Vergelijking van een cirkel (algemene vorm, middelpuntsvorm, middelpunt, straal en cirkel met lijn)

Kies de richting van de omzetting en vul de coëfficiënten van de cirkel in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de coëfficiënten ook direct in de formule aanpassen. Wil je controleren hoe een lijn en de cirkel liggen, kies dan in de laatste keuzelijst “Ook de lijn px + qy + s = 0 controleren”.

Omzetting

Coëfficiënt l van x

Coëfficiënt m van y

Constante n

x-coördinaat a van het middelpunt

y-coördinaat b van het middelpunt

Rechterlid (straal in het kwadraat, r²)

Cirkel en een lijn

Coëfficiënt p van x (lijn)

Coëfficiënt q van y (lijn)

Constante s (lijn)

Vul alleen getallen in. Kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 mogen. Een lege coëfficiënt van x of y telt als 1 (x is hetzelfde als 1x), en een lege constante of coördinaat van het middelpunt telt als 0. Vul 0 in voor termen die je niet gebruikt.

Resultaat en grafiek

Vul links de coëfficiënten in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een figuur van de cirkel.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Splits het kwadraat af om de algemene vorm van een cirkel \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) om te zetten naar de middelpuntsvorm \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), en bepaal het middelpunt en de straal als exacte waarden met breuken en \(\sqrt{\ }\) (met stappen)
Je kunt ook de andere kant op: werk het middelpunt en het rechterlid (de straal in het kwadraat) uit tot de algemene vorm
Is het rechterlid \(r^{2}\) gelijk aan 0 of kleiner, dan is de vergelijking geen cirkel (het is één punt, of er is geen grafiek). De rekenmachine vertelt welk van de twee het is, en waarom
Je ziet ook hoe een lijn \(px + qy + s = 0\) en de cirkel ten opzichte van elkaar liggen (twee snijpunten, raken of geen punt gemeen), door de afstand \(d\) van het middelpunt tot de lijn te vergelijken met de straal \(r\). De gemeenschappelijke punten krijg je als exacte waarden
De rekenmachine toont de vergelijking van de cirkel zoals je die met de hand zou schrijven en je kunt de coëfficiënten direct in de formule aanpassen. Het resultaat kun je ook controleren op een figuur van de cirkel en de lijn

De coördinaten en coëfficiënten mogen kommagetallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn.

Waarvoor is deze berekening handig?

Botsingsdetectie in games (cirkelvormige hitboxes)

In 2D-games is het gebruikelijk om de hitbox van een personage of een kogel te modelleren als een cirkel. Of de baan van een kogel (een lijn) de cirkel van een tegenstander raakt, wordt precies bepaald met de controle op deze pagina: vergelijk de afstand \(d\) van het middelpunt tot de lijn met de straal \(r\). Of twee cirkels elkaar overlappen, bepaal je op dezelfde manier, door de afstand tussen hun middelpunten te vergelijken met de som van hun stralen.
Cirkels worden gebruikt omdat hun vorm niet verandert als ze draaien en omdat één afstandsberekening de controle beslist. Als je leert programmeren voor games, zie je cirkelvergelijkingen in elk beeld aan het werk.

Het bereik van een signaal modelleren (zendmasten en wifi)

Onder ideale omstandigheden zonder obstakels wordt het gebied dat een zendmast of wifirouter bestrijkt, gemodelleerd als een cirkel met de antenne in het middelpunt (straal = het bereik). “Is deze plek binnen bereik?” komt neer op het vergelijken van de afstand tot het middelpunt met de straal, met andere woorden: controleren of de plek binnen of buiten de cirkel ligt.
Echte signalen worden beïnvloed door het terrein en gebouwen en volgen dit dus niet precies. Toch zijn cirkelmodellen een beginpunt om te bepalen waar je masten neerzet zodat er geen gaten in de dekking zijn.

Het idee achter plaatsbepaling (gps en de locatie van je telefoon)

Gps-plaatsbepaling is gebaseerd op dit idee: als je je afstand tot een satelliet kent, worden de plekken waar je kunt zijn beperkt tot een bol (een cirkel, als je in een vlak denkt). Los je de cirkels (bollen) van afstanden tot meerdere satellieten samen op, dan krijg je het punt waar ze elkaar ontmoeten: jouw locatie.
De echte berekening is driedimensionaal en corrigeert ook voor klokfouten, dus ze is ingewikkelder. Maar het idee van de vergelijking van een cirkel, “de verzameling punten op een vaste afstand”, is de basis.

Ontwerpen, technisch tekenen en cad (de plaats van bogen en gaten beheren)

Tekeningen van machineonderdelen en gebouwen staan vol cirkels: boutgaten, gebogen randen, doorsneden van buizen enzovoort. Cad-software slaat een cirkel op als “de coördinaten van het middelpunt en de straal”, de informatie uit de middelpuntsvorm, en berekent elke keer dat je een vorm aanpast waar cirkels en lijnen elkaar snijden, en de raaklijnen.
Controles als “als ik hier een gat boor, is het dan ver genoeg van de rand?” komen ook neer op het berekenen van afstanden tot een middelpunt.

Bochten in wegen en spoorlijnen ontwerpen (cirkelbogen)

De basisvorm van een bocht in een weg of spoorlijn is een boog van een cirkel, een cirkelboog, en ontwerptekeningen beheren die met het middelpunt en de straal. Hoe kleiner de straal, hoe scherper de bocht. Daarom stellen ontwerprichtlijnen voor wegen per ontwerpsnelheid een minimale boogstraal vast.
Waar een recht stuk soepel overgaat in een bocht, wordt de voorwaarde “de lijn raakt de cirkel” direct gebruikt. Het idee van een raaklijn geeft echte wegen hun vorm.

Formules en figuren

Vergelijking van een cirkel (middelpuntsvorm)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① kwadraat van het verschil tussen \(x\) en de \(x\)-coördinaat \(a\) van het middelpunt \(+\) ② kwadraat van het verschil tussen \(y\) en de \(y\)-coördinaat \(b\) van het middelpunt \(=\) ③ \(r^{2}\): straal in het kwadraat

De formule in woorden

① Voor elk punt \((x;\ y)\) op de cirkel geldt: het kwadraat van de afstand in de \(x\)-richting tot het middelpunt, \(x - a\)

② plus het kwadraat van de afstand in de \(y\)-richting tot het middelpunt, \(y - b\)

③ is gelijk aan het kwadraat van de straal \(r\)

Een eenvoudig voorbeeld

De vergelijking van de cirkel met middelpunt (1; 2) en straal 3 is

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

Het belangrijkste idee

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op een vaste afstand (de straal \(r\)) van het middelpunt liggen. Schrijf de afstand tussen een punt \((x;\ y)\) op de cirkel en het middelpunt \((a;\ b)\) op met de stelling van Pythagoras en je krijgt \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\). Als je beide kanten kwadrateert, krijg je de middelpuntsvorm. De middelpuntsvorm is dus de definitie van een cirkel, “op afstand \(r\) van het middelpunt”, opgeschreven als vergelijking. Let op: rechts staat \(r^{2}\), de straal in het kwadraat. De straal van \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) is niet 9 maar \(\sqrt{9} = 3\).

Algemene vorm → middelpuntsvorm (het middelpunt en de straal vinden door kwadraat af te splitsen)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\mathrm{M}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2};\ -\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(\mathrm{M}\): middelpunt \(=\) ① de helft van de coëfficiënt \(l\) van \(x\) en van de coëfficiënt \(m\) van \(y\), met omgekeerd teken

④ \(r^{2}\): straal in het kwadraat \(=\) ③ som van de kwadraten van de halve coëfficiënten, min de constante \(n\)

De formule in woorden

① Splits het kwadraat af bij de algemene vorm \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). De helften van de coëfficiënten \(l\) en \(m\), met omgekeerd teken,

② geven het middelpunt \(\mathrm{M}\)

③ en de som van de kwadraten van de halve coëfficiënten min de constante \(n\)

④ is de straal in het kwadraat \(r^{2}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Kwadraat afsplitsen bij \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) geeft

middelpunt \((2;\ 3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

Het belangrijkste idee

Bij kwadraat afsplitsen schrijf je “een kwadratische term plus een lineaire term”, zoals \(x^{2} - 4x\), om als “(iets) in het kwadraat plus een constante”, zoals \((x - 2)^{2} - 4\). Je maakt \((x - 2)^{2}\) met de helft van de coëfficiënt van \(x\) (de helft van \(-4\) is \(-2\)). Als je dat uitwerkt, krijg je er \(+4\) bij, dus trek je dat bedrag er weer af zodat beide kanten gelijk blijven. Het rechterlid van het resultaat is \(r^{2}\). Controleer hier altijd het teken. Is het rechterlid 0, dan voldoet maar één punt aan de vergelijking: het middelpunt. Is het negatief, dan voldoet geen enkel punt, omdat een som van kwadraten nooit negatief is. Een vergelijking in algemene vorm beschrijft dus niet altijd een cirkel. Het is alleen een cirkel als het rechterlid positief is.

Onderlinge ligging van een lijn en een cirkel (de afstand d van het middelpunt tot de lijn vergelijken met de straal r)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(d\): afstand van het middelpunt \((a;\ b)\) tot de lijn \(=\) ① absolute waarde van het linkerlid van de lijn ingevuld voor het middelpunt, gedeeld door \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)

De formule in woorden

① Bij de lijn \(px + qy + s = 0\) is de absolute waarde van het linkerlid met het middelpunt \((a;\ b)\) ingevuld, gedeeld door \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\),

② gelijk aan de afstand \(d\) van het middelpunt tot de lijn . Vergelijk deze \(d\) met de straal \(r\) om te zien hoe de lijn en de cirkel ten opzichte van elkaar liggen

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de cirkel \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) (middelpunt \((2;\ 3)\), straal 2) en de lijn \(3x + 4y - 8 = 0\) geldt

afstand \(d = 2\) \(=\) straal \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

Het belangrijkste idee

Er zijn drie gevallen, afhankelijk van of de afstand \(d\) of de straal \(r\) groter is. Is \(d < r\), dan snijdt de lijn de cirkel in twee verschillende punten. Is \(d = r\), dan raakt de lijn de cirkel in precies één punt (de lijn is een raaklijn en het gemeenschappelijke punt is het raakpunt). Is \(d > r\), dan hebben ze geen punt gemeen. Getallen met \(\sqrt{\ }\) vergelijken gaat makkelijk fout, dus deze rekenmachine vergelijkt \(d^{2}\) en \(r^{2}\) als exacte breuken. Die truc kun je ook met de hand gebruiken. Een andere methode is de vergelijkingen van de cirkel en de lijn samen op te lossen: elimineer \(y\) (of \(x\)) en kijk naar het teken van de discriminant \(D\) van de kwadratische vergelijking die je dan krijgt (\(D > 0\): twee punten, \(D = 0\): raakt, \(D < 0\): geen punten). Om de coördinaten van de gemeenschappelijke punten te vinden, los je dit stelsel op.

De vergelijking van een cirkel kun je in twee vormen schrijven: de middelpuntsvorm \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), waarin je het middelpunt en de straal afleest, en de uitgewerkte algemene vorm \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Met kwadraat afsplitsen zet je de algemene vorm om in de middelpuntsvorm, maar het is alleen een cirkel als het rechterlid (de waarde op de plek van \(r^{2}\)) positief is. Hoe een lijn en een cirkel liggen, bepaal je door de afstand \(d\) van het middelpunt tot de lijn te vergelijken met de straal \(r\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\((x;\ y)\)	iks, ypsilon	De coördinaten van een punt dat over de cirkel beweegt. De vergelijking van een cirkel zegt: “verzamel alle \((x;\ y)\) waarvoor dit klopt en je krijgt de cirkel”.
\(a,\ b\)	a, b	De letters voor het middelpunt \((a;\ b)\) van de cirkel. Voor vaste getallen gebruik je meestal letters uit het begin van het alfabet. Anders dan de bewegende \(x\) en \(y\) blijven ze vast bij één cirkel.
\(r\)	er	De straal van de cirkel; de letter r komt van “radius”. Let op: rechts in de middelpuntsvorm staat niet \(r\) zelf maar het kwadraat \(r^{2}\).
\(\mathrm{M}\)	em	Een letter die vaak voor het middelpunt van een cirkel wordt gebruikt, van de eerste letter van “middelpunt”.
\(l,\ m,\ n\)	l, m, n	De coëfficiënten van de algemene vorm \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). In schoolboeken worden soms andere letters gebruikt, zoals \(D,\ E,\ F\) (\(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\)); de betekenis is hetzelfde.
\(d\)	dee	De afstand van het middelpunt tot de lijn. Door die te vergelijken met de straal \(r\) zie je hoe de lijn en de cirkel ten opzichte van elkaar liggen.
\(p,\ q,\ s\)	p, q, s	De coëfficiënten van de lijn \(px + qy + s = 0\) op deze pagina. Een lijn schrijf je meestal als \(ax + by + c = 0\), maar deze pagina gebruikt andere letters om verwarring met het middelpunt \((a;\ b)\) te voorkomen.
\(\sqrt{\ }\)	wortel (wortelteken)	Het teken voor het positieve getal waarvan het kwadraat het getal eronder is (de vierkantswortel). De straal vind je als \(r = \sqrt{r^{2}}\). Is bijvoorbeeld \(r^{2} = 8\), dan is \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Begrippen

cirkel	De figuur die bestaat uit alle punten in een vlak die op een vaste afstand (de straal) van één punt (het middelpunt) liggen. De vergelijking van een cirkel is deze definitie “vaste afstand” opgeschreven als vergelijking.
vergelijking van een cirkel	Een vergelijking die een cirkel in het assenstelsel beschrijft. De punten \((x;\ y)\) die eraan voldoen vormen precies de cirkel. Je leert dit in de bovenbouw van havo en vwo.
middelpuntsvorm	De vorm \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\). Het voordeel is dat je het middelpunt \((a;\ b)\) en de straal \(r\) direct aan de formule kunt aflezen.
algemene vorm	De vorm \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), die je krijgt door de middelpuntsvorm uit te werken en te herleiden. Je leest het middelpunt of de straal er niet direct uit af, maar omdat hij al is uitgewerkt, is hij handig tijdens berekeningen.
kwadraat afsplitsen	Een uitdrukking zoals \(x^{2} + lx\) omschrijven als “(iets) in het kwadraat plus een constante”, zoals \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\). Je gebruikt het ook om de top van een kwadratische functie te vinden, en het is de kerntechniek van deze pagina.
middelpunt	Het punt in het midden van een cirkel, dat dezelfde afstand (de straal) heeft tot elk punt op de cirkel. De \((a;\ b)\) in de middelpuntsvorm zijn direct de coördinaten van het middelpunt.
straal	De afstand \(r\) van het middelpunt tot een punt op de cirkel. Als lengte is de straal altijd positief. Je vindt hem door de wortel te nemen van het rechterlid \(r^{2}\) van de middelpuntsvorm.
stelling van Pythagoras	De stelling dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden. Het is de basis van de afstand tussen twee punten, en de middelpuntsvorm van een cirkel is deze stelling opgeschreven als vergelijking. Je leert haar in klas 2 (13-14 jaar).
gemeenschappelijk punt	Een punt dat op twee figuren ligt. Bij een cirkel en een lijn zijn er 2 als de lijn de cirkel snijdt, 1 als de lijn een raaklijn is en 0 als de lijn de cirkel mist. De coördinaten vind je door de twee vergelijkingen samen op te lossen.
raaklijn	Een lijn raakt een cirkel als ze precies één punt gemeen hebben. Die lijn heet een raaklijn en het gemeenschappelijke punt heet het raakpunt. De afstand van het middelpunt tot een raaklijn is precies de straal.
koorde	Als een lijn een cirkel in twee punten snijdt, is het lijnstuk tussen die punten een koorde. De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die precies doormidden, dus de halve koorde, de afstand \(d\) van het middelpunt tot de lijn en de straal \(r\) hangen samen via de stelling van Pythagoras.
afstand van een punt tot een lijn	De lengte van de loodlijn uit een punt op een lijn (de kortste afstand van het punt tot de lijn). Je berekent hem met \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) en gebruikt hem om te bepalen hoe een lijn en een cirkel ten opzichte van elkaar liggen.
discriminant	De uitdrukking \(D = b^{2} - 4ac\) die aangeeft hoeveel oplossingen de kwadratische vergelijking \(ax^{2} + bx + c = 0\) heeft. Ook de discriminant van de kwadratische vergelijking die je krijgt door de vergelijkingen van de cirkel en de lijn samen op te lossen, laat zien hoe ze liggen (\(D > 0\): twee punten, \(D = 0\): raakt, \(D < 0\): geen punten).
assenstelsel	Een vlak dat je krijgt door een horizontale getallenlijn (de \(x\)-as) en een verticale getallenlijn (de \(y\)-as) haaks op elkaar te zetten, zodat elk punt als een paar getallen \((x;\ y)\) geschreven kan worden. Hier komen meetkunde en vergelijkingen samen.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Het assenstelsel en de coördinaten van punten (klas 1-2, 12-14 jaar)	Kunnen aangeven waar een punt ligt met een paar getallen \((x;\ y)\) (het punt \((2;\ 3)\) ligt bijvoorbeeld 2 naar rechts en 3 omhoog vanaf de oorsprong) Een gevoel hebben voor het idee dat “alle punten die aan een vergelijking voldoen samen de grafiek (een figuur) vormen”
De stelling van Pythagoras en de afstand tussen twee punten (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden Weten dat de afstand tussen twee punten \(\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\) is (dit is de stelling van Pythagoras zelf)
Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar)	Het positieve getal kunnen vinden waarvan het kwadraat een gegeven getal is, zoals in \(\sqrt{4} = 2\) Een wortel kunnen vereenvoudigen door kwadraten buiten het wortelteken te halen, zoals in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Haakjes uitwerken, ontbinden in factoren en kwadraat afsplitsen (klas 3-4, 14-16 jaar)	Uitdrukkingen kunnen uitwerken zoals \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) Het kwadraat kunnen afsplitsen, zoals in \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\) (dezelfde stap als bij het vinden van de top van een kwadratische functie) Kwadratische vergelijkingen kunnen oplossen door ontbinden in factoren of met de abc-formule, en weten hoe het teken van de discriminant \(D = b^{2} - 4ac\) samenhangt met het aantal oplossingen
Afstand van een punt tot een lijn (bovenbouw havo en vwo, wiskunde B, 15-18 jaar)	Een lijn kunnen schrijven als \(ax + by + c = 0\) (algemene vorm), ook door hem te herschrijven vanuit \(y = mx + k\) Weten dat de afstand van het punt \((x_0;\ y_0)\) tot de lijn \(ax + by + c = 0\) gelijk is aan \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor algemene vorm → middelpuntsvorm (middelpunt en straal)

Coëfficiënt l van x	-4
Coëfficiënt m van y	-6
Constante n	9
x-coördinaat van het middelpunt (−l/2)	=-B1/2
y-coördinaat van het middelpunt (−m/2)	=-B2/2
Straal in het kwadraat r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Straal r (alleen een cirkel als r² > 0)	=ALS(B6>0;WORTEL(B6);"geen cirkel")

Tabel voor middelpuntsvorm → algemene vorm

x-coördinaat a van het middelpunt	1
y-coördinaat b van het middelpunt	-2
Rechterlid (straal in het kwadraat r²)	9
Coëfficiënt l van x (−2a)	=-2*B1
Coëfficiënt m van y (−2b)	=-2*B2
Constante n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabel om te controleren hoe een lijn en de cirkel liggen

x-coördinaat a van het middelpunt	2
y-coördinaat b van het middelpunt	3
Straal r	2
Coëfficiënt p van x (lijn)	3
Coëfficiënt q van y (lijn)	4
Constante s (lijn)	-8
Afstand d van het middelpunt tot de lijn	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/WORTEL(B4^2+B5^2)
Resultaat	=ALS(B7<B3;"twee punten";ALS(B7=B3;"raakt";"geen punten"))

Na het plakken zijn de bovenste rijen (coëfficiënten enzovoort) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend. “^” is een macht, WORTEL geeft de vierkantswortel en ABS geeft de absolute waarde.
De eerste tabel is het voorbeeld x²+y²−4x−6y+9=0: middelpunt (2; 3), r²=4 en straal 2. Is r² gelijk aan 0 of kleiner, dan is de vergelijking geen cirkel en toont de cel “geen cirkel”.
De tweede tabel is het voorbeeld met middelpunt (1; −2) en r²=9: l=−2, m=4, n=−4, dus de vergelijking is x²+y²−2x+4y−4=0.
De derde tabel is het voorbeeld van de cirkel (x−2)²+(y−3)²=4 en de lijn 3x+4y−8=0. d=2 is gelijk aan de straal 2, dus het resultaat is “raakt”. WORTEL kan kleine afrondingsfouten geven, dus voor een exacte controle op raken is het veiliger om d² en r² te vergelijken (vergelijk =(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) met B3^2).

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor algemene vorm → middelpuntsvorm (middelpunt en straal)

Coëfficiënt l van x	-4
Coëfficiënt m van y	-6
Constante n	9
x-coördinaat van het middelpunt (−l/2)	=-B1/2
y-coördinaat van het middelpunt (−m/2)	=-B2/2
Straal in het kwadraat r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Straal r (alleen een cirkel als r² > 0)	=ALS(B6>0;WORTEL(B6);"geen cirkel")

Tabel voor middelpuntsvorm → algemene vorm

x-coördinaat a van het middelpunt	1
y-coördinaat b van het middelpunt	-2
Rechterlid (straal in het kwadraat r²)	9
Coëfficiënt l van x (−2a)	=-2*B1
Coëfficiënt m van y (−2b)	=-2*B2
Constante n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabel om te controleren hoe een lijn en de cirkel liggen

x-coördinaat a van het middelpunt	2
y-coördinaat b van het middelpunt	3
Straal r	2
Coëfficiënt p van x (lijn)	3
Coëfficiënt q van y (lijn)	4
Constante s (lijn)	-8
Afstand d van het middelpunt tot de lijn	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/WORTEL(B4^2+B5^2)
Resultaat	=ALS(B7<B3;"twee punten";ALS(B7=B3;"raakt";"geen punten"))

Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction
import math

# Coëfficiënten van de algemene vorm x² + y² + lx + my + n = 0 (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"Middelpunt: ({center_x}; {center_y})")
print(f"Straal in het kwadraat r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"Straal r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("Geen cirkel: de vergelijking beschrijft maar één punt, het middelpunt")
else:
    print("Geen cirkel: geen enkel punt voldoet aan deze vergelijking")

# Ligging ten opzichte van de lijn px + qy + s = 0 (d² en r² worden als breuken vergeleken, dus er is geen afrondingsfout)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("De cirkel en de lijn snijden elkaar in twee verschillende punten")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("De lijn raakt de cirkel")
else:
    print("De cirkel en de lijn hebben geen punt gemeen")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek blijft de berekening in exacte breuken, zonder afrondingsfouten. Dit voorbeeld gebruikt de cirkel x²+y²−4x−6y+9=0 en de lijn 3x+4y−8=0. Als je het uitvoert, zie je het middelpunt (2; 3), r²=4, de straal 2 en “De lijn raakt de cirkel”. De afstand en de straal worden vergeleken als d² en r², zodat afrondingsfouten van de wortel de controle op raken niet kunnen verstoren. Pas de coëfficiënten aan en voer het opnieuw uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Vergelijking van een cirkel (middelpuntsvorm)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Algemene vorm → middelpuntsvorm (het middelpunt en de straal vinden door kwadraat af te splitsen)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Onderlinge ligging van een lijn en een cirkel (de afstand d van het middelpunt tot de lijn vergelijken met de straal r)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
      <msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor coördinatenmeetkunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord door hoofdrekenen of gokken).

Laat voor de cirkel x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0 elk van de volgende onderdelen zien:
1. De vergelijking herschreven in middelpuntsvorm (x−a)² + (y−b)² = r² door het kwadraat af te splitsen
2. Het middelpunt en de straal (als exacte waarden)
3. Hoe de lijn 3x + 4y − 8 = 0 en de cirkel liggen (twee verschillende snijpunten / raakt / geen punt gemeen), en de coördinaten van eventuele snijpunten

Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek (of sympy) om exact te rekenen, en vergelijk de afstand met de straal door d² met r² te vergelijken. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule