Complexe getallen rekenmachine (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met stappen, toegevoegde, modulus en complexe vlak)

Vul het reële en het imaginaire deel van de twee complexe getallen z₁ = a + bi en z₂ = c + di in en kies de bewerking (+ − × ÷). De uitdrukking hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen ook rechtstreeks daarin aanpassen.

Reëel deel a van z₁

Imaginair deel b van z₁

Bewerking

Reëel deel c van z₂

Imaginair deel d van z₂

Decimale getallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 mogen. Een leeg reëel of imaginair deel telt als 0 (is bijvoorbeeld alleen het imaginaire deel van z₁ leeg, dan is z₁ het reële getal a).

Resultaat en grafiek

Vul links het reële en het imaginaire deel in, kies een bewerking (+ − × ÷) en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek in het complexe vlak verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Tel twee complexe getallen \(z_1 = a+bi\) en \(z_2 = c+di\) meteen op, trek ze van elkaar af, vermenigvuldig of deel ze. Vul gewoon het reële en het imaginaire deel in en kies de bewerking
Het antwoord staat in de vorm \(a+bi\), met breuken die zo ver mogelijk zijn vereenvoudigd (exacte waarden), zoals \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\). Bij delen zie je in de stappen hoe vermenigvuldigen met de toegevoegde van de noemer de noemer reëel maakt. Bij vermenigvuldigen zie je het uitwerken van de haakjes en hoe \(i^2\) wordt vervangen door \(-1\)
Als extraatje zie je ook de complex toegevoegde \(\overline{z}\) en de absolute waarde \(|z|\) van het resultaat. De absolute waarde staat als exacte waarde met vereenvoudigde wortel, zoals \(|3+4i| = 5\) of \(|1+i| = \sqrt{2}\)
Je ziet het resultaat ook in het complexe vlak (Argand-diagram), zodat je in één oogopslag ziet waar \(z_1\), \(z_2\) en het resultaat liggen
Het reële en het imaginaire deel mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn

Deze pagina behandelt de vier hoofdbewerkingen met complexe getallen (plus de complex toegevoegde en de absolute waarde). De poolvorm (een getal schrijven met zijn modulus en argument) en de stelling van De Moivre staan op aparte pagina’s.

Waarvoor is deze berekening handig?

Wisselstroomberekeningen (elektrotechniek en elektronica)

De wisselstroom (AC) uit een stopcontact heeft een spanning en stroom die als golven op en neer gaan, en verschillende delen van een schakeling verschuiven het tijdstip van de golf (de fase). In de elektrotechniek is het standaard om die “grootte” en “verschuiving” samen te nemen in één complex getal (de impedantie), zodat je een hele schakeling kunt doorrekenen met niets anders dan rekenen met complexe getallen.
Rekenen met complexe getallen hoort bij elke opleiding elektrotechniek. Overal waar wisselstroom loopt, van een telefoonlader tot een elektriciteitscentrale, steunt het ontwerp op complexe getallen.

Signaalanalyse in communicatie en audio (fouriertransformatie)

Golven zoals geluid en radiosignalen kun je met de fouriertransformatie, een berekening met complexe getallen, opsplitsen in “hoeveel van elke toon (frequentie) erin zit”. Telefoonnetwerken (wifi, 5G), muziekcompressie, ruisonderdrukking en spraakherkenning voeren allemaal enorme aantallen van dit soort complexe berekeningen uit.
De kracht van complexe getallen is dat één getal zowel de grootte als het tijdstip van een golf bevat, en daarom gebruik je in signaalverwerking complexe getallen nog vaker dan reële getallen. De fouriertransformatie zelf is universitaire stof, maar wat erin gebeurt, is het vermenigvuldigen en optellen van complexe getallen zoals je dat hier leert.

Vliegtuigen en robots regelen (stabiliteit controleren)

Bij het ontwerpen van machines die trillingen moeten dempen en stabiel moeten blijven, zoals autopiloten, drones en robots, controleren ingenieurs de stabiliteit door te kijken waar de oplossingen (complexe getallen) van de vergelijking van het systeem in het complexe vlak liggen. Zijn de reële delen van de oplossingen negatief, dan sterft de trilling uit; is er een positief, dan groeit die aan.
In dit vakgebied bepaalt de ligging van de oplossingen in het complexe vlak direct of een machine veilig kan vliegen. Regeltechniek, waarin deze stabiliteitstest wordt behandeld, wordt op hbo of universiteit bestudeerd.

Draaiingen in games en computergraphics

Als je een punt \((x;\ y)\) in het vlak ziet als het complexe getal \(x+yi\), draait vermenigvuldigen met een complex getal met absolute waarde 1 het punt om de oorsprong. Vermenigvuldigen met \(i\) draait het bijvoorbeeld 90 graden. Dat is precies wat 2D-games nodig hebben om personages of kogels te laten draaien.
Quaternionen, die in 3D-games worden gebruikt en in telefoons om de oriëntatie bij te houden, breiden dit idee van “draaien met complexe getallen” uit naar drie dimensies.

Kwadratische en derdegraadsvergelijkingen volledig oplossen (wiskunde)

Een kwadratische vergelijking heeft geen reële oplossing als de discriminant \(D = b^2 - 4ac\) negatief is. Maar zodra je het getalsysteem uitbreidt tot de complexe getallen, heeft zelfs \(x^2 = -1\) de oplossingen \(x = \pm i\) en heeft elke kwadratische of derdegraadsvergelijking oplossingen (de hoofdstelling van de algebra).
Zonder uitzonderingen van het type “geen oplossing” zijn niet alleen de wiskunde maar ook de theorieën van de natuurkunde en techniek op complexe getallen gebouwd. Rekenen met complexe getallen is de ingang.

Formules en figuren

Complexe getallen optellen en aftrekken

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\((a+bi) + (c+di)\) \(=\) \((a+c)\) \(+\) \((b+d)i\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ som van \(z_1\) en \(z_2\) \(=\) ① reële delen opgeteld \(+\) ② imaginaire delen opgeteld, keer \(i\)

De formule in woorden

① Je kunt de reële delen en de \(i\)-delen apart behandelen. Neem de som van de reële delen, \(a+c\)

② plus de som van de imaginaire delen, \(b+d\) met \(i\) erbij

③ en je krijgt de som van \(z_1\) en \(z_2\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zo werk je \((2+3i) + (4-i)\) uit (het imaginaire deel van \(4-i\) is \(-1\)):

som \((2+3i)+(4-i)\) \(=\) reële delen \(2+4\) \(+\) imaginaire delen \(3-1\), keer \(i\)

\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)

Het belangrijkste idee

Aftrekken werkt precies hetzelfde: trek de reële delen en de imaginaire delen apart van elkaar af, dus \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\). De truc is om \(i\) te behandelen als een variabele zoals \(x\) en gelijksoortige termen samen te nemen. Als je \(2x + 3\) en \(4x - 1\) optelt, neem je de \(x\)-termen en de getallen apart samen. Neem op dezelfde manier de \(i\)-termen (het imaginaire deel) en de getallen (het reële deel) apart samen. In het complexe vlak is optellen “twee pijlen aan elkaar zetten, kop aan staart”, en de vier punten \(0\), \(z_1\), \(z_2\) en \(z_1+z_2\) vormen een parallellogram (zie de figuur hierboven).

Complexe getallen vermenigvuldigen en \(i^2 = -1\)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\((a+bi)(c+di)\) \(=\) \((ac-bd)\) \(+\) \((ad+bc)i\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ product van \(z_1\) en \(z_2\) \(=\) ① reëel deel: \(ac\) min \(bd\) \(+\) ② imaginair deel: \(ad\) plus \(bc\), keer \(i\)

De formule in woorden

① Werk de haakjes uit zoals bij variabelen en vervang \(i^2\) door \(-1\). Je krijgt het reëel deel \(ac - bd\)

② en het imaginair deel \(ad + bc\) met \(i\) erbij.

③ Tel die twee bij elkaar op en je krijgt het product van \(z_1\) en \(z_2\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zo werk je \((1+2i)(3+4i)\) uit:

product \((1+2i)(3+4i)\) \(=\) reëel deel \(1 \times 3 - 2 \times 4\) \(+\) imaginair deel \(1 \times 4 + 2 \times 3\), keer \(i\)

\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)

\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

Het belangrijkste idee

Je werkt de haakjes precies zo uit als bij variabelen: \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\). Er is maar één regel die alleen voor complexe getallen geldt: als \(i \times i = i^2\) voorkomt, vervang je dat door \(-1\). Dat komt doordat \(i\) is gedefinieerd als het getal waarvan het kwadraat \(-1\) is (de imaginaire eenheid). Bij de reële getallen is elk kwadraat 0 of groter, dus \(x^2 = -1\) heeft geen oplossing. Door dit \(i\) aan de getallen toe te voegen, krijgen we een groter getalsysteem, de complexe getallen, waarin elke kwadratische vergelijking een oplossing heeft. Je hoeft de formule niet uit je hoofd te leren. “Haakjes uitwerken en dan \(i^2\) vervangen door \(-1\)” is elke keer genoeg om hetzelfde resultaat te krijgen.

Complexe getallen delen (vermenigvuldigen met de toegevoegde)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\dfrac{a+bi}{c+di}\) \(=\) \(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\) \(+\) \(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ quotiënt van \(z_1\) gedeeld door \(z_2\) \(=\) ① reëel deel: \(ac+bd\) gedeeld door \(c^2+d^2\) \(+\) ② imaginair deel: \(bc-ad\) gedeeld door \(c^2+d^2\), keer \(i\)

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de teller en de noemer met \(c-di\), de toegevoegde van de noemer. De noemer wordt het reële getal \(c^2+d^2\) en je krijgt het reëel deel \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)

② en het imaginair deel \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\) met \(i\) erbij.

③ Tel die twee bij elkaar op en je krijgt het quotiënt van \(z_1\) gedeeld door \(z_2\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zo werk je \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) uit (vermenigvuldig de teller en de noemer met \(3-4i\), de toegevoegde van de noemer):

quotiënt \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) \(=\) reëel deel \(\dfrac{11}{25}\) \(+\) imaginair deel \(\dfrac{2}{25}\), keer \(i\)

\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)

\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)

Het belangrijkste idee

Waarom vermenigvuldig je met de complex toegevoegde? Omdat \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\), zodat \(i\) netjes wegvalt. Dit combineert het merkwaardig product \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) met \(i^2 = -1\). Zolang \(i\) nog in de noemer staat, kun je de vorm \(a+bi\) (het reële deel en het imaginaire deel) niet aflezen, dus de eerste taak is \(i\) uit de noemer te halen. Het is hetzelfde idee als de noemer wortelvrij maken, waarbij je \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) in teller en noemer met \(\sqrt{2}\) vermenigvuldigt om de wortel uit de noemer te halen. Je kunt niet delen door \(z_2 = 0\) (reëel deel en imaginair deel allebei 0). De regel “delen door 0 kan niet” geldt ook voor complexe getallen.

Absolute waarde (modulus) van een complex getal \(|z|\)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② absolute waarde van \(z\) \(=\) ① wortel uit (reëel deel in het kwadraat + imaginair deel in het kwadraat)

De formule in woorden

① Bij een complex getal \(z = a+bi\) is de wortel uit het reële deel in het kwadraat plus het imaginaire deel in het kwadraat, \(\sqrt{a^2+b^2}\)

② gelijk aan de absolute waarde van \(z\)

Een eenvoudig voorbeeld

De absolute waarde van \(z = 3+4i\) is

absolute waarde van \(3+4i\) \(=\) \(\sqrt{3^2+4^2}\)

\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)

Het belangrijkste idee

De absolute waarde \(|z|\) is de afstand van de oorsprong tot \(z\) in het complexe vlak (zie de figuur hierboven). Het punt ligt \(a\) naar rechts en \(b\) omhoog, dus de afstand volgt gewoon uit de stelling van Pythagoras. Je kunt het zien als de absolute waarde van een reëel getal (de afstand tot 0 op de getallenlijn), uitgebreid naar het vlak. Met de complex toegevoegde \(\overline{z} = a-bi\) geldt \(z \times \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\). Daarom wordt de noemer bij delen door vermenigvuldigen met de toegevoegde gelijk aan \(|z_2|^2\), een positief reëel getal. Soms verdwijnt de wortel, zoals bij \(\sqrt{25} = 5\), en soms blijft die staan, zoals bij \(\sqrt{2}\). Deze rekenmachine vereenvoudigt ook wortels, zoals \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), en geeft antwoorden met exacte waarden.

De basisregel voor complexe getallen is dat je \(i\) behandelt als een variabele en \(i^2\) vervangt door \(-1\) zodra het voorkomt. Alleen bij delen is een extra stap nodig: vermenigvuldig de teller en de noemer met de complex toegevoegde van de noemer om de noemer reëel te maken en splits het resultaat dan in het reële deel en het imaginaire deel.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(i\)	i	De imaginaire eenheid. Die is gedefinieerd als het getal waarvan het kwadraat \(-1\) is (\(i^2 = -1\)). De letter komt van “imaginair”. (In de elektrotechniek wordt \(j\) gebruikt, omdat \(i\) daar voor stroom staat.)
\(z\)	z	De letter die meestal voor een complex getal wordt gebruikt. Volgens de gewoonte gebruik je \(z\) en \(w\) voor complexe getallen, om ze te onderscheiden van de reële variabelen \(x\) en \(y\).
\(z_1,\ z_2\)	z één, z twee	Het eerste en het tweede complexe getal. Het kleine getal rechtsonder (de index) geeft alleen aan “welke van de twee”. Het is niet hetzelfde als een exponent, die rechtsboven staat.
\(a,\ b,\ c,\ d\)	a, b, c, d	Op deze pagina is \(a\) het reële deel en \(b\) het imaginaire deel van \(z_1 = a+bi\), en is \(c\) het reële deel en \(d\) het imaginaire deel van \(z_2 = c+di\). Volgens de gewoonte staan letters aan het begin van het alfabet voor vaste getallen.
\(\overline{z}\)	z streep	De complex toegevoegde van \(z\). Voor \(z = a+bi\) is dat \(a-bi\), waarbij alleen het teken van het imaginaire deel verandert. De streep erboven staat voor “de partner”. In sommige boeken schrijft men \(z^*\).
\(\|z\|\)	absolute waarde van z	De absolute waarde (modulus) van \(z\). Dat is de afstand van de oorsprong tot \(z\) in het complexe vlak, berekend als \(\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}\). Je schrijft het met twee verticale strepen, net als de absolute waarde van een reëel getal.

Begrippen

complex getal	Een getal van de vorm \(a+bi\), waarbij \(a\) en \(b\) reële getallen zijn. Het is een groter getalsysteem dat zowel reële als imaginaire getallen omvat, en waarin elke kwadratische vergelijking een oplossing heeft.
imaginair getal	Een complex getal dat niet reëel is, dus \(a+bi\) met een imaginair deel \(b\) dat niet 0 is. (In sommige boeken heet alleen een zuiver imaginair getal zoals \(2i\) een imaginair getal.) Ondanks de naam zijn deze getallen heel nuttig in echte berekeningen in elektriciteit en natuurkunde.
imaginaire eenheid	Het getal \(i\). Het is gedefinieerd door \(i^2 = -1\), en elk imaginair getal wordt met \(i\) geschreven.
reëel deel	Het getal \(a\) in \(a+bi\), het “reële gedeelte” van een complex getal. In het complexe vlak is dat de coördinaat langs de horizontale as (de reële as).
imaginair deel	Het getal \(b\) in \(a+bi\) (zonder de \(i\)). In het complexe vlak is dat de coördinaat langs de verticale as (de imaginaire as). Het imaginaire deel van \(3-2i\) is bijvoorbeeld \(-2\).
zuiver imaginair getal	Een complex getal waarvan het reële deel 0 is en het imaginaire deel niet 0, zoals \(2i\) of \(-3i\). In het complexe vlak ligt het op de imaginaire as.
complex toegevoegde (complex geconjugeerde)	Bij \(a+bi\) het getal \(a-bi\). Vaak kortweg “de toegevoegde” of “de geconjugeerde” genoemd. De belangrijkste eigenschap is dat het product \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) een reëel getal is dat 0 of groter is, en daarom gebruik je het om bij delen de noemer reëel te maken.
absolute waarde (modulus)	De afstand \(\sqrt{a^2+b^2}\) tot de oorsprong in het complexe vlak. Het breidt de absolute waarde van een reëel getal (de afstand tot 0 op de getallenlijn) uit naar het vlak. Ook wel de modulus genoemd.
complexe vlak	Een vlak met het reële deel op de horizontale as en het imaginaire deel op de verticale as, waarin \(a+bi\) wordt getekend als het punt \((a;\ b)\). Een tekening ervan heet ook wel een Argand-diagram. Op deze pagina gebruik je het als hulpmiddel om complexe getallen “zichtbaar” te maken.
reële as	De horizontale as van het complexe vlak, waarop de reële getallen liggen. Een reëel getal is een complex getal met imaginair deel 0 en ligt dus op de reële as.
imaginaire as	De verticale as van het complexe vlak, waarop de zuivere imaginaire getallen (complexe getallen met reëel deel 0, zoals \(2i\)) liggen.
noemer reëel maken	Bij een breuk met een complexe noemer: de teller en de noemer vermenigvuldigen met de toegevoegde van de noemer, zodat de noemer reëel wordt. Het is de variant voor complexe getallen van de noemer wortelvrij maken (een wortel uit de noemer halen).
haakjes uitwerken	De haakjes uit een uitdrukking halen en die schrijven als een som of verschil van termen. Zoals bij \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) wordt elke term uit het ene stel haakjes met elke term uit het andere vermenigvuldigd.
gelijksoortige termen	Termen met hetzelfde variabele deel. Bij optellen of aftrekken van complexe getallen worden de termen met \(i\) (het imaginaire deel) en de termen zonder \(i\) (het reële deel) elk als gelijksoortige termen samengenomen.
discriminant	De uitdrukking \(D = b^2-4ac\), die aangeeft wat voor oplossingen de kwadratische vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) heeft. Bij \(D < 0\) is er geen reële oplossing, maar zijn er wel complexe oplossingen \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-D}\,i}{2a}\). Dit is meestal waar leerlingen voor het eerst complexe getallen tegenkomen.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Haakjes uitwerken en gelijksoortige termen (klas 2-3, 13-15 jaar)	Een product van haakjes kunnen uitwerken, zoals \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) Het merkwaardig product \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) kunnen gebruiken (precies daarom geeft vermenigvuldigen met de complex toegevoegde een reëel getal) Gelijksoortige termen kunnen samennemen, zoals \(2x + 3x = 5x\)
Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten dat een wortel het positieve getal is waarvan het kwadraat het getal onder het wortelteken is, zoals \(\sqrt{25} = 5\) Een wortel kunnen vereenvoudigen door kwadraten buiten het wortelteken te halen, zoals \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
De noemer wortelvrij maken (havo/vwo 4, 15-16 jaar)	Een wortel uit de noemer kunnen halen door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, zoals \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (de noemer reëel maken is de variant hiervan voor complexe getallen)
Het assenstelsel en de stelling van Pythagoras (klas 1-2, 12-14 jaar)	Het punt \((a;\ b)\) kunnen tekenen in een assenstelsel (het complexe vlak is een assenstelsel met het reële deel horizontaal en het imaginaire deel verticaal) Uit de stelling van Pythagoras weten dat de afstand tussen de oorsprong en \((a;\ b)\) gelijk is aan \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) (dat is wat de absolute waarde van een complex getal eigenlijk is)
Kwadratische vergelijkingen en de discriminant (klas 3, 14-15 jaar)	De abc-formule kunnen gebruiken: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) Weten dat er geen reële oplossing is als de discriminant \(D = b^{2}-4ac\) negatief is (hier komen imaginaire getallen om de hoek kijken)
Rekenen met breuken (groep 6-8, 9-12 jaar)	Breuken kunnen vereenvoudigen en gelijknamig maken (resultaten staan als vereenvoudigde breuken, zoals \(\dfrac{11}{25}\)) Een breuk kunnen omzetten in een decimaal getal (\(\dfrac{11}{25}\) in 0,44)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor de vier bewerkingen met complexe getallen

Reëel deel a van z₁	1
Imaginair deel b van z₁	2
Reëel deel c van z₂	3
Imaginair deel d van z₂	4
Complex getal z₁	=COMPLEX(B1;B2)
Complex getal z₂	=COMPLEX(B3;B4)
Som z₁ + z₂	=C.SOM(B5;B6)
Verschil z₁ − z₂	=C.VERSCHIL(B5;B6)
Product z₁ × z₂	=C.PRODUCT(B5;B6)
Quotiënt z₁ ÷ z₂	=C.QUOTIENT(B5;B6)

Tabel voor de complex toegevoegde en de absolute waarde

Reëel deel a	3
Imaginair deel b	4
Complex getal z	=COMPLEX(B1;B2)
Complex toegevoegde	=C.TOEGEVOEGD(B3)
Absolute waarde \|z\|	=C.ABS(B3)

Tabel om het delen te controleren (vermenigvuldigen met de toegevoegde)

Reëel deel a van z₁	1
Imaginair deel b van z₁	2
Reëel deel c van z₂	3
Imaginair deel d van z₂	4
Noemer c²+d²	=B3^2+B4^2
Reëel deel van het quotiënt (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Imaginair deel van het quotiënt (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Excel heeft een complete set functies voor complexe getallen. COMPLEX maakt een complex getal (een tekenreeks zoals “1+2i”) uit het reële en het imaginaire deel, en je geeft het door aan C.SOM (som), C.VERSCHIL (verschil), C.PRODUCT (product) of C.QUOTIENT (quotiënt).
De eerste tabel gebruikt z₁ = 1+2i en z₂ = 3+4i. De som toont “4+6i”, het verschil “-2-2i”, het product “-5+10i” en het quotiënt “0,44+0,08i” (deze resultaten zijn tekst, geen getallen).
De tweede tabel gebruikt z = 3+4i. De complex toegevoegde is “3-4i” en de absolute waarde is 5 (alleen C.ABS geeft een gewoon getal terug).
De derde tabel controleert het delen zonder de complexe functies, rechtstreeks volgens de formule met de toegevoegde. Het reële deel van het quotiënt is 0,44 (= 11/25) en het imaginaire deel is 0,08 (= 2/25), wat overeenkomt met het resultaat van C.QUOTIENT. “^” is een macht, “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor de vier bewerkingen met complexe getallen

Reëel deel a van z₁	1
Imaginair deel b van z₁	2
Reëel deel c van z₂	3
Imaginair deel d van z₂	4
Complex getal z₁	=COMPLEX(B1;B2)
Complex getal z₂	=COMPLEX(B3;B4)
Som z₁ + z₂	=C.SOM(B5;B6)
Verschil z₁ − z₂	=C.VERSCHIL(B5;B6)
Product z₁ × z₂	=C.PRODUCT(B5;B6)
Quotiënt z₁ ÷ z₂	=C.QUOTIENT(B5;B6)

Tabel voor de complex toegevoegde en de absolute waarde

Reëel deel a	3
Imaginair deel b	4
Complex getal z	=COMPLEX(B1;B2)
Complex toegevoegde	=C.TOEGEVOEGD(B3)
Absolute waarde \|z\|	=C.ABS(B3)

Tabel om het delen te controleren (vermenigvuldigen met de toegevoegde)

Reëel deel a van z₁	1
Imaginair deel b van z₁	2
Reëel deel c van z₂	3
Imaginair deel d van z₂	4
Noemer c²+d²	=B3^2+B4^2
Reëel deel van het quotiënt (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Imaginair deel van het quotiënt (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Google Spreadsheets heeft dezelfde functies voor complexe getallen als Excel (COMPLEX, C.SOM, C.VERSCHIL, C.PRODUCT, C.QUOTIENT, C.TOEGEVOEGD en C.ABS), dus dezelfde formules werken ongewijzigd. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang het reële en imaginaire deel door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction
import math

# Reële en imaginaire delen van z1 = a + bi en z2 = c + di (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)

# Som en verschil: voeg de reële delen en de imaginaire delen apart samen
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag

# Product: de formule (ac-bd) + (ad+bc)i, uit het uitwerken van de haakjes en het vervangen van i^2 = -1
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real

# Quotiënt: vermenigvuldig met de toegevoegde. De noemer wordt het reële getal c^2 + d^2
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator

# Absolute waarde van het quotiënt: wortel uit (reëel deel in het kwadraat + imaginair deel in het kwadraat)
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)

# Schrijf als a+bi (is het imaginaire deel negatief, toon het dan als aftrekking, zoals -2 - 2i)
def to_complex_str(real, imag):
    sign = "-" if imag < 0 else "+"
    return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"

print(f"Som: {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"Verschil: {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"Product: {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"Quotiënt: {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"Absolute waarde van het quotiënt, in het kwadraat (breuk): {abs_squared}")
print(f"Absolute waarde van het quotiënt (decimaal): {abs_value}")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken en zonder afrondingsfouten van decimale getallen. Dit voorbeeld gebruikt z₁ = 1+2i en z₂ = 3+4i. Het quotiënt wordt afgedrukt als “11/25 + 2/25i” en het kwadraat van de absolute waarde als “1/5” (dus de absolute waarde is √5/5 ≈ 0,447). Pas het reële en het imaginaire deel aan en voer het uit. Heb je geen exacte waarden nodig, dan heeft Python ook een ingebouwd type complex, zodat je rechtstreeks met j kunt rekenen, zoals (1+2j)/(3+4j).

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Complexe getallen optellen en aftrekken

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]

evalc((a + b*I) + (c + d*I));

z = (a + b*1i) + (c + d*1i);

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Complexe getallen vermenigvuldigen en \(i^2 = -1\)

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]

evalc((a + b*I) * (c + d*I));

z = (a + b*1i) * (c + d*1i);

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Complexe getallen delen (vermenigvuldigen met de toegevoegde)

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi></mrow>
      <mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i

ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]

evalc((a + b*I) / (c + d*I));

z = (a + b*1i) / (c + d*1i);

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i

Absolute waarde (modulus) van een complex getal \(|z|\)

|a+bi| = √(a²+b²)

\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)

ComplexExpand[Abs[a + b I]]

abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

|a+bi| = √(a^2+b^2)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor complexe getallen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef dus geen antwoord uit je hoofd of op gevoel).

Laat voor de twee complexe getallen z1 = 1 + 2i en z2 = 3 + 4i het volgende zien:
1. De som z1 + z2, het verschil z1 − z2 en het product z1 × z2 (in de vorm a+bi)
2. Het quotiënt z1 ÷ z2 (in de vorm a+bi met breuken zo ver mogelijk vereenvoudigd, met de stappen van vermenigvuldigen met de toegevoegde van de noemer)
3. De complex toegevoegde en de absolute waarde van het quotiënt (de absolute waarde zowel als exacte waarde met vereenvoudigde wortel als decimaal)

Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om het reële en het imaginaire deel exact te berekenen, en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule