Binomiale verdeling berekenen (binompdf, binomcdf, gemiddelde)

Vul het aantal keren n, de kans op succes per keer p en het aantal successen k in. Je krijgt de kans op precies k successen, de cumulatieve kansen op hoogstens k en minstens k, het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking en een staafdiagram van de hele verdeling.

Aantal keren n

Kans op succes p

Aantal successen k

Vul de kans p in als decimaal getal van 0 tot 1 (voor 25% vul je 0,25 in) of als breuk zoals 1/4. n is een geheel getal van 1 tot 50 en k is een geheel getal van 0 tot n.

Resultaat en grafiek

Vul links het aantal keren en de kans in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een staafdiagram van de verdeling verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul maar 3 getallen in om “de kans dat iets met kans \(p\) precies \(k\) keer gebeurt in \(n\) keer” te vinden, \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), meteen
Het antwoord wordt getoond als breuk in de eenvoudigste vorm, zoals \(\dfrac{3}{8}\) (de exacte waarde), en als decimaal getal en percentage. Je ziet ook de stappen voor het aantal combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
Ook de cumulatieve kansen “hoogstens \(k\) keer” \(P(X \le k)\) en “minstens \(k\) keer” \(P(X \ge k)\) worden tegelijk berekend
Het toont de verwachtingswaarde \(E(X) = np\), de variantie \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\) en de standaardafwijking \(\sigma\) en controleert de vuistregel voor het gebruik van de normale benadering
De hele verdeling, van 0 tot \(n\) successen, wordt getekend als staafdiagram, dus je ziet in één oogopslag welke aantallen het waarschijnlijkst zijn

Dit werkt voor herhaalde kansexperimenten waarbij de kans elke keer hetzelfde is en de uitkomsten elkaar niet beïnvloeden (ze zijn onafhankelijk). Het werkt niet als de kans van keer tot keer verandert, zoals bij loten trekken zonder ze terug te leggen.

Waarvoor is deze berekening handig?

“k keer winst bij n keer” inschatten bij lootboxen en prijstrekkingen (games)

Open je 100 lootboxen met 1% kans op een zeldzaam voorwerp, dan volgt het aantal zeldzame voorwerpen de binomiale verdeling \(B(100;\ 0{,}01)\) (als je ervan uitgaat, zoals gepubliceerd, dat elke keer dezelfde kans geldt en onafhankelijk is). De kans dat je helemaal niets krijgt is \(0{,}99^{100} \approx 36{,}6\%\), dus de verdeling laat zien dat het onderbuikgevoel “100 keer proberen met 1% is bijna zeker raak” riskant is.
Bij het plannen van hoeveel je uitgeeft de “verwachtingswaarde \(np\) plus de spreiding” inschatten is precies de berekening op deze pagina.

Acceptatieregels voor steekproefcontrole ontwerpen (industrie en kwaliteitsbeheer)

In plaats van elk product te controleren, gebruiken fabrieken steekproefcontrole: “neem \(n\) producten uit een partij en accepteer de partij bij \(c\) of minder defecte producten”. De kans dat een partij met uitvalpercentage \(p\) wordt geaccepteerd is precies de cumulatieve binomiale kans \(P(X \le c)\). Neem je bijvoorbeeld 20 producten uit een partij met 1% uitval en accepteer je alleen bij 0 defecte, dan is de kans op acceptatie \(0{,}99^{20} \approx 81{,}8\%\).
Deze berekening wordt gebruikt om controleregels te ontwerpen die goede partijen met hoge kans accepteren en slechte afkeuren.

De kans op goed gokken bij meerkeuzetoetsen inschatten (onderwijs en examens)

Gok je bij alle 20 vragen van een toets met 4 antwoordopties, dan volgt het aantal goede antwoorden de binomiale verdeling \(B(20;\ 0{,}25)\) en is de verwachtingswaarde \(20 \times 0{,}25 = 5\) vragen. De kans dat je er door geluk 8 of meer goed hebt is maar ongeveer 10%, wat met kansrekening bevestigt dat alleen gokken zelden een voldoende oplevert.
Toetsmakers houden ook rekening met deze verdeling als ze het aantal vragen en de cesuur (de grens voor een voldoende) vaststellen, zodat slagen door geluk moeilijk is.

De ups en downs van sportprestaties lezen (basketbal en meer)

Als een basketballer die 70% van zijn vrije worpen raakt 10 keer gooit, is de kans dat precies 7 raak zijn maar \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \times 0{,}7^{7} \times 0{,}3^{3} \approx 26{,}7\%\) (als je elke worp als onafhankelijk ziet met een vaste kans). Precies 7 van de 10 raken is dus minder gewoon dan het klinkt. 6 of 8 raken gebeurt voortdurend.
De binomiale verdeling helpt je te beoordelen hoeveel van een “hot streak” of “slump” gewoon normale toevallige variatie is.

Waar de foutenmarge bij peilingen en kijkcijfers vandaan komt (onderzoek)

Bij peilingen en kijkcijferonderzoek wordt het aantal mensen onder de \(n\) ondervraagden dat een bepaald antwoord geeft gezien als gegeven door een binomiale verdeling. De “plus of min een paar procentpunten” van de foutenmarge wordt berekend uit de standaardafwijking \(\sqrt{np(1-p)}\) en de normale benadering.
Bepalen hoeveel mensen je moet ondervragen om de foutenmarge tot een gewenste grootte te brengen, berust rechtstreeks op de eigenschappen van de binomiale verdeling.

Formules en grafieken

Binomiale kans (kans op precies \(k\) keer succes)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(P(X = k)\) \(=\) \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑥ \(P(X = k)\): kans op precies \(k\) keer succes \(=\) ⑤ \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): aantal manieren om te kiezen bij welke keren het lukt \(\times\) ① \(p\): kans op succes ② \(k\): aantal successen \(\times\) ③ \(1 - p\): kans op mislukking ④ \(n - k\): aantal mislukkingen

De formule in woorden

① Neem de \(p\): kans op succes

② en vermenigvuldig die met zichzelf, zo vaak als \(k\): aantal successen

③ neem dan de \(1 - p\): kans op mislukking

④ en vermenigvuldig die met zichzelf, zo vaak als \(n - k\): aantal mislukkingen

⑤ vermenigvuldig de uitkomsten met de \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): aantal manieren om te kiezen bij welke keren het lukt

⑥ en je krijgt de \(P(X = k)\): kans op precies \(k\) keer succes

Een eenvoudig voorbeeld

Gooi je 4 keer een munt op (kans op kop \(\dfrac{1}{2}\)), dan is de kans op precies 2 keer kop

kans op precies 2 keer \(P(X = 2)\) \(=\) aantal volgordes \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\) \(\times\) kop \(\dfrac{1}{2}\), twee keer \(\times\) munt \(\dfrac{1}{2}\), twee keer

\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37{,}5\%)\)

Het belangrijkste idee

De kans op één bepaalde volgorde met \(k\) successen en \(n-k\) mislukkingen is \(p^{k} (1-p)^{n-k}\). Er zijn \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) zulke volgordes (manieren om te kiezen bij welke keren het lukt), dus vermenigvuldigen met dat aantal geeft het antwoord. De verdeling die de kans op elk mogelijk aantal \(X\) (0, 1, …, \(n\) successen) bij elkaar zet heet de binomiale verdeling en wordt geschreven als \(B(n,\ p)\). De rekenmachine op deze pagina tekent de hele verdeling als staafdiagram.

Cumulatieve kans (kans op hoogstens \(k\) en minstens \(k\) successen)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(P(X \le k)\): kans op hoogstens \(k\) keer succes \(=\) ① som van de kansen op precies 0 tot en met precies \(k\)

⑤ \(P(X \ge k)\): kans op minstens \(k\) keer succes \(=\) ③ \(1\): totale kans \(-\) ④ kans op hoogstens \(k-1\)

De formule in woorden

① Tel alle kansen op precies 0, precies 1, …, precies \(k\) keer succes op

② en je krijgt de \(P(X \le k)\): kans op hoogstens \(k\) keer succes

③ Voor “minstens \(k\)” geeft het complement een kortere berekening. Begin met de \(1\): totale kans

④ trek daar de \(P(X \le k-1)\): kans op hoogstens \(k-1\) keer succes van af

⑤ en je krijgt de \(P(X \ge k)\): kans op minstens \(k\) keer succes

Een eenvoudig voorbeeld

Gooi je 4 keer een munt op, dan zijn de kans op hoogstens 2 keer kop en de kans op minstens 2 keer kop

kans op hoogstens 2 \(P(X \le 2)\) \(=\) som voor 0, 1 en 2

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\%)\)

Het belangrijkste idee

“Hoogstens” en “minstens” tellen het getal zelf mee (hoogstens 2 betekent 0, 1 of 2). De standaardaanpak is om voor “hoogstens \(k\)” de exacte kansen gewoon op te tellen en voor “minstens \(k\)” “hoogstens \(k-1\)” van het totaal 1 af te trekken (met het complement). “De kans dat het minstens één keer gebeurt” is \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Dit is het meest voorkomende gebruik van het complement.

Verwachtingswaarde, variantie en standaardafwijking van de binomiale verdeling

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(E(X)\): verwachtingswaarde (gemiddeld aantal successen) \(=\) ① \(n\): aantal keren \(\times\) ② \(p\): kans op succes

⑤ \(\mathrm{Var}(X)\): variantie (hoe ver de uitkomsten uit elkaar liggen) \(=\) \(n\): aantal keren \(\times\) \(p\): kans op succes \(\times\) ④ \(1 - p\): kans op mislukking

⑦ \(\sigma\): standaardafwijking (gebruikelijke spreiding) \(=\) ⑥ wortel uit de variantie \(\mathrm{Var}(X)\)

De formule in woorden

① Vermenigvuldig het \(n\): aantal keren met

② de \(p\): kans op succes

③ en je krijgt de \(E(X)\): verwachtingswaarde (gemiddeld aantal successen)

④ Vermenigvuldig dat verder met de \(1 - p\): kans op mislukking

⑤ en je krijgt de \(\mathrm{Var}(X)\): variantie (hoe ver de uitkomsten uit elkaar liggen)

⑥ Neem de wortel uit de \(\mathrm{Var}(X)\): variantie en je krijgt de

⑦ \(\sigma\): standaardafwijking (gebruikelijke spreiding)

Een eenvoudig voorbeeld

Voor het aantal keren dat je 1 gooit bij 30 worpen met een dobbelsteen (\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\)) geldt

verwachtingswaarde \(E(X)\) \(=\) aantal keren \(30\) \(\times\) kans op een 1 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(\mathrm{Var}(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04\)

Het belangrijkste idee

De verwachtingswaarde \(np\) komt precies overeen met je intuïtie: “Doe je iets met kans \(\dfrac{1}{6}\) 30 keer, dan gebeurt het gemiddeld ongeveer \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\) keer.” De variantie en standaardafwijking vertellen je hoe ver het werkelijke aantal gewoonlijk van de verwachtingswaarde ligt. Bij een standaardafwijking van ongeveer 2 lees je het resultaat als “meestal ergens rond 3 tot 7 keer” in plaats van “precies 5 keer”. Bij dezelfde \(n\) is de variantie \(np(1-p)\) het grootst als \(p = \dfrac{1}{2}\) (als succes en mislukking even waarschijnlijk zijn, is de uitkomst het moeilijkst te voorspellen).

Normale benadering (vuistregel: \(np \ge 5\) en \(n(1-p) \ge 5\))

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(B(n,\ p)\) \(\approx\) \(N(\mu = np,\ \sigma^{2} = np(1 - p))\)

① \(B(n,\ p)\): binomiale verdeling \(\approx\) ② normale verdeling met gemiddelde \(np\) en variantie \(np(1-p)\)

De formule in woorden

① De \(B(n,\ p)\): binomiale verdeling kan bij benadering worden vervangen, als \(np \ge 5\) en \(n(1-p) \ge 5\) (de vuistregel), door de

② \(N(\mu = np,\ \sigma^{2} = np(1-p))\): normale verdeling met gemiddelde \(np\) en variantie \(np(1-p)\)

Een eenvoudig voorbeeld

Het aantal keren kop bij 20 keer een munt opgooien (\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\)) is

binomiale verdeling \(B(20,\ \dfrac{1}{2})\) \(\approx\) normale verdeling \(N(\mu = 10,\ \sigma^{2} = 5)\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \approx N(\mu = 10,\ \sigma^{2} = 5)\)

Het belangrijkste idee

Naarmate \(n\) groter wordt, lijkt het staafdiagram van de binomiale verdeling steeds meer op een symmetrische klokvorm, bijna dezelfde als de normale verdeling. Is \(n\) groot, dan kun je de lange sommen van de binomiale verdeling dus vervangen door de tabel (of de z-score) van de normale verdeling. Dit is de normale benadering en \(np \ge 5\) en \(n(1-p) \ge 5\) is de gangbare vuistregel voor wanneer je die gebruikt. Let op: in Nederlandse leerboeken schrijf je de normale verdeling vaak als \(N(\mu,\ \sigma)\), met de standaardafwijking. Hier staan daarom steeds \(\mu\) en \(\sigma^2\) expliciet, zoals in \(N(\mu = np,\ \sigma^{2} = np(1-p))\). Na de benadering kun je dingen als “de kans op minstens een bepaald aantal” berekenen op onze pagina voor de normale verdeling.

De binomiale verdeling is de verdeling van “hoe vaak iets met kans \(p\) gebeurt in \(n\) keer”. De kans op precies \(k\) successen is \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), de verwachtingswaarde is \(np\) en de variantie is \(np(1-p)\). Is \(n\) groot, dan kun je haar benaderen met de normale verdeling \(N(\mu = np,\ \sigma^{2} = np(1-p))\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(X\)	hoofdletter X	De stochast voor het aantal successen. Volgens de gewoonte schrijf je getallen die door het toeval worden bepaald met hoofdletters uit het eind van het alfabet, zoals \(X,\ Y,\ Z\).
\(P(X = k)\)	P van X is k	De kans dat het aantal successen \(X\) precies \(k\) is. De \(P\) staat voor “probability” (kans).
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)	n boven k	Het aantal combinaties van \(k\) dingen gekozen uit \(n\). De \(C\) staat voor “combination”. In Nederlandse leerboeken staat vaak \(\dbinom{n}{k}\) (lees: n boven k).
\(n\)	n	Het aantal keren dat je het kansexperiment herhaalt. De letter \(n\) wordt vaak voor een aantal gebruikt.
\(p\)	p	De kans op succes bij één uitvoering van het kansexperiment. De \(p\) komt van “probability” en de kleine letter gebruik je vaak voor de kans bij één keer.
\(1 - p\)	1 min p	De kans op een mislukking bij één keer (niet slagen). Er gebeurt altijd of succes of mislukking, dus het is wat overblijft als je \(p\) van het totaal \(1\) aftrekt. Ook geschreven als \(q\).
\(k\)	k	Het aantal successen, een geheel getal van \(0\) tot \(n\). De letter \(k\) wordt vaak gebruikt om “hoe vaak” aan te geven.
\(P(X \le k)\)	P van X kleiner dan of gelijk aan k	De kans op hoogstens \(k\) successen (elk aantal van 0 tot \(k\)). Het is een cumulatieve kans, de exacte kansen opgeteld tot en met \(k\).
\(P(X \ge k)\)	P van X groter dan of gelijk aan k	De kans op minstens \(k\) successen (elk aantal van \(k\) tot \(n\)). Door \(P(X \le k-1)\) van het totaal \(1\) af te trekken (het complement) wordt de som korter.
\(E(X)\)	E van X	De verwachtingswaarde (het gemiddelde aantal successen). De \(E\) staat voor “expectation” (verwachting). Voor de binomiale verdeling is \(E(X) = np\). Ze heet ook het gemiddelde en wordt geschreven als \(\mu\).
\(\mathrm{Var}(X)\)	variantie van X	De variantie (hoe ver de uitkomsten uit elkaar liggen). De \(V\) komt van “variance”. Voor de binomiale verdeling is \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\). Ze wordt ook geschreven als \(\sigma^2\).
\(\sigma\)	sigma	De standaardafwijking. Het is de Griekse kleine letter sigma, de Griekse “s” van “standaardafwijking”. Het is de wortel uit de variantie, \(\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}\), en geeft de gebruikelijke afstand tot de verwachtingswaarde.
\(B(n,\ p)\)	B van n en p	De binomiale verdeling met \(n\) keer en kans op succes \(p\). De \(B\) staat voor “binomiaal”. “\(X\) is binomiaal verdeeld” schrijf je als \(X \sim B(n,\ p)\).
\(N(\mu,\ \sigma)\)	N van mu en sigma	De normale verdeling met gemiddelde \(\mu\) en standaardafwijking \(\sigma\), zoals je het in Nederlandse leerboeken vaak schrijft. De \(N\) staat voor “normaal”. In engelstalige boeken staat tussen de haakjes vaak \(\mu\) en de variantie \(\sigma^2\). Daarom staan op deze pagina steeds \(\mu\) en \(\sigma^2\) erbij.
\(\approx\)	ongeveer gelijk aan	Het symbool voor “ongeveer gelijk aan”. Op deze pagina laat het zien dat de binomiale verdeling bij benadering kan worden vervangen door de normale verdeling.

Begrippen

binomiale verdeling	De kansverdeling van “hoe vaak iets met kans \(p\) gebeurt in \(n\) keer”. De naam komt doordat de \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) in de formule gelijk is aan de binomiaalcoëfficiënt (de coëfficiënten in het binomium van Newton). In Nederland komt de binomiale verdeling vooral voor in de bovenbouw van havo en vwo (onder meer bij wiskunde A) en in het hoger onderwijs.
stochast	Een variabele waarvan de waarde door het toeval wordt bepaald. Op deze pagina is het aantal successen de stochast. Die neemt de waarden 0 tot en met n aan, elk met een eigen kans.
kansexperiment	Eén uitvoering van een experiment of waarneming waarvan de uitkomst van het toeval afhangt, zoals één keer een munt opgooien of één lot trekken.
herhaald kansexperiment	Hetzelfde kansexperiment telkens met dezelfde kans herhalen, waarbij de uitkomsten elkaar niet beïnvloeden (onafhankelijk). Je noemt ze ook bernoulli-experimenten. De binomiale verdeling is de verdeling van het aantal successen bij herhaalde kansexperimenten.
onafhankelijk	Als de uitkomst van het ene kansexperiment de uitkomst van een ander niet beïnvloedt. De eerste en tweede worp met een dobbelsteen zijn onafhankelijk, maar loten trekken zonder terugleggen is dat niet (de eerdere uitkomsten veranderen hoeveel winnende loten er nog over zijn).
combinatie	Een manier om \(k\) van \(n\) dingen te kiezen waarbij de volgorde er niet toe doet. Het totale aantal is \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) (in Nederland ook “n boven k” genoemd). In de binomiale verdeling telt het de manieren om te kiezen bij welke van de \(n\) keren het lukt.
cumulatieve kans	De exacte kansen opgeteld tot een bepaald aantal. De kans op hoogstens \(k\), \(P(X \le k)\), is het typische voorbeeld.
complement	De gebeurtenis dat iets niet gebeurt. De kansen zijn samen altijd 1, dus een kans als “minstens \(k\)” vind je makkelijk door de tegenovergestelde kant (hoogstens \(k-1\)) van 1 af te trekken.
verwachtingswaarde	Het gemiddelde als je het kansexperiment vaak herhaalt. Voor de binomiale verdeling is het het gemiddelde aantal successen, gegeven door de eenvoudige formule \(np\).
variantie	Een maat voor hoe ver de werkelijke waarden gewoonlijk van de verwachtingswaarde liggen (de spreiding). Ze wordt gedefinieerd als het gemiddelde van de gekwadrateerde verschillen.
standaardafwijking	De wortel uit de variantie. De variantie heeft gekwadrateerde eenheden, dus door de wortel te nemen krijg je weer de oorspronkelijke eenheid (hier het aantal successen) als maat voor de spreiding.
normale verdeling	Een symmetrische, klokvormige verdeling waarbij waarden dicht bij het gemiddelde het waarschijnlijkst zijn en waarden verder weg minder waarschijnlijk. Veel grootheden uit de praktijk, zoals lichaamslengte en meetfouten, komen dicht bij deze vorm en ook de binomiale verdeling komt er dichtbij als \(n\) groot is.
normale benadering	De binomiale verdeling vervangen door de normale verdeling met \(\mu = np\) en \(\sigma^2 = np(1-p)\) als \(n\) groot is. De gangbare vuistregel is \(np \ge 5\) en \(n(1-p) \ge 5\).

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina met echt begrip te gebruiken en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan kom je het snelst verder door de onderwerpen in deze tabel nog eens door te nemen.

Basisbegrippen kans (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat een kans laat zien hoe waarschijnlijk iets is, als getal van 0 tot 1 (en 0,25 kunnen lezen als 25%) Weten dat de kansen van alle mogelijke uitkomsten samen altijd 1 zijn
Rekenen met breuken (groep 6-8, 9-12 jaar)	Breuken kunnen vermenigvuldigen (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), vereenvoudigen en gelijknamig maken Het prettig vinden om antwoorden als breuk te houden (en \(\dfrac{3}{8}\) om te kunnen zetten naar 0,375)
Machten (klas 1-3, 12-15 jaar)	Weten dat het kleine getal rechtsboven (de exponent) aangeeft hoe vaak je vermenigvuldigt, zoals in \(p^{3} = p \times p \times p\) Een breuk tot een macht kunnen verheffen, zoals in \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
Tellen en combinaties (bovenbouw havo/vwo, vanaf 15 jaar)	Weten dat \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) “het aantal manieren is om \(k\) van \(n\) dingen te kiezen als de volgorde er niet toe doet” Het kunnen uitrekenen, zoals in \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
Kans bij herhaalde kansexperimenten en het complement (bovenbouw havo/vwo, vanaf 15 jaar)	De opzet van herhaalde kansexperimenten begrijpen, “onafhankelijk herhaald met elke keer dezelfde kans” Het complement kunnen gebruiken om “minstens één keer” te vinden als \(1 - P(X = 0)\)
Stochasten, verwachtingswaarde en variantie (bovenbouw havo/vwo en hoger onderwijs, vanaf 16 jaar)	Weten wat een stochast (een variabele waarvan de waarde door het toeval wordt bepaald) en een kansverdeling zijn Weten dat de verwachtingswaarde het gemiddelde is en de variantie en standaardafwijking de spreiding aangeven
De normale verdeling (bovenbouw havo/vwo en hoger onderwijs, vanaf 16 jaar)	Weten dat de normale verdeling een symmetrische, klokvormige verdeling is waarbij waarden dicht bij het gemiddelde het waarschijnlijkst zijn (dit heb je nodig voor de kaart over de normale benadering) Weten dat tussen de haakjes in \(N(\mu,\ \sigma)\) het gemiddelde en de standaardafwijking staan (in engelstalige boeken staan tussen de haakjes het gemiddelde en de variantie, \(N(\mu,\ \sigma^2)\))

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de kans op precies k keer succes te berekenen

Aantal keren n	4
Kans op succes p	0,5
Aantal successen k	2
Kans op precies k keer succes P(X=k)	=BINOM.VERD(B3;B1;B2;ONWAAR)

Tabel om de cumulatieve kansen te berekenen (hoogstens k, minstens k)

Aantal keren n	4
Kans op succes p	0,5
Aantal successen k	2
Kans op hoogstens k keer succes P(X≤k)	=BINOM.VERD(B3;B1;B2;WAAR)
Kans op minstens k keer succes P(X≥k)	=1-BINOM.VERD(B3-1;B1;B2;WAAR)

Tabel om de verwachtingswaarde, variantie en standaardafwijking te berekenen

Aantal keren n	30
Kans op succes p	=1/6
Verwachtingswaarde E(X) = np	=B1*B2
Variantie Var(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Standaardafwijking σ	=WORTEL(B4)

Tabel om de vuistregel voor de normale benadering te controleren

Aantal keren n	20
Kans op succes p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Vuistregel voldaan?	=EN(B3>=5;B4>=5)

Na het plakken zijn de bovenste rijen (n, p en k) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
BINOM.VERD is de functie voor de binomiale verdeling. De argumenten zijn, in volgorde, “aantal successen; aantal keren; kans op succes; cumulatief of niet”. ONWAAR aan het eind geeft de exacte kans en WAAR geeft de cumulatieve kans van dat aantal of minder.
De eerste tabel is het voorbeeld van precies 2 keer kop bij 4 keer een munt opgooien en het antwoord is 0,375 (= 3/8).
Beide antwoorden in de tweede tabel zijn 0,6875. “Minstens k” vind je door “hoogstens k−1” van 1 af te trekken (deze formule geeft een foutmelding als k gelijk is aan 0, maar de kans op 0 of meer is altijd 1).
De derde tabel is het aantal keren dat je 1 gooit bij 30 worpen met een dobbelsteen, met verwachtingswaarde 5, variantie 4,1667 en standaardafwijking 2,0412.
De vierde tabel toont WAAR als zowel np als n(1−p) 5 of meer zijn (de vuistregel voor de normale benadering is dan voldaan) en anders ONWAAR.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de kans op precies k keer succes te berekenen

Aantal keren n	4
Kans op succes p	0,5
Aantal successen k	2
Kans op precies k keer succes P(X=k)	=BINOMIALE.VERD(B3;B1;B2;ONWAAR)

Tabel om de cumulatieve kansen te berekenen (hoogstens k, minstens k)

Aantal keren n	4
Kans op succes p	0,5
Aantal successen k	2
Kans op hoogstens k keer succes P(X≤k)	=BINOMIALE.VERD(B3;B1;B2;WAAR)
Kans op minstens k keer succes P(X≥k)	=1-BINOMIALE.VERD(B3-1;B1;B2;WAAR)

Tabel om de verwachtingswaarde, variantie en standaardafwijking te berekenen

Aantal keren n	30
Kans op succes p	=1/6
Verwachtingswaarde E(X) = np	=B1*B2
Variantie Var(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Standaardafwijking σ	=WORTEL(B4)

Tabel om de vuistregel voor de normale benadering te controleren

Aantal keren n	20
Kans op succes p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Vuistregel voldaan?	=EN(B3>=5;B4>=5)

In Google Spreadsheets gebruik je de functie BINOMIALE.VERD (de argumenten staan in dezelfde volgorde als bij BINOM.VERD in Excel: “aantal successen; aantal keren; kans op succes; cumulatief of niet”). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang n, p en k door je eigen getallen.
Net als in Excel geeft de formule voor “minstens k” een foutmelding als k gelijk is aan 0 (de kans op 0 of meer is altijd 1).

Berekenen met Python

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # aantal keren n
success_prob = Fraction(1, 2)    # kans op succes p (een decimaal getal zoals 0.3 werkt ook)
success_count = 2                # aantal successen k

failure_prob = 1 - success_prob

# kans op precies k successen P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"Kans op precies {success_count}: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# cumulatieve kansen (hoogstens k, minstens k)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"Kans op hoogstens {success_count}: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"Kans op minstens {success_count}: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# gemiddelde, variantie en standaardafwijking
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"Gemiddelde: {mean}  Variantie: {variance}  Standaardafwijking: {sqrt(variance)}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. De module fractions houdt de berekening in exacte breuken, zonder afrondingsfouten van decimale getallen (comb is het aantal combinaties nCk). Dit voorbeeld is precies 2 keer kop bij 4 keer een munt opgooien. Als je het uitvoert, zie je de kans 3/8 = 0,375, 11/16 = 0,6875 voor zowel hoogstens 2 als minstens 2 en gemiddelde 2, variantie 1 en standaardafwijking 1,0. Pas de drie getallen n, p en k aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Binomiale kans (kans op precies \(k\) keer succes)

P(X = k) = nCk pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

Cumulatieve kans (kans op hoogstens \(k\) en minstens \(k\) successen)

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] nCi pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

Verwachtingswaarde, variantie en standaardafwijking van de binomiale verdeling

E(X) = np,  Var(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad \mathrm{Var}(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, Var(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, Var(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

Normale benadering (vuistregel: \(np \ge 5\) en \(n(1-p) \ge 5\))

B(n, p) ≈ N(μ = np, σ² = np(1 − p))

B(n,\ p) \approx N(\mu = np,\ \sigma^{2} = np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>&#x3BC;</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>,</mo>
    <msup><mi>&#x3C3;</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n, p) ~~ N(mu = np, sigma^2 = np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n, p) ≈ N(μ = np, σ² = np(1-p))

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor wiskunde (kansrekening en statistiek). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (antwoord niet uit je hoofd of op basis van een gok).

Je doet 10 keer mee aan een prijstrekking en elke keer is de kans op winst 1/6. Bereken voor de binomiale verdeling van het aantal keren winst:
1. De kans op precies 2 keer winst, P(X=2) (als breuk in de eenvoudigste vorm en als decimaal getal)
2. De kans op hoogstens 2 keer winst, P(X≤2), en op minstens 2 keer winst, P(X≥2)
3. Het gemiddelde E(X), de variantie Var(X) en de standaardafwijking σ
4. Of de vuistregel voor de normale benadering, np ≥ 5 en n(1−p) ≥ 5, is voldaan

Reken in Python exact met fractions en math.comb uit de standaardbibliotheek en toon de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule