Scrivi il numero di termini (fino a dove vuoi arrivare) e fai clic su «Calcola». Ottieni in un colpo solo i primi termini della successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), il termine n-esimo e la somma dei primi n termini.
Scrivi il numero di termini n come numero intero positivo (da 1 a 1000). Tutti i calcoli usano numeri interi esatti, quindi anche i termini grandi non hanno errori di arrotondamento in nessuna cifra.
Risultato e grafico
Scrivi il numero di termini nel campo a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e un grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci un solo valore, il numero di termini (fino a dove vuoi arrivare), per ottenere in un colpo solo il termine \(n\)-esimo della successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) e la somma dei primi \(n\) termini
- Va bene per domande come «Quanto vale il 20º numero di Fibonacci? Quanto fanno i primi 20 messi insieme?»
- Calcola valori esatti, con tutte le cifre, fino al termine 1000 (un numero di 209 cifre)
- Insieme al risultato, un grafico mostra come cresce la successione di Fibonacci, in cui ogni termine è la somma dei due termini che lo precedono
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice della formula (la relazione di ricorrenza) e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa calcolatrice parte dalla successione di Fibonacci da 1, cioè «1, 1, 2, 3, 5, …» (termine 1 = 1, termine 2 = 1). Alcuni libri mettono uno 0 davanti e cominciano «0, 1, 1, 2, 3, …». In quel caso lo 0 di solito si conta come termine 0, quindi dal termine 1 = 1 in poi la numerazione è la stessa di questa pagina. (Attenzione, se conti lo 0 come 1º termine, tutti i numeri d’ordine slittano di uno.)
A cosa serve questo calcolo?
Un classico esercizio per imparare a programmare (informatica)
La successione di Fibonacci segue la regola semplice «somma i due termini precedenti», quindi è un esercizio classico per imparare i cicli e la ricorsione (una funzione che richiama se stessa) nei corsi di programmazione. La stessa risposta può richiedere tempi molto diversi a seconda di come scrivi il codice (la semplice ricorsione richiede un numero enorme di chiamate per arrivare al termine 50), per questo è molto usata anche nei corsi di algoritmi.
Esistono anche una struttura dati (l’heap di Fibonacci) e un metodo di ricerca (la ricerca di Fibonacci) che portano il suo nome, e questo ne fa uno dei concetti di base dell’informatica.
Il rapporto tra termini consecutivi si avvicina alla sezione aurea (matematica e design)
È dimostrato che il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi (il successivo ÷ il precedente) si avvicina alla sezione aurea \(\varphi = 1{,}618\cdots\) quanto più si va avanti. Infatti \(55 \div 34 \approx 1{,}6176\) e \(89 \div 55 \approx 1{,}6182\), quindi già intorno al termine 10 coincidono fino a 2 cifre decimali.
La sezione aurea si usa a volte nel design come rapporto ben equilibrato. Per esempio, della forma di una carta di credito si dice spesso che le sia vicina. Il fatto che la sezione aurea compaia da una successione costruita solo sommando numeri interi è la proprietà più bella della successione di Fibonacci.
Come si moltiplicano le coppie di conigli (il problema all’origine della successione)
La successione di Fibonacci nasce da un problema del Liber abaci, il libro del matematico pisano Leonardo Fibonacci del XIII secolo: «Una coppia di conigli appena nata comincia ad avere una nuova coppia ogni mese quando ha 2 mesi. Come cambia mese per mese il numero di coppie?» Il numero di coppie di ogni mese cresce come 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, e arriva a 144 coppie nel mese 12.
Naturalmente i conigli veri non si moltiplicano esattamente così: è un modello ideale. Ma è diventato il punto di partenza per descrivere con le successioni come una quantità cresce in funzione delle quantità di poco prima.
Usata per le stime nei team di sviluppo software (IT e gestione dei progetti)
Nello sviluppo software agile è comune stimare il lavoro con numeri basati sulla successione di Fibonacci, come 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (si chiamano story point).
Le distanze aumentano al crescere dei numeri, e questo corrisponde alla realtà: i lavori più grandi non si possono stimare con precisione. Evita anche discussioni inutilmente minuziose come «questo è un 8 o un 9?».
Si trova nelle spirali delle piante (biologia e osservazione della natura)
Sono stati segnalati molti esempi in cui il numero di spirali è un numero di Fibonacci (8, 13, 21, 34, 55, …), come le spirali dei semi in un girasole (per esempio 34 in un verso e 55 nell’altro) e le spirali delle squame nelle pigne e negli ananas. Questo schema si spiega con il modo in cui crescono le piante: le nuove gemme e i nuovi semi si formano in direzioni che non si sovrappongono alle parti già presenti.
Non tutte le piante né tutti gli esemplari lo seguono, però. È noto come una tendenza: in molti esempi risultano numeri di Fibonacci. Prova a contare le spirali di una pianta vicino a te e potresti incontrare questa successione.
Formule e grafici
Formula del termine successivo (la relazione di ricorrenza di Fibonacci)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_{n-1}\)
\(+\)
\(a_{n-2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(a_n\): termine \(n\)-esimo
\(=\)
①
\(a_{n-1}\): termine precedente
\(+\)
②
\(a_{n-2}\): termine di due posti prima
La formula a parole
①
Somma
\(a_{n-1}\): termine precedente
e
②
\(a_{n-2}\): termine di due posti prima
,
③
e ottieni
\(a_n\): termine \(n\)-esimo
Un esempio semplice
Nella successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, il termine 7 è
\(a_7\): termine 7
\(=\)
termine precedente (termine 6 = 8)
\(+\)
termine di due posti prima (termine 5 = 5)
\(8 + 5 = 13\)
L’idea chiave
Questa formula da sola non fissa i primi due termini. La successione è del tutto determinata solo quando aggiungi la regola (le condizioni iniziali) per cui i primi due termini valgono entrambi \(1\) (\(a_1 = 1,\ a_2 = 1\)).
Una formula scritta come «una regola che ricava il termine successivo dai termini precedenti» si chiama relazione di ricorrenza (o formula ricorsiva). A differenza del termine generale di una progressione aritmetica o geometrica (una formula che dà il valore appena metti \(n\)), per trovare il termine \(n\)-esimo devi ripartire dal termine 2 e sommare in ordine fino ad arrivarci.
Alcuni libri mettono uno \(0\) davanti e cominciano con \(0, 1, 1, 2, 3, \cdots\). In quello stile lo \(0\) di solito si conta come termine 0 (\(a_0 = 0\)), quindi dal termine 1 in poi (\(a_1 = 1,\ a_2 = 1, \cdots\)) numeri e valori sono gli stessi di questa pagina. I numeri d’ordine slittano di uno solo se conti lo \(0\) come 1º termine. Questa calcolatrice usa la convenzione più diffusa nei libri di testo: si parte da \(1, 1\), con termine 1 = 1.
Formula della somma dei primi \(n\) termini (la proprietà della somma)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S_n\)
\(=\)
\(a_{n+2}\)
\(-\)
\(1\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(S_n\): somma dei primi \(n\) termini
\(=\)
①
\(a_{n+2}\): termine di due posti dopo
\(-\)
②
\(1\)
La formula a parole
①
Dal
\(a_{n+2}\): termine di due posti dopo
, togli
②
\(1\)
,
③
e ottieni
\(S_n\): somma dei primi \(n\) termini
Un esempio semplice
Nella successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, la somma dei primi 6 termini (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8) è
\(S_6\): somma fino al termine 6
\(=\)
termine di due posti dopo (termine 8 = 21)
\(-\)
1
\(21 - 1 = 20\)
L’idea chiave
«Per avere la somma, guarda il termine di due posti dopo e togli \(1\).» È una proprietà comoda che appartiene alla successione di Fibonacci. Ottieni la somma in un solo passaggio, senza sommare i termini uno per uno.
Perché funziona? Leggi la relazione di ricorrenza come \(a_k = a_{k+2} - a_{k+1}\) (un termine è uguale al termine di due posti dopo meno il termine successivo). Applicala a ogni termine di \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) e le parti vicine si cancellano una dopo l’altra, lasciando solo \(a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} - 1\).
Puoi usare questa proprietà per controllare la calcolatrice. Per esempio, la somma fino al termine 10 è 143, esattamente 1 in meno del termine 12, che vale 144.
Nella successione di Fibonacci ogni termine è la somma dei due termini che lo precedono (i primi due termini valgono entrambi 1). Il termine \(n\)-esimo si trova passo dopo passo con la relazione di ricorrenza \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), e la somma dei primi \(n\) termini con «prendi il termine di due posti dopo e togli \(1\)» (\(S_n = a_{n+2} - 1\)).
Simboli e termini
Simboli
| \(n\) | enne | Il numero di termini. Un numero intero positivo che dice fino a dove arrivi nella successione. «Fino al termine 10» significa \(n = 10\). |
| \(a_n\) | a enne | Il termine \(n\)-esimo. Il \(n\)-esimo numero della successione. La piccola lettera in basso a destra (il pedice) dice in quale posizione si trova. Nella successione di Fibonacci, \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 2,\ a_4 = 3, \cdots\). |
| \(a_{n-1}\) | a enne meno uno | Il termine che precede il termine \(n\)-esimo (uno indietro). Per il termine 10 è il termine 9. La sottrazione nel pedice dice «una posizione prima». |
| \(a_{n-2}\) | a enne meno due | Il termine di due posti prima del termine \(n\)-esimo. Per il termine 10 è il termine 8. |
| \(a_{n+2}\) | a enne più due | Il termine di due posti dopo il termine \(n\)-esimo. Per il termine 10 è il termine 12. La somma dei primi \(n\) termini è uguale a questo termine meno \(1\). |
| \(S_n\) | esse enne | La somma dei primi \(n\) termini. Un modo breve per scrivere \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). La lettera S viene da «somma». |
| \(\varphi\) | fi | Il simbolo della sezione aurea. Il suo valore è \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\cdots\). Il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi (il successivo ÷ il precedente) si avvicina a questo valore quanto più si va avanti. |
| \(\cdots\) | puntini di sospensione | Un simbolo che dice che lo schema continua allo stesso modo. Scrivere 1, 1, 2, 3, 5, 8, … significa che la successione continua sommando i due termini precedenti. |
Termini
| successione | Un elenco di numeri in un ordine preciso. Ogni numero dell’elenco si chiama termine. |
| successione di Fibonacci | Una successione che parte da 1, 1 e poi continua con la regola «ogni termine è la somma dei due termini che lo precedono», cioè 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. Nasce da un problema sulla riproduzione delle coppie di conigli che il matematico pisano Leonardo Fibonacci descrisse nel XIII secolo nel suo libro, il Liber abaci. Ogni numero della successione si chiama numero di Fibonacci. |
| termine | Ognuno dei numeri di una successione. A partire dall’inizio si chiamano termine 1, termine 2 e così via. |
| primo termine | Il primissimo termine di una successione, cioè il termine 1. Nella successione di Fibonacci (con la numerazione di questa pagina) è 1. |
| relazione di ricorrenza (formula ricorsiva) | Una formula che descrive una successione come «una regola che ricava il termine successivo dai termini precedenti». La relazione di ricorrenza della successione di Fibonacci è \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\). Le formule ricorsive si incontrano nella scuola secondaria di secondo grado e in informatica. |
| condizioni iniziali | I valori dei primi termini, dati insieme a una relazione di ricorrenza. Per la successione di Fibonacci le condizioni iniziali sono \(a_1 = 1,\ a_2 = 1\). Senza di esse la relazione di ricorrenza da sola non determina la successione. |
| sezione aurea | Il rapporto \(1 : \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (circa \(1 : 1{,}618\)). Fin dall’antichità è considerato un rapporto ben equilibrato e si indica con il simbolo \(\varphi\) (fi). È dimostrato che il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina alla sezione aurea quanto più si va avanti. |
| termine generale | Il termine \(n\)-esimo scritto come formula in \(n\) (una formula esplicita). Anche la successione di Fibonacci ne ha una che usa la sezione aurea \(\varphi\), chiamata formula di Binet. Contiene \(\sqrt{5}\) ed è un po’ complessa, quindi se ti serve solo il valore è più sicuro sommare passo dopo passo con la relazione di ricorrenza. |
| progressione aritmetica | Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre la stessa, come 5, 8, 11, 14, … (si somma 3 ogni volta). Una progressione aritmetica somma un numero fisso, mentre la successione di Fibonacci somma i due termini precedenti. |
| progressione geometrica | Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è sempre lo stesso, come 3, 6, 12, 24, … (si moltiplica ogni volta per 2). La successione di Fibonacci non è una progressione geometrica, ma andando avanti cresce con un fattore quasi costante di circa 1,618, quindi si comporta in modo molto simile. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.
| Addizione tra numeri interi (classi 2ª–3ª della primaria, 7-9 anni) |
|
| Regolarità e successioni di numeri (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Lettere ed espressioni (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| Notazione delle successioni (scuola secondaria di secondo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il termine n-esimo (fino al termine 10)
| Termine 1 | 1 |
| Termine 2 | 1 |
| Termine 3 | =B1+B2 |
| Termine 4 | =B2+B3 |
| Termine 5 | =B3+B4 |
| Termine 6 | =B4+B5 |
| Termine 7 | =B5+B6 |
| Termine 8 | =B6+B7 |
| Termine 9 | =B7+B8 |
| Termine 10 | =B8+B9 |
Tabella per ricavare la somma dei termini da 1 a n (somma fino al termine 10)
| Termine 1 | 1 |
| Termine 2 | 1 |
| Termine 3 | =B1+B2 |
| Termine 4 | =B2+B3 |
| Termine 5 | =B3+B4 |
| Termine 6 | =B4+B5 |
| Termine 7 | =B5+B6 |
| Termine 8 | =B6+B7 |
| Termine 9 | =B7+B8 |
| Termine 10 | =B8+B9 |
| Somma dei termini da 1 a 10 | =SOMMA(B1:B10) |
Dopo l’incollaggio, solo B1 e B2 (i primi due termini, entrambi 1) sono campi di input. Da B3 in giù, ogni cella calcola automaticamente «la cella sopra + la cella due righe sopra». Nelle formule, «B1» e «B2» significano «usa il numero che si trova in quella cella», «+» è l’addizione e SOMMA(B1:B10) significa «somma tutto da B1 a B10».
La prima tabella mostra 55 (termine 10) in B10 e la seconda mostra 143 (la somma fino al termine 10) in B11. Per ottenere termini più avanti, seleziona la cella in fondo «=B8+B9» e trascina verso il basso il quadratino in basso a destra. La stessa regola continua (la relazione di ricorrenza «somma i due termini precedenti» è proprio la formula della cella).
La prima tabella mostra 55 (termine 10) in B10 e la seconda mostra 143 (la somma fino al termine 10) in B11. Per ottenere termini più avanti, seleziona la cella in fondo «=B8+B9» e trascina verso il basso il quadratino in basso a destra. La stessa regola continua (la relazione di ricorrenza «somma i due termini precedenti» è proprio la formula della cella).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il termine n-esimo (fino al termine 10)
| Termine 1 | 1 |
| Termine 2 | 1 |
| Termine 3 | =B1+B2 |
| Termine 4 | =B2+B3 |
| Termine 5 | =B3+B4 |
| Termine 6 | =B4+B5 |
| Termine 7 | =B5+B6 |
| Termine 8 | =B6+B7 |
| Termine 9 | =B7+B8 |
| Termine 10 | =B8+B9 |
Tabella per ricavare la somma dei termini da 1 a n (somma fino al termine 10)
| Termine 1 | 1 |
| Termine 2 | 1 |
| Termine 3 | =B1+B2 |
| Termine 4 | =B2+B3 |
| Termine 5 | =B3+B4 |
| Termine 6 | =B4+B5 |
| Termine 7 | =B5+B6 |
| Termine 8 | =B6+B7 |
| Termine 9 | =B7+B8 |
| Termine 10 | =B8+B9 |
| Somma dei termini da 1 a 10 | =SOMMA(B1:B10) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella e incollala nella cella A1. B10 mostra 55 (termine 10) e nella seconda tabella B11 mostra 143 (la somma). Per ottenere termini più avanti, trascina verso il basso la cella della formula in fondo per continuare.
Come calcolarlo con Python
number_of_terms = 10 # numero di termini (fino a dove arrivare)
# successione di Fibonacci: i primi due termini sono 1, poi ogni termine è la somma dei due precedenti
fibonacci = [1, 1]
while len(fibonacci) < number_of_terms:
fibonacci.append(fibonacci[-1] + fibonacci[-2])
fibonacci = fibonacci[:number_of_terms]
nth_term = fibonacci[-1] # termine n-esimo
sum_of_terms = sum(fibonacci) # somma dei termini da 1 a n
print(f"Primi termini: {fibonacci[:10]}")
print(f"Termine {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Somma dei termini da 1 a {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Funziona con la sola libreria standard. Cambia il numero in alto (il numero di termini) ed esegui il codice. In questo esempio stampa 55 per il termine 10 e 143 per la somma. Gli interi di Python non hanno limiti di cifre, quindi anche con 1000 termini (il termine 1000 ha 209 cifre) ottieni il valore esatto. In fibonacci[-1], «-1» è «l’ultimo elemento della lista» e [-2] è «il penultimo», quindi il codice scrive direttamente la relazione di ricorrenza «somma i due termini precedenti».
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula del termine successivo (la relazione di ricorrenza di Fibonacci)
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3,\ a_1 = a_2 = 1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mrow>
</math>
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a[n] == a[n - 1] + a[n - 2]
a(n) := a(n - 1) + a(n - 2);
a(n) = a(n - 1) + a(n - 2);
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
Formula della somma dei primi \(n\) termini (la proprietà della somma)
Sₙ = aₙ₊₂ − 1
S_n = a_{n+2} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
S_n = a_(n+2) - 1
Fibonacci[n + 2] - 1
Sn := a(n + 2) - 1;
S_n = a(n + 2) - 1;
S_n = a_(n+2) - 1
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo della successione di Fibonacci. Esegui i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Definisci la successione di Fibonacci con a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n ≥ 3). Trova ogni somma sommando davvero i termini e controlla anche che coincida con la proprietà S_n = a_(n+2) - 1. 1. Il termine 10 della successione di Fibonacci e la somma dei termini da 1 a 10 2. Il termine 20 della successione di Fibonacci e la somma dei termini da 1 a 20 3. Il termine 50 della successione di Fibonacci, e il termine 50 diviso il termine 49 (controlla anche che sia vicino alla sezione aurea 1,6180…) Mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice di progressioni aritmetiche (termine n-esimo e somma)
Calcola il termine n-esimo e la somma dal primo termine, dalla ragione e dal numero di termini (si va avanti sommando lo stesso numero; è una delle successioni tipiche della matematica del liceo, come la successione di Fibonacci)
Calcolatrice di progressioni geometriche (termine n-esimo e somma)
Calcola il termine n-esimo e la somma dal primo termine, dalla ragione e dal numero di termini (si va avanti moltiplicando per lo stesso numero; andando avanti, anche la successione di Fibonacci cresce con un rapporto quasi costante, la sezione aurea)
