Kies wat je wilt tellen en vul daarna het aantal soorten n en het aantal stuks r in (of een woord, om letters te herschikken). De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen er ook rechtstreeks in aanpassen.
Vul n en r in als gehele getallen (n van 1 tot en met 1000, r van 0 tot en met 1000). Elk cijfer van het antwoord wordt exact getoond, ook bij tientallen cijfers. Bij het herschikken van letters kun je maximaal 30 tekens invullen. Spaties worden genegeerd en hoofdletters en kleine letters tellen als verschillende letters.
Resultaat en figuur
Kies links wat je wilt tellen, vul het aantal soorten en stuks (of een woord) in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een figuur.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Permutaties met herhaling \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) elementen rangschikken, herhaling toegestaan)
-
Combinaties met herhaling \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) elementen kiezen, herhaling toegestaan)
-
Permutaties met gelijke elementen (anagrammen en andere rangschikkingen met gelijke elementen)
-
Welke formule gebruik je? (rangschikken of alleen kiezen × herhaling wel of niet toegestaan)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Bereken de permutaties met herhaling \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\): \(r\) elementen uit \(n\) soorten rangschikken als dezelfde soort willekeurig vaak gebruikt mag worden (bijvoorbeeld een pincode van 4 cijfers met de 10 cijfers 0 tot en met 9)
- Bereken de combinaties met herhaling \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\): \(r\) elementen kiezen als dezelfde soort willekeurig vaak gekozen mag worden (bijvoorbeeld 5 flesjes kopen uit 3 soorten sap)
- Typ een woord als “TOMATO” in om te tellen op hoeveel manieren je letters met herhalingen kunt herschikken (permutaties met gelijke elementen, ook wel anagrammen, tot 30 letters)
- Twijfel je of je \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) of \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) moet gebruiken? Een beslisschema op basis van “Telt de volgorde?” en “Mag hetzelfde element opnieuw gekozen worden?” is erbij gezet
- Antwoorden worden met alle cijfers getoond, zonder afronding, ook als ze tientallen cijfers hebben. Bij lange antwoorden komt er een benadering bij, zoals \(1{,}2345 \times 10^{18}\)
- Figuren van combinaties met herhaling met bolletjes en streepjes (de methode van bolletjes en streepjes) en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina
Heb je alleen de permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) of combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) zonder herhaling nodig (een gekozen element kan niet opnieuw gekozen worden), kijk dan op de pagina met de rekenmachine voor permutaties en combinaties.
Waarvoor is deze berekening handig?
De sterkte van een pincode of wachtwoord in cijfers uitdrukken (beveiliging)
Een pincode van 4 cijfers met de 10 cijfers 0 tot en met 9, waarbij hetzelfde cijfer willekeurig vaak mag voorkomen, heeft \(10^{4} = 10.000\) mogelijkheden. Elk extra cijfer vermenigvuldigt dat met 10, dus 6 cijfers geven 1 miljoen.
Een wachtwoord dat 62 soorten tekens mag gebruiken (hoofdletters, kleine letters en cijfers) heeft bij 8 tekens \(62^{8} = 218.340.105.584.896\) mogelijkheden (ongeveer 218 biljoen). Met de formule voor permutaties met herhaling kun je vergelijken hoeveel “meer soorten tekens” en “een langer wachtwoord” elk helpen.
Hoeveel digitale gegevens kunnen uitdrukken (computers)
Computers geven informatie weer met maar 2 soorten symbolen, 0 en 1. Een byte, een rij van 8 daarvan, kan \(2^{8} = 256\) patronen tonen. Daarom zegt men dat een byte 256 niveaus heeft.
Kleur met 24 bits (8 bits voor rood, groen en blauw) geeft \(2^{24} = 16.777.216\) kleuren, ongeveer 16,7 miljoen. Het aantal schermkleuren, de bitdiepte van audio, het aantal IP-adressen enzovoort: het “hoeveel kan het weergeven” van elk digitaal apparaat komt neer op permutaties met herhaling.
Waarom de genetische code drie letters tegelijk gebruikt (biologie)
DNA bestaat uit 4 soorten basen, A, T, G en C, en elke groep van 3 op een rij (een codon) staat voor 1 aminozuur dat het lichaam gebruikt. Dezelfde base mag zich herhalen, dus er zijn \(4^{3} = 64\) soorten codons.
Het lichaam gebruikt 20 soorten aminozuren en groepen van 2 zouden maar \(4^{2} = 16\) geven, wat niet genoeg is. Permutaties met herhaling laten zien waarom groepen van 3 genoeg zijn om het leven te laten werken.
Telproblemen bij assortimenten en bestellingen (winkel en horeca)
Een doos met een dozijn donuts samenstellen uit 5 soorten, waarbij je van elke soort er zoveel mag nemen als je wilt, kan op \({}_{5}\mathrm{H}_{12} = {}_{16}\mathrm{C}_{12} = 1.820\) manieren, omdat de volgorde niet telt (combinaties met herhaling).
Telproblemen bij bestellingen of voorraadverdelingen van “hoeveel van welk product” zijn dezelfde soort berekening. Je kunt met echte getallen schatten, en niet alleen op gevoel, hoeveel patronen je er extra moet beheren als je één product toevoegt.
Kortste routes tellen (logistiek en het ontwerpen van schakelingen)
In een rooster van huizenblokken is het aantal kortste routes met 3 blokken naar rechts en 2 naar boven gelijk aan het aantal herschikkingen van de 5 letters “R, R, R, O, O” (R = rechts, O = omhoog), dus \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\). Permutaties met gelijke elementen werken hier direct.
Deze berekening is de basis om het aantal mogelijke bezorgroutes of bedradingspatronen op een printplaat in te schatten, en laat in getallen zien hoe explosief het aantal opties groeit naarmate het rooster groter wordt.
Formules en figuren
Permutaties met herhaling \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) elementen rangschikken, herhaling toegestaan)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\({}_{n}\Pi_{r}\): aantal manieren om \(r\) elementen te rangschikken met herhaling
\(=\)
①
\(n\): aantal soorten voor elke plaats
②
\(r\): aantal te rangschikken elementen
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig het
\(n\): aantal soorten voor elke plaats
met zichzelf
②
zo vaak als het
\(r\): aantal te rangschikken elementen
③
en zo vind je het
\({}_{n}\Pi_{r}\): aantal manieren om \(r\) elementen te rangschikken met herhaling
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om een pincode van 4 cijfers te maken met de 10 cijfers 0 tot en met 9 is
manieren om een pincode van 4 cijfers te maken
\(=\)
cijfers voor elke plaats (10)
aantal cijfers (4)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10.000\)
Het belangrijkste idee
Omdat hetzelfde element willekeurig vaak gekozen mag worden, blijft het aantal keuzes \(n\) voor de tweede plaats, de derde plaats enzovoort. Het wordt nooit minder. Je vermenigvuldigt dus elke keer met \(n\), en \(n\) \(r\) keer met zichzelf vermenigvuldigen geeft \(n^{r}\).
Dit is het enige verschil met de permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\), waarbij de keuzes bij elke keuze met 1 afnemen. Vraag jezelf af: “Raakt de voorraad op of niet?” en je ziet het verschil.
De \(\Pi\) in \({}_{n}\Pi_{r}\) is de Griekse hoofdletter pi, die staat voor een product (vermenigvuldiging). Ze komt overeen met de P van “product”.
Dit symbool wordt lang niet zo veel gebruikt als \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) en \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Meestal schrijf je gewoon dat het aantal permutaties met herhaling \(n^{r}\) is. Op huiswerk en toetsen wordt \(n^{r}\) altijd begrepen.
Combinaties met herhaling \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) elementen kiezen, herhaling toegestaan)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
aantal manieren om \(r\) elementen te kiezen met herhaling
\(=\)
①
\(n+r-1\): plaatsen voor bolletjes en streepjes
\(\mathrm{C}\)
②
\(r\): plaatsen die een bolletje krijgen
De formule in woorden
①
Zet \(r\) bolletjes en \(n-1\) streepjes die de grenzen tussen de soorten aangeven op een rij. Uit de
\(n+r-1\): plaatsen voor bolletjes en streepjes samen
,
②
tel je de manieren om de
\(r\): plaatsen die een bolletje krijgen
te kiezen
③
en zo vind je het
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\): aantal manieren om \(r\) elementen te kiezen met herhaling
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om 5 flesjes te kopen uit 3 soorten sap (appel, sinaasappel en druif), waarbij je van elke soort er zoveel mag nemen als je wilt, is
manieren om 5 te kopen uit 3 soorten
\(=\)
plaatsen (3 + 5 − 1 = 7)
\(\mathrm{C}\)
plaatsen voor bolletjes (5)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
Het belangrijkste idee
We kozen alleen maar, dus waarom verandert het in de combinatie \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)? Het geheim is dat je de keuze herschrijft als bolletjes en streepjes (de methode van bolletjes en streepjes, in het Engels “stars and bars”). Volg eerst de stappen hieronder voordat je het als formule uit je hoofd leert.
Leg eerst de volgorde van de soorten vast: appel, sinaasappel, druif. Schrijf dan elk flesje dat je koopt als een bolletje ○ en elke grens tussen soorten als een streepje |. Koop je 2 appel, 1 sinaasappel en 2 druif, dan wordt dat ○○|○|○○. Koop je 3 appel, 0 sinaasappel en 2 druif, dan wordt dat ○○○||○○. Een soort waarvan je er geen koopt, zie je gewoon als twee streepjes naast elkaar, dus ook dat kan worden opgeschreven.
Andersom geldt ook: krijg je eerst een rij bolletjes en streepjes te zien, dan kun je daaruit precies één manier van kopen aflezen. Kijk van links naar rechts naar de 3 ruimtes tussen de streepjes. Het aantal bolletjes in elke ruimte is het aantal flesjes appel, sinaasappel en druif. ○○||○○○ betekent 2 appel, 0 sinaasappel en 3 druif. Van een aankoop naar een rij symbolen en van een rij symbolen terug naar een aankoop is er altijd precies één antwoord. Aankopen en rijen symbolen horen dus één op één bij elkaar, zonder dat er iets wordt gemist of dubbel geteld.
Nu hoef je alleen nog de rijen symbolen te tellen. De streepjes scheiden 3 soorten, dus dat zijn er 2 (in het algemeen \(n-1\)), en er zijn \(r\) bolletjes, één voor elk flesje. Dat zijn samen \(n+r-1\) symbolen, op plaatsen die van links af met 1, 2, … genummerd zijn. Een rij kiezen is hetzelfde als kiezen welke \(r\) van de \(n+r-1\) genummerde plaatsen een bolletje krijgen. Nu is het gewoon een combinatie zoals je die kent, waarbij je dezelfde plaats niet twee keer kunt kiezen. Daarom is \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Je kunt ook de plaatsen voor de streepjes kiezen in plaats van die voor de bolletjes. De overige plaatsen krijgen dan vanzelf bolletjes, dus het komt op hetzelfde neer. Met \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) krijg je hetzelfde antwoord.
De \(\mathrm{H}\) komt volgens overlevering van “homogeen”, zoals in de verzameling van alle termen van dezelfde graad. Het symbool \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) wordt zelden gebruikt. Je schrijft het antwoord dan gewoon als \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) of \(\binom{n+r-1}{r}\) (“\(n+r-1\) over \(r\)”), met de methode van bolletjes en streepjes hierboven.
Permutaties met gelijke elementen (anagrammen en andere rangschikkingen met gelijke elementen)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(N\): aantal manieren om \(n\) elementen te rangschikken waaronder gelijke
\(=\)
①
\(n!\): aantal volgordes als alle elementen verschillend waren
\(\div\)
②
\(p! \times q! \times \cdots\): manieren om gelijke elementen onderling te verwisselen
De formule in woorden
①
Neem het
\(n!\): aantal volgordes als alle elementen verschillend waren
②
deel dat door het
\(p! \times q! \times \cdots\): manieren om gelijke elementen onderling te verwisselen
om de dubbele weg te halen
③
en zo vind je het
\(N\): aantal manieren om \(n\) elementen te rangschikken waaronder gelijke
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal woorden dat je kunt maken door de 6 letters van “TOMATO” te herschikken (twee T’s, twee O’s, één M en één A) is
herschikkingen van TOMATO
\(=\)
6 letters allemaal verschillend (6!)
\(\div\)
verwisselingen van gelijke letters (2! × 2! × 1! × 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
Het belangrijkste idee
Geef de twee T’s een tijdelijk label, \(\mathrm{T}_1\) en \(\mathrm{T}_2\), en alle 6 letters zijn verschillend, dus er zijn \(6! = 720\) volgordes. Maar zodra je de labels weghaalt, zien \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) en \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) er precies hetzelfde uit, dus elke volgorde is twee keer geteld.
Komt een letter \(p\) keer voor, dan zien alle \(p!\) manieren om die \(p\) exemplaren te verwisselen er hetzelfde uit, dus deel je voor elke soort letter door \(p!\). Een letter die maar één keer voorkomt, geeft \(1! = 1\), dus of je hem opschrijft of niet, het antwoord verandert niet.
Let op wat de letters hier betekenen. Anders dan de \(n\) in de twee formules hierboven (het aantal soorten waaruit je kiest) is de \(n\) in deze formule het totale aantal elementen dat je rangschikt. “TOMATO” heeft 4 soorten letters, T, O, M en A, maar je rangschikt 6 letters, dus \(n = 6\).
De \(p,\ q,\ r,\ \dots\) in de noemer zijn de aantallen per soort, dus ze tellen altijd op tot \(p + q + r + \cdots = n\). Voor TOMATO is \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\), wat overeenkomt met het aantal letters. Klopt deze som niet, dan heb je iets gemist of dubbel geteld. (De \(r\) is hier gewoon de derde letter voor een aantal. Het is niet het “aantal stuks \(r\)” uit de formules hierboven.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) heet ook wel een multinomiaalcoëfficiënt. Samen met combinaties met herhaling is het een klassieke manier om rangschikkingen met gelijke elementen te tellen. Het aantal kortste routes in een rooster van huizenblokken met 3 blokken naar rechts en 2 naar boven, \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\), is een andere toepassing van deze formule.
Welke formule gebruik je? (rangschikken of alleen kiezen × herhaling wel of niet toegestaan)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
rangschikken × hetzelfde element mag willekeurig vaak gekozen worden
②
alleen kiezen × hetzelfde element mag willekeurig vaak gekozen worden
③
rangschikken × een gekozen element mag niet opnieuw gekozen worden
④
alleen kiezen × een gekozen element mag niet opnieuw gekozen worden
De formule in woorden
①
Telt de volgorde (rol, plaats of cijferpositie) en mag hetzelfde element willekeurig vaak gekozen worden, gebruik dan de
permutaties met herhaling \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
②
Telt alleen wat je kiest en mag hetzelfde element willekeurig vaak gekozen worden, gebruik dan de
combinaties met herhaling \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
③
Telt de volgorde en mag een gekozen element niet opnieuw gekozen worden, gebruik dan de
permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
④
Telt alleen wat je kiest en mag een gekozen element niet opnieuw gekozen worden, gebruik dan de
combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Zelfs met dezelfde getallen 4 en 3 verandert de formule met de situatie
manieren om 3 bolletjes te kopen uit 4 smaken ijs (elke smaak mag vaker)
\(=\)
combinaties met herhaling
manieren om de 1e, 2e en 3e plaats te kiezen uit 4 personen
\(=\)
permutaties
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
Het belangrijkste idee
Voordat je bij deze 4 komt, is er één splitsing. Kies je \(r\) elementen uit \(n\) soorten? Of liggen de elementen al voor je en rangschik je ze allemaal, zoals de 6 letters van TOMATO? In het tweede geval is er niets te kiezen, dus gebruik je in plaats van de 4 formules hierboven de permutaties met gelijke elementen \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Maak dus eerst onderscheid tussen “kiezen en dan rangschikken” en “alles rangschikken wat je hebt”.
Weet je dat het om kiezen gaat, controleer dan deze 2 vragen in deze volgorde. (1) Rangschik je, of tel je alleen de keuze? (2) Mag hetzelfde element twee of meer keer gekozen worden, of is het klaar zodra het gekozen is?
De aanwijzing voor (1) is of elke plaats een eigen betekenis heeft. Hebben de plaatsen een rol, zoals 1e en 2e plaats, aanvoerder en vice-aanvoerder, of het 1e en 2e cijfer van een pincode, dan rangschik je. Telt alleen de groep, zoals 2 personen voor de afwas of wat er in een boodschappenmandje zit, dan kies je alleen.
De aanwijzing voor (2) is of de voorraad opraakt. Raakt er bij het kiezen niets op, zoals wanneer je steeds opnieuw met een dobbelsteen gooit, een willekeurig aantal keer dezelfde smaak koopt of hetzelfde cijfer hergebruikt, dan is herhaling toegestaan. Raakt er wel iets op, zoals wanneer één persoon niet 2 rollen kan hebben of hetzelfde lot niet twee keer getrokken kan worden, dan is er geen herhaling.
Het verschil tussen \(n^{r}\) en \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) wordt groter naarmate \(r\) groter wordt (4 kiezen uit 10 soorten geeft \(10^{4} = 10.000\) tegenover \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5.040\)). Als je (2) door elkaar haalt, kan het antwoord bijna verdubbelen, dus sla deze controle niet over.
Om met herhaling te rangschikken gebruik je de permutaties met herhaling \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\). Om met herhaling alleen te kiezen gebruik je de combinaties met herhaling \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Om alles wat je hebt te rangschikken als sommige elementen gelijk zijn, gebruik je \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Het sleutelidee van dit onderwerp is dat een combinatie met herhaling, herschreven als bolletjes en streepjes (de methode van bolletjes en streepjes), verandert in een gewone combinatie \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(n\) | en | Het aantal soorten waaruit je kiest. (Voorbeeld: kies je uit 3 soorten sap, dan is \(n = 3\); gebruik je de cijfers 0 tot en met 9, dan is \(n = 10\).) De letter \(n\) wordt veel gebruikt voor aantallen. Alleen bij permutaties met gelijke elementen \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) betekent hij iets anders: het totale aantal elementen dat je rangschikt (“TOMATO” heeft 4 soorten letters, maar \(n = 6\)). |
| \(r\) | er | Het aantal stuks dat je met herhaling kiest (of rangschikt). (Voorbeeld: 5 flesjes sap kopen, \(r = 5\); een pincode van 4 cijfers, \(r = 4\).) Het staat op dezelfde plek als in de symbolen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) en \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) voor permutatie en combinatie. |
| \(n!\) | n faculteit | Het product van alle gehele getallen van \(n\) tot en met \(1\). Het is het aantal manieren om alle \(n\) elementen in een rij te zetten. Per definitie is \(0! = 1\). (Voorbeeld: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n pi r | Permutaties met herhaling: het aantal manieren om \(r\) elementen te kiezen uit \(n\) soorten, waarbij je dezelfde soort vaker mag kiezen, en ze in volgorde te zetten. De waarde is \(n^{r}\). \(\Pi\) is de Griekse hoofdletter pi, die staat voor een product en overeenkomt met de P van “product”. Vaak schrijf je alleen \(n^{r}\) zonder dit symbool, dus volg de notatie die in jouw les wordt gebruikt. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | n H r | Combinaties met herhaling: het aantal manieren om \(r\) elementen te kiezen uit \(n\) soorten, waarbij je dezelfde soort vaker mag kiezen en de volgorde niet telt. De waarde is \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). De \(\mathrm{H}\) komt volgens overlevering van “homogeen”, zoals in de verzameling van alle termen van dezelfde graad. Je ziet dit symbool zelden; vaak staat er \(\binom{n+r-1}{r}\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Permutaties: het aantal manieren om \(r\) van \(n\) elementen te kiezen en in volgorde te zetten, waarbij een gekozen element niet opnieuw gekozen kan worden. De P staat voor “permutatie”. |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Combinaties: het aantal manieren om \(r\) van \(n\) elementen te kiezen, waarbij een gekozen element niet opnieuw gekozen kan worden en de volgorde niet telt. De C staat voor “combinatie”. |
| \(N\) | hoofdletter N | Op deze pagina de letter voor het aantal permutaties met gelijke elementen. Een hoofdletter N wordt vaak gebruikt voor een totaal dat je wilt vinden. |
| \(p,\ q\) | p, q | Bij permutaties met gelijke elementen de letters voor hoeveel exemplaren van elk gelijk element er zijn. (Voorbeeld: in “TOMATO” komt de T \(p = 2\) keer voor, de O \(q = 2\) keer, de M één keer en de A één keer.) Bij 3 of meer soorten ga je verder met \(p,\ q,\ r,\ \dots\) (deze \(r\) is niet het “aantal stuks \(r\)”). Ze tellen altijd op tot \(p + q + r + \cdots = n\), het totale aantal elementen dat je rangschikt. |
| \(\bigcirc\) en \(|\) | bolletje en streepje | De symbolen waarmee je combinaties met herhaling telt (de methode van bolletjes en streepjes). Een bolletje ○ is één gekozen element en een streepje \(|\) is een grens tussen soorten. ○○|○|○○ betekent 2 van de eerste soort, 1 van de tweede en 2 van de derde. |
Begrippen
| telprobleem | Uitzoeken hoeveel mogelijkheden er in totaal zijn. Permutaties, combinaties en hun versies met herhaling zijn allemaal hulpmiddelen om efficiënt te tellen. |
| herhaling | Hetzelfde element dat twee of meer keer voorkomt. In dit onderwerp betekent het dat hetzelfde element twee of meer keer gekozen mag worden. Je spreekt ook van kiezen “met teruglegging”. |
| permutatie met herhaling | Een rangschikking van \(r\) elementen gekozen uit \(n\) soorten, waarbij dezelfde soort willekeurig vaak gekozen mag worden en de volgorde telt. Er zijn er \(n^{r}\), geschreven als het symbool \({}_{n}\Pi_{r}\). |
| combinatie met herhaling | Een keuze van \(r\) elementen uit \(n\) soorten, waarbij dezelfde soort willekeurig vaak gekozen mag worden en de volgorde niet telt. Er zijn er \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). |
| permutatie met gelijke elementen | Een rangschikking van alle \(n\) elementen als sommige gelijk zijn, zoals bij “TOMATO”. Er zijn er \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\): je deelt door de verwisselingen van gelijke elementen om de dubbele weg te halen. Bij woorden spreek je ook van het aantal anagrammen. |
| permutatie | Een manier om \(r\) van \(n\) elementen te kiezen en in een rij te zetten, waarbij de volgorde telt. Het symbool is \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) en een gekozen element kan niet opnieuw gekozen worden. |
| combinatie | Een manier om \(r\) van \(n\) elementen te kiezen waarbij de volgorde niet telt. Het symbool is \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) en een gekozen element kan niet opnieuw gekozen worden. |
| faculteit | Alle gehele getallen van \(n\) tot en met \(1\) met elkaar vermenigvuldigen. Het symbool is \(n!\) en het geeft het aantal manieren om alle \(n\) elementen te rangschikken. |
| bolletjes en streepjes | De methode om combinaties met herhaling te tellen met symbolen: een streepje \(|\) markeert elke grens tussen soorten en een bolletje ○ elk gekozen element (in het Engels “stars and bars”). Om \(n\) soorten te scheiden heb je \(n-1\) streepjes nodig, dus het probleem wordt het kiezen van de plaatsen voor de bolletjes uit \(n+r-1\) plaatsen. |
| multinomiaalcoëfficiënt | Een andere naam voor het aantal permutaties met gelijke elementen, \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). De naam komt doordat de coëfficiënten die je krijgt als je \((a+b+c)^{n}\) uitwerkt, deze vorm hebben. |
| boomdiagram | Een vertakt diagram dat alle mogelijke uitkomsten opsomt, zodat je elke uitkomst precies één keer telt. Permutaties met herhaling komen overeen met een boom waarin elke tak zich in evenveel takken splitst. |
| kortste route | In een rooster van straten een route naar het doel zonder omwegen. Het aantal kortste routes met \(p\) blokken naar rechts en \(q\) blokken naar boven is het aantal permutaties met gelijke elementen \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\). |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het snelst om de onderwerpen in deze tabel nog eens door te nemen.
| Vermenigvuldigen en delen (groep 5 tot 7, 8-11 jaar) |
|
| Machten en exponenten (klas 1 tot 2, 12-14 jaar) |
|
| Telproblemen en boomdiagrammen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Faculteiten (havo/vwo 4, 15-16 jaar) |
|
| Permutaties en combinaties (havo/vwo 4, 15-16 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor het berekenen van de permutaties met herhaling nΠr
| Aantal soorten n | 10 |
| Aantal te rangschikken stuks r | 4 |
| Permutaties met herhaling nΠr | =B1^B2 |
Tabel voor het berekenen van de combinaties met herhaling nHr
| Aantal soorten n | 3 |
| Aantal te kiezen stuks r | 5 |
| Plaatsen voor bolletjes en streepjes | =B1+B2-1 |
| Combinaties met herhaling nHr | =COMBINATIES(B3;B2) |
Tabel voor het berekenen van de permutaties met gelijke elementen
| Totaal aantal letters n (TOMATO) | 6 |
| Aantal T’s | 2 |
| Aantal O’s | 2 |
| Aantal M’s | 1 |
| Aantal A’s | 1 |
| Aantal volgordes N | =FACULTEIT(B1)/(FACULTEIT(B2)*FACULTEIT(B3)*FACULTEIT(B4)*FACULTEIT(B5)) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en wordt de laatste rij automatisch berekend.
“^” is het machtsteken, FACULTEIT is de faculteit en COMBINATIES is de Excel-functie voor combinaties (nCr).
De eerste tabel is de pincode van 4 cijfers met de 10 cijfers 0 tot en met 9 en B3 toont 10000.
De tweede tabel is 5 flesjes kopen uit 3 soorten sap. B3 toont 7 (= 3 + 5 − 1) en B4 toont 21.
De derde tabel herschikt “TOMATO” en B6 toont 180. Zijn er meer soorten herhaalde letters, vermenigvuldig dan meer FACULTEIT-termen in de noemer.
Let op dat Excel maar 15 significante cijfers bewaart, dus als het antwoord 16 of meer cijfers heeft, worden de laatste cijfers afgerond.
“^” is het machtsteken, FACULTEIT is de faculteit en COMBINATIES is de Excel-functie voor combinaties (nCr).
De eerste tabel is de pincode van 4 cijfers met de 10 cijfers 0 tot en met 9 en B3 toont 10000.
De tweede tabel is 5 flesjes kopen uit 3 soorten sap. B3 toont 7 (= 3 + 5 − 1) en B4 toont 21.
De derde tabel herschikt “TOMATO” en B6 toont 180. Zijn er meer soorten herhaalde letters, vermenigvuldig dan meer FACULTEIT-termen in de noemer.
Let op dat Excel maar 15 significante cijfers bewaart, dus als het antwoord 16 of meer cijfers heeft, worden de laatste cijfers afgerond.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor het berekenen van de permutaties met herhaling nΠr
| Aantal soorten n | 10 |
| Aantal te rangschikken stuks r | 4 |
| Permutaties met herhaling nΠr | =B1^B2 |
Tabel voor het berekenen van de combinaties met herhaling nHr
| Aantal soorten n | 3 |
| Aantal te kiezen stuks r | 5 |
| Plaatsen voor bolletjes en streepjes | =B1+B2-1 |
| Combinaties met herhaling nHr | =COMBINATIES(B3;B2) |
Tabel voor het berekenen van de permutaties met gelijke elementen
| Totaal aantal letters n (TOMATO) | 6 |
| Aantal T’s | 2 |
| Aantal O’s | 2 |
| Aantal M’s | 1 |
| Aantal A’s | 1 |
| Aantal volgordes N | =FACULTEIT(B1)/(FACULTEIT(B2)*FACULTEIT(B3)*FACULTEIT(B4)*FACULTEIT(B5)) |
Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing (FACULTEIT en COMBINATIES heten ook zo in Google Spreadsheets met Nederlandse instellingen).
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en pas de getallen aan je situatie aan.
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en pas de getallen aan je situatie aan.
Berekenen met Python
import math
from collections import Counter
# 1) permutaties met herhaling (kies r uit n soorten met herhaling, de volgorde telt)
kinds = 10 # aantal soorten n (de 10 cijfers 0-9)
picks = 4 # aantal te rangschikken stuks r (4 cijfers)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) combinaties met herhaling (kies r uit n soorten met herhaling, de volgorde telt niet)
juice_kinds = 3 # aantal soorten n (3 soorten sap)
bottles = 5 # aantal te kiezen stuks r (5 flesjes)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) permutaties met gelijke elementen (een woord met herhaalde letters herschikken)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"Permutaties met herhaling ({picks} rangschikken uit {kinds} soorten): {repeated_permutations}")
print(f"Combinaties met herhaling ({bottles} kiezen uit {juice_kinds} soorten): {repeated_combinations}")
print(f"Herschikkingen van {word}: {same_item_permutations}")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek (math.comb vereist Python 3.8 of hoger). Uitvoeren toont 10000, 21 en 180. Gehele getallen in Python hebben geen maximum aantal cijfers, dus het antwoord blijft exact, ook met honderden cijfers. Pas de getallen en het woord bovenaan aan en voer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Permutaties met herhaling \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) elementen rangschikken, herhaling toegestaan)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
Combinaties met herhaling \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) elementen kiezen, herhaling toegestaan)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
Permutaties met gelijke elementen (anagrammen en andere rangschikkingen met gelijke elementen)
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor telproblemen (permutaties en combinaties). Voer de volgende 3 berekeningen uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op gevoel). 1. Hoeveel pincodes van 4 cijfers kun je maken met de 10 cijfers 0 tot en met 9? (Hetzelfde cijfer mag willekeurig vaak voorkomen.) 2. Op hoeveel manieren kun je 5 flesjes kopen uit 3 soorten sap, waarbij je van elke soort er zoveel mag nemen als je wilt? (Tel alleen hoeveel van elke soort, niet de volgorde van kiezen.) 3. Hoeveel verschillende woorden kun je maken door de 6 letters van “TOMATO” te herschikken? Zeg bij elke vraag of je permutaties met herhaling, combinaties met herhaling of permutaties met gelijke elementen hebt gebruikt, leg uit waarom en toon de getallen uit het resultaat van de uitvoering. Gebruik in Python de module math (math.comb en math.factorial) en collections.Counter.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Permutaties en combinaties berekenen (nPr, nCr)
Tel rangschikkingen (permutaties) en keuzes (combinaties) als een element niet twee keer gekozen mag worden
Circulaire permutatie berekenen (ronde tafel en ketting)
Tel rangschikkingen in een cirkel (circulaire permutaties) en kettingen waarbij omdraaien als hetzelfde telt
