Calcolatrice della forma trigonometrica di un numero complesso (modulo, argomento e correzione del quadrante con piano complesso)

Scegli il verso della conversione e scrivi i numeri. Per passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica scrivi la parte reale a e la parte immaginaria b, per fare il contrario scrivi il modulo r e l’argomento θ (e scegli la sua unità).

Conversione

Parte reale a

Parte immaginaria b

Modulo r

Argomento θ

Unità dell’argomento

Si possono usare decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Una parte reale o una parte immaginaria vuota vale 0.

Risultato e figura

Scrivi i numeri nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e un grafico sul piano complesso.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Converti subito un numero complesso \(z = a + bi\) (forma algebrica) nella forma trigonometrica \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\), con il modulo \(r\) e l’argomento \(\theta\). Il modulo è dato come valore esatto con il radicale semplificato, come \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), e per gli angoli notevoli l’argomento è una frazione esatta di π
L’argomento \(\theta\) è dato soprattutto nell’intervallo \(0 \le \theta < 2\pi\), con in più il valore nell’intervallo \(-\pi < \theta \le \pi\) (l’argomento principale), così puoi controllare la risposta qualunque convenzione usi il tuo libro di testo
Converte anche nel verso opposto (dalla forma trigonometrica alla forma algebrica). Scrivi il modulo \(r\) e l’argomento \(\theta\) (in gradi, come frazione di π o come decimale in radianti) e \(a + bi\) viene mostrato come valore esatto, per esempio \(1 + \sqrt{3}i\)
I passaggi mostrano, uno alla volta, come si trova l’argomento da \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) e dal quadrante in cui sta il punto (la correzione del quadrante)
Puoi vedere il risultato anche sul piano complesso, che mostra a colpo d’occhio dove stanno il modulo \(r\) (la distanza dall’origine) e l’argomento \(\theta\) (l’angolo di rotazione a partire dall’asse reale)

Questa pagina tratta la forma trigonometrica dei numeri complessi, come si studia negli ultimi anni del liceo. La parte reale e la parte immaginaria possono essere frazioni o decimali (numeri razionali) e numeri irrazionali come √3 non si possono scrivere direttamente. Quindi l’argomento esce come frazione esatta di π solo quando il punto sta su un asse o l’angolo è un multiplo di 45° (per gli angoli basati su 30° e 60°, tan θ è un numero irrazionale come 1/√3, che non può venire da parte reale e parte immaginaria razionali). Nel verso opposto, dalla forma trigonometrica alla forma algebrica, tutti gli angoli notevoli multipli di 30° o di 45° si calcolano in modo esatto.

A cosa serve questo calcolo?

Calcoli sui circuiti in corrente alternata (ingegneria elettrica ed elettronica)

La corrente alternata (c.a.) di una presa a muro ha tensione e corrente che oscillano come onde e portano due informazioni: la grandezza dell’onda e lo spostamento nel tempo (la fase). In elettrotecnica entrambe stanno in un solo numero complesso (modulo = grandezza dell’onda, argomento = fase) e il metodo standard per risolvere il circuito è moltiplicare e dividere in forma trigonometrica. Gli ingegneri la chiamano notazione fasoriale (i fasori).
Il progetto della rete elettrica, dalla centrale a casa tua, e del circuito dentro un caricabatterie del telefono si basa su questi calcoli con «modulo e argomento». È l’uso quotidiano più comune dei numeri complessi nel lavoro degli ingegneri e compare anche all’esame di Stato per l’abilitazione alla professione di ingegnere.

Analisi di suoni e onde radio (trasformata di Fourier ed elaborazione dei segnali)

Quando un computer tratta suoni o onde radio, li scompone con un calcolo chiamato trasformata di Fourier in «quanto c’è di ogni altezza d’onda». Il risultato è un elenco di numeri complessi: il modulo di ciascuno è l’intensità di quell’onda (l’ampiezza) e l’argomento è il suo spostamento (la fase).
Molte tecnologie che trattano suoni e onde radio, come gli equalizzatori delle app musicali, la cancellazione del rumore delle cuffie e il riconoscimento vocale, si basano su questa idea di leggere un numero complesso tramite il suo modulo e il suo argomento.

Rotazione di figure (videogiochi e computer grafica)

La regola della forma trigonometrica «si moltiplicano i moduli, si sommano gli argomenti» è, geometricamente, solo «cambiare la scala e ruotare». Per esempio, moltiplicare per \(i\) (modulo 1, argomento 90°) ruota un punto esattamente di 90° attorno all’origine. Nei giochi 2D il calcolo per far girare un personaggio o un proiettile si può scrivere come moltiplicazione complessa.
I quaternioni, usati nella grafica 3D e nel controllo dei robot, estendono a tre dimensioni questa idea di «rotazione con i numeri complessi».

«Distanza e direzione» di radar e sonar (aviazione e navigazione)

Il radar di un aeroporto e il sonar di una nave localizzano un bersaglio con una coppia di dati: «a che distanza si trova» e «in quale direzione». È la stessa idea della forma trigonometrica (le coordinate polari), che descrive un punto con \(r\) e \(\theta\). Una conversione dello stesso tipo di quella di questa pagina serve a trasformarlo nella posizione mostrata sullo schermo (coordinate orizzontale e verticale).
Ogni volta che «distanza e direzione» è il modo naturale di descrivere una posizione, compare questa conversione da e verso le coordinate cartesiane.

Formule e figure

Forma trigonometrica (un altro modo di scrivere un numero complesso)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(z\) \(=\) \(r\) \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ numero complesso \(z\) \(=\) ① modulo \(r\) (distanza dall’origine) ② direzione data dall’argomento \(\theta\)

La formula a parole

① Prendi il modulo \(r\) (la distanza dall’origine al punto)

② moltiplicalo per la parte di direzione \(\cos\theta + i\sin\theta\) dell’argomento \(\theta\)

③ e ottieni il numero complesso \(z\)

Un esempio semplice

Scrivendo \(z = 1 + \sqrt{3}i\) in forma trigonometrica (il modulo è \(r = 2\) e l’argomento è \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), cioè 60°):

numero complesso \(1 + \sqrt{3}i\) \(=\) modulo \(2\) \(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)

\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

L’idea chiave

Lo stesso numero complesso si può scrivere in due modi. Leggerlo come «il punto a \(a\) in orizzontale e \(b\) in verticale» dà la forma algebrica \(a + bi\). Leggerlo come «il punto a distanza \(r\) dall’origine, nella direzione dell’angolo \(\theta\) a partire dall’asse reale» dà la forma trigonometrica. È come dare indicazioni stradali: la forma algebrica dice «vai 1 a est e √3 a nord», mentre la forma trigonometrica dice «gira di 60° da est verso nord e vai avanti 2». Addizione e sottrazione sono più facili in forma algebrica, mentre moltiplicazione, divisione e potenze sono più facili in forma trigonometrica (la formula della moltiplicazione in forma trigonometrica qui sotto mostra perché).

Modulo \(r\) (distanza dall’origine)

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

② modulo \(r\) \(=\) ① radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale \(a\) e della parte immaginaria \(b\)

La formula a parole

① La radice quadrata della parte reale \(a\) al quadrato più la parte immaginaria \(b\) al quadrato, \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

② è il modulo \(r\)

Un esempio semplice

Il modulo di \(z = 3 + 4i\) è

modulo \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

L’idea chiave

Questo è proprio il teorema di Pitagora. Sul piano complesso il punto \(z = a + bi\) è a \(a\) in orizzontale e \(b\) in verticale. Unendo l’origine, il punto \((a ; 0)\) e \(z\) si forma un triangolo rettangolo e la distanza dall’origine a \(z\) (l’ipotenusa) è \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Per convenzione una radice quadrata nella risposta si scrive in forma semplificata, con i fattori quadrati portati fuori, come in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (anche questa calcolatrice la mostra in questa forma).

Argomento \(\theta\) (si trova da tan θ e dal quadrante)

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{b}{a}\)

② tangente dell’argomento \(\theta\) \(=\) ① parte immaginaria \(b\) divisa per la parte reale \(a\)

La formula a parole

① La parte immaginaria \(b\) divisa per la parte reale \(a\)

② è la tangente dell’argomento, \(\tan\theta\) (questa formula da sola non determina un unico \(\theta\), quindi si usa il quadrante del punto \(z\) per sceglierne uno)

Un esempio semplice

L’argomento di \(z = -1 + i\) (la parte reale è negativa e la parte immaginaria è positiva, quindi il punto sta nel quadrante 2):

tangente \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)

L’idea chiave

Nell’intervallo \(0 \le \theta < 2\pi\) ci sono due angoli con \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) e \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Quale sia quello giusto dipende dal quadrante del punto \(z\). Per \(z = -1 + i\) la parte reale è negativa e la parte immaginaria è positiva, cioè il quadrante 2 (in alto a sinistra), quindi si sceglie \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Questa è la correzione del quadrante. Il tasto \(\arctan\) (arcotangente) di una calcolatrice o di un foglio di calcolo restituisce solo angoli tra \(-\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{\pi}{2}\), quindi per i punti nei quadranti 2 e 3 il suo risultato non è l’argomento così com’è. Bisogna correggere l’angolo acuto che si ottiene da \(\arctan\), per esempio sommando \(\pi\), a seconda del quadrante (questa calcolatrice mostra la correzione nei passaggi).

Moltiplicazione in forma trigonometrica (si moltiplicano i moduli, si sommano gli argomenti)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(z_{1} z_{2}\) \(=\) \(r_{1} r_{2}\) \(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ prodotto dei due numeri complessi \(=\) ① prodotto dei moduli ② direzione data dalla somma degli argomenti

La formula a parole

① Prendi il prodotto dei moduli, \(r_1 r_2\)

② moltiplicalo per la parte di direzione per la somma degli argomenti, \(\theta_1 + \theta_2\)

③ e ottieni il prodotto dei due numeri complessi, \(z_1 z_2\) (moltiplicare per \(z_2\) cambia la lunghezza di un fattore \(r_2\) e ruota la direzione di \(\theta_2\))

Un esempio semplice

Il prodotto di \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) e \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) è

prodotto \(z_1 z_2\) \(=\) moduli moltiplicati, \(2 \times 3\) \(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)

\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)

L’idea chiave

Questo è il vantaggio più grande della forma trigonometrica. Moltiplicare in forma algebrica richiede la proprietà distributiva per sviluppare quattro termini, mentre in forma trigonometrica basta «moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti». Geometricamente, moltiplicare per \(z_2\) è «ruotare di \(\theta_2\) attorno all’origine e cambiare la lunghezza di un fattore \(r_2\)». Per esempio, moltiplicare per \(i\) (modulo 1, argomento 90°) ruota un punto esattamente di 90° attorno all’origine. Usando questa regola per moltiplicare lo stesso numero \(n\) volte si ottiene la formula di De Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), che porta alle potenze n-esime e alle radici n-esime dei numeri complessi.

Un numero complesso \(z = a + bi\) si può scrivere anche in forma trigonometrica \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), usando il modulo \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) (la distanza dall’origine) e l’argomento \(\theta\) (l’angolo misurato in senso antiorario a partire dal semiasse positivo dell’asse reale). L’argomento si trova da \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) e dal quadrante del punto. In forma trigonometrica la moltiplicazione di numeri complessi diventa una regola semplice: si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

Simboli e termini

Simboli

\(i\)	i	L’unità immaginaria, il numero il cui quadrato è \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La lettera viene da «immaginaria».
\(z\)	zeta	La lettera che di solito indica un numero complesso. Per consuetudine si usano \(z\) e \(w\) per i numeri complessi, per distinguerli dalle variabili reali \(x,\ y\).
\(a,\ b\)	a, b	La parte reale (\(a\)) e la parte immaginaria (\(b\)) di \(z = a + bi\). Sono entrambe numeri reali. Sul piano complesso \(a\) è la posizione in orizzontale (lungo l’asse reale) e \(b\) è la posizione in verticale (lungo l’asse immaginario).
\(r\)	erre	La lettera che indica il modulo (la distanza dall’origine al punto \(z\)). Viene da «raggio». Nella forma trigonometrica è un numero reale maggiore o uguale a 0.
\(\|z\|\)	modulo di z	Il simbolo del modulo di \(z\). Si scrive con due barre verticali, come per un numero reale, e \(\|a + bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
\(\theta\)	teta	La lettera greca usata per l’argomento. In matematica è la lettera abituale per un angolo.
\(\arg z\)	arg z	Il simbolo dell’argomento di \(z\), dalle prime tre lettere di «argomento». Si usa come in \(\arg z = \theta\).
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	coseno teta, seno teta	Funzioni goniometriche. Sulla circonferenza di raggio 1 (la circonferenza goniometrica) il punto nella direzione dell’angolo \(\theta\) ha posizione orizzontale \(\cos\theta\) e posizione verticale \(\sin\theta\). Nella forma trigonometrica sono la parte che dà la direzione.
\(\tan\theta\)	tangente teta	Una funzione goniometrica definita da \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Sul piano complesso \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (la salita su quanto si avanza, cioè il coefficiente angolare), che è la chiave per trovare l’argomento.
\(\arctan\)	arcotangente	L’inversa della tangente (che si scrive anche arctg o \(\tan^{-1}\)). Restituisce «l’angolo \(\theta\) con \(\tan\theta = x\)». L’angolo che restituisce è sempre tra \(-\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{\pi}{2}\), quindi serve la correzione del quadrante per gli argomenti nei quadranti 2 e 3.
\(\pi\)	pi greco	Il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro (circa 3,14159). In radianti un angolo piatto, \(180^{\circ}\), è esattamente \(\pi\). La lettera greca \(\pi\) deriva dalla prima lettera della parola greca per «perimetro».

Termini

numero complesso	Un numero della forma \(a + bi\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali. È un sistema numerico che riunisce i numeri reali e immaginari.
unità immaginaria	Il numero \(i\) il cui quadrato è \(-1\). Nessun numero reale ha un quadrato negativo, quindi è stato introdotto come numero nuovo.
parte reale	La \(a\) del numero complesso \(z = a + bi\). Sul piano complesso è la coordinata orizzontale.
parte immaginaria	La \(b\) del numero complesso \(z = a + bi\). È il numero reale davanti a \(i\), senza la \(i\) stessa (la parte immaginaria di \(1 + 2i\) è \(2\), non \(2i\)).
piano complesso	Il piano in cui \(a + bi\) è rappresentato dal punto \((a ; b)\). L’asse orizzontale è l’asse reale e l’asse verticale è l’asse immaginario. Si chiama anche piano di Gauss o di Argand-Gauss.
forma algebrica	Scrivere un numero complesso come \(a + bi\) (le coordinate \(a\) in orizzontale e \(b\) in verticale). Addizione e sottrazione sono più facili in questa forma.
forma trigonometrica (forma polare)	Scrivere un numero complesso con la sua distanza \(r\) dall’origine e il suo angolo di rotazione \(\theta\) a partire dall’asse reale, come \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Moltiplicazione, divisione e potenze sono più facili in questa forma.
modulo (valore assoluto)	La distanza dall’origine al punto \(z\), calcolata come \(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Estende al piano il valore assoluto di un numero reale (la sua distanza da 0 sulla retta dei numeri).
argomento	L’angolo della direzione dall’origine al punto \(z\), misurato in senso antiorario a partire dal semiasse positivo dell’asse reale. Il simbolo è \(\arg z\). Aggiungere un giro completo (\(2\pi\)) dà la stessa direzione, quindi per convenzione la risposta si dà in un intervallo stabilito, come \(0 \le \theta < 2\pi\) o \(-\pi < \theta \le \pi\) (l’argomento principale).
quadrante	Una delle quattro regioni in cui i due assi dividono il piano cartesiano. In alto a destra c’è il primo quadrante (spesso scritto I) e, contando in senso antiorario, seguono i quadranti 2, 3 e 4. In quale quadrante sta un punto è la chiave per stabilire il suo argomento.
radiante (misura in radianti)	Misurare un angolo con la lunghezza dell’arco che sottende su una circonferenza di raggio 1. \(180^{\circ} = \pi\) radianti. Dalla trigonometria in poi i radianti sono l’unità standard, al posto dei gradi.
angolo notevole	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) e gli angoli collegati (questi più i multipli di \(90^{\circ}\)). I loro valori goniometrici si possono scrivere in modo esatto, come \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), e la maggior parte dei problemi dei libri di testo usa questi angoli.
correzione del quadrante	In un giro completo ci sono due angoli con \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\), quindi si sceglie quello che corrisponde al quadrante del punto (per esempio sommando \(\pi\) all’angolo acuto ottenuto con \(\arctan\)).
formula di De Moivre	La formula \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\). È il risultato di ripetere \(n\) volte «moltiplicare somma gli argomenti» e si usa per trovare le potenze n-esime e le radici n-esime dei numeri complessi.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su questi argomenti è la strada più veloce per andare avanti.

Radici quadrate e radicali (scuola secondaria di primo grado, 13-14 anni)	Sapere che \(\sqrt{2}\) è «il numero positivo il cui quadrato è 2» Saper semplificare un radicale portando fuori i fattori quadrati, come in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Sapere che l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è \(\sqrt{a^2 + b^2}\) quando gli altri due lati sono \(a\) e \(b\) Saper trovare la distanza tra due punti del piano cartesiano con il teorema di Pitagora
Numeri complessi (scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni)	Sapere che l’unità immaginaria \(i\) è il numero con \(i^2 = -1\) Saper leggere la parte reale \(a\) e la parte immaginaria \(b\) di \(a + bi\)
Trigonometria e circonferenza goniometrica (scuola secondaria di secondo grado, 14-17 anni)	Sapere che \(\sin\), \(\cos\) e \(\tan\) sono l’altezza, la posizione orizzontale e la pendenza di un punto sulla circonferenza goniometrica Conoscere i valori goniometrici di \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) e \(60^{\circ}\) (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Saper trovare i valori goniometrici di angoli oltre \(90^{\circ}\) con la circonferenza goniometrica (esempio: \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Radianti (scuola secondaria di secondo grado, 14-17 anni)	Saper passare dai gradi ai radianti e viceversa con \(180^{\circ} = \pi\) radianti (esempio: \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Il piano complesso (scuola secondaria di secondo grado, 16-19 anni)	Saper rappresentare un numero complesso \(a + bi\) come il punto \((a ; b)\) del piano Sapere che l’asse orizzontale si chiama asse reale e l’asse verticale asse immaginario

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella da forma algebrica a forma trigonometrica

Parte reale a	3
Parte immaginaria b	4
Modulo r	=RADQ(B1^2+B2^2)
Argomento θ (radianti, 0 ≤ θ < 2π)	=RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO())
Argomento θ (gradi)	=GRADI(RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO()))

Tabella da forma trigonometrica a forma algebrica

Modulo r	2
Argomento θ (gradi)	60
Parte reale a = r cos θ	=B1*COS(RADIANTI(B2))
Parte immaginaria b = r sin θ	=B1*SEN(RADIANTI(B2))

Dopo aver incollato, le righe in alto sono i dati da inserire e le righe in basso sono calcolate automaticamente.
Nella prima tabella ARCTAN.2(coordinata x; coordinata y) restituisce l’argomento con la correzione del quadrante già fatta (maggiore di −π e fino a π). Applicando RESTO con 2π si ottiene un argomento da 0 fino a 2π escluso. Per l’esempio z = 3 + 4i si ha r = 5 e θ ≈ 0,9273 (circa 53,13 gradi).
Nella seconda tabella RADIANTI converte i gradi in radianti. Per l’esempio r = 2 e θ = 60 gradi si ha a = 1 e b ≈ 1,7320508 (= √3). Excel dà decimali, quindi se vuoi valori esatti come √2 o frazioni di π usa la calcolatrice di questa pagina.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella da forma algebrica a forma trigonometrica

Parte reale a	3
Parte immaginaria b	4
Modulo r	=RADQ(B1^2+B2^2)
Argomento θ (radianti, 0 ≤ θ < 2π)	=RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO())
Argomento θ (gradi)	=GRADI(RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO()))

Tabella da forma trigonometrica a forma algebrica

Modulo r	2
Argomento θ (gradi)	60
Parte reale a = r cos θ	=B1*COS(RADIANTI(B2))
Parte immaginaria b = r sin θ	=B1*SEN(RADIANTI(B2))

Valgono le stesse formule di Excel (anche ARCTAN.2 prende i dati nello stesso ordine, «coordinata x; coordinata y»). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

import math

# Forma algebrica -> forma trigonometrica
real_part = 3        # parte reale a
imaginary_part = 4   # parte immaginaria b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part)   # include la correzione del quadrante (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                        # lo porta nell’intervallo 0 ≤ θ < 2π
print(f"Modulo r = {absolute_value}")
print(f"Argomento θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} gradi)")

# Forma trigonometrica -> forma algebrica
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Parte reale a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Parte immaginaria b = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) restituisce l’angolo con la correzione del quadrante già fatta, quindi, a differenza di arctan, dà la direzione giusta anche per i punti nei quadranti 2 e 3. La prima metà di questo esempio converte z = 3 + 4i e, eseguendola, stampa r = 5 e θ ≈ 0,9272952180016122 rad (circa 53,13 gradi). La seconda metà riconverte da r = 2 e θ = 60°, dando a ≈ 1,0000000000000002 e b ≈ 1,7320508075688772 (= √3). Il valore di a non è esattamente 1 per gli errori di arrotondamento dei decimali (numeri in virgola mobile): per i valori esatti bisogna calcolare con i simboli, come fa la calcolatrice di questa pagina. Puoi ottenere anche il modulo e l’angolo (−π < θ ≤ π) in una volta sola con cmath.polar(complex(3, 4)) del modulo cmath della libreria standard.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Forma trigonometrica (un altro modo di scrivere un numero complesso)

z = r(cosθ + i sinθ)

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

z = r(cos theta + i sin theta)

z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])

z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));

z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));

z = r(cos θ + i sin θ)

Modulo \(r\) (distanza dall’origine)

r = |z| = √(a² + b²)

r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)

Abs[a + b I]

r := abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

r = √(a^2 + b^2)

Argomento \(\theta\) (si trova da tan θ e dal quadrante)

tanθ = b/a

\tan\theta = \dfrac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = b/a

theta = Arg[a + b I]

theta := argument(a + b*I);

theta = angle(a + b*1i);

tan θ = b/a

Moltiplicazione in forma trigonometrica (si moltiplicano i moduli, si sommano gli argomenti)

z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>{</mo>
    <mi>cos</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi>
    <mi>sin</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
  </mrow>
</math>

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))

r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])

z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));

z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo matematico per il piano complesso. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a intuito).

1. Converti il numero complesso z = 3 + 4i nella forma trigonometrica r(cos θ + i sin θ). Mostra il modulo r e l’argomento θ (nell’intervallo 0 ≤ θ < 2π, sia in radianti sia in gradi).
2. Converti il numero complesso con modulo r = 2 e argomento θ = 60° in forma algebrica a + bi. Mostra a e b come decimali e, se possibile, anche come valori esatti con le radici quadrate.

In Python usa math.atan2 e math.sqrt e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula