Calcolatrice del massimo comun divisore (MCD)

Scrivi 2 o più numeri interi separati da punto e virgola ( ; ). Puoi trovare il MCD di 3 o più insieme, e vengono mostrate anche la scomposizione in fattori primi di ogni numero e i fattori primi in comune.

Numeri interi (separati da punto e virgola)

Scrivi solo numeri interi maggiori o uguali a 1, separati da punto e virgola (per esempio 12 ; 18). Non si possono usare 0, numeri negativi e numeri decimali.

Risultato

Scrivi i numeri interi separati da punto e virgola nel campo a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formula
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi dei numeri interi separati da punto e virgola e ottieni subito il massimo comun divisore (MCD)
Non solo 2 numeri: trovi il MCD di 3 o più insieme, come «16 ; 88 ; 104»
Vengono mostrate anche la scomposizione in fattori primi di ogni numero e i fattori primi in comune, così impari anche come trovare e controllare la risposta
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python

Si possono usare solo numeri interi maggiori o uguali a 1 (interi positivi). Questa pagina non tratta 0, numeri negativi e numeri decimali.

A cosa serve questo calcolo?

Semplificare una frazione (l’uso più familiare)

Per semplificare \(\frac{12}{18}\) dividi numeratore e denominatore per il loro MCD, 6, e ottieni \(\frac{2}{3}\) in un solo passaggio.
Invece di dividere per 2, poi per 3 e così via, il MCD porta la frazione ai minimi termini in una volta. Dalla matematica della scuola al lavoro di tutti i giorni, è l’uso più comune del MCD.

Dividere le cose in gruppi uguali senza che ne avanzino (feste e distribuzioni)

Vuoi mettere 24 caramelle e 36 cioccolatini nel maggior numero possibile di sacchetti identici, senza che ne avanzino. Il massimo numero di sacchetti è \(\mathrm{MCD}(24, 36) = 12\), con 2 caramelle e 3 cioccolatini in ciascuno.
Preparare i sacchetti dei premi per una festa di scuola o mettere il materiale in kit uguali: è il calcolo standard per dividere tipi diversi di oggetti in gruppi uguali.

Posare piastrelle e tagliare la carta (fai da te e progettazione)

Per coprire un pavimento di 330 cm × 450 cm con piastrelle quadrate, senza fessure e senza tagli, la piastrella più grande che puoi usare è \(\mathrm{MCD}(330, 450) = 30\), cioè quadrata da 30 cm (11 file da 15 piastrelle).
Dividere un rettangolo nei quadrati più grandi possibili serve per piastrellare pavimenti e pareti e per ritagliare da un grande foglio di carta dei cartoncini uguali senza sprechi.

Progettare gli ingranaggi (macchine e orologi)

Se il numero dei denti di due ruote dentate che ingranano ha un MCD grande, gli stessi denti si urtano sempre di nuovo e si consumano in modo irregolare. Per questo nella progettazione delle macchine una regola di base è rendere i numeri dei denti il più possibile primi tra loro (MCD uguale a 1).
Gli ingranaggi delle auto e degli orologi usano questa idea di tenere piccolo il MCD.

La crittografia che protegge internet

La crittografia RSA, usata per gli acquisti online e per l’home banking, deve verificare se due numeri sono primi tra loro mentre crea le sue chiavi, e l’algoritmo di Euclide fa proprio questo lavoro.
Un metodo per il MCD di più di 2000 anni fa oggi protegge le comunicazioni in tutto il mondo. Mostra quanto può essere longeva la matematica.

Formula

Con la scomposizione in fattori primi (il metodo di base)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{MCD}(a,\ b)\) \(=\) \(p_1 \times p_2 \times \cdots\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(\mathrm{MCD}(a, b)\): MCD di \(a\) e \(b\) \(=\) ① prodotto di tutti i fattori primi in comune

La formula a parole

① Scrivi entrambi i numeri come prodotto di numeri primi e moltiplica tutti i \(p_1, p_2, \ldots\): fattori primi in comune

② per ottenere il \(\mathrm{MCD}(a, b)\): massimo comun divisore

Un esempio semplice

Il MCD di 12 e 18 (12 = 2 × 2 × 3 e 18 = 2 × 3 × 3, quindi hanno in comune un 2 e un 3) è

MCD di 12 e 18 \(=\) prodotto dei fattori primi in comune (2 e 3)

\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)

\(\mathrm{MCD}(12,\ 18) = 2 \times 3 = 6\)

L’idea chiave

I fattori primi di un numero intero sono i numeri primi che ottieni quando lo scomponi in un prodotto di soli numeri primi. Se lo stesso numero primo compare più volte in entrambi i numeri, lo usi tante volte quante compare nel numero che ne ha meno copie. Per esempio, 8 = 2 × 2 × 2 e 12 = 2 × 2 × 3: il 2 compare 3 volte in 8 e 2 volte in 12, quindi ne hanno in comune 2. Perciò \(\mathrm{MCD}(8, 12) = 2 \times 2 = 4\).

L’algoritmo di Euclide (il metodo per i numeri grandi)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{MCD}(a,\ b)\) \(=\) \(\mathrm{MCD}(b,\ a \bmod b)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(\mathrm{MCD}(a, b)\): MCD di \(a\) e \(b\) \(=\) ① MCD di «il numero più piccolo \(b\)» e «il resto di \(a \div b\)»

La formula a parole

① Dividi il numero più grande per quello più piccolo e sostituisci la coppia con la coppia «numero più piccolo \(b\)» e «resto \(a \bmod b\)»

② e il \(\mathrm{MCD}(a, b)\): massimo comun divisore resta lo stesso. I numeri diventano sempre più piccoli e, quando il resto diventa 0, il numero per cui hai diviso è il MCD

Un esempio semplice

Il MCD di 48 e 18 (48 ÷ 18 = 2 con resto 12) è

MCD di 48 e 18 \(=\) MCD di «18» e «resto 12»

\(48 = 18 \times 2 + 12\)

\(18 = 12 \times 1 + 6\)

\(12 = 6 \times 2 + 0\)

\(\mathrm{MCD}(48,\ 18) = 6\)

L’idea chiave

La scomposizione in fattori primi diventa di colpo difficile quando i numeri crescono (prova a scomporre un numero come 134221: in realtà è 79 × 1699). Con l’algoritmo di Euclide ripeti solo «dividi e prendi il resto», e arrivi sempre al MCD, per quanto grandi siano i numeri. Il metodo compare negli «Elementi» di Euclide, intorno al III secolo a.C., ed è spesso chiamato il più antico algoritmo del mondo.

MCD di 3 o più numeri

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{MCD}(a,\ b,\ c)\) \(=\) \(\mathrm{MCD}(\) \(\mathrm{MCD}(a,\ b)\) \(,\) \(c\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\mathrm{MCD}(a, b, c)\): MCD dei tre numeri \(=\) \(\mathrm{MCD}(\) ① MCD di \(a\) e \(b\), trovato per primo \(,\) ② \(c\): il numero che resta \()\)

La formula a parole

① Trova prima il \(\mathrm{MCD}(a, b)\): MCD di due dei numeri

② poi trova il MCD di quel risultato e di \(c\): il numero che resta

③ per ottenere il \(\mathrm{MCD}(a, b, c)\): MCD dei tre numeri

Un esempio semplice

Il MCD di 16, 88 e 104 (prima, il MCD di 16 e 88 è 8) è

MCD di 16, 88 e 104 \(=\) \(\mathrm{MCD}(\) MCD di 16 e 88 (8) \(,\) numero che resta (104) \()\)

\(\mathrm{MCD}(16,\ 88) = 8\)

\(\mathrm{MCD}(8,\ 104) = 8\)

\(\mathrm{MCD}(16,\ 88,\ 104) = 8\)

L’idea chiave

Per quanti numeri interi ci siano, trovare il MCD due alla volta dà il MCD di tutti. Funziona allo stesso modo per 4 o più numeri e cambiare l’ordine non cambia la risposta. Anche la calcolatrice di questa pagina lavora sui numeri due alla volta, proprio come in questa formula.

Il rapporto tra il MCD e il mcm

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{MCD}(a,\ b)\) \(\times\) \(\mathrm{mcm}(a,\ b)\) \(=\) \(a \times b\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(\mathrm{MCD}(a, b)\): massimo comun divisore \(\times\) ② \(\mathrm{mcm}(a, b)\): minimo comune multiplo \(=\) ③ \(a \times b\): prodotto dei due numeri

La formula a parole

① Moltiplica il \(\mathrm{MCD}(a, b)\): massimo comun divisore

② per il \(\mathrm{mcm}(a, b)\): minimo comune multiplo

③ e ottieni sempre il \(a \times b\): prodotto dei due numeri

Un esempio semplice

Per 12 e 18 (MCD 6, mcm 36):

MCD (6) \(\times\) mcm (36) \(=\) prodotto dei due numeri (12 × 18)

\(6 \times 36 = 216\)

\(12 \times 18 = 216\)

L’idea chiave

Con questa relazione, una volta noto il MCD puoi trovare il mcm come \(\mathrm{mcm}(a, b) = a \times b \div \mathrm{MCD}(a, b)\) (per numeri grandi è più affidabile che scrivere i multipli). Attenzione: questa relazione vale così com’è solo per due numeri. Per 3 o più numeri in generale non vale.

Il massimo comun divisore è il più grande numero intero positivo che divide esattamente tutti i numeri. Per numeri piccoli, moltiplica i fattori primi che hanno in comune. Per numeri grandi usa l’algoritmo di Euclide, che continua a sostituire la coppia con il resto.

Simboli e termini

Simboli

\(\mathrm{MCD}(a, b)\)	MCD di a e b	Il massimo comun divisore di \(a\) e \(b\). Si scrive anche M.C.D. e, nei testi internazionali, gcd (dall’inglese «greatest common divisor»); in inglese si dice anche «greatest common factor» (GCF), che è esattamente la stessa cosa.
\(a \bmod b\)	a modulo b	Il resto della divisione di \(a\) per \(b\). (Esempio: \(48 \bmod 18 = 12\), perché 48 ÷ 18 = 2 con resto 12)
\(\mathrm{mcm}(a, b)\)	mcm di a e b	Il minimo comune multiplo di \(a\) e \(b\). Si scrive anche m.c.m. e, nei testi internazionali, lcm. (Esempio: \(\mathrm{mcm}(12, 18) = 36\))
\(p_1, p_2, \ldots\)	p uno, p due, e così via	I fattori primi in comune messi in ordine. I piccoli numeri in basso (i pedici) indicano solo primo, secondo e così via. Non si usano nel calcolo.
\(\cdots\)	puntini (puntini di sospensione)	Un simbolo che vuol dire «e così via, con lo stesso schema». Qui mostra che i fattori primi si moltiplicano allo stesso modo, quanti siano.

Termini

divisore	Un numero intero positivo che divide esattamente un numero intero. 12 ha 6 divisori - 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
divisore comune	Un divisore in comune a due o più numeri interi. I divisori comuni di 12 e 18 sono 1, 2, 3 e 6. Ogni divisore comune è un divisore del massimo comun divisore (qui 6).
massimo comun divisore (MCD)	Il più grande dei divisori comuni. A scuola in Italia si chiama massimo comun divisore (MCD). In inglese si dice greatest common divisor (GCD) o greatest common factor (GCF): sono lo stesso numero.
numero primo	Un numero intero maggiore o uguale a 2 che ha come divisori solo 1 e se stesso - 2, 3, 5, 7, 11, 13, … L’1 non è un numero primo.
scomposizione in fattori primi	Scrivere un numero intero come prodotto di soli numeri primi. (Esempio: \(12 = 2 \times 2 \times 3\)) Ogni numero primo usato si chiama fattore primo.
primi tra loro	Si dice di due numeri interi il cui MCD è 1 (il loro unico divisore comune è 1). Come 17 e 13, non hanno nessun fattore primo in comune.
algoritmo di Euclide	Un modo per trovare il MCD ripetendo «dividi il numero più grande per quello più piccolo e sostituisci la coppia con il numero più piccolo e il resto». Si incontra di solito nella scuola secondaria di secondo grado. Noto fin dall’antichità, è spesso chiamato il più antico algoritmo del mondo.
minimo comune multiplo (mcm)	Il più piccolo numero intero positivo che è multiplo di due o più numeri interi. Si usa per trovare il denominatore comune delle frazioni. Per due numeri vale \(\mathrm{MCD}(a, b) \times \mathrm{mcm}(a, b) = a \times b\).

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare questi argomenti è la strada più rapida.

Tabelline e divisione con il resto (classi 3ª–4ª della primaria, 8-10 anni)	Saper distinguere «divide esattamente» da «ha un resto» Saper fare una divisione con il resto, come 48 ÷ 18 = 2 con resto 12
Divisori e divisori comuni (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Saper scrivere tutti i divisori di 12 - 1, 2, 3, 4, 6, 12 Saper trovare i divisori che due numeri hanno in comune (divisori comuni)
Semplificazione di frazioni (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero non cambia il valore di una frazione
Numeri primi e scomposizione in fattori primi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper riconoscere i numeri primi (numeri senza divisori oltre a 1 e a se stessi) Saper scomporre un numero intero in un prodotto di numeri primi, come in \(12 = 2 \times 2 \times 3\)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il MCD di due numeri

Primo numero a	12
Secondo numero b	18
MCD(a; b)	=MCD(B1;B2)

Tabella per trovare il MCD di 3 o più numeri

Numero 1	16
Numero 2	88
Numero 3	104
MCD	=MCD(B1:B3)

Tabella per controllare l’algoritmo di Euclide

Numero più grande a	48
Numero più piccolo b	18
Resto di a ÷ b (a mod b)	=RESTO(B1;B2)
MCD(a; b)	=MCD(B1;B2)
MCD(b; resto) (uguale a quello sopra)	=MCD(B2;B3)

Tabella per controllare MCD × mcm = prodotto dei due numeri

Primo numero a	12
Secondo numero b	18
MCD(a; b)	=MCD(B1;B2)
mcm(a; b)	=MCM(B1;B2)
MCD × mcm	=B3*B4
a × b (uguale a quello sopra)	=B1*B2

Excel ha già la funzione MCD per il massimo comun divisore. «=MCD(B1;B2)» dà il MCD dei valori in B1 e B2, quindi la prima tabella mostra 6 in B3.
Con un intervallo, come «=MCD(B1:B3)» nella seconda tabella, trovi il MCD di 3 o più numeri in una volta (B4 mostra 8).
La terza tabella controlla l’algoritmo di Euclide. Con la funzione RESTO puoi verificare che MCD(a; b) e MCD(b; resto) sono lo stesso valore (entrambi 6).
Nella quarta tabella, MCD × mcm e a × b fanno entrambi 216, il che conferma il rapporto con il mcm. Basta sostituire i numeri di partenza con i tuoi.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il MCD di due numeri

Primo numero a	12
Secondo numero b	18
MCD(a; b)	=MCD(B1;B2)

Tabella per trovare il MCD di 3 o più numeri

Numero 1	16
Numero 2	88
Numero 3	104
MCD	=MCD(B1:B3)

Tabella per controllare l’algoritmo di Euclide

Numero più grande a	48
Numero più piccolo b	18
Resto di a ÷ b (a mod b)	=RESTO(B1;B2)
MCD(a; b)	=MCD(B1;B2)
MCD(b; resto) (uguale a quello sopra)	=MCD(B2;B3)

Tabella per controllare MCD × mcm = prodotto dei due numeri

Primo numero a	12
Secondo numero b	18
MCD(a; b)	=MCD(B1;B2)
mcm(a; b)	=MCM(B1;B2)
MCD × mcm	=B3*B4
a × b (uguale a quello sopra)	=B1*B2

Fogli Google ha le funzioni MCD, MCM e RESTO con gli stessi nomi di Excel in italiano, quindi le stesse formule funzionano così come sono.
Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri di partenza con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

from math import gcd
from functools import reduce

numbers = [330, 75, 450, 225]  # numeri interi di cui trovare il MCD (quanti vuoi)

greatest_common_divisor = reduce(gcd, numbers)  # applica gcd due alla volta dall’inizio

print(f"MCD di {numbers}: {greatest_common_divisor}")

Funziona solo con la libreria standard. math.gcd trova il MCD di due numeri interi e reduce si occupa della parte «due alla volta». Sostituisci la lista all’inizio con i tuoi numeri ed esegui il codice (questo esempio stampa 15).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Con la scomposizione in fattori primi (il metodo di base)

MCD(a, b) = p₁ × p₂ × ⋯

\mathrm{MCD}(a, b) = p_1 \times p_2 \times \cdots

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
  </mrow>
</math>

MCD(a, b) = p_1 xx p_2 xx cdots

GCD[a, b]

igcd(a, b);

g = gcd(a, b);

MCD(a, b) = p_1 × p_2 × ⋯

L’algoritmo di Euclide (il metodo per i numeri grandi)

MCD(a, b) = MCD(b, a mod b)

\mathrm{MCD}(a, b) = \mathrm{MCD}(b,\ a \bmod b)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>b</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

MCD(a, b) = MCD(b, a mod b)

GCD[a, b] == GCD[b, Mod[a, b]]

igcd(a, b) = igcd(b, a mod b);

gcd(a, b) == gcd(b, mod(a, b))

MCD(a, b) = MCD(b, a mod b)

MCD di 3 o più numeri

MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c)

\mathrm{MCD}(a, b, c) = \mathrm{MCD}(\mathrm{MCD}(a, b),\ c)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>,</mo><mi>c</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c)

GCD[a, b, c]

igcd(igcd(a, b), c);

g = gcd(gcd(a, b), c);

MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c)

Il rapporto tra il MCD e il mcm

MCD(a, b) × mcm(a, b) = a × b

\mathrm{MCD}(a, b) \times \mathrm{mcm}(a, b) = a \times b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>MCD</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>mcm</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

MCD(a, b) xx mcm(a, b) = a xx b

GCD[a, b]*LCM[a, b] == a*b

igcd(a, b)*ilcm(a, b) = a*b;

gcd(a, b)*lcm(a, b) == a*b

MCD(a, b) × mcm(a, b) = a × b

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per i calcoli con i numeri interi. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente né a occhio).

Per i quattro numeri interi 330, 75, 450 e 225, trova ciascuno di questi valori:
1. Il massimo comun divisore (MCD) dei quattro numeri
2. La scomposizione in fattori primi di ogni numero
3. I fattori primi che tutti e quattro i numeri hanno in comune

Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula