Meetkundige rij berekenen (n-de term en som)

Vul de eerste term (het eerste getal van de rij), de reden (het getal waarmee je bij elke stap vermenigvuldigt) en het aantal termen (hoe ver je gaat) in en klik op “Berekenen”. Je krijgt de eerste paar termen, de \(n\)-de term en de som van de eerste n termen in één keer. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de eerste term, de reden en het aantal termen ook direct in de formule aanpassen. Is de absolute waarde van de reden kleiner dan 1, dan toont de rekenmachine ook de som als je eindeloos blijft optellen (de som van de oneindige meetkundige reeks).

Eerste term a

Reden r

Aantal termen n

De eerste term en de reden mogen kommagetallen of negatieve getallen zijn. Vul het aantal termen n in als een positief geheel getal (1 tot en met 1.000).

Resultaat en grafiek

Vul links de eerste term, de reden en het aantal termen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een grafiek.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul slechts drie waarden in, de eerste term, de reden (het getal waarmee je bij elke stap vermenigvuldigt) en het aantal termen, en je krijgt tegelijk de \(n\)-de term en de som van de eerste \(n\) termen
Het werkt direct voor opgaven als “De rij 3, 6, 12, 24, … wordt steeds twee keer zo groot. Wat is het 10e getal? Wat is de som van de eerste 10 getallen?”
De eerste term en de reden mogen kommagetallen of negatieve getallen zijn (gebruik een reden van “0,5” voor een rij die elke keer de helft wordt, en een negatieve reden voor een rij waarvan de tekens afwisselen)
Is de absolute waarde van de reden kleiner dan 1, dan toont de rekenmachine ook de som als je eindeloos blijft optellen (de som van de oneindige meetkundige reeks)
Naast het resultaat laat een grafiek zien hoe de termen steeds verdubbelen (langs een kromme omhoog). Op deze pagina staan ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python

Deze pagina werkt alleen voor meetkundige rijen (rijen waarin de verhouding tussen opeenvolgende termen altijd hetzelfde is, dus je vermenigvuldigt bij elke stap met hetzelfde getal). Voor rijen die groeien door hetzelfde getal op te tellen, zoals 5, 8, 11, … (rekenkundige rijen), gebruik je de rekenmachine voor rekenkundige rijen.

Waarvoor is deze berekening handig?

Zien hoe geld groeit met samengestelde rente (geldplanning)

Bij samengestelde rente, waarbij de rente ook weer rente oplevert, groeit het saldo elk jaar met dezelfde factor, dus het vormt een meetkundige rij. Als je € 10.000 belegt tegen 3% rente per jaar, samengesteld per jaar, wordt het saldo elk jaar met 1,03 vermenigvuldigd. Na 10 jaar is het \(10.000 \times 1{,}03^{10} \approx 13.439\) euro (als de rente alle 10 jaar gelijk blijft).
“Hoeveel is het over k jaar?” is precies de berekening van de \(n\)-de term van een meetkundige rij. Het verschil met enkelvoudige rente, die elk jaar met hetzelfde bedrag groeit (een rekenkundige rij), is “groeien door op te tellen, of groeien door te vermenigvuldigen”.

Schatten hoe bacteriën of cellen zich vermenigvuldigen (biologie en voedselveiligheid)

Bacteriën die zich vermenigvuldigen door te delen, verdubbelen bij elke deling in aantal, dus ze vormen een meetkundige rij met reden 2. Deelt één bacterie zich elke 20 minuten één keer, dan zijn er na 6 uur (18 delingen) \(2^{18} = 262.144\) van, meer dan 260.000 (dit gaat uit van een ideaal geval met genoeg voedsel en ruimte en zonder dat er bacteriën doodgaan).
Dit verdubbelingspatroon (exponentiële groei) is ook de reden dat je wordt geadviseerd eten niet bij kamertemperatuur te laten staan.

Een vel papier vouwen verdubbelt de dikte (gevoel voor exponentiële groei)

Vouw een vel kopieerpapier van ongeveer 0,1 mm dik één keer en het wordt twee keer zo dik. Elke vouw verdubbelt de dikte, dus de dikte vormt een meetkundige rij met reden 2. Op papier geven 10 vouwen \(0{,}1 \times 2^{10} = 102{,}4\) mm (ongeveer 10 cm) en 23 vouwen ongeveer 839 m, hoger dan de Burj Khalifa (828 m), het hoogste gebouw ter wereld.
In het echt kun je papier maar ongeveer 7 of 8 keer vouwen. Toch laat “slechts 23 keer verdubbelen om het hoogste gebouw ter wereld te passeren” zien hoe ver meetkundige groei voorbij ons gevoel voor optellen gaat.

