Calcolatrice del modulo e del resto (a mod n, congruenze e potenze modulari)

Scegli una modalità e scrivi i numeri interi. «Resto» funziona anche con i numeri negativi e mostra come il resto matematico (0 o più) differisca dall’operatore % della programmazione.

Cosa calcolare

Numero intero a

Numero intero b (da confrontare)

Esponente k (potenza)

Modulo n (divisore)

Scrivi solo numeri interi (niente decimali né frazioni). a, b e n possono avere al massimo 30 cifre, l’esponente k è 0 o più con al massimo 9 cifre e il modulo n è 1 o più.

Risultato e figura

Scegli una modalità a sinistra, scrivi i numeri interi e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui (se il modulo n è tra 2 e 24, un quadrante di orologio mostra anche dove cade il resto).

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Trova il resto della divisione di un numero intero $a$ per $n$. Funziona anche con i numeri negativi (per esempio $-7$ diviso $3$): la pagina mostra il resto matematico ($0 \le r < n$) accanto al risultato dell’operatore % in C, Java, JavaScript e linguaggi simili (che può essere negativo)
Verifica se vale la congruenza $a \equiv b \pmod{n}$, con il motivo: se la differenza $a - b$ è un multiplo di $n$
Ottieni il resto esatto di una potenza enorme, come $7^{100}$ diviso $13$, con i passaggi del metodo dei quadrati ripetuti (i numeri troppo grandi per una calcolatrice normale non sono un problema)
Guarda il resto su un quadrante di orologio (il cerchio di mod $n$) e fatti un’idea di come i resti girino sempre sulle stesse posizioni (il quadrante compare quando il modulo $n$ è tra 2 e 24)
In questa pagina trovi anche la spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python

Il modulo $n$ è un numero intero maggiore o uguale a 1. Scrivi $a$, $b$ e $n$ con al massimo 30 cifre e l’esponente $k$ come numero intero maggiore o uguale a 0 con al massimo 9 cifre.

A cosa serve questo calcolo?

Calcoli con l’orologio e il calendario (che giorno della settimana sarà tra N giorni?)

Su un orologio a 12 ore, «le 14 sono le 2 del pomeriggio» è esattamente il calcolo del resto 14 mod 12 = 2. I giorni della settimana funzionano allo stesso modo, su un orologio che fa un giro ogni 7 giorni. Per esempio, se oggi è lunedì, poiché 100 mod 7 = 2, il giorno tra 100 giorni è «2 giorni dopo lunedì», cioè mercoledì.
Le agende di carta e le app di calendario collegano le date ai giorni della settimana con questo calcolo del resto.

Cifre di controllo che scoprono i numeri sbagliati (codici a barre, ISBN, IBAN)

L’ultima cifra del codice a barre di un prodotto (EAN-13) o dell’ISBN-13 di un libro è una cifra di controllo ricavata dalle altre cifre con un calcolo del resto. Per un EAN-13, per esempio, le cifre si moltiplicano alternativamente per 1 e per 3 e si sommano, e l’ultima cifra si sceglie in modo che il totale sia un multiplo di 10, cioè a partire dal resto di quel totale diviso 10. Anche i due caratteri di controllo dell’IBAN si calcolano con il resto di una divisione, per 97.
Se una cifra viene scritta male, il resto non torna più, quindi le casse dei negozi e i siti di acquisto possono accorgersi dell’errore subito. La cifra di controllo dei numeri delle carte di credito si basa sulla stessa idea.

La crittografia che protegge internet (RSA)

L’RSA, la crittografia a chiave pubblica più nota per inviare in sicurezza cose come i numeri delle carte di credito, usa direttamente nei suoi calcoli «il resto di una potenza enorme». Una potenza modulare si calcola in fretta, ma risalire dal risultato al numero di partenza è estremamente difficile. È questa proprietà a senso unico a renderla sicura.
Il metodo dei quadrati ripetuti, di cui la modalità «Potenza modulare» di questa pagina mostra i passaggi, è il calcolo che i programmi di crittografia eseguono ogni giorno.

Programmazione di tutti i giorni (pari o dispari, turni che girano in cerchio)

In programmazione l’operatore % si usa di continuo: i % 2 distingue pari e dispari, e i % n crea un ordine che ricomincia ogni n elementi (scegliere il giocatore successivo in un gioco a turni, tornare alla prima diapositiva dopo l’ultima, e così via).
Quando ci sono numeri negativi, % dà risultati diversi in linguaggi diversi, quindi conoscere la differenza tra «il resto matematico e % in C e Java» aiuta quando cerchi un errore.

Dividere in parti uguali e contare ciò che avanza (distribuire, imballare)

Dividi 63 matite in parti uguali tra 12 persone: ognuna ne riceve 5 e ne avanzano 3 (63 = 12 × 5 + 3). Mettere la merce nelle scatole (quante scatole piene da n e quanti pezzi avanzano), dividere le persone in gruppi per una festa: ogni situazione in cui «si divide in parti uguali e si guarda cosa avanza» è questo calcolo.
L’uguaglianza fondamentale della divisione a = n × q + r riunisce tutte queste situazioni di ogni giorno in un’unica formula.

Formule e figure

L’uguaglianza fondamentale della divisione (che cos’è un resto)

Quadrante dell’orologio (mod 12)

Notazione matematica (la notazione abituale)

$a$ $=$ $n$ $\times$ $q$ $+$ $r$

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ $a$: dividendo $=$ ① $n$: divisore (modulo) $\times$ ② $q$: quoziente $+$ ③ $r$: resto

La formula a parole

① Prendi il $n$: divisore (modulo)

② moltiplicalo per il $q$: quoziente

③ e aggiungi il $r$: resto (scelto in modo che $0 \le r < n$)

④ e ottieni di nuovo il $a$: dividendo . C’è un solo modo di scriverlo in questa forma, e $r$ è «il resto della divisione di $a$ per $n$» ($a \bmod n$)

Un esempio semplice

Dividi 38 per 12 (è lo stesso calcolo che trasforma «le 38» in «le 2» su un orologio)

dividendo 38 $=$ divisore 12 $\times$ quoziente 3 $+$ resto 2

$38 = 12 \times 3 + 2$

$38 \bmod 12 = 2$

L’idea chiave

In matematica il resto $r$ si sceglie sempre nell’intervallo $0 \le r < n$. Lo stesso vale per i numeri negativi. Per dividere $-7$ per $3$ si scrive $-7 = 3 \times (-3) + 2$: il quoziente si abbassa al numero intero più piccolo ($-3$) in modo che il resto sia $2$ (divisione per difetto). L’operatore % della programmazione, invece, funziona in modo diverso da un linguaggio all’altro. In C, Java e JavaScript, -7% 3 arrotonda il quoziente verso 0 (a $-2$), quindi il risultato è $-1$ (il resto ha il segno del dividendo). L’operatore % di Python e Ruby e la funzione RESTO di Excel danno al resto il segno del divisore, quindi restituiscono $2$, come in matematica. Nei programmi che trattano i resti di numeri negativi questa differenza è una fonte frequente di errori, quindi fai attenzione.

Definizione di congruenza (che cosa dice a ≡ b (mod n))

Notazione matematica (la notazione abituale)

$a - b$ $=$ $n$ $\times$ $m$

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ $a - b$: differenza dei due numeri interi $=$ ① $n$: modulo $\times$ ② $m$: un numero intero

La formula a parole

① Quando il $n$: modulo

② per $m$: un numero intero

③ è esattamente uguale alla $a - b$: differenza dei due numeri interi (cioè quando la differenza è un multiplo di $n$), si scrive $a \equiv b \pmod{n}$ e si dice che «$a$ e $b$ sono congruenti modulo $n$»

Un esempio semplice

38 e 14 sono congruenti modulo 12 ($38 \equiv 14 \pmod{12}$)

differenza (38 − 14 = 24) $=$ modulo 12 $\times$ numero intero 2

$38 - 14 = 24 = 12 \times 2$

$38 \equiv 14 \pmod{12}$

L’idea chiave

«La differenza è un multiplo di $n$» e «i resti della divisione per $n$ sono uguali» dicono la stessa cosa in due modi (infatti $38 \bmod 12 = 2$ e $14 \bmod 12 = 2$, quindi i resti coincidono). Per questo puoi leggere una congruenza come «un’uguaglianza che guarda solo i resti». Pensa a un orologio: l’ora 38, l’ora 14 e l’ora 2 indicano tutte lo stesso punto del quadrante. Il mondo di mod $n$ è un quadrante che fa un giro completo ogni $n$, e i numeri congruenti sono i numeri che cadono nello stesso punto di quel quadrante.

Moltiplicazione e resti (la base della potenza modulare)

Notazione matematica (la notazione abituale)

$(a \times b) \bmod n$ $=$ $\{(a \bmod n) \times (b \bmod n)\} \bmod n$

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② resto del prodotto $=$ ① resto dopo aver moltiplicato i due resti

La formula a parole

① Il resto dopo aver moltiplicato i due resti

② è uguale al resto del prodotto (puoi trasformare prima ogni numero nel suo resto e poi moltiplicare)

Un esempio semplice

Il resto di 38 × 15 diviso 12 si ricava dai soli due resti, 2 e 3

resto del prodotto (38 × 15 = 570) $=$ resto 2 × resto 3 = 6

$38 \bmod 12 = 2,\quad 15 \bmod 12 = 3$

$2 \times 3 = 6$

$(38 \times 15) \bmod 12 = 570 \bmod 12 = 6$

L’idea chiave

Grazie a questa proprietà non devi finire una grande moltiplicazione: puoi trasformare prima i numeri nei loro resti e moltiplicare quelli. Una potenza è una moltiplicazione ripetuta, quindi puoi trovare il resto di qualcosa come $7^{100}$ seguendo solo i resti, senza mai costruire il numero enorme. È la base del metodo dei quadrati ripetuti (elevare al quadrato più volte prendendo ogni volta il resto, scomporre l’esponente in una somma di potenze di 2 e moltiplicare i pezzi). La modalità «Potenza modulare» di questa calcolatrice mostra i suoi passaggi in questo modo. Inoltre una potenza ha solo $n$ possibili resti, quindi deve tornare a un resto già avuto e poi ripetersi in un ciclo. Per esempio, l’ultima cifra di $7^{k}$ (il suo resto mod $10$) gira in ordine su 7, 9, 3, 1. Trovare un ciclo di questo tipo è una tecnica classica nelle gare di matematica.

Proprietà delle congruenze (sommare, sottrarre e moltiplicare i due lati)

Notazione matematica (la notazione abituale)

$a + c$ $\equiv$ $b + d$ $\pmod{n}$

$a - c$ $\equiv$ $b - d$ $\pmod{n}$

$a \times c$ $\equiv$ $b \times d$ $\pmod{n}$

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① $a + c$: somma dei lati sinistri $\equiv$ ② $b + d$: somma dei lati destri $\pmod{n}$

$a - c$: differenza dei lati sinistri $\equiv$ $b - d$: differenza dei lati destri $\pmod{n}$

$a \times c$: prodotto dei lati sinistri $\equiv$ $b \times d$: prodotto dei lati destri $\pmod{n}$

La formula a parole

① Se $a \equiv b$ e $c \equiv d \pmod{n}$, allora la somma, differenza o prodotto dei lati sinistri

② resta congruente alla somma, differenza o prodotto dei lati destri (le congruenze si possono sommare, sottrarre e moltiplicare proprio come le normali uguaglianze)

Un esempio semplice

Usando $38 \equiv 2$ e $15 \equiv 3 \pmod{12}$:

38 + 15 = 53 $\equiv$ 2 + 3 = 5 $\pmod{12}$

$38 + 15 = 53 \equiv 5,\quad 2 + 3 = 5 \pmod{12}$

$38 \times 15 = 570 \equiv 6,\quad 2 \times 3 = 6 \pmod{12}$

L’idea chiave

Il bello di questa proprietà è che, anche con numeri grandi, puoi trasformarli prima nei loro resti e poi sommare, sottrarre o moltiplicare. L’unica cosa che non si può fare liberamente è la divisione. Per esempio, $6 \equiv 12 \pmod{6}$ è vera, ma dividendo entrambi i lati per 2 si ottiene $3 \equiv 6 \pmod{6}$, che è falsa (la differenza 3 non è un multiplo di 6). Puoi dividere entrambi i lati solo quando il numero per cui dividi e il modulo sono primi tra loro (il loro massimo comun divisore è 1).

Il resto della divisione di un numero intero $a$ per $n$ è l’$r$ dell’unico modo di scrivere $a = n \times q + r$ con $0 \le r < n$. La congruenza $a \equiv b \pmod{n}$ dice che la differenza tra $a$ e $b$ è un multiplo di $n$ (in altre parole, hanno lo stesso resto nella divisione per $n$), e le congruenze si possono sommare, sottrarre e moltiplicare proprio come le uguaglianze. Grazie a questo, anche il resto di una potenza enorme si trova in fretta con il metodo dei quadrati ripetuti, che segue solo i resti.

Simboli e termini

Simboli

$\equiv$	è congruente a	Il simbolo della congruenza. È un segno di uguale con tre linee invece di due e dice «uguali nel mondo dei resti», che è meno rigido di «esattamente uguali».
$\bmod$ (mod)	modulo	Abbreviazione di «modulo», dalla parola latina modulus (una piccola misura). «$a \bmod n$» significa «il resto della divisione di $a$ per $n$», e «$\pmod{n}$» scritto dopo un’uguaglianza dichiara «stiamo lavorando modulo $n$».
$a,\ b$	a, b	I numeri interi di cui guardi i resti. In una congruenza sono i due numeri interi a sinistra e a destra. Per i numeri fissi si usano per tradizione le lettere dell’inizio dell’alfabeto.
$n$	n	Il modulo (il numero per cui dividi). Si usa spesso la lettera $n$, da «numero». In questa pagina è un numero intero maggiore o uguale a 1.
$q$	q	Il quoziente, dall’iniziale di «quoziente». Quando si divide un numero negativo, il quoziente si abbassa al numero intero più piccolo in modo che il resto sia 0 o più (divisione per difetto).
$r$	r	Il resto, dall’iniziale di «resto». In matematica si sceglie sempre nell’intervallo $0 \le r < n$.
$m$	m	Il numero intero della definizione di congruenza che dice quante volte il modulo sta nella differenza. Può essere negativo o 0.
$a^{k}$	a alla k	$a$ moltiplicato per sé stesso $k$ volte (una potenza). Il piccolo numero $k$ in alto a destra è l’esponente e dice quante volte moltiplicare.
%	per cento (come operatore, modulo)	L’operatore modulo che trova un resto in molti linguaggi di programmazione. È lo stesso segno della percentuale ma ha un compito diverso. In C, Java e JavaScript il suo risultato per i numeri negativi può essere diverso dal resto matematico (vedi l’idea chiave della prima formula).

Termini

resto	Ciò che avanza quando una divisione non è esatta. In matematica è sempre almeno $0$ e minore del divisore. Si dice anche residuo.
quoziente	Il numero intero che dice quante volte il divisore può essere tolto. È il $q$ dell’uguaglianza fondamentale della divisione $a = n \times q + r$.
modulo	Il numero $n$ per cui dividi per ottenere i resti con cui lavori. Su un quadrante di orologio è il numero di tacche di un giro completo. «Modulo 12» è l’abbreviazione di «guardando i resti della divisione per 12».
congruente	Due numeri interi sono congruenti modulo $n$ quando hanno lo stesso resto nella divisione per $n$. È un termine che riguarda i numeri interi, diverso dalle figure congruenti della geometria (stessa forma e stessa misura).
congruenza	Un’affermazione della forma $a \equiv b \pmod{n}$. Le congruenze si possono sommare, sottrarre e moltiplicare proprio come le uguaglianze, quindi i problemi sui resti si risolvono riscrivendo. È uno strumento di base della teoria dei numeri, usato nelle gare di matematica e nell’informatica.
multiplo	Un numero che si ottiene moltiplicando un numero intero per un altro numero intero. «La differenza è un multiplo del modulo» è la definizione di congruenza.
divisione per difetto	Un modo di dividere che arrotonda il quoziente per difetto, al numero intero più piccolo. Quando il divisore è positivo, il resto è 0 o più anche per un dividendo negativo. L’operatore // di Python e la funzione INT di Excel funzionano così.
operatore modulo	L’operatore % che trova un resto in programmazione. C, Java e JavaScript arrotondano il quoziente verso 0 (il resto ha il segno del dividendo). Python e Ruby usano la divisione per difetto (il resto ha il segno del divisore, quindi è 0 o più quando il modulo è positivo).
metodo dei quadrati ripetuti	Un modo per trovare il resto di una potenza enorme con poche moltiplicazioni: si eleva al quadrato più volte prendendo il resto, si scompone l’esponente in una somma di potenze di 2 e si moltiplicano i pezzi. Si chiama anche elevamento a potenza per quadrati successivi (in inglese square-and-multiply) e si usa, tra le altre cose, nelle implementazioni della crittografia RSA.
classe di resto	L’idea di raggruppare i numeri interi in base al loro resto nella divisione per $n$. Nel mondo di mod $n$ ogni numero intero cade in uno degli $n$ gruppi, con resto da $0$ a $n-1$. I numeri pari e dispari sono il raggruppamento per resto nella divisione per 2.
periodicità	Il modo in cui i resti delle potenze ripetono lo stesso schema. Ci sono solo $n$ possibili resti, quindi devono tornare a uno già avuto. Trovare il ciclo nei problemi sull’ultima cifra (mod 10) è un classico delle gare di matematica.
primi tra loro	Due numeri interi sono primi tra loro (o coprimi) quando il loro massimo comun divisore è 1. Compare nella condizione per dividere entrambi i lati di una congruenza per lo stesso numero.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa stai facendo, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare questi argomenti è la via più rapida.

Divisione con resto (classi 3ª–4ª della primaria, 8-10 anni)	Saper calcolare $17 \div 5 = 3$ con resto $2$ Saper fare la verifica «divisore × quoziente + resto = dividendo»
Multipli e divisori (classe 5ª della primaria – classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Sapere che $24$ è un multiplo di $12$ Sapere che cos’è il massimo comun divisore (serve nella condizione «primi tra loro» per dividere una congruenza)
Numeri relativi, cioè positivi e negativi (classe 2ª della secondaria di primo grado, 12-13 anni)	Saper sommare, sottrarre e moltiplicare con i numeri negativi (per esempio $3 \times (-3) = -9$) Sapere che $-3$ è minore di $-2$ (sta alla sua sinistra) sulla retta dei numeri
Potenze ed esponenti (classe 1ª della secondaria di primo grado – biennio della secondaria di secondo grado, 11-16 anni)	Sapere che l’esponente scritto in alto indica quante volte si moltiplica, come in $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ Saper usare le proprietà delle potenze $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ e $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ (sono il motivo per cui funziona il metodo dei quadrati ripetuti)
La divisione tra numeri interi (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che dividendo un numero intero $a$ per un numero intero positivo $n$ si può scrivere $a = nq + r$ (con $0 \le r < n$) in un solo modo Aver incontrato l’idea di raggruppare i numeri interi in base ai loro resti (i numeri pari e dispari sono il raggruppamento per resto nella divisione per 2)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare a mod n (il resto)

Dividendo a	-7
Modulo (divisore) n	3
Resto matematico (0 o più)	=RESTO(B1;B2)
Quoziente (divisione per difetto)	=INT(B1/B2)
Verifica n × quoziente + resto	=B2*B4+B3
Resto in stile C/Java (arrotondato verso 0)	=B1-B2*TRONCA(B1/B2)

Tabella per verificare a ≡ b (mod n)

Numero intero a	38
Numero intero b	14
Modulo n	12
Differenza a − b	=B1-B2
Resto della differenza ÷ n	=RESTO(B4;B3)
Risultato (VERO = congruenti)	=RESTO(B4;B3)=0

Tabella per trovare una potenza mod n (metodo dei quadrati ripetuti)

Base a	7
Esponente k	100
Modulo n	13
Resto di a^1	=RESTO(B1;B3)
Resto di a^2 (elevare al quadrato la riga sopra e prendere il resto)	=RESTO(B4^2;$B$3)
Resto di a^4	=RESTO(B5^2;$B$3)
Resto di a^8	=RESTO(B6^2;$B$3)
Resto di a^16	=RESTO(B7^2;$B$3)
Resto di a^32	=RESTO(B8^2;$B$3)
Resto di a^64	=RESTO(B9^2;$B$3)
Resto combinato per 100 = 64 + 32 + 4	=RESTO(RESTO(B10B9;$B$3)B6;$B$3)

Dopo averla incollata, ti basta cambiare le righe in alto (i dati da inserire) e quelle in basso si calcolano da sole.
La funzione RESTO di Excel restituisce lo stesso «resto matematico» (0 o più) di questa calcolatrice. Anche per i numeri negativi, =RESTO(-7;3) dà 2. Se ti serve il resto in stile C/Java, usa l’ultima riga della prima tabella, che usa TRONCA per arrotondare il quoziente verso 0.
La prima tabella divide −7 per 3: il resto è 2 e il quoziente è −3.
La seconda tabella controlla 38 ≡ 14 (mod 12). Il resto della differenza 24 è 0, quindi mostra VERO (congruenti).
La terza tabella trova il resto di 7 alla 100 diviso 13 con il metodo dei quadrati ripetuti. La risposta è 9. «^» è il segno della potenza. Excel tratta in modo esatto solo circa 15 cifre, quindi quando il modulo n ha più di 7 cifre i quadrati perdono precisione. In quel caso usa la calcolatrice di questa pagina oppure Python.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare a mod n (il resto)

Dividendo a	-7
Modulo (divisore) n	3
Resto matematico (0 o più)	=RESTO(B1;B2)
Quoziente (divisione per difetto)	=INT(B1/B2)
Verifica n × quoziente + resto	=B2*B4+B3
Resto in stile C/Java (arrotondato verso 0)	=B1-B2*TRONCA(B1/B2)

Tabella per verificare a ≡ b (mod n)

Numero intero a	38
Numero intero b	14
Modulo n	12
Differenza a − b	=B1-B2
Resto della differenza ÷ n	=RESTO(B4;B3)
Risultato (VERO = congruenti)	=RESTO(B4;B3)=0

Tabella per trovare una potenza mod n (metodo dei quadrati ripetuti)

Base a	7
Esponente k	100
Modulo n	13
Resto di a^1	=RESTO(B1;B3)
Resto di a^2 (elevare al quadrato la riga sopra e prendere il resto)	=RESTO(B4^2;$B$3)
Resto di a^4	=RESTO(B5^2;$B$3)
Resto di a^8	=RESTO(B6^2;$B$3)
Resto di a^16	=RESTO(B7^2;$B$3)
Resto di a^32	=RESTO(B8^2;$B$3)
Resto di a^64	=RESTO(B9^2;$B$3)
Resto combinato per 100 = 64 + 32 + 4	=RESTO(RESTO(B10B9;$B$3)B6;$B$3)

Le stesse formule di Excel (RESTO, INT, TRONCA) funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i dati con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

a = -7
n = 3

# il % di Python restituisce lo stesso «resto matematico» di questa calcolatrice (0 o più quando il modulo è positivo)
print(a % n)                 # 2

# divmod restituisce insieme il quoziente per difetto e il resto (a = n × quoziente + resto)
quotient, remainder = divmod(a, n)
print(quotient, remainder)   # -3 2

# verifica di congruenza: vale 38 ≡ 14 (mod 12)? (si controlla se la differenza è un multiplo di 12)
print((38 - 14) % 12 == 0)   # True

# potenza modulare: resto di 7 alla 100 diviso 13
# pow con 3 argomenti usa il metodo dei quadrati ripetuti, quindi termina all’istante anche con esponenti enormi
print(pow(7, 100, 13))       # 9

def c_style_mod(x, m):
    # stesso risultato di % in C, Java e JavaScript (quoziente arrotondato verso 0)
    r = x % m
    if r != 0 and x < 0:
        r -= m
    return r

print(c_style_mod(-7, 3))    # -1

L’operatore % di Python coincide con il resto matematico. Quando il divisore è positivo restituisce un valore da 0 in su anche per i numeri negativi (-7% 3 vale 2). Per la potenza modulare, la forma con 3 argomenti pow(base, esponente, modulo) esegue al suo interno il metodo dei quadrati ripetuti, quindi trova in fretta solo il resto anche per potenze con decine di migliaia di cifre. Quando ti serve lo stesso risultato di % in C, Java e JavaScript, aggiungi una correzione che arrotonda il quoziente verso 0, come nell’ultima funzione.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

L’uguaglianza fondamentale della divisione (che cos’è un resto)

a = n × q + r (0 ≤ r < n)

a = nq + r \quad (0 \le r < n)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>q</mi><mo>+</mo><mi>r</mi>
    <mo>,</mo>
    <mn>0</mn><mo>&#x2264;</mo><mi>r</mi><mo>&lt;</mo><mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

a = n q + r, \ 0 <= r < n

{Quotient[a, n], Mod[a, n]}

q := floor(a/n); r := a mod n;

q = floor(a/n); r = mod(a, n);

a = nq + r (0 ≤ r < n)

Definizione di congruenza (che cosa dice a ≡ b (mod n))

a ≡ b (mod n)  ⇔  a − b = n × m

a \equiv b \pmod{n} \iff a - b = nm

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi>
    <mspace width="0.3em"/>
    <mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

a -= b (mod n) iff a - b = n m

Mod[a - b, n] == 0

(a - b) mod n = 0;

mod(a - b, n) == 0

a ≡ b (mod n)

Moltiplicazione e resti (la base della potenza modulare)

(a × b) mod n = {(a mod n) × (b mod n)} mod n

(a \times b) \bmod n = \{(a \bmod n)(b \bmod n)\} \bmod n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>{</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
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    <mo>(</mo><mi>b</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
    <mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Mod[a b, n] == Mod[Mod[a, n] Mod[b, n], n]

(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n;

mod(a*b, n) == mod(mod(a, n)*mod(b, n), n)

(a×b) mod n = ((a mod n)×(b mod n)) mod n

Proprietà delle congruenze (sommare, sottrarre e moltiplicare i due lati)

a ≡ b, c ≡ d (mod n) ⇒ a+c ≡ b+d, a−c ≡ b−d, a×c ≡ b×d (mod n)

a \equiv b,\ c \equiv d \pmod{n} \Rightarrow a + c \equiv b + d,\ a - c \equiv b - d,\ ac \equiv bd \pmod{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>d</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi>
    <mspace width="0.3em"/>
    <mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

a + c -= b + d, \ a - c -= b - d, \ a c -= b d (mod n)

Mod[a + c, n] == Mod[b + d, n] && Mod[a - c, n] == Mod[b - d, n] && Mod[a c, n] == Mod[b d, n]

(a + c) mod n = (b + d) mod n;

mod(a + c, n) == mod(b + d, n)

a + c ≡ b + d (mod n)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo di matematica (proprietà dei numeri interi). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a stima).

Calcola i 3 problemi seguenti.
1. Il resto matematico di −7 diviso 3 (scelto maggiore o uguale a 0) e il quoziente
2. Se vale 38 ≡ 14 (mod 12) (mostra anche se la differenza è un multiplo di 12)
3. Il resto di 7 alla 100 diviso 13 (usa pow(7, 100, 13))

Usa %, divmod e pow(base, esponente, modulo) di Python e mostra le formule usate e i numeri ottenuti dall’esecuzione.

Come si usa

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\(\equiv\)	è congruente a	Il simbolo della congruenza. È un segno di uguale con tre linee invece di due e dice «uguali nel mondo dei resti», che è meno rigido di «esattamente uguali».
\(\bmod\) (mod)	modulo	Abbreviazione di «modulo», dalla parola latina modulus (una piccola misura). «\(a \bmod n\)» significa «il resto della divisione di \(a\) per \(n\)», e «\(\pmod{n}\)» scritto dopo un’uguaglianza dichiara «stiamo lavorando modulo \(n\)».
\(a,\ b\)	a, b	I numeri interi di cui guardi i resti. In una congruenza sono i due numeri interi a sinistra e a destra. Per i numeri fissi si usano per tradizione le lettere dell’inizio dell’alfabeto.
\(n\)	n	Il modulo (il numero per cui dividi). Si usa spesso la lettera \(n\), da «numero». In questa pagina è un numero intero maggiore o uguale a 1.
\(q\)	q	Il quoziente, dall’iniziale di «quoziente». Quando si divide un numero negativo, il quoziente si abbassa al numero intero più piccolo in modo che il resto sia 0 o più (divisione per difetto).
\(r\)	r	Il resto, dall’iniziale di «resto». In matematica si sceglie sempre nell’intervallo \(0 \le r < n\).
\(m\)	m	Il numero intero della definizione di congruenza che dice quante volte il modulo sta nella differenza. Può essere negativo o 0.
\(a^{k}\)	a alla k	\(a\) moltiplicato per sé stesso \(k\) volte (una potenza). Il piccolo numero \(k\) in alto a destra è l’esponente e dice quante volte moltiplicare.
%	per cento (come operatore, modulo)	L’operatore modulo che trova un resto in molti linguaggi di programmazione. È lo stesso segno della percentuale ma ha un compito diverso. In C, Java e JavaScript il suo risultato per i numeri negativi può essere diverso dal resto matematico (vedi l’idea chiave della prima formula).

Divisione con resto (classi 3ª–4ª della primaria, 8-10 anni)	Saper calcolare \(17 \div 5 = 3\) con resto \(2\) Saper fare la verifica «divisore × quoziente + resto = dividendo»
Multipli e divisori (classe 5ª della primaria – classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Sapere che \(24\) è un multiplo di \(12\) Sapere che cos’è il massimo comun divisore (serve nella condizione «primi tra loro» per dividere una congruenza)
Numeri relativi, cioè positivi e negativi (classe 2ª della secondaria di primo grado, 12-13 anni)	Saper sommare, sottrarre e moltiplicare con i numeri negativi (per esempio \(3 \times (-3) = -9\)) Sapere che \(-3\) è minore di \(-2\) (sta alla sua sinistra) sulla retta dei numeri
Potenze ed esponenti (classe 1ª della secondaria di primo grado – biennio della secondaria di secondo grado, 11-16 anni)	Sapere che l’esponente scritto in alto indica quante volte si moltiplica, come in \(3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) Saper usare le proprietà delle potenze \(a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}\) e \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) (sono il motivo per cui funziona il metodo dei quadrati ripetuti)
La divisione tra numeri interi (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che dividendo un numero intero \(a\) per un numero intero positivo \(n\) si può scrivere \(a = nq + r\) (con \(0 \le r < n\)) in un solo modo Aver incontrato l’idea di raggruppare i numeri interi in base ai loro resti (i numeri pari e dispari sono il raggruppamento per resto nella divisione per 2)

Calcolatrice del modulo e del resto (a mod n, congruenze e potenze modulari)

Indice

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Termini

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Come si usa

I punti di forza di DataChef

Funzioni correlate

Calcolatrice di equazioni diofantee lineari ax + by = c (con i passaggi dell’algoritmo di Euclide)

Risolve ax + by = c nei numeri interi, con i passaggi dell’algoritmo di Euclide, la soluzione generale e le sole soluzioni positive

Calcolatrice del massimo comun divisore (MCD)

Calcola il massimo comun divisore di due o più numeri interi, con la spiegazione della scomposizione in fattori primi e dell’algoritmo di Euclide

Calcolatrice per divisioni in colonna con resto (passo passo)

Esegue divisioni tra numeri interi e decimali in colonna, con ogni passaggio spiegato (dividere, moltiplicare, sottrarre, abbassare la cifra)

Consigliato

Probabilità e numeri casuali

Medie e statistica

Percentuali e proporzioni

Velocità

Densità e concentrazione

Fisica ed elettricità

Conversione di unità

Numeri interi e relativi

Frazioni, decimali e arrotondamenti

Equazioni e disequazioni

Polinomi

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