Scegli l’operazione e la dimensione delle matrici (righe e colonne), poi scrivi gli elementi nelle griglie. La trasposta Aᵀ e la potenza Aⁿ usano solo la matrice A.
Scrivi gli elementi come numeri (vanno bene decimali e negativi). Somma e sottrazione richiedono che A e B abbiano la stessa dimensione; il prodotto AB richiede che «colonne di A = righe di B».
Risultato
Scegli a sinistra l’operazione e la dimensione delle matrici, scrivi gli elementi e fai clic su «Calcola». Qui compariranno la matrice risultato e i passaggi.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
-
Come si usa
-
Formula
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Somma \(A+B\), sottrai \(A-B\) e moltiplica \(AB\) matrici da 2×2 a 4×4 sul momento (vanno bene anche dimensioni rettangolari come 2×3)
- Puoi calcolare anche la trasposta \(A^{T}\), che scambia righe e colonne, e le potenze \(A^{n}\) di una matrice quadrata (\(n\) da 1 a 10)
- Vedi come funziona ogni calcolo, come il prodotto scalare «riga × colonna» nella moltiplicazione, nei passaggi con i tuoi numeri
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google (MATR.PRODOTTO, MATR.TRASPOSTA) e Python
In Italia le matrici si studiano di solito all’università, nei corsi di algebra lineare, e in alcuni indirizzi della scuola secondaria di secondo grado. Determinanti e matrici inverse non sono trattati in questa pagina.
A cosa serve questo calcolo?
Muovere i personaggi nei videogiochi e nella grafica 3D
Nella grafica 3D, trasformazioni come ruotare o ridimensionare un personaggio si calcolano «moltiplicando le coordinate per una matrice». Più trasformazioni si possono combinare in una sola matrice moltiplicando prima tra loro le matrici.
La GPU (il processore grafico) di una console o di un computer è un calcolatore specializzato costruito per eseguire un numero enorme di queste moltiplicazioni di matrici.
Ritoccare foto e immagini (un’immagine è una matrice di numeri)
Un’immagine digitale è essa stessa una matrice: la luminosità di ogni pixel disposta in righe e colonne. I filtri delle app per le foto, come sfocatura e nitidezza, si calcolano come operazioni su questa matrice.
Vedere «un’immagine come matrice» è anche il punto di partenza di tecniche di IA come il riconoscimento delle immagini.
Risolvere insieme sistemi di equazioni (strutture e circuiti)
Un sistema di equazioni con molte incognite si può scrivere come un’unica equazione, \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\), mettendo i coefficienti in una matrice.
Nell’analisi della resistenza degli edifici e nell’analisi dei circuiti elettrici, migliaia o decine di migliaia di equazioni vengono messe in questa forma e risolte tutte insieme con calcoli di matrici al computer.
Contare i percorsi di una mappa dei trasporti o i legami di un social network (matrice di adiacenza e potenze)
Scrivi i collegamenti tra le stazioni, o tra le persone, come una matrice con «1 se collegati, 0 se no» (una matrice di adiacenza). Allora l’elemento nella riga \(i\), colonna \(j\) della potenza \(A^{n}\) è «il numero di modi per andare da \(i\) a \(j\) seguendo esattamente \(n\) collegamenti».
Questa idea è una delle basi dei calcolatori di percorsi e dell’analisi degli «amici di amici» nei social network.
Stimare gli effetti a catena nell’economia (tavole input-output)
Le statistiche economiche nazionali e regionali usano una grande matrice, detta tavola input-output, per mostrare quanto ogni settore acquista dagli altri. L’effetto a catena, «se la domanda in un settore cresce, di quanto cresce la produzione negli altri», si stima con calcoli di matrici su questa tavola (un metodo sviluppato da Wassily Leontief, che per questo vinse il premio Nobel per l’economia).
Dentro l’IA (apprendimento automatico) c’è la moltiplicazione di matrici
Gran parte dei calcoli dell’IA che tratta testi e immagini (le reti neurali) consiste nel ripetere «moltiplica un elenco di numeri in ingresso per una matrice appresa».
Poiché gran parte del calcolo per addestrare ed eseguire l’IA è moltiplicazione di matrici, le GPU, che sono brave nei calcoli con le matrici, sono diventate essenziali per lo sviluppo dell’IA.
Formula
Addizione e sottrazione (elemento per elemento nella stessa posizione)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\((A+B)_{ij}\)
\(=\)
\(a_{ij}\)
\(+\)
\(b_{ij}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
elemento della riga \(i\), colonna \(j\) della somma \(A+B\)
\(=\)
①
\(a_{ij}\): elemento della riga \(i\), colonna \(j\) di A
\(+\)
②
\(b_{ij}\): elemento della riga \(i\), colonna \(j\) di B
La formula a parole
①
Somma
\(a_{ij}\): elemento della riga \(i\), colonna \(j\) di A
e
②
\(b_{ij}\): elemento della riga \(i\), colonna \(j\) di B
, e ottieni
③
l’elemento della riga \(i\), colonna \(j\) della somma \(A+B\)
(per la sottrazione basta cambiare «+» in «−»)
Un esempio semplice
Per sommare due matrici 2×2 si sommano gli elementi nella stessa posizione
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)
L’idea chiave
Si può sommare o sottrarre solo quando A e B hanno la stessa dimensione (lo stesso numero di righe e di colonne). La somma dà lo stesso risultato in qualunque ordine (\(A+B=B+A\)), ma per la sottrazione, come con i numeri ordinari, l’ordine cambia il risultato.
Moltiplicazione (prodotto righe per colonne: prodotto scalare di una riga di A per una colonna di B)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(c_{ij}\)
\(=\)
\(a_{i1}\)
\(\times\)
\(b_{1j}\)
\(+ \cdots +\)
\(a_{in}\)
\(\times\)
\(b_{nj}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(c_{ij}\): elemento della riga \(i\), colonna \(j\) del prodotto \(AB\)
\(=\)
①
\(a_{i1}\): 1º elemento della riga \(i\) di A
\(\times\)
②
\(b_{1j}\): 1º elemento della colonna \(j\) di B
\(+ \cdots +\)
\(a_{in}\): \(n\)-esimo elemento della riga \(i\) di A
\(\times\)
\(b_{nj}\): \(n\)-esimo elemento della colonna \(j\) di B
La formula a parole
①
Accoppia gli
\(a_{i1}, \dots, a_{in}\): elementi della riga \(i\) di A
con gli
②
\(b_{1j}, \dots, b_{nj}\): elementi della colonna \(j\) di B
dall’inizio in ordine, moltiplica ogni coppia e somma tutti i prodotti, e ottieni
③
\(c_{ij}\): elemento della riga \(i\), colonna \(j\) del prodotto \(AB\)
Un esempio semplice
L’elemento (1 ; 1) di AB è il prodotto scalare della «riga 1 di A» per la «colonna 1 di B». Per esempio,
\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)
L’idea chiave
Il prodotto \(AB\) si può calcolare (è definito) solo quando «colonne di A = righe di B». Il prodotto di una matrice \(m \times n\) per una matrice \(n \times p\) è una matrice \(m \times p\).
Inoltre, a differenza dei numeri ordinari, non si può scambiare l’ordine (\(AB\) e \(BA\) in generale non sono uguali, e a volte è definito solo uno dei due).
Trasposta (si scambiano righe e colonne)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
\((A^{T})_{ij}\)
\(=\)
\(a_{ji}\)
②
elemento della riga \(i\), colonna \(j\) della trasposta \(A^{T}\)
\(=\)
①
\(a_{ji}\): elemento della riga \(j\), colonna \(i\) di A
La formula a parole
①
Scambiando righe e colonne,
\(a_{ji}\): elemento della riga \(j\), colonna \(i\) di A
diventa
②
l’elemento della riga \(i\), colonna \(j\) della trasposta \(A^{T}\)
Un esempio semplice
Trasponendo una matrice 2×3, la riga 1 diventa la colonna 1 e la riga 2 diventa la colonna 2, e si ottiene una matrice 3×2
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)
L’idea chiave
Oltre a \(A^{T}\), la trasposta si scrive anche \({}^{t}A\) (come in molti libri di testo italiani) o \(A^{\top}\). Trasponendo due volte si torna all’originale (\((A^{T})^{T} = A\)).
Potenze (si moltiplica più volte la stessa matrice quadrata)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
\(A^{n}\)
\(=\)
\(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)
②
\(A^{n}\): matrice \(A\) elevata alla \(n\)
\(=\)
①
\(n\) copie della matrice quadrata \(A\) moltiplicate tra loro
La formula a parole
①
\(n\) copie della matrice quadrata \(A\) moltiplicate tra loro
danno
②
\(A^{n}\): matrice \(A\) elevata alla \(n\)
(si calcola in ordine da sinistra: \(A^{2}=AA\), \(A^{3}=A^{2}A\) e così via)
Un esempio semplice
Il cubo di \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) richiede due moltiplicazioni:
\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
L’idea chiave
Le potenze esistono solo per le matrici quadrate (righe = colonne). Se la matrice non è quadrata, la condizione per il prodotto \(AA\), «colonne di A = righe di A», non può essere soddisfatta.
Nota anche che non si elevano a \(n\) i singoli elementi: si ripete la moltiplicazione di matrici \(n-1\) volte.
Somma e sottrazione di matrici funzionano «elemento per elemento nella stessa posizione», e la moltiplicazione si costruisce dal «prodotto scalare di una riga di A per una colonna di B» (prodotto righe per colonne). La moltiplicazione è definita solo quando «colonne di A = righe di B», e la grande differenza rispetto ai numeri ordinari è che scambiare l’ordine di solito cambia il risultato.
Simboli e termini
Simboli
| \(A,\ B\) | A, B | Nomi dati alle matrici. Per convenzione, le matrici si indicano con lettere maiuscole. |
| \(a_{ij}\) | a i j | L’elemento della matrice \(A\) nella riga \(i\), colonna \(j\) (il numero nella \(i\)-esima riga dall’alto e nella \(j\)-esima colonna da sinistra). Le piccole lettere in basso a destra (i pedici) indicano la sua posizione. |
| \(b_{ij}\) | b i j | L’elemento della matrice \(B\) nella riga \(i\), colonna \(j\). Si legge come \(a_{ij}\); cambia solo il nome della matrice. |
| \(m \times n\) | m per n | La dimensione (l’ordine) di una matrice: \(m\) righe (file orizzontali) e \(n\) colonne (file verticali). (Esempio: una matrice 2×3 ha 2 numeri in verticale e 3 in orizzontale, 6 numeri in tutto.) |
| \(c_{ij}\) | c i j | Quando il prodotto \(AB\) si chiama \(C\), l’elemento di \(C\) nella riga \(i\), colonna \(j\). |
| \(A^{T}\) | A trasposta | La trasposta di \(A\): la matrice con righe e colonne scambiate. Si scrive anche \({}^{t}A\) o \(A^{\top}\). |
| \(A^{n}\) | A alla n | La matrice ottenuta moltiplicando \(n\) copie di \(A\). È definita solo per le matrici quadrate. |
| \(\sum\) | sommatoria | Il segno per «somma tutto». \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) dice di sommare \(a_{ik} b_{kj}\) per ogni \(k\) da 1 a \(n\). |
Termini
| matrice | Numeri disposti in un rettangolo (righe e colonne). Ogni numero si chiama elemento. Come in un foglio di calcolo, una posizione si indica con «quale riga e quale colonna». |
| riga | Una fila orizzontale di numeri in una matrice. Le righe si contano dall’alto: riga 1, riga 2 e così via. Pensa alle righe di un quaderno. |
| colonna | Una fila verticale di numeri in una matrice. Le colonne si contano da sinistra: colonna 1, colonna 2 e così via. Pensa alle colonne di un edificio, che stanno in verticale. |
| elemento | Ogni numero di una matrice. Si chiama anche entrata. L’elemento nella riga \(i\), colonna \(j\) si scrive con i pedici, come \(a_{ij}\). |
| matrice quadrata | Una matrice con lo stesso numero di righe e di colonne (a forma di quadrato). Le potenze, come anche i determinanti e le inverse (non trattati in questa pagina), esistono solo per le matrici quadrate. |
| matrice trasposta | La matrice con righe e colonne scambiate. La trasposta di una matrice \(m \times n\) è una matrice \(n \times m\). |
| prodotto scalare | Il valore che si ottiene accoppiando due elenchi di numeri dall’inizio, moltiplicando ogni coppia e sommando tutti i prodotti. Nella moltiplicazione di matrici, il prodotto scalare di una riga di A per una colonna di B dà un elemento del prodotto. |
| algebra lineare | Il ramo della matematica che si occupa di matrici e vettori. All’università è spesso un corso obbligatorio del primo o del secondo anno ed è la base della computer grafica, della statistica, dell’intelligenza artificiale e altro. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
| Operazioni con i numeri relativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Lettere e pedici (scuola secondaria di primo e di secondo grado) |
|
| Potenze (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Righe e colonne di una tabella (scuola primaria) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare la somma A + B
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 |
| Riga 2 della matrice A | 3 | 4 |
| Riga 1 della matrice B | 5 | 6 |
| Riga 2 della matrice B | 7 | 8 |
| Riga 1 di A + B | =B1+B3 | =C1+C3 |
| Riga 2 di A + B | =B2+B4 | =C2+C4 |
Tabella per ricavare la differenza A − B
| Riga 1 della matrice A | 9 | 8 |
| Riga 2 della matrice A | 7 | 6 |
| Riga 1 della matrice B | 1 | 2 |
| Riga 2 della matrice B | 3 | 4 |
| Riga 1 di A − B | =B1-B3 | =C1-C3 |
| Riga 2 di A − B | =B2-B4 | =C2-C4 |
Tabella per ricavare il prodotto AB
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 |
| Riga 2 della matrice A | 3 | 4 |
| Riga 1 della matrice B | 2 | 0 |
| Riga 2 della matrice B | 1 | 2 |
| AB (si espande dalla riga 1 in automatico) | =MATR.PRODOTTO(B1:C2;B3:C4) |
Tabella per ricavare la trasposta Aᵀ
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 | 3 |
| Riga 2 della matrice A | 4 | 5 | 6 |
| Aᵀ (si espande dalla riga 1 in automatico) | =MATR.TRASPOSTA(B1:D2) |
Tabella per ricavare la potenza A³
| Riga 1 della matrice A | 1 | 1 |
| Riga 2 della matrice A | 0 | 1 |
| A³ (si espande dalla riga 1 in automatico) | =MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO(B1:C2;B1:C2);B1:C2) |
Per somma e sottrazione basta combinare le celle nella stessa posizione, come in «=B1+B3» (nella prima tabella A + B dà 6, 8, 10, 12).
Per il prodotto usa la funzione MATR.PRODOTTO e per la trasposta la funzione MATR.TRASPOSTA. In Excel recente (come Microsoft 365) il risultato si espande da solo nelle celle vicine (spill). Nella terza tabella AB dà 4, 4, 10, 8 e nella quinta tabella A³ dà 1, 3, 0, 1.
Nelle versioni di Excel più vecchie, seleziona prima un intervallo della stessa dimensione del risultato, scrivi la formula e conferma con Ctrl+Maiusc+Invio.
Per il prodotto usa la funzione MATR.PRODOTTO e per la trasposta la funzione MATR.TRASPOSTA. In Excel recente (come Microsoft 365) il risultato si espande da solo nelle celle vicine (spill). Nella terza tabella AB dà 4, 4, 10, 8 e nella quinta tabella A³ dà 1, 3, 0, 1.
Nelle versioni di Excel più vecchie, seleziona prima un intervallo della stessa dimensione del risultato, scrivi la formula e conferma con Ctrl+Maiusc+Invio.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare la somma A + B
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 |
| Riga 2 della matrice A | 3 | 4 |
| Riga 1 della matrice B | 5 | 6 |
| Riga 2 della matrice B | 7 | 8 |
| Riga 1 di A + B | =B1+B3 | =C1+C3 |
| Riga 2 di A + B | =B2+B4 | =C2+C4 |
Tabella per ricavare il prodotto AB
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 |
| Riga 2 della matrice A | 3 | 4 |
| Riga 1 della matrice B | 2 | 0 |
| Riga 2 della matrice B | 1 | 2 |
| AB (si espande dalla riga 1 in automatico) | =MATR.PRODOTTO(B1:C2;B3:C4) |
Tabella per ricavare la trasposta Aᵀ
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 | 3 |
| Riga 2 della matrice A | 4 | 5 | 6 |
| Aᵀ (si espande dalla riga 1 in automatico) | =MATR.TRASPOSTA(B1:D2) |
Tabella per ricavare la potenza A³
| Riga 1 della matrice A | 1 | 1 |
| Riga 2 della matrice A | 0 | 1 |
| A³ (si espande dalla riga 1 in automatico) | =MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO(B1:C2;B1:C2);B1:C2) |
Valgono le stesse funzioni MATR.PRODOTTO e MATR.TRASPOSTA di Excel. Copia l’intera tabella e incollala nella cella A1.
In Fogli Google i risultati di MATR.PRODOTTO e MATR.TRASPOSTA si espandono da soli nelle celle vicine (senza bisogno di Ctrl+Maiusc+Invio).
In Fogli Google i risultati di MATR.PRODOTTO e MATR.TRASPOSTA si espandono da soli nelle celle vicine (senza bisogno di Ctrl+Maiusc+Invio).
Come calcolarlo con Python
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]
def matrix_add(x, y): # addizione (si sommano gli elementi nella stessa posizione)
return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]
def matrix_multiply(x, y): # moltiplicazione (prodotto scalare di una riga di A per una colonna di B)
return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]
def matrix_transpose(x): # trasposta (si scambiano righe e colonne)
return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]
def matrix_power(x, n): # potenza (si moltiplica n volte in ordine da sinistra)
result = x
for _ in range(n - 1):
result = matrix_multiply(result, x)
return result
print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("Trasposta di A =", matrix_transpose(A))
print("A al cubo =", matrix_power(A, 3))
Funziona con la sola libreria standard. Sostituisci A e B in alto con le tue matrici ed esegui il codice (per la sottrazione basta cambiare il «+» di matrix_add in «-»). Per il calcolo numerico serio, la scelta standard è NumPy, una libreria fatta per le matrici (la moltiplicazione si scrive «A @ B»).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Addizione e sottrazione (elemento per elemento nella stessa posizione)
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)
A + B
C := A + B;
C = A + B;
(A + B)_ij = a_ij + b_ij
Moltiplicazione (prodotto righe per colonne: prodotto scalare di una riga di A per una colonna di B)
cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
<msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)
A . B
C := A . B;
C = A * B;
c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj
Trasposta (si scambiano righe e colonne)
(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
(A^{T})_{ij} = a_{ji}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
(A^T)_(ij) = a_(ji)
Transpose[A]
C := LinearAlgebra:-Transpose(A);
C = A.';
(A^T)_ij = a_ji
Potenze (si moltiplica più volte la stessa matrice quadrata)
Aⁿ = AA⋯A
A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi><mi>A</mi><mo>⋯</mo><mi>A</mi>
</mrow>
</math>
A^n
MatrixPower[A, n]
C := A^n;
C = A^n;
A^n
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo con le matrici. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Per le matrici A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[2, 0], [1, 2]], trova ciascuna delle matrici seguenti. 1. La somma A + B 2. La differenza A − B 3. Il prodotto AB 4. La trasposta di A 5. A al cubo (A alla terza potenza) Per ognuna mostra la formula che hai usato (quali elementi hai combinato e come) e la matrice risultante dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Una pagina gemella in cui imparare i calcoli con le proprietà delle potenze, passo dopo passo
