Kies “Eén wortel vereenvoudigen” of “Twee wortels”, en vul het getal voor het wortelteken en het getal onder het wortelteken in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen in de formule ook rechtstreeks aanpassen.
Een leeg getal voor het wortelteken geldt als 1. Dat getal mag een kommagetal, een negatief getal of een breuk zoals 3/4 zijn. Onder het wortelteken moet een geheel getal van 1 of meer staan.
Resultaat en grafiek
Vul links het getal onder het wortelteken in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen de vereenvoudigde vorm en een getallenlijn.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Wat een wortel en het wortelteken betekenen
-
Een wortel vereenvoudigen (het kwadraat buiten het wortelteken brengen)
-
Wortels optellen en aftrekken (gelijksoortige termen samenvoegen)
-
Wortels vermenigvuldigen (wat onder de wortels staat vermenigvuldigen tot één wortel)
-
Wortels delen en de noemer rationaal maken
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vereenvoudig een wortel zoals \(\sqrt{48}\) tot \(4\sqrt{3}\) (de vorm waarin het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk is). In de stappen zie je de priemfactorontbinding van het getal onder het wortelteken en hoe het kwadraatgetal buiten de wortel komt
- Je ziet ook dat het wortelteken verdwijnt als het getal onder het wortelteken een kwadraatgetal is, en je een geheel getal overhoudt, zoals bij \(\sqrt{36} = 6\)
- Tel wortels zoals \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) en \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\) op, trek ze af, vermenigvuldig en deel ze, met exacte antwoorden in de eenvoudigste vorm
- Blijft er bij een deling een wortel in de noemer staan, dan krijg je het antwoord met een rationale noemer. Voorbeeld: \(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- De exacte vorm is het belangrijkste antwoord, met erbij de waarde als kommagetal en tussen welke twee gehele getallen die ligt. Op een getallenlijn zie je ook hoe groot het is
- De rekenmachine toont de wortel zoals je die met de hand opschrijft, en je kunt de getallen onder en voor de wortel ook rechtstreeks aanpassen
Deze pagina werkt met wortels uit positieve gehele getallen. Wortels uit negatieve getallen, derdemachtswortels en andere hogere wortels, en wortels in een wortel zoals \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) kunnen niet.
Waarvoor is deze berekening handig?
De verhouding van A4-papier en andere A-formaten (alledaagse normen)
Een A4-vel is 210 mm breed en 297 mm hoog. De verhouding is \(297 \div 210 \approx 1{,}414\), en dat is \(\sqrt{2}\). Alle A-formaten (A3, A4, A5, …) hebben deze verhouding. Vouw je een vel doormidden, dan krijg je het volgende formaat, met precies dezelfde verhouding: de nieuwe verhouding is \(2 \div \sqrt{2} = \sqrt{2}\). Dat werkt alleen omdat de verhouding van hoogte en breedte \(\sqrt{2}\) is.
Het begin van de reeks is A0: precies 1 m² groot, dus als de breedte \(x\) is, geldt \(x \times \sqrt{2}x = 1\), waaruit \(x \approx 0{,}841\) m en de hoogte ongeveer 1,189 m volgt (841 mm × 1189 mm). Daarom kun je met een kopieerapparaat een A4 vergroten naar A3 zonder dat er een rand wegvalt, en daarom passen ze netjes in elkaar.
Een diagonaal berekenen (bouwen, ontwerpen, landmeten)
Bereken je een diagonaal uit twee zijden die een rechte hoek vormen (de stelling van Pythagoras), dan is het antwoord vaak een wortel. De diagonaal van een vierkant met zijden van 1 m is \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) m, en bij zijden van 3 m en 4 m is hij \(\sqrt{25} = 5\) m.
Timmerlieden en bouwers meten deze diagonaal om te controleren of een hoek recht is (de 3-4-5-regel). Schrijf op een tekening liever \(3\sqrt{2}\) m dan \(\sqrt{18}\) m: dan zie je meteen dat het 3 keer \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) is, ongeveer 4,24 m.
Standaardafwijking, de spreiding van gegevens (statistiek en kwaliteitscontrole)
De standaardafwijking is de wortel uit het gemiddelde van de gekwadrateerde afstanden tot het gemiddelde (de variantie). Eerst kwadrateren en dan de wortel nemen brengt het resultaat terug naar dezelfde eenheid als de oorspronkelijke gegevens.
De vijf waarden 4; 6; 8; 10; 12 hebben bijvoorbeeld gemiddelde 8 en variantie 8 (berekend over alle vijf), dus de standaardafwijking is \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Toetscijfers, de spreiding van producten in een fabriek, referentiewaarden bij bloedonderzoek: overal waar je met gegevens werkt, kom je wortels tegen.
Hoe lang een val duurt en hoe een slinger zwaait (natuurkunde)
Een voorwerp dat je loslaat vanaf een hoogte van \(h\) meter, valt in \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) seconden naar de grond (\(g\), de valversnelling, is ongeveer 9,81 m/s²). Vanaf 5 m duurt dat ongeveer 1,0 seconde. De tijd voor één volledige zwaai van een slinger is ook evenredig met de wortel uit de lengte (ongeveer 2,0 seconden voor een slinger van 1 m).
Deze regel, “de tijd is evenredig met de wortel uit de afstand”, gebruik je in het dagelijks leven bij het ontwerpen van klokken en speeltoestellen en bij het onderzoeken van valongevallen.
De snelheid afleiden uit remsporen (ongevalsonderzoek)
Uit de lengte van de remsporen die een auto op het wegdek achterlaat, kun je de snelheid schatten waarmee het remmen begon, met \(\sqrt{254fd}\) km/u (\(d\) is de lengte van het remspoor in meter en \(f\) is de wrijvingsfactor tussen band en wegdek). Deze formule komt uit \(v^2 = 2gfd\) met \(g \approx 9{,}81\) m/s², omgerekend van m/s naar km/u. Bij droog asfalt met \(f = 0{,}8\) en een remspoor van 50 m is dat \(\sqrt{10160} = 4\sqrt{635} \approx 100{,}8\) km/u.
Het is een schatting, maar zo redeneer je in een ongevalsanalyse. Het verklaart ook een belangrijk feit voor veilig rijden: als je twee keer zo snel rijdt, wordt de remweg (vanaf het moment dat de remmen werken tot je stilstaat) vier keer zo lang, want de remweg is evenredig met het kwadraat van de snelheid.
Formules en figuren
Wat een wortel en het wortelteken betekenen
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(\sqrt{a}\), het positieve getal waarvan het kwadraat \(a\) is, nog een keer gekwadrateerd
\(=\)
②
\(a\): het getal onder het wortelteken
De formule in woorden
①
Neem voor een getal \(a\) van 0 of meer
\(\sqrt{a}\), het positieve getal waarvan het kwadraat \(a\) is, nog een keer gekwadrateerd
②
en je krijgt weer
\(a\): het getal onder het wortelteken
terug
Een eenvoudig voorbeeld
De wortel uit \(2\), \(\sqrt{2}\), is de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde \(1\). Kwadrateer je die, dan krijg je
de diagonaal \(\sqrt{2}\) gekwadrateerd
\(=\)
het getal onder het wortelteken, \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\)
Het belangrijkste idee
Stel je een vierkant voor met oppervlakte \(a\). De lengte van de zijde is precies \(\sqrt{a}\). Kwadrateer je de zijde, dan krijg je de oppervlakte \(a\) terug, en dat is wat het wortelteken betekent.
\(\sqrt{2}\) en \(\sqrt{3}\) kun je niet als breuk schrijven (het zijn irrationale getallen). Als kommagetal houden ze nooit op en herhalen ze zich nooit. In plaats van eindeloos \(1{,}41421356\dots\) te schrijven, geeft het ene symbool \(\sqrt{2}\) dus de exacte waarde.
Er zijn twee getallen waarvan het kwadraat \(a\) is: \(+\sqrt{a}\) en \(-\sqrt{a}\). Volgens afspraak betekent het symbool \(\sqrt{a}\) alleen het positieve getal (de positieve wortel).
Een wortel vereenvoudigen (het kwadraat buiten het wortelteken brengen)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
een wortel waarvan het getal onder het wortelteken een kwadraatgetal \(a^2\) keer de rest \(b\) is
\(=\)
①
\(a\): de wortel uit het kwadraatgetal (komt buiten)
②
\(\sqrt{b}\): de wortel uit de rest (blijft binnen)
De formule in woorden
①
Splits voor getallen \(a\) en \(b\) van 0 of meer het getal onder het wortelteken in “kwadraatgetal × de rest”. Haal
\(a\): de wortel uit het kwadraatgetal
buiten het wortelteken,
②
laat
\(\sqrt{b}\): de wortel uit de rest
binnen en vermenigvuldig. Het resultaat is gelijk aan
③
de oorspronkelijke wortel \(\sqrt{a^2b}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Omdat \(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\), wordt \(\sqrt{48}\)
de oorspronkelijke wortel \(\sqrt{48}\)
\(=\)
\(4\) komt buiten
\(\sqrt{3}\) blijft binnen
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9282\)
Het belangrijkste idee
Waarom dat buiten kan, zie je als je het splitst als \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\). \(\sqrt{a^2}\) is “het positieve getal waarvan het kwadraat \(a^2\) is”, en dat is gewoon \(a\). Dus \(a\) komt buiten het wortelteken en \(\sqrt{b}\) blijft binnen.
Ontbinden in priemfactoren is de zekere manier om kwadraten te vinden. Van elk paar gelijke priemfactoren komt één exemplaar buiten, en alleen de priemfactoren zonder partner blijven binnen. Neem bijvoorbeeld \(72 = 2^3 \times 3^2\). Er zijn drie 2’en, dat is één paar, dus één 2 komt buiten en één 2 blijft binnen. Er zijn twee 3’en, precies één paar, dus één 3 komt buiten. Dus \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Er zijn twee redenen om te vereenvoudigen. Ten eerste zie je de grootte beter: \(\sqrt{48}\) zegt op het eerste gezicht weinig, maar \(4\sqrt{3}\) is 4 keer \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), dus ongeveer 6,9. Ten tweede krijgen gelijke waarden dezelfde vorm, zodat je antwoorden kunt controleren en uitdrukkingen kunt opruimen.
Wortels optellen en aftrekken (gelijksoortige termen samenvoegen)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(p\) keer \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\) keer \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\(p+q\) keer \(\sqrt{a}\)
De formule in woorden
①
Als het getal onder het wortelteken gelijk is, namelijk \(a\), dan is
\(p\) keer \(\sqrt{a}\)
②
plus
\(q\) keer \(\sqrt{a}\)
een optelling van stukken van gelijke grootte, dus je telt de aantallen op. Dat geeft
③
\(p+q\) keer \(\sqrt{a}\)
Een eenvoudig voorbeeld
In \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) bestaan beide uit stukjes \(\sqrt{2}\), dus
3 keer \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5 keer \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8 keer \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3137\)
Het belangrijkste idee
Het is hetzelfde idee als “3 appels + 5 appels = 8 appels”. Als je in de algebra \(3x + 5x = 8x\) samenvoegt, is die \(x\) hier gewoon \(\sqrt{2}\). Dit heet gelijksoortige termen samenvoegen.
Wortels met een verschillend getal onder het wortelteken kun je daarentegen niet tot één wortel samenvoegen. De meest gemaakte fout is dat je de getallen onder de wortelstekens optelt: \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\). Dat klopt niet. Met gehele getallen zie je het meteen: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), maar \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), een heel ander getal. Bij aftrekken is het hetzelfde: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) is ook niet \(\sqrt{a-b}\).
Dus \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) is niet \(\sqrt{5}\) (in feite is \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}1463\), terwijl \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\)). Het antwoord is gewoon \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\). Dingen die je niet kunt samenvoegen niet forceren is de juiste manier van antwoorden.
Wortels die er verschillend uitzien, kunnen na het vereenvoudigen toch gelijksoortige termen worden. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) lijkt niet samen te voegen, maar \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), dus \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Bij optellen en aftrekken vereenvoudig je dus altijd eerst beide wortels.
Wortels vermenigvuldigen (wat onder de wortels staat vermenigvuldigen tot één wortel)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
de wortel uit \(a\)
\(\times\)
②
de wortel uit \(b\)
\(=\)
③
de wortel uit het product \(ab\) van de getallen onder de wortels
De formule in woorden
①
Voor getallen \(a\) en \(b\) die allebei 0 of meer zijn, geldt: vermenigvuldig je
de wortel uit \(a\), \(\sqrt{a}\)
②
met
de wortel uit \(b\), \(\sqrt{b}\)
dan vermenigvuldig je wat onder de wortelstekens staat, en dat geeft
③
de wortel uit \(ab\), \(\sqrt{ab}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij \(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\) vermenigvuldig je wat onder de wortels staat tot \(\sqrt{18}\) en vereenvoudig je daarna
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\) (vereenvoudigd \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\)
Het belangrijkste idee
Het is makkelijk te begrijpen met een rechthoek met hoogte \(\sqrt{a}\) en breedte \(\sqrt{b}\): de oppervlakte is \(\sqrt{ab}\). Anders dan bij optellen kun je bij vermenigvuldigen wortels tot één wortel samenvoegen, ook als het getal onder het wortelteken verschilt.
Staan er getallen voor de wortels, vermenigvuldig dan de getallen ervoor en de getallen eronder apart. Bijvoorbeeld \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\). Vereenvoudig dan \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) en je krijgt \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Na het vermenigvuldigen wordt het getal onder de wortel groter en bevat het vaak een kwadraat, dus vergeet niet om aan het eind te vereenvoudigen.
Vermenigvuldig je een wortel met zichzelf, dan verdwijnt het wortelteken (\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). Dat zegt hetzelfde als de eerste formule, \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Let op: deze formule geldt alleen als \(a\) en \(b\) allebei 0 of meer zijn. Bij wortels uit negatieve getallen (imaginaire getallen) werkt hij niet op dezelfde manier, dus gebruik hem niet als er een negatief getal onder het wortelteken staat.
Wortels delen en de noemer rationaal maken
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
een wortel die in de noemer blijft staan
\(=\)
②
teller en noemer allebei vermenigvuldigd met \(\sqrt{b}\)
\(=\)
③
een noemer die nu het gehele getal \(b\) is
De formule in woorden
①
Schrijf voor \(a\) van 0 of meer en een positief \(b\) (het is een noemer, dus niet 0) de deling als breuk, met
een wortel die in de noemer blijft staan
②
Schrijf dat om met
teller en noemer allebei vermenigvuldigd met \(\sqrt{b}\)
De noemer wordt \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\), dus het wortelteken verdwijnt, en je krijgt
③
een noemer die nu het gehele getal \(b\) is
Een eenvoudig voorbeeld
Schrijf je \(1 \div \sqrt{3}\) zonder wortel in de noemer, dan krijg je
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
beide vermenigvuldigd met \(\sqrt{3}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\)
Het belangrijkste idee
Vermenigvuldig je teller en noemer met hetzelfde getal, dan verandert de waarde van de breuk niet. Bij het rationaal maken van de noemer gebruik je dat om alleen de wortel uit de noemer te halen. Het verandert het uiterlijk, niet de waarde, dus \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) en \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) zijn hetzelfde getal (ongeveer 0,5774).
Antwoorden schrijf je zonder wortel in de noemer, omdat je dan de grootte beter kunt inschatten en antwoorden makkelijker kunt vergelijken. Bij \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) moet je 1 delen door 1,73…, maar bij \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) deel je gewoon 1,73… door 3.
De stappen zijn hetzelfde als er getallen voor de wortels staan: deel de getallen ervoor en maak daarna de wortel rationaal (voorbeeld: \(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). Heeft de noemer twee termen, zoals \(\sqrt{3} + 1\), dan heb je een andere methode nodig (vermenigvuldigen met de toegevoegde). Deze rekenmachine werkt alleen met noemers met één wortel.
Een wortel vereenvoudigen betekent: het getal onder het wortelteken in priemfactoren ontbinden, de kwadraten zoeken en daar de wortel van buiten het wortelteken brengen (\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). Bij optellen en aftrekken kun je alleen wortels met hetzelfde getal onder het wortelteken (gelijksoortige termen) samenvoegen. Bij vermenigvuldigen en delen kun je de getallen onder de wortelstekens met elkaar vermenigvuldigen of delen. Volgens afspraak schrijf je een quotiënt zonder wortel in de noemer (met een rationale noemer).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | wortel (wortelteken) | Het symbool voor een wortel, het wortelteken. Het komt waarschijnlijk van een stilistische r, de eerste letter van het Latijnse woord radix, “wortel”. Het staat voor het positieve getal waarvan het kwadraat het getal eronder is, zoals in \(\sqrt{9} = 3\). |
| \(\sqrt{a}\) | wortel uit a | De positieve wortel uit \(a\). Kwadrateer je die, dan krijg je \(a\) terug (\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). Het getal \(a\) onder het wortelteken moet 0 of meer zijn. |
| \(a\sqrt{b}\) | a keer wortel uit b | \(a\) keer \(\sqrt{b}\) (het maalteken is weggelaten). Een vereenvoudigde wortel heeft deze vorm: \(a\) is het getal dat buiten het wortelteken is gekomen en \(b\) het getal dat binnen is gebleven. |
| \(a^2\) | a in het kwadraat | \(a\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(a \times a\)). De kleine 2 rechtsboven geeft aan hoe vaak je vermenigvuldigt. Bij het vereenvoudigen van een wortel is het eerste wat je doet, deze vorm onder het wortelteken zoeken. |
| \(\approx\) | is ongeveer gelijk aan | Het symbool voor “ongeveer gelijk”. De waarde van een wortel komt niet precies uit, dus als je die als kommagetal schrijft, gebruik je dit symbool, zoals in \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). |
| \(p, q\) | p, q | Letters die je vaak gebruikt voor de getallen voor een wortel. Op deze pagina geven ze, zoals in \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\), aan hoeveel keer \(\sqrt{a}\) er is. |
| \(<\) | is kleiner dan | Het symbool dat betekent dat de linkerkant kleiner is dan de rechterkant. Op deze pagina laat het zien tussen welke twee gehele getallen een wortel ligt, zoals in \(6 < 4\sqrt{3} < 7\). |
Begrippen
| vierkantswortel | Een getal waarvan het kwadraat het gegeven getal is. De wortels uit \(9\) zijn \(3\) en \(-3\). De positieve schrijf je \(\sqrt{9}\) en de negatieve \(-\sqrt{9}\). In het dagelijks gebruik zeg je gewoon “wortel”. |
| wortelteken | Het symbool √ voor een wortel. Een uitdrukking zoals \(\sqrt{5}\) staat voor de positieve wortel uit het getal eronder. |
| getal onder het wortelteken | Het getal onder het wortelteken. In \(\sqrt{48}\) is dat 48. |
| vereenvoudigde wortelvorm | De vorm die je krijgt door een wortel te vereenvoudigen (te herleiden) zonder de waarde te veranderen: de kwadraten gaan buiten het wortelteken, zodat het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk is (\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)). Ook staat er geen wortel in een noemer. |
| kwadraatgetal | Een getal dat je krijgt door een geheel getal te kwadrateren, zoals \(1; 4; 9; 16; 25; 36; \dots\). Is het getal onder het wortelteken een kwadraatgetal, dan verdwijnt het wortelteken en houd je een geheel getal over (\(\sqrt{36} = 6\)). |
| kwadraatfactor | Een deler van een getal die zelf een kwadraatgetal is. \(48\) heeft de kwadraatfactor \(16 = 4^2\), dus \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Getallen waarvan \(1\) de enige kwadraatfactor is (\(2; 3; 5; 6; 7; 10; \dots\)) kun je niet verder vereenvoudigen. |
| ontbinden in priemfactoren | Een geheel getal schrijven als product van alleen priemgetallen (\(48 = 2^4 \times 3\)). Van elk paar gelijke priemfactoren komt één exemplaar buiten het wortelteken, dus priemfactoren met een even exponent komen helemaal buiten en bij een oneven exponent blijft er één binnen. Het is de zekere manier om kwadraten te vinden. |
| priemgetal | Een geheel getal van 2 of meer dat alleen door 1 en door zichzelf deelbaar is, zoals \(2; 3; 5; 7; 11; \dots\). Priemgetallen zijn de bouwstenen van het ontbinden in priemfactoren. |
| gelijksoortige termen | Termen waarvan het lettergedeelte precies gelijk is, zoals \(3x\) en \(5x\). Bij wortels zijn termen met hetzelfde getal onder het wortelteken, zoals \(3\sqrt{2}\) en \(5\sqrt{2}\), gelijksoortig (je zegt ook gelijksoortige wortels), en alleen die kun je samenvoegen. |
| noemer rationaal maken | Een breuk met een wortel in de noemer herschrijven door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, zodat er geen wortel meer in de noemer staat. De waarde verandert niet (\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). |
| rationaal getal | Een getal dat je kunt schrijven als breuk van twee gehele getallen. Gehele getallen, eindige decimale getallen en repeterende decimale getallen zijn allemaal rationaal. “Rationaal” komt van “ratio” (verhouding). |
| irrationaal getal | Een getal dat je niet als breuk kunt schrijven. Als kommagetal houdt het nooit op en herhaalt het zich nooit. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) en \(\pi\) zijn irrationaal. |
| reëel getal | Alle rationale en irrationale getallen samen, die overeenkomen met de punten op de getallenlijn. Deze pagina werkt met wortels binnen de reële getallen. |
| benadering | Een waarde die dicht bij de exacte waarde ligt en die je er in plaats van gebruikt. In \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) is de rechterkant een benadering. De waarde van een wortel komt nooit precies uit, dus elk kommagetal dat je ervoor schrijft is een benadering. |
| imaginair getal | Een getal dat niet reëel is. Als \(i\) het getal is waarvan het kwadraat \(-1\) is, zijn de wortels uit \(-4\) gelijk aan \(2i\) en \(-2i\). Wortels uit negatieve getallen zijn imaginair en staan niet op de getallenlijn. In Nederland komen ze in de bovenbouw van het vwo aan bod, bij complexe getallen. |
| wortel in een wortel | Een wortel met nog een wortel eronder, zoals \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\). Als de voorwaarden kloppen, kun je die herschrijven zonder die tweede wortel, als \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). Deze rekenmachine werkt hier niet mee. |
| getallenlijn | Getallen als punten op een rechte lijn gezet. Zo zie je hoe groot een wortel ongeveer is en tussen welke twee gehele getallen die ligt. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Machten en kwadraten (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Ontbinden in priemfactoren (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Wat een wortel betekent (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Gelijksoortige termen in de algebra (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Rekenen met breuken en ze vereenvoudigen (groep 6 tot en met klas 1, 9-13 jaar) |
|
| De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om te controleren wat een wortel betekent
| Getal onder de wortel a | 3 |
| Waarde van √a | =WORTEL(B1) |
| √a gekwadrateerd (terug naar B1) | =B2^2 |
Tabel om een vereenvoudigde wortel te controleren
| Getal dat buiten komt a | 4 |
| Getal dat binnen blijft b | 3 |
| Oorspronkelijk getal a²×b | =B1^2*B2 |
| Waarde van √(a²b) | =WORTEL(B3) |
| Waarde van a√b (hetzelfde) | =B1*WORTEL(B2) |
Tabel om het optellen van wortels te controleren
| Getal onder de wortel a | 2 |
| Eerste getal voor de wortel p | 3 |
| Tweede getal voor de wortel q | 5 |
| Waarde van p√a + q√a | =B2*WORTEL(B1)+B3*WORTEL(B1) |
| Waarde van (p+q)√a (hetzelfde) | =(B2+B3)*WORTEL(B1) |
Tabel om het vermenigvuldigen van wortels te controleren
| Eerste getal onder de wortel a | 3 |
| Tweede getal onder de wortel b | 6 |
| Waarde van √a × √b | =WORTEL(B1)*WORTEL(B2) |
| Waarde van √(ab) (hetzelfde) | =WORTEL(B1*B2) |
| Waarde van de vereenvoudigde 3√2 (hetzelfde) | =3*WORTEL(2) |
Tabel om het rationaal maken van de noemer te controleren
| Getal onder de wortel b | 3 |
| Waarde van 1 ÷ √b | =1/WORTEL(B1) |
| Waarde van √b ÷ b (hetzelfde) | =WORTEL(B1)/B1 |
Kopieer een tabel en plak die in cel A1. De bovenste rijen zijn je invoer en de onderste rijen worden automatisch berekend. WORTEL is de functie voor de wortel en “^” is het tekentje voor een macht.
In de eerste tabel vul je 3 in bij a: √3 is 1,732050808… en gekwadrateerd krijg je weer 3.
In de tweede tabel vul je 4 in bij a en 3 bij b. Het oorspronkelijke getal is 48, en √48 en 4√3 geven allebei 6,928203230….
De derde tabel is 3√2 + 5√2, en beide berekeningen geven 11,31370850…. De vierde tabel is √3 × √6, en alle drie de formules geven 4,242640687….
De vijfde tabel is 1 ÷ √3, en de rationaal gemaakte √3 ÷ 3 geeft hetzelfde, 0,5773502692…. Verander de waarden en je kunt controleren dat het bij elke combinatie klopt.
Let op: Excel toont decimale benaderingen. Gebruik de rekenmachine op deze pagina om exacte vormen zoals 4√3 te zien.
In de eerste tabel vul je 3 in bij a: √3 is 1,732050808… en gekwadrateerd krijg je weer 3.
In de tweede tabel vul je 4 in bij a en 3 bij b. Het oorspronkelijke getal is 48, en √48 en 4√3 geven allebei 6,928203230….
De derde tabel is 3√2 + 5√2, en beide berekeningen geven 11,31370850…. De vierde tabel is √3 × √6, en alle drie de formules geven 4,242640687….
De vijfde tabel is 1 ÷ √3, en de rationaal gemaakte √3 ÷ 3 geeft hetzelfde, 0,5773502692…. Verander de waarden en je kunt controleren dat het bij elke combinatie klopt.
Let op: Excel toont decimale benaderingen. Gebruik de rekenmachine op deze pagina om exacte vormen zoals 4√3 te zien.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om te controleren wat een wortel betekent
| Getal onder de wortel a | 3 |
| Waarde van √a | =WORTEL(B1) |
| √a gekwadrateerd (terug naar B1) | =B2^2 |
Tabel om een vereenvoudigde wortel te controleren
| Getal dat buiten komt a | 4 |
| Getal dat binnen blijft b | 3 |
| Oorspronkelijk getal a²×b | =B1^2*B2 |
| Waarde van √(a²b) | =WORTEL(B3) |
| Waarde van a√b (hetzelfde) | =B1*WORTEL(B2) |
Tabel om het optellen van wortels te controleren
| Getal onder de wortel a | 2 |
| Eerste getal voor de wortel p | 3 |
| Tweede getal voor de wortel q | 5 |
| Waarde van p√a + q√a | =B2*WORTEL(B1)+B3*WORTEL(B1) |
| Waarde van (p+q)√a (hetzelfde) | =(B2+B3)*WORTEL(B1) |
Tabel om het vermenigvuldigen van wortels te controleren
| Eerste getal onder de wortel a | 3 |
| Tweede getal onder de wortel b | 6 |
| Waarde van √a × √b | =WORTEL(B1)*WORTEL(B2) |
| Waarde van √(ab) (hetzelfde) | =WORTEL(B1*B2) |
| Waarde van de vereenvoudigde 3√2 (hetzelfde) | =3*WORTEL(2) |
Tabel om het rationaal maken van de noemer te controleren
| Getal onder de wortel b | 3 |
| Waarde van 1 ÷ √b | =1/WORTEL(B1) |
| Waarde van √b ÷ b (hetzelfde) | =WORTEL(B1)/B1 |
Dezelfde formules als in Excel werken gewoon (Google Spreadsheets kent met een Nederlandse taalinstelling ook WORTEL). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# Schrijf √n als a√b (b heeft geen kwadraatfactor) en geef (a, b) terug
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# Controleer ook met decimale waarden (die zijn gelijk)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# Is het getal onder het wortelteken een kwadraatgetal, dan verdwijnt het wortelteken
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
Het gebruikt alleen de standaardbibliotheek. Probeer d = 2, 3, 4, … om de beurt. Zolang het getal deelbaar is door d in het kwadraat, blijf je delen en zet je telkens één d buiten het wortelteken. Voer je het uit, dan krijg je “√48 = 4√3” en daarna tweemaal dezelfde waarde (ongeveer 6,93), en dat laat zien dat de waarde voor en na het vereenvoudigen gelijk is. De laatste regel is √36, waarbij het wortelteken verdwijnt, en die geeft (6, 1) en 6. Pas de getallen aan en probeer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Wat een wortel en het wortelteken betekenen
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
Een wortel vereenvoudigen (het kwadraat buiten het wortelteken brengen)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
Wortels optellen en aftrekken (gelijksoortige termen samenvoegen)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
Wortels vermenigvuldigen (wat onder de wortels staat vermenigvuldigen tot één wortel)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
Wortels delen en de noemer rationaal maken
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor wortels. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken). 1. Vereenvoudig √48 zodat het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk is. 2. Laat ook de priemfactorontbinding van 48 zien die je daarbij gebruikt. 3. Geef 3√2 + 5√2, 2√6 × 3√2 en 6 ÷ √3 elk in de eenvoudigste wortelvorm (bij de deling zonder wortel in de noemer). Schrijf in Python je eigen functie die het getal onder het wortelteken in priemfactoren ontbindt en de kwadraten naar buiten haalt, en controleer dat de decimale waarden voor en na het vereenvoudigen gelijk zijn. Laat de code zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Wortels berekenen (vierkantswortel, derdemachtswortel, n-demachtswortel)
Bereken vierkantswortels zoals √27, derdemachtswortels en n-demachtswortels als kommagetal. Ook oneven wortels van negatieve getallen
Ontbinden in priemfactoren
Ontbind een geheel getal in priemfactoren. Het is de basis voor het zoeken naar kwadraatgetallen bij het vereenvoudigen van wortels
