Calcolatrice della flessione di un ripiano e del carico ammissibile (luce, carico o spessore massimi in base al materiale)

Scegli cosa cerchi e poi inserisci lo spessore, la profondità e la luce (distanza tra gli appoggi) del ripiano, il materiale e il carico. Scegliendo un materiale vengono proposti un modulo di elasticità e una tensione ammissibile abituali, che puoi modificare. Per un calcolo inverso, indica la freccia ammissibile (in mm o nella forma L/n).

Unità

Cosa cerchi

Appoggi (alle due estremità del ripiano)

Spessore del ripiano

Profondità del ripiano (larghezza)

Luce (distanza tra gli appoggi)

Materiale (propone E e tensione ammissibile)

Distribuzione del carico

Carico

Coefficiente di scorrimento viscoso (aumento della freccia sotto un carico permanente)

volte

Valori del materiale (proposti in base al materiale; modificabili)

Modulo di elasticità E (GPa)

GPa

Tensione ammissibile f_b (N/mm²)

N/mm²

Il risultato è una stima ricavata dalle formule di base di una tavola uniforme appoggiata alle due estremità. La rigidezza e la resistenza variano secondo il prodotto, la classe, i nodi e l’umidità, e non si tiene conto della resistenza dei collegamenti né degli appoggi. Per ripiani che reggono oggetti pesanti, su cui qualcuno potrebbe salire, o per un uso strutturale, consulta le caratteristiche del produttore o un professionista qualificato.

Risultato e figura

Inserisci a sinistra lo spessore, la profondità e la luce (distanza tra gli appoggi) del ripiano, il materiale e il carico, poi premi «Calcola». Qui compaiono la freccia massima (in mm), la freccia relativa (L/δ), il confronto con i riferimenti pratici, la tensione di flessione (indicativa) e un disegno esagerato del ripiano flesso.

Indice

[ Chiudi X ]

Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Dallo spessore, dalla profondità, dalla luce (distanza tra gli appoggi), dal materiale e dal carico di un ripiano ottieni la freccia massima in mm e la freccia relativa (\(L/\delta\): quante volte la luce contiene la freccia)
Scegli un materiale (cedro giapponese, cipresso hinoki, pino o pannello lamellare di pino, rovere, compensato, MDF, pannello truciolare, vetro, alluminio o acciaio) e viene proposto un modulo di elasticità abituale (puoi modificarlo)
Inserisci il carico come «totale in kg distribuito», «kg al metro» o «kg al centro», e scegli gli appoggi: «semplicemente appoggiato su staffe o reggiripiano (appoggio semplice)» oppure «avvitato alle fiancate o infilato in una scanalatura (incastro)»
Da una freccia ammissibile, come «al massimo 3 mm» o «al massimo 1/300 della luce», ottieni la luce massima, il carico massimo o lo spessore necessario
Tiene conto con un coefficiente dello scorrimento viscoso (il legno che si flette di più nel tempo sotto un carico permanente) e mostra la tensione di flessione confrontata con una tensione ammissibile abituale del materiale, a titolo indicativo

Questa calcolatrice assimila il ripiano a una tavola uniforme (una trave) appoggiata alle due estremità e applica le formule di base della scienza delle costruzioni per calcolare solo la freccia. Il modulo di elasticità e la tensione ammissibile sono valori comuni citati spesso, e variano molto secondo il prodotto, la classe, i nodi e l’umidità, anche per lo stesso materiale. Il carico ammissibile (il ripiano si rompe?) è solo indicativo e non garantisce la sicurezza. Per ripiani che reggono oggetti pesanti, su cui qualcuno potrebbe salire, o per elementi strutturali di un edificio, consulta le caratteristiche del produttore o un professionista qualificato.

A cosa serve questo calcolo?

Scegliere lo spessore dei ripiani e la distanza tra le fiancate di una libreria fatta in casa (fai da te)

«Voglio fare una libreria larga 900 mm: basta un pannello lamellare da 18 mm?» è un grande classico. Contando 30 kg di libri al metro (un riferimento prudente per una libreria che mescola riviste e libri d’arte), un ripiano di pannello lamellare di pino profondo 250 mm, spesso 18 mm e con una luce di 860 mm si flette circa 1,9 mm subito dopo aver messo il carico, e circa 3,8 mm (\(L/224\)) con uno scorrimento viscoso di 2: supera il riferimento di \(L/300\) ed è possibile che la freccia si noti. Le cifre permettono di giudicare.
Con uno spessore di 25 mm, la freccia si moltiplica per \((18/25)^3 \approx 0{,}37\); con una fiancata intermedia che divida la luce per due, si divide per 16. Puoi confrontare, prima di costruire, che cosa funziona meglio: una tavola più spessa, una fiancata in più o una profondità ridotta per portare meno peso.

Verificare che un ripiano comprato regga il carico previsto (riporre, arredamento)

I ripiani dei mobili da montare sono spesso di pannello truciolare o di MDF, il cui modulo di elasticità è solo circa un terzo di quello del legno con lo stesso spessore. Un ripiano di truciolare spesso 18 mm, profondo 300 mm e con 800 mm di luce caricato con 25 kg di raccoglitori e riviste si flette circa 4,5 mm subito dopo aver messo il carico e circa 9 mm a lungo termine: motivo più che sufficiente per mettere i libri e le stoviglie pesanti sui ripiani stretti.
Se il produttore indica un carico ammissibile («carico massimo per ripiano: … kg»), quel valore comanda. Questo calcolo serve da riferimento per i ripiani senza indicazione di carico, o quando aggiungi tu stesso un ripiano.

Scegliere la distanza delle staffe di una mensola a parete o di un ripiano di cucina (casa, ristrutturazione)

Quando si fissa una tavola al muro con staffe, la distanza tra le staffe è la luce. Una mensola da 1200 mm sostenuta da due staffe ha una luce di circa 1100 mm: con pannello lamellare di pino profondo 250 mm e spesso 20 mm, 20 kg di stoviglie danno una freccia di circa 2,3 mm subito dopo aver messo il carico, e di circa 4,5 mm (\(L/243\)) con uno scorrimento viscoso di 2. Con tre staffe che dividono la luce per due, la freccia si divide per 16 per la stessa disposizione.
Il carico ammissibile delle staffe stesse e la solidità del muro (cartongesso o supporto pieno) non rientrano in questo calcolo: controllali a parte, con le caratteristiche delle staffe e la natura del muro (tasselli adatti).

Stimare la freccia di un mobile per il televisore o di un supporto per acquario con un oggetto pesante al centro (elettrodomestici, acquariofilia)

Un acquario da 60 cm pesa da 70 a 80 kg con l’acqua e la ghiaia, e quel carico si concentra vicino al centro del piano. Con lo stesso peso, un carico al centro fa flettere 1,6 volte di più di un carico distribuito: calcolare «al centro» va dalla parte della sicurezza. Il risultato cambia molto secondo che il piano sia di legno massello spesso o di pannello sottile nobilitato.
Per gli oggetti che non devono inclinarsi, come un acquario o un televisore, si vuole spesso limitare la freccia a 1 o 2 mm: allora è utile la modalità che calcola lo spessore necessario. Ma un acquario si mette, in linea di principio, su un mobile previsto per questo (stabilità, rischio di ribaltamento); questo calcolo resta un riferimento per progettare un supporto fatto in casa.

Scegliere l’interasse dei travetti sotto le doghe di un pavimento da esterno in legno (esterni, fai da te)

Una doga è una trave appoggiata sui travetti, la cui luce è l’interasse dei travetti. Quando una persona (60 kg) cammina su doghe di pino da 27 × 145 mm posate su travetti con un interasse di 600 mm, una parte del suo peso agisce come carico concentrato su una doga. Supponendo 30 kg al centro di una doga, la freccia è di circa 0,6 mm; con un interasse di 900 mm si moltiplica per \((900/600)^3 \approx 3{,}4\), cioè circa 2,1 mm.
Le cifre mostrano che avvicinare i travetti è la cosa più efficace per un pavimento che non faccia «da trampolino». In un pavimento su cui si cammina, la resistenza e il fissaggio (numero di viti) contano quanto la freccia: segui le istruzioni di posa del produttore o il consiglio di un professionista.

Verificare che «la freccia è proporzionale alla luce elevata a 4» (fisica al liceo, studi di ingegneria)

La formula della freccia di una trave è una delle prime che si imparano in scienza delle costruzioni, sulla scia della legge di Hooke (proporzionalità tra forza e allungamento) applicata alla flessione. Che la luce conti elevata a 4 e lo spessore al cubo, questa «differenza di effetto delle potenze», si ritrova nella progettazione di ponti, edifici e pezzi meccanici.
Verificando con le cifre in una libreria comune che «allontanare le fiancate del 10% aumenta la freccia di circa il 50% (\(1{,}1^4 \approx 1{,}46\))» e che «una tavola più spessa del 10% riduce la freccia di circa il 25% (\(1 \div 1{,}1^3 \approx 0{,}75\))», si capisce perché le travi dei ponti hanno una sezione alta e perché i ripiani lunghi hanno un appoggio al centro.

Formule e figure

Momento d’inerzia e modulo di resistenza (la resistenza della sezione del ripiano alla flessione)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(I\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(h^{3}\) \(\div\ 12\)

\(Z\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(h^{2}\) \(\div\ 6\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(I\): momento d’inerzia (mm⁴) \(=\) ① \(b\): profondità del ripiano (mm) \(\times\) ② \(h^3\): spessore \(h\) al cubo \(\div\ 12\)

⑤ \(Z\): modulo di resistenza (mm³) \(=\) \(b\): profondità del ripiano (mm) \(\times\) ④ \(h^2\): spessore \(h\) al quadrato \(\div\ 6\)

La formula a parole

① Si moltiplica la \(b\): profondità del ripiano per il

② \(h^3\): spessore al cubo e si divide per 12 per ottenere il

③ \(I\): momento d’inerzia (si usa per la freccia)

④ Si moltiplica la stessa profondità per il \(h^2\): spessore al quadrato e si divide per 6 per ottenere il

⑤ \(Z\): modulo di resistenza (si usa per la tensione di flessione)

Un esempio semplice

Per un ripiano di pannello lamellare di pino profondo 250 mm e spesso 18 mm, il momento d’inerzia e il modulo di resistenza valgono

\(I\): momento d’inerzia \(=\) profondità (250 mm) \(\times\) spessore (18 mm) al cubo \(\div\ 12\)

\(Z\): modulo di resistenza \(=\) profondità (250 mm) \(\times\) spessore (18 mm) al quadrato \(\div\ 6\)

\(I = \dfrac{250 \times 18^{3}}{12} = \dfrac{250 \times 5832}{12} = 121.500\ (\mathrm{mm^4})\)

\(Z = \dfrac{250 \times 18^{2}}{6} = \dfrac{250 \times 324}{6} = 13.500\ (\mathrm{mm^3})\)

L’idea chiave

Quando una tavola si flette, la sua faccia superiore si comprime, la sua faccia inferiore si tende, e lo strato di mezzo (l’asse neutro) non si allunga né si accorcia. Più una parte della tavola è lontana dall’asse neutro, più si allunga o si accorcia, e più resiste alla flessione. Ciò che decide la resistenza alla flessione è quindi la quantità di materiale della sezione e la sua distanza dall’asse neutro. Il momento d’inerzia \(I\) la riassume in un solo numero. Per una sezione rettangolare, \(I = \dfrac{b h^3}{12}\). L’importante è che lo spessore \(h\) conta al cubo. Passare da 18 mm a 25 mm moltiplica \(I\) per \(\left(\dfrac{25}{18}\right)^3 \approx 2{,}7\): la freccia diventa circa 1/2,7. La profondità \(b\) conta una volta sola: raddoppiare la profondità divide la freccia solo per due (e un ripiano più profondo di solito porta il doppio, quindi alla fine non cambia granché). Il modulo di resistenza \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) serve a calcolare la tensione di flessione (la forza sulla superficie del materiale). È \(I\) diviso per la distanza dell’asse neutro dalla superficie, \(\dfrac{h}{2}\) (\(\dfrac{b h^3}{12} \div \dfrac{h}{2} = \dfrac{b h^2}{6}\)). Nei libri di testo italiani si indica spesso con \(W\), ma qui \(W\) è il carico totale, quindi si usa \(Z\).

Freccia massima (carico ripartito in modo uniforme = carico distribuito)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\delta\) \(=\) \(\dfrac{5}{384}\) \(\times\) \(w\) \(\times\) \(L^{4}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\)

\(\delta\) \(=\) \(\dfrac{1}{384}\) \(\times\) \(w\) \(\times\) \(L^{4}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(\delta\): freccia massima (mm), appoggio semplice \(=\) \(\dfrac{5}{384}\) \(\times\) ① \(w\): carico per mm (N/mm) \(\times\) ② \(L^4\): luce \(L\) elevata a 4 \(\div\) ③ \(E\): modulo di elasticità (N/mm²) \(\div\) ④ \(I\): momento d’inerzia (mm⁴)

\(\delta\): freccia massima (mm), incastro \(=\) \(\dfrac{1}{384}\) \(\times\) \(w\): carico per mm (N/mm) \(\times\) \(L^4\): luce \(L\) elevata a 4 \(\div\) \(E\): modulo di elasticità (N/mm²) \(\div\) \(I\): momento d’inerzia (mm⁴)

La formula a parole

① Si prende il \(w\): carico per mm (il carico totale \(W\) diviso per la luce \(L\); i kg si moltiplicano per 9,80665 per ottenere N),

② si moltiplica per la \(L^4\): luce elevata a 4 e per \(\dfrac{5}{384}\) in appoggio semplice (\(\dfrac{1}{384}\) con incastro),

③ si divide per il \(E\): modulo di elasticità

④ e per il \(I\): momento d’inerzia per ottenere la

⑤ \(\delta\): freccia massima (l’abbassamento del centro del ripiano)

Un esempio semplice

Un ripiano di pannello lamellare di pino profondo 250 mm e spesso 18 mm (\(I = 121.500\) mm⁴, modulo di elasticità 9 GPa = 9000 N/mm²) è appoggiato su staffe distanti 900 mm, con 30 kg di libri distribuiti sopra (\(30 \times 9{,}80665 \div 900 \approx 0{,}3269\) N per mm). La freccia massima è

\(\delta\): freccia massima (appoggio semplice) \(=\) \(\dfrac{5}{384}\) \(\times\) carico per mm (0,3269 N/mm) \(\times\) luce (900 mm) elevata a 4 \(\div\) modulo di elasticità (9000 N/mm²) \(\div\) momento d’inerzia (121.500 mm⁴)

\(\delta = \dfrac{5 \times 0{,}3269 \times 900^{4}}{384 \times 9000 \times 121.500} = \dfrac{5 \times 0{,}3269 \times 6{,}561 \times 10^{11}}{4{,}199 \times 10^{11}} \approx 2{,}55\ (\mathrm{mm})\)

\(\text{Con incastro: } \delta \approx 2{,}55 \times \dfrac{1}{5} \approx 0{,}51\ (\mathrm{mm})\)

L’idea chiave

È la formula nota della freccia massima di una trave in appoggio semplice sotto carico distribuito, nella scienza delle costruzioni. Si applica così com’è ai ripiani, alle assi di un pavimento, alle travi di un ponte e a ogni elemento fissato alle due estremità e caricato trasversalmente. Il numeratore è «intensità del carico × luce elevata a 4», e il denominatore «rigidezza del materiale (modulo di elasticità) × resistenza della sezione alla flessione (momento d’inerzia)». La formula traduce l’ovvio: più è pesante e lungo, più si flette; più è rigido e spesso, meno. L’importante è che ogni elemento conta in modo diverso. La luce \(L\) va elevata a 4: allungare la luce del 10% moltiplica la freccia per \(1{,}1^4 \approx 1{,}46\), e del 20% per \(1{,}2^4 \approx 2{,}07\). Lo spessore \(h\) conta al cubo in \(I\): una tavola più spessa del 10% si flette \(1{,}1^3 \approx 1{,}33\) volte meno. «Se un ripiano si flette, aggiungi un appoggio al centro per accorciare la luce, o usa una tavola più spessa» si ricava da quella potenza 4 e da quel cubo. Con incastro (avvitato alle fiancate o in una scanalatura), le estremità non possono ruotare: la freccia scende a \(\dfrac{1}{5}\) di quella dell’appoggio semplice. Ma un ripiano reale non è mai perfettamente incastrato e si colloca tra i due casi. Per restare dalla parte della sicurezza, è ragionevole calcolare con l’appoggio semplice. Il carico \(w\) si esprime «in N per mm». Se il carico totale sul ripiano è \(W\) (N), allora \(w = W \div L\), e la formula si scrive anche \(\delta = \dfrac{5 W L^3}{384 E I}\) (la potenza 4 diventa un cubo). Questa pagina moltiplica per 9,80665 il peso inserito in kg per convertirlo in newton, e porta il modulo di elasticità da GPa a N/mm² (× 1000), perché le unità coincidano.

Freccia massima (carico concentrato al centro = carico concentrato)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\delta\) \(=\) \(P\) \(\times\) \(L^{3}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\) \(\div\ 48\)

\(\delta\) \(=\) \(P\) \(\times\) \(L^{3}\) \(\div\) \(E\) \(\div\) \(I\) \(\div\ 192\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(\delta\): freccia massima (mm), appoggio semplice \(=\) ① \(P\): carico concentrato al centro (N) \(\times\) ② \(L^3\): luce \(L\) al cubo \(\div\) ③ \(E\): modulo di elasticità (N/mm²) \(\div\) ④ \(I\): momento d’inerzia (mm⁴) \(\div\ 48\)

\(\delta\): freccia massima (mm), incastro \(=\) \(P\): carico concentrato al centro (N) \(\times\) \(L^3\): luce \(L\) al cubo \(\div\) \(E\): modulo di elasticità (N/mm²) \(\div\) \(I\): momento d’inerzia (mm⁴) \(\div\ 192\)

La formula a parole

① Si moltiplica il \(P\): carico concentrato al centro (i kg si moltiplicano per 9,80665 per ottenere N) per la

② \(L^3\): luce al cubo ,

③ si divide per il \(E\): modulo di elasticità

④ e per il \(I\): momento d’inerzia , e poi per 48 in appoggio semplice (192 con incastro) per ottenere la

⑤ \(\delta\): freccia massima (l’abbassamento del centro, proprio sotto il carico)

Un esempio semplice

Un ripiano di rovere profondo 300 mm e spesso 25 mm (\(I = 390.625\) mm⁴, modulo di elasticità 11 GPa = 11.000 N/mm²) ha una luce di 800 mm, con un oggetto da 20 kg (= 196,1 N) messo al centro. La freccia massima è

\(\delta\): freccia massima (appoggio semplice) \(=\) carico concentrato (196,1 N) \(\times\) luce (800 mm) al cubo \(\div\) modulo di elasticità (11.000 N/mm²) \(\div\) momento d’inerzia (390.625 mm⁴) \(\div\ 48\)

\(\delta = \dfrac{196{,}1 \times 800^{3}}{48 \times 11.000 \times 390.625} = \dfrac{196{,}1 \times 5{,}12 \times 10^{8}}{2{,}0625 \times 10^{11}} \approx 0{,}49\ (\mathrm{mm})\)

\(\text{Con incastro: } \delta \approx 0{,}49 \times \dfrac{1}{4} \approx 0{,}12\ (\mathrm{mm})\)

L’idea chiave

È la formula della freccia massima di una trave in appoggio semplice con un carico concentrato al centro. Rispetto alla formula del carico distribuito, la luce va al cubo invece che elevata a 4, perché il carico è dato come forza totale e non «per mm» (un carico distribuito scritto con il suo totale \(W\) va anch’esso al cubo: \(\dfrac{5 W L^3}{384 E I}\)). Con lo stesso peso totale, un carico al centro fa flettere il ripiano \(\dfrac{1/48}{5/384} = \dfrac{384}{240} = 1{,}6\) volte più dello stesso peso distribuito. Conviene ricordarlo: un solo oggetto pesante, come un televisore o un acquario, al centro di un ripiano lo flette del 60% in più di libri dello stesso peso. Al contrario, spostare un oggetto pesante verso un’estremità (vicino a un appoggio) riduce molto la freccia. Con incastro il 48 diventa 192: la freccia è \(\dfrac{1}{4}\) di quella dell’appoggio semplice. È diverso dal \(\dfrac{1}{5}\) del carico distribuito.

Freccia a lungo termine (scorrimento viscoso) e freccia relativa L/δ

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\delta_{\text{lt}}\) \(=\) \(k_c\) \(\times\) \(\delta_0\)

\(n\) \(=\) \(L\) \(\div\) \(\delta_{\text{lt}}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\delta_{\text{lt}}\): freccia a lungo termine (mm) \(=\) ② \(k_c\): coefficiente di scorrimento viscoso \(\times\) ① \(\delta_0\): freccia subito dopo aver messo il carico (mm)

⑤ \(n\): denominatore della freccia relativa (la \(n\) di \(L/n\)) \(=\) ④ \(L\): luce (mm) \(\div\) \(\delta_{\text{lt}}\): freccia a lungo termine (mm)

La formula a parole

① Si moltiplica la \(\delta_0\): freccia subito dopo aver messo il carico per il

② \(k_c\): coefficiente di scorrimento viscoso (per il legno si calcola spesso da 1,5 a 2) per ottenere la

③ \(\delta_{\text{lt}}\): freccia a lungo termine

④ Si divide la \(L\): luce per la freccia a lungo termine per ottenere il

⑤ \(n\): denominatore della freccia relativa . Si legge «la freccia è 1/\(n\) della luce» (più \(n\) è grande, più la freccia è piccola)

Un esempio semplice

Un ripiano di compensato da 22 mm (profondità 300 mm, E = 7 GPa) con una luce di 1200 mm regge 30 kg di libri al metro; la sua freccia subito dopo aver messo il carico è di 4,26 mm. Con un coefficiente di scorrimento viscoso di 2:

freccia a lungo termine \(=\) coefficiente di scorrimento viscoso (2) \(\times\) freccia subito dopo aver messo il carico (4,26 mm)

\(n\): denominatore della freccia relativa \(=\) luce (1200 mm) \(\div\) freccia a lungo termine (8,53 mm)

\(\delta_{\text{lt}} = 2 \times 4{,}263 \approx 8{,}53\ (\mathrm{mm})\)

\(n = 1200 \div 8{,}526 \approx 141 \quad \Rightarrow \quad \text{la freccia è } 1/141 \text{ della luce}\)

L’idea chiave

Il legno e i pannelli di legno (compensato, MDF, pannello truciolare) continuano a flettersi lentamente nel tempo quando il carico resta applicato (scorrimento viscoso). Per un ripiano carico per anni, come in una libreria, si considera spesso che la freccia arrivi da 1,5 a 2 volte il valore iniziale, e di più in un luogo umido o con il truciolare. Questa calcolatrice stima la freccia a lungo termine moltiplicandola per il coefficiente di scorrimento viscoso \(k_c\) (per impostazione predefinita 1, il valore subito dopo aver messo il carico; lo scorrimento viscoso è trascurabile nell’acciaio e nel vetro). Se si guarda solo «quanti mm», i ripiani lunghi sembrano sempre peggiori. Per questo si usa spesso la freccia relativa \(L/\delta\), «quanto rispetto alla luce». I riferimenti pratici citati di solito sono \(L/300\) (1/300 della luce) al massimo per una freccia che si nota appena, e fino a circa \(L/200\) per certi usi. Un riferimento assoluto come «3 mm al massimo» si usa spesso in parallelo. Sono riferimenti di esperienza legati all’aspetto e al comfort d’uso, non norme di sicurezza. In questa calcolatrice, «Confronto con i riferimenti pratici» confronta la freccia a lungo termine con \(L/300\), \(L/200\) e 3 mm.

