Scrivi il primo termine a₁, il coefficiente p e la costante q della relazione di ricorrenza a(n+1) = p·a(n) + q. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i numeri direttamente al suo interno.
Scrivi solo numeri. Vanno bene decimali, numeri negativi e frazioni come 1/2. Se «Numero n del termine» è vuoto, viene considerato 10.
Risultato e grafico
Scrivi il primo termine e i coefficienti nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e un grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Relazione di ricorrenza del primo ordine
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L’equazione caratteristica e il valore di equilibrio
-
Riscrivere con il valore di equilibrio (per ottenere una progressione geometrica)
-
Termine generale (caso dell’equazione caratteristica)
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Caso \(p = 1\) (progressione aritmetica)
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Caso \(q = 0\) (progressione geometrica)
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-
Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Ricava il termine generale della relazione di ricorrenza del primo ordine \(a_{n+1} = p a_n + q\) (con primo termine \(a_1\)) sul momento, con i passaggi che usano l’equazione caratteristica per ricondurla a una progressione geometrica
- Le risposte sono frazioni esatte ridotte ai minimi termini, come \(\dfrac{381}{64}\). I casi particolari \(p = 1\) (progressione aritmetica) e \(q = 0\) (progressione geometrica) vengono gestiti in automatico
- Mostra anche il valore del termine nella posizione \(n\) che scegli (il termine \(n\)-esimo), più una tabella e un grafico dei termini da 1 a 10. Se la successione converge, ottieni anche il valore a cui si avvicina (il limite, che è il valore di equilibrio)
- Il primo termine e i coefficienti possono essere decimali, numeri negativi o frazioni come 1/2
- La calcolatrice mostra la relazione di ricorrenza proprio come la scriveresti a mano, e puoi modificare i numeri direttamente al suo interno
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina tratta la relazione di ricorrenza del primo ordine \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p\) e \(q\) sono costanti). Non tratta le forme che contengono \(n\), come \(a_{n+1} = a_n + n\), né le relazioni di ricorrenza del secondo ordine che contengono \(a_{n+2}\).
A cosa serve questo calcolo?
Seguire come scende ogni mese il debito residuo di un mutuo (denaro e progetti di vita)
Per un mutuo che addebita interessi ogni mese e si riduce con una rata fissa ogni mese, il debito residuo segue esattamente la relazione di ricorrenza del primo ordine «debito del mese dopo = (1 + tasso mensile) × debito di questo mese − rata mensile».
Per esempio, con un tasso mensile dello 0,25% (circa il 3% annuo) e una rata mensile di 750 €, il valore di equilibrio è 750 ÷ 0,0025 = 300.000 euro. È il debito per cui interessi e rata si equilibrano esattamente e il debito residuo smette di muoversi. Se il debito è inferiore, ogni rata lo fa certamente scendere (questa idea di equilibrio è alla base della pianificazione del rimborso).
Stimare a che livello si stabilizza la quantità di un farmaco assunto ogni giorno (medicina e farmacia)
Il corpo scompone ed elimina un farmaco a un ritmo costante nel tempo. In un modello in cui «dopo un giorno nel corpo resta il 50% del farmaco e ne assumi 200 mg ogni giorno», la quantità nel corpo segue la relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 200\) e converge al valore di equilibrio 200 ÷ (1 − 0,5) = 400 mg.
Questa formula mostra che, anche continuando ad assumerlo ogni giorno, il farmaco non si accumula all’infinito: si stabilizza su un livello costante. Nella progettazione reale dei farmaci, dosi e intervalli si fissano con modelli farmacocinetici che rendono questo tipo di calcolo più preciso.
Dove si ferma il numero di iscritti a un abbonamento (business)
Per un servizio in cui «il 90% degli iscritti resta ogni mese e si iscrivono 1000 nuove persone», il numero di iscritti segue la relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1000\) e converge al valore di equilibrio 1000 ÷ (1 − 0,9) = 10.000 persone.
Quindi, se le nuove iscrizioni e il tasso di abbandono restano gli stessi, il numero di iscritti si stabilizza intorno a 10.000. È un modello di base per la pianificazione aziendale, per stimare il tetto della crescita e di quanto sale quel tetto se si riduce il tasso di abbandono (una stima di massima che presuppone costanti il tasso di permanenza e le nuove iscrizioni).
Come si scalda una stanza con il riscaldamento acceso (vita quotidiana e fisica)
Quando scaldi una stanza fredda, la differenza tra la temperatura della stanza e quella impostata sul termostato si riduce di una percentuale costante ogni minuto. Per esempio, se «ogni minuto la differenza tra la temperatura della stanza e quella impostata di 25 °C si riduce del 10%», la temperatura della stanza segue la relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 2{,}5\) e converge al valore di equilibrio 2,5 ÷ 0,1 = 25 °C, la temperatura impostata sul termostato.
«All’inizio si scalda in fretta, poi più lentamente quando si avvicina alla temperatura impostata» è esattamente l’aspetto della convergenza per questa relazione di ricorrenza (in fisica è una versione minuto per minuto della legge del raffreddamento di Newton).
Scrivere come formula la crescita di un piano di accumulo (denaro e risparmio)
Il saldo di un piano di accumulo in cui «gli interessi si aggiungono a fine mese e versi anche una somma fissa ogni mese» segue lo stesso tipo di relazione di ricorrenza: «saldo del mese dopo = (1 + tasso mensile) × saldo di questo mese + versamento». Qui però il moltiplicatore è maggiore di 1, quindi non converge e il saldo continua a crescere (un esempio che diverge).
Trovare il termine generale permette di calcolare «il saldo dopo n mesi» in un solo passaggio. È la stessa cosa della formula del montante di una rendita usata nella matematica finanziaria. Le stime di quanto risparmierai si fanno con il termine generale di questa relazione di ricorrenza.
Formule e grafici
Relazione di ricorrenza del primo ordine
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(a_{n+1}\): termine successivo
\(=\)
②
\(p\): moltiplicatore
\(\times\)
①
\(a_n\): termine attuale
\(+\)
③
\(q\): numero da sommare
La formula a parole
①
Prendi
\(a_n\): termine attuale
, moltiplicalo per
②
\(p\): moltiplicatore
, somma
③
\(q\): numero da sommare
,
④
e ottieni
\(a_{n+1}\): termine successivo
Un esempio semplice
Con primo termine \(a_1 = 1\) e relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (si raddoppia il termine attuale e si somma 3), la successione comincia così
termine successivo
\(=\)
2
\(\times\)
termine attuale
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
L’idea chiave
Una relazione di ricorrenza è una regola che costruisce il termine successivo a partire da quello attuale. Con il primo termine \(a_1\) e la regola, tutta la successione \(a_2\), \(a_3\), … segue in ordine.
Ma per trovare il termine 100 in questo modo dovresti fare 99 calcoli. Per questo si cerca il termine generale, una formula che dà direttamente il termine \(n\)-esimo a partire da \(n\). Lo strumento per trovarlo è l’equazione caratteristica, spiegata subito dopo.
L’equazione caratteristica e il valore di equilibrio
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(c\): valore di equilibrio
\(=\)
①
\(q\): numero da sommare
\(\div\)
②
\(1 - p\): 1 meno il moltiplicatore \(p\)
La formula a parole
①
Sostituisci \(a_{n+1}\) e \(a_n\) nella relazione di ricorrenza con \(x\) e risolvi l’equazione \(x = px + q\) (l’equazione caratteristica). Dividi
\(q\): numero da sommare
per
②
\(1 - p\): 1 meno il moltiplicatore \(p\)
,
③
e ottieni
\(c\): valore di equilibrio
Un esempio semplice
L’equazione caratteristica della relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) è \(x = 2x + 3\). Risolvendola si ottiene
\(c\): valore di equilibrio
\(=\)
numero da sommare (3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
L’idea chiave
La soluzione \(c\) dell’equazione caratteristica \(x = px + q\) è un valore speciale: se un termine è uguale a lui, il termine successivo ha esattamente lo stesso valore (infatti \(c = pc + q\), quindi dopo \(c\) la successione resta ferma su \(c\)). Per questo il valore di equilibrio si chiama anche punto fisso della successione.
Puoi risolvere l’equazione portando i termini da una parte, oppure usare direttamente la formula \(c = \dfrac{q}{1-p}\). Poiché il denominatore è \(1 - p\), l’equazione caratteristica non funziona solo quando \(p = 1\) (quel caso è una progressione aritmetica, trattata in una scheda di formula a parte qui sotto).
Riscrivere con il valore di equilibrio (per ottenere una progressione geometrica)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(a_{n+1} - c\): scarto tra il termine successivo e il valore di equilibrio
\(=\)
②
\(p\): moltiplicatore
\(\times\)
①
\(a_n - c\): scarto tra il termine attuale e il valore di equilibrio
La formula a parole
①
Moltiplica
\(a_n - c\): scarto tra il termine attuale e il valore di equilibrio
per
②
\(p\): moltiplicatore
,
③
e ottieni
\(a_{n+1} - c\): scarto tra il termine successivo e il valore di equilibrio
(guardando solo gli scarti, formano una progressione geometrica di ragione \(p\))
Un esempio semplice
Riscrivendo la relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (valore di equilibrio \(c = -3\)) si ottiene
termine successivo \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
termine attuale \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16\)
L’idea chiave
Sottrai membro a membro l’equazione caratteristica \(c = pc + q\) dalla relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = p a_n + q\) (membro sinistro meno membro sinistro, membro destro meno membro destro). Il numero da sommare, \(q\), si cancella e resta solo \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\).
Quindi la successione degli scarti \(\{a_n - c\}\), cioè ogni termine meno il valore di equilibrio \(c\), è una progressione geometrica che a ogni passo si limita a moltiplicare per \(p\). Lo scopo di questa riscrittura è trasformare una relazione di ricorrenza difficile da trattare, perché mescola una somma, in una progressione geometrica che già conosci.
Nell’esempio \(c = -3\), quindi lo scarto è \(a_n - (-3) = a_n + 3\) e vale \(4,\ 8,\ 16,\ \dots\), cioè raddoppia a ogni passo, come previsto.
Termine generale (caso dell’equazione caratteristica)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (termine generale)
\(=\)
①
\(a_1 - c\): scarto tra il primo termine e il valore di equilibrio
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): il moltiplicatore \(p\) moltiplicato \(n-1\) volte
\(+\)
③
\(c\): valore di equilibrio
La formula a parole
①
Moltiplica
\(a_1 - c\): scarto tra il primo termine e il valore di equilibrio
per
②
\(p^{n-1}\): il moltiplicatore \(p\) moltiplicato \(n-1\) volte
, poi riaggiungi
③
\(c\): valore di equilibrio
,
④
e ottieni
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (termine generale)
Un esempio semplice
Con primo termine \(a_1 = 1\) e relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (valore di equilibrio \(c = -3\)), il termine generale è
termine \(n\)-esimo
\(=\)
scarto \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
valore di equilibrio \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
L’idea chiave
La progressione geometrica \(\{a_n - c\}\) ottenuta dalla riscrittura ha primo termine \(a_1 - c\) e ragione \(p\), quindi, per la formula del termine generale delle progressioni geometriche, \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\). Infine riaggiungi il \(c\) che avevi sottratto (portalo dall’altra parte) e ottieni questo termine generale.
Quando \(|p| < 1\) (\(p\) è compreso tra \(-1\) e \(1\)), \(p^{n-1}\) si avvicina a 0 al crescere di \(n\), quindi \(a_n\) si avvicina sempre di più al valore di equilibrio \(c\) (converge). Quando la successione converge, questa calcolatrice mostra \(c\) come limite.
Caso \(p = 1\) (progressione aritmetica)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (termine generale)
\(=\)
①
\(a_1\): primo termine
\(+\)
②
\((n-1)q\): la ragione \(q\) sommata \(n-1\) volte
La formula a parole
①
Quando \(p = 1\), la relazione di ricorrenza è \(a_{n+1} = a_n + q\) (si somma \(q\) a ogni passo). Quindi parti da
\(a_1\): primo termine
e aggiungi
②
\((n-1)q\): la ragione \(q\) sommata \(n-1\) volte
,
③
e ottieni
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (termine generale)
Un esempio semplice
Con primo termine \(a_1 = 5\) e relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = a_n + 3\) (una progressione aritmetica di ragione 3), il termine generale e il termine 4 sono
termine \(n\)-esimo
\(=\)
primo termine (5)
\(+\)
\(3\) sommato \(n-1\) volte
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
L’idea chiave
Quando \(p = 1\), il denominatore \(1 - p\) dell’equazione caratteristica diventa 0, quindi il valore di equilibrio non si può usare. In compenso la relazione di ricorrenza somma lo stesso numero \(q\) a ogni passo, quindi la successione è semplicemente una progressione aritmetica di ragione \(q\).
Dal termine 1 al termine \(n\) si somma \(q\) tante volte quanti sono gli intervalli tra i termini: \(n-1\) volte (dal termine 1 al termine 4 sono 3 volte; contare \(n\) volte è un errore frequente).
Caso \(q = 0\) (progressione geometrica)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (termine generale)
\(=\)
①
\(a_1\): primo termine
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): la ragione \(p\) moltiplicata \(n-1\) volte
La formula a parole
①
Quando \(q = 0\), la relazione di ricorrenza è \(a_{n+1} = p a_n\) (si moltiplica per \(p\) a ogni passo). Quindi parti da
\(a_1\): primo termine
e moltiplica per
②
\(p^{n-1}\): la ragione \(p\) moltiplicata \(n-1\) volte
,
③
e ottieni
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (termine generale)
Un esempio semplice
Con primo termine \(a_1 = 3\) e relazione di ricorrenza \(a_{n+1} = 2a_n\) (una progressione geometrica di ragione 2), il termine generale e il termine 4 sono
termine \(n\)-esimo
\(=\)
primo termine (3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
L’idea chiave
Quando \(q = 0\), la relazione di ricorrenza si limita a moltiplicare ogni volta per lo stesso numero \(p\), quindi la successione è semplicemente una progressione geometrica di ragione \(p\). Per lo stesso motivo del caso aritmetico, si moltiplica \(n-1\) volte.
In effetti, se nel termine generale del caso dell’equazione caratteristica poni \(q = 0\), il valore di equilibrio è \(c = 0\) e \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\). Quindi questa formula è un caso particolare di quella.
Per la relazione di ricorrenza del primo ordine \(a_{n+1} = p a_n + q\), si usa la soluzione dell’equazione caratteristica \(x = px + q\) (il valore di equilibrio \(c = \dfrac{q}{1-p}\)) per riscriverla come \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\). La successione degli scarti \(\{a_n - c\}\) è allora geometrica di ragione \(p\), e questo dà il termine generale \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\). Se \(p = 1\) è una progressione aritmetica; se \(q = 0\) è una progressione geometrica.
Simboli e termini
Simboli
| \(a_n\) | a enne | Il termine \(n\)-esimo della successione, contando dall’inizio. Per indicare le successioni si usa spesso la lettera \(a\) (si dice perché è la prima lettera dell’alfabeto). Il piccolo pedice \(n\) in basso a destra dice in quale posizione si trova. |
| \(a_{n+1}\) | a enne più uno | Il termine subito dopo il termine \(n\)-esimo, cioè il termine \(n+1\). In una relazione di ricorrenza ha il ruolo di «termine successivo a quello attuale \(a_n\)». |
| \(a_1\) | a uno | Il primo termine della successione. Una relazione di ricorrenza è una regola che costruisce il termine successivo da quello attuale, quindi la successione non è determinata finché non si fissa il punto di partenza, cioè il primo termine. |
| \(n\) | enne | Il numero d’ordine di un termine (a quale posto dall’inizio). Per convenzione si usa \(n\), da «numero». Assume i valori 1, 2, 3, … (numeri naturali). |
| \(p\) | pi | La costante per cui si moltiplica il termine attuale \(a_n\). Ha il ruolo della ragione di una progressione geometrica. Se è compresa tra \(-1\) e \(1\), la successione converge al valore di equilibrio. |
| \(q\) | cu | La costante che si somma dopo aver moltiplicato. Ha il ruolo della ragione di una progressione aritmetica. Per convenzione si usa \(q\) perché è la lettera dopo \(p\). |
| \(c\) | ci | La soluzione dell’equazione caratteristica \(x = px + q\) (il valore di equilibrio). La lettera \(c\) viene da «costante». È un valore speciale: quando un termine è uguale a lui, il termine successivo resta uguale. È anche il valore a cui arriva una successione convergente. |
| \(\{a_n\}\) | la successione a enne | Un modo di scrivere l’intera successione formata dai termini \(a_n\). Le parentesi graffe dicono «tutti insieme \(a_1, a_2, a_3, \dots\)». |
| \(p^{n-1}\) | pi alla enne meno uno | \(p\) moltiplicato per se stesso \(n-1\) volte (una potenza). Il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte si moltiplica. Dal termine 1 al termine \(n\) si moltiplica per la ragione \(n-1\) volte, ed è per questo che questa forma compare nel termine generale. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | limite di a enne per enne che tende a infinito | Il valore a cui si avvicina \(a_n\) quando \(n\) cresce senza limite (il limite). \(\lim\) sono le prime tre lettere di «limite». Questa calcolatrice mostra il limite quando la successione converge. |
Termini
| successione | Numeri messi in fila in un ordine preciso. Ogni numero si chiama termine e i termini si numerano, come in \(a_1, a_2, a_3, \dots\). |
| termine | Ognuno dei numeri di una successione. Quello nella posizione \(n\) dall’inizio si chiama termine \(n\)-esimo. |
| primo termine | Il primo termine \(a_1\) di una successione. È il punto di partenza quando una relazione di ricorrenza definisce una successione. |
| relazione di ricorrenza (formula ricorsiva) | Una formula che esprime la regola che costruisce il termine successivo da quello attuale. Per esempio, \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) è la regola «il termine successivo è il termine attuale raddoppiato, più 3». Insieme al primo termine, determina tutta la successione. |
| relazione di ricorrenza del primo ordine | Una relazione di ricorrenza scritta con soli due termini vicini (\(a_n\) e \(a_{n+1}\)). La \(a_{n+1} = p a_n + q\) di questa pagina è la forma tipica. Una con tre termini \(a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\) si chiama relazione di ricorrenza del secondo ordine e si risolve in un altro modo. |
| termine generale (formula esplicita) | Il termine \(n\)-esimo scritto direttamente come formula in \(n\). Per esempio, una volta ottenuto \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\), anche il termine 100 si ottiene in un solo passaggio: basta sostituire \(n = 100\). |
| progressione aritmetica | Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre la stessa (si somma lo stesso numero a ogni passo). \(5, 8, 11, 14, \dots\) è una progressione aritmetica di ragione 3. È il caso \(p = 1\) della relazione di ricorrenza. |
| ragione | Il numero fisso che una progressione aritmetica somma a ogni passo, oppure per cui una progressione geometrica moltiplica a ogni passo. Nella relazione di ricorrenza di questa pagina, \(q\) fa da ragione aritmetica quando \(p = 1\), e \(p\) fa da ragione geometrica. |
| progressione geometrica | Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è sempre lo stesso (si moltiplica per lo stesso numero a ogni passo). \(3, 6, 12, 24, \dots\) è una progressione geometrica di ragione 2. È il caso \(q = 0\) della relazione di ricorrenza. |
| equazione caratteristica | L’equazione \(x = px + q\) che si ottiene sostituendo sia \(a_{n+1}\) sia \(a_n\) della relazione di ricorrenza con la stessa lettera \(x\) (si chiama anche equazione del punto fisso). La sua soluzione (il valore di equilibrio) permette di riscrivere la relazione di ricorrenza come una progressione geometrica. |
| valore di equilibrio | La soluzione \(c = \dfrac{q}{1-p}\) dell’equazione caratteristica. È il punto in cui la successione smette di muoversi: quando un termine è uguale a lui, il termine successivo resta uguale. Quando la successione converge, è anche il valore a cui arriva (il limite). |
| punto fisso | Un valore che non cambia quando si applica la regola. Per una relazione di ricorrenza, il valore di equilibrio \(c\) è il punto fisso, perché \(c = pc + q\). Nella matematica universitaria, le relazioni di ricorrenza e le funzioni iterate si studiano da questo punto di vista. |
| convergere | Al crescere di \(n\), i termini si avvicinano sempre di più a un valore fisso. Questa relazione di ricorrenza converge al valore di equilibrio \(c\) quando \(|p| < 1\) (\(p\) è compreso tra \(-1\) e \(1\)). |
| limite | Il valore a cui si avvicina una successione convergente. Si scrive \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\). I limiti si studiano a fondo nell’analisi matematica, ma qui basta pensarlo come «la meta a cui i termini si avvicinano sempre di più». |
| divergere | Non convergere. Comprende i termini che crescono (o diminuiscono) senza limite e quelli che oscillano avanti e indietro senza fermarsi su un solo valore. Questa relazione di ricorrenza diverge quando \(|p| > 1\), a meno che non parta esattamente dal valore di equilibrio. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.
| Che cos’è una successione (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Progressioni aritmetiche e geometriche (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Risolvere equazioni di primo grado (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Potenze ed esponenti (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Calcoli con le frazioni (classe 5ª della primaria – classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il termine n-esimo con il termine generale (caso dell’equazione caratteristica)
| Primo termine a1 | 1 |
| Coefficiente p | 2 |
| Costante q | 3 |
| Numero n del termine | 10 |
| Valore di equilibrio c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Scarto tra primo termine e c, a1−c | =B1-B5 |
| Termine n-esimo (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabella che segue la relazione di ricorrenza passo dopo passo (termini 1–10)
| Coefficiente p | 2 |
| Costante q | 3 |
| Termine 1, a1 | 1 |
| Termine 2 | =B1*B3+B2 |
| Termine 3 | =B1*B4+B2 |
| Termine 4 | =B1*B5+B2 |
| Termine 5 | =B1*B6+B2 |
| Termine 6 | =B1*B7+B2 |
| Termine 7 | =B1*B8+B2 |
| Termine 8 | =B1*B9+B2 |
| Termine 9 | =B1*B10+B2 |
| Termine 10 | =B1*B11+B2 |
Tabella per ricavare il termine n-esimo quando p = 1 (progressione aritmetica)
| Primo termine a1 | 5 |
| Ragione q | 3 |
| Numero n del termine | 4 |
| Termine n-esimo a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabella per ricavare il termine n-esimo quando q = 0 (progressione geometrica)
| Primo termine a1 | 3 |
| Ragione p | 2 |
| Numero n del termine | 4 |
| Termine n-esimo a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Dopo l’incollaggio, le righe in alto (primo termine e coefficienti) sono i campi di input e le righe in basso mostrano i risultati calcolati. «^» è la potenza e «*» è la moltiplicazione.
La prima tabella usa il termine generale per trovare il termine 10 della successione con primo termine 1 e relazione di ricorrenza a(n+1) = 2a(n) + 3. Il valore di equilibrio c è −3 e la risposta è 2045. Le formule di questa tabella non funzionano quando p = 1 (1−p diventa 0 e si dividerebbe per 0). In quel caso usa la terza tabella.
La seconda tabella calcola la stessa successione passo dopo passo, esattamente come dice la relazione di ricorrenza, così puoi controllare che il termine 10 sia 2045, come nella prima tabella.
La terza tabella è un esempio del caso aritmetico (primo termine 5, ragione 3, termine 4 = 14) e la quarta è un esempio del caso geometrico (primo termine 3, ragione 2, termine 4 = 24).
La prima tabella usa il termine generale per trovare il termine 10 della successione con primo termine 1 e relazione di ricorrenza a(n+1) = 2a(n) + 3. Il valore di equilibrio c è −3 e la risposta è 2045. Le formule di questa tabella non funzionano quando p = 1 (1−p diventa 0 e si dividerebbe per 0). In quel caso usa la terza tabella.
La seconda tabella calcola la stessa successione passo dopo passo, esattamente come dice la relazione di ricorrenza, così puoi controllare che il termine 10 sia 2045, come nella prima tabella.
La terza tabella è un esempio del caso aritmetico (primo termine 5, ragione 3, termine 4 = 14) e la quarta è un esempio del caso geometrico (primo termine 3, ragione 2, termine 4 = 24).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il termine n-esimo con il termine generale (caso dell’equazione caratteristica)
| Primo termine a1 | 1 |
| Coefficiente p | 2 |
| Costante q | 3 |
| Numero n del termine | 10 |
| Valore di equilibrio c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Scarto tra primo termine e c, a1−c | =B1-B5 |
| Termine n-esimo (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabella che segue la relazione di ricorrenza passo dopo passo (termini 1–10)
| Coefficiente p | 2 |
| Costante q | 3 |
| Termine 1, a1 | 1 |
| Termine 2 | =B1*B3+B2 |
| Termine 3 | =B1*B4+B2 |
| Termine 4 | =B1*B5+B2 |
| Termine 5 | =B1*B6+B2 |
| Termine 6 | =B1*B7+B2 |
| Termine 7 | =B1*B8+B2 |
| Termine 8 | =B1*B9+B2 |
| Termine 9 | =B1*B10+B2 |
| Termine 10 | =B1*B11+B2 |
Tabella per ricavare il termine n-esimo quando p = 1 (progressione aritmetica)
| Primo termine a1 | 5 |
| Ragione q | 3 |
| Numero n del termine | 4 |
| Termine n-esimo a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabella per ricavare il termine n-esimo quando q = 0 (progressione geometrica)
| Primo termine a1 | 3 |
| Ragione p | 2 |
| Numero n del termine | 4 |
| Termine n-esimo a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci il primo termine e i coefficienti con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # primo termine a1 (vanno bene anche le frazioni, per esempio Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # coefficiente p (moltiplica a_n)
constant = Fraction(3) # costante q (da sommare)
term_number = 10 # numero n del termine da trovare
# Calcola in ordine i termini da 1 a 10, seguendo la relazione di ricorrenza
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("Termini 1-10:", ", ".join(str(t) for t in terms))
# termine n-esimo (si applica la relazione di ricorrenza n-1 volte)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"Termine {term_number}: {nth_term} (in decimale: {float(nth_term)})")
# Se p non è 1, anche il valore di equilibrio c = q/(1-p) dà il termine generale
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"Valore di equilibrio c: {fixed_point}")
print(f"Termine generale: a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte e senza errori di arrotondamento decimale. Questo esempio è la successione con primo termine 1 e relazione di ricorrenza a(n+1) = 2a(n) + 3. Eseguendolo stampa i termini da 1 a 10 (1, 5, 13, …, 2045), termine 10 = 2045, il valore di equilibrio −3 e il termine generale a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3) (semplificato, 4×2^(n−1) − 3). Cambia il primo termine e i coefficienti ed eseguilo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Relazione di ricorrenza del primo ordine
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
L’equazione caratteristica e il valore di equilibrio
c = q/(1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
Riscrivere con il valore di equilibrio (per ottenere una progressione geometrica)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
Termine generale (caso dell’equazione caratteristica)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
Caso \(p = 1\) (progressione aritmetica)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
Caso \(q = 0\) (progressione geometrica)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per calcoli di matematica (successioni e relazioni di ricorrenza). Esegui i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Per la successione definita dal primo termine a_1 = 1 e dalla relazione di ricorrenza a_(n+1) = 2·a_n + 3, mostra ciascuna delle cose seguenti. 1. La soluzione dell’equazione caratteristica x = 2x + 3 (il valore di equilibrio c) 2. Il termine generale a_n (con i passaggi che usano c per ricondurla a una progressione geometrica) 3. I valori dei termini da 1 a 10 e il valore del termine 10 4. Questa successione converge? (Se converge, indica anche il limite.) In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare in modo esatto e mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Funzioni correlate
Calcolatrice di progressioni aritmetiche (termine n-esimo e somma)
Calcola il termine n-esimo e la somma dei primi n termini dal primo termine, dalla ragione e dal numero di termini (una successione che somma lo stesso numero a ogni passo, il caso p = 1 di questa relazione di ricorrenza)
