Angle inscrit et angle au centre (théorème de l’angle inscrit, arcs, quadrilatère inscrit)

Choisissez un mode et saisissez l’angle (ou le rapport des longueurs d’arc).

Mode

Angle inscrit (en degrés)

Angle au centre (en degrés)

Rapport pour l’arc AB, m

Rapport pour l’arc CD, n

Angle inscrit sur l’arc AB (en degrés)

Un angle du quadrilatère ∠A (en degrés)

Entrez uniquement des nombres. Pour les angles et les rapports, les nombres décimaux et les fractions comme 250/7 sont acceptés.

Résultat et figure

Choisissez un mode à gauche, saisissez l’angle et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure du cercle s’affichent ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Avec le théorème de l’angle inscrit (un angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc), calculez aussitôt l’angle au centre à partir de l’angle inscrit (le double) ou l’angle inscrit à partir de l’angle au centre (la moitié). Les angles qui ne tombent pas juste, comme \(\dfrac{250}{7}^\circ\), sont donnés en valeur exacte (fraction) et en valeur décimale
Dans un même cercle, quand arc AB : arc CD \(= m : n\), les angles inscrits sont dans le même rapport (ils sont proportionnels à la longueur des arcs). Servez-vous-en pour trouver un angle inscrit à partir de l’autre
Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés ont pour somme \(180^\circ\). Servez-vous-en pour trouver l’angle opposé à partir d’un angle
Le résultat s’accompagne d’une figure du cercle : vous voyez où sont l’arc, l’angle au centre et l’angle inscrit, et vous vérifiez que les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux, d’où qu’on regarde (en mode rapport des arcs, seulement quand les deux arcs sont trop grands pour tenir dans un même cercle, la figure est omise et seuls les nombres s’affichent)
Les figures des formules expliquent pourquoi les théorèmes sont vrais, comme « un angle inscrit dans un demi-cercle est droit (\(90^\circ\)) »

Sur cette page, l’angle inscrit et l’angle au centre sont les angles qui interceptent un même arc (l’angle inscrit est strictement compris entre 0° et 180°, l’angle au centre strictement entre 0° et 360°).

À quoi sert ce calcul ?

Trouver la position d’un navire (navigation et hydrographie côtière)

Un navire près des côtes peut trouver sa position en mesurant l’angle sous lequel il voit deux amers à terre (des phares, par exemple). D’après la réciproque du théorème de l’angle inscrit, tous les points qui voient deux amers sous le même angle sont sur un même arc de cercle (l’« arc capable »). En mesurant les angles pour deux paires d’amers, le navire se trouve au seul point où les deux arcs se coupent (une méthode classique, tracée sur la carte avec un stigmographe, ou rapporteur à trois branches).
Elle est encore enseignée aux officiers de la marine marchande comme solution de secours quand le GPS ne fonctionne pas.

Savoir d’où il est le plus facile de tirer (football et basket)

Au football, l’angle sous lequel le tireur voit les deux poteaux indique la largeur apparente du but. D’après le théorème de l’angle inscrit, tous les endroits qui voient le but sous le même angle sont sur un même arc passant par les deux poteaux. En s’écartant du centre du but le long de cet arc, l’angle reste le même.
En analyse sportive, cet « angle de tir » sert réellement d’indicateur principal pour expliquer le taux de réussite des tirs.

Trouver le centre d’un objet rond (menuiserie, bricolage et usinage)

La réciproque de la propriété de l’angle inscrit dans un demi-cercle (si l’angle inscrit vaut 90°, la corde est un diamètre) permet de trouver facilement le centre d’une planche ronde ou d’un cylindre. Posez le coin d’une équerre de menuisier sur le bord du cercle : le segment qui relie les deux points où ses branches coupent le bord est un diamètre. Recommencez dans une autre direction, et le centre est le point où les deux diamètres se coupent.
L’équerre à centrer des menuisiers est ce théorème transformé en outil.

Concevoir la vue sur la scène depuis les places (théâtres et stades)

Plus l’angle sous lequel on voit les deux extrémités de la scène est grand, plus la scène paraît large. D’après le théorème de l’angle inscrit, les places qui voient la scène sous le même angle sont sur un même arc : disposer les rangées en arcs garde une vue semblable le long de chaque rangée.
Des théâtres en demi-cercle de la Grèce antique aux salles de concert modernes, les gradins en arc de cercle mettent cette propriété géométrique en pratique (dans la réalité, l’acoustique, les issues de secours et d’autres contraintes entrent aussi en jeu).

Formules et figures

Théorème de l’angle inscrit (l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(c\) \(\div\) \(2\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(x\) : angle inscrit qui intercepte l’arc AB \(=\) ① \(c\) : angle au centre qui intercepte le même arc \(\div\) ② \(2\) : pour prendre la moitié

La formule en mots

① Prenez \(c\) : angle au centre qui intercepte le même arc

② divisez-le par \(2\) : pour prendre la moitié

③ et vous obtenez \(x\) : angle inscrit qui intercepte l’arc AB

Exemple simple

Si l’angle au centre qui intercepte l’arc AB mesure \(100^\circ\), l’angle inscrit qui intercepte le même arc vaut

angle inscrit sur l’arc AB \(=\) angle au centre (\(100^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(100^\circ \div 2 = 50^\circ\)

L’idée clé

Elle marche aussi dans l’autre sens : « angle au centre \(c = \) angle inscrit \(x \times 2\) » (le mode « Angle inscrit → angle au centre » de ce calculateur). Pourquoi la moitié ? Appelons \(O\) le centre du cercle et \(P\) le point du cercle, et traçons la droite qui part de \(P\) et passe par \(O\). Comme \(OA = OP\) et \(OB = OP\) (ce sont des rayons), on obtient deux triangles isocèles. Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, et un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. L’angle au centre vaut donc exactement \(2\) fois l’angle inscrit. Le théorème reste vrai quand l’angle au centre dépasse \(180^\circ\) (quand l’arc est plus long qu’un demi-cercle). Par exemple, pour un angle au centre de \(240^\circ\), l’angle inscrit vaut \(120^\circ\).

Les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(\angle APB\) \(=\) \(\angle AQB\)

① \(\angle APB\) : angle inscrit vu du point \(P\) \(=\) ② \(\angle AQB\) : angle inscrit vu du point \(Q\)

La formule en mots

① Tant qu’ils interceptent le même arc AB, \(\angle APB\) : angle inscrit vu du point \(P\)

② est toujours égal à \(\angle AQB\) : angle inscrit vu du point \(Q\)

Exemple simple

Si l’angle inscrit qui intercepte l’arc AB mesure \(50^\circ\) au point \(P\), alors depuis n’importe quel point du cercle

angle inscrit vu de \(P\) \(=\) angle inscrit vu de \(Q\) (\(50^\circ\))

\(\angle APB = \angle AQB = 50^\circ\)

L’idée clé

La raison est simple : les deux angles inscrits valent la moitié du même angle au centre. L’arc AB n’a qu’un seul angle au centre, donc l’angle inscrit, qui en vaut la moitié, est le même d’où qu’on regarde. Mais ils ne sont égaux que si \(P\) et \(Q\) sont du même côté de l’arc AB (sur le cercle, mais pas sur l’arc AB). Si l’on place le point de l’autre côté (sur l’arc AB lui-même), l’angle devient \(180^\circ - x\). Cela mène à la dernière formule de cette page : « dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés ont pour somme \(180^\circ\) ».

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit (90°)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(\angle APB\) \(=\) \(90^\circ\)

① \(\angle APB\) : angle inscrit qui intercepte le diamètre [AB] \(=\) ② \(90^\circ\) : angle droit

La formule en mots

① Quand la corde [AB] est un diamètre (l’arc est un demi-cercle), \(\angle APB\) : angle inscrit qui intercepte le diamètre [AB]

② est toujours un \(90^\circ\) : angle droit

Exemple simple

L’angle au centre qui correspond à un diamètre est un angle plat, \(180^\circ\), donc l’angle inscrit en vaut la moitié

angle inscrit sur un diamètre \(=\) angle au centre (\(180^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(180^\circ \div 2 = 90^\circ\)

L’idée clé

C’est un cas particulier du théorème de l’angle inscrit, vu en France dès la 4e sous la forme « un triangle inscrit dans un cercle qui a pour côté un diamètre est rectangle ». Dans beaucoup de pays, on l’appelle « théorème de Thalès », mais en France ce nom désigne un autre théorème (celui des droites parallèles et des rapports de longueurs). La réciproque est vraie aussi : si \(\angle APB = 90^\circ\) en un point \(P\) du cercle, la corde [AB] est forcément un diamètre. Cette réciproque aide à trouver le centre d’un objet rond. Posez un angle droit (une équerre de menuisier, par exemple) contre le cercle pour marquer deux points A et B : [AB] est alors un diamètre, et le centre est le point où se coupent deux diamètres obtenus ainsi.

Les angles inscrits sont proportionnels à la longueur des arcs

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x_1 : x_2\) \(=\) \(m : n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(x_1 : x_2\) : rapport des angles inscrits \(=\) ① \(m : n\) : rapport des longueurs d’arc

La formule en mots

① Dans un même cercle (ou des cercles de même rayon), si l’on connaît le \(m : n\) : rapport des longueurs d’arc

② le \(x_1 : x_2\) : rapport des angles inscrits qui interceptent chaque arc est le même

Exemple simple

Si arc AB : arc CD \(= 2 : 3\) et que l’angle inscrit qui intercepte l’arc AB mesure \(30^\circ\), l’angle inscrit qui intercepte l’arc CD vaut

angle inscrit sur l’arc CD \(=\) angle inscrit sur l’arc AB (\(30^\circ\)) \(\times\) coefficient du rapport des arcs \(\dfrac{3}{2}\)

\(30^\circ \times \dfrac{3}{2} = 45^\circ\)

L’idée clé

Quand un arc devient 2 ou 3 fois plus long, son angle au centre devient aussi 2 ou 3 fois plus grand (la longueur de l’arc d’un secteur est proportionnelle à l’angle au centre). L’angle inscrit vaut la moitié de cet angle au centre, donc les angles inscrits sont eux aussi proportionnels à la longueur des arcs. Attention : la longueur de la corde n’est pas proportionnelle à l’angle inscrit. Par exemple, avec des angles inscrits de \(30^\circ\) et \(60^\circ\), les longueurs d’arc sont exactement dans le rapport \(1 : 2\), mais pas les cordes (une corde prend le raccourci en ligne droite, elle est donc plus courte que ne le voudrait la proportionnalité). Confondre « arc » et « corde » est un piège classique en contrôle.

Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés ont pour somme 180°

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\angle A\) \(+\) \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(\angle A\) : un angle \(+\) ② \(\angle C\) : l’angle opposé \(=\) ③ \(180^\circ\) : angle plat

La formule en mots

① Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, si l’on additionne \(\angle A\) : un angle

② et \(\angle C\) : l’angle opposé

③ on obtient toujours un \(180^\circ\) : angle plat

Exemple simple

Dans un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle, avec \(\angle A = 110^\circ\), l’angle opposé \(\angle C\) vaut

angle opposé \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) angle \(\angle A\) (\(110^\circ\))

\(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

L’idée clé

Cela découle aussi du théorème de l’angle inscrit. \(\angle A\) est l’angle inscrit qui intercepte l’arc BCD (du côté du sommet C), et \(\angle C\) celui qui intercepte l’arc DAB (du côté du sommet A). À eux deux, ces arcs font exactement un tour complet, donc leurs angles au centre ont pour somme \(360^\circ\). Chaque angle inscrit vaut la moitié de son angle au centre, donc les deux ont pour somme \(360^\circ \div 2 = 180^\circ\). On en déduit aussi qu’un angle extérieur d’un quadrilatère inscrit est égal à l’angle intérieur opposé. L’angle extérieur obtenu en prolongeant le côté [BC] vaut \(180^\circ - \angle C = \angle A\).

Le théorème de l’angle inscrit dit qu’« un angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc ». On en tire toute une série de propriétés des angles dans le cercle : « les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux », « un angle inscrit dans un demi-cercle est droit », « les angles inscrits sont proportionnels à la longueur des arcs » et « dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés ont pour somme \(180^\circ\) ».

Symboles et termes

Symboles

\(\angle\)	angle	Le symbole d’un angle. \(\angle APB\) est l’angle de sommet \(P\), formé par les deux segments qui vont de \(P\) à \(A\) et à \(B\). La lettre du milieu est le sommet. Les manuels français écrivent plutôt \(\widehat{APB}\) avec un chapeau : c’est le même angle.
\(\overset{\frown}{AB}\)	arc AB	Le symbole de l’arc AB, la partie du cercle entre deux de ses points \(A\) et \(B\). Le signe courbe au-dessus des lettres indique qu’il s’agit de l’arc courbe, et non du segment [AB].
\(x,\ c\)	x, c	Cette page note l’angle inscrit \(x\) et l’angle au centre \(c\). Appeler \(x\) un nombre inconnu est une habitude des manuels, et \(c\) est l’initiale de « centre ».
\(O\)	O	La lettre du centre du cercle. Elle viendrait de l’initiale de « origine ». L’angle au centre est l’angle de sommet \(O\).
\(P,\ Q\)	P, Q	Des lettres pour des points du cercle : \(P\) comme « point », puis la lettre suivante, \(Q\). L’angle inscrit est l’angle de sommet \(P\) ou \(Q\).
\(m : n\)	m est à n	Le rapport de deux grandeurs. Sur cette page, c’est le rapport des longueurs de l’arc AB et de l’arc CD. \(2 : 3\) signifie que l’arc CD est \(\dfrac{3}{2}\) fois plus long que l’arc AB.
\(^\circ\)	degré	Le symbole du degré, une unité d’angle. Un tour complet partagé en 360 parts égales donne \(1^\circ\). On dit que 360 a été choisi parce qu’il a beaucoup de diviseurs et se partage facilement.

Termes

angle inscrit	L’angle formé par deux cordes tracées d’un point du cercle vers les extrémités \(A\) et \(B\) d’un arc. On le nomme toujours avec l’arc qu’il intercepte : « l’angle inscrit qui intercepte l’arc AB ». Quel que soit l’endroit du cercle (hors de l’arc AB) où l’on place le sommet, sa mesure ne change pas.
angle au centre	L’angle formé par les deux rayons tracés du centre \(O\) vers les extrémités \(A\) et \(B\) d’un arc. Chaque arc n’a qu’un angle au centre, qui vaut exactement le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.
théorème de l’angle inscrit	Le théorème qui dit qu’« un angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc » et que « les angles inscrits qui interceptent le même arc sont tous égaux ». C’est le théorème central sur les angles dans le cercle ; sa démonstration utilise les triangles isocèles et l’angle extérieur d’un triangle.
arc	La partie d’un cercle comprise entre deux de ses points. Deux points partagent le cercle en deux arcs : le plus court est le petit arc, le plus long le grand arc. « L’arc AB » tout court désigne en général le plus court (le petit arc).
grand arc	Quand deux points partagent un cercle en deux, l’arc plus long qu’un demi-cercle. Son angle au centre dépasse \(180^\circ\). Le théorème de l’angle inscrit vaut pour les deux arcs.
petit arc	Quand deux points partagent un cercle en deux, l’arc plus court qu’un demi-cercle. Son angle au centre est inférieur à \(180^\circ\). Le théorème de l’angle inscrit vaut pour les deux arcs.
corde	Un segment qui relie deux points d’un cercle. L’arc est le chemin courbe le long du cercle, la corde le chemin droit le plus court entre les deux points. La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle inscrit, celle de la corde ne l’est pas.
diamètre	Une corde qui passe par le centre du cercle. C’est la plus longue des cordes, et elle mesure le double du rayon. L’arc qui correspond à un diamètre est exactement un demi-cercle, et l’angle inscrit correspondant vaut toujours \(90^\circ\) (angle inscrit dans un demi-cercle).
rayon	La distance (ou le segment) du centre d’un cercle à un point du cercle. Tous les rayons d’un même cercle sont égaux, et les triangles isocèles qui en résultent sont la clé de la démonstration du théorème de l’angle inscrit.
angle inscrit dans un demi-cercle	La propriété « un angle inscrit qui intercepte un diamètre vaut \(90^\circ\) ». C’est un cas particulier du théorème de l’angle inscrit (quand l’angle au centre vaut \(180^\circ\)), et sa réciproque (si l’angle inscrit vaut \(90^\circ\), la corde est un diamètre) est vraie aussi. Beaucoup de pays l’appellent « théorème de Thalès », mais en France ce nom désigne le théorème des droites parallèles et des rapports de longueurs.
quadrilatère inscrit	Un quadrilatère dont les quatre sommets sont sur un même cercle (on dit aussi quadrilatère inscriptible). « Inscrit » veut dire qu’il tient exactement dans le cercle. Ses angles opposés ont la propriété particulière d’avoir pour somme \(180^\circ\).
angles opposés	Les angles face à face dans un quadrilatère. Dans le quadrilatère ABCD, \(\angle A\) et \(\angle C\) forment une paire d’angles opposés, \(\angle B\) et \(\angle D\) l’autre.
triangle isocèle	Un triangle qui a deux côtés de même longueur. Ses deux angles à la base (les angles opposés aux côtés égaux) sont égaux. Il apparaît dans la démonstration du théorème de l’angle inscrit, parce que tous les rayons sont égaux.
proportionnel	Se dit de deux grandeurs telles que, quand l’une est multipliée par 2 ou 3, l’autre l’est aussi. La longueur de l’arc et l’angle au centre, comme la longueur de l’arc et l’angle inscrit, sont proportionnelles.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir aux notions de cette liste est le chemin le plus court.

Le vocabulaire du cercle (CE2-6e, 8-12 ans)	Connaître les mots centre, rayon, diamètre et périmètre, et savoir que tous les rayons d’un même cercle sont égaux Savoir distinguer un arc (une partie du cercle) d’une corde (un segment qui relie deux points du cercle)
Les angles et les tours (CM1-CM2, 9-11 ans)	Savoir qu’un tour complet fait \(360^\circ\), un demi-tour (un angle plat) \(180^\circ\) et un angle droit \(90^\circ\) Avoir une idée de la mesure d’un angle, comme avec un rapporteur
Le triangle isocèle (6e-5e, 11-13 ans)	Savoir que dans un triangle qui a deux côtés égaux, les angles à la base (les deux angles opposés aux côtés égaux) sont égaux Cela sert dans la démonstration du théorème de l’angle inscrit sous la forme « les rayons sont égaux, donc on obtient un triangle isocèle »
Les angles intérieurs et extérieurs d’un triangle (5e, 12-13 ans)	Savoir que la somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), et qu’un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents Cette propriété de l’angle extérieur est au cœur de la raison pour laquelle l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit
Les rapports et la proportionnalité (CM2-5e, 10-13 ans)	Savoir ce qu’est un rapport comme \(2 : 3\), et savoir appliquer un coefficient, comme dans \(30 \times \dfrac{3}{2}\) Avoir une idée de ce qu’est une relation proportionnelle : « quand l’une double, l’autre double aussi »
La division et les fractions (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir faire une division comme \(80 \div 2 = 40\), de tête ou en posant l’opération Savoir garder une réponse sous forme de fraction exacte comme \(\dfrac{250}{7}\) quand la division ne tombe pas juste

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau angle inscrit → angle au centre

Angle inscrit (en degrés)	50
Angle au centre (en degrés)	=B1*2

Tableau angle au centre → angle inscrit

Angle au centre (en degrés)	100
Angle inscrit (en degrés)	=B1/2

Tableau rapport des longueurs d’arc → angle inscrit

Rapport pour l’arc AB, m	2
Rapport pour l’arc CD, n	3
Angle inscrit sur l’arc AB (en degrés)	30
Angle inscrit sur l’arc CD (en degrés)	=B3*B2/B1

Tableau des angles opposés d’un quadrilatère inscrit

Angle du quadrilatère ∠A (en degrés)	110
Angle opposé ∠C (en degrés)	=180-B1

Une fois le tableau collé, les premières lignes sont vos données et la dernière se calcule toute seule.
« * » est la multiplication et « / » la division.
Le premier tableau calcule l’angle au centre à partir d’un angle inscrit de 50° : on trouve 100. Le deuxième fait l’inverse et retrouve l’angle inscrit 50 à partir d’un angle au centre de 100°.
Le troisième tableau correspond à arc AB : arc CD = 2 : 3 avec un angle inscrit de 30° sur l’arc AB. Les angles inscrits sont proportionnels à la longueur des arcs, donc la réponse est 30 × 3 ÷ 2 = 45.
Le quatrième tableau concerne un quadrilatère inscrit dans un cercle : entrez 110 pour ∠A, et l’angle opposé ∠C vaut 70.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau angle inscrit → angle au centre

Angle inscrit (en degrés)	50
Angle au centre (en degrés)	=B1*2

Tableau angle au centre → angle inscrit

Angle au centre (en degrés)	100
Angle inscrit (en degrés)	=B1/2

Tableau rapport des longueurs d’arc → angle inscrit

Rapport pour l’arc AB, m	2
Rapport pour l’arc CD, n	3
Angle inscrit sur l’arc AB (en degrés)	30
Angle inscrit sur l’arc CD (en degrés)	=B3*B2/B1

Tableau des angles opposés d’un quadrilatère inscrit

Angle du quadrilatère ∠A (en degrés)	110
Angle opposé ∠C (en degrés)	=180-B1

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les angles et les rapports par vos propres valeurs.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction

# Angle inscrit -> angle au centre (l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit)
inscribed_angle = Fraction(250, 7)   # une fraction comme 250/7 degrés s’écrit telle quelle
central_angle = inscribed_angle * 2
print(f"Angle inscrit {inscribed_angle}° -> angle au centre {central_angle}° ≈ {float(central_angle):.2f}°")

# Angle au centre -> angle inscrit (l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre)
central_angle = Fraction(100)
inscribed_angle = central_angle / 2
print(f"Angle au centre {central_angle}° -> angle inscrit {inscribed_angle}°")

# Rapport des arcs -> angle inscrit (les angles inscrits sont proportionnels à la longueur des arcs)
arc_ab, arc_cd = Fraction(2), Fraction(3)   # arc AB : arc CD = 2 : 3
angle_ab = Fraction(30)                     # angle inscrit sur l’arc AB
angle_cd = angle_ab * arc_cd / arc_ab
print(f"Rapport des arcs {arc_ab}:{arc_cd}, angle inscrit {angle_ab}° -> autre angle inscrit {angle_cd}°")

# Angles opposés d’un quadrilatère inscrit dans un cercle (leur somme vaut 180 degrés)
angle_a = Fraction(110)
angle_c = 180 - angle_a
print(f"∠A = {angle_a}° -> angle opposé ∠C = {angle_c}°")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, les angles qui ne tombent pas juste, comme 250/7°, restent des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. À l’exécution, vous obtenez d’abord l’angle au centre « 500/7° ≈ 71,43° », puis l’angle inscrit 50°, puis l’angle inscrit 45° sur l’arc CD, et enfin l’angle opposé 70°. Changez les nombres et relancez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Théorème de l’angle inscrit (l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre)

x = c / 2

x = \frac{c}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>c</mi>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = c/2

x = c/2

x := c/2;

x = c/2;

x = c/2

Les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux

∠APB = ∠AQB

\angle APB = \angle AQB

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>Q</mi><mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

/_ APB = /_ AQB

angleAPB == angleAQB

angleAPB = angleAQB;

angleAPB == angleAQB

∠APB = ∠AQB

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit (90°)

∠APB = 90°

\angle APB = 90^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>90</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ APB = 90^circ

angleAPB == 90 Degree

angleAPB = 90;

angleAPB = 90;

∠APB = 90°

Les angles inscrits sont proportionnels à la longueur des arcs

x₁ : x₂ = m : n

x_1 : x_2 = m : n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>:</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>:</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

x_1 : x_2 = m : n

x1/x2 == m/n

x1/x2 = m/n;

x1/x2 == m/n

x_1 : x_2 = m : n

Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, les angles opposés ont pour somme 180°

∠A + ∠C = 180°

\angle A + \angle C = 180^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ A + /_ C = 180^circ

angleA + angleC == 180 Degree

angleA + angleC = 180;

angleA + angleC == 180

∠A + ∠C = 180°

Faire faire le calcul par ChatGPT

Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques (géométrie plane, propriétés du cercle). Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé).

Avec le théorème de l’angle inscrit (un angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc), donnez :
1. L’angle au centre quand l’angle inscrit vaut 250/7° (en fraction irréductible et en valeur décimale)
2. L’angle inscrit quand l’angle au centre vaut 100°
3. Dans un même cercle, avec arc AB : arc CD = 2 : 3 et un angle inscrit de 30° sur l’arc AB, l’angle inscrit sur l’arc CD (en utilisant le fait que les angles inscrits sont proportionnels à la longueur des arcs)
4. Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle avec ∠A = 110°, l’angle opposé ∠C (en utilisant le fait que les angles opposés ont pour somme 180°)

En Python, utilisez le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte, et montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule