Calcolatrice di equazioni di secondo grado (formula risolutiva, discriminante e soluzioni complesse)

Scrivi i coefficienti a, b e c dell’equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0. L’equazione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i coefficienti direttamente al suo interno. La formula risolutiva dà le soluzioni, insieme al discriminante, al tipo di soluzioni e ai passaggi.

a (numero davanti a x²)

b (numero davanti a x)

c (termine noto)

Puoi usare numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Se manca un termine, come in x² − 4 = 0, scrivi 0 al posto del suo coefficiente.

Risultato e grafico

Scrivi i coefficienti a, b e c nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafici
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi i coefficienti \(a, b, c\) e la formula risolutiva risolve subito \(ax^2 + bx + c = 0\)
Mostra anche il valore del discriminante \(D = b^2 - 4ac\) (in Italia si indica spesso con \(\Delta\), delta) e il tipo di soluzioni (due soluzioni reali distinte, due soluzioni coincidenti oppure due soluzioni complesse)
Anche quando le soluzioni non sono numeri reali, trova le due soluzioni complesse, per esempio \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (una coppia di numeri complessi coniugati, che differiscono solo per il segno della parte immaginaria)
I coefficienti possono essere numeri decimali, negativi o frazioni come 3/4
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python

Quando a = 0 l’equazione non è di secondo grado, quindi si risolve come equazione di primo grado \(bx + c = 0\) (la soluzione è \(x = -c \div b\)). a e b non possono essere entrambi 0.

A cosa serve questo calcolo?

Altezza e tempo di una palla lanciata in alto o di un fuoco d’artificio (fisica e sport)

Se lanci una palla dritta verso l’alto a 20 metri al secondo, la sua altezza dopo t secondi è circa 20t − 5t² metri (semplificando l’accelerazione di gravità a circa 10 m/s² e trascurando la resistenza dell’aria). «Quando si trova a 15 metri di altezza?» significa risolvere l’equazione di secondo grado −5t² + 20t − 15 = 0, e la formula risolutiva dà t = 1 secondo e t = 3 secondi (una volta in salita e una in discesa).
Dalla progettazione dell’altezza a cui esplodono i fuochi d’artificio alla traiettoria di un tiro a canestro, il moto di tutto ciò che viene lanciato è legato alle equazioni di secondo grado.

Ricavare le dimensioni di un’aiuola o di un terreno dalla sua area (fai da te e immobili)

«Voglio un’aiuola rettangolare con un’area di esattamente 28 metri quadrati, lunga 3 metri più della sua larghezza». Con la larghezza x si ottiene x(x + 3) = 28, cioè x² + 3x − 28 = 0. La formula risolutiva dà x = 4 e x = −7, ma una lunghezza non può essere negativa, quindi l’aiuola è larga 4 metri e lunga 7 metri.
Nella vita reale, usare un’equazione di secondo grado comprende anche quest’ultimo passaggio: scegliere quale delle due soluzioni ha senso (l’accettabilità delle soluzioni).

Ricavare il tasso di un interesse composto (denaro)

Quale tasso annuo trasforma 10.000 € in 12.100 € in 2 anni? Con il tasso r, 10000(1 + r)² = 12100, che si semplifica in r² + 2r − 0,21 = 0. La formula risolutiva dà r = 0,1 e r = −2,1, e quella che ha senso come tasso, r = 0,1 (10% all’anno), è la risposta.
I calcoli di denaro in cui si «moltiplica due volte per lo stesso fattore», come l’interesse composto, portano a equazioni di secondo grado, così puoi risalire da un importo obiettivo al rendimento che ti serve.

Progettare ponti e archi (architettura e ingegneria civile)

La forma di un ponte ad arco o del cavo di un ponte sospeso si progetta di solito con una parabola, y = ax² + bx + c. Trovare «a quale distanza dal centro l’altezza dal suolo vale un certo valore» significa proprio risolvere un’equazione di secondo grado.
Quando progettisti e ingegneri civili stabiliscono con le formule la forma di una struttura, la formula risolutiva è una delle basi.

Stimare i prezzi in cui il profitto è zero (attività e negozi)

«Se alzi il prezzo, il profitto per pezzo aumenta, ma si vendono meno pezzi». In un modello semplice di questo tipo, il profitto è una funzione di secondo grado del prezzo. I prezzi in cui il profitto è esattamente 0 sono le soluzioni di quell’equazione di secondo grado e danno un limite superiore e uno inferiore indicativi per fissare il prezzo.
I mercati reali sono più complicati, ma stimare con un’equazione di secondo grado «dove finisce la collina del profitto» è un punto di partenza comune nell’analisi aziendale.

Formule e grafici

La formula risolutiva

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(x\): soluzione \(=\) \((\) ① \(-b\): opposto del coefficiente di \(x\) \(\pm\) ② \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): radice quadrata del discriminante \()\) \(\div\) \((\) ③ \(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^2\) \()\)

La formula a parole

① Prendi \(-b\): opposto del coefficiente di \(x\)

② aggiungi e sottrai \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): radice quadrata del discriminante (i due modi di ±),

③ poi dividi ciascun risultato per \(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^2\)

④ e ottieni \(x\): soluzione (per via di ±, di solito le soluzioni sono due)

Un esempio semplice

Le soluzioni dell’equazione di secondo grado x² + 3x − 4 = 0 (a = 1, b = 3, c = −4) sono

\(x\): soluzione \(=\) \((\) opposto di \(b\) (−3) \(\pm\) radice quadrata del discriminante 25 (5) \()\) \(\div\) \((\) il doppio di \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}\)

\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4\)

L’idea chiave

La formula risolutiva è la «formula della risposta» che si ottiene risolvendo \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) fino in fondo con il completamento del quadrato. Qualunque siano i coefficienti, basta inserire i valori di \(a, b, c\) per ottenere le soluzioni. ± (più o meno) significa che «sia la somma sia la differenza danno una soluzione», quindi di solito le soluzioni sono due. Naturalmente si risolvono così anche le equazioni che si possono risolvere con la scomposizione in fattori, e le risposte coincidono sempre.

Il discriminante (dice di che tipo sono le soluzioni)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(D\) \(=\) \(b\) \(2\) \(-\) \(4\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(c\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑥ \(D\): discriminante \(=\) ① \(b\): coefficiente di \(x\) ② al quadrato \(-\) ③ il numero \(4\) \(\times\) ④ \(a\): coefficiente di \(x^2\) \(\times\) ⑤ \(c\): termine noto

La formula a parole

① Prendi \(b\): coefficiente di \(x\)

② ed eleva al quadrato e da questo sottrai il prodotto di

③ il numero \(4\)

④ \(a\): coefficiente di \(x^2\) e

⑤ \(c\): termine noto

⑥ e ottieni \(D\): discriminante

Un esempio semplice

Il discriminante di x² + 3x − 4 = 0 (a = 1, b = 3, c = −4) è

\(D\): discriminante \(=\) \(b\) (3) al quadrato \(-\) 4 \(\times\) \(a\) (1) \(\times\) \(c\) (−4)

\(D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)

L’idea chiave

Il discriminante \(D\) (in Italia si scrive spesso \(\Delta\), «delta») è proprio ciò che sta sotto la √ nella formula risolutiva. Ti dice che tipo di soluzioni aspettarti prima ancora di calcolarle. - \(D > 0\): la radice quadrata è un numero reale positivo, quindi ci sono due soluzioni reali distinte (sul grafico la parabola taglia l’asse x in due punti) - \(D = 0\): la radice quadrata vale 0, quindi ci sono due soluzioni coincidenti, cioè una sola soluzione reale (la parabola è tangente all’asse x) - \(D < 0\): il numero sotto la √ è negativo, quindi non ci sono soluzioni reali. Se estendiamo i numeri fino a quelli immaginari, ci sono due soluzioni complesse (la parabola non incontra l’asse x)

Soluzioni coincidenti (quando il discriminante è \(D = 0\))

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \(-b\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(x\): soluzioni coincidenti \(=\) ① \(-b\): opposto del coefficiente di \(x\) \(\div\) \((\) ② \(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^2\) \()\)

La formula a parole

① Dividi \(-b\): opposto del coefficiente di \(x\)

② per \(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^2\)

③ e ottieni \(x\): soluzioni coincidenti (è l’unica soluzione)

Un esempio semplice

La soluzione di x² + 2x + 1 = 0 (a = 1, b = 2, c = 1; discriminante D = 4 − 4 = 0) è

\(x\): soluzioni coincidenti \(=\) opposto di \(b\) (−2) \(\div\) \((\) il doppio di \(a\) (2) \()\)

\(D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0\)

\(x = \dfrac{-2}{2 \times 1} = -1\)

L’idea chiave

Quando \(D = 0\), \(\sqrt{0} = 0\), quindi la parte «± √D» della formula risolutiva sparisce e le due soluzioni si sovrappongono in una sola. Si parla di soluzioni coincidenti (o radice doppia). Succede quando il primo membro si scompone in un quadrato perfetto, come in \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).

Due soluzioni complesse (quando il discriminante è \(D < 0\))

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{4ac - b^2}\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(x\): due soluzioni complesse \(=\) \((\) ① \(-b\): opposto del coefficiente di \(x\) \(\pm\) ② \(\sqrt{4ac - b^2}\): radice quadrata di \(4ac - b^2\) ③ \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) ④ \(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^2\) \()\)

La formula a parole

① Prendi \(-b\): opposto del coefficiente di \(x\)

② aggiungi e sottrai \(\sqrt{4ac - b^2}\): radice quadrata del numero positivo \(4ac - b^2\) (il discriminante con il segno cambiato)

③ per l’unità immaginaria \(i\) (il numero il cui quadrato è −1), nei due modi di ±,

④ poi dividi ciascun risultato per \(2a\): il doppio del coefficiente di \(x^2\)

⑤ e ottieni \(x\): due soluzioni complesse (una coppia di numeri coniugati, che differiscono solo per il segno della parte immaginaria)

Un esempio semplice

Le soluzioni di x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1; discriminante D = 1 − 4 = −3) sono

\(x\): due soluzioni complesse \(=\) \((\) opposto di \(b\) (−1) \(\pm\) radice quadrata di \(4ac - b^2 = 3\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) il doppio di \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \approx -0{,}5 \pm 0{,}866\,i\)

L’idea chiave

Quando \(D < 0\), il numero sotto la √ è negativo. Nessun numero reale elevato al quadrato dà un numero negativo, quindi tra i numeri reali non ci sono soluzioni. Allora si introduce l’unità immaginaria \(i\), «il numero il cui quadrato è −1». Così si può scrivere \(\sqrt{-3} = \sqrt{3}\,i\) e le soluzioni si scrivono come due numeri complessi. \(4ac - b^2\) è il discriminante \(b^2 - 4ac\) con il segno cambiato, ed è sempre positivo quando \(D < 0\), quindi se ne può calcolare la radice senza problemi.

Quando \(a = 0\) (diventa un’equazione di primo grado)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \(-c\) \(\div\) \(b\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(x\): soluzione dell’equazione di primo grado \(=\) ① \(-c\): opposto del termine noto \(\div\) ② \(b\): coefficiente di \(x\)

La formula a parole

① Dividi \(-c\): opposto del termine noto

② per \(b\): coefficiente di \(x\)

③ e ottieni \(x\): soluzione dell’equazione di primo grado

Un esempio semplice

Con a = 0, la soluzione di 2x + 4 = 0 (b = 2, c = 4) è

\(x\): soluzione dell’equazione di primo grado \(=\) opposto di \(c\) (−4) \(\div\) \(b\) (2)

\(x = \dfrac{-4}{2} = -2\)

L’idea chiave

Quando \(a = 0\), il termine in \(x^2\) sparisce e l’equazione diventa di primo grado, \(bx + c = 0\), non di secondo grado. La formula risolutiva ha \(2a\) al denominatore, quindi presuppone \(a \neq 0\). Questa calcolatrice non considera a = 0 un errore: risolve l’equazione di primo grado e restituisce una soluzione (solo quando a e b sono entrambi 0 non c’è nessuna equazione da risolvere e compare un errore).

Le soluzioni dell’equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 si trovano inserendo i coefficienti nella formula risolutiva, x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Il segno del discriminante D = b² − 4ac (in Italia Δ), la parte sotto la √, dice prima di calcolare se ci sono due soluzioni, una sola (soluzioni coincidenti) oppure soluzioni complesse.

Simboli e termini

Simboli

\(a, b, c\)	a, b, c	I coefficienti dell’equazione di secondo grado. \(a\) è il numero davanti a \(x^2\), \(b\) è il numero davanti a \(x\) e \(c\) è il termine noto (il termine fatto solo di un numero).
\(x\)	ics	Il numero incognito che vuoi trovare come soluzione dell’equazione. Un’equazione di secondo grado ha al massimo due soluzioni reali.
\(D\)	di (discriminante)	Il discriminante, \(D = b^2 - 4ac\), dalla prima lettera di «discriminante». I libri di testo italiani lo scrivono di solito con la lettera greca \(\Delta\) (delta): \(\Delta = b^2 - 4ac\).
\(\sqrt{\phantom{9}}\)	radice quadrata	Il simbolo del «numero, uguale o maggiore di 0, il cui quadrato è il numero scritto sotto». \(\sqrt{25} = 5\) e \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).
\(\pm\)	più o meno	Un simbolo che scrive insieme «sia il caso + sia il caso −». Nella formula risolutiva indica che sia la somma sia la differenza sono soluzioni.
\(i\)	i (unità immaginaria)	Il numero il cui quadrato è \(-1\) (\(i^2 = -1\)). Serve a scrivere le soluzioni quando il numero sotto la √ è negativo.
\(x_1, x_2\)	x uno, x due	I nomi delle due soluzioni. In questa pagina il lato + di ± è \(x_1\) e il lato − è \(x_2\).

Termini

equazione di secondo grado	Un’equazione con un termine in \(x^2\) (al quadrato). Si può scrivere nella forma \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)), detta forma normale. Si studia nel biennio della scuola secondaria di secondo grado (14-16 anni).
coefficiente	Il numero scritto davanti a una lettera. In \(3x\) il coefficiente è 3. Quando leggi i coefficienti, attenzione agli 1 sottintesi e ai segni: \(x^2 - x = 0\) vuol dire a = 1, b = −1, c = 0.
soluzione	Un valore della lettera che rende vera l’equazione. «Risolvere» un’equazione vuol dire trovare tutte le sue soluzioni. Le soluzioni di un’equazione di secondo grado si chiamano anche radici.
formula risolutiva	Una formula che calcola le soluzioni di un’equazione di secondo grado direttamente dai coefficienti a, b e c. Il suo punto di forza è che funziona sempre, anche quando non si vede come scomporre.
discriminante	La parte sotto la √ nella formula risolutiva, \(b^2 - 4ac\) (in Italia si indica con \(\Delta\), delta). Il suo segno da solo dice di che tipo sono le soluzioni (due soluzioni reali distinte, due soluzioni coincidenti o due soluzioni complesse).
soluzioni coincidenti (radice doppia)	Il caso in cui le due soluzioni si sovrappongono e ne resta una sola. Succede quando il discriminante è 0 e, sul grafico, la parabola è tangente all’asse x.
soluzioni reali	Una soluzione che è un numero reale (un numero sulla normale retta dei numeri). Ci sono soluzioni reali quando il discriminante è 0 o maggiore di 0.
soluzioni complesse	Una soluzione che non è un numero reale e si scrive con l’unità immaginaria \(i\). Quando il discriminante è negativo, le soluzioni sono una coppia della forma «parte reale ± parte immaginaria \(i\)», come \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (numeri complessi coniugati). Si studiano negli ultimi anni della scuola secondaria di secondo grado.
completamento del quadrato	Riscrivere un’equazione nella forma \((x + p)^2 = q\) (un quadrato uguale a un numero). Facendolo fino in fondo con le lettere a, b e c si ricava la formula risolutiva.
scomposizione in fattori	Scrivere un’espressione come prodotto. Se riesci a scomporre \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\), ottieni le soluzioni x = 1 e x = −4 senza la formula risolutiva.
parabola	La forma del grafico di \(y = ax^2 + bx + c\). Le soluzioni reali dell’equazione di secondo grado sono le ascisse dei punti in cui questa parabola incontra l’asse x (le intersezioni con l’asse x).

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.

Calcoli con i numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che il quadrato di un numero negativo è positivo, come in \((-5)^2 = 25\) Saper moltiplicare stando attento ai segni, come in \(-4 \times 1 \times (-4) = +16\)
Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Capire la radice quadrata come «il numero il cui quadrato è quel numero», come in \(\sqrt{25} = 5\) Sapere che una radice quadrata che non è esatta, come \(\sqrt{2}\), si può scrivere come numero decimale approssimato
Equazioni di secondo grado (biennio della scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni)	Saper scrivere un’equazione nella forma \(ax^2 + bx + c = 0\) e leggere i coefficienti \(a, b, c\) con il loro segno Saper verificare che, per un’equazione che si può risolvere con la scomposizione in fattori, le risposte coincidono con quelle della formula risolutiva
Grafici delle funzioni quadratiche (biennio della scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni)	Sapere che il grafico di \(y = ax^2 + bx + c\) è una parabola Saper immaginare le soluzioni reali come «le ascisse dei punti in cui la parabola incontra l’asse x»

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare due soluzioni reali con la formula risolutiva (quando D > 0)

Coefficiente a	1
Coefficiente b	3
Termine noto c	-4
Discriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Soluzione 1, x₁	=(-B2+RADQ(B4))/(2*B1)
Soluzione 2, x₂	=(-B2-RADQ(B4))/(2*B1)

Tabella per trovare il tipo di soluzioni dal discriminante

Coefficiente a	1
Coefficiente b	1
Termine noto c	1
Discriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Tipo di soluzioni	=SE(B4>0;"Due soluzioni reali distinte";SE(B4=0;"Soluzioni reali coincidenti";"Due soluzioni complesse"))

Tabella per trovare le soluzioni coincidenti (quando D = 0)

Coefficiente a	1
Coefficiente b	2
Termine noto c	1
Soluzioni coincidenti x	=-B2/(2*B1)

Tabella per trovare la parte reale e la parte immaginaria delle due soluzioni complesse (quando D < 0)

Coefficiente a	1
Coefficiente b	1
Termine noto c	1
Parte reale (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Parte immaginaria (quella con ±)	=RADQ(4B1B3-B2^2)/ASS(2*B1)

Tabella per trovare la soluzione quando a = 0 (equazione di primo grado)

Coefficiente b	2
Termine noto c	4
Soluzione x	=-B2/B1

Dopo averla incollata, le righe in alto (i coefficienti a, b e c) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
«^2» significa al quadrato e «RADQ( )» è la funzione che calcola la radice quadrata.
Nella prima tabella, per esempio, vedi il discriminante 25, la soluzione 1 = 1 e la soluzione 2 = −4.
La RADQ della prima tabella funziona solo quando D > 0 (se D < 0 compare l’errore #NUM!; in quel caso usa la quarta tabella, per le soluzioni complesse).

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare due soluzioni reali con la formula risolutiva (quando D > 0)

Coefficiente a	1
Coefficiente b	3
Termine noto c	-4
Discriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Soluzione 1, x₁	=(-B2+RADQ(B4))/(2*B1)
Soluzione 2, x₂	=(-B2-RADQ(B4))/(2*B1)

Tabella per trovare il tipo di soluzioni dal discriminante

Coefficiente a	1
Coefficiente b	1
Termine noto c	1
Discriminante D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Tipo di soluzioni	=SE(B4>0;"Due soluzioni reali distinte";SE(B4=0;"Soluzioni reali coincidenti";"Due soluzioni complesse"))

Tabella per trovare le soluzioni coincidenti (quando D = 0)

Coefficiente a	1
Coefficiente b	2
Termine noto c	1
Soluzioni coincidenti x	=-B2/(2*B1)

Tabella per trovare la parte reale e la parte immaginaria delle due soluzioni complesse (quando D < 0)

Coefficiente a	1
Coefficiente b	1
Termine noto c	1
Parte reale (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Parte immaginaria (quella con ±)	=RADQ(4B1B3-B2^2)/ASS(2*B1)

Tabella per trovare la soluzione quando a = 0 (equazione di primo grado)

Coefficiente b	2
Termine noto c	4
Soluzione x	=-B2/B1

Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti con quelli della tua equazione.

Come calcolarlo con Python

import math

a = 1.0   # coefficiente di x^2
b = 3.0   # coefficiente di x
c = -4.0  # termine noto

if a == 0 and b == 0:
    print("Se a e b sono entrambi 0, non c’è nessuna equazione da risolvere")
elif a == 0:
    # Quando a = 0 diventa l’equazione di primo grado bx + c = 0
    print(f"Soluzione dell’equazione di primo grado: x = {-c / b}")
else:
    discriminant = b**2 - 4*a*c  # discriminante D
    print(f"Discriminante D = {discriminant}")
    if discriminant > 0:
        root = math.sqrt(discriminant)
        print(f"Due soluzioni reali distinte: x1 = {(-b + root) / (2*a)}, x2 = {(-b - root) / (2*a)}")
    elif discriminant == 0:
        print(f"Soluzioni coincidenti: x = {-b / (2*a)}")
    else:
        real_part = -b / (2*a)
        imaginary_part = math.sqrt(-discriminant) / (2*abs(a))
        print(f"Due soluzioni complesse: x = {real_part} ± {imaginary_part}i")

Funziona con la sola libreria standard. «**2» significa al quadrato e math.sqrt( ) è la radice quadrata. Cambia a, b e c all’inizio con i coefficienti della tua equazione ed eseguilo. Nota che Python scrive i numeri decimali con il punto e non con la virgola.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

La formula risolutiva

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
          </mrow>
        </msqrt>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]

solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);

x = roots([a b c]);

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Il discriminante (dice di che tipo sono le soluzioni)

D = b² − 4ac

D = b^{2} - 4ac

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

D = b^2 - 4ac

b^2 - 4*a*c

d := b^2 - 4*a*c;

d = b^2 - 4*a*c;

D = b^2 - 4ac

Soluzioni coincidenti (quando il discriminante è \(D = 0\))

x = −b ÷ (2a)

x = -\frac{b}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b / (2a)

-b/(2*a)

x := -b/(2*a);

x = -b/(2*a);

x = -b/(2a)

Due soluzioni complesse (quando il discriminante è \(D < 0\))

x = (−b ± √(4ac − b²) i) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\,i}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
          </mrow>
        </msqrt>
        <mi>i</mi>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(4ac - b^2) i) / (2a)

{(-b + Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a), (-b - Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a)}

x := [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a)];

x = [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a)];

x = (-b ± √(4ac - b^2) i)/(2a)

Quando \(a = 0\) (diventa un’equazione di primo grado)

x = −c ÷ b

x = -\frac{c}{b}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -c/b

-c/b

x := -c/b;

x = -c/b;

x = -c/b

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo per la matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito).

Risolvi l’equazione di secondo grado x² + 3x − 4 = 0 con la formula risolutiva.
Mostra ciascuno dei punti seguenti:
1. Il valore del discriminante D = b² − 4ac e il tipo di soluzioni che indica (due soluzioni reali distinte, due soluzioni coincidenti o due soluzioni complesse)
2. I valori delle soluzioni x (se sono complesse, nella forma «parte reale ± parte immaginaria i»)
3. I passaggi che mostrano come i valori vengono inseriti nella formula risolutiva

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

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