Berekenen hoe een stuiterende bal hoogte verliest (natuurkunde en sport)

Stel dat een bal elke keer terugstuitert tot 60% van de hoogte waarvan hij viel. Laat je hem van 2 m vallen, dan nemen de stuiterhoogtes af als een meetkundige rij met reden 0,6. Bij de 5e stuit komt hij nog maar \(2 \times 0{,}6^{5} \approx 0{,}16\) m (ongeveer 16 cm) omhoog.
Dingen die elke keer met hetzelfde percentage afnemen, zoals wegstervende trillingen en geluiden of de hoeveelheid van een medicijn in het bloed, worden gemodelleerd met meetkundige rijen met een reden kleiner dan 1.

Toonladders zijn meetkundige rijen van frequenties (muziek en instrumenten)

De gelijkzwevende stemming die op de piano en andere instrumenten wordt gebruikt, is een meetkundige rij: elke halve toon omhoog vermenigvuldigt de frequentie met ongeveer 1,0595 (precies de twaalfdemachtswortel van 2). Twaalf halve tonen omhoog vanaf de a (440 Hz) geeft \(440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880\) Hz, de a precies een octaaf hoger.
Omdat elke halve toon dezelfde verhouding heeft, klinkt muziek hetzelfde in elke toonsoort waarnaar je het verplaatst. Meetkundige rijen zitten in de basis van muziek ingebouwd.

Formules en grafieken

Formule voor de \(n\)-de term (directe formule)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(r\) \(n-1\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(a_n\): \(n\)-de term \(=\) ① \(a\): eerste term \(\times\) ② \(r\): reden ③ \((n-1)\): aantal stappen

De formule in woorden

① Begin met de \(a\): eerste term en vermenigvuldig die met de

② \(r\): reden steeds opnieuw, zo vaak als het

③ \((n-1)\): aantal stappen aangeeft,

④ en je krijgt de \(a_n\): \(n\)-de term

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de meetkundige rij met eerste term 3 en reden 2 (3, 6, 12, 24, …) is term 5 gelijk aan

\(a_5\): term 5 \(=\) eerste term (3) \(\times\) reden (2) stappen (5 − 1 = 4)

\(3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48\)

Het belangrijkste idee

De meest gemaakte fout is \(n\) keer vermenigvuldigen in plaats van \(n-1\) keer. Van term 1 naar term \(n\) vermenigvuldig je één keer per stap met de reden, en er zijn \(n-1\) stappen, één minder dan \(n\). Van term 1 naar term 3 vermenigvuldig je bijvoorbeeld maar twee keer (\(3-1\) keer). Is de reden \(r\) een positief getal kleiner dan \(1\) (bijvoorbeeld 0,5), dan worden de termen steeds kleiner en gaan ze naar \(0\). Is hij negatief (bijvoorbeeld \(-2\)), dan wisselen de tekens van de termen af. In beide gevallen werkt de formule gewoon.

Formule voor de som van de eerste \(n\) termen (als de reden niet \(1\) is)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \((1 - r^{n})\) \(\div\) \((1 - r)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(S_n\): som van termen 1 t/m \(n\) \(=\) ① \(a\): eerste term \(\times\) ② \((1 - r^n)\): 1 min de reden tot de \(n\)-de macht \(\div\) ③ \((1 - r)\): 1 min de reden

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de \(a\): eerste term met

② \((1 - r^n)\): 1 min de reden tot de \(n\)-de macht ,

③ deel dan door \((1 - r)\): 1 min de reden ,

④ en je krijgt de \(S_n\): som van termen 1 t/m \(n\)

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de meetkundige rij met eerste term 3 en reden 2 (3, 6, 12, 24, …) is de som van termen 1 t/m 5 gelijk aan

\(S_5\): som tot en met term 5 \(=\) eerste term (3) \(\times\) 1 min de reden tot de 5e macht (\(1 - 2^5 = -31\)) \(\div\) 1 min de reden (\(1 - 2 = -1\))

\(3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93\)

\(-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93\)

Het belangrijkste idee

Is de reden groter dan 1, dan zijn zowel de teller (\(1 - r^n\)) als de noemer (\(1 - r\)) negatief, zoals in het voorbeeld. De twee minnen heffen elkaar bij het delen op, dus het antwoord is positief. Schoolboeken gebruiken ook vaak \(S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), waarbij teller en noemer met \(-1\) zijn vermenigvuldigd om de tekens om te draaien. Het is precies dezelfde formule, alleen makkelijker te gebruiken als de reden groter is dan 1. Is de reden \(1\), dan wordt de noemer \(1 - r\) gelijk aan \(0\), dus deze formule werkt niet. Gebruik dan de volgende formule.

Formule voor de som als de reden \(1\) is

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(S_n\): som van termen 1 t/m \(n\) \(=\) ① \(a\): eerste term \(\times\) ② \(n\): aantal termen

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de \(a\): eerste term met het

② \(n\): aantal termen ,

③ en je krijgt de \(S_n\): som van termen 1 t/m \(n\)

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de meetkundige rij met eerste term 5 en reden 1 (5, 5, 5, 5, …) is de som van termen 1 t/m 4 gelijk aan

\(S_4\): som tot en met term 4 \(=\) eerste term (5) \(\times\) aantal termen (4)

\(5 \times 4 = 20\)

Het belangrijkste idee

In een meetkundige rij met reden \(1\) is elke term gelijk aan de eerste term (5, 5, 5, …). De som is dus gewoon “eerste term × aantal”. Zie het als de bijzondere route voor \(r = 1\), waar de tweede formule niet werkt (deze rekenmachine schakelt bij \(r = 1\) ook automatisch over op deze formule).

Formule voor de som van een oneindige meetkundige reeks (als de absolute waarde van de reden kleiner is dan \(1\))

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\div\) \((1 - r)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(S\): som als je eindeloos blijft optellen \(=\) ① \(a\): eerste term \(\div\) ② \((1 - r)\): 1 min de reden

De formule in woorden

① Deel de \(a\): eerste term door

② \((1 - r)\): 1 min de reden ,

③ en je krijgt de \(S\): som als je eindeloos blijft optellen

Een eenvoudig voorbeeld

Blijf je de meetkundige rij met eerste term 100 en reden 0,5 (100; 50; 25; 12,5; …) eindeloos optellen, dan krijg je

\(S\): oneindige som \(=\) eerste term (100) \(\div\) 1 min de reden (1 − 0,5 = 0,5)

\(100 \div (1 - 0{,}5) = 100 \div 0{,}5 = 200\)

Het belangrijkste idee

Deze formule werkt alleen als de absolute waarde van de reden kleiner is dan \(1\) (\(-1 < r < 1\)). Dan gaan de termen steeds dichter naar \(0\), dus ook als je eindeloos blijft optellen, gaat de som steeds dichter naar één vaste waarde (200 in dit voorbeeld). We zeggen dat de reeks convergeert en de waarde waar hij naartoe gaat is de som \(S\) van de oneindige meetkundige reeks. Is de absolute waarde van de reden \(1\) of meer, dan groeit de som zonder grens (of blijft hij heen en weer slingeren doordat de tekens afwisselen), dus er is geen oneindige som. Ook deze rekenmachine toont deze waarde alleen als de absolute waarde van de reden kleiner is dan \(1\). Waar komt de formule vandaan? In de tweede formule gaat \(r^n\) naar \(0\) als \(n\) groter en groter wordt, dus \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) gaat naar \(\dfrac{a}{1 - r}\).

Een meetkundige rij blijft met hetzelfde getal (de reden) vermenigvuldigen. De \(n\)-de term is “de eerste term maal de reden \(n-1\) keer toegepast” en de som is “eerste term × (1 − reden tot de \(n\)-de macht) ÷ (1 − reden)” (“eerste term × aantal termen” als de reden \(1\) is). Is de absolute waarde van de reden kleiner dan \(1\), dan is de som als je eindeloos blijft optellen \(a \div (1 - r)\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(a\)	a	De eerste term. De allereerste term (het allereerste getal) van de rij. Bij de rij 3, 6, 12, 24, … is het 3.
\(r\)	er	De reden. Het vaste getal waarmee je vermenigvuldigt om de volgende term te krijgen. Bij 3, 6, 12, 24, … is het 2. De letter komt van “reden” (de verhouding tussen twee opeenvolgende termen), en het kan een kommagetal of een negatief getal zijn.
\(n\)	en	Het aantal termen. Een positief geheel getal dat aangeeft hoe ver je in de rij gaat. “Tot en met term 10” is \(n = 10\).
\(a_n\)	a n	De \(n\)-de term. Het \(n\)-de getal van de rij. De kleine letter rechtsonder (de index) geeft aan op welke plaats het staat. De \(n\)-de term geschreven als formule in \(n\) heet de directe formule. Veel schoolboeken schrijven de termen als \(u_n\) in plaats van \(a_n\); de betekenis is hetzelfde.
\(r^{n-1}\)	r tot de macht n min één	De reden \(r\) die \(n-1\) keer met zichzelf is vermenigvuldigd (een macht). Van term 1 naar term \(n\) zijn er \(n-1\) stappen, dus je vermenigvuldigt één keer minder dan het aantal termen \(n\) (van term 1 naar term 3 zijn het 2 stappen).
\(S_n\)	es n	De som van termen 1 t/m \(n\). Een korte schrijfwijze voor \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). De letter S komt van “som”.
\(S\)	es	De som van de oneindige meetkundige reeks. De waarde waar de som naartoe gaat als je de termen eindeloos blijft optellen. Je schrijft het ook als \(S_\infty\) (“es oneindig”).
\(\cdots\)	puntjes (beletselteken)	Een teken dat zegt dat het patroon op dezelfde manier doorgaat. Als je 3, 6, 12, 24, … schrijft, bedoel je dat de getallen steeds blijven verdubbelen.

Begrippen

rij	Getallen in een vaste volgorde achter elkaar. Elk getal in de rij heet een term.
meetkundige rij	Een rij waarin de verhouding tussen opeenvolgende termen altijd hetzelfde is, zoals 3, 6, 12, 24, … (elke keer maal 2). Je vermenigvuldigt dus steeds met dezelfde reden.
term	Elk getal in een rij. Vanaf het begin heten ze term 1, term 2, enzovoort.
eerste term	De allereerste term van een rij, dus term 1. Je schrijft hem als \(a\) of \(a_1\).
reden	Bij een meetkundige rij het vaste getal waarmee je vermenigvuldigt om de volgende term te krijgen. Welk paar buren je ook deelt (latere term ÷ vorige term), je krijgt dezelfde waarde. Het kan een kommagetal zijn (bijvoorbeeld 0,5, elke keer de helft) of een negatief getal (de tekens wisselen af).
macht	Een getal dat een aantal keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd. \(2^5\) (2 tot de vijfde macht) is \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\). Het kleine getal rechtsboven (de exponent) geeft aan hoe vaak je vermenigvuldigt. Je leert het in klas 1-2 (12-14 jaar).
directe formule	De \(n\)-de term geschreven als formule in \(n\) (de tegenhanger is de recursieve formule, die de volgende term uit de vorige berekent). Bij een meetkundige rij is het \(a_n = a r^{n-1}\). Vul een volgnummer in voor \(n\) en je krijgt die term meteen.
oneindige meetkundige reeks	De termen van een meetkundige rij eindeloos bij elkaar opgeteld. Alleen als de absolute waarde van de reden kleiner is dan \(1\), convergeert de som naar een vaste waarde, \(\dfrac{a}{1-r}\). Je leert dit in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs, maar het idee is eenvoudig: elk bedrag dat je erbij optelt wordt kleiner en kleiner.
convergeren	Steeds dichter naar één vaste waarde gaan, hoe meer je optelt (of hoe verder je in de rij gaat). 100 + 50 + 25 + 12,5 + … komt steeds dichter bij 200 naarmate je meer optelt, dus zeggen we dat de som naar 200 convergeert.
rekenkundige rij	Een rij waarin het verschil tussen opeenvolgende termen altijd hetzelfde is, zoals 5, 8, 11, 14, … (elke keer 3 erbij). Ze groeit anders dan een meetkundige rij, die met hetzelfde getal vermenigvuldigt, dus de formules op deze pagina gelden hier niet.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Getalpatronen (groep 6-8, 9-12 jaar)	In een rij getallen zoals 3, 6, 12, 24, … een regel kunnen ontdekken als “het wordt steeds twee keer zo groot” Een tabel kunnen maken die elk volgnummer koppelt aan de waarde
Vermenigvuldigen met kommagetallen en breuken (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat vermenigvuldigen met 0,5 een getal halveert, zoals in \(64 \times 0{,}5 = 32\) Weten dat vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1 een antwoord geeft dat kleiner is dan waarmee je begon
Negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Twee negatieve getallen kunnen vermenigvuldigen, zoals in \((-2) \times (-2) = 4\) (daarom wisselen de tekens af als de reden negatief is) Twee negatieve getallen kunnen delen, zoals in \((-93) \div (-1) = 93\)
Machten en letters (klas 1-2, 12-14 jaar)	Machten kunnen uitrekenen, zoals \(2^5 = 32\) (vermenigvuldig zo vaak als het kleine getal rechtsboven aangeeft) Kunnen invullen, zoals \(n = 10\) invullen in \(n - 1\) om 9 te krijgen
Rekenvolgorde (groep 6-7, 9-11 jaar)	Eerst machten en wat tussen haakjes staat uitrekenen (bij \(3 \times (1 - 2^5)\) reken je eerst \(2^5\) uit, dan de haakjes en dan het vermenigvuldigen)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de n-de term te vinden (eerste term 3, reden 2, 10 termen)

Eerste term a	3
Reden r	2
Aantal termen n	10
n-de term	=B1*B2^(B3-1)

Tabel om de som van termen 1 t/m n te vinden

Eerste term a	3
Reden r	2
Aantal termen n	10
Som van termen 1 t/m n	=ALS(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabel om de som van een oneindige meetkundige reeks te vinden (als de absolute waarde van de reden kleiner is dan 1)

Eerste term a	100
Reden r	0,5
Som als je eindeloos blijft optellen	=B1/(1-B2)

Na het plakken zijn de bovenste cellen de invoer en toont de onderste cel het berekende resultaat.
In de formules betekent “B1” en “B2” “gebruik het getal in die cel”, is “*” vermenigvuldigen, “/” delen en “^” een macht (B2^(B3-1) is “de reden tot de macht (aantal termen − 1)”).
In de tweede tabel splitst ALS(B2=1; …) de gevallen: “als de reden 1 is, gebruik dan eerste term × aantal termen; gebruik anders de somformule” (bij een reden van 1 zou de noemer van de somformule 0 zijn).
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld 1536 (term 10) in B4, in de tweede tabel staat 3069 (de som) in B4 en in de derde tabel staat 200 in B3. Vervang de invoercellen gewoon door je eigen getallen.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de n-de term te vinden (eerste term 3, reden 2, 10 termen)

Eerste term a	3
Reden r	2
Aantal termen n	10
n-de term	=B1*B2^(B3-1)

Tabel om de som van termen 1 t/m n te vinden

Eerste term a	3
Reden r	2
Aantal termen n	10
Som van termen 1 t/m n	=ALS(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabel om de som van een oneindige meetkundige reeks te vinden (als de absolute waarde van de reden kleiner is dan 1)

Eerste term a	100
Reden r	0,5
Som als je eindeloos blijft optellen	=B1/(1-B2)

Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoercellen (B1 t/m B3) door je eigen getallen.

Berekenen met Python

first_term = 3        # eerste term
common_ratio = 2      # reden
number_of_terms = 10  # aantal termen

# n-de term = eerste term * reden tot de macht (n - 1)
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# som van term 1 t/m n = eerste term * (1 - reden^n) / (1 - reden); bij reden 1: eerste term * n
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# de eerste 10 termen van de rij (om te controleren)
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"Eerste termen: {sequence}")
print(f"Term {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Som van term 1 t/m {number_of_terms}: {sum_of_terms}")

Het werkt met alleen de standaardbibliotheek. Pas de drie getallen bovenaan aan (eerste term, reden, aantal termen) en voer het uit. Dit voorbeeld toont 1536 voor term 10 en 3069 voor de som (met een decimaal erachter, omdat “/” een kommagetal geeft). Wil je ook de som van de oneindige meetkundige reeks hebben als de absolute waarde van de reden kleiner is dan 1, voeg dan aan het eind de regel “print(first_term / (1 - common_ratio))” toe.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Formule voor de \(n\)-de term (directe formule)

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

Formule voor de som van de eerste \(n\) termen (als de reden niet \(1\) is)

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

Formule voor de som als de reden \(1\) is

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

Formule voor de som van een oneindige meetkundige reeks (als de absolute waarde van de reden kleiner is dan \(1\))

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor berekeningen met meetkundige rijen. Voer de volgende berekeningen uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (geef geen antwoord door hoofdrekenen of gokken). Bereken de n-de term met a_n = a × r^(n-1), de som met S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) (S_n = a × n als r = 1) en de som van de oneindige meetkundige reeks met S = a/(1 - r) als |r| < 1.

1. Term 10 en de som van term 1 t/m 10 van de meetkundige rij met eerste term 3 en reden 2
2. Term 6, de som van term 1 t/m 6 en de som als je eindeloos blijft optellen, voor de meetkundige rij met eerste term 100 en reden 0,5
3. Term 6 en de som van term 1 t/m 6 van de meetkundige rij met eerste term 3 en reden -2

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit de uitvoer.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule