Calcolo del TIR (tasso interno di rendimento dai flussi di cassa)

Inserisci l’investimento iniziale e il flusso di cassa di ogni anno a partire dall’anno 1 (il denaro incassato in quell’anno). La calcolatrice ricava il tasso di sconto che rende il VAN (valore attuale netto) esattamente 0, cioè il TIR (tasso interno di rendimento).

Investimento iniziale (€)

Scrivi gli importi in euro come semplici numeri. Inserisci l’investimento iniziale come importo positivo (viene trattato come un’uscita negativa). Se hai investito di più in un anno successivo, scrivi un importo negativo per quell’anno (per esempio -50000); lascia vuoti o a 0 gli anni senza movimenti di denaro. Puoi aggiungere righe con «Aggiungi una riga» fino a 20 anni (20 anni bastano per la maggior parte delle decisioni di investimento).

Risultato e grafico

Inserisci a sinistra l’investimento iniziale e il flusso di cassa di ogni anno e premi «Calcola». Qui compaiono il risultato e il grafico.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafici
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci l’investimento iniziale e il flusso di cassa di ogni anno (il denaro incassato in quell’anno) e ottieni il TIR (tasso interno di rendimento, all’anno)
Vengono mostrati insieme il periodo di investimento, il rendimento complessivo (guadagno o perdita sull’intero periodo) e il rendimento lordo
Gli importi annuali possono essere tutti diversi e sono previsti investimenti aggiuntivi negli anni successivi (flussi di cassa negativi)
Un grafico del VAN (valore attuale netto) mostra a colpo d’occhio dove il VAN diventa 0, cioè il TIR
In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python

Questa pagina considera un flusso di cassa all’anno. Per il tasso di un investimento con rate uguali a ogni periodo è comodo il «Calcolo TVM» tra le pagine correlate (ricavando I/Y). Il TIR qui è un calcolo matematico che non comprende costi né imposte, e questa pagina non consiglia alcun investimento.

A cosa serve questo calcolo?

Decidere un investimento in un macchinario (budget degli investimenti e hurdle rate)

«Se installiamo un macchinario da 4.000.000 €, prevediamo risparmi sui costi di 1.000.000 €, 2.000.000 € e 3.000.000 € in 3 anni.» Con questa stima il TIR è circa il 19,4% all’anno. Nelle decisioni di investimento di un’impresa l’uso standard è confrontare questo TIR con il rendimento minimo richiesto (l’hurdle rate, come il tasso del finanziamento o il costo del capitale) e accettare il progetto se è più alto. Lo trovi in ogni manuale di finanza aziendale.
I flussi di cassa futuri sono però solo stime, quindi è buona prassi rifare i conti anche con una stima prudente.

Valutare un immobile in affitto (affitto annuale più la vendita finale)

Il denaro in un investimento immobiliare scorre così: prima compri l’immobile, ogni anno arriva l’affitto e alla fine arriva il prezzo di vendita, quindi gli importi annuali sono tutti diversi. Il punto di forza del TIR è trasformare flussi di cassa irregolari come questi in un unico tasso annuo, e gli investitori immobiliari lo usano molto per confrontare gli immobili.
A differenza del rendimento lordo (affitto ÷ prezzo), comprende anche il guadagno o la perdita sulla vendita e gli anni in cui i periodi di sfitto riducono l’affitto.

Verificare se un impianto fotovoltaico o un’attrezzatura per il risparmio energetico si ripaga

Il fotovoltaico domestico ha un flusso di cassa adatto al TIR: paghi prima l’installazione, poi ogni anno risparmi sulla bolletta e puoi avere ricavi per l’energia immessa in rete (dove previsti). Per esempio, se l’installazione costa 10.000 €, elenca i risparmi di ogni anno e calcola il TIR: potrai confrontare l’impianto con un conto di risparmio o un fondo indicizzato sulla stessa scala, «questo impianto è come un investimento che rende il X% all’anno».
Il risultato cambia al cambiare delle ipotesi, come il prezzo dell’elettricità, le regole sugli incentivi o la vita dell’impianto, quindi conviene calcolare alcuni scenari.

Misurare i risultati di fondi e operazioni di M&A (carriere nella finanza)

Per i fondi di investimento come venture capital e private equity, il TIR è la misura standard dei risultati del fondo. Quando il denaro viene richiamato agli investitori e quando viene restituito cambia da fondo a fondo, quindi solo il TIR, che tiene conto del tempo, permette un confronto equo.
Anche le banche d’affari e le aziende che valutano un’operazione di M&A (fusioni e acquisizioni) calcolano il TIR dal prezzo di acquisto e dal piano degli utili futuri per decidere se procedere. È uno dei primi calcoli che si imparano quando si punta a una carriera nella finanza.

Vedere in numeri che il denaro restituito prima vale di più

Supponi che gli investimenti A e B costino entrambi 100.000 € e restituiscano entrambi 150.000 € in totale in 5 anni (un rendimento complessivo di 50.000 € e un rendimento lordo del 50%). A paga di più all’inizio (5000 €, 20.000 €, 25.000 €, 40.000 €, 60.000 €), mentre B paga soprattutto alla fine (0 €, 10.000 €, 30.000 €, 30.000 €, 80.000 €).
I totali sono uguali, ma il TIR di A è l’11,290% all’anno e quello di B il 10,259%, quindi A, che restituisce il denaro prima, vince. Il denaro che rientra si può reinvestire. Il TIR ti mostra in numeri questo valore del denaro nel tempo.

Formule e grafici

Trasformare il denaro di \(t\) anni nel suo valore di oggi (valore attuale)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(PV\): valore attuale \(=\) ① \(CF_t\): flusso di cassa dell’anno \(t\) \(\div\) ② fattore di sconto di un anno \((1+r)\) ③ \(t\): anni

La formula a parole

① Prendi \(CF_t\): flusso di cassa dell’anno \(t\)

② e dividilo per il fattore di sconto di un anno \((1+r)\) (\(r\) è il tasso di sconto)

③ moltiplicato per se stesso una volta per ciascuno dei \(t\): anni

④ e ottieni \(PV\): valore attuale

Un esempio semplice

A un tasso di sconto del 10%, il valore attuale di 1.210.000 € incassati tra 2 anni è (in unità da 10.000 €)

\(PV\): valore attuale \(=\) denaro tra 2 anni (1.210.000 €) \(\div\) fattore di sconto (1,1) anni (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

L’idea chiave

Se il denaro può rendere il 10% all’anno, «1.000.000 € oggi» e «1.210.000 € tra 2 anni» hanno lo stesso valore. Trasformare il denaro futuro in ciò che vale oggi si chiama attualizzazione e il tasso annuo \(r\) usato si chiama tasso di sconto. Il denaro ha un valore nel tempo: è l’idea su cui si basa il TIR.

Formula del VAN (valore attuale netto)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ VAN: valore attuale netto \(=\) ① \(CF_0\): investimento iniziale (un valore negativo) \(+\) ② somma dei valori attuali dei flussi di cassa dall’anno 1 all’anno \(n\)

La formula a parole

① Al \(CF_0\): investimento iniziale (denaro pagato, quindi negativo)

② aggiungi il somma dei valori attuali del flusso di cassa di ogni anno (il denaro di ogni anno trasformato nel valore di oggi con la formula 1, poi sommato)

③ e ottieni VAN: valore attuale netto

Un esempio semplice

A un tasso di sconto del 10%, il VAN di un investimento di 1.000.000 € che rende 550.000 € nel 1º anno e 605.000 € nel 2º è (in unità da 10.000 €)

VAN: valore attuale netto \(=\) investimento iniziale (−1.000.000 €) \(+\) somma dei valori attuali di 550.000 € e 605.000 €

\(55 \div 1{,}1 = 50\)

\(60{,}5 \div 1{,}21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

L’idea chiave

Il VAN è ciò che si ottiene trasformando tutto il denaro in entrata e in uscita di un investimento nel valore di oggi e sommando. Se è positivo, l’investimento va meglio che ottenere il tasso di sconto \(r\); se è negativo, peggio; se è esattamente 0, uguale a ottenere \(r\). Il VAN dell’esempio è esattamente 0 perché questo investimento rende esattamente il 10% all’anno.

Definizione di TIR (tasso interno di rendimento)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① VAN calcolato con \({\rm TIR}\) come tasso di sconto \(=\) ② esattamente \(0\)

La formula a parole

① Il VAN calcolato con \({\rm TIR}\) come tasso di sconto

② è esattamente \(0\) . Il tasso di sconto che rende vera questa uguaglianza è il tasso interno di rendimento, il TIR, e indica il rendimento annuo dell’investimento

Un esempio semplice

Per l’investimento di 1.000.000 € che rende 550.000 € nel 1º anno e 605.000 € nel 2º, il VAN è esattamente 0 a un tasso di sconto del 10%, come nell’esempio della formula 2, quindi

VAN (a un tasso di sconto del 10%) \(=\) esattamente 0

\({\rm TIR} = 0{,}10\ \ (10\%)\)

L’idea chiave

Questa equazione non si può riscrivere nella forma \({\rm TIR}=\cdots\) (diventa un’equazione di grado \(n\)). Al suo posto un computer cambia a poco a poco il tasso di sconto \(r\), calcola il VAN e cerca dove diventa 0 (un metodo numerico). La calcolatrice di questa pagina lo risolve allo stesso modo. Un’avvertenza: quando i segni (più e meno) dei flussi di cassa cambiano due o più volte, per esempio «investo → incasso → investo di nuovo una somma importante», più di un tasso di sconto può rendere il VAN uguale a 0 (il problema dei TIR multipli). In quel caso la calcolatrice mostra una nota. Per gli investimenti con più TIR la prassi standard è decidere con il VAN, non con il TIR.

Rendimento complessivo e rendimento lordo

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(TR\): rendimento complessivo \(=\) ① \(S\): totale incassato \(-\) ② \(C_0\): investimento iniziale

⑤ \(G\): rendimento lordo \(=\) \(TR\): rendimento complessivo \(\div\) ④ \(C_0\): investimento iniziale

La formula a parole

① Dal \(S\): totale incassato

② togli il \(C_0\): investimento iniziale

③ per ottenere il \(TR\): rendimento complessivo (il guadagno o la perdita sull’intero periodo). Dividilo ancora per il

④ \(C_0\): investimento iniziale

⑤ e ottieni \(G\): rendimento lordo (moltiplica per 100 per scriverlo in %)

Un esempio semplice

Se investi 4.000.000 € e incassi 1.000.000 € nel 1º anno, 2.000.000 € nel 2º e 3.000.000 € nel 3º (in unità da 10.000 €)

\(TR\): rendimento complessivo \(=\) totale incassato (6.000.000 €) \(-\) investimento iniziale (4.000.000 €)

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0{,}5\ \ (50\%)\)

L’idea chiave

Il rendimento lordo è la % che hai guadagnato rispetto all’investimento sull’intero periodo, e ignora il tempo. Un guadagno del 50% in 3 anni e un guadagno del 50% in 10 anni sono molto diversi. Il TIR tiene conto del valore del tempo e trasforma il risultato in un rendimento annuo, ed è il valore principale di questa pagina. Infatti, il rendimento lordo di questo esempio è il 50%, ma il TIR è il 19,438% all’anno.

Il TIR (tasso interno di rendimento) è il tasso di sconto che rende il VAN (valore attuale netto) esattamente 0, cioè il rendimento annuo dell’investimento. Non si può ricavare riscrivendo la formula, quindi si trova per via numerica cambiando a poco a poco il tasso di sconto. A parità di rendimento complessivo, più il denaro rientra presto, più alto è il TIR.

Simboli e termini

Simboli

IRR	T I R	Tasso interno di rendimento. Il tasso di sconto che rende il VAN esattamente 0; mostra il rendimento annuo dell’investimento. (Esempio: se investi 4.000.000 € e incassi 1.000.000 €, 2.000.000 € e 3.000.000 € in 3 anni, il TIR è il 19,438% all’anno.)
NPV	V A N	Valore attuale netto. Tutto il denaro in entrata e in uscita di un investimento, trasformato nel valore di oggi e sommato. Se è positivo, l’investimento va meglio del tasso di sconto.
\(CF_t\)	C F con t	Il flusso di cassa dell’anno \(t\). Il denaro incassato in quell’anno (negativo se era denaro pagato).
\(CF_0\)	C F con zero	Il flusso di cassa dell’anno 0 (adesso). L’investimento iniziale è denaro pagato, quindi è negativo. In questa calcolatrice lo inserisci come importo positivo e viene trattato come negativo.
\(r\)	r	Il tasso di sconto. Il tasso annuo usato per trasformare il denaro futuro nel valore di oggi. Il TIR è la \(r\) speciale per cui il VAN è 0.
\(t\)	t	Il numero dell’anno. Conta in quale anno si trova il denaro, con il momento dell’investimento come anno 0.
\(n\)	n	Il periodo di investimento in anni. L’anno dell’ultimo flusso di cassa.
\(PV\)	P V	Valore attuale. Il denaro futuro trasformato nel suo valore di oggi.
\(S\)	S	Il totale incassato. Tutti i flussi di cassa dall’anno 1 all’anno \(n\) sommati (gli investimenti aggiuntivi si sommano come importi negativi).
\(TR\)	T R	Rendimento complessivo. Il totale incassato meno l’investimento iniziale, il guadagno o la perdita sull’intero periodo.
\(G\)	G	Il rendimento lordo. Il rendimento complessivo in % dell’investimento iniziale, una % sull’intero periodo che ignora il tempo. Nota che nel mondo dei fondi «rendimento lordo» di solito ha un altro significato: il rendimento prima dei costi.

Termini

flusso di cassa	Denaro in entrata o in uscita. Il denaro incassato è un numero positivo e quello pagato è un numero negativo. Per il TIR contano sia quando sia quanto denaro si muove.
tasso di sconto	Il tasso annuo usato per trasformare il denaro futuro nel valore di oggi (per attualizzarlo). Per esempio, 110.000 € tra un anno, attualizzati al 10% annuo, sono 100.000 € oggi.
valore attuale	Quanto vale oggi un denaro futuro. Poiché il denaro ha un valore nel tempo, più tardi ricevi gli stessi 1.000.000 €, minore è il suo valore attuale.
VAN (valore attuale netto)	La somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa di un investimento. Un VAN positivo dice che l’investimento rende più del tasso di sconto. È il metro più elementare per le decisioni di investimento.
TIR (tasso interno di rendimento)	Il tasso di sconto che rende il VAN esattamente 0. Mostra in un solo numero a quale rendimento annuo equivale l’investimento, quindi è molto usato per valutare progetti d’impresa e immobili.
hurdle rate (tasso minimo richiesto)	Il rendimento minimo richiesto a un investimento (come il costo del capitale). Nella pratica un progetto si accetta se il suo TIR è sopra l’hurdle rate.
problema dei TIR multipli	Una proprietà matematica: quando i segni dei flussi di cassa cambiano due o più volte, due o più tassi di sconto possono rendere il VAN uguale a 0. In quel caso il TIR da solo non basta per decidere, quindi si decide con il VAN.
metodo numerico	Un modo di risolvere un’equazione che non si può risolvere riscrivendola: un computer prova dei valori a poco a poco e si avvicina alla soluzione. Il TIR si trova così (bisezione, metodo di Newton e altri).

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa si fa, e non solo premendo il pulsante.

Percentuali (classi 5ª della primaria–1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Sapere che una percentuale si ricava come «parte ÷ totale» Saper passare da decimali a percentuali, come 0,5 e 50%
Numeri positivi e negativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Scrivere un pagamento (denaro in uscita) come numero negativo Saper sommare numeri positivi e negativi
Potenze (classi 1ª–3ª della secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che una potenza è la moltiplicazione ripetuta dello stesso numero, come in \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1\) Avere la percezione che moltiplicare più volte per un numero maggiore di 1 fa crescere sempre di più il risultato
L’idea di equazione (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Capire un’equazione come la ricerca del valore di una lettera che rende uguali i due membri Sapere che alcune equazioni non si risolvono riscrivendole e che allora ci si può avvicinare alla soluzione provando dei valori (un metodo numerico)
Interesse composto e valore del denaro nel tempo (matematica e educazione finanziaria della secondaria di secondo grado)	Sapere che il denaro che rende \(r\) all’anno cresce di \((1+r)\) volte ogni anno Sapere che, al contrario, dividere il denaro futuro per \((1+r)\) lo trasforma nel valore di oggi (attualizzazione e valore attuale)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per il valore attuale del denaro tra t anni

Denaro incassato tra t anni (€)	110000
Tasso di sconto (%)	10
Anni t	1
Valore attuale (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabella per il VAN (valore attuale netto)

Investimento iniziale (da scrivere negativo)	-1000000
Flusso di cassa dell’anno 1	550000
Flusso di cassa dell’anno 2	605000
Tasso di sconto (%)	10
VAN (€)	=VAN(B4/100;B2:B3)+B1

Tabella per il TIR (tasso interno di rendimento)

Investimento iniziale (da scrivere negativo)	-4000000
Flusso di cassa dell’anno 1	1000000
Flusso di cassa dell’anno 2	2000000
Flusso di cassa dell’anno 3	3000000
TIR (%)	=TIR.COST(B1:B4)*100

Tabella per il rendimento complessivo e il rendimento lordo

Investimento iniziale	4000000
Totale incassato	6000000
Rendimento complessivo (€)	=B2-B1
Rendimento lordo (%)	=(B2-B1)/B1*100

Excel ha una funzione apposta per il TIR. Come nella terza tabella, passa l’elenco dei flussi di cassa, con l’investimento iniziale scritto negativo, a «=TIR.COST(B1:B4)» e ottieni circa 19,438 (%) nell’esempio.
La funzione VAN della seconda tabella ha una trappola ben nota. La funzione VAN di Excel deve includere nel suo intervallo solo il denaro dall’anno 1 in poi; l’investimento iniziale (anno 0) si aggiunge fuori dalla funzione (l’esempio dà esattamente 0).
La prima tabella dà esattamente 100.000, e la quarta dà un rendimento complessivo di 2.000.000 e un rendimento lordo del 50%. Sostituisci semplicemente la colonna B con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per il valore attuale del denaro tra t anni

Denaro incassato tra t anni (€)	110000
Tasso di sconto (%)	10
Anni t	1
Valore attuale (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabella per il VAN (valore attuale netto)

Investimento iniziale (da scrivere negativo)	-1000000
Flusso di cassa dell’anno 1	550000
Flusso di cassa dell’anno 2	605000
Tasso di sconto (%)	10
VAN (€)	=VAN(B4/100;B2:B3)+B1

Tabella per il TIR (tasso interno di rendimento)

Investimento iniziale (da scrivere negativo)	-4000000
Flusso di cassa dell’anno 1	1000000
Flusso di cassa dell’anno 2	2000000
Flusso di cassa dell’anno 3	3000000
TIR (%)	=TIR.COST(B1:B4)*100

Tabella per il rendimento complessivo e il rendimento lordo

Investimento iniziale	4000000
Totale incassato	6000000
Rendimento complessivo (€)	=B2-B1
Rendimento lordo (%)	=(B2-B1)/B1*100

Fogli Google ha le stesse formule e le stesse funzioni TIR e VAN di Excel, che funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci la colonna B con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

initial_investment = 4000000                     # investimento iniziale (euro)
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # flusso di cassa di ogni anno dall’anno 1 (euro)

# VAN (valore attuale netto): trasforma ogni flusso di cassa nel valore di oggi e sommali
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))

cfs = [-initial_investment] + cash_flows

# Trova il tasso di sconto per cui il VAN è 0 (il TIR) con la bisezione
# (una versione semplice per gli investimenti ordinari i cui segni cambiano una sola volta)
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2

total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100

print(f"TIR: {irr * 100:.3f}%")
print(f"Rendimento complessivo: {total_return} €")
print(f"Rendimento lordo: {gross_return:.3f}%")

Funziona con la sola libreria standard. Il TIR non si può ricavare riscrivendo la formula, quindi si trova con la bisezione (un metodo numerico che dimezza più volte l’intervallo per avvicinarsi alla soluzione). Cambia in alto l’investimento iniziale e l’elenco dei flussi di cassa ed esegui il codice (l’esempio dà 19,438%).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Trasformare il denaro di \(t\) anni nel suo valore di oggi (valore attuale)

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

Formula del VAN (valore attuale netto)

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

Definizione di TIR (tasso interno di rendimento)

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

Rendimento complessivo e rendimento lordo

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per i calcoli sugli investimenti. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

Ho investito 4.000.000 € e ho incassato 1.000.000 € nel 1º anno, 2.000.000 € nel 2º e 3.000.000 € nel 3º.
Trova ciascuno dei valori seguenti:
1. Il TIR (tasso interno di rendimento, in %, con 3 decimali) = la r che rende uguale a 0 il VAN(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3
2. Il rendimento complessivo (in euro)
3. Il rendimento lordo (in %, con 3 decimali)

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

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3

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Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula