Geometrische Folge berechnen – n-tes Glied, Summe und unendliche geometrische Reihe

Geben Sie das Anfangsglied (die erste Zahl der Folge), den Quotienten (die Zahl, mit der bei jedem Schritt multipliziert wird) und die Anzahl der Glieder (bis wohin gerechnet wird) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Sie erhalten die ersten Glieder, das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder auf einmal. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können Anfangsglied, Quotient und Anzahl auch direkt in der Formel ändern. Ist der Betrag des Quotienten kleiner als 1, erscheint zusätzlich der Wert der unendlichen geometrischen Reihe.

Anfangsglied a

Quotient r

Anzahl der Glieder n

Anfangsglied und Quotient dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein. Die Anzahl der Glieder n ist eine positive ganze Zahl (1 bis 1000).

Ergebnis und Graph

Geben Sie links das Anfangsglied, den Quotienten und die Anzahl der Glieder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben nur drei Werte ein – das Anfangsglied, den Quotienten (die Zahl, mit der bei jedem Schritt multipliziert wird) und die Anzahl der Glieder – und erhalten das \(n\)-te Glied und die Summe der ersten \(n\) Glieder auf einen Schlag
Passt direkt zu Aufgaben wie „Die Folge 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … verdoppelt sich jedes Mal. Wie lautet die 10. Zahl? Was ergeben die ersten 10 Zahlen zusammen?“
Anfangsglied und Quotient dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein (bei einer Folge, die sich jedes Mal halbiert, ist der Quotient „0,5“, bei wechselnden Vorzeichen ist er negativ)
Ist der Betrag des Quotienten kleiner als 1, zeigt der Rechner auch die Summe, wenn man unendlich lange weiter addiert (den Wert der unendlichen geometrischen Reihe)
Zusammen mit dem Ergebnis zeigt ein Graph, wie sich die Glieder immer wieder verdoppeln (entlang einer Kurve steigen). Auf dieser Seite finden Sie außerdem eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Diese Seite gilt nur für geometrische Folgen (Folgen, bei denen der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, man also jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert). Für Folgen, die durch Addieren derselben Zahl wachsen, wie 5 ; 8 ; 11 ; … (arithmetische Folgen), nutzen Sie bitte den Rechner für arithmetische Folgen.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Verstehen, wie Geld mit Zinseszins wächst (Geldplanung)

Beim Zinseszins, bei dem auch die Zinsen wieder verzinst werden, wächst das Guthaben jedes Jahr um denselben Faktor – es bildet eine geometrische Folge. Legen Sie 10.000 € zu 3 % Zinsen pro Jahr mit jährlicher Verzinsung an, wird das Guthaben jedes Jahr mit 1,03 multipliziert. Nach 10 Jahren sind es \(10000 \times 1{,}03^{10} \approx 13439\) Euro (wenn der Zinssatz alle 10 Jahre gleich bleibt).
„Wie viel ist es in k Jahren?“ ist genau die Berechnung des \(n\)-ten Glieds einer geometrischen Folge. Der Unterschied zur einfachen Verzinsung, bei der das Guthaben jedes Jahr um denselben Betrag wächst (eine arithmetische Folge), ist „wachsen durch Addieren oder durch Multiplizieren“.

Die Vermehrung von Bakterien oder Zellen abschätzen (Biologie und Lebensmittelhygiene)

Bakterien, die sich durch Teilung vermehren, verdoppeln sich bei jeder Teilung – ihre Anzahl bildet eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2. Teilt sich ein Bakterium alle 20 Minuten, sind es nach 6 Stunden (18 Teilungen) \(2^{18} = 262144\), also über 260.000 (unter idealen Bedingungen mit genug Nahrung und Platz und ohne dass Bakterien absterben).
Dieses Verdoppeln (exponentielles Wachstum) ist auch der Grund, warum man Lebensmittel nicht lange bei Zimmertemperatur stehen lassen soll.

Papier falten verdoppelt die Dicke (ein Gefühl für exponentielles Wachstum)

Falten Sie ein Blatt Kopierpapier von 0,1 mm Dicke einmal, wird es doppelt so dick. Jedes Falten verdoppelt die Dicke, sie bildet also eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2. Rechnerisch sind es nach 10-mal Falten \(0{,}1 \times 2^{10} = 102{,}4\) mm (etwa 10 cm) und nach 23-mal Falten rund 839 m – mehr als doppelt so hoch wie der Berliner Fernsehturm (368 m) und sogar höher als der Burj Khalifa (828 m), das höchste Gebäude der Welt.
In Wirklichkeit lässt sich Papier nur etwa 7- bis 8-mal falten. Trotzdem zeigt „nur 23-mal verdoppeln, und man ist höher als das höchste Gebäude der Welt“, wie weit geometrisches Wachstum über unser Gefühl für das Addieren hinausgeht.

Berechnen, wie ein springender Ball an Höhe verliert (Physik und Sport)

Angenommen, ein Ball springt jedes Mal auf 60 % der Höhe zurück, aus der er gefallen ist. Lassen Sie ihn aus 2 m Höhe fallen, schrumpfen die Sprunghöhen als geometrische Folge mit dem Quotienten 0,6. Beim 5. Aufprall springt er nur noch \(2 \times 0{,}6^{5} \approx 0{,}16\) m (etwa 16 cm) hoch.
Was jedes Mal um denselben Prozentsatz abnimmt – abklingende Schwingungen und Töne oder die Konzentration eines Medikaments im Blut –, beschreibt man mit geometrischen Folgen, deren Quotient kleiner als 1 ist.

Tonleitern sind geometrische Folgen von Frequenzen (Musik und Instrumente)

Die gleichstufige Stimmung, die etwa beim Klavier verwendet wird, ist eine geometrische Folge: Jeder Halbtonschritt nach oben multipliziert die Frequenz mit etwa 1,0595 (genau der zwölften Wurzel aus 2). Zwölf Halbtöne über dem Kammerton a¹ (440 Hz) liegen \(440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880\) Hz – das a² genau eine Oktave höher.
Weil jeder Halbton dasselbe Verhältnis hat, klingt Musik in jeder Tonart gleich, wenn man sie transponiert. Geometrische Folgen stecken im Fundament der Musik.

Formeln und Graphen

Formel für das \(n\)-te Glied (explizite Darstellung)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(r\) \(n-1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(a_n\): \(n\)-tes Glied \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\times\) ② \(r\): Quotient ③ \((n-1)\): Anzahl der Schritte

Die Formel in Worten

① Das \(a\): Anfangsglied wird mit dem

② \(r\): Quotient so oft multipliziert, wie die

③ \((n-1)\): Anzahl der Schritte angibt –

④ das ergibt das \(a_n\): \(n\)-tes Glied

Einfaches Beispiel

Bei der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten 2 (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …) ist das 5. Glied

\(a_5\): 5. Glied \(=\) Anfangsglied (3) \(\times\) Quotient (2) Schritte (5 − 1 = 4)

\(3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48\)

Der Grundgedanke

Der häufigste Fehler: \(n\)-mal statt \((n-1)\)-mal zu multiplizieren. Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied multipliziert man einmal pro Schritt mit dem Quotienten, und es gibt \(n-1\) Schritte – einen weniger als \(n\). Vom 1. bis zum 3. Glied multipliziert man zum Beispiel nur zweimal (\(3-1\)-mal). Ist der Quotient \(r\) eine positive Zahl kleiner als \(1\) (etwa 0,5), werden die Glieder immer kleiner und nähern sich \(0\). Ist er negativ (etwa \(-2\)), wechseln die Vorzeichen der Glieder ab. In beiden Fällen gilt die Formel unverändert. (In deutschen Schulbüchern heißt die Formel meist \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) – das \(q\) dort ist das \(r\) hier.)

Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (wenn der Quotient nicht \(1\) ist)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \((1 - r^{n})\) \(\div\) \((1 - r)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S_n\): Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\times\) ② \((1 - r^n)\): 1 minus Quotient hoch \(n\) (Potenz) \(\div\) ③ \((1 - r)\): 1 minus Quotient

Die Formel in Worten

① Man multipliziert das \(a\): Anfangsglied mit

② \((1 - r^n)\): 1 minus Quotient hoch \(n\) (Potenz) ,

③ teilt durch \((1 - r)\): 1 minus Quotient ,

④ und erhält die \(S_n\): Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied

Einfaches Beispiel

Bei der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten 2 (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …) ist die Summe vom 1. bis zum 5. Glied

\(S_5\): Summe bis zum 5. Glied \(=\) Anfangsglied (3) \(\times\) 1 minus Quotient hoch 5 (\(1 - 2^5 = -31\)) \(\div\) 1 minus Quotient (\(1 - 2 = -1\))

\(3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93\)

\(-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93\)

Der Grundgedanke

Ist der Quotient größer als 1, sind wie im Beispiel Zähler (\(1 - r^n\)) und Nenner (\(1 - r\)) beide negativ. Bei der Division heben sich die Minuszeichen auf, das Ergebnis ist also positiv. In Schulbüchern steht oft auch \(S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), bei der Zähler und Nenner mit \(-1\) multipliziert sind. Das ist genau dieselbe Formel, nur bequemer, wenn der Quotient größer als 1 ist. Die Summe der Glieder heißt auch geometrische Reihe. Ist der Quotient \(1\), wird der Nenner \(1 - r\) zu \(0\), und die Formel funktioniert nicht. Dann nehmen Sie die nächste Formel.

Formel für die Summe, wenn der Quotient \(1\) ist

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(S_n\): Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\times\) ② \(n\): Anzahl der Glieder

Die Formel in Worten

① Man multipliziert das \(a\): Anfangsglied mit der

② \(n\): Anzahl der Glieder ,

③ und erhält die \(S_n\): Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied

Einfaches Beispiel

Bei der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 5 und dem Quotienten 1 (5 ; 5 ; 5 ; 5 ; …) ist die Summe vom 1. bis zum 4. Glied

\(S_4\): Summe bis zum 4. Glied \(=\) Anfangsglied (5) \(\times\) Anzahl der Glieder (4)

\(5 \times 4 = 20\)

Der Grundgedanke

Bei einer geometrischen Folge mit dem Quotienten \(1\) ist jedes Glied gleich dem Anfangsglied (5 ; 5 ; 5 ; …). Die Summe ist also einfach „Anfangsglied × Anzahl“. Merken Sie sich diese Formel als Sonderweg für \(r = 1\), bei dem die zweite Formel nicht funktioniert (auch dieser Rechner wechselt bei \(r = 1\) automatisch zu dieser Formel).

Formel für den Wert der unendlichen geometrischen Reihe (wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\div\) \((1 - r)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(S\): Summe bei unendlich langem Addieren \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\div\) ② \((1 - r)\): 1 minus Quotient

Die Formel in Worten

① Man teilt das \(a\): Anfangsglied durch

② \((1 - r)\): 1 minus Quotient ,

③ und erhält die \(S\): Summe bei unendlich langem Addieren

Einfaches Beispiel

Addiert man die geometrische Folge mit dem Anfangsglied 100 und dem Quotienten 0,5 (100 ; 50 ; 25 ; 12,5 ; …) unendlich lange weiter, erhält man

\(S\): unendliche Summe \(=\) Anfangsglied (100) \(\div\) 1 minus Quotient (1 − 0,5 = 0,5)

\(100 \div (1 - 0{,}5) = 100 \div 0{,}5 = 200\)

Der Grundgedanke

Diese Formel gilt nur, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist (\(-1 < r < 1\)). Dann nähern sich die Glieder immer weiter \(0\), und auch bei unendlich langem Addieren nähert sich die Summe immer mehr einem festen Wert (im Beispiel 200). Man sagt, die Reihe konvergiert, und der angenäherte Wert ist der Wert \(S\) der unendlichen geometrischen Reihe. Ist der Betrag des Quotienten \(1\) oder größer, wächst die Summe über alle Grenzen (oder pendelt bei wechselnden Vorzeichen hin und her), und es gibt keinen Grenzwert. Auch dieser Rechner zeigt den Wert nur, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist. Woher kommt die Formel? Wird in der zweiten Formel \(n\) immer größer, nähert sich \(r^n\) dem Wert \(0\), und \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) nähert sich \(\dfrac{a}{1 - r}\).

Eine geometrische Folge entsteht, indem man immer mit derselben Zahl (dem Quotienten) multipliziert. Das \(n\)-te Glied ist „Anfangsglied, \((n-1)\)-mal mit dem Quotienten multipliziert“, die Summe ist „Anfangsglied × (1 − Quotient hoch \(n\)) ÷ (1 − Quotient)“ (bei einem Quotienten von \(1\) „Anfangsglied × Anzahl der Glieder“). Ist der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\), ist die Summe bei unendlich langem Addieren \(a \div (1 - r)\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a\)	a	Das Anfangsglied, also das allererste Glied (die erste Zahl) der Folge. Bei der Folge 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … ist es 3.
\(r\)	r	Der Quotient, die feste Zahl, mit der man multipliziert, um zum nächsten Glied zu kommen. Bei 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … ist er 2. Der Buchstabe kommt vom englischen „ratio“ (Verhältnis); deutsche Schulbücher schreiben meist \(q\). Er kann auch eine Dezimalzahl oder negativ sein.
\(n\)	n	Die Anzahl der Glieder: eine positive ganze Zahl, die angibt, bis zu welchem Glied man rechnet. „Bis zum 10. Glied“ heißt \(n = 10\).
\(a_n\)	a n	Das \(n\)-te Glied, also die \(n\)-te Zahl der Folge. Die kleine Zahl rechts unten (der Index) gibt die Stelle an. Das \(n\)-te Glied als Formel in \(n\) heißt explizite Darstellung.
\(r^{n-1}\)	r hoch n minus eins	Der Quotient \(r\), \((n-1)\)-mal mit sich selbst multipliziert (eine Potenz). Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied gibt es \(n-1\) Schritte, man multipliziert also einmal weniger, als es Glieder gibt (vom 1. zum 3. Glied sind es 2 Schritte).
\(S_n\)	S n	Die Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied (Partialsumme), eine Kurzschreibweise für \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). Das S steht für „Summe“.
\(S\)	S	Der Wert der unendlichen geometrischen Reihe: der Wert, dem sich die Summe nähert, wenn man unendlich lange weitere Glieder addiert. Man schreibt ihn auch \(S_\infty\) („S unendlich“).
\(\cdots\)	Punkt, Punkt, Punkt (Auslassungspunkte)	Ein Zeichen dafür, dass es nach derselben Regel weitergeht. 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … bedeutet, dass sich die Zahlen weiter verdoppeln.

Begriffe

Folge	Zahlen in einer festen Reihenfolge (Zahlenfolge). Jede einzelne Zahl darin heißt Glied.
geometrische Folge	Eine Folge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … (jedes Mal mal 2). Der Name kommt daher, dass jedes Glied (bei positiven Gliedern) das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn ist.
Glied	Jede einzelne Zahl einer Folge (Folgenglied). Von vorn gezählt heißen sie 1. Glied, 2. Glied usw.
Anfangsglied	Das allererste Glied einer Folge, also das 1. Glied. Man schreibt es \(a\) oder \(a_1\).
Quotient	Bei einer geometrischen Folge die feste Zahl, mit der man multipliziert, um zum nächsten Glied zu kommen. Welches Paar von Nachbarn Sie auch teilen (späteres Glied ÷ früheres Glied), es kommt immer derselbe Wert heraus. Er darf eine Dezimalzahl (etwa 0,5 – jedes Mal die Hälfte) oder negativ sein (die Vorzeichen wechseln).
Potenz	Eine Zahl, mehrfach mit sich selbst multipliziert. \(2^5\) (2 hoch 5) ist \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\); die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) gibt an, wie oft multipliziert wird. Potenzen kommen in Klasse 5–7 (10–13 Jahre) vor.
explizite Darstellung	Das \(n\)-te Glied als Formel in \(n\) (auch Bildungsvorschrift). Bei einer geometrischen Folge ist sie \(a_n = a r^{n-1}\). Setzen Sie eine Stelle für \(n\) ein, kennen Sie sofort den Wert dieses Glieds. Das Gegenstück ist die rekursive Darstellung \(a_{n+1} = a_n \cdot r\).
unendliche geometrische Reihe	Die Glieder einer geometrischen Folge, unendlich lange addiert. Nur wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist, konvergiert die Summe gegen einen festen Wert, \(\dfrac{a}{1-r}\). Sie gehört zur Analysis der Oberstufe, aber die Idee ist einfach: Was man jeweils addiert, wird immer kleiner.
konvergieren	Sich einem festen Wert (dem Grenzwert) immer weiter annähern, je länger man addiert (oder je weiter man in der Folge geht). 100 + 50 + 25 + 12,5 + … nähert sich mit jedem Summanden 200, man sagt also, die Reihe konvergiert gegen 200.
arithmetische Folge	Eine Folge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; … (jedes Mal plus 3). Sie wächst anders als eine geometrische Folge, die mit derselben Zahl multipliziert, deshalb gelten die Formeln dieser Seite für sie nicht.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.

Zahlenfolgen und Muster (Klasse 3–5, 8–11 Jahre)	In einer Zahlenreihe wie 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … eine Regel wie „verdoppelt sich jedes Mal“ erkennen können In einer Tabelle jeder Stelle (Nummer) ihren Wert zuordnen können
Dezimalzahlen und Brüche multiplizieren (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass Multiplizieren mit 0,5 halbiert, etwa \(64 \times 0{,}5 = 32\) Wissen, dass das Ergebnis kleiner wird, wenn man mit einer Zahl kleiner als 1 multipliziert
Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Zwei negative Zahlen multiplizieren können, etwa \((-2) \times (-2) = 4\) (deshalb wechseln bei negativem Quotienten die Vorzeichen) Zwei negative Zahlen dividieren können, etwa \((-93) \div (-1) = 93\)
Potenzen und Terme (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Potenzen wie \(2^5 = 32\) ausrechnen können (so oft multiplizieren, wie die kleine Zahl rechts oben angibt) Einsetzen können, etwa \(n = 10\) in \(n - 1\) ergibt 9
Rechenregeln (Klasse 3–7, 8–13 Jahre)	Potenzen und Klammern zuerst ausrechnen (bei \(3 \times (1 - 2^5)\) erst \(2^5\), dann die Klammer, dann die Multiplikation)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für das n-te Glied (Anfangsglied 3, Quotient 2, 10 Glieder)

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
n-tes Glied	=B1*B2^(B3-1)

Tabelle für die Summe vom 1. bis zum n-ten Glied

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
Summe vom 1. bis zum n-ten Glied	=WENN(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabelle für den Wert der unendlichen geometrischen Reihe (Betrag des Quotienten kleiner als 1)

Anfangsglied a	100
Quotient r	0,5
Summe bei unendlich langem Addieren	=B1/(1-B2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen die Eingaben, und die unterste Zelle zeigt das berechnete Ergebnis.
In den Formeln bedeuten „B1“ und „B2“ „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ ist mal, „/“ geteilt durch und „^“ hoch (B2^(B3-1) ist „Quotient hoch (Anzahl der Glieder − 1)“, eine Potenz).
In der zweiten Tabelle unterscheidet WENN(B2=1; …) die Fälle: „Ist der Quotient 1, rechne Anfangsglied × Anzahl der Glieder, sonst nimm die Summenformel“ (bei einem Quotienten von 1 wäre der Nenner der Summenformel 0).
Die erste Tabelle zeigt zum Beispiel in B4 die 1536 (das 10. Glied), die zweite in B4 die 3069 (die Summe) und die dritte in B3 die 200. Ersetzen Sie einfach die Eingabezellen durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für das n-te Glied (Anfangsglied 3, Quotient 2, 10 Glieder)

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
n-tes Glied	=B1*B2^(B3-1)

Tabelle für die Summe vom 1. bis zum n-ten Glied

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
Summe vom 1. bis zum n-ten Glied	=WENN(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabelle für den Wert der unendlichen geometrischen Reihe (Betrag des Quotienten kleiner als 1)

Anfangsglied a	100
Quotient r	0,5
Summe bei unendlich langem Addieren	=B1/(1-B2)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezellen (B1 bis B3) durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

first_term = 3        # Anfangsglied
common_ratio = 2      # Quotient
number_of_terms = 10  # Anzahl der Glieder

# n-tes Glied = Anfangsglied * Quotient hoch (n - 1)
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# Summe vom 1. bis zum n-ten Glied = Anfangsglied * (1 - Quotient^n) / (1 - Quotient); bei Quotient 1: Anfangsglied * n
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# die ersten 10 Glieder der Folge (zur Kontrolle)
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"Erste Glieder: {sequence}")
print(f"{number_of_terms}. Glied: {nth_term}")
print(f"Summe vom 1. bis zum {number_of_terms}. Glied: {sum_of_terms}")

Das Programm kommt mit der Standardbibliothek aus. Ändern Sie die drei Zahlen oben (Anfangsglied, Quotient, Anzahl der Glieder) und führen Sie es aus. Im Beispiel erscheinen 1536 für das 10. Glied und für die Summe 3069 mit einer Nachkommastelle (Python schreibt sie mit Punkt). Möchten Sie bei einem Quotienten mit einem Betrag kleiner als 1 auch den Wert der unendlichen geometrischen Reihe, fügen Sie am Ende die Zeile „print(first_term / (1 - common_ratio))“ hinzu.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Formel für das \(n\)-te Glied (explizite Darstellung)

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (wenn der Quotient nicht \(1\) ist)

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

Formel für die Summe, wenn der Quotient \(1\) ist

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

Formel für den Wert der unendlichen geometrischen Reihe (wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist)

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für geometrische Folgen. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie das n-te Glied mit a_n = a × r^(n-1), die Summe mit S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) (S_n = a × n für r = 1) und den Wert der unendlichen geometrischen Reihe mit S = a/(1 - r) für |r| < 1.

1. Das 10. Glied und die Summe vom 1. bis zum 10. Glied der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten 2
2. Das 6. Glied, die Summe vom 1. bis zum 6. Glied und den Wert der unendlichen Reihe für die geometrische Folge mit dem Anfangsglied 100 und dem Quotienten 0,5
3. Das 6. Glied und die Summe vom 1. bis zum 6. Glied der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten -2

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel