Calcolo del periodo di recupero (semplice e attualizzato)

Scegli come inserire i flussi di cassa (costanti o irregolari), poi inserisci l’investimento iniziale e i flussi di cassa. Ottieni in quanti anni rientri dell’investimento (periodo di recupero), più il periodo di recupero attualizzato e il tasso di rendimento dei flussi di cassa, che tengono conto del valore del denaro nel tempo.

Inserimento del flusso di cassa

Investimento iniziale (€)

Tasso di sconto (%)

Flusso di cassa del 1º anno (€)

Variazione annua

Tasso di variazione (% all’anno)

Numero di anni

Scrivi gli importi in euro come semplici numeri. Inserisci l’investimento iniziale come importo positivo (viene trattato internamente come un’uscita negativa). In modalità irregolare, lascia vuoto un anno o scrivi 0 se in quell’anno non si muove denaro, e scrivi un importo negativo (per esempio -5000) per un anno con una spesa extra.

Risultato e grafico

Inserisci a sinistra l’investimento iniziale e i flussi di cassa e premi «Calcola». Qui compaiono il risultato, un grafico e una tabella anno per anno.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafici
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Dall’investimento iniziale e dal flusso di cassa del primo anno (il denaro incassato in quell’anno) ricava il periodo di recupero: quanti anni servono per riavere l’investimento iniziale
Funziona sia se il flusso di cassa è uguale ogni anno, sia se cresce o cala di una percentuale fissa ogni anno (modalità flusso di cassa costante)
Se gli importi cambiano da un anno all’altro, inseriscili un anno alla volta (modalità flusso di cassa irregolare, fino a 20 anni)
Inserisci un tasso di sconto per ottenere anche il periodo di recupero attualizzato, che tiene conto del valore del denaro nel tempo. Il tasso di rendimento dei flussi di cassa (il tasso annuo, uguale al TIR) si calcola qualunque sia il tasso di sconto
Mostra anche una tabella anno per anno (flusso di cassa cumulato, prima e dopo l’attualizzazione) e un grafico del punto in cui il flusso di cassa cumulato attraversa la linea dello 0 €

Il periodo di recupero qui è un calcolo matematico che ignora costi e imposte. Non è una raccomandazione di alcun investimento. Nella modalità flusso di cassa costante, il punto a metà anno si ricava trattando la crescita o il calo come una variazione continua (lo stesso metodo delle comuni calcolatrici online del payback).

A cosa serve questo calcolo?

Quanti anni servono perché un nuovo macchinario si ripaghi (regole aziendali)

«Un macchinario da 400.000 € ridurrà i costi di 150.000 € all’anno.» Il periodo di recupero è \(400.000 \div 150.000 \approx 2{,}7\) anni. Molte aziende fissano una regola interna come «approva se rientra entro 3 anni», e il periodo di recupero è il primo esame che una proposta deve superare. È un argomento standard non solo per finanza e pianificazione, ma anche quando chi lavora in produzione propone nuovi macchinari.
I flussi di cassa futuri sono solo stime, quindi una buona prassi è calcolare anche con numeri prudenti.

Se pannelli solari o interventi di risparmio energetico si ripagano entro la loro vita

Se un impianto fotovoltaico domestico costa 10.000 € e fa risparmiare 1000 € all’anno in bolletta, il periodo di recupero è \(10.000 \div 1.000 = 10\) anni (eventuali detrazioni fiscali o incentivi riducono il costo netto: verificali caso per caso). Si dice che i pannelli solari durino da 25 a 30 anni, quindi una domanda chiave è se il periodo di recupero sia ben dentro quella durata. Si possono confrontare allo stesso modo l’isolamento, una pompa di calore o uno scaldabagno ad alta efficienza.
Il prezzo dell’elettricità e i ricavi dall’energia immessa in rete cambiano nel tempo, quindi prova a inserire un tasso di variazione per vedere quanto contano questi cambi di ipotesi.

Rientrare dei costi di avvio di un negozio o di un’attività in franchising

Quando apri un ristorante o un’attività in franchising, «in quanti anni rientro dei costi di avvio» è un numero centrale del piano d’impresa. Per esempio, con 500.000 € di costi di avvio e 125.000 € all’anno di flusso di cassa previsto (ciò che resta delle vendite dopo le spese), il periodo di recupero è 4 anni.
Subito dopo l’apertura è difficile prevedere quanti clienti arriveranno, quindi la modalità irregolare aiuta: puoi inserire un importo più piccolo per il 1º anno e importi più grandi dal 2º anno in poi.

Convenienza di software e strumenti di automazione

Per software gestionali o strumenti di automazione, trasformare il beneficio in un periodo di recupero rende la decisione più facile: «60.000 € per installarlo, fa risparmiare 30.000 € all’anno di tempo del personale, quindi il periodo di recupero è 2 anni». La tecnologia cambia in fretta e uno strumento può non restare in uso a lungo, quindi un recupero rapido vuol dire direttamente meno rischio.
Questo modo di ragionare è comune anche nel business case che scrivi quando chiedi l’approvazione di un budget.

Come misura del rischio (dove il periodo di recupero aiuta e dove no)

Il punto di forza del periodo di recupero è che riassume in un solo numero «quanto è breve il periodo incerto». Nei settori in cui tecnologia e tendenze cambiano in fretta, le stime sul futuro lontano sono inaffidabili, quindi un recupero rapido è apprezzato.
D’altra parte il periodo di recupero ha debolezze note: ignora il denaro guadagnato dopo il recupero e ignora il valore del denaro nel tempo. Un investimento che rientra in 5 anni e poi continua a rendere per altri 10 perde contro uno che rientra in 3 anni e poi finisce. Per questo, nella pratica, l’approccio standard è combinarlo con il periodo di recupero attualizzato, il VAN e il TIR.

Formule e grafici

Periodo di recupero (stesso importo ogni anno)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(PP\) \(=\) \(I\) \(\div\) \(CF\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(PP\): periodo di recupero (anni) \(=\) ① \(I\): investimento iniziale \(\div\) ② \(CF\): flusso di cassa annuo

La formula a parole

① Prendi \(I\): investimento iniziale

② dividilo per il \(CF\): flusso di cassa annuo

③ e ottieni \(PP\): periodo di recupero

Un esempio semplice

Se un macchinario da 100.000 € fa risparmiare 20.000 € ogni anno, il periodo di recupero è (in migliaia di €)

\(PP\): periodo di recupero \(=\) investimento iniziale (100.000 €) \(\div\) flusso di cassa annuo (20.000 €)

\(100 \div 20 = 5\)

L’idea chiave

Il periodo di recupero è il numero di anni che servono perché il denaro pagato all’inizio ritorni, cioè il tempo che serve per arrivare al punto di pareggio. Più è breve, prima rientri del denaro e più breve è il periodo di attesa incerto. Per questo si usa come misura rapida del rischio di un investimento. Però ignora quanto guadagni dopo il recupero e il valore del denaro nel tempo, quindi la prassi è usarlo insieme a VAN e TIR.

Flusso di cassa di ogni anno quando cresce o cala

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(CF_n\) \(=\) \(CF_1\) \(\times\) \((1 \pm g)\) \(n-1\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(CF_n\): flusso di cassa dell’anno \(n\) \(=\) ① \(CF_1\): flusso di cassa del 1º anno \(\times\) ② \((1 \pm g)\): fattore di crescita di 1 anno ③ \((n-1)\): anni trascorsi

La formula a parole

① Prendi \(CF_1\): flusso di cassa del 1º anno

② moltiplicalo per \((1 \pm g)\): fattore di crescita di 1 anno (\(g\) è il tasso di variazione: usa \(1+g\) per la crescita e \(1-g\) per il calo) una volta per ciascuno dei

③ \((n-1)\): anni trascorsi

④ e ottieni \(CF_n\): flusso di cassa dell’anno \(n\)

Un esempio semplice

Se il 1º anno porta 30.000 € e cresce del 5% ogni anno, il flusso di cassa del 3º anno è (in migliaia di €)

\(CF_3\): flusso di cassa del 3º anno \(=\) flusso di cassa del 1º anno (30.000 €) \(\times\) fattore di crescita (1,05) anni trascorsi (2)

\(30 \times 1{,}05 \times 1{,}05 = 33{,}075\)

L’idea chiave

«Cresce del 5% ogni anno» significa moltiplicare per 1,05 l’importo dell’anno prima, più e più volte. Il 1º anno resta com’è, il 2º anno si moltiplica una volta, il 3º due volte e così via. Nota che il numero di moltiplicazioni è il numero di anni trascorsi, \(n-1\). La modalità flusso di cassa costante di questa calcolatrice usa questa formula per ricavare l’importo di ogni anno e costruire la tabella anno per anno.

Flusso di cassa attualizzato (il denaro futuro al valore di oggi)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(DCF_n\) \(=\) \(CF_n\) \(\div\) \((1+r)\) \(n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(DCF_n\): flusso di cassa attualizzato dell’anno \(n\) \(=\) ① \(CF_n\): flusso di cassa dell’anno \(n\) \(\div\) ② \((1+r)\): fattore di sconto di 1 anno ③ \(n\): anni trascorsi

La formula a parole

① Prendi \(CF_n\): flusso di cassa dell’anno \(n\)

② e dividilo per il \((1+r)\): fattore di sconto di 1 anno (\(r\) è il tasso di sconto) elevato a

③ \(n\): anni trascorsi

④ per ottenere il \(DCF_n\): flusso di cassa attualizzato dell’anno \(n\)

Un esempio semplice

A un tasso di sconto del 10%, il flusso di cassa attualizzato di 12.100 € incassati tra 2 anni è (in migliaia di €)

\(DCF_2\): flusso di cassa attualizzato \(=\) denaro tra 2 anni (12.100 €) \(\div\) fattore di sconto (1,1) anni trascorsi (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(12{,}1 \div 1{,}21 = 10\)

L’idea chiave

Il denaro ha un valore nel tempo. Se puoi ottenere il 10% all’anno, «10.000 € oggi» e «12.100 € tra 2 anni» valgono uguale. Trasformare così il denaro futuro nel suo valore di oggi si chiama attualizzazione, e il periodo di recupero calcolato con il denaro attualizzato è il periodo di recupero attualizzato. Poiché l’attualizzazione fa contare meno ogni importo futuro, il periodo di recupero attualizzato è sempre più lungo del normale periodo di recupero.

Periodo di recupero da una tabella (flussi di cassa irregolari)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(PP\) \(=\) \(k\) \(+\) \(R\) \(\div\) \(CF_{k+1}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(PP\): periodo di recupero (anni) \(=\) ① \(k\): anni interi prima del recupero \(+\) ② \(R\): somma ancora da recuperare alla fine dell’anno \(k\) \(\div\) ③ \(CF_{k+1}\): flusso di cassa dell’anno dopo

La formula a parole

① Al \(k\): anni interi prima del recupero (l’ultimo anno in cui il flusso di cassa netto cumulato è ancora negativo),

② aggiungi il \(R\): somma ancora da recuperare

③ diviso per il \(CF_{k+1}\): flusso di cassa dell’anno dopo (la frazione di quell’anno che serve per finire di rientrare),

④ e ottieni \(PP\): periodo di recupero

Un esempio semplice

Se alla fine del 3º anno restano da recuperare 3500 € e nel 4º anno entrano 4000 €, il periodo di recupero è (in migliaia di €)

\(PP\): periodo di recupero \(=\) anni interi prima (3) \(+\) ancora da recuperare (3500 €) \(\div\) flusso di cassa dell’anno dopo (4000 €)

\(3 + 3{,}5 \div 4 = 3 + 0{,}875 = 3{,}875\)

L’idea chiave

Quando gli importi cambiano da un anno all’altro, somma il denaro incassato un anno alla volta, meno l’investimento iniziale (il flusso di cassa netto cumulato), e cerca l’anno in cui passa da negativo a positivo. All’interno di quell’anno supponi che il denaro dell’anno dopo arrivi in modo uniforme durante l’anno e dividilo in proporzione (interpolazione lineare). La modalità flusso di cassa irregolare di questa calcolatrice è esattamente questa formula. Il periodo di recupero attualizzato fa la stessa cosa con il flusso di cassa attualizzato cumulato. La modalità flusso di cassa costante (con un tasso di variazione) usa un’approssimazione che tratta la crescita o il calo come una variazione continua all’interno di ogni anno, quindi il suo risultato può differire un po’ nelle ultime cifre decimali da un calcolo a mano con questa formula.

Periodo di recupero attualizzato (formula chiusa per lo stesso importo ogni anno)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(DPP\) \(=\) \(-\ln\!\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+r)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(DPP\): periodo di recupero attualizzato (anni) \(=\) ① meno il logaritmo naturale \(\ln\) di 1 − (investimento iniziale \(I\) × tasso di sconto \(r\) ÷ flusso di cassa annuo \(CF\)) \(\div\) ② il logaritmo naturale \(\ln\) di (1 + tasso di sconto \(r\))

La formula a parole

① Prendi logaritmo naturale \(\ln\) con il segno meno di 1 − (investimento iniziale × tasso di sconto ÷ flusso di cassa annuo),

② dividilo per il logaritmo naturale \(\ln\) di (1 + tasso di sconto)

③ e ottieni \(DPP\): periodo di recupero attualizzato

Un esempio semplice

Per un investimento di 100.000 € che porta 30.000 € ogni anno, a un tasso di sconto del 10%, il periodo di recupero attualizzato è (in migliaia di €)

\(DPP\): periodo di recupero attualizzato \(=\) −ln(1 − 100 × 0,1 ÷ 30) \(\div\) ln(1,1)

\(1 - \dfrac{100 \times 0{,}1}{30} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)

\(-\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 0{,}40547\)

\(\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531\)

\(0{,}40547 \div 0{,}09531 \approx 4{,}254\)

L’idea chiave

\(\ln\) è il logaritmo naturale (un tipo di logaritmo che dice a quale potenza si arriva a un numero) e lo trovi con il tasto ln di una calcolatrice scientifica o con la funzione LN di Excel. Il normale periodo di recupero dello stesso esempio è \(100 \div 30 \approx 3{,}333\) anni, quindi tenere conto di un tasso di sconto del 10% ritarda il recupero di circa 0,9 anni. Questa formula vale per lo stesso importo ogni anno. Quando l’importo cresce o cala, questa calcolatrice tratta la variazione come continua e usa una versione più generale di questa formula (con un tasso di variazione dello 0% dà lo stesso risultato di questa formula).

Il periodo di recupero, cioè quanti anni servono per riavere l’investimento iniziale, è il metro più semplice per un investimento. Se l’importo è uguale ogni anno, è «investimento iniziale ÷ flusso di cassa annuo». Se gli importi cambiano, cerca il punto in cui il flusso di cassa netto cumulato arriva a 0 €. Per tenere conto del valore del denaro nel tempo, usa il periodo di recupero attualizzato e, per vedere quanto guadagni dopo il recupero, combinalo con VAN e TIR.

Simboli e termini

Simboli

\(PP\)	P P (periodo di recupero)	Periodo di recupero. Il numero di anni fino a quando l’investimento iniziale rientra, cioè fino a quando il flusso di cassa netto cumulato arriva a 0 €. (Esempio: un investimento da 100.000 € che restituisce 20.000 € ogni anno ha un periodo di recupero di 5 anni)
\(DPP\)	D P P (periodo di recupero attualizzato)	Periodo di recupero attualizzato. Il periodo di recupero calcolato dopo aver trasformato il denaro futuro nel suo valore di oggi con il tasso di sconto. È sempre più lungo del normale periodo di recupero.
\(I\)	I	L’investimento iniziale, il denaro pagato all’inizio. In questa calcolatrice lo inserisci come importo positivo e viene trattato internamente come un’uscita negativa nell’anno 0.
\(CF\), \(CF_n\)	C F, C F con n	Flusso di cassa, il denaro incassato in un anno. \(CF_n\) è il flusso di cassa dell’anno \(n\). Un valore negativo è una spesa extra in quell’anno.
\(DCF_n\)	D C F con n	Flusso di cassa attualizzato dell’anno \(n\). Il denaro dell’anno \(n\) convertito nel suo valore di oggi.
\(g\)	g	Il tasso di variazione annuo del flusso di cassa. Se cresce del 5% ogni anno, \(g=0{,}05\) e l’importo di ogni anno è \((1+g)\) volte quello dell’anno prima.
\(r\)	r	Il tasso di sconto, il tasso annuo usato per trasformare il denaro futuro nel suo valore di oggi. Di solito si usa il tasso del finanziamento o un rendimento obiettivo.
\(n\)	n	Il numero di anni trascorsi (che anno è). Il momento dell’investimento conta come anno 0.
\(k\)	k	Gli anni interi prima del recupero, l’ultimo anno in cui il flusso di cassa netto cumulato è ancora negativo.
\(R\)	R maiuscola	La somma ancora da recuperare alla fine dell’anno \(k\), la parte dell’investimento iniziale che non è ancora rientrata.
\(\ln\)	L N, logaritmo naturale	Il logaritmo naturale. Dice a quale potenza di \(e\) (circa 2,718) si arriva a quel numero. Lo trovi con il tasto ln di una calcolatrice scientifica o con la funzione LN di Excel. Compare nella formula chiusa del periodo di recupero attualizzato.

Termini

periodo di recupero	Il tempo che serve per riavere l’investimento iniziale. Più è breve, prima rientri del denaro e più breve è il periodo incerto, quindi il rischio si considera minore. Giudicare le alternative di investimento in base a quanto è breve il recupero si chiama metodo del periodo di recupero (payback).
punto di pareggio	Il punto in cui guadagni e perdite si bilanciano esattamente. Il periodo di recupero è il tempo che serve perché il flusso di cassa cumulato arrivi al punto di pareggio (0 €).
flusso di cassa	Denaro in entrata e in uscita. Il denaro incassato è un numero positivo e quello pagato è un numero negativo. Per il periodo di recupero conta quando e quanto denaro entra.
flusso di cassa netto cumulato	Il totale del denaro incassato finora meno l’investimento iniziale. Il momento in cui passa da negativo a positivo è il momento del recupero.
tasso di sconto	Il tasso annuo usato per trasformare il denaro futuro nel valore di oggi (per attualizzarlo). Per esempio, 11.000 € tra un anno, attualizzati al 10% annuo, valgono oggi 10.000 €.
DCF (flusso di cassa attualizzato)	Un flusso di cassa futuro convertito nel suo valore di oggi con il tasso di sconto. È anche la base del metodo DCF, un modo standard per valutare aziende e immobili.
periodo di recupero attualizzato	Il periodo di recupero calcolato con il flusso di cassa attualizzato cumulato. Poiché tiene conto del valore del denaro nel tempo, è sempre più lungo del normale periodo di recupero, e con un tasso di sconto alto l’investimento può non rientrare mai.
interpolazione lineare	Un modo di trovare un valore tra due punti trattando come retta la linea che li unisce. Per il periodo di recupero si suppone che il denaro dell’anno dopo arrivi in modo uniforme durante l’anno e si ricava in proporzione il punto di recupero all’interno dell’anno.
tasso di rendimento dei flussi di cassa	Il tasso di rendimento annuo a cui equivalgono tutti i flussi di cassa dell’investimento. È lo stesso calcolo del TIR (tasso interno di rendimento). Mostra in un solo numero non solo quanto in fretta rientri del denaro, ma anche quanto guadagni.
logaritmo naturale	Il logaritmo in base \(e\) (circa 2,718). \(\ln x\) dice a quale potenza di \(e\) si arriva a \(x\). Si studia alle superiori, ma una calcolatrice o Excel fanno il calcolo per te.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa si fa, e non solo premendo il pulsante.

Percentuali (classe 5ª della primaria, 10-11 anni)	Sapere che una percentuale si ricava come «parte ÷ totale» Saper passare da decimali a percentuali, come 0,05 e 5%
Numeri positivi e negativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Saper rappresentare un pagamento (denaro in uscita) come numero negativo Saper sommare numeri positivi e negativi e immaginare il momento in cui un totale parziale passa da negativo a positivo
Potenze (classe 2ª della secondaria di primo grado, 12-13 anni)	Sapere che una potenza è la moltiplicazione ripetuta dello stesso numero, come in \(1{,}05^2 = 1{,}05 \times 1{,}05\) Avere un’idea di come moltiplicare più volte per un numero maggiore di 1 faccia crescere, e per un numero minore di 1 faccia diminuire
Funzioni esponenziali e logaritmi (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che un logaritmo dice a quale potenza si arriva a un numero (si usa nella formula con \(\ln\) del periodo di recupero attualizzato; una calcolatrice lo fa per te)
Interesse composto e valore del denaro nel tempo (matematica e educazione finanziaria della secondaria di secondo grado)	Sapere che il denaro investito a un tasso annuo \(r\) si moltiplica per \((1+r)\) ogni anno Sapere che, al contrario, dividere il denaro futuro per \((1+r)\) lo trasforma nel suo valore di oggi (l’idea di attualizzazione e di valore attuale)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per ricavare il periodo di recupero (stesso importo ogni anno)

Investimento iniziale (€)	100000
Flusso di cassa annuo (€)	30000
Periodo di recupero (anni)	=B1/B2

Tabella per ricavare il flusso di cassa dell’anno n (in crescita o in calo)

Flusso di cassa del 1º anno (€)	30000
Tasso di variazione (%; scrivi un calo come negativo)	5
Anno n	3
Flusso di cassa dell’anno n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tabella per ricavare il flusso di cassa attualizzato

Denaro incassato nell’anno n (€)	12100
Tasso di sconto (%)	10
Anni trascorsi n	2
Flusso di cassa attualizzato (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabella per ricavare il periodo di recupero da una tabella (interpolazione lineare)

Anni interi prima del recupero k	3
Ancora da recuperare R (€)	3500
Flusso di cassa dell’anno dopo (€)	4000
Periodo di recupero (anni)	=B1+B2/B3

Tabella per ricavare il periodo di recupero attualizzato (stesso importo ogni anno, formula chiusa)

Investimento iniziale (€)	100000
Flusso di cassa annuo (€)	30000
Tasso di sconto (%)	10
Periodo di recupero attualizzato (anni)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

La prima tabella dà 100000 ÷ 30000, circa 3,33 anni. La seconda tabella dà 30000 × 1,05 × 1,05 = 33.075 €, e la terza dà esattamente 10.000 €.
La quarta tabella è il caso in cui dopo il 3º anno restano da recuperare 3500 € e nel 4º anno entrano 4000 €: 3 + 3500 ÷ 4000 = 3,875 anni.
La quinta tabella è la formula chiusa con la funzione LN (logaritmo naturale), che dà circa 4,254 anni. Sostituisci semplicemente i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per ricavare il periodo di recupero (stesso importo ogni anno)

Investimento iniziale (€)	100000
Flusso di cassa annuo (€)	30000
Periodo di recupero (anni)	=B1/B2

Tabella per ricavare il flusso di cassa dell’anno n (in crescita o in calo)

Flusso di cassa del 1º anno (€)	30000
Tasso di variazione (%; scrivi un calo come negativo)	5
Anno n	3
Flusso di cassa dell’anno n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tabella per ricavare il flusso di cassa attualizzato

Denaro incassato nell’anno n (€)	12100
Tasso di sconto (%)	10
Anni trascorsi n	2
Flusso di cassa attualizzato (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabella per ricavare il periodo di recupero da una tabella (interpolazione lineare)

Anni interi prima del recupero k	3
Ancora da recuperare R (€)	3500
Flusso di cassa dell’anno dopo (€)	4000
Periodo di recupero (anni)	=B1+B2/B3

Tabella per ricavare il periodo di recupero attualizzato (stesso importo ogni anno, formula chiusa)

Investimento iniziale (€)	100000
Flusso di cassa annuo (€)	30000
Tasso di sconto (%)	10
Periodo di recupero attualizzato (anni)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Le stesse formule e la stessa funzione LN di Excel funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

initial_investment = 100000                    # investimento iniziale (euro)
discount_rate = 0.10                           # tasso di sconto (all’anno; il 10% è 0.10)
cash_flows = [5000, 25000, 35000, 40000, 30000, 10000]   # flusso di cassa di ogni anno dall’anno 1 (euro)

# Periodo di recupero: trova il punto dell’anno in cui il flusso di cassa netto cumulato attraversa lo 0, con l’interpolazione lineare
def payback_period(investment, cfs):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        cumulative += cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / cf
    return None   # non rientra negli anni inseriti

# Periodo di recupero attualizzato: prima converti il denaro di ogni anno nel valore di oggi, poi fai lo stesso
def discounted_payback_period(investment, cfs, rate):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        discounted_cf = cf / (1 + rate) ** year
        cumulative += discounted_cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / discounted_cf
    return None

pp = payback_period(initial_investment, cash_flows)
dpp = discounted_payback_period(initial_investment, cash_flows, discount_rate)
print(f"Periodo di recupero: {pp:.3f} anni")
print(f"Periodo di recupero attualizzato: {dpp:.3f} anni")

Funziona con la sola libreria standard. Cambia in alto l’investimento iniziale, il tasso di sconto e l’elenco dei flussi di cassa, poi esegui il codice (l’esempio dà un periodo di recupero di 3,875 anni e un periodo di recupero attualizzato di 5,452 anni). È il metodo da manuale, che trova il punto dell’anno in cui il totale cumulato attraversa lo 0 con una divisione proporzionale (interpolazione lineare).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Periodo di recupero (stesso importo ogni anno)

PP = I ÷ CF

PP = \dfrac{I}{CF}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>I</mi>
      <mi>CF</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = I / (CF)

invest/cf

PP := invest/cf;

PP = invest/cf;

PP = I/CF

Flusso di cassa di ogni anno quando cresce o cala

CFₙ = CF₁ × (1 ± g)ⁿ⁻¹

CF_n = CF_1 \times (1 \pm g)^{n-1}

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      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

CF_n = CF_1 (1 +- g)^(n-1)

cf1*(1 + g)^(n - 1)

cfn := cf1*(1 + g)^(n - 1);

cfn = cf1*(1 + g)^(n - 1);

CF_n = CF_1 (1 ± g)^(n−1)

Flusso di cassa attualizzato (il denaro futuro al valore di oggi)

DCFₙ = CFₙ ÷ (1 + r)ⁿ

DCF_n = \dfrac{CF_n}{(1+r)^{n}}

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        <mi>n</mi>
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</math>

DCF_n = (CF_n) / ((1 + r)^n)

cfn/(1 + r)^n

DCFn := cfn/(1 + r)^n;

dcfn = cfn/(1 + r)^n;

DCF_n = CF_n/(1 + r)^n

Periodo di recupero da una tabella (flussi di cassa irregolari)

PP = k + R ÷ CFₖ₊₁

PP = k + \dfrac{R}{CF_{k+1}}

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    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
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      <mi>R</mi>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = k + R / (CF_(k+1))

k + rem/cfnext

PP := k + rem/cfnext;

PP = k + rem/cfnext;

PP = k + R/CF_(k+1)

Periodo di recupero attualizzato (formula chiusa per lo stesso importo ogni anno)

DPP = −ln(1 − I × r ÷ CF) ÷ ln(1 + r)

DPP = \dfrac{-\ln\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)}{\ln(1+r)}

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        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>ln</mi>
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          <mn>1</mn>
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          <mfrac>
            <mrow><mi>I</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>r</mi></mrow>
            <mi>CF</mi>
          </mfrac>
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        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

DPP = (-ln(1 - (I r) / (CF))) / (ln(1 + r))

-Log[1 - invest*r/cf]/Log[1 + r]

DPP := -ln(1 - invest*r/cf)/ln(1 + r);

DPP = -log(1 - invest*r/cf)/log(1 + r);

DPP = −ln(1 − I r/CF)/ln(1 + r)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per i calcoli sugli investimenti. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

Investo 100.000 € e ricevo questi flussi di cassa, a partire dal 1º anno: 5000 €, 25.000 €, 35.000 €, 40.000 €, 30.000 € e 10.000 €. Il tasso di sconto è il 10% all’anno.
Trova ciascuno dei valori seguenti:
1. Il periodo di recupero (anni, 3 decimali) = il punto in cui il flusso di cassa netto cumulato arriva a 0 € (interpolazione lineare tra i due punti in cui cambia il segno)
2. Il periodo di recupero attualizzato (anni, 3 decimali) = il punto trovato nello stesso modo dopo aver diviso il flusso di cassa di ogni anno per (1 + 0,1)^(numero dell’anno)
3. Il tasso di rendimento dei flussi di cassa (%, 2 decimali) = il TIR (tasso interno di rendimento) della serie (anno 0 = -100000, anni 1–6 = gli importi sopra)

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

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