Vul van een bolkap (een bol die met een vlak is afgesneden, een koepelvorm) alleen de twee bekende waarden in van “de straal van het grondvlak \(r\)”, “de straal van de bol \(R\)” en “de hoogte \(h\)”. De derde wordt teruggerekend. Daarna worden de oppervlakte van het gebogen oppervlak (\(2\pi Rh\)), de oppervlakte van het grondvlak en het totaal berekend.
Vul maar twee van de drie velden in (laat het derde leeg). Lengtes zijn getallen groter dan 0 (decimalen mogen), allemaal in dezelfde eenheid (bijvoorbeeld alles in cm). De oppervlakte komt in het kwadraat van de ingevulde eenheid (bij cm dus cm²). Vul je \(r\) en \(R\) in, dan kunnen er twee antwoorden voor de hoogte \(h\) zijn (een ondiepe en een diepe bolkap).
Resultaat en figuur
Vul links twee van de drie bekende waarden in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt dan hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
-
Oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel)
-
Totale oppervlakte (gebogen deel + grondvlak)
-
Zo bereken je de straal van het grondvlak \(r\) (als \(R\) en \(h\) bekend zijn)
-
Zo bereken je de hoogte \(h\) (als \(r\) en \(R\) bekend zijn; er zijn twee antwoorden)
-
Zo bereken je de straal van de bol \(R\) (als \(r\) en \(h\) bekend zijn)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Je ziet meteen de oppervlakte van een bolkap (een bol die met een vlak is afgesneden, een koepelvorm)
- Vul twee van de drie waarden in: de straal van het grondvlak \(r\), de straal van de bol \(R\) en de hoogte \(h\). De derde wordt automatisch teruggerekend
- Je ziet de oppervlakte van het gebogen oppervlak (\(2\pi Rh\)), de oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel) en het totaal, met tussenstappen
- Het resultaat wordt ook als 3D-figuur getekend (je kunt het draaien door te slepen)
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
De oppervlakte komt in het kwadraat van de eenheid die je invult (bij cm dus cm²). Het gaat om een bol die recht met een vlak is afgesneden (het snijvlak is een cirkel). Een koepeldak, een kom, een lens of een boei die uit het water steekt hebben deze vorm.
Waarvoor is deze berekening handig?
De oppervlakte van een planetarium of koepeldak schatten (bouw)
De ronde daken van planetaria, sterrenwachten en overdekte stadions hebben precies de vorm van een bolkap. De hoeveelheid dakbedekking of verf schat je met de oppervlakte van het gebogen oppervlak, \(2\pi Rh\).
Voor een koepel met een diameter van 16 m (straal van het grondvlak 8 m) en een hoogte van 4 m is de straal van de oorspronkelijke bol \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m en de dakoppervlakte \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\).
De kromming van een lens meten (optica en brillen)
Het oppervlak van een brillenglas of contactlens heeft de vorm van een bolkap, en de kromming wordt uitgedrukt als de “straal van de oorspronkelijke bol” (de kromtestraal). Een sferometer, het instrument dat een opticien gebruikt, meet de breedte \(2r\) en de bolling \(h\) van het lensoppervlak en berekent daarmee met formule 6 (\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)) de straal van de oorspronkelijke bol.
Is de bolling bijvoorbeeld 0,9 mm over een straal van 6 mm, dan is de kromtestraal \((0{,}9^2 + 6^2) \div 1{,}8 \approx 20{,}5\) mm.
De hoeveelheid glazuur voor een koepelvormige taart schatten (koken en bakken)
Giet je chocolade of een spiegelglazuur (glaçage) over een koepelvormige taart (halve bol), dan is de benodigde hoeveelheid evenredig met de oppervlakte. Voor een halve bol met een diameter van 12 cm is \(R = h = 6\) cm, dus de oppervlakte van het gebogen oppervlak is \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\).
Ook voor een schatting als “als de vorm twee keer zo groot is, hoeveel glazuur heb ik dan nodig?” kun je dit gebruiken (het is een oppervlakte, dus ongeveer 4 keer zoveel).
De oppervlakte van het zichtbare deel van een boei of drijver (zee en scheepvaart)
Drijft een bolvormige boei in het water, dan is het deel boven het water een bolkap. Steekt een boei met een straal van 15 cm 10 cm boven het water uit, dan is de oppervlakte die met lucht in aanraking komt \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\).
Trek je dat af van de totale oppervlakte van de bol, \(4\pi R^2 \approx 2.827\,\mathrm{cm^2}\), dan weet je dat de oppervlakte onder water (het deel dat antifouling nodig heeft) ongeveer \(1.885\,\mathrm{cm^2}\) is.
Het bereik van een satellietsignaal schatten (ruimtevaart en communicatie)
Het gebied op aarde waar het signaal van een satelliet kan worden ontvangen (de footprint) kun je benaderen als een deel van het aardoppervlak, een bolkap. De bedekte oppervlakte schat je met de straal van de aarde \(R \approx 6.371\) km en de “diepte” \(h\) van het gebied als \(2\pi Rh\) (in een echt ontwerp spelen ook de verdeling van de signaalsterkte en andere zaken mee).
Het plannen van een netwerk met de vraag “hoeveel groter wordt het bereik als de satelliet hoger staat?” is gebaseerd op het idee van deze formule.
Formules en figuren
Oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(O_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(O_1\): oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
\(=\)
④
\(2\): constante
\(\times\)
③
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(R\): straal van de bol
\(\times\)
②
\(h\): hoogte van de bolkap
De formule in woorden
①
Neem de
\(R\): straal van de bol
②
vermenigvuldig dat met de
\(h\): hoogte van de bolkap
③
vermenigvuldig met
\(\pi\): pi
④
en nog eens met
\(2\): constante
⑤
en je krijgt de
\(O_1\): oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
Een eenvoudig voorbeeld
Een bol met een straal van 10 cm wordt afgesneden op 5 cm hoogte vanaf de top. De oppervlakte van het gebogen oppervlak van die bolkap is
\(O_1\): oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
\(=\)
\(2\): constante
\(\times\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal van de bol (10 cm)
\(\times\)
hoogte (5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314{,}2\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Opvallend: in deze formule komt de straal van het grondvlak \(r\) niet voor. De oppervlakte van het gebogen oppervlak van een bolkap hangt alleen af van “de straal van de oorspronkelijke bol \(R\)” en “de hoogte \(h\)”. Bovendien is \(2\pi Rh\) precies de oppervlakte van de mantel van een cilinder met straal \(R\) en hoogte \(h\). Snijd je een bol in plakken van gelijke dikte, dan hebben ze, aan de rand of in het midden, evenveel gebogen oppervlak: een mooie eigenschap die de oude Griekse wiskundige Archimedes ontdekte.
Vul je \(h = 2R\) in (de hele bol), dan krijg je \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\), en dat komt precies overeen met de formule voor de oppervlakte van een bol.
Oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(O_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(O_2\): oppervlakte van het grondvlak
\(=\)
③
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(r\): straal van het grondvlak
②
kwadraat (het getal met zichzelf vermenigvuldigd)
De formule in woorden
①
Neem de
\(r\): straal van het grondvlak
②
neem die
in het kwadraat (het getal met zichzelf vermenigvuldigd)
③
vermenigvuldig met
\(\pi\): pi
④
en je krijgt de
\(O_2\): oppervlakte van het grondvlak
Een eenvoudig voorbeeld
De oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel) van een bolkap met een grondvlak met een straal van 3 cm is
\(O_2\): oppervlakte van het grondvlak
\(=\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal van het grondvlak (3 cm)
kwadraat
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Dit is gewoon de gewone formule “oppervlakte van een cirkel = π × straal in het kwadraat”. Waar je een bol ook doorsnijdt, het snijvlak is altijd een cirkel. De oppervlakte van het grondvlak volgt dus uit de formule voor de oppervlakte van een cirkel.
Totale oppervlakte (gebogen deel + grondvlak)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(O\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(O\): totale oppervlakte
\(=\)
①
oppervlakte van het gebogen oppervlak \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
oppervlakte van het grondvlak \(\pi r^2\)
De formule in woorden
①
Neem de
oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak) \(2\pi Rh\) (formule 1)
②
tel daar de
oppervlakte van het grondvlak \(\pi r^2\) (formule 2)
bij op
③
en je krijgt de
\(O\): totale oppervlakte
Een eenvoudig voorbeeld
Een bolkap, afgesneden van een bol met een straal van 10 cm op een hoogte van 5 cm (straal van het grondvlak \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\) cm), heeft een totale oppervlakte van
\(O\): totale oppervlakte
\(=\)
oppervlakte gebogen deel (\(100\pi\) cm²)
\(+\)
oppervlakte grondvlak (\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549{,}8\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
De “totale oppervlakte” is de oppervlakte van de hele buitenkant van het stuk dat je uit de bol hebt gesneden (het bolsegment): het gebogen deel plus de snijcirkel.
Wil je alleen het gebogen deel weten, zoals de oppervlakte van een koepeldak, gebruik dan \(O_1 = 2\pi Rh\) uit formule 1 (in het resultaat de “oppervlakte van de bolkap (gebogen deel)”).
Zo bereken je de straal van het grondvlak \(r\) (als \(R\) en \(h\) bekend zijn)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(r\): straal van het grondvlak
\(=\)
①
de vierkantswortel van \(2Rh - h^2\)
De formule in woorden
①
Bereken
de vierkantswortel van \(2Rh - h^2\) (twee keer R maal h, min h in het kwadraat)
②
en je krijgt de
\(r\): straal van het grondvlak
Een eenvoudig voorbeeld
Voor een bolkap van een bol met een straal van 10 cm, afgesneden op 5 cm hoogte, is de straal van het grondvlak (de snijcirkel)
\(r\): straal van het grondvlak
\(=\)
de vierkantswortel van \(2 \times 10 \times 5 - 5^2\) (= 75)
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\)
Het belangrijkste idee
Verbind je het middelpunt van de bol, het middelpunt van het grondvlak en een punt op de rand van de snijcirkel, dan krijg je een rechthoekige driehoek. Met de stelling van Pythagoras geldt dan \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\), en zo komt deze formule tot stand.
Onder de wortel kun je \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\) schrijven. Zolang de hoogte \(h\) niet groter is dan de diameter \(2R\), is dit 0 of groter en kun je dus altijd rekenen.
Zo bereken je de hoogte \(h\) (als \(r\) en \(R\) bekend zijn; er zijn twee antwoorden)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(h\): hoogte van de bolkap
\(=\)
①
\(R\): straal van de bol
\(\pm\)
②
de vierkantswortel van \(R^2 - r^2\)
De formule in woorden
①
Neem de
\(R\): straal van de bol
②
tel daar de
de vierkantswortel van \(R^2 - r^2\) (het kwadraat van de straal van de bol min dat van de straal van het grondvlak)
bij op of trek die ervan af (twee mogelijkheden: ±),
③
en je krijgt de
\(h\): hoogte van de bolkap
(twee antwoorden)
Een eenvoudig voorbeeld
Een bolkap wordt afgesneden van een bol met een straal van 2 m, zodat de straal van het grondvlak 1 m is. De hoogte van de bolkap is dan
\(h\): hoogte van de bolkap
\(=\)
straal van de bol (2 m)
\(\pm\)
de vierkantswortel van \(2^2 - 1^2\) (= 3)
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1{,}732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268, \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
Het belangrijkste idee
Er zijn twee antwoorden omdat je met dezelfde snijcirkel twee bolkappen kunt maken: een ondiepe (de kleine bolkap bij de top) of een diepe (de grote bolkap die overblijft). De twee hoogtes zijn samen altijd de diameter van de bol \(2R\) (in het voorbeeld \(0{,}268 + 3{,}732 = 4 = 2R\)).
Bij \(r = R\) (afgesneden op de breedste plek van de bol) is \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\) en is er één antwoord, \(h = R\): precies een halve bol.
Zo bereken je de straal van de bol \(R\) (als \(r\) en \(h\) bekend zijn)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(R\): straal van de bol
\(=\)
\((\)
①
\(h\) in het kwadraat
\(+\)
②
\(r\) in het kwadraat
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
twee keer de hoogte \(2h\)
\()\)
De formule in woorden
①
Neem
\(h\) in het kwadraat
②
tel daarbij
\(r\) in het kwadraat
op,
③
deel dat door
twee keer de hoogte \(2h\)
④
en je krijgt de
\(R\): straal van de bol
Een eenvoudig voorbeeld
Een koepelvormig voorwerp (bolkap) met een straal van het grondvlak van 3 cm en een hoogte van 2 cm komt van een bol met een straal van
\(R\): straal van de bol
\(=\)
\((\)
hoogte in het kwadraat (\(2^2 = 4\))
\(+\)
straal in het kwadraat (\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
twee keer de hoogte (\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\,\mathrm{cm}\)
Het belangrijkste idee
Met deze formule kun je uit een stukje van een bol (een scherf van een bord, een lens, een koepel) de grootte van de hele bol terugvinden. Je hoeft alleen de straal \(r\) van het snijvlak en de bolling \(h\) erboven te meten.
Ook de sferometer, het instrument waarmee je de kromtestraal van het oppervlak van een lens of spiegel meet, rekent precies met deze formule.
De oppervlakte van het gebogen oppervlak van een bolkap bereken je met alleen “2 × π × straal van de bol R × hoogte h” (de straal van het grondvlak r komt er niet in voor). Voor de totale oppervlakte inclusief de snijcirkel tel je daar de oppervlakte van de cirkel πr² bij op. Als je twee van r, R en h kent, kun je de derde berekenen.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(O\) | o | Een veelgebruikt symbool voor oppervlakte (in het Nederlands de “O”). Op deze pagina staat het voor de oppervlakte van de bolkap. |
| \(R\) | er (hoofdletter) | De straal van de oorspronkelijke bol (de hele bol voordat je iets afsnijdt), van “radius”. Hij wordt met een hoofdletter geschreven om hem te onderscheiden van de kleine letter \(r\). |
| \(r\) | er (kleine letter) | De straal van het grondvlak (de snijcirkel). Let op: ook dit is een straal, maar een andere lengte dan de hoofdletter \(R\) (straal van de bol). |
| \(h\) | ha | De hoogte van de bolkap: de afstand van het snijvlak tot het hoogste punt van het bolle oppervlak. Van “hoogte”. |
| \(\pi\) | pi | De Griekse letter voor de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Het getal is ongeveer 3,14159… en gaat eindeloos door. Op school reken je vaak met 3,14. |
| \(r^2\) | r kwadraat | Het getal \(r\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(r \times r\)). De kleine 2 rechtsboven is een exponent die aangeeft hoe vaak je het getal als factor gebruikt. (Voorbeeld: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)) |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | wortelteken | Het teken voor een getal van 0 of meer dat in het kwadraat de gegeven waarde oplevert. (Voorbeeld: \(\sqrt{75}\) is “het getal dat in het kwadraat 75 geeft”, ongeveer 8,66) |
| \(\pm\) | plusminus | Een teken dat betekent dat zowel optellen als aftrekken een antwoord geeft. In formule 5 laat het zien dat er voor de hoogte \(h\) twee antwoorden zijn. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | vierkante centimeter | Een eenheid van oppervlakte. Een vierkant van 1 cm bij 1 cm heeft een oppervlakte van 1 cm². De oppervlakte in deze rekenmachine is het kwadraat van de eenheid die je invult (bij m dus m²). |
Begrippen
| bolkap | Het bolle, gebogen deel dat ontstaat als je een bol met één vlak doorsnijdt. Ook wel de “kap” van de bol genoemd. Denk aan een koepeldak, een kom of een contactlens. |
| bolsegment | Het hele stuk dat je uit de bol snijdt, met inhoud. Het oppervlak ervan bestaat uit de bolkap (het gebogen deel) en het grondvlak (de snijcirkel). De “totale oppervlakte” op deze pagina is de oppervlakte van de hele buitenkant van het bolsegment. |
| halve bol | Een bol die precies door het middelpunt in tweeën is gesneden. Een bolkap met een hoogte \(h\) gelijk aan de straal \(R\) van de bol (\(h = R\)) is een halve bol. |
| oppervlakte | De grootte van het hele buitenoppervlak van een ruimtelijke figuur. Het is iets anders dan de inhoud (hoeveel er in past). Je gebruikt het voor de te verven oppervlakte of het papier om iets in te pakken. |
| gebogen oppervlak | Een oppervlak dat niet vlak is maar rond gebogen. Het bolle deel van een bolkap is een gebogen oppervlak, de snijcirkel is een plat vlak. |
| stelling van Pythagoras | De stelling dat in een rechthoekige driehoek geldt: “de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden = het kwadraat van de schuine zijde”. De formules om een waarde terug te rekenen (formule 4 tot en met 6) zijn met deze stelling afgeleid uit de rechthoekige driehoek in de doorsnede van de bol. |
| vierkantswortel | Het getal dat in het kwadraat de gegeven waarde oplevert. Het teken is \(\sqrt{\phantom{0}}\) (wortelteken). Het komt voor in formule 4 en 5 om het kwadrateren ongedaan te maken. |
Handig om vooraf te weten
Dit zijn de dingen die handig zijn om vooraf te weten, zodat je de berekening op deze pagina met begrip gebruikt en niet alleen op de knop drukt.
| Oppervlakte van een cirkel en pi (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Machten en exponenten (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Oppervlakte van een bol (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Vierkantswortels (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Stelling van Pythagoras (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor de oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
| Straal van de bol R | 10 |
| Hoogte van de bolkap h | 5 |
| Oppervlakte van de bolkap (gebogen deel) | =2*PI()*B1*B2 |
Tabel voor de oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel)
| Straal van het grondvlak r | 3 |
| Oppervlakte van het grondvlak | =PI()*B1^2 |
Tabel voor de totale oppervlakte (uit R en h)
| Straal van de bol R | 10 |
| Hoogte van de bolkap h | 5 |
| Straal van het grondvlak r (automatisch berekend) | =WORTEL(2*B1*B2-B2^2) |
| Totale oppervlakte | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabel om de straal van het grondvlak r terug te rekenen
| Straal van de bol R | 10 |
| Hoogte van de bolkap h | 5 |
| Straal van het grondvlak r | =WORTEL(2*B1*B2-B2^2) |
Tabel om de hoogte h terug te rekenen (twee antwoorden)
| Straal van het grondvlak r | 1 |
| Straal van de bol R | 2 |
| Hoogte h (oplossing 1, ondiepe bolkap) | =B2-WORTEL(B2^2-B1^2) |
| Hoogte h (oplossing 2, diepe bolkap) | =B2+WORTEL(B2^2-B1^2) |
Tabel om de straal van de bol R terug te rekenen
| Straal van het grondvlak r | 3 |
| Hoogte van de bolkap h | 2 |
| Straal van de bol R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Na het plakken staan de namen in kolom A en de getallen in kolom B. De bovenste rijen zijn je invoer; de formule in de laatste rij rekent daar automatisch mee.
“PI()” is de functie voor pi (3,14159…) en “WORTEL()” berekent de vierkantswortel. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is het teken voor een macht (het kwadraat).
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld in B3 ongeveer 314,16 en in de derde tabel in B4 ongeveer 549,78. De vijfde tabel is een voorbeeld met twee antwoorden voor de hoogte (ongeveer 0,268 en 3,732). Vervang de invoergetallen door je eigen waarden en je kunt de tabellen meteen gebruiken.
“PI()” is de functie voor pi (3,14159…) en “WORTEL()” berekent de vierkantswortel. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is het teken voor een macht (het kwadraat).
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld in B3 ongeveer 314,16 en in de derde tabel in B4 ongeveer 549,78. De vijfde tabel is een voorbeeld met twee antwoorden voor de hoogte (ongeveer 0,268 en 3,732). Vervang de invoergetallen door je eigen waarden en je kunt de tabellen meteen gebruiken.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor de oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
| Straal van de bol R | 10 |
| Hoogte van de bolkap h | 5 |
| Oppervlakte van de bolkap (gebogen deel) | =2*PI()*B1*B2 |
Tabel voor de oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel)
| Straal van het grondvlak r | 3 |
| Oppervlakte van het grondvlak | =PI()*B1^2 |
Tabel voor de totale oppervlakte (uit R en h)
| Straal van de bol R | 10 |
| Hoogte van de bolkap h | 5 |
| Straal van het grondvlak r (automatisch berekend) | =WORTEL(2*B1*B2-B2^2) |
| Totale oppervlakte | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabel om de straal van het grondvlak r terug te rekenen
| Straal van de bol R | 10 |
| Hoogte van de bolkap h | 5 |
| Straal van het grondvlak r | =WORTEL(2*B1*B2-B2^2) |
Tabel om de hoogte h terug te rekenen (twee antwoorden)
| Straal van het grondvlak r | 1 |
| Straal van de bol R | 2 |
| Hoogte h (oplossing 1, ondiepe bolkap) | =B2-WORTEL(B2^2-B1^2) |
| Hoogte h (oplossing 2, diepe bolkap) | =B2+WORTEL(B2^2-B1^2) |
Tabel om de straal van de bol R terug te rekenen
| Straal van het grondvlak r | 3 |
| Hoogte van de bolkap h | 2 |
| Straal van de bol R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Dezelfde formules als in Excel (ook de functies PI() en WORTEL()) werken hier gewoon. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoergetallen door je eigen waarden.
Berekenen met Python
import math
ball_radius = 10 # straal van de bol R (in dit voorbeeld in cm)
cap_height = 5 # hoogte van de bolkap h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # straal van het grondvlak r (teruggerekend)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # oppervlakte van de bolkap (gebogen deel)
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # oppervlakte van het grondvlak
total_area = cap_area + base_area # totale oppervlakte
print(f"Straal van het grondvlak r: {base_radius} cm")
print(f"Oppervlakte van de bolkap (gebogen deel): {cap_area} cm2")
print(f"Oppervlakte van het grondvlak: {base_area} cm2")
print(f"Totale oppervlakte: {total_area} cm2")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “math.pi” is pi, “math.sqrt()” is de vierkantswortel en “**” is het teken voor een macht (het kwadraat). Pas bovenaan de straal van de bol en de hoogte aan en voer het uit (dit voorbeeld rekent in cm). Wil je de straal van de bol terugrekenen uit r en h, vervang dan de regel met ball_radius door “ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)”.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Oppervlakte van de bolkap (het gebogen oppervlak)
O₁ = 2πRh
O_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>O</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
O_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
O1 := 2*Pi*R*h;
O1 = 2*pi*R*h;
O_1 = 2πRh
Oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel)
O₂ = πr²
O_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>O</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
O_2 = pi r^2
Pi*r^2
O2 := Pi*r^2;
O2 = pi*r^2;
O_2 = πr^2
Totale oppervlakte (gebogen deel + grondvlak)
O = 2πRh + πr²
O = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>O</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
O = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
O := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
O = 2*pi*R*h + pi*r^2;
O = 2πRh + πr^2
Zo bereken je de straal van het grondvlak \(r\) (als \(R\) en \(h\) bekend zijn)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Zo bereken je de hoogte \(h\) (als \(r\) en \(R\) bekend zijn; er zijn twee antwoorden)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
Zo bereken je de straal van de bol \(R\) (als \(r\) en \(h\) bekend zijn)
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor rekenen en wiskunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (niet uit je hoofd rekenen en niet gokken). Een bol met een straal van 10 cm wordt met een vlak afgesneden op 5 cm hoogte vanaf de top, zodat er een bolkap (koepelvorm) ontstaat. Bereken de volgende waarden: 1. De straal r van het grondvlak (de snijcirkel) (r = √(2Rh − h²)) 2. De oppervlakte van het gebogen deel van de bolkap (O₁ = 2πRh) 3. De oppervlakte van het grondvlak (O₂ = πr²) 4. De totale oppervlakte (O = O₁ + O₂) Geef de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering weer.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Inhoud van een bol berekenen (V = 4/3 × π × r³)
Berekent de inhoud van de hele bol, voordat je er een stuk afsnijdt, uit de straal
Cirkel berekenen (straal, diameter, omtrek en oppervlakte)
Berekent straal, omtrek en oppervlakte van het grondvlak (de snijcirkel) van een bolkap
