Choisissez la taille de la matrice (de 2×2 à 4×4) et saisissez les coefficients dans la grille. Un déterminant n’est défini que pour une matrice carrée (lignes = colonnes).
Entrez les coefficients sous forme de nombres (décimaux et négatifs acceptés).
Résultat
Choisissez la taille de la matrice à gauche, saisissez les coefficients et appuyez sur « Calculer ». Le déterminant et les étapes s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule
-
Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Calculez tout de suite le déterminant \(\det(A)\) d’une matrice carrée 2×2, 3×3 ou 4×4
- Les étapes suivent les méthodes des manuels : « \(ad - bc\) » pour 2×2, la règle de Sarrus pour 3×3 et le développement par cofacteurs pour 4×4
- Le calculateur indique aussi si la matrice est inversible : si \(\det(A) \neq 0\), une inverse existe
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets (DETERMAT) et Python se trouvent aussi sur cette page
Un déterminant n’est défini que pour une matrice carrée (lignes = colonnes). La somme, le produit, la transposée des matrices, etc., se trouvent sur la page sœur « Calcul matriciel ».
À quoi sert ce calcul ?
Savoir si un système d’équations a une solution unique (règle de Cramer)
Pour un système d’équations linéaires avec autant d’équations que d’inconnues, si le déterminant de la matrice carrée des coefficients n’est pas nul, le système a une solution unique. Si le déterminant est nul, il n’a aucune solution ou en a une infinité.
Avec la règle de Cramer (le mathématicien suisse Gabriel Cramer), on peut même écrire la solution elle-même uniquement avec des quotients de déterminants. Cela fait partie de la théorie derrière les calculs d’ingénierie qui résolvent d’énormes systèmes, comme le calcul de structures ou l’analyse de circuits.
Savoir par combien une aire ou un volume est multiplié (facteur d’échelle d’une application linéaire)
Quand on transforme une figure plane avec une matrice 2×2 (rotation, étirement, écrasement ou cisaillement), son aire est multipliée exactement par \(|\det(A)|\). Pour un solide et une matrice 3×3, c’est le volume qui est multiplié par \(|\det(A)|\).
Ce rôle de facteur d’échelle du déterminant apparaît aussi en analyse, après le bac, comme facteur de correction lors d’un changement de variables dans une intégrale (le jacobien), et il sert dans toutes les sciences.
Repérer les figures « retournées » en infographie 3D et dans les jeux
Les logiciels 3D et les moteurs de jeu utilisent des matrices pour transformer les modèles. Si le déterminant d’une matrice de transformation est négatif, la transformation retourne le modèle comme dans un miroir, et l’avant et l’arrière de chaque face (le sens de sa normale) sont inversés.
Les logiciels vérifient donc le signe du déterminant pour détecter ce retournement et le corriger, afin que l’affichage ne soit pas faussé.
Trouver une aire à partir de coordonnées (topographie et cartes)
Si l’on connaît les coordonnées des sommets d’un triangle, son aire vaut la moitié de la valeur absolue d’un déterminant construit avec ces coordonnées. Étendue aux polygones, c’est la formule du lacet (ou formule de l’aire de Gauss), une méthode classique pour calculer la surface d’un terrain en topographie et dans les logiciels de cartographie (SIG).
Le secret derrière « on entre les coordonnées et on obtient l’aire », c’est justement le déterminant.
La porte d’entrée des valeurs propres (vibrations et analyse de données)
L’analyse vibratoire, qui étudie comment un bâtiment ou une machine a tendance à vibrer, et l’analyse en composantes principales, qui dégage les grandes tendances d’un gros jeu de données, utilisent toutes deux des valeurs associées à une matrice, les valeurs propres.
Les valeurs propres s’obtiennent avec l’équation « trouver \(\lambda\) tel que \(\det(A - \lambda I) = 0\) » (l’équation caractéristique). Le déterminant est aussi la porte d’entrée de cet outil plus avancé.
Formule
Déterminant 2×2 (ad − bc)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
\(=\)
\(ad\)
\(-\)
\(bc\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\det(A)\) : déterminant 2×2
\(=\)
①
\(ad\) : haut gauche × bas droite
\(-\)
②
\(bc\) : haut droite × bas gauche
La formule en mots
①
Du
\(ad\) : produit haut gauche × bas droite
,
②
on retire le
\(bc\) : produit haut droite × bas gauche
, et on obtient le
③
\(\det(A)\) : déterminant 2×2
Exemple simple
Le déterminant de la matrice \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) est
\(\det(A)\) : déterminant
\(=\)
haut gauche × bas droite (\(4 \times 6\))
\(-\)
haut droite × bas gauche (\(7 \times 2\))
\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
L’idée clé
La diagonale qui va d’en haut à gauche vers en bas à droite compte avec « + », et celle qui va d’en haut à droite vers en bas à gauche avec « − ». On multiplie simplement le long des deux diagonales et on soustrait : c’est le « produit en croix » qu’on retient facilement. C’est aussi le déterminant de deux vecteurs \(\det(\vec{u},\ \vec{v})\) vu en Seconde pour tester la colinéarité.
Le déterminant s’écrit \(|A|\) aussi bien que \(\det(A)\) (les barres ressemblent à celles de la valeur absolue, mais elles ont ici un autre rôle). Une matrice telle que \(\det(A) = 0\) est dite « non inversible » (singulière), et elle n’a pas d’inverse.
Déterminant 3×3 (règle de Sarrus)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(aei + bfg + cdh\)
\(-\)
\((ceg + afh + bdi)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\det(A)\) : déterminant 3×3
\(=\)
①
somme des produits sur les 3 diagonales descendantes
\(-\)
②
somme des produits sur les 3 diagonales montantes
La formule en mots
①
En notant les coefficients \(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\), on prend la
somme des produits sur les 3 diagonales descendantes (\(aei + bfg + cdh\))
,
②
on lui retire la
somme des produits sur les 3 diagonales montantes (\(ceg + afh + bdi\))
, et on obtient le
③
\(\det(A)\) : déterminant 3×3
Exemple simple
Le déterminant de \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) est
\(1 \times 3 \times 1 + 0 \times 1 \times 1 + 2 \times (-1) \times 1 = 3 + 0 - 2 = 1\)
\(2 \times 3 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 + 0 \times (-1) \times 1 = 6 + 1 + 0 = 7\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 7 = -6\)
L’idée clé
La règle de Sarrus est plus simple à appliquer si l’on recopie les colonnes 1 et 2 à droite de la matrice. On a alors 3 diagonales d’en haut à gauche vers en bas à droite (\(aei\), \(bfg\), \(cdh\), toutes avec « + ») et 3 diagonales d’en haut à droite vers en bas à gauche (\(ceg\), \(afh\), \(bdi\), toutes avec « − »), soit 6 produits en tout.
Attention : la règle de Sarrus ne marche que pour les matrices 3×3 (la formule 2×2 \(ad-bc\) repose sur la même idée de diagonales). Elle ne s’applique pas en 4×4 ou plus : on utilise alors le développement par cofacteurs ci-dessous.
Développement par cofacteurs (la méthode générale, aussi pour 4×4 et plus)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(\sum_{j=1}^{n}\)
\((-1)^{1+j}\)
\(a_{1j}\)
\(M_{1j}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(\det(A)\) : déterminant \(n\)×\(n\)
\(=\)
④
somme pour \(j\) allant de 1 à \(n\)
③
\((-1)^{1+j}\) : signe (alterné + − + − …)
①
\(a_{1j}\) : coefficient de la ligne 1, colonne \(j\)
②
\(M_{1j}\) : mineur sans la ligne 1 ni la colonne \(j\)
La formule en mots
①
On multiplie le
\(a_{1j}\) : coefficient de la ligne 1, colonne \(j\)
②
par le
\(M_{1j}\) : mineur, le déterminant qui reste quand on retire la ligne 1 et la colonne \(j\)
,
③
on affecte le
\((-1)^{1+j}\) : signe (alterné + − + − …)
,
④
puis on fait la
somme pour \(j\) allant de 1 à \(n\)
pour obtenir le
⑤
\(\det(A)\) : déterminant \(n\)×\(n\)
Exemple simple
En développant l’exemple 3×3 précédent selon la ligne 1, on obtient (le même résultat qu’avec la règle de Sarrus)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= 1 \times 2 - 0 \times (-2) + 2 \times (-4) = 2 - 0 - 8 = -6\)
L’idée clé
Le développement par cofacteurs (ou développement de Laplace) décompose un grand déterminant en une combinaison de déterminants d’une taille de moins (les mineurs). Un 4×4 devient quatre déterminants 3×3, et chaque 3×3 se calcule avec la règle de Sarrus (ou en développant à nouveau). C’est ainsi que ce calculateur présente les étapes pour les matrices 4×4.
Il n’est pas obligatoire de développer selon la ligne 1 : n’importe quelle ligne ou colonne donne le même résultat. Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0 fait disparaître ces termes et simplifie le calcul. Les signes \((-1)^{i+j}\) alternent + et − comme sur un échiquier, en commençant par « + » en haut à gauche.
Un déterminant est « un nombre unique associé à une matrice carrée ». On utilise \(ad - bc\) en 2×2, la règle de Sarrus en 3×3 et le développement par cofacteurs en 4×4 et au-delà. Savoir si \(\det(A) \neq 0\) indique si une inverse existe (c’est-à-dire si le système d’équations a une solution unique).
Symboles et termes
Symboles
| \(A\) | A | Le nom donné à une matrice. Par convention, on note les matrices avec des lettres majuscules. |
| \(\det(A),\ |A|\) | déterminant de A | Le déterminant de la matrice \(A\). L’écriture avec des barres verticales \(|A|\) est aussi courante (c’est le même symbole que la valeur absolue d’un nombre, mais autour d’une matrice il désigne le déterminant). |
| \(a_{ij}\) | a indice i j | Le coefficient de la matrice \(A\) situé ligne \(i\), colonne \(j\) (le nombre de la \(i\)-ième ligne en partant du haut et de la \(j\)-ième colonne en partant de la gauche). Les petites lettres en bas à droite (les indices) donnent sa place. |
| \(M_{ij}\) | M indice i j | Un mineur : le déterminant de la matrice d’une taille de moins obtenue en retirant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de la matrice \(A\). |
| \((-1)^{i+j}\) | moins 1 puissance i plus j | Le signe utilisé dans le développement par cofacteurs. Il vaut \(+1\) quand \(i+j\) est pair et \(-1\) quand il est impair : + et − alternent comme sur un échiquier, avec « + » en haut à gauche. |
| \(\sum\) | sigma (somme) | Le symbole qui veut dire « additionner le tout ». \(\sum_{j=1}^{n}\) demande d’additionner les termes pour chaque \(j\) de 1 à \(n\). |
Termes
| déterminant | Un nombre unique associé à une matrice carrée. Il résume en un seul nombre des informations clés sur la matrice (a-t-elle une inverse, par combien une transformation multiplie-t-elle les aires ou les volumes, etc.). |
| matrice carrée | Une matrice qui a autant de lignes que de colonnes (en forme de carré). Le déterminant et l’inverse n’existent que pour les matrices carrées. |
| règle de Sarrus | Une méthode pour calculer un déterminant 3×3 en additionnant et en soustrayant les produits le long de 6 diagonales. Elle porte le nom du mathématicien français Pierre Sarrus et ne fonctionne que pour les matrices 3×3. |
| développement par cofacteurs | Une méthode qui décompose un déterminant en une somme de « coefficient × mineur × signe », pour se ramener à des déterminants d’une taille de moins. On l’appelle aussi développement de Laplace, ou développement selon une ligne (ou une colonne) ; elle fonctionne pour les déterminants 4×4 et plus. |
| mineur | Le déterminant de la plus petite matrice obtenue en retirant une ligne et une colonne. C’est une brique du développement par cofacteurs. |
| cofacteur | Un mineur \(M_{ij}\) multiplié par le signe \((-1)^{i+j}\). Le « développement par cofacteurs » tire son nom de cette somme de cofacteurs. |
| matrice inversible | Une matrice carrée dont le déterminant n’est pas nul. Elle a une inverse. Une matrice de déterminant nul est dite singulière (non inversible) et n’a pas d’inverse. |
| matrice inverse | La matrice qui donne la matrice identité (des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs) quand on la multiplie. C’est la version matricielle de l’inverse d’un nombre, notée \(A^{-1}\). Elle n’existe que si le déterminant n’est pas nul. |
| algèbre linéaire | La branche des mathématiques qui étudie les matrices et les vecteurs. On l’étudie en première année après le bac (classes préparatoires, licence), et elle est à la base de l’infographie, des statistiques, de l’IA et de bien d’autres applications. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
| Opérations avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Calcul littéral et indices (de la 5e au lycée, 12-18 ans) |
|
| Puissances et signes (4e, 13-14 ans) |
|
| Les bases des matrices (Terminale option maths expertes, puis algèbre linéaire) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver un déterminant 2×2
| Ligne 1 de la matrice A | 4 | 7 |
| Ligne 2 de la matrice A | 2 | 6 |
| Déterminant det(A) | =DETERMAT(B1:C2) |
Tableau pour trouver un déterminant 3×3
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 0 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice A | -1 | 3 | 1 |
| Ligne 3 de la matrice A | 1 | 1 | 1 |
| Déterminant det(A) | =DETERMAT(B1:D3) |
Tableau pour trouver un déterminant 4×4
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 | 0 | 1 |
| Ligne 2 de la matrice A | 0 | 1 | 3 | 2 |
| Ligne 3 de la matrice A | 2 | 0 | 1 | 1 |
| Ligne 4 de la matrice A | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Déterminant det(A) | =DETERMAT(B1:E4) |
La fonction DETERMAT suffit pour trouver le déterminant. Donnez-lui simplement la plage de la matrice carrée (B1:C2 dans le premier tableau), et le résultat s’affiche dans une seule cellule.
Le premier tableau donne 10, le deuxième -6 et le troisième 18.
Quand DETERMAT renvoie 0, la matrice n’a pas d’inverse (la fonction INVERSEMAT, qui calcule l’inverse, renvoie une erreur).
Le premier tableau donne 10, le deuxième -6 et le troisième 18.
Quand DETERMAT renvoie 0, la matrice n’a pas d’inverse (la fonction INVERSEMAT, qui calcule l’inverse, renvoie une erreur).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver un déterminant 2×2
| Ligne 1 de la matrice A | 4 | 7 |
| Ligne 2 de la matrice A | 2 | 6 |
| Déterminant det(A) | =DETERMAT(B1:C2) |
Tableau pour trouver un déterminant 3×3
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 0 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice A | -1 | 3 | 1 |
| Ligne 3 de la matrice A | 1 | 1 | 1 |
| Déterminant det(A) | =DETERMAT(B1:D3) |
La même fonction DETERMAT qu’Excel fonctionne telle quelle dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau et collez-le en cellule A1.
Le premier tableau donne 10 et le deuxième -6.
Le premier tableau donne 10 et le deuxième -6.
Calculer avec Python
A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]]
def determinant(matrix): # développement par cofacteurs (calculé récursivement selon la ligne 1)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # sous-matrice sans la ligne 1 ni la colonne j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
print("det(A) =", determinant(A))
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. Remplacez A au début par votre propre matrice (n’importe quelle matrice carrée, même 4×4 ou plus) et lancez le programme. Cet exemple donne det(A) = -6. Pour du calcul numérique sérieux, on utilise en général NumPy, une bibliothèque faite pour les matrices (numpy.linalg.det(A)).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Déterminant 2×2 (ad − bc)
|A| = ad − bc
\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = |(a, b), (c, d)| = ad - bc
Det[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b], [c, d]]));
d = det(A);
det(A) = ad − bc
Déterminant 3×3 (règle de Sarrus)
|A| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>e</mi><mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mi>f</mi><mi>g</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>d</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi><mi>e</mi><mi>g</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi><mi>f</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>d</mi><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Det[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]));
d = det(A);
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
Développement par cofacteurs (la méthode générale, aussi pour 4×4 et plus)
det(A) = Σ (−1)¹⁺ʲ a₁ⱼ M₁ⱼ (j = 1 to n)
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow>
</msup>
<msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
<msub><mi>M</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
det(A) = sum_(j=1)^(n) (-1)^(1+j) a_(1j) M_(1j)
Det[A]
LinearAlgebra:-Determinant(A);
d = det(A);
det(A) = ∑_(j=1)^n (−1)^(1+j) a_1j M_1j
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul matriciel. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Trouve le déterminant (det) de chacune des deux matrices carrées suivantes (écrites ligne par ligne) : 1. A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Pour chacune, donne la valeur du déterminant et indique si la matrice est inversible (si le déterminant est non nul, c’est-à-dire si une inverse existe).
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul matriciel (somme, différence, produit, transposée, puissance)
Pour calculer avec les matrices elles-mêmes. Les bases (lignes, colonnes, coefficients) y sont aussi expliquées
Calcul de la matrice inverse (2×2, 3×3, 4×4)
La matrice inverse A⁻¹, qui n’existe que si det(A) ≠ 0, avec la vérification de son existence et les étapes
Aire d’un triangle à partir des trois côtés (formule de Héron)
L’aire d’un triangle à partir de ses trois côtés. Avec un déterminant, on peut aussi la trouver à partir des coordonnées des sommets
