Scegli la dimensione della matrice (da 2×2 a 4×4) e scrivi gli elementi nella griglia. Un determinante è definito solo per una matrice quadrata (righe = colonne).
Scrivi gli elementi come numeri (vanno bene decimali e negativi).
Risultato
Scegli a sinistra la dimensione della matrice, scrivi gli elementi e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il determinante e i passaggi.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula
-
Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Calcola sul momento il determinante \(\det(A)\) di una matrice quadrata 2×2, 3×3 o 4×4
- I passaggi seguono i metodi dei libri di testo: «\(ad - bc\)» per le 2×2, la regola di Sarrus per le 3×3 e lo sviluppo di Laplace per le 4×4
- Ti dice anche se la matrice è invertibile: se \(\det(A) \neq 0\), esiste l’inversa
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google (MATR.DETERM) e Python
Il determinante è definito solo per una matrice quadrata (righe = colonne). Somma, moltiplicazione, trasposta e altro delle matrici sono nella pagina gemella «Calcolatrice di matrici».
A cosa serve questo calcolo?
Controllare se un sistema di equazioni ha una sola soluzione (regola di Cramer)
Per un sistema di equazioni lineari con tante equazioni quante incognite, se il determinante della matrice quadrata dei coefficienti non è 0, il sistema ha una sola soluzione. Se il determinante è 0, o non c’è nessuna soluzione o ce ne sono infinite.
Con la regola di Cramer si può persino scrivere la soluzione stessa usando soltanto rapporti di determinanti. Fa parte della teoria alla base dei lavori di ingegneria che risolvono enormi quantità di equazioni, come l’analisi strutturale e l’analisi dei circuiti.
Mostrare di quante volte cresce l’area o il volume di una figura (fattore di scala di una trasformazione lineare)
Quando trasformi una figura piana con una matrice 2×2 (la ruoti, la allunghi o la accorci, o la deformi per taglio), la sua area viene moltiplicata esattamente per \(|\det(A)|\). Per un solido e una matrice 3×3, il volume viene moltiplicato per \(|\det(A)|\).
Questo ruolo del determinante come fattore di scala compare anche nell’analisi matematica universitaria come fattore di correzione nel cambio di variabili in un integrale (il determinante jacobiano) e si usa ovunque nella scienza e nell’ingegneria.
Riconoscere le figure «capovolte» nella grafica 3D e nei videogiochi
I software di grafica 3D e i motori dei videogiochi usano le matrici per trasformare i modelli. Se il determinante di una matrice di trasformazione è negativo, la trasformazione capovolge il modello come un’immagine allo specchio, e il davanti e il dietro di ogni faccia (la direzione della sua normale) si scambiano.
Per questo i software di grafica controllano il segno del determinante per riconoscere il capovolgimento e lo correggono perché il disegno non si rompa.
Trovare l’area dalle coordinate (rilievo topografico e mappe)
Se conosci le coordinate dei vertici di un triangolo, la sua area è la metà del valore assoluto di un determinante costruito con quelle coordinate. Esteso ai poligoni, si chiama formula di Gauss per l’area (o formula dei lacci), un modo standard per calcolare l’area dei terreni nel rilievo topografico e nei software di cartografia (GIS).
Il segreto di «scrivi le coordinate e ottieni l’area» è proprio il determinante.
La porta d’ingresso agli autovalori (analisi delle vibrazioni e analisi dei dati)
L’analisi delle vibrazioni, che studia come tende a oscillare un edificio o una macchina, e l’analisi delle componenti principali, che estrae le tendenze principali da grandi insiemi di dati, usano entrambe valori di una matrice chiamati autovalori.
Gli autovalori si trovano dall’equazione «trova \(\lambda\) tale che \(\det(A - \lambda I) = 0\)» (l’equazione caratteristica). Il determinante è anche la porta d’ingresso a questo strumento più avanzato.
Formula
Determinante 2×2 (ad − bc)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
\(=\)
\(ad\)
\(-\)
\(bc\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\det(A)\): determinante 2×2
\(=\)
①
\(ad\): alto a sinistra × basso a destra
\(-\)
②
\(bc\): alto a destra × basso a sinistra
La formula a parole
①
Prendi
\(ad\): prodotto di alto a sinistra × basso a destra
,
②
sottrai
\(bc\): prodotto di alto a destra × basso a sinistra
, e ottieni
③
\(\det(A)\): determinante 2×2
Un esempio semplice
Il determinante della matrice \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) è
\(\det(A)\): determinante
\(=\)
alto a sinistra × basso a destra (\(4 \times 6\))
\(-\)
alto a destra × basso a sinistra (\(7 \times 2\))
\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
L’idea chiave
La diagonale dall’alto a sinistra al basso a destra prende il «+» e la diagonale dall’alto a destra al basso a sinistra prende il «−». Basta moltiplicare lungo le due diagonali e sottrarre, quindi questo schema a croce è facile da ricordare.
Il determinante si scrive \(|A|\) oltre che \(\det(A)\) (le barre somigliano al valore assoluto, ma qui hanno un altro compito). Una matrice con \(\det(A) = 0\) si dice «non invertibile» (singolare) e non ha inversa.
Determinante 3×3 (regola di Sarrus)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(aei + bfg + cdh\)
\(-\)
\((ceg + afh + bdi)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\det(A)\): determinante 3×3
\(=\)
①
somma dei prodotti sulle 3 diagonali in discesa verso destra
\(-\)
②
somma dei prodotti sulle 3 diagonali in salita verso destra
La formula a parole
①
Chiamando gli elementi \(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\), prendi la
somma dei prodotti sulle 3 diagonali in discesa verso destra (\(aei + bfg + cdh\))
,
②
sottrai la
somma dei prodotti sulle 3 diagonali in salita verso destra (\(ceg + afh + bdi\))
, e ottieni
③
\(\det(A)\): determinante 3×3
Un esempio semplice
Il determinante di \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) è
\(1 \times 3 \times 1 + 0 \times 1 \times 1 + 2 \times (-1) \times 1 = 3 + 0 - 2 = 1\)
\(2 \times 3 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 + 0 \times (-1) \times 1 = 6 + 1 + 0 = 7\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 7 = -6\)
L’idea chiave
La regola di Sarrus è più facile da usare se riscrivi le colonne 1 e 2 a destra della matrice. Ci sono 3 diagonali dall’alto a sinistra al basso a destra (\(aei\), \(bfg\), \(cdh\), tutte con «+») e 3 diagonali dall’alto a destra al basso a sinistra (\(ceg\), \(afh\), \(bdi\), tutte con «−»), 6 prodotti in tutto.
Però la regola di Sarrus vale solo fino alle 3×3 (la formula 2×2 \(ad-bc\) usa la stessa idea a croce). Non vale per le 4×4 o più grandi, quindi usa lo sviluppo di Laplace qui sotto.
Sviluppo di Laplace (il metodo generale, valido anche per le 4×4 e oltre)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(\sum_{j=1}^{n}\)
\((-1)^{1+j}\)
\(a_{1j}\)
\(M_{1j}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(\det(A)\): determinante \(n\)×\(n\)
\(=\)
④
somma per \(j = 1\) fino a \(n\)
③
\((-1)^{1+j}\): segno (alternato + − + − …)
①
\(a_{1j}\): elemento della riga 1, colonna \(j\)
②
\(M_{1j}\): minore complementare senza la riga 1 e la colonna \(j\)
La formula a parole
①
Moltiplica
\(a_{1j}\): elemento della riga 1, colonna \(j\)
②
per il
\(M_{1j}\): minore complementare, il determinante che resta togliendo la riga 1 e la colonna \(j\)
,
③
applica il
\((-1)^{1+j}\): segno (alternato + − + − …)
,
④
e
somma tutto per \(j = 1\) fino a \(n\)
per ottenere il
⑤
\(\det(A)\): determinante \(n\)×\(n\)
Un esempio semplice
Sviluppando lungo la riga 1 l’esempio 3×3 qui sopra si ottiene (lo stesso risultato della regola di Sarrus)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= 1 \times 2 - 0 \times (-2) + 2 \times (-4) = 2 - 0 - 8 = -6\)
L’idea chiave
Lo sviluppo di Laplace scompone un determinante grande in una combinazione di determinanti di dimensione più piccola di uno (minori complementari, che con il segno si chiamano complementi algebrici). Una 4×4 diventa quattro determinanti 3×3, e ogni 3×3 si può calcolare con la regola di Sarrus (o sviluppando ancora). Questa calcolatrice mostra i passaggi delle matrici 4×4 proprio così.
Non devi per forza sviluppare lungo la riga 1: qualunque riga o colonna dà lo stesso risultato. Scegliere una riga o una colonna con molti 0 fa sparire quei termini e rende il lavoro più facile. I segni \((-1)^{i+j}\) si alternano + e − come una scacchiera, cominciando con «+» in alto a sinistra.
Un determinante è «un singolo numero determinato da una matrice quadrata». Si usa \(ad - bc\) per le 2×2, la regola di Sarrus per le 3×3 e lo sviluppo di Laplace per le 4×4 e oltre. Se \(\det(A) \neq 0\) dice se esiste l’inversa (cioè se il sistema di equazioni ha una e una sola soluzione).
Simboli e termini
Simboli
| \(A\) | A | Il nome dato a una matrice. Per convenzione, le matrici si indicano con lettere maiuscole. |
| \(\det(A),\ |A|\) | determinante di A | Il determinante della matrice \(A\). È comune anche la scrittura con le barre verticali \(|A|\) (è lo stesso segno del valore assoluto dei numeri, ma attorno a una matrice indica il determinante). |
| \(a_{ij}\) | a i j | L’elemento della matrice \(A\) nella riga \(i\), colonna \(j\) (il numero nella \(i\)-esima riga dall’alto e nella \(j\)-esima colonna da sinistra). Le piccole lettere in basso a destra (i pedici) indicano la sua posizione. |
| \(M_{ij}\) | M i j | Un minore complementare: il determinante della matrice più piccola di uno che resta togliendo la riga \(i\) e la colonna \(j\) dalla matrice \(A\). |
| \((-1)^{i+j}\) | meno uno alla i più j | Il segno usato nello sviluppo di Laplace. È \(+1\) quando \(i+j\) è pari e \(-1\) quando è dispari, quindi + e − si alternano come in una scacchiera, cominciando con «+» in alto a sinistra. |
| \(\sum\) | sommatoria | Il segno per «somma tutto». \(\sum_{j=1}^{n}\) dice di sommare i termini per ogni \(j\) da 1 a \(n\). |
Termini
| determinante | Un singolo numero determinato da una matrice quadrata. Racchiude in un solo numero fatti importanti sulla matrice (se ha un’inversa, quante volte una trasformazione ingrandisce area o volume, e così via). |
| matrice quadrata | Una matrice con lo stesso numero di righe e di colonne (a forma di quadrato). I determinanti e le inverse esistono solo per le matrici quadrate. |
| regola di Sarrus | Un modo per trovare un determinante 3×3 sommando e sottraendo i prodotti lungo 6 diagonali. Prende il nome dal matematico francese Pierre Sarrus e vale solo per le matrici 3×3. |
| sviluppo di Laplace | Un metodo che scompone un determinante in una somma di «elemento × minore complementare × segno», riducendolo a determinanti di dimensione più piccola di uno. Si chiama anche sviluppo per cofattori e funziona per i determinanti 4×4 e più grandi. |
| minore complementare | Il determinante della matrice più piccola che resta togliendo una riga e una colonna. È un mattone dello sviluppo di Laplace. |
| complemento algebrico | Un minore complementare \(M_{ij}\) moltiplicato per il segno \((-1)^{i+j}\). Lo sviluppo di Laplace si basa proprio sulla somma di questi complementi algebrici. |
| matrice invertibile | Una matrice quadrata il cui determinante non è 0. Si dice anche non singolare e ha un’inversa. Una matrice con determinante 0 si dice singolare e non ha inversa. |
| matrice inversa | La matrice che, moltiplicata per A, dà la matrice identità (1 sulla diagonale e 0 altrove). È la versione per matrici del reciproco di un numero e si scrive \(A^{-1}\). Esiste solo quando il determinante non è 0. |
| algebra lineare | Il ramo della matematica che si occupa di matrici e vettori. All’università è spesso un corso obbligatorio del primo o del secondo anno ed è la base della computer grafica, della statistica, dell’intelligenza artificiale e altro. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
| Operazioni con i numeri relativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Lettere e pedici (scuola secondaria di primo e di secondo grado) |
|
| Potenze e segni (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Basi sulle matrici (algebra lineare) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare un determinante 2×2
| Riga 1 della matrice A | 4 | 7 |
| Riga 2 della matrice A | 2 | 6 |
| Determinante det(A) | =MATR.DETERM(B1:C2) |
Tabella per ricavare un determinante 3×3
| Riga 1 della matrice A | 1 | 0 | 2 |
| Riga 2 della matrice A | -1 | 3 | 1 |
| Riga 3 della matrice A | 1 | 1 | 1 |
| Determinante det(A) | =MATR.DETERM(B1:D3) |
Tabella per ricavare un determinante 4×4
| Riga 1 della matrice A | 1 | 2 | 0 | 1 |
| Riga 2 della matrice A | 0 | 1 | 3 | 2 |
| Riga 3 della matrice A | 2 | 0 | 1 | 1 |
| Riga 4 della matrice A | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Determinante det(A) | =MATR.DETERM(B1:E4) |
La sola funzione MATR.DETERM trova il determinante. Basta passarle l’intervallo della matrice quadrata (B1:C2 nella prima tabella) e la risposta finisce in una sola cella.
La prima tabella dà 10, la seconda dà -6 e la terza dà 18.
Quando MATR.DETERM restituisce 0, la matrice non ha inversa (la funzione MATR.INVERSA, che trova l’inversa, restituisce un errore).
La prima tabella dà 10, la seconda dà -6 e la terza dà 18.
Quando MATR.DETERM restituisce 0, la matrice non ha inversa (la funzione MATR.INVERSA, che trova l’inversa, restituisce un errore).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare un determinante 2×2
| Riga 1 della matrice A | 4 | 7 |
| Riga 2 della matrice A | 2 | 6 |
| Determinante det(A) | =MATR.DETERM(B1:C2) |
Tabella per ricavare un determinante 3×3
| Riga 1 della matrice A | 1 | 0 | 2 |
| Riga 2 della matrice A | -1 | 3 | 1 |
| Riga 3 della matrice A | 1 | 1 | 1 |
| Determinante det(A) | =MATR.DETERM(B1:D3) |
Valgono le stesse funzioni MATR.DETERM di Excel. Copia l’intera tabella e incollala nella cella A1.
La prima tabella dà 10 e la seconda dà -6.
La prima tabella dà 10 e la seconda dà -6.
Come calcolarlo con Python
A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]]
def determinant(matrix): # sviluppo di Laplace (calcolato ricorsivamente lungo la riga 1)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # sottomatrice senza la riga 1 e la colonna j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
print("det(A) =", determinant(A))
Funziona con la sola libreria standard. Sostituisci la A in alto con la tua matrice (una matrice quadrata qualsiasi, anche 4×4 o più grande) ed esegui il codice. Questo esempio dà det(A) = -6. Per il calcolo numerico serio, la scelta standard è NumPy, una libreria fatta per le matrici (numpy.linalg.det(A)).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Determinante 2×2 (ad − bc)
|A| = ad − bc
\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = |(a, b), (c, d)| = ad - bc
Det[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b], [c, d]]));
d = det(A);
det(A) = ad − bc
Determinante 3×3 (regola di Sarrus)
|A| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>e</mi><mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mi>f</mi><mi>g</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>d</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi><mi>e</mi><mi>g</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi><mi>f</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>d</mi><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Det[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]));
d = det(A);
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
Sviluppo di Laplace (il metodo generale, valido anche per le 4×4 e oltre)
det(A) = Σ (−1)¹⁺ʲ a₁ⱼ M₁ⱼ (j = 1 to n)
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow>
</msup>
<msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
<msub><mi>M</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
det(A) = sum_(j=1)^(n) (-1)^(1+j) a_(1j) M_(1j)
Det[A]
LinearAlgebra:-Determinant(A);
d = det(A);
det(A) = ∑_(j=1)^n (−1)^(1+j) a_1j M_1j
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo con le matrici. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Trova il determinante (det) di ciascuna delle due matrici quadrate seguenti. 1. A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Per ciascuna mostra il valore del determinante e se la matrice è invertibile (se il determinante è diverso da zero, cioè se esiste un’inversa).
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
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Calcola con le matrici vere e proprie. Lì trovi spiegate anche le basi di righe, colonne ed elementi
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Trova la matrice inversa A⁻¹, che esiste solo quando det(A) ≠ 0, con la verifica dell’esistenza e i passaggi
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Trova l’area di un triangolo dai tre lati. Con un determinante puoi trovare l’area anche dalle coordinate dei vertici
