Scegli nel menu che cosa vuoi trovare, inserisci la base a e l’esponente k e fai clic su «Calcola». La risposta compare in due modi, a mano con una approssimazione data (come log₁₀ 2 ≈ 0,3010) e in modo esatto a partire dal valore completo.
Nelle modalità numero di cifre e prima cifra, a è un numero intero da 2 a 1000000. Nella modalità «cifra decimale», a è un decimale maggiore di 0 e minore di 1 (fino a 6 cifre decimali). L’esponente k è un numero intero da 1 a 10000.
Risultato e grafico
Inserisci la base e l’esponente nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e una retta dei numeri con le potenze di 10.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci la base \(a\) e l’esponente \(k\) e scopri subito quante cifre ha una grande potenza \(a^k\), come \(2^{100}\)
- Ottieni due risposte: una a mano con una approssimazione data, come \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) (il metodo dei libri di testo del liceo), e l’esatto numero di cifre calcolando tutto il valore. I passaggi seguono lo stesso ordine di una soluzione scritta
- Un’altra modalità trova la prima cifra (la cifra più a sinistra) a partire dalla parte decimale del logaritmo decimale
- Per la potenza di un decimale minore di 1, come \(0{,}5^{100}\), trova la cifra decimale in cui compare la prima cifra diversa da zero
- Nella stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina tratta le potenze di numeri interi (numero di cifre e prima cifra) e le potenze di decimali finiti minori di 1 (cifra decimale della prima cifra diversa da zero).
A cosa serve questo calcolo?
Stimare in cifre la «grandezza» di una chiave di cifratura (informatica e sicurezza)
La crittografia RSA, che protegge le comunicazioni su internet, usa chiavi descritte come «a 2048 bit». Un numero a 2048 bit è grande circa \(2^{2048}\) e da \(2048 \times \log_{10} 2 \approx 616{,}5\) si ricava che ha 617 cifre decimali.
La conversione «numero di bit × 0,3010 ≈ numero di cifre decimali» è proprio il calcolo di questa pagina. Questa stima fa capire quanto sia irrealistico forzare una chiave del genere provando tutte le possibilità.
La crescita dei batteri e la prevenzione delle intossicazioni alimentari (sicurezza alimentare)
Alcuni batteri, in condizioni favorevoli, si dividono circa una volta ogni 20 minuti. Se questo ritmo durasse 24 ore, ci sarebbero 72 divisioni e da 1 batterio si arriverebbe a \(2^{72}\). Da \(72 \times 0{,}3010 \approx 21{,}7\) si ricava un numero di 22 cifre (circa \(4{,}7 \times 10^{21}\)).
In realtà i limiti di cibo e spazio fermano la crescita a un certo punto. Eppure una sola moltiplicazione con il logaritmo decimale mostra che i batteri lasciati liberi si moltiplicano per molte potenze di dieci. Per questo la regola è mettere in frigorifero il cibo in fretta.
Piegando un foglio si arriva alla Luna? (per capire la crescita esponenziale)
Ogni volta che pieghi un foglio spesso 0,1 mm, lo spessore raddoppia. Se potessi piegarlo 42 volte, lo spessore sarebbe \(0{,}1 \times 2^{42}\) mm \(\approx\) 440.000 km, più della distanza dalla Luna (circa 384.400 km).
In realtà un foglio si piega solo 7 o 8 volte circa, quindi è un esperimento mentale. Anche così, la rapidità con cui crescono le cifre quando si continua a raddoppiare si prevede esattamente con la semplice formula \(k \times \log_{10} 2\), e puoi confrontare la tua intuizione con i numeri.
Individuare le frodi nei dati contabili (legge di Benford)
Nei dati monetari raccolti in modo naturale, la prima cifra è 1 circa il 30,1% delle volte (uguale a \(\log_{10} 2\)), 2 circa il 17,6% delle volte e così via. Questa distribuzione sbilanciata è nota come legge di Benford.
I numeri inventati tendono a rompere questa distribuzione, quindi revisori e investigatori di frodi la usano come controllo. L’idea di questa pagina, «la prima cifra è decisa dalla parte decimale del logaritmo decimale», è la base della legge.
Il linguaggio delle potenze di dieci nella scienza (scienze e astronomia)
La scienza scrive i numeri troppo grandi o troppo piccoli come potenze di 10 (notazione scientifica), per esempio la distanza dal Sole, circa 1,496×10⁸ km, o la dimensione di un atomo di idrogeno, circa 1×10⁻¹⁰ m.
L’esponente di 10 è proprio la parte intera del logaritmo decimale, un senso diretto del numero di cifre. L’astronomia e la chimica (il numero di Avogadro è circa 6×10²³) sono ottimi campi per allenarsi a ragionare in potenze di dieci.
Formule e figure
Logaritmo decimale di una potenza (l’esponente passa davanti)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\log_{10} a^{k}\)
\(=\)
\(k\)
\(\times\)
\(\log_{10} a\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\log_{10} a^k\): logaritmo decimale della potenza
\(=\)
①
\(k\): esponente
\(\times\)
②
\(\log_{10} a\): logaritmo decimale della base
La formula a parole
①
Moltiplica
\(k\): esponente
②
per
\(\log_{10} a\): logaritmo decimale della base \(a\)
③
e ottieni
\(\log_{10} a^k\): logaritmo decimale della potenza \(a^k\)
Un esempio semplice
Usando \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), il logaritmo decimale di \(2^{100}\) è
logaritmo decimale di \(2^{100}\)
\(=\)
esponente 100
\(\times\)
logaritmo decimale di 2 (circa 0,3010)
\(\log_{10} 2^{100} = 100 \times \log_{10} 2 \approx 100 \times 0{,}3010 = 30{,}10\)
L’idea chiave
Per trovare \(2^{100}\) con la moltiplicazione vera e propria servono 99 moltiplicazioni. Con il logaritmo decimale (il logaritmo in base 10) basta una sola moltiplicazione, «esponente × \(\log_{10} 2\)», per conoscere la grandezza approssimativa del numero (circa 10 elevato a quale potenza). I logaritmi fanno al posto tuo le moltiplicazioni ripetute. È quello che sanno fare meglio.
\(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\) continua all’infinito, quindi a mano si usa un’approssimazione a 4 cifre decimali, come 0,3010. I problemi dei libri di testo di solito la danno già, per esempio «usa \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\)».
Numero di cifre (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\) cifre)
Figura (retta dei numeri con le potenze di 10)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(10^{n-1}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{n}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(10^{n-1}\): il più piccolo numero di \(n\) cifre
\(\le\)
①
\(N\): numero analizzato
\(<\)
③
\(10^{n}\): il più piccolo numero di \((n+1)\) cifre
La formula a parole
①
Quando il numero intero
\(N\): numero analizzato
è maggiore o uguale a
②
\(10^{n-1}\): il più piccolo numero di \(n\) cifre (1 seguito da \(n-1\) zeri)
e minore di
③
\(10^{n}\): il più piccolo numero di \((n+1)\) cifre
allora \(N\) ha esattamente \(n\) cifre
Un esempio semplice
Da \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) si ricava \(2^{100} \approx 10^{30{,}10}\), quindi
il più piccolo numero di 31 cifre \(10^{30}\)
\(\le\)
numero analizzato \(2^{100}\)
\(<\)
il più piccolo numero di 32 cifre \(10^{31}\)
\(30 \le 30{,}10 < 31\)
\(10^{30} \le 2^{100} < 10^{31}\)
L’idea chiave
I numeri di 1 cifra vanno da 1 a 9 (\(10^0 \le N < 10^1\)), quelli di 2 cifre da 10 a 99 (\(10^1 \le N < 10^2\)) e così via. Ogni cifra in più aumenta di 1 l’esponente di 10. Quindi, se \(N\) sta tra \(10^{n-1}\) e \(10^n\), ha \(n\) cifre.
Con i logaritmi decimali si può dire così: «il numero di cifre \(n\) è la parte intera di \(\log_{10} N\) più 1». La parte intera di \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) è 30, quindi \(2^{100}\) ha 31 cifre.
Prima cifra (dalla parte decimale del logaritmo decimale)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\log_{10} d\)
\(\le\)
\(f\)
\(<\)
\(\log_{10} (d+1)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(\log_{10} d\): logaritmo decimale della prima cifra
\(\le\)
①
\(f\): parte decimale di \(\log_{10} a^k\)
\(<\)
③
\(\log_{10} (d+1)\): logaritmo decimale della cifra successiva
La formula a parole
①
Quando la
\(f\): parte decimale del logaritmo decimale
è maggiore o uguale al
②
\(\log_{10} d\): logaritmo decimale della prima cifra \(d\)
e minore del
③
\(\log_{10} (d+1)\): logaritmo decimale della cifra successiva \(d+1\)
allora la prima cifra è \(d\)
Un esempio semplice
La parte decimale di \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) è \(0{,}10\). Sta tra \(\log_{10} 1 = 0\) e \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), quindi
logaritmo decimale di 1 (0)
\(\le\)
parte decimale 0,10
\(<\)
logaritmo decimale di 2 (circa 0,3010)
\(0 \le 0{,}10 < 0{,}3010\)
\(1 \le 10^{0{,}10} < 2\)
L’idea chiave
Si separa così: \(2^{100} \approx 10^{30{,}10} = 10^{30} \times 10^{0{,}10}\). La parte intera, \(10^{30}\), decide solo quanti zeri seguono (dove si trovano le cifre) e non cambia le cifre. La prima cifra la decide la parte decimale, \(10^{0{,}10}\).
Poiché \(1 \le 10^{0{,}10} < 2\), \(2^{100}\) ha la forma \(1{,}\ldots \times 10^{30}\), quindi la sua prima cifra è 1. Per stabilirla si confronta la parte decimale con la «scala dei logaritmi decimali da 1 a 9»: \(\log_{10} 1 = 0\), \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), \(\log_{10} 3 \approx 0{,}4771\) e così via.
Decimali minori di 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ \(m\)ª cifra decimale)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(10^{-m}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{-m+1}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(10^{-m}\): primo 1 alla \(m\)ª cifra decimale
\(\le\)
①
\(N\): numero analizzato
\(<\)
③
\(10^{-m+1}\): 10 volte quel numero
La formula a parole
①
Quando un numero minore di 1,
\(N\): numero analizzato
è maggiore o uguale a
②
\(10^{-m}\): il numero con il primo 1 alla \(m\)ª cifra decimale (nella forma 0,00…01)
e minore di
③
\(10^{-m+1}\): 10 volte quel numero
allora la prima cifra diversa da zero di \(N\) compare alla \(m\)ª cifra decimale
Un esempio semplice
Poiché \(\log_{10} 0{,}5^{100} \approx 100 \times (-0{,}3010) = -30{,}10\),
primo 1 alla 31ª cifra decimale \(10^{-31}\)
\(\le\)
numero analizzato \(0{,}5^{100}\)
\(<\)
10 volte quel numero \(10^{-30}\)
\(-31 \le -30{,}10 < -30\)
\(10^{-31} \le 0{,}5^{100} < 10^{-30}\)
L’idea chiave
Per i numeri minori di 1 il logaritmo decimale è negativo (\(\log_{10} 0{,}1 = -1\), \(\log_{10} 0{,}01 = -2\) e così via). L’idea è la stessa del numero di cifre: basta mettere \(N\) tra due potenze di 10.
Attenzione alla «parte intera di un numero negativo». Qui la parte intera è la funzione parte intera (in inglese «floor»): il numero intero più vicino a sinistra sulla retta dei numeri. Quindi la parte intera di \(-30{,}10\) è \(-31\) e non \(-30\). Se sbagli questo punto, la risposta si sposta di 1. In questo esempio \(-31 \le -30{,}10 < -30\), quindi la prima cifra diversa da zero di \(0{,}5^{100}\) compare alla 31ª cifra decimale.
Un numero intero \(N\) ha \(n\) cifre quando \(10^{n-1} \le N < 10^n\). Quindi il numero di cifre di \(a^k\) è la parte intera del logaritmo decimale \(\log_{10} a^k = k \log_{10} a\) più 1. La parte decimale dà la prima cifra e, per un numero minore di 1, la stessa idea dice a quale cifra decimale compare la prima cifra diversa da zero.
Simboli e termini
Simboli
| \(\log_{10} N\) | log in base 10 di N | Il logaritmo decimale di \(N\) (il logaritmo in base 10). Dice «10 elevato a quale potenza dà \(N\)». log è l’abbreviazione di logaritmo. |
| \(N\) | enne | Il numero che stai analizzando, per esempio per trovarne il numero di cifre. È l’iniziale di «numero». In questa pagina è la potenza \(a^k\). |
| \(a\) | a | La base (il numero da moltiplicare). Per convenzione, per i numeri fissati si usano le lettere dell’inizio dell’alfabeto. |
| \(k\) | cappa | L’esponente (quante volte moltiplicare). In \(2^{100}\) è 100. |
| \(n\) | enne minuscola | Il numero di cifre. È l’iniziale di «numero» e si usa spesso per i conteggi. |
| \(10^n\) | 10 elevato a n | 10 moltiplicato \(n\) volte: 1 seguito da \(n\) zeri (\(10^3 = 1000\)). È il più piccolo numero di \((n+1)\) cifre. |
| \(f\) | effe | La parte decimale del logaritmo decimale, indicata con f (da «frazionaria»). La prima cifra dipende solo da questo \(f\). |
| \(d\) | di | La prima cifra (la cifra più a sinistra), indicata con d come «digit» (cifra in inglese). |
| \(m\) | emme | La cifra decimale in cui compare la prima cifra diversa da zero. Indica «quanto è piccolo» un numero minore di 1. |
| \(\lfloor x \rfloor\) | parte intera di x | La funzione parte intera (in inglese «floor»): il più grande numero intero non maggiore di \(x\) (la parte intera). Attenzione ai numeri negativi: \(\lfloor -30{,}10 \rfloor = -31\). |
Termini
| logaritmo decimale | Il logaritmo in base 10, \(\log_{10} x\). Dice «10 elevato a quale potenza dà \(x\)» ed è legato direttamente al numero di cifre in base 10. Si studia al liceo. |
| logaritmo | Il numero che dice a quale potenza elevare la base per ottenere l’argomento. È l’operazione esattamente inversa della potenza. |
| argomento | Il numero dentro un logaritmo, la \(N\) di \(\log_{10} N\). Si possono usare solo numeri maggiori di 0. |
| base | Il numero \(a\) su cui si costruisce una potenza \(a^k\) o un logaritmo \(\log_{a} x\). In questa pagina è il campo «Base a». Il logaritmo decimale ha base 10. |
| numero di cifre | Quante cifre compaiono quando scrivi un numero intero. 1024 ha 4 cifre. In termini matematici, «un numero intero maggiore o uguale a \(10^{n-1}\) e minore di \(10^n\) ha \(n\) cifre». |
| prima cifra | La cifra più a sinistra di un numero. La prima cifra di 1024 è 1. Si può trovare dalla parte decimale del logaritmo decimale. |
| potenza | Moltiplicare lo stesso numero per se stesso più volte. Come in \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\), il piccolo esponente in alto a destra dice quante volte. |
| esponente | Il piccolo numero in alto a destra di una potenza che dice a quale potenza elevare. In \(2^{100}\), l’esponente è 100. |
| parte intera (caratteristica) | Se dividi un numero in «il più grande numero intero non maggiore di esso» (la funzione parte intera) e «il resto», questo è l’intero. Per 30,10 è 30. Per \(-30{,}10\) è \(-31\), perché la parte decimale si prende sempre maggiore o uguale a 0 e minore di 1. Per un logaritmo decimale si chiama anche caratteristica. |
| parte decimale (mantissa) | Se dividi un numero in «il più grande numero intero non maggiore di esso» e «il resto», questo è il resto. Per 30,10 è 0,10. La parte decimale è sempre maggiore o uguale a 0 e minore di 1, quindi per \(-30{,}10\) è \(0{,}90\). Per un logaritmo decimale si chiama anche mantissa. |
| approssimazione | Un valore arrotondato, vicino al valore vero e più facile da usare, come usare 0,3010 per \(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\). L’arrotondamento lascia un errore e la moltiplicazione lo ingrandisce. |
| cifra significativa | Le cifre di una misura o di un’approssimazione di cui ci si può fidare. 0,3010 è esatto solo fino alla quarta cifra decimale, quindi i dettagli fini di 10000 volte quel valore non sono affidabili. Questo spiega perché in questa pagina la risposta a mano può differire da quella esatta. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su questi argomenti è la strada più veloce per andare avanti.
| Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Estendere gli esponenti (scuola secondaria di secondo grado, 14-17 anni) |
|
| Definizione di logaritmo (scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni) |
|
| Proprietà dei logaritmi (scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni) |
|
| Leggere e scrivere le disuguaglianze (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Valore posizionale e cifre (dalla classe 4ª della primaria, 9-10 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il numero di cifre di a^k
| Base a | 2 |
| Esponente k | 100 |
| Logaritmo decimale k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Numero di cifre (parte intera + 1) | =INT(B3)+1 |
Tabella per trovare la prima cifra
| Base a | 2 |
| Esponente k | 100 |
| Logaritmo decimale k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Parte decimale del logaritmo decimale | =B3-INT(B3) |
| Prima cifra | =INT(10^B4) |
Tabella per trovare la prima cifra decimale diversa da zero di a^k (a < 1)
| Base a (un decimale minore di 1) | 0,5 |
| Esponente k | 100 |
| Logaritmo decimale k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Cifra decimale della prima cifra diversa da zero | =-INT(B3) |
Dopo aver incollato, le righe in alto (base ed esponente) sono i dati da inserire e le righe in basso mostrano i risultati calcolati automaticamente.
LOG10 è il logaritmo decimale e INT dà il più grande numero intero non maggiore del numero (la parte intera, cioè la funzione parte intera). INT arrotonda per difetto anche i numeri negativi (INT(-30,1) è -31), quindi «=-INT(B3)» nella terza tabella dà direttamente la cifra decimale.
Con i numeri dell’esempio, la prima tabella mostra 31 (cifre), la seconda 1 (la prima cifra) e la terza 31 (la 31ª cifra decimale).
Excel calcola con circa 15 cifre di precisione, quindi quando l’esponente è molto grande la risposta può sbagliare di 1 vicino a una potenza di 10.
LOG10 è il logaritmo decimale e INT dà il più grande numero intero non maggiore del numero (la parte intera, cioè la funzione parte intera). INT arrotonda per difetto anche i numeri negativi (INT(-30,1) è -31), quindi «=-INT(B3)» nella terza tabella dà direttamente la cifra decimale.
Con i numeri dell’esempio, la prima tabella mostra 31 (cifre), la seconda 1 (la prima cifra) e la terza 31 (la 31ª cifra decimale).
Excel calcola con circa 15 cifre di precisione, quindi quando l’esponente è molto grande la risposta può sbagliare di 1 vicino a una potenza di 10.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare il numero di cifre di a^k
| Base a | 2 |
| Esponente k | 100 |
| Logaritmo decimale k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Numero di cifre (parte intera + 1) | =INT(B3)+1 |
Tabella per trovare la prima cifra
| Base a | 2 |
| Esponente k | 100 |
| Logaritmo decimale k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Parte decimale del logaritmo decimale | =B3-INT(B3) |
| Prima cifra | =INT(10^B4) |
Tabella per trovare la prima cifra decimale diversa da zero di a^k (a < 1)
| Base a (un decimale minore di 1) | 0,5 |
| Esponente k | 100 |
| Logaritmo decimale k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Cifra decimale della prima cifra diversa da zero | =-INT(B3) |
Fogli Google ha le stesse funzioni LOG10 e INT di Excel, quindi vanno bene esattamente le stesse formule.
Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci la base e l’esponente con i tuoi numeri.
Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci la base e l’esponente con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
import math
a = 2 # base (un numero intero da 2 in su)
k = 100 # esponente (la potenza)
# Con il logaritmo decimale (la stessa idea del metodo a mano)
log_value = k * math.log10(a)
digit_count = math.floor(log_value) + 1 # parte intera + 1 = numero di cifre
fractional = log_value - math.floor(log_value)
leading_digit = math.floor(10 ** fractional) # prima cifra dalla parte decimale
print(f"Logaritmo decimale: {log_value}")
print(f"Numero di cifre: {digit_count}, prima cifra: {leading_digit}")
# Calcolo esatto (gli interi di Python non hanno limite di cifre, quindi si può controllare calcolando tutto il valore)
actual = a ** k
print(f"Numero di cifre reale: {len(str(actual))}, prima cifra reale: {str(actual)[0]}")
# Per un decimale minore di 1 (a quale cifra decimale per 0,5 alla 100) il logaritmo decimale è negativo
position = -math.floor(100 * math.log10(0.5))
print(f"La prima cifra diversa da zero di 0,5 alla 100 compare alla cifra decimale {position}")
Funziona con il solo modulo math della libreria standard. Il punto chiave è usare math.floor(), e non int(), per la parte intera (int() arrotonda verso 0, quindi con un logaritmo negativo la risposta sbaglierebbe di 1). Cambia a e k all’inizio con i tuoi numeri ed esegui il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Logaritmo decimale di una potenza (l’esponente passa davanti)
log₁₀(aᵏ) = k log₁₀ a
\log_{10} a^{k} = k \log_{10} a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>k</mi>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
log_10 (a^k) = k log_10 a
Log10[a^k] == k*Log10[a]
log10(a^k) = k*log10(a);
log10(a^k) == k*log10(a)
log_10(a^k) = k log_10(a)
Numero di cifre (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\) cifre)
10ⁿ⁻¹ ≤ N < 10ⁿ
10^{n-1} \le N < 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
10^(n-1) <= N < 10^n
IntegerLength[a^k]
length(a^k);
floor(log10(a^k)) + 1
10^(n-1) ≤ N < 10^n
Prima cifra (dalla parte decimale del logaritmo decimale)
log₁₀ d ≤ f < log₁₀(d+1)
\log_{10} d \le f < \log_{10} (d+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>d</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>f</mi>
<mo><</mo>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
log_10 d <= f < log_10 (d+1)
First[IntegerDigits[a^k]]
trunc(10^frac(k*log10(a)));
floor(10^(mod(k*log10(a), 1)))
log_10(d) ≤ f < log_10(d+1)
Decimali minori di 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ \(m\)ª cifra decimale)
10⁻ᵐ ≤ N < 10⁻ᵐ⁺¹
10^{-m} \le N < 10^{-m+1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
10^(-m) <= N < 10^(-m+1)
-Floor[Log10[a^k]]
-floor(log10(a^k));
-floor(log10(a^k))
10^(-m) ≤ N < 10^(-m+1)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per i logaritmi decimali e il numero di cifre. Fai i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a intuito). 1. Quante cifre ha 2 alla 100? Trovalo sia sommando 1 alla parte intera di k × log10(a), sia contando direttamente con len(str(2**100)), e controlla che i due risultati coincidano. 2. Trova la prima cifra (la cifra più a sinistra) di 2 alla 100 dalla parte decimale del logaritmo decimale e confrontala con il valore reale. 3. A quale cifra decimale compare la prima cifra diversa da zero di 0,5 alla 100? Trovala con -floor(100 × log10(0,5)). Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
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1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
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2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
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3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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