Scrivi le lunghezze dei tre lati del triangolo. Anche senza l’altezza, la formula di Erone dà l’area. Viene mostrato anche il semiperimetro s.
Scrivi i tre lati nella stessa unità di misura (per esempio, tutti in cm). L’area è in quell’unità al quadrato (cm² se i lati sono in cm). La somma di due lati qualsiasi deve essere maggiore del terzo, altrimenti non si può costruire un triangolo.
Risultato e figura
Scrivi le lunghezze dei tre lati del triangolo nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi le lunghezze dei tre lati di un triangolo e ottieni subito l’area (senza bisogno di misurare l’altezza)
- Il calcolo usa la formula di Erone \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) e mostra anche il semiperimetro \(s\) trovato lungo il percorso
- Copre anche la nota formula «base × altezza ÷ 2» e l’area del triangolo equilatero, \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), con spiegazioni semplici
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Scrivi i tre lati nella stessa unità di misura (per esempio, tutti in cm). L’area è in quell’unità al quadrato (cm² se i lati sono in cm). Inoltre, se i tre lati non rispettano la disuguaglianza triangolare («la somma di due lati qualsiasi è maggiore del terzo»), non si può costruire un triangolo e l’area non si può calcolare.
A cosa serve questo calcolo?
Misurare l’area di un terreno (topografia e compravendite immobiliari)
Dividere un terreno in triangoli e sommarne le aree è da sempre un modo di base per calcolare la superficie di un terreno. Quando l’altezza di ogni triangolo è difficile da misurare sul posto, si possono invece misurare i tre lati e usare la formula di Erone.
Per esempio, un terreno triangolare con lati di 30 m, 45 m e 50 m ha un’area di circa 666,6 m². Poter controllare da soli se l’area indicata in un annuncio o in un atto è plausibile è una conoscenza rassicurante quando si compra un terreno, uno degli acquisti più grandi della vita.
Stimare vernice e materiali per tetti e pareti (edilizia e fai da te)
Gli edifici hanno molte superfici triangolari, come il timpano di una casa (il triangolo sotto un tetto a falde) e i bordi dei tetti inclinati. Una parete a timpano triangolare con base di 8 m e altezza di 3 m misura \(8 \times 3 \div 2 = 12\) m².
Sulla latta della vernice è scritta la resa, cioè quanti metri quadrati copre, quindi una volta nota l’area puoi stimare da solo il numero di latte e il costo.
Stimare i materiali per cucito e lavori manuali
Nei lavori manuali si usano spesso pezzi triangolari, come i gagliardetti e i pezzi del patchwork. Un gagliardetto triangolare con base di 20 cm e altezza di 30 cm ha un’area di \(20 \times 30 \div 2 = 300\) cm².
Somma le aree per il numero di pezzi che ti servono e puoi decidere quanta stoffa comprare senza sprechi.
La grafica 3D e i videogiochi sono fatti di triangoli
I modelli 3D dei videogiochi e dei film si costruiscono combinando un numero enorme di piccoli triangoli (poligoni). Anche il volto di un personaggio che sembra liscio e curvo è un insieme di triangoli, se lo ingrandisci.
Per un computer, la formula di Erone, che trova l’area dalle distanze tra tre vertici (le tre lunghezze dei lati), è facile da gestire e si usa ancora come componente di base nei programmi di elaborazione della geometria. È uno dei pezzi di matematica che stanno dietro al lavoro di chi programma videogiochi e di chi fa grafica 3D.
Formule e figure
Formula di Erone (area dalle lunghezze dei tre lati)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(s\)
\(=\)
\((a+b+c)\)
\(\div\)
\(2\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(s\): semiperimetro
\(=\)
①
\((a+b+c)\): somma dei tre lati
\(\div\)
②
2 (per prendere la metà)
⑤
\(S\): area del triangolo
\(=\)
④
radice quadrata del prodotto di \(s\), \(s-a\), \(s-b\) e \(s-c\)
La formula a parole
①
Dividi la
somma dei tre lati \((a+b+c)\)
②
per
2 (per prendere la metà)
③
e ottieni il
semiperimetro \(s\)
④
Poi prendi la
radice quadrata del prodotto dei quattro numeri \(s\), \(s-a\), \(s-b\) e \(s-c\)
⑤
e ottieni
l’area del triangolo \(S\)
Un esempio semplice
Per un triangolo con lati di 3 m, 4 m e 5 m, prima si trova il semiperimetro, poi
semiperimetro \(s\)
\(=\)
somma dei tre lati (3 + 4 + 5)
\(\div\)
2
area del triangolo \(S\)
\(=\)
\(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
\(s = (3 + 4 + 5) \div 2 = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
L’idea chiave
Il punto chiave della formula di Erone è che trova l’area dalle sole lunghezze dei tre lati, senza misurare l’altezza. Prende il nome da Erone di Alessandria, un matematico vissuto intorno al primo secolo. È una formula che si incontra studiando la geometria.
Quando i tre lati non possono formare un triangolo (quando violano la disuguaglianza triangolare della formula 4), il numero sotto la radice quadrata diventa 0 o negativo e non si può calcolare nessuna area. La formula stessa ti dice se i tre lati possono formare un triangolo.
Base × altezza ÷ 2 (la formula di base della scuola primaria)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(S\): area del triangolo
\(=\)
①
\(b\): base
\(\times\)
②
\(h\): altezza
\(\div\)
③
2 (per prendere la metà)
La formula a parole
①
Moltiplica la
base \(b\)
②
per
l’altezza \(h\)
③
dividi per
2 (per prendere la metà)
④
e ottieni
l’area del triangolo \(S\)
Un esempio semplice
L’area di un triangolo con base di 6 cm e altezza di 4 cm è
area del triangolo \(S\)
\(=\)
base (6 cm)
\(\times\)
altezza (4 cm)
\(\div\)
2
\(6 \times 4 \div 2 = 12\)
L’idea chiave
Perché si divide per 2? Prendi una seconda copia dello stesso triangolo, capovolgila e attaccala: ottieni esattamente un parallelogramma di «base × altezza». Il triangolo ne è la metà, quindi si divide per 2. Qualsiasi lato può essere la base. L’altezza è la distanza del vertice opposto dalla base (o dal suo prolungamento), misurata perpendicolarmente a essa.
Se conosci l’altezza, questa formula è la via più rapida. Per esempio, il triangolo con lati 3, 4 e 5 è un triangolo rettangolo, quindi con base 3 e altezza 4 si ha \(3 \times 4 \div 2 = 6\). Coincide con l’area 6 trovata con la formula di Erone.
Area del triangolo equilatero (dalla sola lunghezza del lato)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\times\)
\(a^2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(S\): area del triangolo equilatero
\(=\)
②
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\): costante (circa 0,433)
\(\times\)
①
\(a^2\): la lunghezza del lato \(a\), al quadrato
La formula a parole
①
Moltiplica il
quadrato della lunghezza del lato \(a\)
②
per la
costante \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) (circa 0,433)
③
e ottieni
l’area del triangolo equilatero \(S\)
Un esempio semplice
L’area di un triangolo equilatero con lato di 10 cm è
area del triangolo equilatero \(S\)
\(=\)
costante (circa 0,433)
\(\times\)
lato al quadrato (10 × 10 = 100)
\(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2} \approx 0{,}433 \times 100 = 43{,}3\)
L’idea chiave
I tre lati di un triangolo equilatero sono uguali, quindi ponendo \(a = b = c\) nella formula di Erone si semplifica fino a questa forma (\(s = \frac{3a}{2}\) e \(s - a = \frac{a}{2}\), quindi \(S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times (\frac{a}{2})^3} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)).
Poiché \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\), \(\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}433\). Ricordalo come «circa il 43% del quadrato del lato» e puoi usarlo per stime veloci a mente.
Disuguaglianza triangolare (tre lati possono formare un triangolo?)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a + b\)
\(>\)
\(c\)
\(b + c\)
\(>\)
\(a\)
\(c + a\)
\(>\)
\(b\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(a + b\): somma dei lati \(a\) e \(b\)
\(>\)
②
\(c\): il lato rimanente
\(b + c\): somma dei lati \(b\) e \(c\)
\(>\)
\(a\): il lato rimanente
\(c + a\): somma dei lati \(c\) e \(a\)
\(>\)
\(b\): il lato rimanente
La formula a parole
①
Solo quando la
somma di due lati
②
è maggiore del
lato rimanente
per tutte e tre le combinazioni i tre lati possono formare un triangolo
Un esempio semplice
Con lati 1, 2 e 10, gli altri due lati insieme (1 + 2 = 3) non arrivano a coprire il lato più lungo, 10, quindi non si può costruire un triangolo
somma di due lati (1 + 2 = 3)
\(<\)
lato rimanente (10)
\(1 + 2 = 3 < 10\)
L’idea chiave
Non va bene nemmeno quando la somma di due lati è esattamente uguale al terzo lato (per esempio 1, 2, 3). I tre lati si appiattiscono su una sola retta (area 0), che non è un triangolo. Anche questa calcolatrice considera un errore il caso di uguaglianza.
Anche il legame con la formula di Erone è interessante: quando i lati violano la disuguaglianza triangolare, il numero sotto la radice quadrata, \(s(s-a)(s-b)(s-c)\), è 0 o negativo e non si può calcolare nessuna area.
Se conosci solo i tre lati, trova il semiperimetro s e usa la formula di Erone. Se conosci l’altezza, usa base × altezza ÷ 2. In entrambi i casi arrivi alla stessa area. Prima di calcolare, controlla solo che i tre lati possano formare un triangolo (la disuguaglianza triangolare).
Simboli e termini
Simboli
| \(a\), \(b\), \(c\) | a, b, c | Le lunghezze dei tre lati del triangolo. Usa la stessa unità per tutti e tre (se uno è in cm, tutti sono in cm). |
| \(s\) | s (minuscola) | Il semiperimetro, metà della somma dei tre lati (il perimetro): \(s = (a+b+c) \div 2\). È un passaggio intermedio della formula di Erone. |
| \(S\) | S (maiuscola) | L’area del triangolo che vuoi trovare. Attenzione: è diversa dalla \(s\) minuscola (il semiperimetro). |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | radice quadrata (segno di radice) | Il segno della radice quadrata, il numero che, elevato al quadrato, dà il numero di partenza. Esempio: \(\sqrt{36} = 6\) (6 al quadrato fa 36). |
| \(b\), \(h\) (usati nella formula 2) | b, h | Nella formula «base × altezza ÷ 2», \(b\) indica la base e \(h\) l’altezza. Attenzione: questa \(b\) ha un significato diverso dal lato \(b\) della formula di Erone. |
Termini
| formula di Erone | Una formula che dà l’area di un triangolo dalle sole lunghezze dei tre lati. Prende il nome da Erone di Alessandria, un matematico vissuto intorno al primo secolo. |
| semiperimetro | Metà del perimetro (la somma dei tre lati). Si usa lungo il percorso della formula di Erone e il suo simbolo è la \(s\) minuscola. |
| disuguaglianza triangolare | La condizione perché tre lunghezze formino un triangolo: la somma di due lati qualsiasi deve essere maggiore del terzo lato. Se due lati sommano esattamente il terzo, la figura si appiattisce su una retta e non è un triangolo. |
| base | Il lato scelto come riferimento per trovare l’area. Si può scegliere qualsiasi lato, e l’altezza dipende da quale lato è la base. |
| altezza | La lunghezza del segmento perpendicolare che va dal vertice opposto alla base fino alla base (o al suo prolungamento). Cambia a seconda di quale lato è la base. |
| triangolo equilatero | Un triangolo i cui tre lati sono tutti uguali. La sola lunghezza del lato \(a\) decide l’area: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). |
| radice quadrata | Un numero che, elevato al quadrato, dà il numero di partenza. Il segno è \(\sqrt{\phantom{a}}\) (il segno di radice). Esempio: \(\sqrt{144} = 12\). Si studia alla scuola secondaria di primo grado. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a questi argomenti è la via più rapida per andare avanti.
| Area del triangolo (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| La disuguaglianza triangolare (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Espressioni con le lettere e sostituzione (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Radici quadrate (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’area con la formula di Erone
| Lato a | 3 |
| Lato b | 4 |
| Lato c | 5 |
| Semiperimetro s | =(B1+B2+B3)/2 |
| Area del triangolo S | =RADQ(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
Tabella per trovare l’area con base × altezza ÷ 2
| Base | 6 |
| Altezza | 4 |
| Area del triangolo S | =B1*B2/2 |
Tabella per trovare l’area di un triangolo equilatero
| Lunghezza del lato a | 10 |
| Area del triangolo equilatero S | =RADQ(3)/4*B1^2 |
Nella prima tabella, B1–B3 sono i campi per i tre lati e B4 (il semiperimetro) e B5 (l’area) si calcolano da soli. «RADQ» è la funzione di Excel per la radice quadrata (√) e «^2» significa elevato al quadrato.
Per esempio, la prima tabella mostra 6 in B4 e 6 in B5 (un triangolo con lati 3, 4 e 5 ha area 6). La seconda tabella mostra 12 in B3 e la terza circa 43,3 in B2. Sostituisci i numeri inseriti con i valori del tuo triangolo.
Per esempio, la prima tabella mostra 6 in B4 e 6 in B5 (un triangolo con lati 3, 4 e 5 ha area 6). La seconda tabella mostra 12 in B3 e la terza circa 43,3 in B2. Sostituisci i numeri inseriti con i valori del tuo triangolo.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’area con la formula di Erone
| Lato a | 3 |
| Lato b | 4 |
| Lato c | 5 |
| Semiperimetro s | =(B1+B2+B3)/2 |
| Area del triangolo S | =RADQ(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
Tabella per trovare l’area con base × altezza ÷ 2
| Base | 6 |
| Altezza | 4 |
| Area del triangolo S | =B1*B2/2 |
Tabella per trovare l’area di un triangolo equilatero
| Lunghezza del lato a | 10 |
| Area del triangolo equilatero S | =RADQ(3)/4*B1^2 |
Valgono le stesse formule e la stessa funzione (RADQ) di Excel. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri inseriti con i valori del tuo triangolo.
Come calcolarlo con Python
import math
edge_a = 3.0 # lunghezza del lato a
edge_b = 4.0 # lunghezza del lato b
edge_c = 5.0 # lunghezza del lato c
# Prima controlla la disuguaglianza triangolare (la somma di due lati qualsiasi è maggiore del terzo)
if edge_a + edge_b > edge_c and edge_b + edge_c > edge_a and edge_c + edge_a > edge_b:
half_perimeter = (edge_a + edge_b + edge_c) / 2 # semiperimetro s
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - edge_a)
* (half_perimeter - edge_b) * (half_perimeter - edge_c))
print(f"Semiperimetro s: {half_perimeter}")
print(f"Area del triangolo S: {area}")
else:
print("Questi tre lati non possono formare un triangolo")
Funziona con il solo modulo math della libreria standard. math.sqrt(...) calcola la radice quadrata (√). Sostituisci le tre lunghezze in alto con i tuoi valori ed esegui.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula di Erone (area dalle lunghezze dei tre lati)
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) / 2
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</msqrt>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2
s = (a + b + c)/2; Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)]
s := (a + b + c)/2; S := sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
s = (a + b + c)/2; S = sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c)/2
Base × altezza ÷ 2 (la formula di base della scuola primaria)
S = b × h ÷ 2
S = \dfrac{1}{2} b h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 b h
b*h/2
S := b*h/2;
S = b*h/2;
S = bh/2
Area del triangolo equilatero (dalla sola lunghezza del lato)
S = (√3 / 4) × a²
S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = (sqrt(3)/4) a^2
Sqrt[3]/4*a^2
S := sqrt(3)/4*a^2;
S = sqrt(3)/4*a^2;
S = (√3/4)a^2
Disuguaglianza triangolare (tre lati possono formare un triangolo?)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>></mo><mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>></mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c && b + c > a && c + a > b
is(a + b > c and b + c > a and c + a > b);
(a + b > c) && (b + c > a) && (c + a > b)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per la geometria. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). I tre lati di un triangolo sono 7,5 m, 10,2 m e 12,3 m. 1. Controlla se questi tre lati possono formare un triangolo (la disuguaglianza triangolare). 2. Trova il semiperimetro s = (a + b + c) ÷ 2. 3. Trova l’area del triangolo con la formula di Erone S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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