Scrivi un numero intero positivo di cui vuoi trovare i divisori. L’elenco dei divisori, il loro numero, le coppie di divisori e la scomposizione in fattori primi vengono calcolati tutti insieme.
Scrivi un numero intero positivo da 1 a 14 cifre (per esempio 120). Non si possono trovare i divisori di 0, dei numeri negativi o dei numeri decimali.
Risultato
Scrivi un numero intero positivo nel campo a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi un numero intero positivo e ottieni tutti i suoi divisori, elencati dal più piccolo al più grande (nessuno dimenticato, nessuno ripetuto)
- Ottieni contemporaneamente anche le coppie di divisori (coppie che moltiplicate danno il numero) e il numero di divisori
- Viene mostrata anche la scomposizione in fattori primi (in una forma come \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\)), con ogni passaggio di divisione
- Se gli unici divisori sono 1 e il numero stesso, il numero è un numero primo, quindi puoi usare la pagina anche per controllare se un numero è primo (se ha più di 2 divisori è un numero composto)
- In questa pagina trovi anche la spiegazione semplice di come si trovano i divisori e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
In questa pagina si usano numeri interi positivi (1 o più, fino a 14 cifre). Non si trattano i divisori di 0, dei numeri negativi o dei numeri decimali (qui i divisori riguardano solo numeri interi positivi che si dividono senza resto).
A cosa serve questo calcolo?
Semplificare le frazioni (la base per non inciampare in matematica)
Per semplificare \(\frac{24}{36}\), trova un divisore comune al numeratore 24 e al denominatore 36 e dividili entrambi per esso (dividi per il loro massimo comun divisore, 12, e ottieni \(\frac{2}{3}\) in un solo passaggio).
Quando i divisori vengono in mente in fretta, semplificare le frazioni, trovare il denominatore comune e semplificare i rapporti diventano più veloci e più precisi. Molti studenti che hanno difficoltà con le frazioni in realtà hanno difficoltà con questo senso dei divisori.
Organizzare gruppi uguali (vita di tutti i giorni e feste)
Se vuoi distribuire 120 biscotti in modo che tutti ne ricevano lo stesso numero e non ne avanzi nessuno, i numeri possibili di persone sono esattamente i divisori di 120 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120).
Dividere una classe in squadre, riempire i sacchetti di una festa, spartire il materiale in parti uguali: elencare i divisori ti dà tutte le possibilità per «quante persone (o sacchetti) possono dividere tutto in parti uguali».
Disposizioni rettangolari di piastrelle, esposizioni di prodotti e posti a sedere
I modi per disporre 36 piastrelle in un rettangolo senza che ne avanzi nessuna sono esattamente le coppie di divisori: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9 e 6×6, cinque in tutto.
Posare piastrelle sul pavimento o sulla parete, sistemare i prodotti su uno scaffale, mettere le sedie per una cerimonia: ogni volta che un numero fisso di oggetti va in un rettangolo, le coppie di divisori sono le tue possibili disposizioni.
La crittografia che protegge gli acquisti online e l’home banking (RSA)
La scomposizione in fattori primi richiede un istante per numeri di circa 14 cifre, ma per numeri enormi di centinaia di cifre non si può portare a termine in tempi realistici, nemmeno con tutti i computer del mondo. La crittografia RSA, molto usata su internet, si basa su questo fatto: «i numeri grandi in pratica non si possono scomporre».
Quando invii il numero della tua carta a un negozio online, la scomposizione in fattori primi, la stessa cosa che fa questa pagina, sta alla radice di ciò che protegge i tuoi dati.
Scegliere il numero di denti degli ingranaggi (macchine, auto e orologi)
Se i numeri di denti di due ingranaggi che si ingranano hanno un divisore in comune, gli stessi denti continuano a incontrare gli stessi compagni, quindi l’usura e i danni tendono ad accumularsi su certi denti. Per questo i progettisti scelgono spesso numeri di denti che non hanno divisori in comune oltre a 1 (che sono primi tra loro).
Dal cambio di un’auto all’orologio da polso, il fatto che due numeri abbiano un divisore in comune influisce sulla durata di un prodotto.
Formula
Che cos’è un divisore (verificarlo con una moltiplicazione)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(A\)
\(\times\)
\(B\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(N\): numero di cui cerchi i divisori
\(=\)
①
\(A\): divisore
\(\times\)
②
\(B\): il divisore compagno
La formula a parole
①
Quando il
\(A\): divisore
②
per il
\(B\): il divisore compagno
③
è esattamente uguale al
\(N\): numero di cui cerchi i divisori
, sia \(A\) sia \(B\) sono divisori di \(N\)
Un esempio semplice
120 si può scrivere come prodotto 4 × 30, quindi 4 e 30 sono entrambi divisori di 120
numero di cui cerchi i divisori (120)
\(=\)
divisore (4)
\(\times\)
divisore compagno (30)
\(120 \div 4 = 30\)
\(4 \times 30 = 120\)
L’idea chiave
Per controllare se un numero è un divisore, guarda se la divisione è esatta. 120 ÷ 4 = 30 senza resto, quindi 4 è un divisore di 120 (e anche il risultato, 30, lo è automaticamente). Se c’è un resto, come in 120 ÷ 7 = 17 con resto 1, il numero non è un divisore.
I divisori vengono sempre in queste «coppie che moltiplicate danno \(N\)», quindi il divisore più piccolo di ogni coppia è sempre al massimo \(\sqrt{N}\) (il numero che elevato al quadrato dà \(N\)). Perciò, se provi a dividere per tutti i numeri fino a \(\sqrt{N}\), trovi tutti i divisori. Quando i due numeri di una coppia sono uguali, come in 36 = 6 × 6 (un quadrato perfetto), il 6 si conta una volta sola. Per questo un quadrato perfetto ha sempre un numero dispari di divisori.
Scomposizione in fattori primi (scrivere un numero come prodotto di soli numeri primi)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times\)
\(r\)
\(c\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(N\): numero di cui cerchi i divisori
\(=\)
①
\(p\): numero primo
②
\(a\): quante volte compare \(p\)
\(\times\)
③
\(q\): un altro numero primo
\(b\): quante volte compare \(q\)
\(\times\)
④
\(r\): ancora un altro numero primo
\(c\): quante volte compare \(r\)
La formula a parole
①
Moltiplica il
\(p\): numero primo
②
per sé stesso il numero di volte indicato da
\(a\): quante volte compare \(p\)
③
fai lo stesso con
\(q\): un altro numero primo
④
e con
\(r\): ancora un altro numero primo
, ciascuno il numero giusto di volte, e moltiplica tutto
⑤
e ottieni esattamente il
\(N\): numero di cui cerchi i divisori
Un esempio semplice
La scomposizione in fattori primi di 120 (si divide per 2 tre volte, per 3 una volta e per 5 una volta)
numero di cui cerchi i divisori (120)
\(=\)
numero primo (2)
volte (3)
\(\times\)
altro numero primo (3)
volte (1)
\(\times\)
ancora un altro numero primo (5)
volte (1)
\(120 \div 2 = 60,\quad 60 \div 2 = 30,\quad 30 \div 2 = 15,\quad 15 \div 3 = 5\)
\(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3 \times 5\)
L’idea chiave
Per fare una scomposizione in fattori primi basta partire dal numero primo più piccolo e continuare a dividere finché la divisione è esatta. Per 120: dividi per 2 e ottieni 60, per 2 di nuovo e ottieni 30, e ancora per 2 e ottieni 15. 15 non si divide più per 2, quindi passa al numero primo successivo, 3, e ottieni 5. 5 è primo, e hai finito.
Un numero può usare un solo numero primo oppure quattro o più numeri primi diversi, ma il risultato ha sempre la stessa forma: un prodotto di soli numeri primi. Inoltre ogni numero ha una sola scomposizione in fattori primi (a parte l’ordine dei fattori). Si chiama unicità della scomposizione in fattori primi (il teorema fondamentale dell’aritmetica), uno dei fatti più importanti sui numeri interi.
Formula del numero di divisori
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d(N)\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
\(\times\)
\((c+1)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(d(N)\): numero di divisori
\(=\)
①
\(a + 1\): quante volte compare \(p\), più 1
\(\times\)
②
\(b + 1\): quante volte compare \(q\), più 1
\(\times\)
③
\(c + 1\): quante volte compare \(r\), più 1
La formula a parole
①
Moltiplica
\(a + 1\): quante volte compare \(p\), più 1
②
per
\(b + 1\): quante volte compare \(q\), più 1
③
e per
\(c + 1\): quante volte compare \(r\), più 1
(uno per ogni numero primo diverso)
④
e ottieni il
\(d(N)\): numero di divisori
Un esempio semplice
Poiché \(120 = 2^{3} \times 3 \times 5\) (il 2 compare 3 volte, il 3 una volta e il 5 una volta), il numero di divisori di 120 è
numero di divisori \(d(120)\)
\(=\)
volte del 2, più 1 (3 + 1)
\(\times\)
volte del 3, più 1 (1 + 1)
\(\times\)
volte del 5, più 1 (1 + 1)
\((3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16\)
L’idea chiave
Perché questa formula dà il numero di divisori? Ogni divisore di 120 si ottiene moltiplicando «il 2 usato da 0 a 3 volte, il 3 usato 0 o 1 volta e il 5 usato 0 o 1 volta» (per esempio, 12 = 2 × 2 × 3 usa il 2 due volte, il 3 una volta e il 5 zero volte). Ci sono 4 scelte per il 2, 2 scelte per il 3 e 2 scelte per il 5, quindi le combinazioni sono 4 × 2 × 2 = 16. È esattamente il numero di divisori. Il punto chiave è aggiungere 1 a ogni numero di volte, perché anche «usarlo 0 volte» è una scelta.
Questa formula compare spesso nelle gare di matematica e nelle prove d’esame. Non devi scrivere i divisori uno per uno: una volta ottenuta la scomposizione in fattori primi, ottieni subito il numero.
Il modo di base per trovare i divisori è cercare le coppie di fattori che moltiplicati danno il numero, e dividendo per tutti i numeri fino a √N li trovi tutti. Una volta ottenuta la scomposizione in fattori primi, moltiplicando «(quante volte compare ogni numero primo + 1)» ottieni subito il numero di divisori.
Simboli e termini
Simboli
| \(N\) | N | Il numero intero positivo di cui vuoi trovare i divisori. (Esempio - 120) |
| \(A,\ B\) | A, B | Una coppia di divisori che moltiplicati danno \(N\). (Esempio - il 4 e il 30 in \(120 = 4 \times 30\)) |
| \(p,\ q,\ r\) | p, q, r | I numeri primi di una scomposizione in fattori primi (i fattori primi). (Esempio - il 2, il 3 e il 5 in \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\)) |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Quante volte ogni numero primo viene moltiplicato nella scomposizione in fattori primi (gli esponenti). Nella formula del numero di divisori si aggiunge 1 a ciascuno e si moltiplicano i risultati. (Esempio - per \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\), il 2 è moltiplicato \(a = 3\) volte, e il 3 e il 5 una volta ciascuno, \(b = c = 1\)) |
| \(2^{3}\) | 2 alla terza (2 al cubo) | 2 moltiplicato per sé stesso 3 volte (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)). Il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte moltiplicare. |
| \(d(N)\) | d di N | Il numero di divisori di \(N\). La d è l’iniziale di «divisore». (Esempio - \(d(120) = 16\)) |
| \(\sqrt{N}\) | radice quadrata di N | Il numero che elevato al quadrato dà \(N\) (la radice quadrata). In ogni coppia di divisori uno è al massimo \(\sqrt{N}\), quindi basta controllare fino a qui per trovare tutti i divisori. |
Termini
| divisore | Un numero intero positivo che divide un dato numero intero senza resto. Esempio - i divisori di 30 sono 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, otto in tutto. L’1 e il numero stesso sono sempre divisori di qualsiasi numero. |
| multiplo | Un numero che si ottiene moltiplicando un numero intero per un numero intero (1 volta, 2 volte, 3 volte e così via). Divisori e multipli sono due facce della stessa medaglia: «4 è un divisore di 120» e «120 è un multiplo di 4» dicono la stessa cosa. |
| numero primo | Un numero intero da 2 in su i cui unici divisori sono 1 e se stesso. In ordine sono 2, 3, 5, 7, 11, 13 e così via, senza fine. L’1 non è un numero primo. |
| numero composto | Un numero intero da 2 in su che non è primo. Ha 3 o più divisori e si può scomporre in un prodotto di numeri primi. (L’1 non è né primo né composto.) |
| fattore primo | Un numero primo che divide un dato numero intero senza resto. Esempio - i fattori primi di 120 sono 2, 3 e 5, tre in tutto. |
| scomposizione in fattori primi | Scrivere un numero intero come prodotto di soli numeri primi. Esempio - \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\). Si può fare in un solo modo (a parte l’ordine dei fattori). |
| fattore | Ciascun numero di una moltiplicazione, come il 4 e il 30 in 4 × 30. Quando un numero si scrive come prodotto, i numeri del prodotto sono i suoi fattori e sono anche divisori di quel numero. In questa pagina si parla soprattutto di «divisori» e la d di \(d(N)\) viene da lì. (In una divisione come \(120 \div 4\), il numero per cui si divide si chiama anch’esso divisore.) |
| quadrato perfetto | Un numero che si ottiene moltiplicando un numero intero per sé stesso. Esempio - \(36 = 6 \times 6\) e \(3600 = 60 \times 60\). Un quadrato perfetto ha sempre un numero dispari di divisori (perché la coppia di numeri uguali si conta una volta sola). |
| esponente (potenza) | Un modo per scrivere lo stesso numero moltiplicato per sé stesso tante volte. In \(2^3\), il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte moltiplicare. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa stai facendo, e non solo premendo il pulsante.
| Tabelline e divisione (classi 2ª–3ª della primaria, 7-9 anni) |
|
| Divisori e multipli (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Numeri primi e scomposizione in fattori primi (classe 1ª della secondaria di primo grado, 11-12 anni) |
|
| Potenze ed esponenti (classe 1ª della secondaria di primo grado, 11-12 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per verificare con una divisione se un numero è un divisore
| Numero di cui trovare i divisori N | 120 |
| Numero da provare A | 4 |
| Resto di N ÷ A (0 = è un divisore) | =RESTO(B1;B2) |
| Divisore compagno B (quando il resto è 0) | =B1/B2 |
Tabella per verificare una scomposizione in fattori primi
| Fattore primo 1 | 2 |
| Fattore primo 2 | 2 |
| Fattore primo 3 | 2 |
| Fattore primo 4 | 3 |
| Fattore primo 5 | 5 |
| Prodotto di tutti (corretto se dà il numero di partenza) | =PRODOTTO(B1:B5) |
Tabella per trovare il numero di divisori con la formula
| Quante volte compare il numero primo p, a | 3 |
| Quante volte compare il numero primo q, b | 1 |
| Quante volte compare il numero primo r, c | 1 |
| Numero di divisori d(N) | =(B1+1)*(B2+1)*(B3+1) |
La prima tabella controlla se un numero è un divisore con RESTO(B1;B2), «il resto di B1 diviso B2». Se B3 è 0, è un divisore, e B4 mostra il suo compagno (30 per 120 e 4). Se il resto non è 0, B4 non è un divisore, quindi ignoralo.
La seconda tabella controlla una scomposizione in fattori primi. PRODOTTO(B1:B5) moltiplica tutto da B1 a B5, quindi se B6 mostra 120 la scomposizione è corretta (per un numero con meno di 5 fattori primi, scrivi 1 nelle celle non usate).
La terza tabella è la formula del numero di divisori. B4 mostra (3+1)×(1+1)×(1+1) = 16.
La seconda tabella controlla una scomposizione in fattori primi. PRODOTTO(B1:B5) moltiplica tutto da B1 a B5, quindi se B6 mostra 120 la scomposizione è corretta (per un numero con meno di 5 fattori primi, scrivi 1 nelle celle non usate).
La terza tabella è la formula del numero di divisori. B4 mostra (3+1)×(1+1)×(1+1) = 16.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per verificare con una divisione se un numero è un divisore
| Numero di cui trovare i divisori N | 120 |
| Numero da provare A | 4 |
| Resto di N ÷ A (0 = è un divisore) | =RESTO(B1;B2) |
| Divisore compagno B (quando il resto è 0) | =B1/B2 |
Tabella per verificare una scomposizione in fattori primi
| Fattore primo 1 | 2 |
| Fattore primo 2 | 2 |
| Fattore primo 3 | 2 |
| Fattore primo 4 | 3 |
| Fattore primo 5 | 5 |
| Prodotto di tutti (corretto se dà il numero di partenza) | =PRODOTTO(B1:B5) |
Tabella per trovare il numero di divisori con la formula
| Quante volte compare il numero primo p, a | 3 |
| Quante volte compare il numero primo q, b | 1 |
| Quante volte compare il numero primo r, c | 1 |
| Numero di divisori d(N) | =(B1+1)*(B2+1)*(B3+1) |
Le stesse formule di Excel (RESTO, PRODOTTO) funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.
Come calcolarlo con Python
n = 120 # il numero intero positivo da scomporre
divisors = [] # elenco dei divisori
pairs = [] # coppie di divisori che moltiplicate danno n
i = 1
while i * i <= n: # dividendo per i numeri fino a √n si trovano tutti
if n % i == 0: # resto 0: i è un divisore
divisors.append(i)
if i != n // i: # anche il suo compagno è un divisore (si salta la ripetizione in un quadrato come 6×6)
divisors.append(n // i)
pairs.append((i, n // i))
i += 1
divisors.sort()
prime_factors = [] # scomposizione in fattori primi (si divide per il numero primo più piccolo finché la divisione è esatta)
rest = n
p = 2
while p * p <= rest:
while rest % p == 0:
prime_factors.append(p)
rest = rest // p
p += 1
if rest > 1:
prime_factors.append(rest) # ciò che resta alla fine è anch’esso un fattore primo
print(f"Divisori di {n} ({len(divisors)} in tutto): {divisors}")
print(f"Coppie di divisori: {pairs}")
if len(prime_factors) >= 2:
print(f"Scomposizione in fattori primi: {n} = {' × '.join(map(str, prime_factors))}")
elif len(prime_factors) == 1:
print(f"{n} è un numero primo")
Funziona con la sola libreria standard. Il codice segue l’idea della formula 1, «dividendo per i numeri fino a √n si trovano tutti i divisori». Cambia n all’inizio ed esegui il codice (i numeri fino a circa 14 cifre finiscono in fretta).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Che cos’è un divisore (verificarlo con una moltiplicazione)
N = A × B
N = A \times B
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
<mo>×</mo>
<mi>B</mi>
</mrow>
</math>
N = A xx B
A*B
N := A*B;
N = A*B;
N = A × B
Scomposizione in fattori primi (scrivere un numero come prodotto di soli numeri primi)
N = pᵃ × qᵇ × rᶜ × …
N = p^{a} \times q^{b} \times r^{c} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>c</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
N = p^a xx q^b xx r^c xx cdots
p^a*q^b*r^c
N := p^a*q^b*r^c;
N = p^a*q^b*r^c;
N = p^a × q^b × r^c × …
Formula del numero di divisori
d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) …
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)\cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi><mo>(</mo><mi>N</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1) cdots
(a + 1)*(b + 1)*(c + 1)
d := (a + 1)*(b + 1)*(c + 1);
d = (a + 1)*(b + 1)*(c + 1);
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)…
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo con i numeri interi. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a stima). Per 120, trova ciascuna delle cose seguenti: 1. Tutti i divisori, elencati dal più piccolo al più grande, e quanti sono 2. Tutte le coppie di divisori che moltiplicate danno 120 3. La scomposizione in fattori primi (in una forma come 2 × 2 × 2 × 3 × 5) 4. Una verifica con la formula del numero di divisori (si aggiunge 1 a quante volte compare ogni numero primo e si moltiplicano i risultati) che coincida con il numero del punto 1 Mostra il codice che hai usato e il risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice per semplificare le frazioni (ridurre ai minimi termini)
Riduce una frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore
Calcolatrice di frazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione)
Calcola addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di frazioni con i passaggi