Calcolo inverso (luce massima e carico massimo da una freccia ammissibile)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(L_{\max}^{4}\) \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) \(E\) \(\times\) \(I\) \(\times\) \(\delta_a\) \(\div\) \(w\) \(\div\) \(k_c\)

\(w_{\max}\) \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) \(E\) \(\times\) \(I\) \(\times\) \(\delta_a\) \(\div\) \(k_c\) \(\div\) \(L^{4}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(L_{\max}^{4}\): luce massima elevata a 4 \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) \(E\): modulo di elasticità (N/mm²) \(\times\) \(I\): momento d’inerzia (mm⁴) \(\times\) ① \(\delta_a\): freccia ammissibile (mm) \(\div\) ② \(w\): carico per mm (N/mm) \(\div\) ③ \(k_c\): coefficiente di scorrimento viscoso

⑥ \(w_{\max}\): carico massimo (N/mm) \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) \(E\): modulo di elasticità (N/mm²) \(\times\) \(I\): momento d’inerzia (mm⁴) \(\times\) \(\delta_a\): freccia ammissibile (mm) \(\div\) \(k_c\): coefficiente di scorrimento viscoso \(\div\) ⑤ \(L^4\): luce \(L\) elevata a 4

La formula a parole

① Si moltiplica la \(\delta_a\): freccia ammissibile per il modulo di elasticità \(E\), per il momento d’inerzia \(I\) e per \(\dfrac{384}{5}\). Il tutto si divide per il

② \(w\): carico per mm e per il

③ \(k_c\): coefficiente di scorrimento viscoso per ottenere la

④ \(L_{\max}^{4}\): luce massima elevata a 4 (con carico distribuito e appoggio semplice; la radice quarta dà la luce massima \(L_{\max}\))

⑤ Si divide lo stesso numeratore per il coefficiente di scorrimento viscoso e per la \(L^4\): luce elevata a 4 per ottenere il

⑥ \(w_{\max}\): carico massimo (in N per mm; moltiplicato per 1000 e diviso per 9,80665, dà kg/m)

Un esempio semplice

Dei libri da 25 kg al metro (\(25 \times 9{,}80665 \div 1000 \approx 0{,}2452\) N per mm) sono messi su un ripiano di pannello lamellare di pino di 250 mm × 18 mm (\(I = 121.500\) mm⁴, 9000 N/mm²), e vuoi una freccia di 3 mm al massimo. La luce massima (coefficiente di scorrimento viscoso 1) e il carico massimo per una luce di 900 mm sono

\(L_{\max}^{4}\): luce massima elevata a 4 \(=\) \(\dfrac{384}{5}\) \(\times\) modulo di elasticità (9000) \(\times\) momento d’inerzia (121.500) \(\times\) freccia ammissibile (3 mm) \(\div\) carico (0,2452 N/mm) \(\div\) coefficiente di scorrimento viscoso (1)

\(L_{\max} = \sqrt[4]{\dfrac{384 \times 9000 \times 121.500 \times 3}{5 \times 0{,}2452 \times 1}} = \sqrt[4]{\dfrac{1{,}2597 \times 10^{12}}{1{,}226}} \approx \sqrt[4]{1{,}0275 \times 10^{12}} \approx 1006{,}8\ (\mathrm{mm})\)

\(w_{\max} = \dfrac{384 \times 9000 \times 121.500 \times 3}{5 \times 1 \times 900^{4}} = \dfrac{1{,}2597 \times 10^{12}}{3{,}2805 \times 10^{12}} \approx 0{,}384\ (\mathrm{N/mm}) \quad \Rightarrow \quad 0{,}384 \times 1000 \div 9{,}80665 \approx 39{,}16\ (\mathrm{kg/m})\)

L’idea chiave

Si risolve soltanto la formula della freccia \(\delta = \dfrac{5 w L^4}{384 E I} \times k_c\) rispetto alla grandezza cercata. La condizione «freccia al massimo \(\delta_a\)» si scrive come \(\delta_a = \) (membro di destra), e poi si ricava \(L\) per la luce massima, o \(w\) per il carico massimo. Per lo spessore, si calcola prima il momento d’inerzia necessario \(I_{\text{nec}} = \dfrac{5 w L^4 k_c}{384 E \delta_a}\), e poi si ricava \(h\) da \(I = \dfrac{b h^3}{12}\): \(h_{\min} = \sqrt[3]{\dfrac{12 I_{\text{nec}}}{b}}\) è lo spessore necessario. Per un carico concentrato o per un incastro il procedimento è lo stesso; cambiano solo il coefficiente (\(\dfrac{5}{384}\) diventa \(\dfrac{1}{384}\), \(\dfrac{1}{48}\) o \(\dfrac{1}{192}\)) e la potenza di \(L\) (un cubo per un carico totale o concentrato). Questa calcolatrice si adatta automaticamente alle tue scelte. Quando la freccia ammissibile è data nella forma \(L/n\) (per esempio \(L/300\)), \(\delta_a\) a sua volta aumenta con la luce: la formula della luce massima passa da \(L^{4}\) a \(L^{3}\) (\(L_{\max} = \sqrt[3]{\dfrac{384 E I}{5 w k_c n}}\)). Per restare dalla parte della sicurezza, i risultati si arrotondano per difetto (luce massima al mm, carico massimo al decimo) o per eccesso (spessore necessario al decimo di mm), e la freccia e la tensione si ricalcolano con quei valori (nell’esempio, una luce massima di 1006,8 mm → 1006 mm, e un carico massimo di 39,16 kg/m → 39,1 kg/m). I pannelli in commercio esistono solo in certi spessori (12, 15, 18, 22, 25 mm e così via): se lo spessore necessario è 19,4 mm, si prende lo spessore disponibile immediatamente superiore, 22 mm o 25 mm.

Tensione di flessione (indicativa, un riferimento per sapere se il materiale si rompe)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(M\) \(=\) \(w\) \(\times\) \(L^{2}\) \(\div\ 8\)

\(\sigma\) \(=\) \(M\) \(\div\) \(Z\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(M\): momento flettente massimo (N·mm) \(=\) ① \(w\): carico per mm (N/mm) \(\times\) ② \(L^2\): luce \(L\) al quadrato \(\div\ 8\)

⑤ \(\sigma\): tensione di flessione (N/mm²) \(=\) \(M\): momento flettente massimo (N·mm) \(\div\) ④ \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\): modulo di resistenza (mm³)

La formula a parole

① Si moltiplica il \(w\): carico per mm per la

② \(L^2\): luce al quadrato e si divide per 8 (con carico distribuito e appoggio semplice) per ottenere il

③ \(M\): momento flettente massimo (massimo al centro del ripiano)

④ Si divide per il \(Z\): modulo di resistenza per ottenere la

⑤ \(\sigma\): tensione di flessione (la forza per unità di superficie sulle facce superiore e inferiore del ripiano)

Un esempio semplice

Per un ripiano di pannello lamellare di pino di 250 mm × 18 mm (\(Z = 13.500\) mm³) con una luce di 900 mm, con 30 kg di libri distribuiti (0,3269 N per mm), in appoggio semplice, la tensione di flessione è

\(M\): momento flettente massimo \(=\) carico (0,3269 N/mm) \(\times\) luce (900 mm) al quadrato \(\div\ 8\)

\(\sigma\): tensione di flessione \(=\) momento flettente (33.097 N·mm) \(\div\) modulo di resistenza (13.500 mm³)

\(M = \dfrac{0{,}3269 \times 900^{2}}{8} = \dfrac{0{,}3269 \times 810.000}{8} \approx 33.097\ (\mathrm{N \cdot mm})\)

\(\sigma = \dfrac{33.097}{13.500} \approx 2{,}45\ (\mathrm{N/mm^2}) \quad \Rightarrow \quad \text{circa il } 27\% \text{ della tensione ammissibile di } 9\ \mathrm{N/mm^2}\)

L’idea chiave

Flettersi e rompersi sono due questioni distinte. La freccia riguarda l’aspetto e il comfort d’uso; la rottura dipende dalla forza dentro il materiale (la tensione) rispetto alla sua resistenza. In una trave, la tensione di flessione \(\sigma\), cioè il momento flettente \(M\) dovuto al carico diviso per il modulo di resistenza \(Z\), deve restare al massimo uguale alla tensione ammissibile \(f_b\) del materiale. Questo è il riferimento «non si rompe». Il momento flettente massimo è \(\dfrac{w L^2}{8}\) (al centro) con carico distribuito su appoggio semplice; \(\dfrac{w L^2}{12}\) (agli estremi) con carico distribuito e incastro; \(\dfrac{P L}{4}\) (al centro) per un carico concentrato al centro su appoggio semplice; e \(\dfrac{P L}{8}\) (agli estremi) con incastro. Questa calcolatrice si adatta automaticamente alle tue scelte. In una libreria comune, la tensione di flessione resta di solito su pochi N/mm², mentre la tensione ammissibile del legno si aggira sugli 8-10 N/mm² sotto carico permanente. «Si flette troppo per restare bella molto prima di rompersi» è quindi il caso normale. In altre parole, un ripiano si dimensiona quasi sempre sulla freccia, ed è per questo che questa pagina mette la freccia in primo piano. La tensione diventa il problema con un carico pesante su una tavola sottile, con un materiale poco resistente come il pannello truciolare, o con appoggi che cedono per primi (staffe, viti che si strappano). Le tensioni ammissibili indicate qui sono valori comuni citati spesso. La resistenza reale varia molto con la specie, la classe, i nodi, l’umidità e il prodotto, e la resistenza dei collegamenti, come le staffe, i reggiripiano e le viti, non rientra in questo calcolo. Questa indicazione non garantisce la sicurezza. Per ripiani che reggono oggetti pesanti, su cui qualcuno potrebbe salire, o per elementi strutturali di un edificio, consulta le caratteristiche del produttore o un professionista qualificato.

Un ripiano è una trave appoggiata alle due estremità: la sua freccia massima è carico × luce elevata a 4 (al cubo per un carico concentrato) ÷ (modulo di elasticità × momento d’inerzia), moltiplicato per un coefficiente (\(\dfrac{5}{384}\), \(\dfrac{1}{384}\), \(\dfrac{1}{48}\) o \(\dfrac{1}{192}\)). Il momento d’inerzia è profondità × spessore al cubo ÷ 12: per ridurre la freccia, la cosa più efficace è accorciare la luce (conta elevata a 4) o ispessire la tavola (conta al cubo). Sotto un carico permanente si calcola da 1,5 a 2 volte di più per lo scorrimento viscoso, e si prende come riferimento pratico una freccia relativa da \(L/300\) a \(L/200\) o 3 mm. Per sapere se si rompe, si confronta la tensione di flessione \(M/Z\) con la tensione ammissibile, ma è solo un valore indicativo, non una garanzia di sicurezza.

Simboli e termini

Simboli

\(\delta\)	delta	La freccia massima (mm). La lettera greca delta \(\delta\) si usa spesso per indicare uno spostamento. In questa pagina è l’abbassamento del centro del ripiano (anche al centro con incastro o con un carico concentrato). \(\delta_0\) è la freccia subito dopo aver messo il carico, \(\delta_{\text{lt}}\) la freccia a lungo termine con lo scorrimento viscoso, e \(\delta_a\) la freccia ammissibile (a di «ammissibile»).
\(w\)	doppia vu minuscola	Il carico per mm (N/mm), l’intensità di un carico distribuito. Viene dalla parola inglese «weight» (peso). È il carico totale \(W\) sul ripiano diviso per la luce \(L\).
\(W\)	doppia vu maiuscola	Il carico totale sul ripiano (N). Il peso in kg si moltiplica per 9,80665 per ottenere N. Il carico per mm è \(w = W \div L\).
\(P\)	pi	Il carico concentrato al centro (N). P è un simbolo comune per una forza, usato per un carico o un carico concentrato.
\(L\)	elle	La luce (mm), dall’iniziale di «lunghezza»: la distanza tra gli appoggi. Si prende la distanza tra le facce interne delle fiancate (o tra le staffe), non la larghezza esterna della libreria.
\(E\)	e	Il modulo di elasticità (modulo di Young), dalla parola «elasticità». Indica la rigidezza di un materiale. Si esprime in GPa (circa 9 GPa per il pino); nel calcolo si porta in N/mm² con \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\).
\(I\)	i	Il momento d’inerzia (mm⁴), detto anche momento d’inerzia della sezione. Indica la resistenza della forma della sezione alla flessione. Per un rettangolo, \(I = \dfrac{b h^3}{12}\).
\(b\)	bi	La profondità del ripiano (mm). È la larghezza della sezione della trave (dalla parola inglese «breadth»), la dimensione da davanti a dietro del ripiano.
\(h\)	acca	Lo spessore del ripiano (mm). È l’altezza della sezione della trave; conta al cubo nella freccia, quindi è ciò che ha più effetto. \(h_{\min}\) è lo spessore necessario per non superare la freccia ammissibile.
\(k_c\)	cappa ci	Il coefficiente di scorrimento viscoso, c di «creep» (scorrimento viscoso in inglese). Indica per quanto si moltiplica la freccia sotto un carico permanente. Per impostazione predefinita 1 (la freccia subito dopo aver messo il carico); per il legno e i pannelli di legno si calcola spesso da 1,5 a 2.
\(n\)	enne	Il denominatore della freccia relativa \(L/n\): la luce divisa per la freccia. Si legge «la freccia è 1/\(n\) della luce». Per \(L/300\), \(n = 300\).
\(M\)	emme	Il momento flettente massimo (N·mm), da «momento». Indica con quale intensità il carico tende a piegare la tavola. Con carico distribuito su appoggio semplice vale \(\dfrac{w L^2}{8}\) al centro.
\(Z\)	zeta	Il modulo di resistenza (mm³), una caratteristica della sezione che serve a calcolare la tensione di flessione. Per un rettangolo, \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) (nei libri di testo si indica spesso con \(W\)).
\(\sigma\)	sigma	La tensione di flessione (N/mm²). La lettera greca sigma \(\sigma\) si usa per indicare una tensione (una forza per unità di superficie). Si calcola con \(\sigma = M \div Z\) e si confronta con la tensione ammissibile \(f_b\).
\(f_b\)	effe bi	La tensione ammissibile a flessione (N/mm²). f indica una resistenza o una tensione ammissibile, e il pedice b viene dalla parola inglese «bending» (flessione). È il limite di tensione di flessione che si suppone un materiale sopporti senza rischio sotto un carico permanente: la sua resistenza di riferimento divisa per un coefficiente di sicurezza.
\(\mathrm{N}\)	newton	L’unità di forza. Un oggetto di 1 kg è attratto verso il basso con una forza di circa 9,80665 N (\(1\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\ \mathrm{N}\)). Questa pagina converte internamente in N il peso inserito in kg.
\(\mathrm{N/mm^2}\)	newton al millimetro quadrato	L’unità delle tensioni e del modulo di elasticità: quanti N si esercitano su 1 mm². \(1\ \mathrm{N/mm^2} = 1\ \mathrm{MPa}\) (megapascal). Per il modulo di elasticità, \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\).
\(\approx\)	circa uguale a	Il simbolo «circa uguale». Si usa quando un valore non esatto si arrotonda a un numero decimale.

Termini

freccia	Quanto una tavola o una barra si abbassa rispetto alla posizione iniziale quando vi si esercita una forza di lato (in mm). Il centro di un ripiano è ciò che si abbassa di più: la «freccia massima» di questa pagina è l’abbassamento del centro. Una freccia grande non è solo antiestetica; può anche far uscire un ripiano dai suoi appoggi o far incastrare un’anta scorrevole.
trave	Un elemento lungo, appoggiato per esempio alle due estremità, che si flette sotto un carico trasversale. I ripiani, i travetti e le travi di ponti e di edifici si calcolano tutti come travi, e le formule di questa pagina sono le formule di base della freccia delle travi nella scienza delle costruzioni.
luce	La distanza tra gli appoggi (in mm). In una libreria è la distanza tra le facce interne delle fiancate o tra le staffe, non la lunghezza totale della tavola. La freccia è proporzionale alla luce elevata a 4 (al cubo per un carico concentrato): aggiungere un appoggio al centro per dividere la luce per due divide la freccia per 16.
carico distribuito	Un carico ripartito in modo uniforme su tutta la tavola. Una libreria piena di libri o un ripiano carico di stoviglie gli si avvicina. Si esprime con il carico per mm \(w\) (N/mm). Se inserisci il totale \(W\) per tutto il ripiano, si converte con \(w = W \div L\).
carico concentrato	Un carico in un solo punto, come un televisore o un acquario messo da solo al centro di un ripiano. Con lo stesso peso, dà una freccia 1,6 volte maggiore di un carico distribuito. Avvicinare il carico a un appoggio riduce molto la freccia.
appoggio semplice	Un modo di vincolare in cui le due estremità sono semplicemente appoggiate e possono ruotare liberamente. Un ripiano regolabile appoggiato su staffe o reggiripiano gli si avvicina, e si flette di più che con incastro nelle stesse condizioni. Se hai dubbi, calcola così per restare dalla parte della sicurezza.
incastro	Un modo di vincolare in cui le due estremità sono bloccate e non possono ruotare. Un ripiano fisso avvitato alle fiancate o infilato in scanalature gli si avvicina: la freccia scende a 1/5 di quella dell’appoggio semplice (1/4 per un carico concentrato). Ma un ripiano reale non è mai perfettamente incastrato e si colloca tra i due casi.
modulo di elasticità	Un valore che indica la rigidezza di un materiale, detto anche modulo di Young. Con la stessa forma e lo stesso carico, un materiale con un modulo doppio si flette la metà. Valori citati di solito, da 7 a 12 GPa per il legno, da 6 a 8 GPa per il compensato, da 3 a 4 GPa per l’MDF, da 2 a 3 GPa per il pannello truciolare, circa 70 GPa per il vetro, circa 69 GPa per l’alluminio e circa 200 GPa per l’acciaio. Nel legno è molto diverso nel verso delle fibre e in quello trasversale; questa pagina usa il valore nel verso della lunghezza del ripiano (il verso delle fibre).
momento d’inerzia	La resistenza della forma della sezione alla flessione, in mm⁴. Per una sezione rettangolare è profondità × spessore al cubo ÷ 12; si moltiplica per 8 quando lo spessore raddoppia. Con lo stesso materiale, più la sezione è «alta», maggiore è (per questo una tavola messa di taglio si piega meno che piatta).
modulo di resistenza	Una caratteristica della sezione che serve a calcolare la tensione di flessione, in mm³. È il momento d’inerzia diviso per la distanza dell’asse neutro dalla superficie (metà dello spessore in un rettangolo); per una sezione rettangolare è profondità × spessore al quadrato ÷ 6.
asse neutro	Quando una tavola si flette, la sua faccia superiore si comprime e quella inferiore si tende; tra le due c’è uno strato che non si allunga né si accorcia, l’asse neutro (o fibra neutra). In una sezione rettangolare è esattamente a metà dello spessore. Più una parte è lontana dall’asse neutro, più si allunga o si accorcia, e più resiste alla flessione.
momento flettente	L’intensità con cui una forza tende a piegare la tavola (in N·mm). È «forza × distanza dall’appoggio»; in un ripiano con carico distribuito e appoggio semplice è massimo al centro e vale \(\dfrac{w L^2}{8}\). Con incastro è massimo agli estremi.
tensione di flessione	La forza per unità di superficie che compare sulle facce (superiore e inferiore) del materiale a causa della flessione (in N/mm²). È momento flettente ÷ modulo di resistenza; se non supera la tensione ammissibile del materiale, si considera che «non si rompe».
tensione ammissibile	Un riferimento della massima tensione di flessione che si suppone un materiale sopporti senza rischio sotto un carico permanente (in N/mm²). È la resistenza di riferimento del materiale divisa per un coefficiente di sicurezza; per il legno si cita spesso da 8 a 10 N/mm² sotto carico permanente. Varia molto con la classe, i nodi, l’umidità e il prodotto: il valore di questa pagina è indicativo e non garantisce la sicurezza.
scorrimento viscoso	Quando un carico costante resta applicato, la deformazione continua ad aumentare lentamente nel tempo (in inglese «creep»). È marcato nei materiali derivati dal legno (legno, compensato, MDF, pannello truciolare), la cui freccia a lungo termine arriva spesso da 1,5 a 2 volte la freccia iniziale, e di più se l’aria è umida. Nell’acciaio e nel vetro è trascurabile a temperatura ambiente.
freccia relativa	La luce divisa per la freccia (\(L/\delta\)): dice quale frazione della luce rappresenta la freccia. Nella pratica si cita spesso che fino a \(L/300\) (1/300 della luce) la freccia si nota appena, e che \(L/200\) può dare fastidio secondo l’uso. Non è una norma di sicurezza, ma un riferimento di esperienza legato all’aspetto e al comfort d’uso.
pannello lamellare	Un pannello fatto di piccole lamelle di legno incollate con le fibre nello stesso verso. È un classico dei ripiani venduti nei negozi di bricolage, spesso di pino o di abete. Si deforma meno del legno massello e la sua qualità è più regolare, ma il suo modulo di elasticità resta simile a quello della specie d’origine.
MDF	Un pannello di fibre di legno agglomerate con una resina, dall’espressione inglese Medium Density Fiberboard (pannello di fibre a media densità), detto in Italia MDF. La sua superficie è liscia e si lavora facilmente, ma il suo modulo di elasticità è inferiore alla metà di quello del legno (da 3 a 4 GPa): si flette facilmente e il suo scorrimento viscoso è piuttosto forte. Con lo stesso spessore si flette più del pannello lamellare.
pannello truciolare	Un pannello di particelle (trucioli) di legno agglomerate con una resina, spesso rivestito con una finitura melaminica nei mobili da montare (nobilitato). Il suo modulo di elasticità è basso (da 2 a 3 GPa) e anche la sua resistenza: è svantaggiato sia per la freccia sia per il carico ammissibile. Va male per ripiani lunghi e libri pesanti.
newton	L’unità di forza (N). Un oggetto di 1 kg è attratto dalla gravità terrestre con una forza di circa 9,80665 N. Questa pagina moltiplica per 9,80665 il peso inserito in kg per convertirlo in N e calcola con le forze.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su queste nozioni è la via più breve.

Potenze (classe 1ª della secondaria di primo grado, 11-12 anni)	Saper moltiplicare un numero più volte per se stesso, come \(18^3 = 18 \times 18 \times 18 = 5832\) Saper confrontare l’effetto delle potenze: «uno spessore doppio conta al cubo, quindi × 8», «una luce doppia conta elevata a 4, quindi × 16»
Proporzionalità diretta e inversa (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Capire che «un carico doppio raddoppia la freccia (proporzionalità diretta)» e che «un modulo di elasticità doppio divide la freccia per due (proporzionalità inversa)» Saper leggere in una frazione «ciò che sta al numeratore è proporzionale, ciò che sta al denominatore è inversamente proporzionale»
Espressioni letterali e trasformazione delle uguaglianze (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Saper sostituire i numeri alle lettere in un’espressione come \(\delta = \dfrac{5 w L^4}{384 E I}\) Saper riscrivere la formula nella forma \(L^4 = \cdots\) quando si conosce \(\delta\) e si cerca \(L\) (calcolo inverso)
Radici quadrate e radici n-esime (classe 3ª della secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 13-15 anni)	Sapere che \(\sqrt[4]{x}\) (radice quarta) è «il numero che, elevato a 4, dà \(x\)» e \(\sqrt[3]{x}\) (radice cubica) «il numero che, elevato al cubo, dà \(x\)» Sapere che una radice quarta è «la radice quadrata di una radice quadrata» (\(\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}\))
Notazione scientifica e calcoli con numeri grandi (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 12-15 anni)	Saper trattare numeri grandi scritti come \(4{,}096 \times 10^{11}\), e moltiplicarli o dividerli Saper convertire unità come \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\) e \(1\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\ \mathrm{N}\)
Forze, pressione e legge di Hooke (scienze alla secondaria di primo grado e fisica al liceo)	Conoscere l’unità di forza, il newton (N), e la forza di gravità su una massa in kg (circa 9,8 N/kg) Conoscere l’idea della legge di Hooke, «forza e deformazione sono proporzionali» (il modulo di elasticità ne è la versione per un materiale) Capire che una pressione o una tensione è «una forza per unità di superficie»

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare il momento d’inerzia e il modulo di resistenza

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Modulo di resistenza Z (mm³)	=B1*B2^2/6

Tabella per calcolare la freccia massima (carico distribuito, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Luce L (mm)	900
Modulo di elasticità E (GPa)	9
Carico totale W (kg)	30
Coefficiente di scorrimento viscoso k_c	1
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Carico per mm w (N/mm)	=B5*9,80665/B3
Freccia massima δ (mm)	=5B8B3^4/(384B41000B7)B6
Denominatore n della freccia relativa L/δ	=B3/B9

Tabella per calcolare la freccia massima (carico concentrato al centro, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	300
Spessore del ripiano h (mm)	25
Luce L (mm)	800
Modulo di elasticità E (GPa)	11
Carico concentrato al centro P (kg)	20
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Freccia massima δ (mm)	=B59,80665B3^3/(48B41000*B6)

Tabella per il calcolo inverso (luce massima e carico massimo, carico distribuito, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Modulo di elasticità E (GPa)	9
Carico al metro w (kg/m)	25
Freccia ammissibile δa (mm)	3
Coefficiente di scorrimento viscoso k_c	1
Luce L (mm, per il carico massimo)	900
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Luce massima L_max (mm)	=(384B31000B8B5/(5B49,80665/1000*B6))^(1/4)
Carico massimo w_max (kg/m)	=384B31000B8B5/(5B6B7^4)*1000/9,80665

Tabella per calcolare la tensione di flessione (carico distribuito, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Luce L (mm)	900
Carico totale W (kg)	30
Tensione ammissibile f_b (N/mm²)	9
Modulo di resistenza Z (mm³)	=B1*B2^2/6
Momento flettente massimo M (N·mm)	=B49,80665/B3B3^2/8
Tensione di flessione σ (N/mm²)	=B7/B6
Parte della tensione ammissibile (%)	=B8/B5*100

Dopo l’incolla, le righe in alto della colonna B sono i tuoi dati e le righe in basso si calcolano da sole.
La prima tabella prende una profondità di 250 mm e uno spessore di 18 mm: B3 vale 121.500 (mm⁴) e B4 13.500 (mm³). La seconda tabella è di pannello lamellare di pino (9 GPa), con una luce di 900 mm e 30 kg in totale: B9 vale circa 2,55 (mm) e B10 circa 352 (la freccia è 1/352 della luce). Per incastro, togli il «5*» dalla formula di B9 per ottenere «=B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6».
La terza tabella è di rovere (11 GPa), con una luce di 800 mm e 20 kg al centro: B7 vale circa 0,49 (mm). Per incastro, sostituisci «48» con «192». La quarta tabella prende una freccia ammissibile di 3 mm e 25 kg al metro: B9 vale circa 1006,8 (mm; la calcolatrice arrotonda a 1006 per restare dalla parte della sicurezza) e B10 circa 39,16 (kg/m; la calcolatrice arrotonda al decimo inferiore, 39,1). La quinta tabella dà la tensione di flessione: B8 vale circa 2,45 (N/mm²) e B9 circa 27 (%).
«^» è la potenza (B2^3 è lo spessore al cubo), «*» la moltiplicazione e «/» la divisione. Il modulo di elasticità si inserisce in GPa, e la formula lo moltiplica per 1000 per portarlo in N/mm². In Excel in italiano il separatore decimale è la virgola (9,80665).

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare il momento d’inerzia e il modulo di resistenza

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Modulo di resistenza Z (mm³)	=B1*B2^2/6

Tabella per calcolare la freccia massima (carico distribuito, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Luce L (mm)	900
Modulo di elasticità E (GPa)	9
Carico totale W (kg)	30
Coefficiente di scorrimento viscoso k_c	1
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Carico per mm w (N/mm)	=B5*9,80665/B3
Freccia massima δ (mm)	=5B8B3^4/(384B41000B7)B6
Denominatore n della freccia relativa L/δ	=B3/B9

Tabella per calcolare la freccia massima (carico concentrato al centro, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	300
Spessore del ripiano h (mm)	25
Luce L (mm)	800
Modulo di elasticità E (GPa)	11
Carico concentrato al centro P (kg)	20
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Freccia massima δ (mm)	=B59,80665B3^3/(48B41000*B6)

Tabella per il calcolo inverso (luce massima e carico massimo, carico distribuito, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Modulo di elasticità E (GPa)	9
Carico al metro w (kg/m)	25
Freccia ammissibile δa (mm)	3
Coefficiente di scorrimento viscoso k_c	1
Luce L (mm, per il carico massimo)	900
Momento d’inerzia I (mm⁴)	=B1*B2^3/12
Luce massima L_max (mm)	=(384B31000B8B5/(5B49,80665/1000*B6))^(1/4)
Carico massimo w_max (kg/m)	=384B31000B8B5/(5B6B7^4)*1000/9,80665

Tabella per calcolare la tensione di flessione (carico distribuito, appoggio semplice)

Profondità del ripiano b (mm)	250
Spessore del ripiano h (mm)	18
Luce L (mm)	900
Carico totale W (kg)	30
Tensione ammissibile f_b (N/mm²)	9
Modulo di resistenza Z (mm³)	=B1*B2^2/6
Momento flettente massimo M (N·mm)	=B49,80665/B3B3^2/8
Tensione di flessione σ (N/mm²)	=B7/B6
Parte della tensione ammissibile (%)	=B8/B5*100

Si possono usare le stesse formule di Excel (compreso «^» per la potenza) così come sono in Fogli Google in italiano. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

# Si assimila il ripiano a una trave appoggiata alle due estremità e si calcola la freccia massima (unità: mm, kg, GPa)
depth_mm = 250            # profondità del ripiano b (mm)
thickness_mm = 18         # spessore del ripiano h (mm)
span_mm = 900             # luce L (distanza tra gli appoggi, mm)
young_gpa = 9             # modulo di elasticità E (GPa), valore abituale del pannello lamellare di pino
load_kg = 30              # carico totale W (kg), distribuito in modo uniforme
creep_factor = 1          # coefficiente di scorrimento viscoso (circa da 1,5 a 2 per un carico permanente)
support = "simple"        # "simple" = appoggiato su staffe (appoggio semplice), "fixed" = estremi incastrati
allow_stress = 9          # tensione ammissibile f_b (N/mm²)

GRAVITY = 9.80665         # 1 kgf = 9,80665 N
young = young_gpa * 1000  # GPa → N/mm²
inertia = depth_mm * thickness_mm ** 3 / 12          # momento d’inerzia I (mm⁴)
section_modulus = depth_mm * thickness_mm ** 2 / 6   # modulo di resistenza Z (mm³)
load_n_per_mm = load_kg * GRAVITY / span_mm          # carico per mm w (N/mm)

# Freccia massima con carico distribuito: appoggio semplice 5wL⁴/(384EI), estremi incastrati wL⁴/(384EI)
coef = 5 / 384 if support == "simple" else 1 / 384
deflection = coef * load_n_per_mm * span_mm ** 4 / (young * inertia)
deflection_long = deflection * creep_factor
ratio_n = span_mm / deflection_long
print(f"Momento d’inerzia I = {inertia:,.1f} mm⁴")
print(f"Freccia massima = {deflection:.2f} mm (lungo termine {deflection_long:.2f} mm, freccia relativa L/{ratio_n:.0f})")

# Tensione di flessione (indicativa): M = wL²/8 (appoggio semplice) o wL²/12 (estremi incastrati), σ = M/Z
moment = load_n_per_mm * span_mm ** 2 / (8 if support == "simple" else 12)
stress = moment / section_modulus
print(f"Tensione di flessione = {stress:.2f} N/mm² ({stress / allow_stress * 100:.1f} % della tensione ammissibile {allow_stress}, indicativo)")

# Calcolo inverso: luce massima per una freccia di al massimo allow_mm (carico distribuito, load_kg_per_m al metro) e carico massimo
allow_mm = 3
load_kg_per_m = 25
w = load_kg_per_m * GRAVITY / 1000                   # kg/m → N/mm
span_max = (384 * young * inertia * allow_mm / (5 * w * creep_factor)) ** 0.25
w_max = 384 * young * inertia * allow_mm / (5 * creep_factor * span_mm ** 4)
# I risultati si arrotondano per difetto per restare dalla parte della sicurezza (luce al mm, carico al decimo)
span_max_floor = int(span_max)
w_max_kg_per_m_floor = int(w_max * 1000 / GRAVITY * 10) / 10
print(f"Luce massima per una freccia di {allow_mm} mm = {span_max_floor} mm ({load_kg_per_m} kg al metro, arrotondata al mm inferiore)")
print(f"Carico massimo per una luce di {span_mm} mm = {w_max_kg_per_m_floor} kg/m (arrotondato al decimo inferiore)")

Funziona con la sola libreria standard. Sostituisci con i tuoi valori le misure, il modulo di elasticità e il carico qui sopra, ed esegui il codice (in Python il separatore decimale è il punto). Per un carico concentrato al centro, sostituisci la riga della freccia con «load_kg * GRAVITY * span_mm ** 3 / (48 * young * inertia)» (192 per incastro) e il momento flettente con «load_kg * GRAVITY * span_mm / 4» (8 per incastro). «** 3» è il cubo, e l’esponente della riga di span_max, elevare a un quarto, dà la radice quarta.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Momento d’inerzia e modulo di resistenza (la resistenza della sezione del ripiano alla flessione)

I = b × h³ ÷ 12,  Z = b × h² ÷ 6

I = \frac{b h^{3}}{12},\quad Z = \frac{b h^{2}}{6}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>I</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>Z</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>6</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

I = (b h^3) / 12,  Z = (b h^2) / 6

{b*h^3/12, b*h^2/6}

Iz := b*h^3/12;  Z := b*h^2/6;

I = b*h^3/12;  Z = b*h^2/6;  % b: profondità (mm), h: spessore (mm)

I = b h^3/12,  Z = b h^2/6

Freccia massima (carico ripartito in modo uniforme = carico distribuito)

δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (appoggio semplice),  δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (incastro)

\delta = \frac{5 w L^{4}}{384 E I}\ \text{(appoggio semplice)},\quad \delta = \frac{w L^{4}}{384 E I}\ \text{(incastro)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

delta = (5 w L^4) / (384 E I),  delta = (w L^4) / (384 E I)

{5*w*L^4/(384*Ey*Iz), w*L^4/(384*Ey*Iz)}

delta_simple := 5*w*L^4/(384*E*Iz);  delta_fixed := w*L^4/(384*E*Iz);

delta_simple = 5*w*L^4/(384*E*I);  delta_fixed = w*L^4/(384*E*I);  % w in N/mm, L in mm, E in N/mm^2, I in mm^4

δ = 5 w L^4/(384 E I),  δ = w L^4/(384 E I)

Freccia massima (carico concentrato al centro = carico concentrato)

δ = P × L³ ÷ (48 × E × I) (appoggio semplice),  δ = P × L³ ÷ (192 × E × I) (incastro)

\delta = \frac{P L^{3}}{48 E I}\ \text{(appoggio semplice)},\quad \delta = \frac{P L^{3}}{192 E I}\ \text{(incastro)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>48</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>δ</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>192</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

delta = (P L^3) / (48 E I),  delta = (P L^3) / (192 E I)

{P*L^3/(48*Ey*Iz), P*L^3/(192*Ey*Iz)}

delta_simple := P*L^3/(48*E*Iz);  delta_fixed := P*L^3/(192*E*Iz);

delta_simple = P*L^3/(48*E*I);  delta_fixed = P*L^3/(192*E*I);  % P in N, L in mm, E in N/mm^2, I in mm^4

δ = P L^3/(48 E I),  δ = P L^3/(192 E I)

Freccia a lungo termine (scorrimento viscoso) e freccia relativa L/δ

δ_lt = k_c × δ₀,  n = L ÷ δ_lt

\delta_{\mathrm{lt}} = k_c \, \delta_0,\quad n = \frac{L}{\delta_{\mathrm{lt}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>δ</mi><mi>lt</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msub><mi>δ</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>n</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>L</mi><msub><mi>δ</mi><mi>lt</mi></msub></mfrac>
  </mrow>
</math>

delta_(lt) = k_c * delta_0,  n = L / delta_(lt)

{kc*delta0, L/(kc*delta0)}

delta_long := kc*delta0;  n := L/delta_long;

delta_long = kc*delta0;  n = L/delta_long;  % kc: coefficiente di scorrimento viscoso, delta0: freccia subito dopo aver messo il carico (mm)

δ_lt = k_c δ_0,  n = L/δ_lt

Calcolo inverso (luce massima e carico massimo da una freccia ammissibile)

L_max = (384 × E × I × δ_a ÷ (5 × w × k_c))^(1/4),  w_max = 384 × E × I × δ_a ÷ (5 × k_c × L⁴)

L_{\max} = \sqrt[4]{\frac{384 E I \delta_a}{5 w k_c}},\quad w_{\max} = \frac{384 E I \delta_a}{5 k_c L^{4}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
    <mroot><mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub></mrow></mfrac><mn>4</mn></mroot>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>w</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

L_max = root(4)((384 E I delta_a) / (5 w k_c)),  w_max = (384 E I delta_a) / (5 k_c L^4)

{(384*Ey*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4), 384*Ey*Iz*deltaA/(5*kc*L^4)}

Lmax := (384*E*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4);  wmax := 384*E*Iz*deltaA/(5*kc*L^4);

Lmax = (384*E*I*deltaA/(5*w*kc))^(1/4);  wmax = 384*E*I*deltaA/(5*kc*L^4);  % deltaA: freccia ammissibile (mm), kc: coefficiente di scorrimento viscoso

L_max = (384 E I δ_a/(5 w k_c))^(1/4),  w_max = 384 E I δ_a/(5 k_c L^4)

Tensione di flessione (indicativa, un riferimento per sapere se il materiale si rompe)

M = w × L² ÷ 8,  σ = M ÷ Z

M = \frac{w L^{2}}{8},\quad \sigma = \frac{M}{Z}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>M</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>8</mn></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>σ</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>M</mi><mi>Z</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

M = (w L^2) / 8,  sigma = M / Z

{w*L^2/8, (w*L^2/8)/Z}

M := w*L^2/8;  sigma := M/Z;

M = w*L^2/8;  sigma = M/Z;  % w in N/mm, L in mm, Z in mm^3

M = w L^2/8,  σ = M/Z

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo di scienza delle costruzioni (freccia delle travi). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a memoria o a intuito).

Un ripiano di pannello lamellare di pino profondo 250 mm e spesso 18 mm (modulo di elasticità 9 GPa = 9000 N/mm²) è appoggiato su staffe distanti 900 mm (appoggio semplice), con 30 kg di libri distribuiti in modo uniforme. Si prende 1 kg = 9,80665 N.
Calcola ciascuno dei seguenti valori:
1. Il momento d’inerzia I = b × h³ ÷ 12 (mm⁴) e il modulo di resistenza Z = b × h² ÷ 6 (mm³)
2. Il carico per mm w = 30 × 9,80665 ÷ 900 (N/mm), la freccia massima δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (mm) e la freccia relativa L/δ
3. La freccia massima (mm) con incastro (δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I))
4. La freccia a lungo termine (mm) con un coefficiente di scorrimento viscoso di 2, e se è al massimo uguale a L/300
5. La tensione di flessione σ = (w × L² ÷ 8) ÷ Z (N/mm²) e la sua parte (%) rispetto alla tensione ammissibile di 9 N/mm²
6. La luce massima L_max = (384 × E × I × 3 ÷ (5 × w))^(1/4) (mm) per una freccia di al massimo 3 mm (con w = 25 kg al metro = 0,2452 N/mm)

Indica le formule usate e i numeri ottenuti dall’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula