Calcolatrice del punto che divide un segmento (divisione interna ed esterna, punto medio e baricentro)

Scegli il tipo di punto e la dimensione, poi scrivi le coordinate dei due punti A e B e il rapporto m:n. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare le coordinate o il rapporto direttamente nella formula.

Punto da trovare

Dimensione

Ascissa x₁ del punto A

Ordinata y₁ del punto A

Quota z₁ del punto A

Ascissa x₂ del punto B

Ordinata y₂ del punto B

Quota z₂ del punto B

Ascissa x₃ del punto C

Ordinata y₃ del punto C

Quota z₃ del punto C

Numero m del rapporto (da A al punto)

Numero n del rapporto (dal punto a B)

Puoi usare numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Una coordinata lasciata vuota vale 0 e un numero del rapporto lasciato vuoto vale 1. Il rapporto m:n è nell’ordine «m da A, poi n da lì a B».

Risultato e figura

Scrivi le coordinate dei due punti e il rapporto nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e una figura.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi le coordinate di due punti \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\) e un rapporto \(m:n\) e ottieni subito le coordinate del punto che divide il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(m:n\), internamente o esternamente
Il punto medio (divisione interna nel rapporto \(1:1\)) e il baricentro di un triangolo (la media delle coordinate dei suoi tre vertici) si trovano nella stessa pagina
Funziona sulla retta dei numeri (1D), nel piano cartesiano (2D) e nello spazio (3D)
La risposta è mostrata sia come frazione esatta ridotta ai minimi termini, come \(\dfrac{13}{2}\), sia come numero decimale. Puoi vedere anche i passaggi con i numeri messi nella formula
Una figura mostra dove si trova il punto sul segmento (all’interno, oppure all’esterno da quale parte). Le coordinate e i rapporti possono essere numeri decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4
In questa pagina trovi anche la spiegazione dell’«incrocio» nella formula (perché \(m\) e \(n\) sembrano scambiati di posto) e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python

Scrivi il rapporto \(m:n\) in quest’ordine: \(m\) contato da \(\mathrm{A}\), poi \(n\) da lì a \(\mathrm{B}\). Se scambi l’ordine ottieni un punto diverso.

A cosa serve questo calcolo?

Muovere in modo fluido un oggetto tra due punti nelle animazioni e nei giochi (computer grafica e video)

Quando un personaggio o una telecamera si sposta dal punto A al punto B, il computer trova la sua posizione in ogni fotogramma come «il punto che divide internamente il segmento AB nel rapporto \(t : \left(1-t\right)\)» (dove \(t\) è un numero compreso tra \(0\) e \(1\)). Si chiama interpolazione lineare (lerp) ed è il calcolo più elementare della computer grafica.
Se aumenti t a poco a poco da 0 a 1, l’oggetto si sposta da A a B a velocità costante; se cambi la velocità con cui t aumenta, ottieni un movimento naturale che parte piano e si ferma piano. Mescolare i colori, ridimensionare le immagini e fare il morphing tra due volti applicano lo stesso calcolo della divisione interna a colori o coordinate.

L’equilibrio di un’altalena a bilico o di una bilancia (fisica e centro di gravità)

Metti un peso da 1 kg e un peso da 2 kg alle due estremità di un’asta lunga 1 m (considera trascurabile il peso dell’asta). Dove va messo il sostegno perché stia in equilibrio? È esattamente un calcolo di divisione interna. La risposta è a \(\dfrac{2}{3}\) m dall’estremità da 1 kg: il centro di gravità è una media ponderata dai pesi e si sposta verso l’estremità più pesante. Come formula, con la massa \(m_1\) nella posizione \(x_1\) e la massa \(m_2\) nella posizione \(x_2\), il centro di gravità è \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\), della stessa forma della formula della divisione interna.
Qui non sembra che «la coordinata dell’estremità più leggera sia moltiplicata per la massa più pesante», perché le masse stesse sono i pesi. Nella divisione interna, che lavora con il rapporto delle lunghezze, il peso è «la lunghezza della parte dall’altra parte». La stessa idea si usa per trovare il centro di gravità di triangoli, lastre, automobili e aerei.

Unire le medie di classi diverse pesando per il numero di studenti (statistica e media ponderata)

Se una classe di 40 studenti ha una media di 60 punti e una classe di 20 studenti ha una media di 90 punti, la media complessiva delle due classi non è 75 ma \(\dfrac{40 \times 60 + 20 \times 90}{40 + 20} = 70\) punti. Pensa a 60 e 90 come a due punti \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\) sulla retta dei numeri: la risposta divide internamente il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(20:40\), che è il rapporto del numero di studenti \(40:20\) scambiato. La risposta si sposta verso 60, il lato con più studenti, perché il numero di studenti dell’altro lato è il peso. È esattamente lo stesso scambio dell’incrocio di questa pagina.
Gli indici dei prezzi, le medie dei battitori, le valutazioni complessive nei sondaggi e il costo medio per azione di un investimento sono tutte medie che combinano gruppi di dimensioni diverse, e hanno tutte questa forma. Ti evita l’errore di sommare e dividere semplicemente per 2, che dà troppo peso al gruppo più piccolo.

Stabilire dove piantare i picchetti tra due punti nei rilievi e nell’ingegneria civile (edilizia)

Nei lavori stradali e nelle sistemazioni di terreni, si usano le coordinate di due punti rilevati per trovare «la posizione a una data frazione del percorso tra di essi» e piantare lì un picchetto. I punti che dividono un tratto di 100 m in quattro parti uguali, a 25, 50 e 75 m, sono i punti di divisione interna per i rapporti 1:3, 1:1 e 3:1.
Con coordinate 3D che comprendono l’altezza, la stessa formula trova punti a metà di un pendio. Anche per una galleria scavata dai due lati che deve incontrarsi esattamente a metà, molti calcoli di coordinate come questo mantengono accurato il lavoro.

Trovare un punto lungo il percorso o un punto di incontro a metà strada nelle app di mappe (informazione geografica)

Se consideri la latitudine e la longitudine di due luoghi come coordinate, la formula del punto medio dà un luogo circa a metà tra loro. Si usa nelle funzioni che suggeriscono punti d’incontro e per dividere un percorso lungo in punti equidistanti, per controllare l’altitudine o il tempo lungo la strada.
Su lunghe distanze servono calcoli che tengano conto della forma tondeggiante della Terra, ma dentro una città, trattare le coordinate come piane e usare la divisione interna non cambia quasi nulla in pratica.

Formule e figure

Divisione interna (il punto che divide un segmento internamente nel rapporto \(m:n\))

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑥ \(x\): ascissa del punto \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) ① \(n\): numero del rapporto dal punto a \(\mathrm{B}\) \(\times\) ② \(x_1\): ascissa di \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): numero del rapporto da \(\mathrm{A}\) al punto \(\times\) ④ \(x_2\): ascissa di \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m+n\): somma dei numeri del rapporto

La formula a parole

① Sia \(\mathrm{P}\) il punto che divide internamente il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(m:n\). Prendi \(n\): numero del rapporto dal punto a \(\mathrm{B}\)

② e moltiplicalo per \(x_1\): ascissa del punto \(\mathrm{A}\)

③ Poi prendi \(m\): numero del rapporto da \(\mathrm{A}\) al punto

④ e moltiplicalo per \(x_2\): ascissa del punto \(\mathrm{B}\) (poi somma i due prodotti)

⑤ Dividi la somma per \(m+n\): somma dei numeri del rapporto

⑥ e ottieni l’ ascissa del punto \(\mathrm{P}\) (anche l’ordinata \(y\) e la quota \(z\) si trovano con esattamente la stessa formula)

Un esempio semplice

L’ascissa \(x\) del punto \(\mathrm{P}\) che divide internamente \(\mathrm{A}(1 ;\ 2)\), \(\mathrm{B}(7 ;\ 5)\) nel rapporto \(2:1\) è

ascissa di \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) numero del rapporto dal lato di \(\mathrm{B}\) (1) \(\times\) ascissa di \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) numero del rapporto dal lato di \(\mathrm{A}\) (2) \(\times\) ascissa di \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) somma dei numeri del rapporto (3)

\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5 ;\ 4)\)

L’idea chiave

Dividiamo nel rapporto \(m:n\), quindi perché \(m\) moltiplica \(x_2\) (la coordinata del punto B) e \(n\) moltiplica \(x_1\) (la coordinata del punto A)? Questo scambio, l’«incrocio», è il motivo principale per cui la formula del punto di divisione è difficile da ricordare. Se segui il ragionamento, vedrai che lo scambio è il risultato naturale. Il punto \(\mathrm{P}\) si trova a \(\dfrac{m}{m+n}\) del cammino da \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\). \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) dice che l’intero segmento \(\mathrm{AB}\) è diviso in \(m + n\) parti uguali e \(m\) di esse stanno dalla parte di \(\mathrm{A}\). Quindi parti dalla coordinata di \(\mathrm{A}\) e percorri \(\dfrac{m}{m+n}\) dell’incremento da \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\), cioè \(x_2 - x_1\). Semplificando si ottiene \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) e dalla parte di \(x_1\) resta solo \(n\). Per ricordarla con il significato: «il numero dell’estremo opposto è il peso». Quando \(\mathrm{P}\) è vicino ad \(\mathrm{A}\), il \(m\) dalla parte di \(\mathrm{A}\) è piccolo e il \(n\) dalla parte di \(\mathrm{B}\) è grande. Il risultato deve essere vicino alla coordinata di \(\mathrm{A}\), quindi è naturale che il numero più grande (\(n\)) moltiplichi \(x_1\). È come una bilancia a due piatti, in cui il punto di equilibrio si sposta verso il peso maggiore. Scambiare \(m:n\) e \(n:m\) dà un punto completamente diverso. Scrivi sempre il rapporto nell’ordine «\(m\) contato da \(\mathrm{A}\), poi \(n\) da lì a \(\mathrm{B}\)» e sbaglierai meno.

Divisione esterna (il punto che divide un segmento esternamente nel rapporto \(m:n\))

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑥ \(x\): ascissa del punto \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) ① \(-n\): numero del rapporto dal punto a \(\mathrm{B}\), con il segno cambiato \(\times\) ② \(x_1\): ascissa di \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): numero del rapporto da \(\mathrm{A}\) al punto \(\times\) ④ \(x_2\): ascissa di \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m-n\): differenza dei numeri del rapporto

La formula a parole

① Sia \(\mathrm{Q}\) il punto che divide esternamente il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(m:n\). Prendi \(-n\): numero \(n\) del rapporto con il segno cambiato

② e moltiplicalo per \(x_1\): ascissa del punto \(\mathrm{A}\)

③ Poi prendi \(m\): numero del rapporto da \(\mathrm{A}\) al punto

④ e moltiplicalo per \(x_2\): ascissa del punto \(\mathrm{B}\) (poi somma i due prodotti)

⑤ Dividi la somma per \(m-n\): differenza dei numeri del rapporto

⑥ e ottieni l’ ascissa del punto \(\mathrm{Q}\) (quando \(m\) e \(n\) sono uguali la differenza è \(0\) e non esiste il punto di divisione esterna)

Un esempio semplice

L’ascissa \(x\) del punto \(\mathrm{Q}\) che divide esternamente \(\mathrm{A}(1 ;\ 2)\), \(\mathrm{B}(7 ;\ 5)\) nel rapporto \(3:1\) è

ascissa di \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) numero del rapporto dal lato di \(\mathrm{B}\), con il segno cambiato (−1) \(\times\) ascissa di \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) numero del rapporto dal lato di \(\mathrm{A}\) (3) \(\times\) ascissa di \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) differenza dei numeri del rapporto (2)

\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10 ;\ \dfrac{13}{2}\right)\)

L’idea chiave

Il punto di divisione esterna \(\mathrm{Q}\) si trova fuori dal segmento \(\mathrm{AB}\), eppure \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Pensa alla divisione interna come a una divisione dentro il segmento e alla divisione esterna come a una divisione sul prolungamento del segmento. La formula è uguale a quella interna, con \(n\) sostituito da \(-n\). Perché si può mettere il segno meno? Pensa alla direzione oltre che alla lunghezza. Nella divisione interna, andare da \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{P}\) e andare da \(\mathrm{P}\) a \(\mathrm{B}\) sono movimenti nello stesso verso. Nella divisione esterna, andare da \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{Q}\) e andare da \(\mathrm{Q}\) a \(\mathrm{B}\) sono sempre movimenti in versi opposti (\(\mathrm{Q}\) è fuori dal segmento, quindi devi tornare indietro da \(\mathrm{Q}\) per raggiungere \(\mathrm{B}\)). Le lunghezze sono ancora nel rapporto \(m:n\), ma se includi il verso il rapporto diventa \(m : \left(-n\right)\). In effetti, mettendo \(m : \left(-n\right)\) nella formula della divisione interna si ottiene \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) che è esattamente la formula della divisione esterna. Ricorda che «la divisione esterna è la divisione interna con un segno meno sul secondo numero» e non devi memorizzare due formule. Da quale parte cade il punto dipende da quale tra \(m\) e \(n\) è maggiore. Se \(m > n\), è oltre \(\mathrm{B}\); se \(m < n\), è prima di \(\mathrm{A}\) (nel verso che si allontana da \(\mathrm{B}\)). \(\mathrm{Q}\) cade sempre dalla parte del punto, \(\mathrm{A}\) o \(\mathrm{B}\), che ha il numero del rapporto più piccolo. Solo quando \(m = n\) non esiste il punto di divisione esterna. Nella formula il denominatore \(m - n\) diventa \(0\). Nella figura, sulla retta \(\mathrm{AB}\) non c’è nessun punto che sia fuori dal segmento e anche equidistante da \(\mathrm{A}\) e da \(\mathrm{B}\).

Punto medio (divisione interna nel rapporto \(1:1\))

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(x\): ascissa del punto medio \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): ascissa di \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): ascissa di \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) \(2\)

La formula a parole

① Somma \(x_1\): ascissa del punto \(\mathrm{A}\)

② più \(x_2\): ascissa del punto \(\mathrm{B}\) poi dividi per 2

③ e ottieni l’ ascissa del punto medio \(\mathrm{M}\) (semplicemente la media delle due coordinate)

Un esempio semplice

L’ascissa \(x\) del punto medio \(\mathrm{M}\) di \(\mathrm{A}(1 ;\ 2)\) e \(\mathrm{B}(7 ;\ 5)\) è

ascissa di \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) ascissa di \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) ascissa di \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4 ;\ \dfrac{7}{2}\right)\)

L’idea chiave

Il punto medio è la divisione interna nel rapporto \(1:1\). Mettendo \(m = 1\) e \(n = 1\) nella formula della divisione interna si ottiene \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) e lo scambio incrociato scompare. Entrambe le coordinate sono moltiplicate per lo stesso \(1\), quindi non importa quale vada con quale. Per questo la formula della divisione interna sembra improvvisamente difficile dopo che ti sei abituato alla formula del punto medio: sei partito da questo caso particolare, in cui lo scambio è nascosto. Tutto quello che fa è trovare la media di due coordinate. Pensalo come lo stesso calcolo della media di due voti, fatto separatamente per le ascisse e per le ordinate, e non ti perderai.

Baricentro di un triangolo

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(x\): ascissa del baricentro \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): ascissa del vertice \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): ascissa del vertice \(\mathrm{B}\) \(+\) ③ \(x_3\): ascissa del vertice \(\mathrm{C}\) \()\) \(\div\) \(3\)

La formula a parole

① Per il triangolo \(\mathrm{ABC}\), somma \(x_1\): ascissa del vertice \(\mathrm{A}\)

② più \(x_2\): ascissa del vertice \(\mathrm{B}\)

③ più \(x_3\): ascissa del vertice \(\mathrm{C}\) poi dividi per 3

④ e ottieni l’ ascissa del baricentro \(\mathrm{G}\) (la media delle coordinate dei tre vertici)

Un esempio semplice

L’ascissa \(x\) del baricentro \(\mathrm{G}\) del triangolo di vertici \(\mathrm{A}(1 ;\ 2)\), \(\mathrm{B}(7 ;\ 5)\) e \(\mathrm{C}(4 ;\ 8)\) è

ascissa di \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) ascissa di \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) ascissa di \(\mathrm{B}\) (7) \(+\) ascissa di \(\mathrm{C}\) (4) \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4 ;\ 5)\)

L’idea chiave

Il baricentro \(\mathrm{G}\) è il punto in cui si incontrano le tre mediane (i segmenti che uniscono ogni vertice al punto medio del lato opposto). Una lastra triangolare resta in equilibrio orizzontale se è sostenuta in questo solo punto, ed è per questo che si chiama anche centro di gravità. Puoi controllare con la formula della divisione interna perché funziona la media delle coordinate. L’ascissa \(x\) del punto medio \(\mathrm{M}\) del lato \(\mathrm{BC}\) è \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\). Il baricentro divide internamente la mediana \(\mathrm{AM}\) nel rapporto \(2:1\), contando dal vertice, quindi mettendo \(m = 2\) e \(n = 1\) nella formula della divisione interna si ottiene \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) che è la media delle tre coordinate. Questo \(2:1\) è la proprietà più importante del baricentro: \(\mathrm{AG}\) è esattamente il doppio di \(\mathrm{GM}\). Il rapporto è lo stesso per ogni mediana, quindi ricordare che «il baricentro divide ogni mediana in due parti nel rapporto \(2:1\) a partire dal vertice» aiuta nei problemi di geometria.

Il punto che divide il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(m:n\) è \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n} ;\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\) per la divisione interna e \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n} ;\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\), con \(n\) sostituito da \(-n\), per la divisione esterna. La coordinata del punto \(\mathrm{A}\) è moltiplicata per \(n\), il numero dell’estremo opposto ad \(\mathrm{A}\), in modo che più \(n\) è grande, più il punto si avvicina ad \(\mathrm{A}\) (il punto di divisione si sposta verso l’estremo con il numero del rapporto più piccolo). Il punto medio è la divisione interna nel rapporto \(1:1\) e il baricentro di un triangolo è la media delle coordinate dei suoi tre vertici. Sono tutti legati dalla stessa idea: una media ponderata.

Simboli e termini

Simboli

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	a, bi, ci	I nomi dei punti. In geometria i punti si indicano con lettere maiuscole, di solito A, B, C in ordine. In questa pagina gli estremi del segmento sono \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\) e il terzo vertice del triangolo è \(\mathrm{C}\).
\(x_1,\ y_1\)	ics uno, ipsilon uno	Le coordinate del punto \(\mathrm{A}\). Il piccolo numero in basso a destra (il pedice) è un’etichetta che dice di quale punto si tratta, non un numero usato nel calcolo. Allo stesso modo \(x_2,\ y_2\) sono le coordinate del punto \(\mathrm{B}\) e \(x_3,\ y_3\) quelle del punto \(\mathrm{C}\).
\(m:n\)	emme a enne	Il rapporto che divide il segmento. \(m\) è la parte per il tratto da \(\mathrm{A}\) al punto di divisione e \(n\) la parte per il tratto dal punto di divisione a \(\mathrm{B}\). \(m\) e \(n\) sono semplicemente lettere usate spesso per i rapporti. Se scambi l’ordine ottieni un punto diverso.
\(\mathrm{P}\)	pi	Un nome dato spesso al punto della divisione interna, dall’iniziale di «punto».
\(\mathrm{Q}\)	qu	Un nome dato spesso al punto della divisione esterna. Per convenzione è la lettera che viene dopo \(\mathrm{P}\).
\(\mathrm{M}\)	emme	Un nome dato spesso al punto medio, dall’iniziale di «medio».
\(\mathrm{G}\)	gi	Un nome dato spesso al baricentro. Si dice che derivi dalla «G» di «centro di gravità».
\(\mathrm{AB}\)	segmento AB	Il segmento che unisce il punto \(\mathrm{A}\) e il punto \(\mathrm{B}\): la parte di una retta compresa tra due estremi fissati. In questa pagina anche la sua lunghezza si scrive \(\mathrm{AB}\).
\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\)	AP a PB	Il rapporto tra la lunghezza del segmento \(\mathrm{AP}\) e la lunghezza del segmento \(\mathrm{PB}\). Il punto \(\mathrm{P}\) con \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) è il punto che divide internamente il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(m:n\).

Termini

segmento	La parte di una retta compresa tra due punti. Una parte con due estremi è un segmento, una che prosegue all’infinito in un solo verso è una semiretta e una che prosegue all’infinito nei due versi è una retta.
divisione interna	Dividere un segmento in un punto al suo interno in un dato rapporto. Il punto \(\mathrm{P}\) che divide internamente il segmento \(\mathrm{AB}\) nel rapporto \(m:n\) è il punto del segmento \(\mathrm{AB}\) con \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\).
divisione esterna	Dividere un segmento in un punto del suo prolungamento, fuori dal segmento, in modo che \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Il punto cade dalla parte dell’estremo con il numero del rapporto più piccolo (oltre \(\mathrm{B}\) se \(m > n\), prima di \(\mathrm{A}\) se \(m < n\)). Non esiste quando \(m\) e \(n\) sono uguali.
punto di divisione	Il nome generale di un punto che divide un segmento in un dato rapporto, sia per la divisione interna sia per la divisione esterna.
punto medio	Il punto di mezzo di un segmento, equidistante dai due estremi. È la divisione interna nel rapporto \(1:1\).
baricentro	L’unico punto in cui si incontrano le tre mediane di un triangolo. Una lastra triangolare resta in equilibrio orizzontale se è sostenuta in quel punto (il suo centro di gravità) e le sue coordinate sono la media delle coordinate dei tre vertici.
mediana	Il segmento che unisce un vertice di un triangolo al punto medio del lato opposto. Le tre mediane si incontrano sempre in un punto (il baricentro), che divide ogni mediana internamente nel rapporto \(2:1\) a partire dal vertice.
rapporto	Un modo di confrontare due quantità, scritto affiancato come in «\(2:1\)». \(2:1\) e \(4:2\) sono lo stesso rapporto. In questa pagina confronta le lunghezze delle due parti di un segmento diviso.
coordinata	I numeri che danno la posizione di un punto: uno sulla retta dei numeri, due \((x ;\ y)\) nel piano e tre \((x ;\ y ;\ z)\) nello spazio. La prima si chiama ascissa e la seconda ordinata.
retta dei numeri	Una retta con una scala segnata, in modo che a ogni numero corrisponda esattamente un punto. È il tipo più semplice di coordinata, in cui un solo numero dà una posizione.
piano cartesiano	Un piano con un asse \(x\) orizzontale e un asse \(y\) verticale, in modo che ogni suo punto si possa dare con due numeri \((x ;\ y)\).
media ponderata	Una media in cui a ogni numero viene dato un «peso». La coordinata della divisione interna \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) è esattamente la media ponderata di \(x_1\) con peso \(n\) e di \(x_2\) con peso \(m\). Una media ordinaria è il caso particolare in cui tutti i pesi sono uguali.
pedice	Un piccolo numero scritto in basso a destra di una lettera, come in \(x_1\) e \(x_2\). È un’etichetta che distingue grandezze dello stesso tipo; non è né un fattore né un esponente.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.

La retta dei numeri e le coordinate (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado, 6-14 anni)	Sapere che una retta dei numeri è una retta con una scala in cui i numeri corrispondono ai punti, e saper trovare dove sono i numeri negativi Saper leggere il punto \((3 ;\ -2)\) sul piano cartesiano come «3 a destra e 2 in basso» Sapere che quando le coordinate del punto \(\mathrm{A}\) si scrivono con lettere e pedici, come in \((x_1 ;\ y_1)\), il pedice \(1\) è un’etichetta che significa «il primo punto» e non un numero per cui moltiplicare
Rapporti e proporzioni (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado, 9-14 anni)	Sapere che un rapporto come \(2:1\) divide un intero in 3 parti uguali, ripartite come 2 e 1 Sapere che \(2:1\) e \(4:2\) sono lo stesso rapporto (moltiplicare o dividere entrambi i termini per lo stesso numero non cambia il rapporto) Sapere che quando un segmento è diviso nel rapporto \(m:n\), la parte dalla parte di \(\mathrm{A}\) è \(\dfrac{m}{m+n}\) dell’intero
Operazioni con i numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper determinare il segno quando si moltiplicano e si dividono numeri negativi, come in \(-3 \times 4 = -12\) e \(\left(-9\right) \div \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\) Saper calcolare con una lettera che ha un segno meno, come il \(-n\) nella formula della divisione esterna
Calcoli con le frazioni (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado, 9-14 anni)	Saper semplificare, come in \(\dfrac{15}{3} = 5\), e scrivere le risposte come frazioni ridotte ai minimi termini Sentirsi a proprio agio nel lasciare una frazione come \(\dfrac{9}{2}\) come risposta (non serve trasformarla in un numero decimale)
Espressioni letterali e sostituzione (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper sostituire dei numeri in un’espressione come \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) e calcolare Saper sviluppare un’espressione come \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) e ridurre i termini simili
Medie (scuola primaria, 9-11 anni)	Sapere che una media si trova sommando tutto e dividendo per quanti sono (il punto medio e il baricentro sono entrambi proprio questo tipo di media) Sapere che per unire le medie di gruppi di dimensioni diverse non si può semplicemente sommarle e dividere

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il punto della divisione interna

Ascissa x1 del punto A	1
Ordinata y1 del punto A	2
Ascissa x2 del punto B	7
Ordinata y2 del punto B	5
Numero m del rapporto (da A al punto)	2
Numero n del rapporto (dal punto a B)	1
Ascissa di P (interno)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
Ordinata di P (interno)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabella per trovare il punto della divisione esterna

Ascissa x1 del punto A	1
Ordinata y1 del punto A	2
Ascissa x2 del punto B	7
Ordinata y2 del punto B	5
Numero m del rapporto (da A al punto)	3
Numero n del rapporto (dal punto a B)	1
Ascissa di Q (esterno)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
Ordinata di Q (esterno)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabella per trovare il punto medio

Ascissa x1 del punto A	1
Ordinata y1 del punto A	2
Ascissa x2 del punto B	7
Ordinata y2 del punto B	5
Ascissa del punto medio M	=(B1+B3)/2
Ordinata del punto medio M	=(B2+B4)/2

Tabella per trovare il baricentro di un triangolo

Ascissa x1 del vertice A	1
Ordinata y1 del vertice A	2
Ascissa x2 del vertice B	7
Ordinata y2 del vertice B	5
Ascissa x3 del vertice C	4
Ordinata y3 del vertice C	8
Ascissa del baricentro G	=(B1+B3+B5)/3
Ordinata del baricentro G	=(B2+B4+B6)/3

Dopo averla incollata, le righe in alto (le coordinate e il rapporto) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole. «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione.
La prima tabella divide internamente A(1 ; 2), B(7 ; 5) nel rapporto 2:1 e dà P(5 ; 4). La formula dell’ascissa, «=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)», all’inizio sembra sbagliata perché moltiplica B1 (l’ascissa di A) per B6 (il numero n del rapporto) e B3 (l’ascissa di B) per B5 (il numero m del rapporto). È l’incrocio, e se li scambi la risposta cambia.
La seconda tabella divide esternamente gli stessi due punti nel rapporto 3:1 e dà Q(10 ; 6,5). Le uniche differenze rispetto alla prima tabella sono il segno meno davanti a B6 e la sottrazione al posto dell’addizione nel denominatore. Se scrivi lo stesso valore per m e n, il denominatore diventa 0 e compare un errore (#DIV/0!): ti dice che non esiste il punto di divisione esterna.
La terza tabella dà il punto medio M(4 ; 3,5). La quarta tabella dà il baricentro G(4 ; 5) del triangolo di vertici A(1 ; 2), B(7 ; 5) e C(4 ; 8).

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare il punto della divisione interna

Ascissa x1 del punto A	1
Ordinata y1 del punto A	2
Ascissa x2 del punto B	7
Ordinata y2 del punto B	5
Numero m del rapporto (da A al punto)	2
Numero n del rapporto (dal punto a B)	1
Ascissa di P (interno)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
Ordinata di P (interno)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabella per trovare il punto della divisione esterna

Ascissa x1 del punto A	1
Ordinata y1 del punto A	2
Ascissa x2 del punto B	7
Ordinata y2 del punto B	5
Numero m del rapporto (da A al punto)	3
Numero n del rapporto (dal punto a B)	1
Ascissa di Q (esterno)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
Ordinata di Q (esterno)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabella per trovare il punto medio

Ascissa x1 del punto A	1
Ordinata y1 del punto A	2
Ascissa x2 del punto B	7
Ordinata y2 del punto B	5
Ascissa del punto medio M	=(B1+B3)/2
Ordinata del punto medio M	=(B2+B4)/2

Tabella per trovare il baricentro di un triangolo

Ascissa x1 del vertice A	1
Ordinata y1 del vertice A	2
Ascissa x2 del vertice B	7
Ordinata y2 del vertice B	5
Ascissa x3 del vertice C	4
Ordinata y3 del vertice C	8
Ascissa del baricentro G	=(B1+B3+B5)/3
Ordinata del baricentro G	=(B2+B4+B6)/3

Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci le coordinate e il rapporto con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction

# Coordinate dei punti (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # terzo vertice, usato per il baricentro

def internal_point(a, b, m, n):
    # Divisione interna: si moltiplica per il numero dell’estremo opposto (n per il punto A, m per il punto B)
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # Divisione esterna: divisione interna con n sostituito da -n (non si può calcolare quando m è uguale a n)
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # Punto medio: la media delle due coordinate (divisione interna 1:1)
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # Baricentro di un triangolo: la media delle coordinate dei tre vertici
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # Mostra le frazioni in una forma facile da leggere, come "(5, 4)" o "(10, 13/2)"
    return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("Interna 2:1 :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("Esterna 3:1 :", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("Punto medio :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("Baricentro  :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte, senza errori di arrotondamento dei decimali. Questo esempio usa A(1 ; 2), B(7 ; 5) e C(4 ; 8). Eseguendolo, mostra il punto della divisione interna (5, 4), quello della divisione esterna (10, 13/2), il punto medio (4, 7/2) e il baricentro (4, 5). Poiché usa zip, funziona così com’è anche nello spazio (3D) se dai a ogni punto tre coordinate.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Divisione interna (il punto che divide un segmento internamente nel rapporto \(m:n\))

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n) ;  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n} ;\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

Divisione esterna (il punto che divide un segmento esternamente nel rapporto \(m:n\))

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n) ;  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n} ;\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

Punto medio (divisione interna nel rapporto \(1:1\))

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 ;  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2} ;\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

Baricentro di un triangolo

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3 ;  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} ;\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo per la geometria analitica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito).

Per i due punti A(1 ; 2) e B(7 ; 5) del piano cartesiano, trova:
1. Le coordinate del punto P che divide internamente il segmento AB nel rapporto 2:1
2. Le coordinate del punto Q che divide esternamente il segmento AB nel rapporto 3:1
3. Le coordinate del punto medio M del segmento AB
4. Le coordinate del baricentro G del triangolo ABC, con il punto C(4 ; 8) aggiunto

In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare in modo esatto e dai ogni risposta sia come frazione ridotta ai minimi termini sia come numero decimale.
Spiega anche, seguendo l’algebra passo passo, perché nella formula della divisione interna la coordinata del punto A è moltiplicata per n (perché la formula è «incrociata»).

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula