Si usa in due modi. [Da due punti] Scrivi le coordinate del punto 1 e del punto 2 per ottenere il coefficiente angolare, la distanza, l’angolo e l’equazione della retta. [Da un punto e una distanza] Lascia vuoto il punto 2 e scrivi la distanza d e il coefficiente angolare m (o l’angolo θ) per ottenere le coordinate del punto che raggiungi dal punto 1.
Coordinate, distanza e coefficiente angolare possono essere decimali o numeri negativi. Quando il punto 2 (X2 e Y2) è compilato, i campi distanza d, coefficiente angolare m e angolo θ non si usano. Se scrivi sia il coefficiente angolare m sia l’angolo θ, si usa il coefficiente angolare m.
Risultato e grafico
Scrivi le coordinate di due punti nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Coefficiente angolare di una retta \(m\) (rapporto incrementale)
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Distanza tra due punti \(d\)
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Angolo di inclinazione \(\theta\) (l’angolo della retta)
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Equazione di una retta \(y = mx + q\) (forma con coefficiente angolare e intercetta)
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Il punto a distanza \(d\) da un punto (dato il coefficiente angolare \(m\))
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi le coordinate di due punti e ottieni subito il coefficiente angolare \(m\) della retta (il rapporto incrementale di una funzione lineare)
- Insieme al coefficiente angolare calcola anche la distanza tra i due punti, l’angolo di inclinazione \(\theta\), l’equazione della retta \(y = mx + q\), l’intercetta sull’asse y e l’intercetta sull’asse x
- Funziona anche al contrario: da un punto, da una distanza da percorrere e da un coefficiente angolare (o un angolo) trova le coordinate del punto che raggiungi
- Nella stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Il coefficiente angolare si può calcolare solo quando i due punti hanno coordinate x diverse. Una retta per due punti con la stessa coordinata x (una retta verticale) ha il coefficiente angolare non definito, quindi si mostra «Non definito». L’angolo θ è misurato in senso antiorario a partire dal semiasse x positivo e mostrato da 0° fino a 360° escluso.
A cosa serve questo calcolo?
Controllare se una rampa per carrozzine rispetta la norma (edilizia e accessibilità)
In Italia il DM 236/1989 (art. 8.1.11) stabilisce che «la pendenza delle rampe non deve superare l’8%», cioè un coefficiente angolare di 0,08 (pendenze maggiori sono ammesse solo negli interventi di adeguamento, in funzione della lunghezza della rampa). La domanda «posso fare una rampa di 3 m davanti a uno scalino di 24 cm?» è un calcolo del coefficiente angolare: \(24 \div 300 = 0{,}08\) (3 m = 300 cm), quindi rispetta il limite dell’8%. Come angolo sono circa 4,6°.
Quando ristrutturi una casa o progetti un edificio, puoi controllare con i numeri se una rampa è sicura da usare.
Leggere un cartello stradale di salita «10%» (guida e ciclismo)
Un «10%» su un cartello di salita ripida dice «sale di 10 m ogni 100 m in orizzontale», cioè un coefficiente angolare di 0,1. Come angolo è \(\arctan 0{,}1 \approx 5{,}7°\). Sorprende quanti non sanno che il 10% non è 10°.
Se sai leggerlo, puoi valutare in anticipo quanto è ripida una salita quando scegli la marcia in auto o pianifichi un percorso in bici o di corsa.
Trovare l’angolo di un tetto dalla sua pendenza (edilizia e fai da te)
In Italia la pendenza di una falda di tetto si dà spesso in percentuale, per esempio «35%» (sale di 35 cm ogni 100 cm in orizzontale, cioè un coefficiente angolare di 0,35). Come angolo è \(\arctan 0{,}35 \approx 19{,}3°\).
Ogni materiale di copertura si può usare solo entro un certo intervallo di pendenze, quindi chi fa i tetti e chi li progetta usa questa conversione ogni giorno. Aiuta anche quando costruisci da solo il tetto di un capanno.
Stimare quanto è ripido un sentiero e quanta strada si cammina davvero (escursionismo e carte)
Se un sentiero sale di 300 m su una distanza orizzontale di 1000 m sulla carta, il suo coefficiente angolare medio è \(300 \div 1000 = 0{,}3\) (un angolo di circa 16,7°) e, per il teorema di Pitagora, la distanza che si percorre davvero sulla salita è \(\sqrt{1000^2 + 300^2} \approx 1044\) m.
Sapere con i numeri che «la distanza reale è più lunga di quella sulla carta e il coefficiente angolare decide quanto è faticoso» rende più sicuri i piani delle escursioni.
Leggere la rapidità di variazione dei dati dal coefficiente angolare (lavoro e lettura dei grafici)
Se le vendite mensili sono passate da 40.000 € ad aprile a 58.000 € a luglio, il coefficiente angolare è \((58.000 - 40.000) \div (7 - 4) = 6.000\) euro al mese, che si legge «crescita media di 6.000 € al mese».
Il coefficiente angolare di un grafico a linee è la rapidità di variazione stessa. Trovare quanto rapidamente cambia qualcosa dai suoi valori in due momenti, che siano vendite, peso o temperatura, è lo stesso calcolo della formula del coefficiente angolare di questa pagina.
Formule e grafici
Coefficiente angolare di una retta \(m\) (rapporto incrementale)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(m\)
\(=\)
\(y_2 - y_1\)
\(\div\)
\(x_2 - x_1\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
coefficiente angolare della retta \(m\)
\(=\)
①
variazione di y (spostamento verticale) \(\Delta y = y_2 - y_1\)
\(\div\)
②
variazione di x (spostamento orizzontale) \(\Delta x = x_2 - x_1\)
La formula a parole
①
Prendi la
variazione di y, \(\Delta y\) (di quanto sale o scende)
②
dividila per la
variazione di x, \(\Delta x\) (di quanto avanza in orizzontale)
③
e ottieni il
coefficiente angolare della retta \(m\)
Un esempio semplice
Il coefficiente angolare della retta per i punti (3 ; 4) e (6 ; 8) è
coefficiente angolare \(m\)
\(=\)
variazione di y (8 − 4 = 4)
\(\div\)
variazione di x (6 − 3 = 3)
\(m = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\)
L’idea chiave
Il coefficiente angolare dice «di quanto sale o scende la retta per ogni 1 di spostamento in orizzontale». Si può leggere come «dislivello su spostamento orizzontale» ed è la stessa cosa del rapporto incrementale di una funzione lineare studiata alle superiori. Un coefficiente angolare positivo sale da sinistra a destra, uno negativo scende da sinistra a destra e uno uguale a 0 è una retta orizzontale.
Sottrai nello stesso ordine al numeratore e al denominatore (se sottrai il punto 1 dal punto 2, fallo in entrambi). Se mescoli l’ordine, il segno viene invertito. Quando la variazione di x è 0 (una retta verticale) si dividerebbe per 0, quindi il coefficiente angolare non è definito.
Distanza tra due punti \(d\)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
distanza tra i punti \(d\)
\(=\)
①
radice quadrata della somma dei quadrati delle variazioni \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)
La formula a parole
①
Prendi la
radice quadrata della somma dei quadrati delle variazioni, \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)
(eleva al quadrato la variazione orizzontale e quella verticale, sommale e fai la radice quadrata)
②
e ottieni la
distanza tra i punti \(d\)
Un esempio semplice
La distanza tra i punti (1 ; 1) e (4 ; 5) (Δx = 3, Δy = 4) è
distanza \(d\)
\(=\)
radice quadrata della somma dei quadrati (3² + 4² = 25)
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
L’idea chiave
Questo è proprio il teorema di Pitagora. Immagina un triangolo rettangolo con i cateti uguali alla variazione orizzontale, \(\Delta x\), e a quella verticale, \(\Delta y\). Il segmento che unisce i due punti è la sua ipotenusa. Anche se una variazione è negativa, elevarla al quadrato la rende positiva, quindi la formula funziona ovunque siano i punti.
Angolo di inclinazione \(\theta\) (l’angolo della retta)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\theta\)
\(=\)
\(\arctan m\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
angolo di inclinazione \(\theta\)
\(=\)
①
arcotangente del coefficiente angolare \(m\) (l’angolo ricavato dalla tangente)
La formula a parole
①
Calcola
arcotangente del coefficiente angolare \(m\)
(si cerca l’angolo la cui tangente è m)
②
e ottieni
angolo di inclinazione \(\theta\)
Un esempio semplice
L’angolo tra l’asse x e una retta con coefficiente angolare 1 (sale di 1 per ogni 1 a destra) è
angolo di inclinazione \(\theta\)
\(=\)
arcotangente del coefficiente angolare (1)
\(\theta = \arctan 1 = 45^{\circ}\)
L’idea chiave
Il coefficiente angolare e l’angolo sono legati da \(m = \tan\theta\). L’arcotangente (\(\arctan\), che sulle calcolatrici scientifiche compare come tan⁻¹ o arctg) fa il percorso inverso e trova l’angolo dal coefficiente angolare. \(\arctan\) restituisce angoli da −90° a 90°, quindi quando il coefficiente angolare è negativo (la retta scende da sinistra a destra) il risultato è un angolo negativo. Questa calcolatrice aggiunge 360° agli angoli negativi in modo che siano mostrati da 0° fino a 360° (esempio: −63,4° → 296,6°). L’angolo di una retta verticale è 90°.
Partendo da due punti l’angolo è misurato nel verso «dal punto 1 verso il punto 2», quindi se scrivi gli stessi due punti in ordine inverso l’angolo punta nel verso opposto (differisce di 180°).
Equazione di una retta \(y = mx + q\) (forma con coefficiente angolare e intercetta)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(y\)
\(=\)
\(m\)
\(\times\)
\(x\)
\(+\)
\(q\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
coordinata y di un punto della retta \(y\)
\(=\)
②
coefficiente angolare \(m\)
\(\times\)
①
coordinata x \(x\)
\(+\)
③
intercetta sull’asse y \(q\)
La formula a parole
①
Prendi la
coordinata x \(x\)
②
moltiplicala per il
coefficiente angolare \(m\)
③
aggiungi
intercetta sull’asse y \(q\)
④
e ottieni la
coordinata y del punto della retta \(y\)
Un esempio semplice
L’equazione della retta con coefficiente angolare −2 per il punto (1 ; 5) (l’intercetta sull’asse y è q = 5 − (−2) × 1 = 7) è
coordinata y \(y\)
\(=\)
coefficiente angolare (−2)
\(\times\)
coordinata x \(x\)
\(+\)
intercetta sull’asse y (7)
\(q = y_1 - m x_1 = 5 - (-2) \times 1 = 7\)
\(y = -2x + 7\)
L’idea chiave
Quando conosci il coefficiente angolare \(m\) e un punto \((x_1 ; y_1)\) della retta, esiste una sola retta. L’intercetta sull’asse y \(q\) si ricava risolvendo per \(q\) «l’equazione in quel punto», \(y_1 = m x_1 + q\): \(q = y_1 - m x_1\).
L’intercetta sull’asse y è l’altezza a cui il grafico incontra l’asse y (\(y\) quando \(x = 0\)) e l’intercetta sull’asse x è il punto in cui il grafico incontra l’asse x (\(x\) quando \(y = 0\)). L’intercetta sull’asse x è \(-q \div m\) (una retta orizzontale, \(m = 0\), non ha intercetta sull’asse x, a meno che non sia l’asse x stesso).
Il punto a distanza \(d\) da un punto (dato il coefficiente angolare \(m\))
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\Delta x\)
\(=\)
\(d\)
\(\div\)
\(\sqrt{1 + m^2}\)
\(\Delta y\)
\(=\)
\(m\)
\(\times\)
\(\Delta x\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
variazione di x \(\Delta x\)
\(=\)
①
distanza da percorrere \(d\)
\(\div\)
②
radice quadrata di \(1 + m^2\)
⑥
variazione di y \(\Delta y\)
\(=\)
④
coefficiente angolare \(m\)
\(\times\)
⑤
variazione di x \(\Delta x\)
La formula a parole
①
Prendi la
distanza da percorrere \(d\)
②
dividila per la
radice quadrata di \(1 + m^2\)
③
e ottieni la
variazione di x \(\Delta x\)
④
Poi moltiplica il
coefficiente angolare \(m\)
⑤
per la
variazione di x \(\Delta x\)
⑥
e ottieni la
variazione di y \(\Delta y\)
(quindi il punto che raggiungi è \((x_1 + \Delta x ;\ y_1 + \Delta y)\))
Un esempio semplice
Partendo dal punto (1 ; 1) e spostandosi di una distanza 5 verso destra lungo una retta con coefficiente angolare 0,75 si raggiunge
variazione di x \(\Delta x\)
\(=\)
distanza da percorrere (5)
\(\div\)
\(\sqrt{1 + 0{,}75^2}\) (= 1,25)
\(\Delta x = 5 \div \sqrt{1 + 0{,}75^2} = 5 \div 1{,}25 = 4\)
\(\Delta y = 0{,}75 \times 4 = 3\)
\((x_2 ;\ y_2) = (1 + 4 ;\ 1 + 3) = (5 ;\ 4)\)
L’idea chiave
Perché si divide per \(\sqrt{1 + m^2}\)? Lungo una retta con coefficiente angolare \(m\), avanzare di 1 in orizzontale porta a salire di \(m\), quindi per il teorema di Pitagora la lunghezza che si percorre davvero è \(\sqrt{1 + m^2}\). In altre parole «per ogni 1 in orizzontale si percorre \(\sqrt{1 + m^2}\) lungo la retta», quindi dividendo la distanza \(d\) per \(\sqrt{1 + m^2}\) si ottiene lo spostamento orizzontale.
Ci si può spostare in due versi, «verso destra» (\(\Delta x\) positivo) e «verso sinistra» (negativo), quindi questa calcolatrice mostra entrambe le soluzioni. Se dai un angolo \(\theta\) invece del coefficiente angolare, l’angolo fissa anche il verso, quindi c’è una sola soluzione: \(\Delta x = d\cos\theta\), \(\Delta y = d\sin\theta\).
Il coefficiente angolare di una retta è «variazione di y ÷ variazione di x» (dislivello su spostamento orizzontale), la distanza tra due punti viene dal teorema di Pitagora e l’angolo viene dall’arcotangente. Con questi tre strumenti puoi ricavare tutto su una retta dalle coordinate di due punti. Puoi anche fare il contrario e trovare il punto che raggiungi da un punto, una distanza e un coefficiente angolare.
Simboli e termini
Simboli
| \(m\) | emme | Il coefficiente angolare della retta: di quanto sale o scende per ogni 1 in orizzontale. Un coefficiente angolare positivo sale da sinistra a destra, uno negativo scende. In Italia si usa \(m\) per il coefficiente angolare. |
| \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) | x uno, y uno | Le coordinate dei due punti. \(x\) è la posizione orizzontale e \(y\) quella verticale; il piccolo numero in basso a destra (il pedice) distingue «il primo punto» dal «secondo punto». |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\) | delta x, delta y | La variazione (di quanto è cambiato un valore). \(\Delta\) (delta) è la lettera greca per «variazione»: \(\Delta x = x_2 - x_1\) (lo spostamento orizzontale) e \(\Delta y = y_2 - y_1\) (lo spostamento verticale). |
| \(d\) | di | La distanza tra i due punti, dalla prima lettera di «distanza». |
| \(\theta\) | teta | Una lettera greca usata spesso per gli angoli. In questa pagina è l’angolo tra la retta e l’asse x (l’angolo di inclinazione). |
| \(q\) | cu | L’intercetta sull’asse y: l’altezza a cui la retta incontra l’asse y (il valore di \(y\) quando \(x = 0\)). |
| \(\tan\) | tangente | Un rapporto goniometrico: «cateto opposto ÷ cateto adiacente», cioè «salita ÷ spostamento in orizzontale», per un angolo. Il coefficiente angolare di una retta è legato al suo angolo da \(m = \tan\theta\). |
| \(\arctan\) | arcotangente | L’inverso della tangente: trova «l’angolo la cui tangente è quel numero». Sulle calcolatrici scientifiche compare come tan⁻¹ o arctg. |
Termini
| coefficiente angolare | Un numero che indica quanto è ripida una retta: di quanto aumenta \(y\) quando \(x\) aumenta di 1 («dislivello su spostamento orizzontale»). Più è grande, più la retta è ripida. La pendenza di una strada o di un tetto usa la stessa idea. |
| rapporto incrementale | (variazione di y) ÷ (variazione di x). Si studia con le funzioni lineari alle superiori e per una funzione lineare è esattamente uguale al coefficiente angolare della retta. |
| funzione lineare | Una funzione della forma \(y = mx + q\). Il suo grafico è una retta, con coefficiente angolare \(m\) e intercetta sull’asse y \(q\). |
| intercetta | Il punto in cui un grafico incontra un asse. L’altezza a cui incontra l’asse y è l’intercetta sull’asse y (\(y\) quando \(x = 0\)) e il punto in cui incontra l’asse x è l’intercetta sull’asse x (\(x\) quando \(y = 0\)). |
| angolo di inclinazione | L’angolo che una retta forma con l’asse x (l’orizzontale). È legato al coefficiente angolare da \(m = \tan\theta\). |
| pendenza | Il nome di uso comune per quanto è ripida una strada, una rampa o un tetto. Un cartello stradale con «10%» dice «sale di 10 m ogni 100 m in orizzontale», cioè un coefficiente angolare di 0,1. La pendenza di una falda di tetto si indica spesso in percentuale. |
| coordinate | Una coppia di numeri (posizione orizzontale ; posizione verticale) che dà la posizione di un punto. Il punto (3 ; 4) è «3 a destra e 4 in alto rispetto all’origine». Si studia alla scuola secondaria di primo grado. |
| retta verticale | Una retta perpendicolare all’asse x (che sale dritta verso l’alto). La variazione di x è 0, quindi la formula del coefficiente angolare dividerebbe per 0 e il coefficiente angolare non è definito. La sua equazione non è della forma \(y = mx + q\) ma \(x = \text{costante}\). |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su questi argomenti è la strada più veloce per andare avanti.
| Il piano cartesiano (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Addizioni e sottrazioni di numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-12 anni) |
|
| Funzioni lineari e rapporto incrementale (scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| La tangente (scuola secondaria di secondo grado, 14-17 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il coefficiente angolare m
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 3 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 4 |
| Coordinata x del punto 2 x₂ | 6 |
| Coordinata y del punto 2 y₂ | 8 |
| Coefficiente angolare m | =(B4-B2)/(B3-B1) |
Tabella per trovare la distanza d tra due punti
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 3 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 4 |
| Coordinata x del punto 2 x₂ | 6 |
| Coordinata y del punto 2 y₂ | 8 |
| Distanza tra i punti d | =RADQ((B3-B1)^2+(B4-B2)^2) |
Tabella per trovare l’angolo di inclinazione θ
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 3 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 4 |
| Coordinata x del punto 2 x₂ | 6 |
| Coordinata y del punto 2 y₂ | 8 |
| Angolo di inclinazione θ (gradi) | =GRADI(ARCTAN.2(B3-B1;B4-B2)) |
Tabella per trovare l’intercetta sull’asse y e quella sull’asse x
| Coordinata x di un punto della retta x₁ | 1 |
| Coordinata y di un punto della retta y₁ | 5 |
| Coefficiente angolare m | -2 |
| Intercetta sull’asse y q | =B2-B3*B1 |
| Intercetta sull’asse x | =-B4/B3 |
Tabella per trovare il punto a distanza d da un punto
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 1 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 1 |
| Distanza da percorrere d | 5 |
| Coefficiente angolare m | 0,75 |
| Variazione di x Δx | =B3/RADQ(1+B4^2) |
| Variazione di y Δy | =B4*B5 |
| Coordinata x del punto raggiunto x₂ | =B1+B5 |
| Coordinata y del punto raggiunto y₂ | =B2+B6 |
Dopo aver incollato, le righe in alto sono i dati da inserire e le formule delle righe in basso sono calcolate automaticamente.
«RADQ(…)» è la radice quadrata, «^2» eleva al quadrato, «GRADI(…)» converte i radianti in gradi e «ARCTAN.2(variazione orizzontale; variazione verticale)» trova l’angolo dalle variazioni nelle due direzioni.
La prima tabella dà un coefficiente angolare di circa 1,333, la seconda una distanza di 5 e la terza un angolo di circa 53,13°. ARCTAN.2 nella terza tabella restituisce anche angoli negativi (da −180° a 180°), quindi per una retta che scende da sinistra a destra aggiungi 360 se vuoi l’angolo da 0 a 360°.
La quinta tabella trova la soluzione verso destra (il punto (5 ; 4) nell’esempio). Per la soluzione verso sinistra metti un segno meno all’inizio della formula di Δx (=-B3/RADQ(1+B4^2)).
«RADQ(…)» è la radice quadrata, «^2» eleva al quadrato, «GRADI(…)» converte i radianti in gradi e «ARCTAN.2(variazione orizzontale; variazione verticale)» trova l’angolo dalle variazioni nelle due direzioni.
La prima tabella dà un coefficiente angolare di circa 1,333, la seconda una distanza di 5 e la terza un angolo di circa 53,13°. ARCTAN.2 nella terza tabella restituisce anche angoli negativi (da −180° a 180°), quindi per una retta che scende da sinistra a destra aggiungi 360 se vuoi l’angolo da 0 a 360°.
La quinta tabella trova la soluzione verso destra (il punto (5 ; 4) nell’esempio). Per la soluzione verso sinistra metti un segno meno all’inizio della formula di Δx (=-B3/RADQ(1+B4^2)).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il coefficiente angolare m
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 3 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 4 |
| Coordinata x del punto 2 x₂ | 6 |
| Coordinata y del punto 2 y₂ | 8 |
| Coefficiente angolare m | =(B4-B2)/(B3-B1) |
Tabella per trovare la distanza d tra due punti
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 3 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 4 |
| Coordinata x del punto 2 x₂ | 6 |
| Coordinata y del punto 2 y₂ | 8 |
| Distanza tra i punti d | =RADQ((B3-B1)^2+(B4-B2)^2) |
Tabella per trovare l’angolo di inclinazione θ
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 3 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 4 |
| Coordinata x del punto 2 x₂ | 6 |
| Coordinata y del punto 2 y₂ | 8 |
| Angolo di inclinazione θ (gradi) | =GRADI(ARCTAN.2(B3-B1;B4-B2)) |
Tabella per trovare l’intercetta sull’asse y e quella sull’asse x
| Coordinata x di un punto della retta x₁ | 1 |
| Coordinata y di un punto della retta y₁ | 5 |
| Coefficiente angolare m | -2 |
| Intercetta sull’asse y q | =B2-B3*B1 |
| Intercetta sull’asse x | =-B4/B3 |
Tabella per trovare il punto a distanza d da un punto
| Coordinata x del punto 1 x₁ | 1 |
| Coordinata y del punto 1 y₁ | 1 |
| Distanza da percorrere d | 5 |
| Coefficiente angolare m | 0,75 |
| Variazione di x Δx | =B3/RADQ(1+B4^2) |
| Variazione di y Δy | =B4*B5 |
| Coordinata x del punto raggiunto x₂ | =B1+B5 |
| Coordinata y del punto raggiunto y₂ | =B2+B6 |
Valgono le stesse formule di Excel (RADQ, GRADI, ARCTAN.2 e ^2) anche in Fogli Google. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri di partenza con le tue coordinate.
Come calcolarlo con Python
import math
x1, y1 = 3.0, 4.0 # coordinate del punto 1
x2, y2 = 6.0, 8.0 # coordinate del punto 2
delta_x = x2 - x1 # variazione di x (spostamento orizzontale)
delta_y = y2 - y1 # variazione di y (spostamento verticale)
slope = delta_y / delta_x # coefficiente angolare m (se delta_x è 0 la retta è verticale e questa riga dà errore)
distance = math.hypot(delta_x, delta_y) # distanza tra i punti (come √(Δx²+Δy²))
angle = math.degrees(math.atan2(delta_y, delta_x)) % 360 # angolo (da 0 a 360°)
y_intercept = y1 - slope * x1 # intercetta sull’asse y, q
print(f"Coefficiente angolare m: {slope}")
print(f"Distanza d: {distance}")
print(f"Angolo θ: {angle}")
print(f"Equazione della retta: y = {slope}x + {y_intercept}")
# Il contrario: il punto raggiunto spostandosi di una distanza d dal punto (x1, y1) lungo il coefficiente angolare
d = 5.0
dx = d / math.sqrt(1 + slope ** 2) # soluzione verso destra (verso sinistra è -dx)
dy = slope * dx
print(f"Punto raggiunto: ({x1 + dx}, {y1 + dy})")
Funziona con la sola libreria standard. math.hypot è la radice quadrata della somma dei quadrati e math.atan2 è l’arcotangente (una funzione che trova l’angolo dalle variazioni in orizzontale e in verticale). Cambia le coordinate all’inizio ed esegui il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Coefficiente angolare di una retta \(m\) (rapporto incrementale)
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
(y2 - y1)/(x2 - x1)
m := (y2 - y1)/(x2 - x1);
m = (y2 - y1)/(x2 - x1);
m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
Distanza tra due punti \(d\)
d = √(Δx² + Δy²)
d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2)
Sqrt[dx^2 + dy^2]
d := sqrt(dx^2 + dy^2);
d = sqrt(dx^2 + dy^2);
d = √(Δx^2 + Δy^2)
Angolo di inclinazione \(\theta\) (l’angolo della retta)
θ = arctan(m)
\theta = \arctan m
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mo>⁡</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</math>
theta = arctan(m)
ArcTan[m]
theta := arctan(m);
theta = atan(m);
θ = arctan(m)
Equazione di una retta \(y = mx + q\) (forma con coefficiente angolare e intercetta)
y = mx + q (q = y₁ − m·x₁)
y = mx + q, \quad q = y_1 - m x_1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>m</mi><mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
</mrow>
</math>
y = m x + q, q = y_1 - m x_1
b = y1 - m*x1; y = m*x + b
b := y1 - m*x1; y := m*x + b;
b = y1 - m*x1; y = m*x + b;
y = mx + q, q = y_1 - mx_1
Il punto a distanza \(d\) da un punto (dato il coefficiente angolare \(m\))
Δx = ±d ÷ √(1 + m²), Δy = m·Δx
\Delta x = \pm\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad \Delta y = m\,\Delta x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
<mo>=</mo>
<mo>±</mo>
<mfrac>
<mi>d</mi>
<msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>m</mi>
<mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mrow>
</math>
Delta x = +-d/sqrt(1 + m^2), Delta y = m Delta x
dx = d/Sqrt[1 + m^2]; dy = m*dx
dx := d/sqrt(1 + m^2); dy := m*dx;
dx = d/sqrt(1 + m^2); dy = m*dx;
Δx = ±d/√(1 + m^2), Δy = mΔx
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo matematico. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a intuito). Per i due punti (3 ; 4) e (6 ; 8) del piano cartesiano, trova ciascuno dei seguenti valori: 1. Il coefficiente angolare m della retta per i due punti 2. La distanza d tra i due punti 3. L’angolo θ (in gradi) tra la retta e l’asse x 4. L’equazione della retta y = mx + q (mostra anche il valore dell’intercetta q) Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
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