BOOGTAN2(√(1−a); √a). Gebruik in een Nederlandstalige Excel een puntkomma tussen de argumenten en een decimale komma.
De tweede tabel bevat alle stappen van de formule van Lambert. B1 tot en met B4 zijn de invoer (decimale graden), vanaf B6 staan de tussenwaarden van formule 1 en 2, B15 is de afstand in km (ongeveer 177,28) en B16 is de afstand in mijl (ongeveer 110,15). De rekenmachine op deze pagina rondt die af op 177,3 km en 110,2 mijl.
RADIALEN(…) zet graden om in radialen. In Excel neemt BOOGTAN2(x; y) zijn argumenten in de volgorde (x-coördinaat, y-coördinaat), dus let erop dat c is geschreven als 2×BOOGTAN2(√(1−a); √a). Gebruik in een Nederlandstalige Excel een puntkomma tussen de argumenten en een decimale komma.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om graden-minuten-seconden om te rekenen naar decimale graden
| Graden | 52 |
| Minuten | 22 |
| Seconden | 3,36 |
| Decimale graden (zet − voor ZB en WL) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tabel om de afstand te vinden met de formule van Lambert
| Breedtegraad van punt 1 (decimaal; ZB is −) | 52,3676 |
| Lengtegraad van punt 1 (decimaal; WL is −) | 4,9041 |
| Breedtegraad van punt 2 | 50,8514 |
| Lengtegraad van punt 2 | 5,6910 |
| Afplatting f | =1/298,257 |
| Gereduceerde breedte U1 | =BOOGTAN((1-B5)*TAN(RADIALEN(B1))) |
| Gereduceerde breedte U2 | =BOOGTAN((1-B5)*TAN(RADIALEN(B3))) |
| Verschil in lengtegraad Δλ (radialen) | =RADIALEN(B4-B2) |
| Haversine-term a | =SIN((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SIN(B8/2)^2 |
| Middelpuntshoek c (radialen) | =2*BOOGTAN2(WORTEL(1-B9);WORTEL(B9)) |
| Gemiddelde P | =(B6+B7)/2 |
| Half verschil Q | =(B7-B6)/2 |
| Tussenwaarde X voor de correctie | =(B10-SIN(B10))*SIN(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Tussenwaarde Y voor de correctie | =(B10+SIN(B10))*SIN(B12)^2*COS(B11)^2/SIN(B10/2)^2 |
| Afstand (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Afstand (mijl) | =B15/1,60935 |
Dezelfde formules als in Excel (RADIALEN, BOOGTAN2, WORTEL enzovoort) werken hier ook in Google Spreadsheets. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang B1 tot en met B4 door je eigen breedtegraden en lengtegraden.
Berekenen met Python
import math
# Breedte- en lengtegraad van de twee punten (decimale graden; zuid en west zijn negatief)
lat1, lon1 = 52.3676, 4.9041 # punt 1 (Amsterdam)
lat2, lon2 = 50.8514, 5.6910 # punt 2 (Maastricht)
flattening = 1 / 298.257 # afplatting van de aarde, f
equator_radius_km = 6378.1 # evenaarsstraal in km
# Formule 1, eerste helft: gereduceerde breedtes (breedtegraden verkleind met de afplatting)
u1 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat1)))
u2 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat2)))
delta_lon = math.radians(lon2 - lon1)
# Formule 1, tweede helft: de middelpuntshoek c tussen de twee punten met een formule van het haversine-type
a = math.sin((u2 - u1) / 2) ** 2 + math.cos(u1) * math.cos(u2) * math.sin(delta_lon / 2) ** 2
central_angle = 2 * math.atan2(math.sqrt(a), math.sqrt(1 - a))
# Formule 2: de correctie voor de afgeplatte vorm (X en Y) en dan de afstand
p = (u1 + u2) / 2
q = (u2 - u1) / 2
x = (central_angle - math.sin(central_angle)) * math.sin(p) ** 2 * math.cos(q) ** 2 / math.cos(central_angle / 2) ** 2
y = (central_angle + math.sin(central_angle)) * math.sin(q) ** 2 * math.cos(p) ** 2 / math.sin(central_angle / 2) ** 2
distance_km = equator_radius_km * (central_angle - flattening * (x + y) / 2)
distance_mile = distance_km / 1.60935
print(f"Afstand tussen de twee punten: {distance_km:.1f} km ({distance_mile:.1f} mijl)")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Pas bovenaan de breedtegraden en lengtegraden aan en voer het uit (reken graden-minuten-seconden eerst om naar decimaal met “graden + minuten ÷ 60 + seconden ÷ 3600”). Vul je voor beide punten precies dezelfde coördinaten in, dan deelt het door 0 en stopt het met een foutmelding.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Middelpuntshoek \(c\) tussen de twee punten (formule van Lambert, deel 1)
U₁ = atan((1 − f)·tanφ₁), U₂ = atan((1 − f)·tanφ₂), c = 2·asin(√(sin²((U₂ − U₁)/2) + cosU₁·cosU₂·sin²((λ₂ − λ₁)/2)))
U_1 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_1\bigr),\ U_2 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_2\bigr),\quad c = 2\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{U_2-U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>U</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mo>⁡</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>φ</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>arcsin</mi>
<mo>⁡</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>λ</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>λ</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
U_1 = arctan((1-f) tan(varphi_1)), U_2 = arctan((1-f) tan(varphi_2)), c = 2 arcsin(sqrt(sin^2((U_2-U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((lambda_2-lambda_1)/2)))
u1 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi1]]; u2 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi2]]; c = 2 ArcSin[Sqrt[Sin[(u2 - u1)/2]^2 + Cos[u1] Cos[u2] Sin[(lambda2 - lambda1)/2]^2]]
U1 := arctan((1 - f)*tan(phi1)); U2 := arctan((1 - f)*tan(phi2)); c := 2*arcsin(sqrt(sin((U2 - U1)/2)^2 + cos(U1)*cos(U2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
u1 = atan((1 - f)*tan(phi1)); u2 = atan((1 - f)*tan(phi2)); c = 2*asin(sqrt(sin((u2 - u1)/2)^2 + cos(u1)*cos(u2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
U_1 = atan((1 - f) tan(φ_1)), U_2 = atan((1 - f) tan(φ_2)), c = 2 asin(√(sin^2((U_2 - U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((λ_2 - λ_1)/2)))
Correctie voor de ellipsoïde en de afstand \(d\) (formule van Lambert, deel 2)
d = 6378,1·(c − f·(X + Y)/2), X = (c − sin c)·sin²P·cos²Q ÷ cos²(c/2), Y = (c + sin c)·sin²Q·cos²P ÷ sin²(c/2), P = (U₁ + U₂)/2, Q = (U₂ − U₁)/2
d = 6378{,}1\left(c - \frac{f(X + Y)}{2}\right),\quad X = \frac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)},\quad Y = \frac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)},\quad P = \frac{U_1 + U_2}{2},\ Q = \frac{U_2 - U_1}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mn>6378.1</mn>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>+</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>X</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>P</mi>
<msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>Q</mi>
</mrow>
<mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>Y</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>Q</mi>
<msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>P</mi>
</mrow>
<mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mrow><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>Q</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mrow><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
d = 6378.1 (c - f(X + Y)/2), X = ((c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q))/(cos^2(c/2)), Y = ((c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P))/(sin^2(c/2)), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - Sin[c]) Sin[p]^2 Cos[q]^2/Cos[c/2]^2; y = (c + Sin[c]) Sin[q]^2 Cos[p]^2/Sin[c/2]^2; d = 6378.1 (c - f (x + y)/2)
P := (U1 + U2)/2; Q := (U2 - U1)/2; X := (c - sin(c))*sin(P)^2*cos(Q)^2/cos(c/2)^2; Y := (c + sin(c))*sin(Q)^2*cos(P)^2/sin(c/2)^2; d := 6378.1*(c - f*(X + Y)/2);
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - sin(c))*sin(p)^2*cos(q)^2/cos(c/2)^2; y = (c + sin(c))*sin(q)^2*cos(p)^2/sin(c/2)^2; d = 6378.1*(c - f*(x + y)/2);
d = 6378,1(c - f(X + Y)/2), X = (c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q)/cos^2(c/2), Y = (c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P)/sin^2(c/2), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
Graden, minuten en seconden omrekenen naar decimale graden
D = d + m/60 + s/3600
D = d + \frac{m}{60} + \frac{s}{3600}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi>
<mo>=</mo>
<mi>d</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>m</mi><mn>60</mn></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>s</mi><mn>3600</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
D = d + m/60 + s/3600
d + m/60 + s/3600
deg := d + m/60 + s/3600; # D (de differentiaaloperator) is gereserveerd in Maple, daarom heten de decimale graden deg
D = d + m/60 + s/3600;
D = d + m/60 + s/3600
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor aardrijkskundige berekeningen. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (antwoord niet uit het hoofd en niet op basis van een schatting). Bepaal de afstand tussen twee punten uit hun breedtegraad en lengtegraad met de formule van Lambert, die de aarde benadert als een ellipsoïde met afplatting f = 1/298,257. Stappen: reken elke breedtegraad om naar de gereduceerde breedte U = atan((1-f)·tanφ); a = sin²((U2-U1)/2) + cosU1·cosU2·sin²((λ2-λ1)/2); middelpuntshoek c = 2·atan2(√a, √(1-a)); P = (U1+U2)/2; Q = (U2-U1)/2; X = (c-sin c)·sin²P·cos²Q/cos²(c/2); Y = (c+sin c)·sin²Q·cos²P/sin²(c/2); afstand (km) = 6378,1·(c - f·(X+Y)/2). Punt 1: 52,3676° NB, 4,9041° OL (Amsterdam) Punt 2: 50,8514° NB, 5,6910° OL (Maastricht) Geef de afstand in km en mijl (1 mijl = 1,60935 km) en laat de gebruikte code en de getallen uit de uitvoer zien.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Afstand tussen twee punten berekenen (afstandsformule, richtingscoëfficiënt en vergelijking van de lijn)
Bereken de rechte (euclidische) afstand tussen twee punten in het assenstelsel
Afstand tussen twee punten in de ruimte berekenen (3D-afstand uit xyz-coördinaten)
Bereken de afstand tussen twee punten in 3D-coördinaten
