Calcul de suite géométrique (terme de rang n et somme)

Entrez le premier terme (le premier nombre de la suite), la raison (le nombre par lequel on multiplie à chaque pas) et le nombre de termes (jusqu’où aller), puis appuyez sur « Calculer ». Vous obtenez d’un coup les premiers termes, le terme de rang n et la somme des n premiers termes. La formule en dessous est reliée aux champs : vous pouvez aussi modifier le premier terme, la raison et le nombre de termes directement dans la formule. Quand la valeur absolue de la raison est inférieure à 1, la somme à l’infini (somme de la série géométrique) s’affiche aussi.

Premier terme a

Raison r

Nombre de termes n

Le premier terme et la raison peuvent être décimaux ou négatifs. Entrez le nombre de termes n sous forme de nombre entier positif (de 1 à 1000).

Résultat et graphique

Saisissez le premier terme, la raison et le nombre de termes dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et un graphique s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez seulement trois valeurs, le premier terme, la raison (le nombre par lequel on multiplie d’un terme au suivant) et le nombre de termes, pour obtenir d’un coup le terme de rang \(n\) et la somme des \(n\) premiers termes
Idéal pour les exercices du type « La suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … double à chaque fois. Quel est le 10e nombre ? Combien font les 10 premiers nombres additionnés ? »
Le premier terme et la raison peuvent être décimaux ou négatifs (prenez une raison de « 0,5 » pour une suite qui est divisée par deux à chaque fois, et une raison négative pour une suite dont le signe alterne)
Quand la valeur absolue de la raison est inférieure à 1, la calculatrice affiche aussi la somme obtenue en additionnant les termes à l’infini (la somme de la série géométrique)
Avec le résultat, un graphique montre comment les termes doublent encore et encore (en suivant une courbe). Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont aussi réunies sur cette page

Cette page ne traite que les suites géométriques (des suites où le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même : on multiplie toujours par le même nombre). Pour les suites où l’on ajoute toujours le même nombre, comme 5 ; 8 ; 11 ; … (suites arithmétiques), utilisez la page « Calcul de suite arithmétique ».

À quoi sert ce calcul ?

Comprendre comment l’argent grossit avec les intérêts composés (budget)

Avec des intérêts composés, où les intérêts rapportent eux aussi des intérêts, le solde est multiplié chaque année par le même coefficient : il forme une suite géométrique. Si vous placez 10 000 € à 3 % d’intérêts composés par an, le solde est multiplié par 1,03 chaque année. Au bout de 10 ans, il vaut \(10\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 13\,439\) € (en supposant un taux constant pendant les 10 ans).
« Combien dans k ans ? » est exactement le calcul du terme de rang \(n\) d’une suite géométrique. La différence avec les intérêts simples, qui augmentent de la même somme chaque année (une suite arithmétique), c’est « augmenter en ajoutant ou en multipliant ».

Estimer la multiplication des bactéries ou des cellules (biologie et hygiène alimentaire)

Les bactéries qui se multiplient par division doublent en nombre à chaque division : elles forment une suite géométrique de raison 2. Si une bactérie se divise toutes les 20 minutes, au bout de 6 heures (18 divisions) on en compte \(2^{18} = 262\,144\), plus de 260 000 (dans un cas idéal, avec assez de nourriture et de place et sans bactéries qui meurent).
Cette croissance par doublement (croissance exponentielle) explique aussi pourquoi il ne faut pas laisser les aliments à température ambiante.

Plier une feuille double son épaisseur (sentir la croissance exponentielle)

Pliez en deux une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur : elle devient deux fois plus épaisse. Chaque pliage double l’épaisseur, qui forme donc une suite géométrique de raison 2. Sur le papier, 10 pliages donnent \(0{,}1 \times 2^{10} = 102{,}4\) mm (environ 10 cm), et 23 pliages environ 839 m : plus haut que la tour Eiffel (330 m) et même que le Burj Khalifa (828 m), le plus haut gratte-ciel du monde.
En réalité, on ne peut plier une feuille que 7 ou 8 fois. Mais « seulement 23 doublements pour dépasser le plus haut gratte-ciel du monde » montre à quel point la croissance géométrique dépasse notre intuition de l’addition.

Calculer la hauteur des rebonds d’une balle (physique et sport)

Supposons qu’une balle remonte à chaque rebond à 60 % de la hauteur de sa chute. Lâchée de 2 m, la hauteur de ses rebonds diminue selon une suite géométrique de raison 0,6. Au 5e rebond, elle ne remonte plus qu’à \(2 \times 0{,}6^{5} \approx 0{,}16\) m (environ 16 cm).
Tout ce qui diminue du même pourcentage à chaque fois, comme l’amortissement d’une vibration ou d’un son, ou la concentration d’un médicament dans le sang, se modélise par une suite géométrique de raison inférieure à 1.

La gamme musicale est une suite géométrique de fréquences (musique et instruments)

La gamme tempérée utilisée au piano et sur d’autres instruments est une suite géométrique : chaque demi-ton multiplie la fréquence par environ 1,0595 (exactement la racine douzième de 2). En montant de 12 demi-tons depuis le la (440 Hz), on obtient \(440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880\) Hz, le la exactement une octave plus haut.
Comme tous les demi-tons ont le même rapport, une mélodie sonne de la même façon dans n’importe quelle tonalité. Les suites géométriques sont au cœur de la musique.

Formules et graphiques

Formule du terme de rang \(n\) (terme général)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(a_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(r\) \(n-1\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(a_n\) : terme de rang \(n\) \(=\) ① \(a\) : premier terme \(\times\) ② \(r\) : raison ③ \((n-1)\) : nombre de pas

La formule en mots

① On part du \(a\) : premier terme et on le multiplie par la

② \(r\) : raison encore et encore, autant de fois que le

③ \((n-1)\) : nombre de pas ,

④ et on obtient le \(a_n\) : terme de rang \(n\)

Exemple simple

Pour la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …), le terme de rang 5 vaut

\(a_5\) : terme de rang 5 \(=\) premier terme (3) \(\times\) raison (2) nombre de pas (5 − 1 = 4)

\(3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48\)

L’idée clé

L’erreur la plus fréquente est de multiplier \(n\) fois au lieu de \(n-1\) fois. Du terme de rang 1 au terme de rang \(n\), on multiplie par la raison une fois par pas, et il y a \(n-1\) pas, un de moins que \(n\). Par exemple, du rang 1 au rang 3, on ne multiplie que 2 fois (\(3-1\) fois). Si la raison \(r\) est un nombre positif inférieur à \(1\) (par exemple 0,5), les termes deviennent de plus en plus petits et se rapprochent de \(0\). Si elle est négative (par exemple \(-2\)), le signe des termes alterne. Dans les deux cas, la formule marche telle quelle. Dans les manuels français, on écrit souvent \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\), ou \(u_n = u_0 \times q^{n}\) quand la suite commence au rang 0 : c’est la même formule avec d’autres lettres.

Formule de la somme des \(n\) premiers termes (quand la raison est différente de \(1\))

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \((1 - r^{n})\) \(\div\) \((1 - r)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(S_n\) : somme des termes de rang 1 à \(n\) \(=\) ① \(a\) : premier terme \(\times\) ② \((1 - r^n)\) : 1 moins la raison puissance \(n\) \(\div\) ③ \((1 - r)\) : 1 moins la raison

La formule en mots

① On multiplie le \(a\) : premier terme par

② \((1 - r^n)\) : 1 moins la raison puissance \(n\) ,

③ puis on divise par \((1 - r)\) : 1 moins la raison ,

④ et on obtient la \(S_n\) : somme des termes de rang 1 à \(n\)

Exemple simple

Pour la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …), la somme des termes de rang 1 à 5 vaut

\(S_5\) : somme jusqu’au rang 5 \(=\) premier terme (3) \(\times\) 1 moins la raison puissance 5 (\(1 - 2^5 = -31\)) \(\div\) 1 moins la raison (\(1 - 2 = -1\))

\(3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93\)

\(-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93\)

L’idée clé

Quand la raison est supérieure à 1, le numérateur (\(1 - r^n\)) et le dénominateur (\(1 - r\)) sont tous deux négatifs, comme dans l’exemple. Les deux signes moins s’annulent dans la division, et le résultat est positif. Les manuels écrivent aussi souvent \(S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), en multipliant le haut et le bas par \(-1\). C’est exactement la même formule, plus pratique quand la raison est supérieure à 1. En France, on la retient souvent en mots : « premier terme × \(\dfrac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}\) ». Quand la raison vaut \(1\), le dénominateur \(1 - r\) vaut \(0\) : cette formule ne marche pas. On utilise alors la formule suivante.

Formule de la somme quand la raison vaut \(1\)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(S_n\) : somme des termes de rang 1 à \(n\) \(=\) ① \(a\) : premier terme \(\times\) ② \(n\) : nombre de termes

La formule en mots

① On multiplie le \(a\) : premier terme par le

② \(n\) : nombre de termes ,

③ et on obtient la \(S_n\) : somme des termes de rang 1 à \(n\)

Exemple simple

Pour la suite géométrique de premier terme 5 et de raison 1 (5 ; 5 ; 5 ; 5 ; …), la somme des termes de rang 1 à 4 vaut

\(S_4\) : somme jusqu’au rang 4 \(=\) premier terme (5) \(\times\) nombre de termes (4)

\(5 \times 4 = 20\)

L’idée clé

Dans une suite géométrique de raison \(1\), tous les termes sont égaux au premier terme (5 ; 5 ; 5 ; …). La somme vaut donc simplement « premier terme × nombre de termes ». Retenez-la comme la voie spéciale du cas \(r = 1\), où la deuxième formule ne marche pas (cette calculatrice passe d’ailleurs automatiquement à cette formule quand \(r = 1\)).

Formule de la somme d’une série géométrique (quand la valeur absolue de la raison est inférieure à \(1\))

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\div\) \((1 - r)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(S\) : somme des termes à l’infini \(=\) ① \(a\) : premier terme \(\div\) ② \((1 - r)\) : 1 moins la raison

La formule en mots

① On divise le \(a\) : premier terme par

② \((1 - r)\) : 1 moins la raison ,

③ et on obtient la \(S\) : somme des termes à l’infini

Exemple simple

En additionnant à l’infini les termes de la suite géométrique de premier terme 100 et de raison 0,5 (100 ; 50 ; 25 ; 12,5 ; …), on obtient

\(S\) : somme à l’infini \(=\) premier terme (100) \(\div\) 1 moins la raison (1 − 0,5 = 0,5)

\(100 \div (1 - 0{,}5) = 100 \div 0{,}5 = 200\)

L’idée clé

Cette formule ne s’applique que quand la valeur absolue de la raison est inférieure à \(1\) (\(-1 < r < 1\)). Les termes se rapprochent alors de \(0\) : même en additionnant à l’infini, la somme se rapproche d’une valeur fixe (200 dans cet exemple). On dit que la série converge, et la valeur dont elle se rapproche est la somme \(S\) de la série géométrique. Quand la valeur absolue de la raison vaut \(1\) ou plus, la somme grandit sans limite (ou oscille quand le signe alterne) : il n’y a pas de somme à l’infini. Cette calculatrice n’affiche d’ailleurs cette valeur que si la valeur absolue de la raison est inférieure à \(1\). D’où vient la formule ? Dans la deuxième formule, quand \(n\) devient de plus en plus grand, \(r^n\) se rapproche de \(0\), donc \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) se rapproche de \(\dfrac{a}{1 - r}\).

Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre (la raison). Le terme de rang \(n\) vaut « premier terme multiplié \(n-1\) fois par la raison », et la somme vaut « premier terme × (1 − raison puissance \(n\)) ÷ (1 − raison) » (« premier terme × nombre de termes » quand la raison vaut \(1\)). Quand la valeur absolue de la raison est inférieure à \(1\), la somme à l’infini vaut \(a \div (1 - r)\).

Symboles et termes

Symboles

\(a\)	a	Le premier terme, le tout premier nombre de la suite. Pour la suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …, c’est 3.
\(r\)	r	La raison, le nombre fixe par lequel on multiplie pour passer au terme suivant. Pour 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …, elle vaut 2. La lettre vient de l’anglais ratio ; les manuels français la notent souvent q. Elle peut être décimale ou négative.
\(n\)	n	Le nombre de termes, un entier positif qui indique jusqu’où l’on va dans la suite. « Jusqu’au rang 10 », c’est \(n = 10\).
\(a_n\)	a indice n	Le terme de rang \(n\), le \(n\)-ième nombre de la suite. La petite lettre en bas à droite (l’indice) indique le rang. Le terme de rang \(n\) écrit comme une formule en \(n\) s’appelle le terme général.
\(r^{n-1}\)	r puissance n moins 1	La raison \(r\) multipliée \(n-1\) fois par elle-même (une puissance). Du rang 1 au rang \(n\), il y a \(n-1\) pas : on multiplie une fois de moins que le nombre de termes \(n\) (du rang 1 au rang 3, il y a 2 pas).
\(S_n\)	S indice n	La somme des termes de rang 1 à \(n\), une écriture courte de \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). S est l’initiale de « somme ».
\(S\)	S	La somme de la série géométrique, la valeur dont se rapproche la somme quand on additionne les termes à l’infini. On l’écrit aussi \(S_\infty\) (« S infini »).
\(\cdots\)	points de suspension	Un symbole qui indique que la suite continue selon la même règle. Écrire 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … veut dire que les nombres continuent de doubler.

Termes

suite	Une liste de nombres rangés dans un ordre donné. Chaque nombre de la liste s’appelle un terme. Les suites sont étudiées à partir de la Première.
suite géométrique	Une suite où le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même, comme 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … (on multiplie par 2 à chaque fois). On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même raison.
terme	Chacun des nombres d’une suite. Depuis le début, on parle du terme de rang 1, du terme de rang 2, etc.
premier terme	Le tout premier terme d’une suite, le terme de rang 1. On l’écrit \(a\) ou \(a_1\) (ou \(u_1\), voire \(u_0\) quand la suite commence au rang 0).
raison	Dans une suite géométrique, le nombre fixe par lequel on multiplie pour passer au terme suivant. On obtient la même valeur en divisant n’importe quel terme par le précédent. Elle peut être décimale (par exemple 0,5 : la suite est divisée par deux à chaque fois) ou négative (le signe alterne).
puissance	Le produit d’un même nombre par lui-même plusieurs fois. \(2^5\) (2 puissance 5) vaut \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\). Le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique le nombre de facteurs. Étudiée en 4e.
terme général (formule explicite)	Le terme de rang \(n\) écrit comme une formule en \(n\), aussi appelé formule explicite. Pour une suite géométrique, c’est \(a_n = a r^{n-1}\) : on remplace \(n\) par un rang et on obtient aussitôt le terme.
série géométrique	Les termes d’une suite géométrique additionnés à l’infini. La somme ne converge vers une valeur fixe, \(\dfrac{a}{1-r}\), que si la valeur absolue de la raison est inférieure à \(1\). Au lycée, on l’aborde en Terminale comme la limite d’une somme de termes, mais l’idée est simple : ce que l’on ajoute devient de plus en plus petit.
converger (convergence)	Se rapprocher autant qu’on veut d’une valeur fixe à mesure qu’on additionne (ou qu’on avance dans la suite). 100 + 50 + 25 + 12,5 + … se rapproche de 200 à mesure qu’on additionne : on dit que la somme converge vers 200.
suite arithmétique	Une suite où la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même, comme 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; … (on ajoute 3 à chaque fois). Elle ne croît pas comme une suite géométrique, où l’on multiplie par le même nombre : les formules de cette page ne s’y appliquent pas.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Suites de nombres et régularités (CM1-CM2, 9-11 ans)	Savoir repérer une règle comme « on double à chaque fois » dans une liste de nombres comme 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … Savoir faire un tableau qui associe chaque rang à sa valeur
Multiplier des nombres décimaux et des fractions (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir que multiplier par 0,5 divise un nombre par deux, comme \(64 \times 0{,}5 = 32\) Savoir que multiplier par un nombre inférieur à 1 donne un résultat plus petit que le nombre de départ
Nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir multiplier deux nombres négatifs, comme \((-2) \times (-2) = 4\) (c’est pourquoi le signe alterne quand la raison est négative) Savoir diviser deux nombres négatifs, comme \((-93) \div (-1) = 93\)
Puissances et calcul littéral (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir calculer des puissances comme \(2^5 = 32\) (on multiplie autant de fois que l’indique le petit nombre en haut à droite) Savoir remplacer une lettre par un nombre, par exemple \(n = 10\) dans \(n - 1\) pour obtenir 9
Priorités opératoires (6e-5e, 11-13 ans)	Calculer d’abord les puissances et ce qui est entre parenthèses (dans \(3 \times (1 - 2^5)\), on calcule \(2^5\), puis la parenthèse, puis la multiplication)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le terme de rang n (premier terme 3, raison 2, 10 termes)

Premier terme a	3
Raison r	2
Nombre de termes n	10
Terme de rang n	=B1*B2^(B3-1)

Tableau pour trouver la somme des termes de rang 1 à n

Premier terme a	3
Raison r	2
Nombre de termes n	10
Somme des termes de rang 1 à n	=SI(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tableau pour trouver la somme d’une série géométrique (quand la valeur absolue de la raison est inférieure à 1)

Premier terme a	100
Raison r	0,5
Somme à l’infini	=B1/(1-B2)

Après le collage, les cellules du haut reçoivent vos données et la cellule du bas affiche le résultat calculé.
Dans les formules, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule », « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (B2^(B3-1), c’est « la raison puissance (nombre de termes − 1) »).
Dans le deuxième tableau, SI(B2=1;…) distingue deux cas : « si la raison vaut 1, on prend premier terme × nombre de termes ; sinon, la formule de la somme » (avec une raison de 1, le dénominateur de la formule vaudrait 0).
Par exemple, le premier tableau affiche 1536 (le terme de rang 10) en B4, le deuxième 3069 (la somme) en B4, et le troisième 200 en B3. Il suffit de remplacer les cellules de données par vos propres nombres.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le terme de rang n (premier terme 3, raison 2, 10 termes)

Premier terme a	3
Raison r	2
Nombre de termes n	10
Terme de rang n	=B1*B2^(B3-1)

Tableau pour trouver la somme des termes de rang 1 à n

Premier terme a	3
Raison r	2
Nombre de termes n	10
Somme des termes de rang 1 à n	=SI(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tableau pour trouver la somme d’une série géométrique (quand la valeur absolue de la raison est inférieure à 1)

Premier terme a	100
Raison r	0,5
Somme à l’infini	=B1/(1-B2)

Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les cellules de données (B1 à B3) par vos propres nombres.

Calculer avec Python

first_term = 3        # premier terme
common_ratio = 2      # raison
number_of_terms = 10  # nombre de termes

# terme de rang n = premier terme * raison puissance (n - 1)
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# somme des termes de rang 1 à n = premier terme * (1 - raison^n) / (1 - raison) ; si la raison vaut 1, premier terme * n
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# les 10 premiers termes de la suite (pour vérifier)
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"Premiers termes : {sequence}")
print(f"Terme de rang {number_of_terms} : {nth_term}")
print(f"Somme des termes de rang 1 à {number_of_terms} : {sum_of_terms}")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. Remplacez les trois nombres en haut (premier terme, raison, nombre de termes), puis exécutez. Cet exemple affiche 1536 pour le terme de rang 10 et 3069 pour la somme (affichée avec une décimale). Pour obtenir aussi la somme de la série géométrique quand la valeur absolue de la raison est inférieure à 1, ajoutez à la fin la ligne « print(first_term / (1 - common_ratio)) ».

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Formule du terme de rang \(n\) (terme général)

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

Formule de la somme des \(n\) premiers termes (quand la raison est différente de \(1\))

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

Formule de la somme quand la raison vaut \(1\)

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

Formule de la somme d’une série géométrique (quand la valeur absolue de la raison est inférieure à \(1\))

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul sur les suites géométriques. Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Calcule le terme de rang n avec a_n = a × r^(n-1), la somme avec S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) (S_n = a × n si r = 1), et la somme de la série géométrique avec S = a/(1 - r) si |r| < 1.

1. Le terme de rang 10 et la somme des termes de rang 1 à 10 de la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2
2. Le terme de rang 6, la somme des termes de rang 1 à 6 et la somme à l’infini de la suite géométrique de premier terme 100 et de raison 0,5
3. Le terme de rang 6 et la somme des termes de rang 1 à 6 de la suite géométrique de premier terme 3 et de raison -2

Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule