Entrez les longueurs des trois côtés du triangle. Même sans la hauteur, la formule de Héron donne l’aire. Le demi-périmètre s s’affiche aussi.
Entrez les trois côtés dans la même unité (par exemple tous en cm). L’aire est donnée dans cette unité au carré (cm² pour des cm). La somme de deux côtés quelconques doit être plus grande que le troisième, sinon aucun triangle n’est possible.
Résultat et figure
Saisissez les longueurs des trois côtés du triangle dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez les longueurs des trois côtés d’un triangle et obtenez son aire aussitôt (inutile de mesurer la hauteur)
- Le calcul utilise la formule de Héron \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) et affiche aussi le demi-périmètre \(s\) calculé en chemin
- Présente aussi la formule bien connue « base × hauteur ÷ 2 » et l’aire d’un triangle équilatéral, \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), avec des explications simples
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez les trois côtés dans la même unité (par exemple tous en cm). L’aire est donnée dans cette unité au carré (cm² pour des cm). Si les trois côtés ne respectent pas l’inégalité triangulaire (« la somme de deux côtés quelconques est plus grande que le troisième »), aucun triangle n’est possible et l’aire ne peut pas être calculée.
À quoi sert ce calcul ?
Mesurer la surface d’un terrain (topographie et immobilier)
Découper un terrain en triangles et additionner leurs aires est depuis longtemps une méthode de base pour mesurer une surface. Quand la hauteur de chaque triangle est difficile à mesurer sur place, on mesure les trois côtés et on applique la formule de Héron.
Par exemple, un terrain triangulaire de 30 m, 45 m et 50 m de côté a une surface d’environ 666,6 m². Pouvoir vérifier soi-même qu’une surface annoncée ou portée sur un plan est cohérente est rassurant quand on achète un terrain, l’un des plus gros achats d’une vie.
Estimer la peinture et les matériaux d’un pignon ou d’un toit (construction et bricolage)
Les bâtiments ont beaucoup de surfaces triangulaires, comme le pignon d’une maison (le triangle sous un toit à deux pentes) ou les bords de toits en pente. Un pignon triangulaire de base 8 m et de hauteur 3 m mesure \(8 \times 3 \div 2 = 12\) m².
Les pots de peinture indiquent leur rendement (souvent environ 10 m² par litre et par couche) : une fois l’aire connue, vous estimez vous-même le nombre de pots et le budget.
Estimer le tissu pour la couture et les loisirs créatifs
La couture et les loisirs créatifs utilisent souvent des pièces triangulaires, comme les fanions d’une guirlande ou les morceaux d’un patchwork. Un fanion de base 20 cm et de hauteur 30 cm a une aire de \(20 \times 30 \div 2 = 300\) cm².
En additionnant l’aire de toutes les pièces nécessaires, vous savez combien de tissu acheter sans gaspiller.
Les images 3D et les jeux vidéo sont faits de triangles
Les modèles 3D des jeux vidéo et des films sont faits d’un nombre énorme de petits triangles (des polygones). Même le visage d’un personnage qui paraît bien arrondi n’est, de près, qu’un assemblage de triangles.
Pour un ordinateur, la formule de Héron, qui donne l’aire à partir des distances entre trois sommets (les trois côtés), est pratique, et elle sert toujours de brique de base dans les programmes de traitement géométrique. C’est un des outils mathématiques des programmeurs de jeux et des graphistes 3D.
Formules et figures
La formule de Héron (l’aire à partir des trois côtés)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(s\)
\(=\)
\((a+b+c)\)
\(\div\)
\(2\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(s\) : demi-périmètre
\(=\)
①
\((a+b+c)\) : somme des trois côtés
\(\div\)
②
2 (pour prendre la moitié)
⑤
\(S\) : aire du triangle
\(=\)
④
racine carrée du produit de \(s\), \(s-a\), \(s-b\) et \(s-c\)
La formule en mots
①
On divise la
somme des trois côtés \((a+b+c)\)
②
par
2 (pour prendre la moitié)
③
pour obtenir le
demi-périmètre \(s\)
④
Puis on prend la
racine carrée du produit des quatre nombres \(s\), \(s-a\), \(s-b\) et \(s-c\)
⑤
et on obtient l’
aire du triangle \(S\)
Exemple simple
Pour un triangle de côtés 3 m, 4 m et 5 m, on calcule d’abord le demi-périmètre, puis
demi-périmètre \(s\)
\(=\)
somme des trois côtés (3 + 4 + 5)
\(\div\)
2
aire du triangle \(S\)
\(=\)
\(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
\(s = (3 + 4 + 5) \div 2 = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
L’idée clé
Le grand intérêt de la formule de Héron, c’est qu’elle donne l’aire à partir des trois côtés seulement, sans mesurer la hauteur. Elle porte le nom de Héron d’Alexandrie, un mathématicien du Ier siècle environ. En France, elle n’est pas au programme obligatoire, mais on la rencontre souvent en exercice au lycée.
Quand les trois côtés ne peuvent pas former un triangle (quand ils ne respectent pas l’inégalité triangulaire de la formule 4), le nombre sous la racine carrée vaut 0 ou moins, et aucune aire n’est calculable. La formule elle-même indique si les trois côtés forment un triangle.
Base × hauteur ÷ 2 (la formule de base vue au collège)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(S\) : aire du triangle
\(=\)
①
\(b\) : base
\(\times\)
②
\(h\) : hauteur
\(\div\)
③
2 (pour prendre la moitié)
La formule en mots
①
On multiplie la
base \(b\)
②
par la
hauteur \(h\)
③
on divise par
2 (pour prendre la moitié)
④
et on obtient l’
aire du triangle \(S\)
Exemple simple
L’aire d’un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm vaut
aire du triangle \(S\)
\(=\)
base (6 cm)
\(\times\)
hauteur (4 cm)
\(\div\)
2
\(6 \times 4 \div 2 = 12\)
L’idée clé
Pourquoi diviser par 2 ? Prenez une deuxième copie du même triangle, retournez-la et accolez-la : vous obtenez un parallélogramme d’aire exactement « base × hauteur ». Le triangle en est la moitié, d’où la division par 2. N’importe quel côté peut servir de base. La hauteur est la distance du sommet opposé à la base (ou à son prolongement), mesurée perpendiculairement.
Quand on connaît la hauteur, cette formule est la plus rapide. Par exemple, le triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle : avec la base 3 et la hauteur 4, \(3 \times 4 \div 2 = 6\). C’est bien l’aire 6 trouvée avec la formule de Héron.
Aire d’un triangle équilatéral (à partir d’un seul côté)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\times\)
\(a^2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(S\) : aire du triangle équilatéral
\(=\)
②
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) : constante (environ 0,433)
\(\times\)
①
\(a^2\) : carré de la longueur du côté \(a\)
La formule en mots
①
On multiplie le
carré de la longueur du côté \(a\)
②
par la
constante \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) (environ 0,433)
③
et on obtient l’
aire du triangle équilatéral \(S\)
Exemple simple
L’aire d’un triangle équilatéral de 10 cm de côté vaut
aire du triangle équilatéral \(S\)
\(=\)
constante (environ 0,433)
\(\times\)
côté au carré (10 × 10 = 100)
\(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2} \approx 0{,}433 \times 100 = 43{,}3\)
L’idée clé
Les trois côtés d’un triangle équilatéral sont égaux : en remplaçant \(a = b = c\) dans la formule de Héron, on la simplifie jusqu’à cette forme (\(s = \frac{3a}{2}\) et \(s - a = \frac{a}{2}\), donc \(S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times (\frac{a}{2})^3} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)).
Comme \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\), on a \(\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}433\). Retenez « environ 43 % du côté au carré » et vous pourrez faire des estimations de tête.
L’inégalité triangulaire (les trois côtés forment-ils un triangle ?)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a + b\)
\(>\)
\(c\)
\(b + c\)
\(>\)
\(a\)
\(c + a\)
\(>\)
\(b\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(a + b\) : somme des côtés \(a\) et \(b\)
\(>\)
②
\(c\) : le côté restant
\(b + c\) : somme des côtés \(b\) et \(c\)
\(>\)
\(a\) : le côté restant
\(c + a\) : somme des côtés \(c\) et \(a\)
\(>\)
\(b\) : le côté restant
La formule en mots
①
C’est seulement si la
somme de deux côtés
②
est plus grande que le
côté restant
pour les trois combinaisons que les trois côtés forment un triangle
Exemple simple
Avec des côtés 1, 2 et 10, les deux petits côtés réunis (1 + 2 = 3) n’arrivent pas à couvrir le plus long, 10 : aucun triangle n’est possible
somme de deux côtés (1 + 2 = 3)
\(<\)
côté restant (10)
\(1 + 2 = 3 < 10\)
L’idée clé
Cela ne marche pas non plus quand la somme de deux côtés est exactement égale au troisième (par exemple 1, 2, 3). Les trois côtés s’aplatissent sur une même droite (aire 0), ce qui ne compte pas comme un triangle. Ce calculateur traite aussi le cas d’égalité comme une erreur.
Le lien avec la formule de Héron est élégant : quand l’inégalité triangulaire n’est pas respectée, le nombre sous la racine carrée, \(s(s-a)(s-b)(s-c)\), vaut 0 ou moins, et aucune aire n’est calculable.
Si vous ne connaissez que les trois côtés, calculez le demi-périmètre s et appliquez la formule de Héron. Si vous connaissez la hauteur, utilisez base × hauteur ÷ 2. Les deux chemins mènent à la même aire. Avant de calculer, vérifiez simplement que les trois côtés forment bien un triangle (l’inégalité triangulaire).
Symboles et termes
Symboles
| \(a\), \(b\), \(c\) | a, b, c | Les longueurs des trois côtés du triangle. Utilisez la même unité pour les trois (si l’un est en cm, tous sont en cm). |
| \(s\) | s (minuscule) | Le demi-périmètre, la moitié de la somme des trois côtés (le périmètre) : \(s = (a+b+c) \div 2\). C’est une étape de la formule de Héron. |
| \(S\) | S (majuscule) | L’aire du triangle que l’on cherche (les manuels français la notent souvent \(\mathcal{A}\)). Attention, ce n’est pas la même chose que le \(s\) minuscule (le demi-périmètre). |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | racine carrée (radical) | Le symbole de la racine carrée, le nombre dont le carré redonne le nombre de départ. Exemple : \(\sqrt{36} = 6\) (6 au carré fait 36). |
| \(b\), \(h\) (dans la formule 2) | b, h | Dans la formule « base × hauteur ÷ 2 », \(b\) désigne la base et \(h\) la hauteur. Attention, ce \(b\) n’a pas le même sens que le côté \(b\) de la formule de Héron. |
Termes
| formule de Héron | Une formule qui donne l’aire d’un triangle à partir des trois côtés seulement. Elle porte le nom de Héron d’Alexandrie, un mathématicien du Ier siècle environ. |
| demi-périmètre | La moitié du périmètre (la somme des trois côtés). On l’utilise en chemin dans la formule de Héron, et son symbole est le \(s\) minuscule. |
| inégalité triangulaire | La condition pour que trois longueurs forment un triangle - la somme de deux côtés quelconques doit être plus grande que le troisième. Si deux côtés font exactement le troisième, la figure s’aplatit sur une droite et ce n’est pas un triangle. On l’étudie en 5e (12-13 ans). |
| base | Le côté choisi comme référence pour calculer l’aire. On peut choisir n’importe quel côté, et la hauteur dépend de la base choisie. |
| hauteur | La longueur du segment perpendiculaire mené du sommet opposé à la base jusqu’à la base (ou à son prolongement). Elle change selon le côté choisi comme base. |
| triangle équilatéral | Un triangle dont les trois côtés sont égaux. La longueur du côté \(a\) suffit à fixer l’aire : \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). |
| racine carrée | Le nombre positif dont le carré redonne le nombre de départ. Le symbole est \(\sqrt{\phantom{a}}\) (le radical). Exemple : \(\sqrt{144} = 12\). On l’étudie en 4e (13-14 ans). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| L’aire d’un triangle (6e-5e, 11-13 ans) |
|
| L’inégalité triangulaire (5e, 12-13 ans) |
|
| Le calcul littéral et la substitution (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| La racine carrée (4e-3e, 13-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver l’aire avec la formule de Héron
| Côté a | 3 |
| Côté b | 4 |
| Côté c | 5 |
| Demi-périmètre s | =(B1+B2+B3)/2 |
| Aire du triangle S | =RACINE(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
Tableau pour trouver l’aire avec base × hauteur ÷ 2
| Base | 6 |
| Hauteur | 4 |
| Aire du triangle S | =B1*B2/2 |
Tableau pour trouver l’aire d’un triangle équilatéral
| Longueur du côté a | 10 |
| Aire du triangle équilatéral S | =RACINE(3)/4*B1^2 |
Dans le premier tableau, B1 à B3 reçoivent les trois côtés, et B4 (le demi-périmètre) et B5 (l’aire) se calculent automatiquement. « RACINE » est la fonction racine carrée (√) d’Excel, et « ^2 » veut dire au carré.
Par exemple, le premier tableau affiche 6 en B4 et 6 en B5 (un triangle de côtés 3, 4 et 5 a une aire de 6). Le deuxième affiche 12 en B3, et le troisième environ 43,3 en B2. Il suffit de remplacer les nombres par ceux de votre triangle.
Par exemple, le premier tableau affiche 6 en B4 et 6 en B5 (un triangle de côtés 3, 4 et 5 a une aire de 6). Le deuxième affiche 12 en B3, et le troisième environ 43,3 en B2. Il suffit de remplacer les nombres par ceux de votre triangle.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver l’aire avec la formule de Héron
| Côté a | 3 |
| Côté b | 4 |
| Côté c | 5 |
| Demi-périmètre s | =(B1+B2+B3)/2 |
| Aire du triangle S | =RACINE(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
Tableau pour trouver l’aire avec base × hauteur ÷ 2
| Base | 6 |
| Hauteur | 4 |
| Aire du triangle S | =B1*B2/2 |
Tableau pour trouver l’aire d’un triangle équilatéral
| Longueur du côté a | 10 |
| Aire du triangle équilatéral S | =RACINE(3)/4*B1^2 |
Les mêmes formules et la même fonction (RACINE) qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par ceux de votre triangle.
Calculer avec Python
import math
edge_a = 3.0 # longueur du côté a
edge_b = 4.0 # longueur du côté b
edge_c = 5.0 # longueur du côté c
# On vérifie d’abord l’inégalité triangulaire (la somme de deux côtés est plus grande que le troisième)
if edge_a + edge_b > edge_c and edge_b + edge_c > edge_a and edge_c + edge_a > edge_b:
half_perimeter = (edge_a + edge_b + edge_c) / 2 # demi-périmètre s
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - edge_a)
* (half_perimeter - edge_b) * (half_perimeter - edge_c))
print(f"Demi-périmètre s : {half_perimeter}")
print(f"Aire du triangle S : {area}")
else:
print("Ces trois côtés ne peuvent pas former un triangle")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard math. math.sqrt(...) calcule la racine carrée (√). Remplacez les trois longueurs du début par vos valeurs, puis exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
La formule de Héron (l’aire à partir des trois côtés)
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) / 2
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</msqrt>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2
s = (a + b + c)/2; Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)]
s := (a + b + c)/2; S := sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
s = (a + b + c)/2; S = sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c)/2
Base × hauteur ÷ 2 (la formule de base vue au collège)
S = b × h ÷ 2
S = \dfrac{1}{2} b h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 b h
b*h/2
S := b*h/2;
S = b*h/2;
S = bh/2
Aire d’un triangle équilatéral (à partir d’un seul côté)
S = (√3 / 4) × a²
S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = (sqrt(3)/4) a^2
Sqrt[3]/4*a^2
S := sqrt(3)/4*a^2;
S = sqrt(3)/4*a^2;
S = (√3/4)a^2
L’inégalité triangulaire (les trois côtés forment-ils un triangle ?)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>></mo><mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>></mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c && b + c > a && c + a > b
is(a + b > c and b + c > a and c + a > b);
(a + b > c) && (b + c > a) && (c + a > b)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en géométrie. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Les trois côtés d’un triangle mesurent 7,5 m, 10,2 m et 12,3 m. 1. Vérifie que ces trois côtés peuvent former un triangle (inégalité triangulaire). 2. Calcule le demi-périmètre s = (a + b + c) ÷ 2. 3. Calcule l’aire du triangle avec la formule de Héron S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
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Aucune compétence requise – simple et intuitif
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