Scrivi quale radice vuoi (l’indice n) e il numero sotto la radice (a). L’espressione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare direttamente il piccolo indice o il numero sotto la radice. Un indice uguale a 2 dà la radice quadrata (√a) e uguale a 3 dà la radice cubica (∛a).
L’indice n può essere un numero qualsiasi tranne 0 (vanno bene anche decimali come 2,5 e numeri negativi). Il numero sotto la radice a può essere negativo solo quando l’indice n è un numero intero dispari positivo (1, 3, 5, ...).
Risultato
Scrivi quale radice vuoi (l’indice) e il numero nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi quale radice vuoi (l’indice \(n\)) e il numero sotto la radice (il radicando \(a\)). Le radici quadrate come \(\sqrt{27}\), le radici cubiche e qualsiasi radice \(n\)-esima si trovano tutte in questa pagina
- Un indice uguale a 2 dà la radice quadrata (\(\sqrt{a}\)) e uguale a 3 dà la radice cubica (\(\sqrt[3]{a}\)). Funzionano anche gli indici decimali come 2,5 e quelli negativi
- Le radici di indice dispari dei numeri negativi, come \(\sqrt[3]{-8} = -2\), si calcolano così come sono
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Un numero positivo ha due radici quadrate, \(+\sqrt{a}\) e \(-\sqrt{a}\). Questa calcolatrice mostra il valore del radicale, cioè quello positivo (la radice aritmetica). Le radici di indice pari dei numeri negativi, come la radice quadrata di un numero negativo, non esistono tra i numeri reali, quindi non si possono calcolare.
A cosa serve questo calcolo?
Ricavare la lunghezza di un lato da un’area o da un volume (casa e fai da te)
Per un’aiuola quadrata di 27 metri quadrati, ogni lato misura \(\sqrt{27} \approx 5{,}2\) metri. Per un acquario cubico da 64 litri (= 64000 cm³), ogni spigolo misura \(\sqrt[3]{64000} = 40\) cm.
Tornare da «il risultato di una moltiplicazione» a «la lunghezza di partenza» è sempre una radice. Serve in giardinaggio, per i mobili e i contenitori e nella scelta di un acquario, ogni volta che l’area o il volume sono decisi per primi.
Trovare il tasso di crescita medio annuo (denaro)
Se un investimento raddoppia in 10 anni, di quale percentuale è cresciuto ogni anno? La risposta è una radice decima: \(\sqrt[10]{2} \approx 1{,}0718\), cioè circa il 7,2% all’anno in media.
I rendiconti dei fondi e la crescita dei ricavi di un’azienda (il CAGR, il tasso di crescita annuo composto) si calcolano esattamente così, come «la radice \(n\)-esima della crescita su \(n\) anni». Ti permette di verificare da solo la crescita composta ed è legata direttamente alle decisioni sul denaro.
Perché A4 e A3 hanno «la stessa forma» grazie a \(\sqrt{2}\) (design di uso quotidiano)
I fogli della serie A e della serie B sono progettati in modo che il rapporto tra i lati sia \(1 : \sqrt{2}\) (circa 1,414 volte). Con questo rapporto, anche piegando a metà (A3 → A4 → A5…) la forma resta esattamente la stessa, quindi gli ingrandimenti e le riduzioni delle fotocopie si adattano perfettamente.
È un esempio in cui la proprietà della radice quadrata, «il numero il cui quadrato è 2», decide le dimensioni di un oggetto quotidiano come la cancelleria.
La scala del pianoforte si basa sulla «radice dodicesima di 2» (musica)
Una nota un’ottava più alta ha esattamente il doppio della frequenza. Gli strumenti moderni dividono quell’ottava in 12 semitoni uguali, quindi a ogni semitono in su la frequenza si moltiplica per \(\sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595\) (temperamento equabile a dodici suoni).
L’accordatura del pianoforte e la creazione dei suoni di un sintetizzatore usano entrambe questa «radice dodicesima di 2». Un passo del pulsante di cambio tonalità di un karaoke è lo stesso rapporto in frequenza.
L’ultimo passaggio della deviazione standard (statistica e controllo qualità)
La deviazione standard, usata per analizzare i risultati di una verifica e nel controllo qualità di una fabbrica, si calcola come «la radice quadrata della varianza (la media degli scarti al quadrato)». Se la varianza è 9 punti², la deviazione standard è \(\sqrt{9} = 3\) punti.
Serve una radice quadrata per riportare una grandezza elevata al quadrato nell’unità di misura originale. Questo calcolo è presente ovunque si usa la statistica, dal margine di errore dei sondaggi alla tolleranza di un prodotto.
Formula
Definizione di radice \(n\)-esima (il numero che elevato alla potenza \(n\) dà \(a\))
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(b\)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(b\): la radice \(n\)-esima di \(a\)
②
\(n\): indice
\(=\)
③
\(a\): numero sotto la radice
La formula a parole
①
Moltiplica
\(b\): la radice \(n\)-esima di \(a\)
per se stessa
②
\(n\): indice
volte,
③
e riottieni esattamente
\(a\): numero sotto la radice
Un esempio semplice
La radice cubica di 27 è 3. Verifichiamo che «3 moltiplicato per se stesso 3 volte dà di nuovo 27»
radice cubica di 27 (3)
indice (potenza 3)
\(=\)
numero sotto la radice (27)
\(3 \times 3 \times 3 = 27\)
L’idea chiave
«La radice \(n\)-esima di \(a\)» è il numero che elevato alla potenza \(n\) dà \(a\). Si scrive \(\sqrt[n]{a}\). È esattamente l’operazione inversa dell’elevamento a potenza (all’esponente), quindi pensala come «annullare una potenza».
Il piccolo numero scritto in alto a sinistra del segno di radice è l’indice \(n\). Solo quando \(n = 2\) (la radice quadrata) lo si omette per convenzione e si scrive \(\sqrt{a}\). La radice con \(n = 3\), \(\sqrt[3]{a}\), si chiama radice cubica.
Scrivere una radice come esponente (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\sqrt[n]{a}\)
\(=\)
\(a\)
\(1/n\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\sqrt[n]{a}\): la radice \(n\)-esima di \(a\)
\(=\)
①
\(a\): numero sotto la radice
②
\(\frac{1}{n}\): esponente
La formula a parole
①
Eleva
\(a\): numero sotto la radice
②
alla potenza
\(\frac{1}{n}\): esponente (1 fratto \(n\))
③
e ottieni
\(\sqrt[n]{a}\): la radice \(n\)-esima di \(a\)
Un esempio semplice
Scrivendo \(\sqrt{27}\) (la radice quadrata di 27) come esponente e calcolandola
radice quadrata di 27, \(\sqrt{27}\)
\(=\)
numero sotto la radice (27)
esponente (1/2)
\(27^{1/2} = \sqrt{27} \approx 5{,}196\)
L’idea chiave
Calcolatrici, Excel e linguaggi di programmazione spesso non hanno un modo per scrivere il segno di radice, quindi le radici si calcolano in questa forma «potenza di \(\frac{1}{n}\)» (per esempio \(\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}\)). Anche questa calcolatrice usa al suo interno questa formula.
Si può usare una frazione come \(\frac{1}{n}\) per esponente perché la proprietà delle potenze dà \((a^{1/n})^n = a^{n \times (1/n)} = a^1 = a\). È esattamente la definizione di radice \(n\)-esima: elevala alla potenza \(n\) e ottieni di nuovo \(a\). L’indice \(n\) non deve essere per forza 2 o 3. Hanno senso come «potenza \(\frac{1}{n}\)» anche i decimali come 2,5 e i numeri negativi (in quel caso, solo per \(a > 0\)).
Radici dei numeri negativi (solo quando l’indice è dispari)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\sqrt[n]{-a}\)
\(=\)
\(-\sqrt[n]{a}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(\sqrt[n]{-a}\): la radice \(n\)-esima del numero negativo \(-a\)
\(=\)
①
\(-\sqrt[n]{a}\): la radice con il segno meno
La formula a parole
①
Quando l’indice \(n\) è dispari,
\(-\sqrt[n]{a}\): la radice \(n\)-esima del numero positivo \(a\) con il segno meno
è
②
\(\sqrt[n]{-a}\): la radice \(n\)-esima del numero negativo \(-a\)
Un esempio semplice
Per la radice cubica di \(-8\), trova prima la radice cubica di \(8\), \(\sqrt[3]{8} = 2\), poi aggiungi il segno meno
radice cubica di −8, \(\sqrt[3]{-8}\)
\(=\)
radice cubica di 8 (2) con il segno meno
\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)
\((-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
L’idea chiave
Un numero negativo moltiplicato per se stesso un numero dispari di volte resta negativo (per esempio \((-2)^3 = -8\)), quindi anche i numeri negativi hanno radici di indice dispari.
Al contrario, un numero negativo moltiplicato per se stesso un numero pari di volte è sempre positivo (per esempio \((-2)^2 = +4\)). Quindi non esiste nessun numero reale il cui quadrato sia \(-4\), e le radici di indice pari dei numeri negativi (come la radice quadrata di un numero negativo) non si possono calcolare tra i numeri reali. Per questo motivo questa calcolatrice accetta un numero negativo sotto la radice solo quando l’indice è dispari.
Trovare una radice quadrata a mano (facendo la media più volte)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(b'\)
\(=\)
\((\)
\(b\)
\(+\)
\(a \div b\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(b'\): nuova stima
\(=\)
\((\)
①
\(b\): stima attuale
\(+\)
②
\(a \div b\): numero sotto la radice ÷ stima attuale
\()\)
\(\div\)
③
2 (si fa la media dei due)
La formula a parole
①
Somma
\(b\): stima attuale
②
e
\(a \div b\): numero sotto la radice ÷ stima attuale
③
dividi per
2 (si fa la media dei due)
④
e ottieni
\(b'\): nuova stima
(più ripeti questo procedimento, più ti avvicini alla vera radice quadrata)
Un esempio semplice
Migliorando una volta una stima di \(\sqrt{27}\) (la risposta è circa 5,196), partendo da \(b = 5\)
nuova stima
\(=\)
\((\)
stima attuale (5)
\(+\)
27 ÷ 5 (= 5,4)
\()\)
\(\div\)
2
\((5 + 27 \div 5) \div 2 = (5 + 5{,}4) \div 2 = 5{,}2\)
\(5{,}2 \times 5{,}2 = 27{,}04 \approx 27\)
L’idea chiave
Se la stima \(b\) è minore della vera radice quadrata, allora \(a \div b\) è maggiore di essa, e viceversa. La vera radice quadrata sta sempre tra questi due numeri, quindi facendone la media ci si avvicina molto. È il trucco di questo metodo (detto metodo babilonese o di Erone). Ripeti ancora una volta l’esempio qui sopra e ottieni \((5{,}2 + 27 \div 5{,}2) \div 2 = 5{,}19615\ldots\), corretto fino alla quinta cifra decimale.
Il modo in cui computer e calcolatrici trovano le radici quadrate (il metodo di Newton) si basa sulla stessa idea. Per una radice \(n\)-esima, una media diversa, \(b' = \{(n-1) \times b + a \div b^{n-1}\} \div n\), svolge lo stesso ruolo.
La radice n-esima cerca «il numero che elevato alla potenza n dà a». È l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Per calcolarla, la mossa di base è riscriverla come «a elevato alla potenza 1/n». Le radici dei numeri negativi esistono tra i numeri reali solo quando l’indice è dispari.
Simboli e termini
Simboli
| \(\sqrt{a}\) | radice quadrata di a | La radice quadrata di \(a\) (il numero, uguale o maggiore di 0, il cui quadrato è \(a\)). Per convenzione il piccolo 2 in alto a sinistra del segno di radice si omette. (Esempio: \(\sqrt{27} \approx 5{,}196\)) |
| \(\sqrt[3]{a}\) | radice cubica di a | Il numero che elevato al cubo dà \(a\). (Esempio: \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{-8} = -2\)) |
| \(\sqrt[n]{a}\) | radice n-esima di a | Il numero che elevato alla potenza \(n\) dà \(a\). Il piccolo \(n\) in alto a sinistra del segno di radice è l’indice (che radice è). |
| \(a^{1/n}\) | a elevato a 1 fratto n | Lo stesso valore di \(\sqrt[n]{a}\), scritto come esponente. Calcolatrici e linguaggi di programmazione usano questa forma. |
| \(b'\) | b primo | La «nuova stima» nel metodo ripetuto a mano. L’apice (il segno di primo) mostra che è \(b\) migliorato di un passo. |
Termini
| potenza (elevamento a potenza) | Moltiplicare lo stesso numero per se stesso più volte. In \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\), il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte. |
| radice n-esima (radicale) | Il numero che elevato alla potenza \(n\) dà \(a\) (\(\sqrt[n]{a}\)). È il nome generale di radici quadrate, radici cubiche e radici di indice maggiore, ed è esattamente l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. |
| radice quadrata | Un numero il cui quadrato è \(a\). Un numero positivo ha due radici quadrate, \(+\sqrt{a}\) e \(-\sqrt{a}\), e il segno di radice \(\sqrt{a}\) indica quella positiva. Si studia nella scuola secondaria di primo grado (11-14 anni). |
| radice cubica | Un numero che elevato al cubo dà \(a\) (\(\sqrt[3]{a}\)). Compare quando ricavi la lunghezza dello spigolo di un cubo dal suo volume. |
| indice | Il numero \(n\) che dice che radice è. Si scrive in piccolo in alto a sinistra del segno di radice. L’indice 2 è la radice quadrata e l’indice 3 è la radice cubica. |
| esponente | Il piccolo numero in alto a destra di un numero che dice quante volte si moltiplica. Se si ammette la frazione \(\frac{1}{n}\) come esponente, una radice si può scrivere come potenza (\(a^{1/n}\)). |
| radicando | Il numero sotto il segno di radice, \(a\) in \(\sqrt[n]{a}\). In questa pagina si chiama «numero sotto la radice». |
| radice quadrata aritmetica | La radice quadrata che è 0 o positiva. Il segno di radice \(\sqrt{a}\) indica sempre la radice quadrata aritmetica, quindi \(\sqrt{9} = 3\), non \(-3\). |
| numero irrazionale | Un numero che non si può scrivere come frazione, come \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) (il suo decimale continua all’infinito senza ripetersi). Una radice non esatta è un numero irrazionale. |
| metodo di Newton | Un metodo che si avvicina sempre di più alla soluzione di un’equazione migliorando una stima con una formula, più e più volte. È la base di come i computer trovano rapidamente le radici quadrate e le altre radici. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Potenze ed esponenti (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado) |
|
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Moltiplicazione dei numeri negativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Moltiplicazione dei numeri decimali (scuola primaria) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la radice quadrata (√a)
| Numero sotto la radice a | 27 |
| Radice quadrata √a | =RADQ(B1) |
Tabella per trovare la radice cubica
| Numero sotto la radice a | 27 |
| Radice cubica | =B1^(1/3) |
Tabella per trovare la radice n-esima
| Indice n (che radice) | 8 |
| Numero sotto la radice a | 15 |
| Radice n-esima | =B2^(1/B1) |
La prima tabella mostra in B2 la radice quadrata di 27 (circa 5,196), la seconda mostra in B2 la radice cubica di 27 (3) e la terza mostra in B3 la radice ottava di 15 (circa 1,403).
RADQ è una funzione solo per le radici quadrate. Per le radici cubiche e le altre radici usa «^(1/n)» (la potenza 1/n). «^» è il simbolo dell’elevamento a potenza.
Attenzione: se il numero sotto la radice è negativo, Excel dà un errore (#NUM!) anche con «^(1/3)». Per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno, come in «=-((-B1)^(1/3))». (Excel applica il segno meno prima della potenza, quindi se ometti le parentesi esterne ottieni ancora l’errore.)
RADQ è una funzione solo per le radici quadrate. Per le radici cubiche e le altre radici usa «^(1/n)» (la potenza 1/n). «^» è il simbolo dell’elevamento a potenza.
Attenzione: se il numero sotto la radice è negativo, Excel dà un errore (#NUM!) anche con «^(1/3)». Per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno, come in «=-((-B1)^(1/3))». (Excel applica il segno meno prima della potenza, quindi se ometti le parentesi esterne ottieni ancora l’errore.)
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la radice quadrata (√a)
| Numero sotto la radice a | 27 |
| Radice quadrata √a | =RADQ(B1) |
Tabella per trovare la radice cubica
| Numero sotto la radice a | 27 |
| Radice cubica | =B1^(1/3) |
Tabella per trovare la radice n-esima
| Indice n (che radice) | 8 |
| Numero sotto la radice a | 15 |
| Radice n-esima | =B2^(1/B1) |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri da inserire con i tuoi.
Anche Fogli Google dà un errore se il numero sotto la radice è negativo. Per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno, come in «=-((-B1)^(1/3))». (Il segno meno è applicato prima della potenza, quindi se ometti le parentesi esterne ottieni ancora l’errore.)
Anche Fogli Google dà un errore se il numero sotto la radice è negativo. Per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno, come in «=-((-B1)^(1/3))». (Il segno meno è applicato prima della potenza, quindi se ometti le parentesi esterne ottieni ancora l’errore.)
Come calcolarlo con Python
number = 27 # numero sotto la radice, a
degree = 3 # che radice (indice n)
root = number ** (1 / degree) # radice n-esima = a elevato a (1/n)
print(f"Radice (indice {degree}) di {number}: {root}")
# Per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno
# (elevando direttamente un numero negativo alla (1/3), Python restituisce un numero complesso)
negative_number = -8
odd_degree = 3
negative_root = -((-negative_number) ** (1 / odd_degree))
print(f"Radice (indice {odd_degree}) di {negative_number}: {negative_root}")
Funziona con la sola libreria standard. «**» è il simbolo dell’elevamento a potenza e la potenza (1/n) è la radice n-esima. Cambia il numero e l’indice all’inizio ed eseguilo. Per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno, come nell’esempio.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Definizione di radice \(n\)-esima (il numero che elevato alla potenza \(n\) dà \(a\))
ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a
\sqrt[n]{a} = b \iff b^{n} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⟺</mo>
<msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = b iff b^n = a
Surd[a, n]
b := root(a, n);
b = nthroot(a, n);
√(n&a) = b ⟺ b^n = a
Scrivere una radice come esponente (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
ⁿ√a = a^(1/n)
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = a^(1/n)
a^(1/n)
b := a^(1/n);
b = a^(1/n);
√(n&a) = a^(1/n)
Radici dei numeri negativi (solo quando l’indice è dispari)
ⁿ√(−a) = −(ⁿ√a)
\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot>
<mrow><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mroot>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
</mrow>
</math>
root(n)(-a) = -root(n)(a)
Surd[-a, n]
b := surd(-a, n);
b = nthroot(-a, n);
√(n&−a) = −√(n&a)
Trovare una radice quadrata a mano (facendo la media più volte)
b′ = (b + a ÷ b) ÷ 2
b' = \dfrac{1}{2}\left( b + \dfrac{a}{b} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>b</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
b' = (b + a/b)/2
(b + a/b)/2
bnew := (b + a/b)/2;
b_new = (b + a/b)/2;
b′ = (b + a/b)/2
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per i numeri. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Trova ciascuna delle radici seguenti. 1. La radice quadrata di 27 2. La radice cubica di 10 3. La radice ottava di 15 4. La radice cubica di −8 (per una radice di indice dispari di un numero negativo, togli prima il segno) Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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