Estimer une population par échantillonnage (capture-recapture)

Choisissez le mode selon ce que vous cherchez, puis entrez les résultats de votre enquête. « Capture-recapture » estime le nombre total, comme les poissons d’un étang. « Effectif dans une population » estime combien d’éléments du total remplissent une condition (le nombre total de pièces défectueuses, par exemple).

Que voulez-vous estimer ?

Marqués au départ

2e capture

Marqués à la 2e capture

Taille de la population

Taille de l’échantillon

Concernés dans l’échantillon

Entrez des nombres entiers. Le résultat d’un sondage est une estimation : on affiche à la fois la valeur exacte de la division (une fraction) et une valeur arrondie « environ … ».

Résultat et graphique

Saisissez les résultats de votre enquête dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». L’estimation et un diagramme en bandes s’affichent ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et diagramme
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Estimez le nombre total d’un groupe impossible à compter un par un, comme les poissons d’un étang, avec la méthode de capture-recapture (on marque des individus, on les relâche, on en capture un second groupe et on regarde la part d’individus marqués)
Quand vous connaissez la taille de toute la population (par exemple 3 000 produits), estimez combien d’éléments remplissent une condition (le nombre total de pièces défectueuses) à partir d’un échantillon tiré au hasard (par exemple 2 défectueuses sur 100)
Les étapes passent par une proportion, comme au collège (le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, c’est-à-dire l’égalité des produits en croix). Le résultat s’affiche en valeur exacte de la division (une fraction) et en valeur arrondie « environ … »
Un diagramme en bandes permet de comparer la part dans l’échantillon et la part dans la population, et de voir qu’elles sont les mêmes

Une estimation par échantillon suppose que l’échantillon a été choisi sans biais, comme par tirage au sort (échantillonnage aléatoire). Le résultat n’est qu’une estimation et diffère un peu du vrai nombre.

À quoi sert ce calcul ?

Compter les poissons et la faune sauvage (écologie et protection de la nature)

Pour compter des animaux qu’on ne peut pas tous dénombrer, comme les poissons d’un étang, les cerfs d’une forêt ou les poissons invasifs d’un lac, les scientifiques utilisent réellement la méthode de capture-recapture de cette page. En gestion de la pêche et en lutte contre les espèces invasives, l’estimation de la population est la donnée de base pour fixer les quotas de pêche ou l’ampleur des actions.
La méthode suppose que les marques ne tombent pas, que peu d’animaux arrivent ou partent (naissances, morts, déplacements) pendant l’étude, et que les animaux marqués se mélangent bien aux autres. Les vraies études choisissent soigneusement le moment et la méthode pour s’approcher de ces conditions.

Contrôle par prélèvement en usine (qualité)

Les contrôles qui détruisent le produit ou le rendent invendable, comme les tests de durée de vie des piles ou la vérification du contenu des conserves, ne peuvent pas se faire sur toutes les pièces. On contrôle alors un échantillon tiré au hasard, et on estime le nombre total de pièces défectueuses à partir de la part de défectueuses dans l’échantillon.
Estimer « environ 60 au total » à partir de 2 défectueuses sur un échantillon de 100 est l’un des outils les plus basiques du contrôle qualité.

Sondages d’opinion et audiences télé (enquêtes sociales)

Les sondages comme la cote de popularité de l’exécutif n’interrogent pas tous les électeurs du pays. Ils estiment la part pour l’ensemble à partir d’un échantillon d’un millier à quelques milliers de personnes. Les audiences de la télévision sont elles aussi des parts pour tout le public, estimées à partir d’un échantillon de foyers.
La force de l’échantillonnage, c’est que tant que l’échantillon est bien choisi, même un petit échantillon permet d’estimer l’ensemble assez précisément (l’ampleur de l’erreur dépend de la taille de l’échantillon). En France, les instituts utilisent souvent la méthode des quotas et des redressements pour éviter les biais par région ou par âge, mais la base reste cette idée : estimer le tout à partir de la part dans un échantillon.

Les estimations du soir des élections

À 20 h, alors que très peu de bulletins ont été dépouillés dans le pays, les chaînes de télévision annoncent déjà une estimation des résultats. Les instituts de sondage estiment la part de voix de chaque candidat à partir d’un échantillon de bureaux de vote dont le dépouillement est terminé.
Appliquer à l’ensemble la part observée dans un échantillon, c’est la même idée que la proportion de cette page. Pour annoncer un résultat, les instituts combinent aussi les données des élections passées et la théorie statistique, et tranchent avec prudence.

Formules et diagramme

Capture-recapture (estimer le total)

Diagramme en bandes

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(x\) : total dans l’étang \(=\) ① \(m\) : nombre de marqués \(\times\) ② \(n\) : nombre à la 2e capture \(\div\) ③ \(k\) : marqués à la 2e capture

La formule en mots

① On prend le \(m\) : nombre capturés au départ et marqués

② on le multiplie par le \(n\) : nombre à la 2e capture

③ on divise par le \(k\) : nombre de marqués à la 2e capture

④ et on obtient une estimation du \(x\) : total dans l’étang

Exemple simple

Si l’on marque 50 poissons, qu’on les remet dans l’étang, puis qu’on en capture plus tard 30 dont 6 sont marqués, le nombre total de poissons dans l’étang est

\(x\) : total dans l’étang \(=\) nombre de marqués (50 poissons) \(\times\) nombre à la 2e capture (30 poissons) \(\div\) dont marqués (6 poissons)

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

L’idée clé

Cette formule marche parce qu’on peut supposer que « la part de poissons marqués dans tout l’étang » et « la part de poissons marqués dans la 2e capture » sont à peu près les mêmes. Si les poissons marqués se mélangent uniformément dans l’étang, le mélange doit être à peu près le même partout où l’on pêche. On note donc \(x\) le total dans l’étang, on écrit la proportion \(x : m = n : k\) (total : marqués), soit \(\dfrac{x}{m} = \dfrac{n}{k}\), et on la résout avec l’égalité des produits en croix (carte suivante). On retrouve cette formule. Le résultat n’est qu’une estimation. En comptant tous les poissons, on pourrait trouver un autre nombre, mais tout l’intérêt de la méthode est d’avoir une bonne idée du total sans vider l’étang.

Propriété des proportions (produit des extrêmes = produit des moyens)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

extrême \(a\) \(:\) moyen \(b\) \(=\) moyen \(c\) \(:\) extrême \(d\)

① produit des moyens \(b \times c\) \(=\) ② produit des extrêmes \(a \times d\)

La formule en mots

① Quand une proportion est vraie, les deux termes du milieu (\(b\) et \(c\)) multipliés entre eux, le produit des moyens \(b \times c\) ,

② et les deux termes des bouts (\(a\) et \(d\)) multipliés entre eux, le produit des extrêmes \(a \times d\) , sont toujours égaux

Exemple simple

En résolvant la proportion \(x : 50 = 30 : 6\) de l’exemple de l’étang, on obtient

produit des moyens \(50 \times 30\) \(=\) produit des extrêmes \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

L’idée clé

La proportion \(a : b = c : d\) dit que « le rapport de \(a\) à \(b\) est égal au rapport de \(c\) à \(d\) ». Sous forme de fractions, c’est la même chose que \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). En multipliant les deux membres par \(b \times d\), les dénominateurs disparaissent et on obtient \(a \times d = b \times c\) : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Sous forme de fractions, c’est l’égalité des produits en croix que l’on apprend au collège. Quand une proportion ne contient qu’un seul nombre inconnu \(x\), cette propriété la transforme en équation en \(x\) que l’on sait résoudre. L’estimation par échantillon est une application de cette propriété.

Estimer un effectif dans une population

Diagramme en bandes

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(x\) : effectif concerné dans la population \(=\) ① \(N\) : taille de la population \(\times\) ② \(k\) : concernés dans l’échantillon \(\div\) ③ \(n\) : taille de l’échantillon

La formule en mots

① On prend la \(N\) : taille de la population

② on la multiplie par le \(k\) : nombre de concernés dans l’échantillon

③ on divise par la \(n\) : taille de l’échantillon prélevé

④ et on obtient une estimation de l’\(x\) : effectif concerné dans la population

Exemple simple

Si l’on prélève au hasard 100 produits sur 3 000, qu’on les contrôle et qu’on en trouve 2 défectueux, le nombre total de pièces défectueuses est

\(x\) : total de pièces défectueuses \(=\) taille de la population (3 000) \(\times\) défectueuses dans l’échantillon (2) \(\div\) taille de l’échantillon (100)

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

L’idée clé

L’idée est la même que pour la capture-recapture : on considère que « la part concernée dans la population » et « la part concernée dans l’échantillon » sont à peu près les mêmes. On peut aussi y voir la population entière \(N\) multipliée par \(\dfrac{k}{n}\) (la part dans l’échantillon). On note \(x\) l’effectif concerné, on écrit la proportion \(N : x = n : k\) (total : concernés) et on la résout avec l’égalité des produits en croix. On retrouve cette formule. Cette estimation ne marche que si l’échantillon est choisi sans biais, comme par tirage au sort (échantillonnage aléatoire). Par exemple, si une usine ne contrôle que « les 100 premières pièces fabriquées », un défaut passager de la machine ce jour-là se retrouve tel quel dans le résultat, et l’estimation est faussée.

Les deux modes reposent sur la même idée : « la part dans la population et la part dans un échantillon tiré au hasard sont à peu près les mêmes ». En résolvant simplement une proportion (produit des extrêmes = produit des moyens), on estime le tout sans tout compter. Le résultat n’est qu’une estimation : on donne donc une valeur arrondie « environ … ». La préparation d’une enquête, c’est-à-dire la taille d’échantillon nécessaire pour que l’erreur reste dans une limite, est traitée par le calcul de la taille de l’échantillon dans les pages liées.

Symboles et termes

Symboles

\(x\)	x	La lettre utilisée pour un nombre encore inconnu (une inconnue). Sur cette page, l’estimation cherchée, comme « le total dans l’étang » ou « l’effectif concerné dans la population », s’appelle \(x\) pour écrire la proportion. L’habitude de noter l’inconnue \(x\) remonte aux livres de mathématiques du XVIIe siècle (Descartes).
\(m\)	m	Sur cette page, « le nombre capturés au départ et marqués » : m comme « marqués ». On l’utilise aussi souvent comme effectif, en paire avec \(n\).
\(n\)	n	Le nombre d’éléments de l’échantillon (la 2e capture, ou le nombre prélevé et contrôlé). C’est l’initiale de « nombre », la lettre habituelle d’un effectif. En statistique, on note par habitude \(n\) la taille de l’échantillon.
\(k\)	k	Le nombre d’éléments de l’échantillon qui sont concernés (les marqués, les défectueux…). Avec \(n\) et \(m\), c’est une lettre courante pour les effectifs et les rangs.
\(N\)	N majuscule	La taille de toute la population. Par habitude, en statistique, on écrit le plus grand groupe avec une majuscule pour le distinguer de la taille de l’échantillon \(n\) (minuscule).
\(a : b\)	a sur b	Une façon d’écrire le rapport de \(a\) à \(b\), c’est-à-dire \(\dfrac{a}{b}\). Une égalité entre deux rapports, comme \(a : b = c : d\), est une proportion.
\(\approx\)	environ égal à	Le symbole de « presque égal ». On peut aussi le lire « environ ». Le résultat d’un sondage est une estimation : on l’écrit avec ce symbole ou le mot « environ » plutôt qu’avec un signe égal.

Termes

sondage	Une enquête qui n’étudie qu’une partie de la population (un échantillon) pour estimer l’allure de l’ensemble (on dit aussi enquête par échantillon). On l’utilise pour ce qu’on ne peut pas compter entièrement ou ce qu’un contrôle détruit. Le contraire est le recensement, qui étudie tout le monde. On aborde l’échantillonnage au lycée, en 2de.
recensement	Une enquête qui étudie tous les membres de la population, sans exception (on dit aussi enquête exhaustive). Tout contrôler est précis, mais quand cela coûte trop de temps ou d’argent, ou que le contrôle détruit le produit, on passe par un sondage. En France, le recensement de la population des communes de 10 000 habitants ou plus se fait d’ailleurs lui-même par sondage, auprès de 8 % des logements chaque année.
population	Tout le groupe que l’on veut étudier, comme tous les poissons d’un étang, tous les produits d’une usine ou tous les électeurs du pays.
échantillon	La partie prélevée dans la population et réellement étudiée.
taille de l’échantillon	Le nombre d’éléments de l’échantillon. Plus elle est grande, plus l’erreur de l’estimation diminue.
échantillonnage aléatoire	Prélever un échantillon de façon que chaque élément ait la même chance d’être choisi, comme par tirage au sort (tirage au hasard). Personne ne choisit exprès. C’est la condition de base pour qu’une estimation par échantillon soit valable.
capture-recapture	Une méthode qui marque les animaux capturés, les relâche, en capture un second groupe un peu plus tard et estime le total à partir de la part d’individus marqués (on dit aussi capture-marquage-recapture, ou CMR). Elle est réellement utilisée pour compter les poissons et la faune sauvage.
proportion	Une égalité entre deux rapports, comme \(a : b = c : d\), c’est-à-dire \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens (égalité des produits en croix) : cette propriété permet de trouver un nombre inconnu.
moyens	Dans la proportion \(a : b = c : d\), les termes du milieu \(b\) et \(c\). Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes. (Rien à voir avec la moyenne.)
extrêmes	Dans la proportion \(a : b = c : d\), les termes des bouts \(a\) et \(d\). Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes.
part (fréquence)	Ce qu’une partie représente dans le tout, obtenu en divisant la partie par le total (dans un échantillon, on parle aussi de fréquence). Les sondages reposent sur l’idée que la part est la même dans la population et dans l’échantillon.
valeur approchée	Un nombre approximatif, obtenu par arrondi à un rang pratique. Le résultat d’un sondage est une estimation : on le donne en général sous forme de valeur approchée, comme « environ 250 ».
arrondi	Pour arrondir à un rang donné, on regarde le chiffre juste à droite. S’il vaut 4 ou moins, on arrondit vers le bas ; s’il vaut 5 ou plus, vers le haut.
estimation	Évaluer l’allure de l’ensemble à partir de la partie de l’information qu’on possède. Le résultat obtenu par un sondage est une estimation, en ce sens.
erreur	L’écart entre l’estimation et la vraie valeur. Les résultats d’un sondage ont toujours une erreur, qui diminue quand la taille de l’échantillon augmente.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur les notions de ce tableau est le plus court chemin.

Pourcentages et parts (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir qu’une part est ce qu’une partie représente dans le tout, obtenue en divisant la partie par le total Savoir écrire « 20 % » sous forme décimale, comme 0,2
Proportionnalité et produit en croix (6e-4e, 11-14 ans)	Comprendre le rapport \(a : b\), et savoir que multiplier (ou diviser) les deux termes par un même nombre ne change pas le rapport Savoir trouver \(x\) dans une proportion comme \(x : 4 = 6 : 8\) avec l’égalité des produits en croix (produit des extrêmes = produit des moyens)
Calcul littéral et équations (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir appeler \(x\) un nombre inconnu et mettre un problème en équation Savoir résoudre une équation comme \(6x = 1200\) en divisant les deux membres par le même nombre
Arrondis (CM1, 9-10 ans)	Savoir arrondir à un rang donné (exemple : 166,6 arrondi à la dizaine donne 170) Savoir écrire le résultat d’une division qui ne tombe pas juste sous forme de fraction ou de valeur approchée

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour la capture-recapture (estimer le total)

Marqués au départ m	50
2e capture n	30
Marqués à la 2e capture k	6
Total estimé x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Arrondi à l’unité	=ARRONDI(B4;0)

Tableau pour vérifier la propriété des proportions (produit des extrêmes = produit des moyens)

Extrême a (total ; réponse de l’exemple de l’étang)	250
Moyen b (nombre de marqués)	50
Moyen c (2e capture)	30
Extrême d (marqués à la 2e capture)	6
Produit des moyens b×c	=B2*B3
Produit des extrêmes a×d	=B1*B4

Tableau pour estimer l’effectif dans une population

Taille de la population N	3000
Taille de l’échantillon n	100
Concernés dans l’échantillon k	2
Effectif estimé x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Arrondi à l’unité	=ARRONDI(B4;0)

Après le collage, les lignes du haut (les résultats de votre enquête) reçoivent vos valeurs et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Le premier tableau est l’exemple de l’étang (50 marqués, 6 marqués sur 30 à la 2e capture) : le résultat est 250. Quand la division ne tombe pas juste, B4 affiche un nombre décimal : lisez alors B5, qui passe par la fonction ARRONDI, comme réponse « environ … ».
Le deuxième tableau remplace x par la réponse 250 dans la proportion x : 50 = 30 : 6 et vérifie que le produit des moyens (B5) et le produit des extrêmes (B6) valent tous les deux 1 500 : ils sont égaux.
Le troisième tableau est l’exemple des 3 000 produits avec 2 défectueux sur un échantillon de 100 : le résultat est 60.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour la capture-recapture (estimer le total)

Marqués au départ m	50
2e capture n	30
Marqués à la 2e capture k	6
Total estimé x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Arrondi à l’unité	=ARRONDI(B4;0)

Tableau pour vérifier la propriété des proportions (produit des extrêmes = produit des moyens)

Extrême a (total ; réponse de l’exemple de l’étang)	250
Moyen b (nombre de marqués)	50
Moyen c (2e capture)	30
Extrême d (marqués à la 2e capture)	6
Produit des moyens b×c	=B2*B3
Produit des extrêmes a×d	=B1*B4

Tableau pour estimer l’effectif dans une population

Taille de la population N	3000
Taille de l’échantillon n	100
Concernés dans l’échantillon k	2
Effectif estimé x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Arrondi à l’unité	=ARRONDI(B4;0)

Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les résultats de l’enquête par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction

# Capture-recapture : estimer le nombre total dans l’étang
marked_first = 50       # nombre capturés au départ et marqués, m
caught_second = 30      # nombre à la 2e capture, n
marked_in_second = 6    # nombre de marqués à la 2e capture, k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# Ajouter Fraction(1, 2) puis enlever la partie fractionnaire arrondit toujours 0,5 vers le haut
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"Total estimé (fraction) : {estimated_total}")
print(f"Total estimé (arrondi) : environ {approx_total}")

# Estimer l’effectif concerné dans une population
population = 3000       # taille de la population, N
sample_size = 100       # taille de l’échantillon prélevé, n
sample_hits = 2         # nombre de concernés dans l’échantillon, k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"Effectif estimé (fraction) : {estimated_count}")
print(f"Effectif estimé (arrondi) : environ {approx_count}")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi, même quand la division ne tombe pas juste. La première partie est l’exemple de l’étang (50 marqués, 6 marqués sur 30 à la 2e capture) et affiche 250. La seconde est l’exemple des 3 000 produits avec 2 défectueux sur 100, et affiche 60. Remplacez les résultats de l’enquête, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Capture-recapture (estimer le total)

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

Propriété des proportions (produit des extrêmes = produit des moyens)

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

Estimer un effectif dans une population

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en mathématiques (échantillonnage, niveau collège-lycée). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Estime le nombre total de poissons d’un étang par la méthode de capture-recapture.
D’abord, 50 poissons ont été capturés, marqués et remis dans l’étang. Plus tard, 30 poissons ont été capturés, dont 6 étaient marqués.
Donne chacun des éléments suivants :
1. La proportion, en notant x le total (x : nombre de marqués = nombre à la 2e capture : nombre de marqués parmi eux)
2. Les étapes de résolution avec « le produit des extrêmes est égal au produit des moyens » (produits en croix)
3. Le nombre total estimé dans l’étang (si la division ne tombe pas juste, donne la fraction irréductible et la valeur arrondie à l’unité)

En Python, calcule de façon exacte avec le module fractions de la bibliothèque standard, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution. Réponds en français, avec la virgule comme séparateur décimal.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule