Calcolatrice delle scale (alzata, pedata, numero di gradini, lunghezza del cosciale e inclinazione)

Inserisci il dislivello totale della scala (dal pavimento inferiore a quello superiore) e la pedata. Scegli l’alzata con un valore obiettivo oppure con il numero di pedate.

Unità

Dislivello totale

Pedata (profondità)

Come fissare l’alzata

Alzata obiettivo Numero di pedate

Alzata obiettivo

Fissaggio del cosciale

Standard (un gradino sotto il piano superiore) A filo (alla stessa altezza del piano superiore)

Spessore del gradino

Ignora Considera

Altezza libera

Non calcolare Calcola

Scegli l’unità dai menu a tendina (mm, cm o m). Se scegli «Considera» per lo spessore del gradino, viene sottratto dall’altezza del cosciale e dalla prima alzata.

Risultato e illustrazione

Inserisci a sinistra il dislivello totale della scala e la profondità della pedata e fai clic su «Calcola». Qui comparirà il risultato.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci il dislivello totale (l’altezza dal pavimento inferiore a quello superiore) e la pedata e ottieni subito l’alzata, il numero di gradini, la lunghezza totale, la lunghezza del cosciale e l’angolo della scala
Puoi scegliere tra due modalità: «fissare un’alzata obiettivo» oppure «fissare il numero di pedate». Si possono considerare anche il modo di fissare il cosciale (standard o a filo) e lo spessore del gradino
Una tabella di confronto mostra come cambiano l’alzata e l’angolo se aggiungi o togli gradini
Il risultato controlla la scala rispetto ai valori del DM 236/1989 per le scale comuni e di uso pubblico: pedata di almeno 30 cm e rapporto 2a + p tra 62 e 64 cm (da cui deriva un’alzata di al massimo 17 cm)
Facoltativamente, inserisci lo spessore del solaio superiore e la lunghezza del vano scala per ricavare l’altezza libera sotto il solaio che sporge sopra la scala, oppure la lunghezza del vano che serve per una data altezza libera
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Il controllo usa i valori del DM 236/1989 (superamento delle barriere architettoniche) per le scale comuni e di uso pubblico. Per le scale all’interno di una singola abitazione e per le altre destinazioni d’uso valgono anche il regolamento edilizio del comune e le norme di sicurezza e antincendio, quindi confronta sempre il progetto con l’ufficio tecnico comunale o con un professionista (un architetto, un ingegnere o un geometra). Per impostazione predefinita questa pagina lavora in mm, cm e m; scegli «Unità» sopra la calcolatrice per usare pollici e piedi.

A cosa serve questo calcolo?

Valutare la scala di una casa nuova o di una ristrutturazione

In una casa con un dislivello tra i due piani di 272 cm e un’alzata obiettivo di 17 cm, si ottengono \(272 \div 17 = 16\) alzate e 15 pedate. Con pedate di 30 cm, la lunghezza totale è \(30 \times 15 = 450\) cm (4,5 m).
Vedere il compromesso con i numeri («un gradino in più rende ogni alzata più bassa, ma la scala si allunga di circa 30 cm nel corridoio») ti aiuta a controllare da solo le proposte del progettista quando parli della pianta.

Controllare le norme e la sicurezza (la sicurezza in casa)

Per le scale comuni e di uso pubblico, il DM 236/1989 chiede una pedata di almeno 30 cm e un rapporto «2 × alzata + pedata» tra 62 e 64 cm, da cui deriva un’alzata di al massimo 17 cm. Una scala con alzata di 17 cm e pedata di 30 cm ha un angolo di \(\arctan(17 \div 30) \approx 29{,}5^\circ\), e \(2 \times 17 + 30 = 64\) cm è proprio al limite alto dell’intervallo.
Controllare anche la regola pratica di Blondel «2 × alzata + pedata = 62-64 cm» ti permette di valutare in numeri la sicurezza della scala, dove avvengono molti incidenti domestici. Per le scale dentro una singola abitazione valgono anche il regolamento edilizio comunale e le indicazioni del progettista.

Costruire i gradini di un portico o di un ingresso (fai da te)

Per un ingresso rialzato di 45 cm con un’alzata obiettivo di circa 17 cm, \(45 \div 17 \approx 2{,}65\) si arrotonda a 3 alzate, e ogni alzata è \(45 \div 3 = 15\) cm (2 pedate).
Anche per pochi gradini, calcolare prima «quanto è alto ogni gradino se dividi in parti uguali» evita di costruire gradini irregolari su cui si inciampa.

Stimare la lunghezza del legno per i cosciali

Per una scala con una lunghezza totale di 450 cm e un cosciale alto 255 cm, la lunghezza del cosciale è \(\sqrt{450^2 + 255^2} \approx 517{,}2\) cm, cioè 5,17 m.
Il legno si vende di solito in lunghezze standard (per esempio 4, 5 o 6 m: controlla dal tuo rivenditore), quindi questo calcolo con il teorema di Pitagora ti dice prima di comprare che una trave da 5 m è troppo corta e ne serve una da 6 m. La trave inclinata è più lunga di quanto ci si aspetta, e comprare il legno solo in base alla distanza orizzontale spesso lascia a corto.

Capire quanto sarebbe ripida la scala di un soppalco

Se provi a far stare una scala fino a un soppalco alto 240 cm in uno spazio di 150 cm (6 pedate da 25 cm), l’alzata è \(240 \div 7 \approx 34{,}29\) cm e l’angolo è \(\arctan(34{,}29 \div 25) \approx 53{,}9^\circ\), vicino a quello di una scala a pioli.
Calcolare prima «che angolo ottengo in questo spazio» aiuta a scegliere tra una scala normale, una scala a pioli o una scala retrattile. Quali sono ammesse dipende dalle norme e da come si usa lo spazio.

Controllare l’altezza libera quando un solaio sporge sopra la scala

Quando un corridoio o una stanza al piano di sopra copre una parte della scala, lo spazio sopra la testa si riduce vicino alla cima. Per una scala con alzata di 17 cm e pedata di 30 cm, un solaio spesso 30 cm e un vano scala di 400 cm, l’altezza libera è \(17 \times 400 \div 30 - 30 \approx 196{,}7\) cm, circa 13 cm in meno dei 210 cm presi come esempio.
Per avere 210 cm di altezza libera il vano deve essere \((210 + 30) \times 30 \div 17 \approx 423{,}5\) cm, quindi con i numeri puoi discutere se allungare il vano scala di circa 23,5 cm, rendere la scala più ripida o assottigliare il solaio (per l’altezza richiesta segui le norme che valgono per il tuo edificio e il progettista).

Formule e figure

Numero di alzate - da un’alzata obiettivo

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(n\) \(=\) \(\mathrm{round}\) \((\) \(H\) \(\div\) \(R\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(n\): numero di alzate \(=\) ③ \(\mathrm{round}\) \((\) ① \(H\): dislivello totale \(\div\) ② \(R\): alzata obiettivo \()\)

La formula a parole

① Prendi il \(H\): dislivello totale

② dividilo per l’ \(R\): alzata obiettivo

③ arrotonda all’intero più vicino (\(\mathrm{round}\) significa «arrotonda all’intero più vicino»)

④ e ottieni il \(n\): numero di alzate

Un esempio semplice

Per una scala con un dislivello totale di 272 cm e un’alzata obiettivo di 17 cm, il numero di alzate è

alzate \(n\) \(=\) \(\mathrm{round}\) \((\) dislivello totale (272 cm) \(\div\) alzata obiettivo (17 cm) \()\)

\(272 \div 17 = 16\)

L’idea chiave

Il «numero di alzate» conta i salti verticali, e il «numero di pedate» conta le superfici su cui appoggi il piede. Con il fissaggio standard del cosciale, l’ultima alzata ti porta sul piano superiore, quindi le pedate sono una in meno delle alzate: \(n - 1\) pedate (con il fissaggio a filo, \(n\) pedate). Se la divisione non è esatta, si arrotonda per avere il numero di alzate e si mette il resto nella prima alzata: prima alzata \(= H - R \times (n-1)\). Per esempio, con un dislivello totale di 275 cm e un’alzata di 17 cm, \(275 \div 17 \approx 16{,}18\) si arrotonda a 16 alzate e solo la prima alzata è \(275 - 17 \times 15 = 20\) cm. Attenzione: una prima alzata diversa dalle altre è scomoda e si inciampa più facilmente. Se vuoi che tutte le alzate siano uguali, usa la modalità «Numero di pedate», che divide il dislivello in parti uguali (\(275 \div 16 \approx 17{,}19\) cm per ogni alzata), e poi controlla che l’alzata resti nei limiti.

Alzata - dal numero di pedate

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(R\) \(=\) \(H\) \(\div\) \((\) \(s\) \(+\) \(1\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(R\): alzata \(=\) ① \(H\): dislivello totale \(\div\) \((\) ② \(s\): numero di pedate \(+\) \(1\) \()\)

La formula a parole

① Prendi il \(H\): dislivello totale

② dividilo per il \(s\): numero di pedate più 1 (= il numero di alzate)

③ e ottieni l’ \(R\): alzata

Un esempio semplice

Per una scala con un dislivello totale di 272 cm e 15 pedate, l’alzata è

alzata \(R\) \(=\) dislivello totale (272 cm) \(\div\) \((\) pedate (15) \(+\) \(1\) \()\)

\(272 \div (15 + 1) = 272 \div 16 = 17\)

L’idea chiave

Non dimenticare il «\(+1\)». Con il fissaggio standard del cosciale, anche con 15 pedate si sale 16 volte, compresa l’ultima alzata sul piano superiore. Il dislivello totale si divide per il numero di alzate (\(s + 1\)) e non per il numero di pedate. In questo modo il dislivello totale viene diviso in parti uguali, non resta alcun resto e tutte le alzate, compresa la prima, hanno la stessa altezza. È la scelta migliore per una scala regolare e comoda. (Con il fissaggio a filo il numero di alzate è uguale al numero di pedate, quindi \(R = H \div s\).)

Lunghezza totale (quanto spazio occupa la scala in orizzontale)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(D\) \(=\) \(T\) \(\times\) \(s\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(D\): lunghezza totale \(=\) ① \(T\): pedata \(\times\) ② \(s\): numero di pedate

La formula a parole

① Prendi la \(T\): pedata

② moltiplicala per il \(s\): numero di pedate

③ e ottieni la \(D\): lunghezza totale

Un esempio semplice

La lunghezza orizzontale (lunghezza totale) di una scala con una pedata di 30 cm e 15 pedate è

lunghezza totale \(D\) \(=\) pedata (30 cm) \(\times\) pedate (15)

\(30 \times 15 = 450\)

L’idea chiave

La lunghezza totale è la distanza orizzontale dalla prima alzata in basso al bordo del piano superiore. Serve a controllare se la scala sta nello spazio che hai (la lunghezza del corridoio o del vano scala). Pedate più profonde o più gradini rendono la scala più comoda da salire, ma la lunghezza totale cresce e occupa più spazio: è un compromesso. Qui 450 cm sono 4,5 m.

Lunghezza del cosciale

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(L\) \(=\) \(\sqrt{D^2 + K^2}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(L\): lunghezza del cosciale \(=\) ① radice quadrata della somma dei quadrati di \(D\): lunghezza totale e \(K\): altezza del cosciale

La formula a parole

① Prendi la radice quadrata della somma dei quadrati di \(D\): lunghezza totale e \(K\): altezza del cosciale (eleva al quadrato ciascuno, somma e fai la radice quadrata)

② e ottieni la \(L\): lunghezza del cosciale

Un esempio semplice

Con una lunghezza totale di 450 cm e un cosciale alto 255 cm (272 − 17), la lunghezza del cosciale è

lunghezza del cosciale \(L\) \(=\) radice quadrata della somma dei quadrati (450² + 255²)

\(L = \sqrt{450^2 + 255^2} = \sqrt{202500 + 65025} = \sqrt{267525} \approx 517{,}2\)

L’idea chiave

Il cosciale è la trave inclinata che sostiene i gradini. È l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che copre in orizzontale la lunghezza totale \(D\) e in verticale l’altezza del cosciale \(K\), quindi la sua lunghezza si ricava con il teorema di Pitagora. Qui il risultato è circa 517,2 cm, cioè 5,17 m: più lungo dei 450 cm della sola lunghezza orizzontale. L’altezza del cosciale \(K\) dipende dal fissaggio. Con il fissaggio standard il cosciale deve arrivare solo un’alzata sotto il piano superiore, quindi \(K = H - R\). Con il fissaggio a filo arriva al piano superiore, quindi \(K = H\). Se consideri lo spessore del gradino, sottrailo.

Angolo della scala

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan\) \((\) \(R\) \(\div\) \(T\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(\theta\): angolo della scala \(=\) ③ \(\arctan\) \((\) ① \(R\): alzata \(\div\) ② \(T\): pedata \()\)

La formula a parole

① Prendi l’ \(R\): alzata

② dividila per la \(T\): pedata per vedere quanto è ripido ogni gradino (un rapporto)

③ trasforma quel rapporto in un angolo (\(\arctan\) è la funzione trigonometrica inversa che ricava un angolo da un rapporto di pendenza)

④ e ottieni l’ \(\theta\): angolo della scala

Un esempio semplice

L’angolo di una scala con un’alzata di 17 cm e una pedata di 30 cm è

angolo della scala \(\theta\) \(=\) \(\arctan\) \((\) alzata (17 cm) \(\div\) pedata (30 cm) \()\)

\(17 \div 30 \approx 0{,}567\)

\(\arctan(17 \div 30) \approx 29{,}54^\circ\)

L’idea chiave

L’angolo si ricava dal rapporto tra un’alzata e una pedata. Se il resto del dislivello è stato messo nella prima alzata, la pendenza dell’intero cosciale (\(\arctan(K \div D)\)) può differire un po’, ma per quanto è ripida la scala conta il rapporto di ogni gradino. Una regola pratica per scale comode è la formula di Blondel, che il DM 236/1989 riprende: «2 × alzata + pedata = 62-64 cm». Con un’alzata di 17 cm e una pedata di 30 cm, \(2 \times 17 + 30 = 64\) cm, all’estremo alto dell’intervallo; con \(16 \times 2 + 31 = 63\) cm si è in pieno intervallo. Con questi valori l’angolo è circa 29-30°.

Altezza libera - l’altezza fino al solaio che sporge sopra la scala

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(h_c\) \(=\) \(R\) \(\times\) \(L_o\) \(\div\) \(T\) \(-\) \(t_f\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(h_c\): altezza libera \(=\) ① \(R\): alzata \(\times\) ② \(L_o\): lunghezza del vano scala \(\div\) ③ \(T\): pedata \(-\) ④ \(t_f\): spessore del solaio superiore

La formula a parole

① Prendi l’ \(R\): alzata

② moltiplicala per la \(L_o\): lunghezza del vano scala

③ dividi per la \(T\): pedata per vedere di quanto la linea di pendenza è scesa sotto il piano superiore, subito sotto il bordo del vano

④ sottrai lo \(t_f\): spessore del solaio superiore

⑤ e ottieni l’ \(h_c\): altezza libera

Un esempio semplice

Per una scala con un’alzata di 17 cm e una pedata di 30 cm, sotto un solaio superiore spesso 30 cm con un vano scala di 400 cm, l’altezza libera è

altezza libera \(h_c\) \(=\) alzata (17 cm) \(\times\) vano (400 cm) \(\div\) pedata (30 cm) \(-\) spessore del solaio (30 cm)

\(17 \times 400 \div 30 \approx 226{,}67\)

\(226{,}67 - 30 \approx 196{,}67\)

L’idea chiave

Quando il piano superiore (un corridoio o una stanza) sporge sopra la scala, lo spazio sopra la testa si riduce vicino alla cima. Questa formula ricava la distanza verticale tra la linea di pendenza (la linea inclinata che unisce i bordi anteriori delle pedate) e la parte inferiore del solaio sopra (il soffitto), subito sotto il «bordo del vano» da dove inizia il soffitto. La linea di pendenza scende di un’alzata \(R\) per ogni pedata \(T\), quindi a una distanza \(L_o\) dal bordo del piano superiore sta sotto di \(\dfrac{\text{alzata} \times \text{lunghezza del vano}}{\text{pedata}}\). Il soffitto è più basso del piano superiore dello spessore del solaio \(t_f\), e la differenza è l’altezza libera. Come riferimento, il risultato mostra anche l’altezza dalla pedata proprio sotto il bordo del vano al soffitto (misurata dalla superficie su cui appoggi davvero il piede, non dalla linea di pendenza). Con il fissaggio a filo, l’ultima pedata è alla stessa altezza del piano superiore, quindi la linea di pendenza parte una pedata prima e si usa \(L_o - T\) al posto di \(L_o\). Se il vano è più lungo della lunghezza totale \(D\), il punto sotto il bordo del vano è il pavimento davanti alla scala, quindi l’altezza libera è semplicemente quella dal pavimento inferiore al soffitto, \(H - t_f\). In questo esempio l’altezza libera è circa 196,7 cm, circa 13 cm in meno dei 210 cm presi come esempio. Inserisci nel campo «Altezza libera necessaria» l’altezza che richiede la norma che vale per il tuo edificio.

Lunghezza del vano necessaria - ricavata dall’altezza libera

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(L_{\mathrm{req}}\) \(=\) \((\) \(h_{\mathrm{req}}\) \(+\) \(t_f\) \()\) \(\times\) \(T\) \(\div\) \(R\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(L_{\mathrm{req}}\): lunghezza del vano necessaria \(=\) \((\) ① \(h_{\mathrm{req}}\): altezza libera necessaria \(+\) ② \(t_f\): spessore del solaio superiore \()\) \(\times\) ③ \(T\): pedata \(\div\) ④ \(R\): alzata

La formula a parole

① Prendi l’ \(h_{\mathrm{req}}\): altezza libera necessaria

② aggiungi lo \(t_f\): spessore del solaio superiore per vedere di quanto la linea di pendenza deve scendere sotto il piano superiore al bordo del vano

③ moltiplica per la \(T\): pedata

④ dividi per l’ \(R\): alzata

⑤ e ottieni la \(L_{\mathrm{req}}\): lunghezza del vano necessaria

Un esempio semplice

Per una scala con un’alzata di 17 cm, una pedata di 30 cm e un solaio superiore spesso 30 cm, il vano scala che serve per avere 210 cm di altezza libera è

vano necessario \(L_{\mathrm{req}}\) \(=\) \((\) altezza libera necessaria (210 cm) \(+\) spessore del solaio (30 cm) \()\) \(\times\) pedata (30 cm) \(\div\) alzata (17 cm)

\(210 + 30 = 240\)

\(240 \times 30 \div 17 \approx 423{,}53\)

L’idea chiave

È la formula dell’altezza libera risolta rispetto alla lunghezza del vano \(L_o\). Se il vano arriva al punto in cui la linea di pendenza è \(h_{\mathrm{req}} + t_f\) sotto il piano superiore, l’altezza fino al soffitto lì è esattamente \(h_{\mathrm{req}}\). La linea di pendenza scende di un’alzata per ogni pedata, quindi la distanza orizzontale che serve è la discesa moltiplicata per \(\dfrac{\text{pedata}}{\text{alzata}}\). Un vano più lungo significa tagliare il solaio superiore per allargare il vano scala. In questo esempio il vano deve passare da 400 cm a circa 423,53 cm. Se la lunghezza che serve è maggiore della lunghezza totale \(D\), il vano deve arrivare fino al pavimento davanti alla scala. Se non puoi allungare il vano, le altre strade sono un’alzata più alta (scala più ripida, quindi la linea di pendenza scende prima) oppure un solaio più sottile. Ancora una volta, quanto è dolce la scala e quanto è grande il vano sono un compromesso. Con il fissaggio a filo la linea di pendenza parte una pedata prima, quindi aggiungi \(T\) alla lunghezza che serve.

Il progetto di una scala parte dal dividere in parti uguali il dislivello totale per il numero di alzate, per ottenere l’alzata. La lunghezza totale è pedata × numero di pedate, la lunghezza del cosciale si ricava con il teorema di Pitagora e l’angolo è l’arcotangente di alzata ÷ pedata. Per le scale comuni e di uso pubblico, il DM 236/1989 chiede una pedata di almeno 30 cm e un rapporto «2 × alzata + pedata» tra 62 e 64 cm. Quando un solaio sporge sopra la scala, controlla l’altezza libera con alzata × lunghezza del vano ÷ pedata − spessore del solaio, e allunga il vano se non basta.

Simboli e termini

Simboli

\(H\)	acca	Il dislivello totale della scala, cioè la distanza verticale dal pavimento finito inferiore a quello finito superiore. (Esempio - 272 cm dal piano terra al primo piano)
\(R\)	erre	L’alzata, cioè la distanza verticale di un gradino.
\(T\)	ti	La pedata, cioè la profondità orizzontale della superficie su cui appoggi il piede.
\(n\)	enne	Il numero di alzate, cioè il numero di salti verticali. Con il fissaggio standard è uno in più del numero di pedate.
\(s\)	esse	Il numero di pedate, cioè il numero di superfici su cui appoggi il piede. Nel parlare comune si contano spesso le alzate («una scala di 16 gradini» per una con 16 alzate), ma in questa pagina il «numero di pedate» è proprio il numero delle pedate.
\(D\)	di	La lunghezza totale, cioè quanto spazio occupa la scala in orizzontale. Si ricava con \(D = T \times s\).
\(K\)	kappa	L’altezza del cosciale, cioè l’altezza verticale che copre. È \(H - R\) con il fissaggio standard e \(H\) con il fissaggio a filo.
\(L\)	elle	La lunghezza del cosciale. Si ricava con \(L = \sqrt{D^2 + K^2}\) (teorema di Pitagora).
\(t\)	ti minuscola	Lo spessore del gradino. Se lo consideri, viene sottratto dall’altezza del cosciale e dalla prima alzata.
\(t_f\)	ti con pedice effe	Lo spessore del solaio superiore, dal pavimento finito del piano superiore fino al soffitto che si vede dalla scala (la parte inferiore del solaio). La f è l’iniziale di «floor» (pavimento, in inglese); è una grandezza diversa dallo spessore del gradino \(t\).
\(L_o\)	elle con pedice o	La lunghezza del vano scala, cioè la distanza orizzontale dal bordo del piano superiore al bordo del solaio che sporge sopra la scala. La o è l’iniziale di «opening» (apertura, in inglese); è una grandezza diversa dalla lunghezza del cosciale \(L\).
\(h_c\)	acca con pedice ci	L’altezza libera, cioè l’altezza misurata in verticale dalla linea di pendenza fino al soffitto, subito sotto il bordo del vano. Si ricava con \(h_c = R \times L_o \div T - t_f\). La c è l’iniziale di «clearance» (spazio libero, in inglese).
\(h_{\mathrm{req}}\)	acca con pedice req	L’altezza libera necessaria, cioè l’altezza che vuoi avere subito sotto il bordo del vano, fissata dalle norme che valgono per il tuo edificio, dal regolamento edilizio comunale o dal progettista. «req» è l’abbreviazione di «required» (richiesto, in inglese).
\(L_{\mathrm{req}}\)	elle con pedice req	La lunghezza del vano necessaria, cioè il vano scala che dà l’altezza libera richiesta. Si ricava con \(L_{\mathrm{req}} = (h_{\mathrm{req}} + t_f) \times T \div R\).
\(\theta\)	teta	L’angolo della scala (pendenza). Si ricava con \(\theta = \arctan(R \div T)\).
\(\sqrt{x}\)	radice quadrata di x	La radice quadrata, cioè il valore che elevato al quadrato dà il numero. (Esempio - \(\sqrt{25} = 5\))
\(\arctan\)	arcotangente	La funzione che ricava un angolo dalla sua tangente (il rapporto di pendenza). Su una calcolatrice scientifica spesso compare come tan⁻¹. (Esempio - \(\arctan(1) = 45^\circ\))

Termini

alzata	L’altezza di un gradino (una distanza verticale), cioè la parte verticale tra una pedata e la successiva. Più è grande, più alto è ogni gradino e più ripida e faticosa è la scala. In questa pagina il «numero di alzate» è il numero di salti verticali, che con il fissaggio standard è uno in più del numero di pedate. Per le scale comuni e di uso pubblico il DM 236/1989 porta a un’alzata di al massimo 17 cm.
pedata	La profondità orizzontale della superficie su cui appoggi il piede. Se è troppo piccola, il piede non sta bene e si può scivolare. Il DM 236/1989 chiede almeno 30 cm per le scale comuni e di uso pubblico.
cosciale	La trave inclinata, su ciascun lato della scala, che sostiene i gradini. Nelle scale in legno una tavola o una trave viene messa in diagonale e intagliata a dente di sega, e i gradini si appoggiano sugli intagli.
spessore del gradino	Lo spessore della tavola su cui si cammina (il gradino). Per i gradini in legno è spesso di 25-30 mm circa, e lo spessore cambia il modo in cui va tagliato e posizionato il cosciale.
fissaggio a filo	Fissare il cosciale in modo che la sua parte alta sia alla stessa altezza del piano superiore. Rispetto al fissaggio standard (un gradino sotto il piano superiore), si aggiunge una pedata.
pendenza	Quanto è ripida una cosa. Per le scale è il rapporto alzata ÷ pedata, oppure l’angolo che se ne ricava. Più il numero è grande, più la scala è ripida.
DM 236/1989	Il decreto ministeriale 14 giugno 1989, n. 236 sul superamento delle barriere architettoniche. Il punto 8.1.10 riguarda le scale comuni e di uso pubblico, e chiede tra l’altro una larghezza della rampa di almeno 1,20 m, una pedata di almeno 30 cm, un rapporto «2 × alzata + pedata» tra 62 e 64 cm, un parapetto alto almeno 1,00 m e un corrimano a 0,90-1,00 m. Per le scale dentro una singola abitazione valgono anche il regolamento edilizio comunale e altre norme.
altezza libera	L’altezza dello spazio libero sopra la testa di chi usa la scala. In questa pagina si misura in verticale dalla linea di pendenza (la linea che unisce i bordi anteriori delle pedate) fino alla parte inferiore del solaio sopra, ed è più piccola subito sotto il bordo del vano da cui inizia il soffitto.
vano scala	Il foro nel solaio del piano superiore da cui passa la scala (la parte senza pavimento). In questa pagina la «lunghezza del vano scala» è la distanza orizzontale dal bordo del piano superiore al bordo del solaio che sporge sopra la scala.
linea di pendenza	La linea inclinata che unisce i bordi anteriori (i «nasi») dei gradini. Mostra la pendenza della scala, e l’altezza libera e l’altezza del corrimano si misurano di solito in verticale da qui. A ogni gradino avanza di una pedata e sale di un’alzata.

Cosa conviene sapere prima

Qui trovi cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, e non solo premendo il pulsante.

Divisione e arrotondamento (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Capire la divisione «dividi il dislivello totale in parti uguali per il numero di alzate» Saper arrotondare all’intero più vicino
Conversione delle unità di lunghezza (scuola primaria, 6-11 anni)	Sapere che 1 m = 100 cm e 1 cm = 10 mm, e saper portare tutto alla stessa unità prima di calcolare
Il teorema di Pitagora (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni)	Sapere che l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Conoscere i triangoli rettangoli con rapporti interi come 3:4:5 rende più rapido il controllo
Rapporti trigonometrici e tangente (scuola secondaria di secondo grado, 15-16 anni)	Sapere che la tangente è «altezza ÷ base» (il rapporto di pendenza) Sapere che \(\arctan\) (tan⁻¹) ricava l’angolo dal rapporto (i calcoli si possono fare con una calcolatrice scientifica)
Rapporti e compromessi (classe 5ª della primaria–1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Sapere che il rapporto tra alzata e pedata decide quanto è ripida la scala Saper seguire con le formule il legame «più gradini rendono ogni gradino più facile ma allungano la scala»
Proporzionalità e similitudine (classe 5ª della primaria–3ª della secondaria di primo grado, 10-14 anni)	Vedere che la linea di pendenza scende di un’alzata a ogni pedata (un tasso costante), così da ricavare con una proporzione la discesa da una distanza orizzontale

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare il numero di alzate e di pedate (da un’alzata obiettivo)

Dislivello totale H (cm)	272
Alzata obiettivo R (cm)	17
Numero di alzate n	=ARROTONDA(B1/B2;0)
Numero di pedate (fissaggio standard)	=B3-1
Altezza della prima alzata (cm)	=B1-B2*(B3-1)

Tabella per calcolare l’alzata (dal numero di pedate)

Dislivello totale H (cm)	272
Numero di pedate s	15
Alzata R (cm)	=B1/(B2+1)

Tabella per calcolare la lunghezza totale

Pedata T (cm)	30
Numero di pedate s	15
Lunghezza totale D (cm)	=B1*B2

Tabella per calcolare la lunghezza del cosciale

Lunghezza totale D (cm)	450
Altezza del cosciale K (cm)	255
Lunghezza del cosciale L (cm)	=RADQ(B1^2+B2^2)

Tabella per calcolare l’angolo della scala

Alzata R (cm)	17
Pedata T (cm)	30
Angolo della scala (gradi)	=GRADI(ARCTAN(B1/B2))

Tabella per calcolare l’altezza libera

Alzata R (cm)	17
Pedata T (cm)	30
Lunghezza del vano scala L_o (cm)	400
Spessore del solaio superiore t_f (cm)	30
Altezza libera h_c (cm)	=B1*B3/B2-B4

Tabella per calcolare la lunghezza del vano necessaria

Altezza libera necessaria h_req (cm)	210
Spessore del solaio superiore t_f (cm)	30
Pedata T (cm)	30
Alzata R (cm)	17
Lunghezza del vano necessaria L_req (cm)	=(B1+B2)*B3/B4

Dopo l’incolla, le righe in alto della colonna B sono i dati da inserire e quelle in basso si calcolano da sole.
«ARROTONDA(valore; 0)» arrotonda all’intero più vicino, «RADQ» è la radice quadrata, «ARCTAN» ricava un angolo da un rapporto di pendenza (il risultato è in radianti) e «GRADI» trasforma i radianti in gradi.
Nella prima tabella B3 è 16, B4 è 15 pedate e B5 è 17 cm. Nella seconda tabella B3 è 17 cm, nella terza 450 cm, nella quarta circa 517,2 cm e nella quinta circa 29,54 gradi. Basta sostituire i numeri della colonna B con i tuoi.
La sesta tabella dà l’altezza libera (B5 è circa 196,67 cm) e la settima la lunghezza del vano necessaria (B5 è circa 423,53 cm). Entrambe usano il fissaggio standard. Per il fissaggio a filo, nella sesta tabella scrivi in B3 la lunghezza del vano meno una pedata, e nella settima aggiungi una pedata al risultato di B5.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare il numero di alzate e di pedate (da un’alzata obiettivo)

Dislivello totale H (cm)	272
Alzata obiettivo R (cm)	17
Numero di alzate n	=ARROTONDA(B1/B2;0)
Numero di pedate (fissaggio standard)	=B3-1
Altezza della prima alzata (cm)	=B1-B2*(B3-1)

Tabella per calcolare l’alzata (dal numero di pedate)

Dislivello totale H (cm)	272
Numero di pedate s	15
Alzata R (cm)	=B1/(B2+1)

Tabella per calcolare la lunghezza totale

Pedata T (cm)	30
Numero di pedate s	15
Lunghezza totale D (cm)	=B1*B2

Tabella per calcolare la lunghezza del cosciale

Lunghezza totale D (cm)	450
Altezza del cosciale K (cm)	255
Lunghezza del cosciale L (cm)	=RADQ(B1^2+B2^2)

Tabella per calcolare l’angolo della scala

Alzata R (cm)	17
Pedata T (cm)	30
Angolo della scala (gradi)	=GRADI(ARCTAN(B1/B2))

Tabella per calcolare l’altezza libera

Alzata R (cm)	17
Pedata T (cm)	30
Lunghezza del vano scala L_o (cm)	400
Spessore del solaio superiore t_f (cm)	30
Altezza libera h_c (cm)	=B1*B3/B2-B4

Tabella per calcolare la lunghezza del vano necessaria

Altezza libera necessaria h_req (cm)	210
Spessore del solaio superiore t_f (cm)	30
Pedata T (cm)	30
Alzata R (cm)	17
Lunghezza del vano necessaria L_req (cm)	=(B1+B2)*B3/B4

Le stesse formule di Excel (comprese le funzioni ARROTONDA, RADQ, ARCTAN e GRADI) funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

import math

total_height_cm = 272   # dislivello totale della scala (dal pavimento inferiore a quello superiore)
run_cm = 30             # pedata
target_rise_cm = 17     # alzata obiettivo

# numero di alzate = dislivello totale ÷ alzata, arrotondato all’intero più vicino
# N.B. round() di Python arrotonda il «.5» al pari più vicino, quindi si usa floor(x + 0.5) per l’arrotondamento classico
num_risers = math.floor(total_height_cm / target_rise_cm + 0.5)
steps = num_risers - 1                                          # numero di pedate (fissaggio standard)
first_step_cm = total_height_cm - target_rise_cm * (num_risers - 1)  # il resto va nella prima alzata

total_run_cm = run_cm * steps                                   # lunghezza totale
stringer_height_cm = total_height_cm - target_rise_cm           # altezza del cosciale (fissaggio standard)
stringer_length_cm = math.sqrt(total_run_cm ** 2 + stringer_height_cm ** 2)  # teorema di Pitagora
angle_deg = math.degrees(math.atan(target_rise_cm / run_cm))    # angolo della scala

# altezza libera (sotto un solaio che sporge sopra la scala; fissaggio standard)
floor_thickness_cm = 30     # spessore del solaio superiore (dal pavimento finito al soffitto dal lato della scala)
opening_length_cm = 400     # lunghezza del vano scala (dal bordo del piano superiore al bordo del solaio che sporge)
headroom_required_cm = 210  # altezza libera che vuoi avere
headroom_cm = target_rise_cm * opening_length_cm / run_cm - floor_thickness_cm
opening_required_cm = (headroom_required_cm + floor_thickness_cm) * run_cm / target_rise_cm

print(f"Numero di pedate: {steps}")
print(f"Alzata: {target_rise_cm} cm (prima alzata {first_step_cm} cm)")
print(f"Lunghezza totale: {total_run_cm} cm")
print(f"Altezza del cosciale: {stringer_height_cm} cm")
print(f"Lunghezza del cosciale: {stringer_length_cm:.2f} cm")
print(f"Angolo della scala: {angle_deg:.2f} gradi")
print(f"Altezza libera: {headroom_cm:.2f} cm")
print(f"Lunghezza del vano necessaria: {opening_required_cm:.2f} cm")

Funziona con la sola libreria standard. math.sqrt() è la radice quadrata (teorema di Pitagora), e math.atan() e math.degrees() calcolano l’angolo. Sostituisci in alto dislivello totale, pedata e alzata con i tuoi numeri ed eseguilo. La seconda parte è l’altezza libera, «alzata × lunghezza del vano ÷ pedata − spessore del solaio», e la lunghezza del vano che se ne ricava. Se nessun solaio sporge sopra la scala, questa parte non ti serve.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Numero di alzate - da un’alzata obiettivo

n = round(H ÷ R)

n = \mathrm{round}\left( \frac{H}{R} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>round</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac><mi>H</mi><mi>R</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

n = round(H / R)

Round[h/r]

n := round(H/R);

n = round(H/R);

n = round(H/R)

Alzata - dal numero di pedate

R = H ÷ (s + 1)

R = \frac{H}{s + 1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>H</mi>
      <mrow><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = H / (s + 1)

h/(s + 1)

R := H/(s + 1);

R = H/(s + 1);

R = H/(s + 1)

Lunghezza totale (quanto spazio occupa la scala in orizzontale)

D = T × s

D = T \times s

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>s</mi>
  </mrow>
</math>

D = T * s

t*s

d := T*s;

D = T*s;

D = T × s

Lunghezza del cosciale

L = √(D² + K²)

L = \sqrt{D^2 + K^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>D</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>K</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

L = sqrt(D^2 + K^2)

Sqrt[d^2 + k^2]

L := sqrt(d^2 + K^2);

L = sqrt(D^2 + K^2);

L = √(D^2 + K^2)

Angolo della scala

θ = arctan(R ÷ T)

\theta = \arctan\left( \frac{R}{T} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac><mi>R</mi><mi>T</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(R / T)

ArcTan[r/t]/Degree

theta := arctan(R/T)*180/Pi;

theta = atand(R/T);

θ = arctan(R/T)

Altezza libera - l’altezza fino al solaio che sporge sopra la scala

h_c = R × L_o ÷ T − t_f

h_c = \frac{R \, L_o}{T} - t_f

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>h</mi><mi>c</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>R</mi><mo>&#x2062;</mo><msub><mi>L</mi><mi>o</mi></msub></mrow>
      <mi>T</mi>
    </mfrac>
    <mo>-</mo>
    <msub><mi>t</mi><mi>f</mi></msub>
  </mrow>
</math>

h_c = R * L_o / T - t_f

r*lo/t - tf

h_c := R*L_o/T - t_f;

h_c = R*L_o/T - t_f;

h_c = R L_o/T − t_f

Lunghezza del vano necessaria - ricavata dall’altezza libera

L_req = (h_req + t_f) × T ÷ R

L_{\mathrm{req}} = \frac{(h_{\mathrm{req}} + t_f) \, T}{R}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>L</mi><mi>req</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>(</mo>
        <msub><mi>h</mi><mi>req</mi></msub>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>t</mi><mi>f</mi></msub>
        <mo>)</mo>
        <mo>&#x2062;</mo>
        <mi>T</mi>
      </mrow>
      <mi>R</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

L_req = (h_req + t_f) * T / R

(hreq + tf)*t/r

L_req := (h_req + t_f)*T/R;

L_req = (h_req + t_f)*T/R;

L_req = (h_req + t_f) T/R

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo delle dimensioni di una scala. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

Sto costruendo una scala con un dislivello totale di 272 cm (dal pavimento del piano terra a quello del primo piano), una pedata di 30 cm e un’alzata obiettivo di 17 cm. I cosciali sono fissati in modo standard (fino a un gradino sotto il piano superiore).
Calcola ciascuno dei seguenti valori:
1. Il numero di alzate = dislivello totale ÷ alzata, arrotondato all’intero più vicino, e il numero di pedate = numero di alzate − 1
2. L’altezza della prima alzata (dislivello totale − alzata × (numero di alzate − 1))
3. La lunghezza totale (pedata × numero di pedate)
4. La lunghezza del cosciale (√(lunghezza totale² + altezza del cosciale²), con altezza del cosciale = dislivello totale − alzata)
5. L’angolo della scala (arctan(alzata ÷ pedata) in gradi)
6. Se la scala rispetta i valori del DM 236/1989 per le scale comuni e di uso pubblico (pedata di almeno 30 cm e 2 × alzata + pedata tra 62 e 64 cm)
7. Con un solaio superiore spesso 30 cm e un vano scala di 400 cm, l’altezza libera (alzata × lunghezza del vano ÷ pedata − spessore del solaio) e la lunghezza del vano necessaria per 210 cm di altezza libera ((210 + spessore del solaio) × pedata ÷ alzata)

Mostra le formule usate e i numeri ottenuti dall’esecuzione.

Come si usa

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Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula