Calcolatrice dell’equazione della circonferenza (forma generale e forma centro-raggio, centro, raggio, circonferenza e retta)

Scegli il verso della conversione e scrivi i coefficienti della circonferenza. L’equazione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i coefficienti direttamente nell’equazione. Per controllare come una retta incontra la circonferenza, scegli «Controlla anche la retta px + qy + s = 0» nell’ultimo menu a discesa.

Conversione

Coefficiente l di x

Coefficiente m di y

Termine noto n

Ascissa a del centro

Ordinata b del centro

Secondo membro (raggio al quadrato r²)

Circonferenza e retta

Coefficiente p di x della retta

Coefficiente q di y della retta

Termine noto s della retta

Scrivi solo numeri. Vanno bene numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Un coefficiente di x o di y lasciato vuoto vale 1 (x equivale a 1x), mentre un termine noto o una coordinata del centro lasciati vuoti valgono 0. Scrivi 0 per i termini che non usi.

Risultato e grafico

Scrivi i coefficienti nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e una figura della circonferenza.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Completa il quadrato per portare la forma generale di una circonferenza \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) nella forma centro-raggio \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) e trova il centro e il raggio come valori esatti con frazioni e \(\sqrt{\ }\) (con i passaggi)
Puoi fare anche il contrario: sviluppa a partire dal centro e dal secondo membro (il raggio al quadrato) per ottenere la forma generale
Se il secondo membro \(r^{2}\) è 0 o negativo, l’equazione non è una circonferenza (è un solo punto, oppure non ha grafico). La calcolatrice ti dice quale caso è, e perché
Ti dice anche come una retta \(px + qy + s = 0\) incontra la circonferenza (in due punti, tangente o per niente), confrontando la distanza \(d\) del centro dalla retta con il raggio \(r\), e dà i punti di intersezione come valori esatti
La calcolatrice mostra l’equazione della circonferenza come la scriveresti a mano e puoi modificare i coefficienti direttamente nell’equazione. Puoi controllare il risultato in una figura della circonferenza e della retta

I coefficienti e le coordinate possono essere numeri decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4.

A cosa serve questo calcolo?

Rilevamento delle collisioni nei giochi (aree di contatto circolari)

Nei giochi 2D è un metodo standard modellare l’area di contatto di un personaggio o di un proiettile come una circonferenza (in realtà un cerchio). Se la traiettoria di un proiettile (una retta) colpisce il cerchio di un nemico lo decide esattamente il controllo di questa pagina: confronta la distanza \(d\) del centro dalla retta con il raggio \(r\). Se due cerchi si sovrappongono lo decide allo stesso modo il confronto tra la distanza dei loro centri e la somma dei loro raggi.
Si usano i cerchi perché la loro forma non cambia quando ruotano e un solo calcolo di distanza risolve il controllo. Se impari a programmare i giochi, vedrai le equazioni delle circonferenze al lavoro in ogni fotogramma.

Modellare la copertura del segnale (ripetitori e Wi-Fi)

In condizioni ideali senza ostacoli, l’area che un ripetitore di telefonia mobile o un router Wi-Fi può raggiungere si modella come un cerchio con il centro nell’antenna (raggio = la portata). «Questo punto è nel raggio di copertura?» è un confronto della distanza dal centro con il raggio, cioè un controllo se il punto sta dentro o fuori dalla circonferenza.
I segnali reali sono influenzati dal terreno e dagli edifici, quindi non seguono esattamente questo modello. Tuttavia i modelli circolari sono un punto di partenza per decidere dove mettere i ripetitori in modo che non ci siano buchi di copertura.

L’idea alla base della localizzazione (GPS e posizione dello smartphone)

La localizzazione GPS si basa su questa idea: una volta nota la tua distanza da un satellite, i luoghi in cui puoi trovarti si riducono a una sfera (una circonferenza, se ragioni nel piano). Risolvendo insieme le circonferenze (sfere) delle distanze da più satelliti si ottiene il punto in cui si incontrano, cioè la tua posizione.
Il calcolo reale è in 3D e corregge anche gli errori degli orologi, quindi è più complicato. Ma l’idea dell’equazione della circonferenza, «l’insieme dei punti a distanza fissata», ne è il fondamento.

Progettazione, disegno tecnico e CAD (gestire archi e posizioni dei fori)

I disegni di parti meccaniche e di edifici sono pieni di circonferenze: fori per bulloni, bordi curvi, sezioni di tubi e così via. Il CAD memorizza una circonferenza come «le coordinate del centro e il raggio», che è l’informazione della forma centro-raggio, e calcola dove si incontrano circonferenze e rette e le rette tangenti a ogni modifica di una forma.
Controlli come «se faccio un foro qui, è abbastanza lontano dal bordo?» si riducono anch’essi a calcolare distanze da un centro.

Progettare le curve di strade e ferrovie (curve circolari)

La forma base di una curva su una strada o su una ferrovia è un arco di circonferenza, detto curva circolare, e i disegni di progetto lo gestiscono con il suo centro e il suo raggio. Più piccolo è il raggio, più stretta è la curva, quindi le norme di progettazione stradale fissano un raggio minimo della curva per ogni velocità di progetto (in Italia il D.M. 5 novembre 2001, n. 6792, «Norme funzionali e geometriche per la costruzione delle strade»).
Dove un tratto rettilineo si raccorda dolcemente a una curva si usa direttamente la condizione «la retta è tangente alla circonferenza». L’idea di retta tangente dà forma alle strade vere.

Formule e figure

Equazione della circonferenza (forma centro-raggio)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① quadrato della differenza tra \(x\) e l’ascissa \(a\) del centro \(+\) ② quadrato della differenza tra \(y\) e l’ordinata \(b\) del centro \(=\) ③ \(r^{2}\): raggio al quadrato

La formula a parole

① Per ogni punto \((x ;\ y)\) della circonferenza, il quadrato dello scarto in \(x\) dal centro, \(x - a\)

② più il quadrato dello scarto in \(y\) dal centro, \(y - b\)

③ è uguale al quadrato del raggio \(r\)

Un esempio semplice

L’equazione della circonferenza di centro (1 ; 2) e raggio 3 è

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

L’idea chiave

Una circonferenza è l’insieme di tutti i punti a una distanza fissata (il raggio \(r\)) dal centro. Scrivi con il teorema di Pitagora la distanza tra un punto \((x ;\ y)\) della circonferenza e il centro \((a ;\ b)\) e ottieni \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\). Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene la forma centro-raggio. In altre parole, la forma centro-raggio è la definizione di circonferenza, «distanza \(r\) dal centro», scritta come equazione. Nota che il secondo membro è \(r^{2}\), il raggio al quadrato. Il raggio di \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) non è 9 ma \(\sqrt{9} = 3\).

Forma generale → forma centro-raggio (trovare il centro e il raggio con il completamento del quadrato)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{C}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(\mathrm{C}\): centro \(=\) ① metà del coefficiente \(l\) di \(x\) e di \(m\) di \(y\), con i segni cambiati

④ \(r^{2}\): raggio al quadrato \(=\) ③ somma dei quadrati delle metà dei coefficienti, meno il termine noto \(n\)

La formula a parole

① Completa il quadrato nella forma generale \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Le metà dei coefficienti \(l\) e \(m\), con i segni cambiati,

② danno il centro \(\mathrm{C}\)

③ e la somma dei quadrati delle metà dei coefficienti meno il termine noto \(n\)

④ è il raggio al quadrato \(r^{2}\)

Un esempio semplice

Il completamento del quadrato in \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) dà

centro \((2 ;\ 3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

L’idea chiave

Il completamento del quadrato riscrive «un termine al quadrato più un termine di primo grado», come \(x^{2} - 4x\), come «(qualcosa) al quadrato più una costante», come \((x - 2)^{2} - 4\). Costruisci \((x - 2)^{2}\) a partire dalla metà del coefficiente di \(x\) (la metà di \(-4\) è \(-2\)). Sviluppandolo compare un \(+4\) in più, quindi lo sottrai per mantenere uguali i due membri. Il secondo membro del risultato è \(r^{2}\). Controlla sempre qui il suo segno. Se il secondo membro è 0, soddisfa l’equazione un solo punto, il centro. Se è negativo, non la soddisfa nessun punto, perché una somma di quadrati non è mai negativa. Quindi un’equazione in forma generale non descrive sempre una circonferenza: lo è solo quando il secondo membro è positivo.

Come una retta incontra una circonferenza (confronto tra la distanza d del centro dalla retta e il raggio r)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(d\): distanza del centro \((a ;\ b)\) dalla retta \(=\) ① valore assoluto del primo membro della retta nel centro, diviso per \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)

La formula a parole

① Per la retta \(px + qy + s = 0\), il valore assoluto del primo membro con il centro \((a ;\ b)\) sostituito, diviso per \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\),

② è la distanza \(d\) del centro dalla retta . Confronta questa \(d\) con il raggio \(r\) per vedere come la retta incontra la circonferenza

Un esempio semplice

Per la circonferenza \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) (centro \((2 ;\ 3)\), raggio 2) e la retta \(3x + 4y - 8 = 0\)

distanza \(d = 2\) \(=\) raggio \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

L’idea chiave

Ci sono tre casi, a seconda di quale è maggiore tra la distanza \(d\) e il raggio \(r\). Se \(d < r\), la retta taglia la circonferenza in due punti distinti. Se \(d = r\), la tocca in un solo punto (la retta è tangente e il punto in comune è il punto di tangenza). Se \(d > r\), non si incontrano. Confrontare numeri con \(\sqrt{\ }\) è facile da sbagliare, quindi questa calcolatrice confronta \(d^{2}\) e \(r^{2}\) come frazioni esatte. Puoi usare lo stesso trucco a mano. Un altro metodo è risolvere insieme le equazioni della circonferenza e della retta: elimina \(y\) (o \(x\)) e guarda il segno del discriminante \(D\) dell’equazione di secondo grado che ne risulta (\(D > 0\): due punti, \(D = 0\): tangente, \(D < 0\): nessun punto). Per trovare le coordinate dei punti di intersezione devi risolvere questo sistema.

L’equazione della circonferenza si può scrivere in due forme: la forma centro-raggio \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), che mostra il centro e il raggio, e la forma generale sviluppata \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Il completamento del quadrato porta la forma generale nella forma centro-raggio, ma è una circonferenza solo quando il secondo membro (il valore al posto di \(r^{2}\)) è positivo. Come una retta incontra una circonferenza si decide confrontando la distanza \(d\) del centro dalla retta con il raggio \(r\).

Simboli e termini

Simboli

\((x,\ y)\)	x, y	Le coordinate di un punto che si muove sulla circonferenza. L’equazione della circonferenza dice: «raccogli tutti i \((x ;\ y)\) che la rendono vera e ottieni la circonferenza».
\(a,\ b\)	a, b	Le lettere del centro \((a ;\ b)\) della circonferenza. Di solito per i numeri fissati si usano le lettere di inizio alfabeto. A differenza di \(x\) e \(y\), che si muovono, restano fisse per una data circonferenza. Molti testi italiani scrivono il centro come \(\mathrm{C}(\alpha ;\ \beta)\) o \(\mathrm{C}(x_C ;\ y_C)\).
\(r\)	erre	Il raggio della circonferenza, dall’iniziale di «raggio». Nota che il secondo membro della forma centro-raggio non è \(r\) stesso ma il suo quadrato \(r^{2}\).
\(\mathrm{C}\)	ci	Una lettera usata spesso per il centro di una circonferenza, dall’iniziale di «centro». A volte anche la circonferenza stessa si chiama \(C\).
\(l,\ m,\ n\)	elle, emme, enne	I coefficienti della forma generale \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). I testi italiani li scrivono di solito \(a,\ b,\ c\) (\(x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0\)) e chiamano questa equazione «equazione canonica» (o normale) della circonferenza; il significato è lo stesso.
\(d\)	di	La distanza del centro dalla retta, dall’iniziale di «distanza». Confrontarla con il raggio \(r\) dice come la retta incontra la circonferenza.
\(p,\ q,\ s\)	pi, qu, esse	I coefficienti della retta \(px + qy + s = 0\) in questa pagina. Una retta si scrive di solito \(ax + by + c = 0\), ma questa pagina usa altre lettere per non confonderle con il centro \((a ;\ b)\).
\(\sqrt{\ }\)	radice quadrata	Il segno del numero positivo il cui quadrato è il numero sotto il segno (la radice quadrata). Il raggio si trova come \(r = \sqrt{r^{2}}\). Per esempio, se \(r^{2} = 8\), allora \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Termini

circonferenza	La figura formata da tutti i punti di un piano a una distanza fissata (il raggio) da un punto (il centro). L’equazione della circonferenza è questa definizione di «distanza fissata» scritta come equazione. (Il cerchio è invece la parte di piano racchiusa dalla circonferenza.)
equazione della circonferenza	Un’equazione che descrive una circonferenza nel piano cartesiano. I punti \((x ;\ y)\) che la soddisfano formano esattamente la circonferenza. Si studia nella geometria analitica della scuola secondaria di secondo grado (14-19 anni).
forma centro-raggio	La forma \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) (nei testi italiani spesso \((x - \alpha)^{2} + (y - \beta)^{2} = r^{2}\)). Il suo pregio è che si leggono il centro \((a ;\ b)\) e il raggio \(r\) solo guardandola.
forma generale	La forma \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), ottenuta sviluppando e riducendo la forma centro-raggio. Non si leggono direttamente il centro o il raggio, ma essendo già sviluppata è comoda nei calcoli. Molti testi italiani la chiamano equazione canonica della circonferenza.
completamento del quadrato	Riscrivere un’espressione come \(x^{2} + lx\) come «(qualcosa) al quadrato più una costante», come in \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\). Si usa anche per trovare il vertice di una funzione quadratica ed è la tecnica centrale di questa pagina.
centro	Il punto di mezzo di una circonferenza, alla stessa distanza (il raggio) da ogni punto della circonferenza. Il \((a ;\ b)\) della forma centro-raggio è il centro.
raggio	La distanza \(r\) del centro da un punto della circonferenza. Essendo una lunghezza, è sempre positivo. Si trova prendendo la radice quadrata del secondo membro \(r^{2}\) della forma centro-raggio.
teorema di Pitagora	Il teorema secondo cui, in un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (dei cateti). È la base della distanza tra due punti, e la forma centro-raggio di una circonferenza è questo teorema scritto come equazione. Si studia nella scuola secondaria di primo grado (11-14 anni).
punto di intersezione	Un punto che sta su entrambe due figure. Per una circonferenza e una retta ce ne sono 2 quando la retta taglia la circonferenza, 1 quando è tangente e 0 quando è esterna. Le coordinate si trovano risolvendo insieme le due equazioni.
tangente	Una retta è tangente a una circonferenza quando hanno in comune esattamente un punto. Quel punto in comune si chiama punto di tangenza. La distanza del centro da una retta tangente è esattamente il raggio.
corda	Quando una retta taglia una circonferenza in due punti, il segmento tra quei punti è una corda. La perpendicolare dal centro a una corda la taglia esattamente a metà, quindi metà corda, la distanza \(d\) del centro dalla retta e il raggio \(r\) sono legati dal teorema di Pitagora.
distanza di un punto da una retta	La lunghezza della perpendicolare da un punto a una retta (la distanza minima del punto dalla retta). Si calcola con \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) e serve per decidere come una retta incontra una circonferenza.
discriminante	L’espressione \(D = b^{2} - 4ac\) che dice quante soluzioni ha l’equazione di secondo grado \(ax^{2} + bx + c = 0\). Anche il discriminante dell’equazione di secondo grado che ottieni risolvendo insieme le equazioni della circonferenza e della retta dice come si incontrano (\(D > 0\): due punti, \(D = 0\): tangente, \(D < 0\): nessun punto).
piano cartesiano	Un piano ottenuto incrociando ad angolo retto una retta dei numeri orizzontale (l’asse \(x\)) e una verticale (l’asse \(y\)), in modo che ogni punto si possa scrivere come una coppia di numeri \((x ;\ y)\). È dove si incontrano la geometria e le equazioni.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.

Il piano cartesiano e le coordinate dei punti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper scrivere la posizione di un punto come una coppia di numeri \((x ;\ y)\) (per esempio, il punto \((2 ;\ 3)\) è 2 a destra e 3 in alto rispetto all’origine) Avere l’idea che «tutti i punti che soddisfano un’equazione formano il suo grafico (una figura)»
Il teorema di Pitagora e la formula della distanza (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che in un triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati Sapere che la distanza tra due punti è \(\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\) (è proprio il teorema di Pitagora)
Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper trovare il numero positivo il cui quadrato è un numero dato, come in \(\sqrt{4} = 2\) Saper semplificare una radice portando fuori i fattori quadrati, come in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Sviluppo, scomposizione e completamento del quadrato (scuola secondaria di primo e di secondo grado, 11-19 anni)	Saper sviluppare espressioni come \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) Saper completare il quadrato, come in \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\) (lo stesso passaggio usato per trovare il vertice di una funzione quadratica) Saper risolvere le equazioni di secondo grado per scomposizione o con la formula risolutiva e sapere come il segno del discriminante \(D = b^{2} - 4ac\) si collega al numero di soluzioni
Distanza di un punto da una retta (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni)	Saper scrivere una retta come \(ax + by + c = 0\) (forma implicita), anche riscrivendola da \(y = mx + k\) Sapere che la distanza del punto \((x_0 ;\ y_0)\) dalla retta \(ax + by + c = 0\) è \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per la forma generale → forma centro-raggio (centro e raggio)

Coefficiente l di x	-4
Coefficiente m di y	-6
Termine noto n	9
Ascissa del centro (−l/2)	=-B1/2
Ordinata del centro (−m/2)	=-B2/2
Raggio al quadrato r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Raggio r (circonferenza solo se r² > 0)	=SE(B6>0;RADQ(B6);"non è una circonferenza")

Tabella per la forma centro-raggio → forma generale

Ascissa a del centro	1
Ordinata b del centro	-2
Secondo membro (raggio al quadrato r²)	9
Coefficiente l di x (−2a)	=-2*B1
Coefficiente m di y (−2b)	=-2*B2
Termine noto n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabella per controllare come una retta incontra la circonferenza

Ascissa a del centro	2
Ordinata b del centro	3
Raggio r	2
Coefficiente p di x della retta	3
Coefficiente q di y della retta	4
Termine noto s della retta	-8
Distanza d del centro dalla retta	=ASS(B4B1+B5B2+B6)/RADQ(B4^2+B5^2)
Esito	=SE(B7<B3;"due punti";SE(B7=B3;"tangente";"nessun punto"))

Dopo averla incollata, le righe in alto (coefficienti e così via) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole. «^» è la potenza, RADQ dà la radice quadrata e ASS dà il valore assoluto.
La prima tabella è l’esempio x²+y²−4x−6y+9=0: centro (2 ; 3), r²=4 e raggio 2. Se r² è 0 o negativo, l’equazione non è una circonferenza e la cella mostra «non è una circonferenza».
La seconda tabella è l’esempio con centro (1 ; −2) e r²=9: l=−2, m=4, n=−4, quindi l’equazione è x²+y²−2x+4y−4=0.
La terza tabella è l’esempio della circonferenza (x−2)²+(y−3)²=4 e della retta 3x+4y−8=0. d=2 è uguale al raggio 2, quindi l’esito è «tangente». RADQ può avere piccoli errori decimali, quindi per un controllo esatto della tangenza è più sicuro confrontare d² e r² (confronta =(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) con B3^2).

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per la forma generale → forma centro-raggio (centro e raggio)

Coefficiente l di x	-4
Coefficiente m di y	-6
Termine noto n	9
Ascissa del centro (−l/2)	=-B1/2
Ordinata del centro (−m/2)	=-B2/2
Raggio al quadrato r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Raggio r (circonferenza solo se r² > 0)	=SE(B6>0;RADQ(B6);"non è una circonferenza")

Tabella per la forma centro-raggio → forma generale

Ascissa a del centro	1
Ordinata b del centro	-2
Secondo membro (raggio al quadrato r²)	9
Coefficiente l di x (−2a)	=-2*B1
Coefficiente m di y (−2b)	=-2*B2
Termine noto n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabella per controllare come una retta incontra la circonferenza

Ascissa a del centro	2
Ordinata b del centro	3
Raggio r	2
Coefficiente p di x della retta	3
Coefficiente q di y della retta	4
Termine noto s della retta	-8
Distanza d del centro dalla retta	=ASS(B4B1+B5B2+B6)/RADQ(B4^2+B5^2)
Esito	=SE(B7<B3;"due punti";SE(B7=B3;"tangente";"nessun punto"))

Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction
import math

# Coefficienti della forma generale x² + y² + lx + my + n = 0 (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"Centro: ({center_x}, {center_y})")
print(f"Raggio al quadrato r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"Raggio r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("Non è una circonferenza: descrive un solo punto, il centro")
else:
    print("Non è una circonferenza: nessun punto soddisfa questa equazione")

# Posizione rispetto alla retta px + qy + s = 0 (d² e r² si confrontano come frazioni, quindi senza errori di arrotondamento)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("La circonferenza e la retta si incontrano in due punti distinti")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("La retta è tangente alla circonferenza")
else:
    print("La circonferenza e la retta non si incontrano")

Con il modulo fractions della libreria standard il calcolo resta in frazioni esatte, senza errori di arrotondamento. Questo esempio usa la circonferenza x²+y²−4x−6y+9=0 e la retta 3x+4y−8=0. Eseguendolo, mostra il centro (2, 3), r²=4, il raggio r e «La retta è tangente alla circonferenza». La distanza e il raggio si confrontano come d² e r² in modo che gli errori decimali della radice quadrata non falsino il controllo della tangenza. Cambia i coefficienti ed eseguilo di nuovo.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Equazione della circonferenza (forma centro-raggio)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Forma generale → forma centro-raggio (trovare il centro e il raggio con il completamento del quadrato)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Come una retta incontra una circonferenza (confronto tra la distanza d del centro dalla retta e il raggio r)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
      <msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di matematica per la geometria analitica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito).

Per la circonferenza x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0, mostra ciascuno dei punti seguenti:
1. L’equazione riscritta nella forma centro-raggio (x−a)² + (y−b)² = r² con il completamento del quadrato
2. Il centro e il raggio (come valori esatti)
3. Come la retta 3x + 4y − 8 = 0 incontra la circonferenza (in due punti distinti / tangente / per niente) e le coordinate degli eventuali punti di intersezione

In Python usa il modulo fractions della libreria standard (o sympy) per calcolare in modo esatto e confronta la distanza con il raggio confrontando d² con r². Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula