Calcolatrice del triangolo (lati, angoli, area, raggi e altro)

Scrivi i tre valori che conosci tra i lati a, b, c e gli angoli A, B, C (in gradi). Almeno uno deve essere un lato. Il lato a è di fronte all’angolo A, il lato b all’angolo B e il lato c all’angolo C.

Lato a (opposto all’angolo A)

Angolo A (in gradi)

Lato b (opposto all’angolo B)

Angolo B (in gradi)

Lato c (opposto all’angolo C)

Angolo C (in gradi)

Compila esattamente tre campi, almeno uno dei quali un lato. Scrivi gli angoli in gradi (°), per esempio 90 per un angolo retto. Lascia vuoti gli altri campi.

Risultato e figura

Scrivi i tre valori che conosci tra i tre lati e i tre angoli (almeno uno deve essere un lato) nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi tre qualsiasi tra i lati \(a, b, c\) e gli angoli \(A, B, C\) che conosci (almeno uno deve essere un lato) e ottieni tutti gli altri lati e angoli
Trova anche l’area, il perimetro, il semiperimetro, le tre altezze, le tre mediane, il raggio della circonferenza inscritta e quello della circonferenza circoscritta, tutto insieme
Dice automaticamente anche il tipo di triangolo: equilatero, isoscele o scaleno, e acutangolo, rettangolo o ottusangolo
Quando due lati e un angolo opposto a uno di essi lasciano due triangoli possibili, mostra entrambe le soluzioni (il noto «caso ambiguo»)
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice del teorema del coseno, del teorema dei seni e della formula di Erone, e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Lati e angoli si abbinano con la lettera: il lato a sta di fronte all’angolo A (è il suo lato opposto) e così via, con la minuscola per i lati e la maiuscola per gli angoli. Scrivi gli angoli in gradi (°).

A cosa serve questo calcolo?

Topografia e cartografia (misurare la distanza di un punto che non si può raggiungere)

Puoi trovare la distanza di un punto di riferimento sull’altra riva di un fiume senza stendere il metro sull’acqua. Traccia una base di 100 m dalla tua parte e misura l’angolo verso il punto da ciascuna estremità. Ottieni così un triangolo di cui conosci un lato (100 m) e due angoli. Se gli angoli sono 50° e 60°, il terzo angolo è 70° e il teorema dei seni dà la distanza dal punto come \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \approx 81{,}5\) m.
Le stazioni totali dei topografi e la triangolazione su cui si è costruita la cartografia si riducono a ripetere proprio questo calcolo.

Misurare l’area di un terreno o di un campo triangolare (formula di Erone)

Per un terreno triangolare puoi trovare l’area con il solo metro, senza strumenti per misurare gli angoli. Se i tre lati sono 30 m, 40 m e 50 m, il semiperimetro è 60 m e l’area è \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) m².
«Le lunghezze le sa misurare con precisione anche chi non è un esperto»: è il motivo per cui la formula di Erone è stata apprezzata nella pratica, e oggi serve ancora per un controllo approssimativo dell’area di un campo o di un lotto edificabile.

Edilizia e fai da te (calcolare prima la lunghezza e l’angolo dei pezzi inclinati)

Negli edifici ci sono molti pezzi inclinati: falde del tetto, scale, controventi diagonali e così via. Per un tetto a falda unica che copre 3 m in orizzontale e sale di 2 m, la lunghezza della falda è \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\) m (con un angolo retto il termine correttivo del teorema del coseno sparisce e resta il teorema di Pitagora).
Se calcoli lunghezze e angoli prima di tagliare il legname, sprechi meno materiale e rifai meno lavoro in cantiere.

Bracci robotici e progettazione di macchine (due bracci e l’angolo dell’articolazione)

Un braccio robotico di fabbrica è esso stesso un triangolo: due bracci e l’angolo dell’articolazione tra loro. Con bracci di 50 cm e 30 cm e l’articolazione aperta a 120°, il teorema del coseno dà la distanza dalla base alla mano come \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) cm.
Anche il calcolo inverso degli angoli delle articolazioni che portano la mano in una posizione voluta (cinematica inversa) usa come componente di base una forma riscritta del teorema del coseno.

Astronomia (misurare la distanza delle stelle con i triangoli)

La distanza di una stella si misura con un triangolo lunghissimo e sottilissimo, la cui base è la distanza percorsa dalla Terra in metà della sua orbita attorno al Sole (si chiama parallasse stellare). Ricavare la distanza dalla base e dal piccolo spostamento angolare è la stessa idea del calcolo «trova il resto da un lato e due angoli» di questa pagina.
«Se sai risolvere un triangolo, puoi trovare la distanza di un posto dove non puoi andare.» Funziona dalla topografia fino allo spazio ed è una delle applicazioni più potenti della geometria.

Formule e figure

Somma degli angoli interni di un triangolo

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(A\) \(+\) \(B\) \(+\) \(C\) \(=\) \(180^\circ\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(A\): angolo A \(+\) ② \(B\): angolo B \(+\) ③ \(C\): angolo C \(=\) ④ \(180^\circ\) (sempre)

La formula a parole

① Somma l’angolo \(A\)

② più l’angolo \(B\)

③ più l’angolo \(C\)

④ e ottieni sempre \(180^\circ\)

Un esempio semplice

In un triangolo con due angoli di 50° e 60°, il terzo angolo è

terzo angolo \(C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) angolo \(A\) (50°) \(-\) angolo \(B\) (60°)

\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)

L’idea chiave

In ogni triangolo, qualunque sia la sua forma, i tre angoli sommano 180°. Quindi, una volta noti due angoli, il terzo si trova con una sottrazione. Con i dati «un lato e due angoli» questa calcolatrice usa per prima questa formula per trovare il terzo angolo.

Teorema del coseno (terzo lato da due lati e dall’angolo compreso)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(c^{2}\) \(=\) \(a^{2}\) \(+\) \(b^{2}\) \(-\) \(2ab\cos C\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(c^{2}\): il terzo lato \(c\), al quadrato \(=\) ① \(a^{2}\): il lato noto \(a\), al quadrato \(+\) ② \(b^{2}\): il lato noto \(b\), al quadrato \(-\) ③ \(2ab\cos C\): termine correttivo

La formula a parole

① Prendi il lato noto \(a\), al quadrato

② aggiungi il lato noto \(b\), al quadrato

③ sottrai il termine correttivo \(2ab\cos C\), che dipende dall’ampiezza dell’angolo compreso

④ e ottieni il terzo lato \(c\), al quadrato (alla fine si fa la radice quadrata)

Un esempio semplice

Con due lati di 5 e 7 e un angolo compreso di 60° (cos 60° = 0,5), il terzo lato è

terzo lato \(c\), al quadrato \(=\) lato \(a\) al quadrato (5²) \(+\) lato \(b\) al quadrato (7²) \(-\) termine correttivo (2×5×7×0,5)

\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)

\(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\)

L’idea chiave

\(\cos C\) (coseno) esprime con un numero da −1 a 1 l’ampiezza dell’angolo compreso. Quando l’angolo è esattamente 90°, \(\cos 90^\circ = 0\), il termine correttivo sparisce e si ottiene il teorema di Pitagora \(c^2 = a^2 + b^2\). In altre parole, il teorema del coseno è il teorema di Pitagora esteso ai triangoli che non hanno un angolo retto. Quando conosci i tre lati e vuoi un angolo, usa la forma riscritta \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\) (i dati «tre lati» di questa calcolatrice usano questa forma).

Teorema dei seni (il ponte tra i lati e i loro angoli opposti)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\dfrac{a}{\sin A}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin C}\) \(=\) \(2R\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(\dfrac{a}{\sin A}\): lato \(a\) ÷ seno del suo angolo opposto \(=\) ② \(\dfrac{b}{\sin B}\): lato \(b\) ÷ seno del suo angolo opposto \(=\) ③ \(\dfrac{c}{\sin C}\): lato \(c\) ÷ seno del suo angolo opposto \(=\) ④ \(2R\): diametro della circonferenza circoscritta

La formula a parole

① Il lato \(a\) diviso per il seno del suo angolo opposto \(\dfrac{a}{\sin A}\)

② il lato \(b\) diviso per il seno del suo angolo opposto \(\dfrac{b}{\sin B}\)

③ e il lato \(c\) diviso per il seno del suo angolo opposto \(\dfrac{c}{\sin C}\) hanno tutti lo stesso valore,

④ che è uguale al diametro della circonferenza circoscritta \(2R\)

Un esempio semplice

Con il lato a = 6, il suo angolo opposto A = 45° e l’angolo B = 60°, il lato b è

lato \(b\) \(=\) lato \(a\) (6) \(\times\) seno dell’angolo opposto \(\sin 60^\circ\) \(\div\) seno dell’angolo opposto \(\sin 45^\circ\)

\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7{,}348\)

L’idea chiave

«Lato ÷ seno del suo angolo opposto» dà lo stesso valore per tutte e tre le coppie. Quindi, se conosci una coppia (un lato e il suo angolo opposto), puoi usarla come ponte per trovare uno dopo l’altro gli altri lati e angoli. I dati «un lato e due angoli» di questa calcolatrice usano questa formula. Inoltre questo valore comune è uguale al diametro \(2R\) della circonferenza che passa per i tre vertici del triangolo (la circonferenza circoscritta). Il teorema dei seni completo comprende anche questo fatto.

Area (due lati e l’angolo compreso)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(S\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\times\) \(\sin C\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(S\): area \(=\) ④ un mezzo \(\times\) ① \(a\): lato noto \(\times\) ② \(b\): lato noto \(\times\) ③ \(\sin C\): seno dell’angolo compreso

La formula a parole

① Moltiplica il lato noto \(a\)

② per il lato noto \(b\)

③ e per il seno dell’angolo compreso \(\sin C\)

④ poi prendi un mezzo del risultato

⑤ e ottieni l’area \(S\)

Un esempio semplice

L’area di un triangolo con due lati di 8 e 5 e un angolo compreso di 30° (sen 30° = 0,5) è

area \(S\) \(=\) un mezzo \(\times\) lato \(a\) (8) \(\times\) lato \(b\) (5) \(\times\) seno dell’angolo compreso (0,5)

\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 10\)

L’idea chiave

È la nota formula «base × altezza ÷ 2» della scuola primaria, con l’altezza sostituita da \(b\sin C\) (l’altezza ricavata dal lato b e dall’angolo compreso). Quando l’angolo compreso è di 90°, \(\sin 90^\circ = 1\), quindi l’altezza è proprio il lato b e l’area è la più grande possibile.

Formula di Erone (area dai tre lati)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(s\) \(=\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(S\) \(=\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(s\): semiperimetro \(=\) ① somma dei tre lati ÷ 2

④ \(S\): area \(=\) ③ radice quadrata di \(s\) per «\(s\) − ogni lato» (tre fattori)

La formula a parole

① Somma i tre lati \(a, b, c\) e dividi per 2. \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

② Questo valore è il semiperimetro \(s\)

③ Poi moltiplica \(s\) per i tre numeri che ottieni sottraendo ogni lato da \(s\) (\(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)) e fai la radice quadrata

④ e il risultato è l’area \(S\)

Un esempio semplice

L’area di un triangolo con lati 3, 4 e 5 è

semiperimetro \(s\) \(=\) somma dei tre lati (3+4+5) ÷ 2

\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)

\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)

L’idea chiave

Il punto di forza della formula di Erone è che dà l’area dalle sole lunghezze dei tre lati, senza misurare alcun angolo né altezza. Basta misurare tre lati con un metro, quindi da sempre si usa, per esempio, per trovare l’area di un terreno triangolare. Il trucco è calcolare prima il semiperimetro \(s\) (metà del perimetro).

Raggio della circonferenza inscritta

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(r\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(s\)

③ \(r\): raggio della circonferenza inscritta \(=\) ① \(S\): area \(\div\) ② \(s\): semiperimetro

La formula a parole

① Prendi l’area \(S\)

② dividila per il semiperimetro \(s\) (metà del perimetro)

③ e ottieni il raggio \(r\) della circonferenza inscritta

Un esempio semplice

Per il triangolo con lati 3, 4 e 5 (area 6, semiperimetro 6), il raggio della circonferenza inscritta è

raggio \(r\) della circonferenza inscritta \(=\) area (6) \(\div\) semiperimetro (6)

\(r = 6 \div 6 = 1\)

L’idea chiave

La circonferenza inscritta è la circonferenza che tocca dall’interno tutti e tre i lati del triangolo. Se dividi il triangolo in tre triangoli più piccoli a partire dal centro della circonferenza inscritta (l’incentro), ognuno ha «base = un lato, altezza = r», quindi l’area totale è \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\). Risolvendo per \(r\) si ottiene \(r = S \div s\).

Raggio della circonferenza circoscritta

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(R\) \(=\) \(abc\) \(\div\) \(4S\)

③ \(R\): raggio della circonferenza circoscritta \(=\) ① \(abc\): prodotto dei tre lati \(\div\) ② \(4S\): quattro volte l’area

La formula a parole

① Prendi il prodotto dei tre lati \(abc\)

② dividilo per quattro volte l’area \(S\)

③ e ottieni il raggio \(R\) della circonferenza circoscritta

Un esempio semplice

Per il triangolo con lati 3, 4 e 5 (area 6), il raggio della circonferenza circoscritta è

raggio \(R\) della circonferenza circoscritta \(=\) prodotto dei tre lati (3×4×5) \(\div\) quattro volte l’area (4×6)

\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5\)

L’idea chiave

La circonferenza circoscritta è la circonferenza che passa per tutti e tre i vertici del triangolo. Questa formula nasce dal combinare il teorema dei seni \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) con la formula dell’area \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\). Il triangolo 3-4-5 dell’esempio è un triangolo rettangolo, quindi il centro della sua circonferenza circoscritta è esattamente nel punto medio dell’ipotenusa e \(R\) è metà dell’ipotenusa (\(5 \div 2 = 2{,}5\)). Il risultato coincide esattamente.

Un triangolo è determinato da tre informazioni (almeno una è un lato). Con tre lati si usa il teorema del coseno risolto rispetto all’angolo. Con due lati e l’angolo compreso si usa il teorema del coseno. Con un lato e due angoli si usano la somma degli angoli interni e il teorema dei seni. Con questi tre strumenti si ricavano tutti gli altri lati e angoli e, di conseguenza, anche l’area, la circonferenza inscritta e la circonferenza circoscritta.

Simboli e termini

Simboli

\(a, b, c\)	a, b, c (minuscole)	Le lunghezze dei tre lati del triangolo. Per convenzione, ogni lato usa la lettera minuscola dell’angolo che gli sta di fronte (il lato a è il lato opposto all’angolo A).
\(A, B, C\)	A, B, C (maiuscole)	I tre angoli del triangolo (in gradi). Sommano sempre 180°.
\(S\)	esse	L’area del triangolo.
\(s\)	s (minuscola)	Il semiperimetro, metà del perimetro (\(a+b+c\)). Si usa nella formula di Erone e nella formula del raggio della circonferenza inscritta.
\(\sin\theta\)	seno di teta	Una delle funzioni goniometriche. In un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa e serve per ricavare la parte verticale da un angolo. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) e \(\sin 90^\circ = 1\).
\(\cos\theta\)	coseno di teta	Una delle funzioni goniometriche. In un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) e \(\cos 90^\circ = 0\). Il «coseno» del teorema del coseno è questa funzione.
\(r\)	r (minuscola)	Il raggio della circonferenza inscritta (la circonferenza che tocca dall’interno tutti e tre i lati).
\(R\)	R (maiuscola)	Il raggio della circonferenza circoscritta (la circonferenza che passa per tutti e tre i vertici).

Termini

lato opposto	Il lato che sta di fronte a un angolo si dice lato opposto a quell’angolo. In questa pagina il lato a è opposto all’angolo A, il lato b all’angolo B e il lato c all’angolo C.
angolo opposto	L’angolo che sta di fronte a un lato si dice angolo opposto a quel lato. In questa pagina l’angolo A è opposto al lato a, l’angolo B al lato b e l’angolo C al lato c.
somma degli angoli interni	La proprietà per cui i tre angoli di un triangolo sommano sempre 180° (il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo). Se conosci due angoli, il terzo si trova per sottrazione.
disuguaglianza triangolare	La condizione perché tre lunghezze formino un triangolo: la somma di due lati qualsiasi deve essere maggiore del terzo lato. Per esempio 1, 2 e 4 non formano un triangolo, perché 1 + 2 = 3 è minore di 4.
teorema del coseno	La regola \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) per trovare il terzo lato da due lati e dall’angolo compreso. Estende il teorema di Pitagora ai triangoli che non hanno un angolo retto e, riscritta, dà un angolo a partire dai tre lati. Si chiama anche teorema di Carnot. Si studia alla scuola secondaria di secondo grado.
teorema dei seni	La regola per cui «lato ÷ seno del suo angolo opposto» è uguale per tutte e tre le coppie e vale il diametro \(2R\) della circonferenza circoscritta. Una volta noti un lato e il suo angolo opposto, fa da ponte verso gli altri lati e angoli. Si studia alla scuola secondaria di secondo grado.
formula di Erone	Una formula che dà l’area dalle sole lunghezze dei tre lati, senza alcun angolo. Prende il nome da Erone di Alessandria, un matematico greco dell’antichità.
semiperimetro	Metà del perimetro di un triangolo. Compare nella formula di Erone e nella formula del raggio della circonferenza inscritta.
circonferenza inscritta	La circonferenza che tocca dall’interno tutti e tre i lati del triangolo. Il suo centro (l’incentro) è il punto in cui si incontrano le tre bisettrici degli angoli.
circonferenza circoscritta	La circonferenza che passa per tutti e tre i vertici del triangolo. Il suo centro (il circocentro) è il punto in cui si incontrano gli assi dei tre lati.
mediana	Il segmento che unisce un vertice di un triangolo al punto medio del lato opposto. Le tre mediane si incontrano in un punto (il baricentro).
triangolo acutangolo	Un triangolo il cui angolo più grande è minore di 90°. In base agli angoli, i triangoli si classificano in acutangoli, rettangoli e ottusangoli.
triangolo rettangolo	Un triangolo il cui angolo più grande è esattamente 90°. In base agli angoli, i triangoli si classificano in acutangoli, rettangoli e ottusangoli.
triangolo ottusangolo	Un triangolo il cui angolo più grande è maggiore di 90°. In base agli angoli, i triangoli si classificano in acutangoli, rettangoli e ottusangoli.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, non solo premendo il pulsante.
La somma degli angoli interni e la formula di Erone richiedono solo la matematica della scuola secondaria di primo grado. Il teorema del coseno e il teorema dei seni sono argomenti della scuola secondaria di secondo grado.

Angoli di un triangolo (scuola primaria e secondaria di primo grado, 8-14 anni)	Sapere che gli angoli di un triangolo sommano 180° Conoscere le proprietà dei triangoli isosceli ed equilateri (gli angoli opposti ai lati uguali sono uguali)
Radici quadrate (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Sapere che la radice quadrata è il numero che, elevato al quadrato, restituisce il numero di partenza, come in \(\sqrt{36} = 6\) Saper stimare un valore come \(\sqrt{39}\), per esempio tra 6 e 7
Il teorema di Pitagora (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Sapere che in un triangolo rettangolo \(c^2 = a^2 + b^2\) (il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati) Vedere il teorema del coseno come questo teorema esteso ai triangoli che non hanno un angolo retto
Triangolo rettangolo e funzioni goniometriche (scuola secondaria di secondo grado, 14-18 anni)	Sapere che seno e coseno sono rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo Saper usare i valori degli angoli più comuni, come \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) e \(\cos 90^\circ = 0\)
Il teorema dei seni e il teorema del coseno (scuola secondaria di secondo grado, 16-18 anni)	Saper scegliere la regola da usare in base ai tre dati che conosci (tre lati, due lati e l’angolo compreso, un lato e due angoli, e così via) Sapere che con due lati e un angolo opposto a uno di essi (il caso ambiguo) possono esserci due triangoli

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il terzo angolo (somma degli angoli interni)

Angolo A (gradi)	50
Angolo B (gradi)	60
Terzo angolo C (gradi)	=180-B1-B2

Tabella per trovare il terzo lato con il teorema del coseno

Lato a	5
Lato b	7
Angolo compreso C (gradi)	60
Terzo lato c	=RADQ(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIANTI(B3)))

Tabella per trovare un altro lato con il teorema dei seni

Lato a	6
Il suo angolo opposto A (gradi)	45
Angolo B (gradi)	60
Lato b	=B1*SEN(RADIANTI(B3))/SEN(RADIANTI(B2))

Tabella per trovare l’area (due lati e l’angolo compreso)

Lato a	8
Lato b	5
Angolo compreso C (gradi)	30
Area S	=B1B2SEN(RADIANTI(B3))/2

Tabella per trovare l’area (formula di Erone)

Lato a	3
Lato b	4
Lato c	5
Semiperimetro s	=(B1+B2+B3)/2
Area S	=RADQ(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabella per trovare il raggio della circonferenza inscritta

Area S	6
Semiperimetro s	6
Raggio r della circonferenza inscritta	=B1/B2

Tabella per trovare il raggio della circonferenza circoscritta

Lato a	3
Lato b	4
Lato c	5
Area S	6
Raggio R della circonferenza circoscritta	=B1B2B3/(4*B4)

Dopo aver incollato, le righe in alto sono i dati da inserire e la formula dell’ultima riga si calcola da sola.
Le funzioni COS e SEN di Excel vogliono gli angoli in radianti, quindi in mezzo c’è la funzione RADIANTI che converte i gradi in radianti. RADQ è la radice quadrata.
Per esempio, nella seconda tabella B4 mostra circa 6,245. Sostituisci i numeri inseriti con i tuoi.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il terzo angolo (somma degli angoli interni)

Angolo A (gradi)	50
Angolo B (gradi)	60
Terzo angolo C (gradi)	=180-B1-B2

Tabella per trovare il terzo lato con il teorema del coseno

Lato a	5
Lato b	7
Angolo compreso C (gradi)	60
Terzo lato c	=RADQ(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIANTI(B3)))

Tabella per trovare un altro lato con il teorema dei seni

Lato a	6
Il suo angolo opposto A (gradi)	45
Angolo B (gradi)	60
Lato b	=B1*SEN(RADIANTI(B3))/SEN(RADIANTI(B2))

Tabella per trovare l’area (due lati e l’angolo compreso)

Lato a	8
Lato b	5
Angolo compreso C (gradi)	30
Area S	=B1B2SEN(RADIANTI(B3))/2

Tabella per trovare l’area (formula di Erone)

Lato a	3
Lato b	4
Lato c	5
Semiperimetro s	=(B1+B2+B3)/2
Area S	=RADQ(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabella per trovare il raggio della circonferenza inscritta

Area S	6
Semiperimetro s	6
Raggio r della circonferenza inscritta	=B1/B2

Tabella per trovare il raggio della circonferenza circoscritta

Lato a	3
Lato b	4
Lato c	5
Area S	6
Raggio R della circonferenza circoscritta	=B1B2B3/(4*B4)

Valgono le stesse formule di Excel (Fogli Google ha RADIANTI, SEN, COS e RADQ con gli stessi nomi). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri inseriti con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

import math

side_a = 3.0   # lato a
side_b = 4.0   # lato b
side_c = 5.0   # lato c (esempio in cui sono noti tutti e tre i lati)

# Trova i tre angoli con il teorema del coseno risolto rispetto all’angolo (in gradi)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b

# Area con la formula di Erone
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
                 * (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))

inradius = area / half_perimeter                            # raggio della circonferenza inscritta
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area)        # raggio della circonferenza circoscritta

print(f"Angolo A = {angle_a}°, angolo B = {angle_b}°, angolo C = {angle_c}°")
print(f"Area = {area}")
print(f"Raggio inscritto = {inradius}, raggio circoscritto = {circumradius}")

Funziona con il solo modulo math della libreria standard. math.acos è l’arcocoseno (il coseno «al contrario») e math.degrees converte i radianti in gradi. Sostituisci i tre lati in alto con i tuoi valori ed esegui.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Somma degli angoli interni di un triangolo

A + B + C = 180°

A + B + C = 180^\circ

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>180</mn><mo>&#xB0;</mo>
  </mrow>
</math>

A + B + C = 180^@

angleA + angleB + angleC == 180

A + B + C = 180;

C = 180 - A - B;

A + B + C = 180°

Teorema del coseno (terzo lato da due lati e dall’angolo compreso)

c² = a² + b² − 2ab·cos C

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C

cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]

c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));

c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Teorema dei seni (il ponte tra i lati e i loro angoli opposti)

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]

b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);

b = a*sind(B)/sind(A);

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

Area (due lati e l’angolo compreso)

S = (1/2)·ab·sin C

S = \frac{1}{2}ab\sin C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

S = 1/2 ab sin C

area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]

S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);

S = a*b*sind(C)/2;

S = (1/2)ab sin(C)

Formula di Erone (area dai tre lati)

s = (a+b+c)/2,  S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mi>s</mi>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2

s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Raggio della circonferenza inscritta

r = S/s

r = \dfrac{S}{s}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S/s

inradius = area/s

r := S/s;

r = S/s;

r = S/s

Raggio della circonferenza circoscritta

R = abc/(4S)

R = \dfrac{abc}{4S}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (abc)/(4S)

circumradius = a b c/(4 area)

R := a*b*c/(4*S);

R = a*b*c/(4*S);

R = abc/(4S)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo per i triangoli. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

In un triangolo, il lato a = 7, il lato b = 10 e l’angolo A = 40° (l’angolo A è l’angolo opposto al lato a).
1. Usa il teorema dei seni per trovare l’angolo B. Attenzione: con queste condizioni potrebbero esistere due triangoli (il caso ambiguo). Se ci sono due soluzioni, mostrale entrambe.
2. Per ciascuna soluzione, trova l’angolo C rimanente, il lato c e l’area.

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione in una tabella.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula