Rechner für geometrische Folgen (n-tes Glied und Summe)

Geben Sie das Anfangsglied (die erste Zahl der Folge), den Quotienten (die Zahl, mit der Sie bei jedem Schritt multiplizieren) und die Anzahl der Glieder (bis zu welchem Glied gerechnet wird) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Sie erhalten die ersten Glieder, das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder auf einmal. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch direkt in der Formel das Anfangsglied, den Quotienten und die Anzahl der Glieder ändern. Ist der Betrag des Quotienten kleiner als 1, wird auch die Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren angezeigt (die Summe der unendlichen geometrischen Reihe).

Anfangsglied a

Quotient r

Anzahl der Glieder n

Das Anfangsglied und der Quotient dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein. Geben Sie die Anzahl der Glieder n als positive ganze Zahl ein (1 bis 1000).

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links das Anfangsglied, den Quotienten und die Anzahl der Glieder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie nur drei Werte ein, das Anfangsglied, den Quotienten (die Zahl, mit der Sie bei jedem Schritt multiplizieren) und die Anzahl der Glieder, und Sie erhalten das \(n\)-te Glied und die Summe der ersten \(n\) Glieder auf einmal
Sie eignen sich direkt für Aufgaben wie „Die Folge 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … verdoppelt sich jedes Mal. Wie groß ist die 10. Zahl? Wie groß ist die Summe der ersten 10 Zahlen?“
Das Anfangsglied und der Quotient dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein (für eine Folge, die sich jedes Mal halbiert, geben Sie den Quotienten „0,5“ ein, für eine Folge mit wechselndem Vorzeichen einen negativen Quotienten)
Ist der Betrag des Quotienten kleiner als 1, zeigt der Rechner auch die Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren an (die Summe der unendlichen geometrischen Reihe)
Zusammen mit dem Ergebnis zeigt ein Diagramm, wie die Glieder sich immer weiter verdoppeln (und dabei eine Kurve bilden). Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite gilt nur für geometrische Folgen (Folgen, bei denen der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, bei denen Sie also bei jedem Schritt mit derselben Zahl multiplizieren). Für Folgen, die durch Addition derselben Zahl wachsen, etwa 5 ; 8 ; 11 ; … (arithmetische Folgen), verwenden Sie bitte den Rechner für arithmetische Folgen.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Verstehen, wie Geld durch Zinseszins wächst (Geldplanung)

Beim Zinseszins, bei dem auch die Zinsen wieder verzinst werden, wächst das Guthaben jedes Jahr um denselben Faktor und bildet so eine geometrische Folge. Legen Sie 10.000 € zu 3 % Zinsen an, die jährlich gutgeschrieben werden, wird das Guthaben jedes Jahr mit 1,03 multipliziert. Nach 10 Jahren sind es \(10.000 \times 1{,}03^{10} \approx 13.439\) Euro (unter der Annahme, dass der Zinssatz alle 10 Jahre gleich bleibt).
„Wie viel ist es nach k Jahren?“ ist genau die Berechnung des \(n\)-ten Glieds einer geometrischen Folge. Der Unterschied zu einfachen Zinsen, bei denen das Guthaben jedes Jahr um denselben Betrag wächst (eine arithmetische Folge), ist „durch Addition wachsen oder durch Multiplikation wachsen“.

Das Wachstum von Bakterien oder Zellen abschätzen (Biologie und Lebensmittelhygiene)

Bakterien, die sich durch Teilung vermehren, verdoppeln sich bei jeder Teilung und bilden so eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2. Teilt sich ein Bakterium alle 20 Minuten einmal, gibt es nach 6 Stunden (18 Teilungen) \(2^{18} = 262.144\) davon, mehr als 260.000 (das gilt für den Idealfall mit genug Nahrung und Platz, in dem keine Bakterien absterben).
Dieses Verdopplungsmuster (exponentielles Wachstum) ist auch der Grund, warum man Lebensmittel nicht bei Raumtemperatur stehen lassen soll.

Beim Falten von Papier verdoppelt sich die Dicke (ein Gefühl für exponentielles Wachstum)

Falten Sie ein Blatt Kopierpapier von etwa 0,1 mm Dicke einmal, wird es doppelt so dick. Jedes Falten verdoppelt die Dicke, sie bildet also eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2. Auf dem Papier ergeben 10 Faltungen \(0{,}1 \times 2^{10} = 102{,}4\) mm, also etwa 10 cm, und 23 Faltungen etwa 839 m, mehr als der Burj Khalifa (828 m), das höchste Gebäude der Welt.
In der Wirklichkeit lässt sich Papier nur etwa 7- oder 8-mal falten. Trotzdem zeigt „nur 23 Verdopplungen, und man ist höher als das höchste Gebäude der Welt“, wie weit geometrisches Wachstum über unser Gefühl für Addition hinausgeht.

Berechnen, wie ein springender Ball an Höhe verliert (Physik und Sport)

Angenommen, ein Ball springt jedes Mal auf 60 % der Höhe zurück, aus der er gefallen ist. Lassen Sie ihn aus 2 m Höhe fallen, verkleinern sich die Sprunghöhen als geometrische Folge mit dem Quotienten 0,6. Beim 5. Aufprall springt er nur noch \(2 \times 0{,}6^{5} \approx 0{,}16\) m hoch (etwa 16 cm).
Dinge, die jedes Mal um denselben Prozentsatz abnehmen, etwa abklingende Schwingungen und Töne oder der Wirkstoffspiegel eines Medikaments im Blut, werden mit geometrischen Folgen modelliert, deren Quotient kleiner als 1 ist.

Musikalische Tonleitern sind geometrische Folgen von Frequenzen (Musik und Instrumente)

Die gleichstufige Stimmung, die beim Klavier und anderen Instrumenten verwendet wird, ist eine geometrische Folge: Jeder Halbtonschritt aufwärts multipliziert die Frequenz mit etwa 1,0595 (genau der 12. Wurzel aus 2). Zwölf Halbtonschritte aufwärts vom a’ (440 Hz) ergeben \(440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880\) Hz, das a’’ genau eine Oktave höher.
Weil jeder Halbtonschritt dasselbe Verhältnis hat, klingt Musik in jeder Tonart gleich, in die man sie verschiebt. Geometrische Folgen stecken im Fundament der Musik.

Formeln und Diagramme

Formel für das \(n\)-te Glied (explizite Darstellung)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(r\) \(n-1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(a_n\): \(n\)-tes Glied \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\times\) ② \(r\): Quotient ③ \((n-1)\): Anzahl der Schritte

Die Formel in Worten

① Beginnen Sie mit dem \(a\): Anfangsglied und multiplizieren Sie mit dem

② \(r\): Quotient immer wieder, so oft, wie die

③ \((n-1)\): Anzahl der Schritte angibt,

④ und Sie erhalten das \(a_n\): \(n\)-tes Glied

Einfaches Beispiel

Für die geometrische Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten 2 (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …) ist das 5. Glied

\(a_5\): 5. Glied \(=\) Anfangsglied (3) \(\times\) Quotient (2) Schritte (5 − 1 = 4)

\(3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48\)

Der Kerngedanke

Der häufigste Fehler ist, \(n\)-mal statt \((n-1)\)-mal zu multiplizieren. Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied multiplizieren Sie einmal pro Schritt mit dem Quotienten, und es gibt \(n-1\) Schritte, einen weniger als \(n\). Vom 1. bis zum 3. Glied multiplizieren Sie zum Beispiel nur zweimal (\(3-1\)-mal). Ist der Quotient \(r\) eine positive Zahl kleiner als \(1\) (zum Beispiel 0,5), werden die Glieder immer kleiner und nähern sich \(0\). Ist er negativ (zum Beispiel \(-2\)), wechselt das Vorzeichen der Glieder ab. In beiden Fällen gilt die Formel unverändert.

Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (wenn der Quotient nicht \(1\) ist)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \((1 - r^{n})\) \(\div\) \((1 - r)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\times\) ② \((1 - r^n)\): 1 minus Quotient hoch \(n\) \(\div\) ③ \((1 - r)\): 1 minus Quotient

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie das \(a\): Anfangsglied mit

② \((1 - r^n)\): 1 minus Quotient hoch \(n\) ,

③ teilen Sie dann durch \((1 - r)\): 1 minus Quotient ,

④ und Sie erhalten die \(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder

Einfaches Beispiel

Für die geometrische Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten 2 (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …) ist die Summe der Glieder 1 bis 5

\(S_5\): Summe bis zum 5. Glied \(=\) Anfangsglied (3) \(\times\) 1 minus Quotient hoch 5 (\(1 - 2^5 = -31\)) \(\div\) 1 minus Quotient (\(1 - 2 = -1\))

\(3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93\)

\(-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93\)

Der Kerngedanke

Ist der Quotient größer als 1, sind wie im Beispiel sowohl der Zähler (\(1 - r^n\)) als auch der Nenner (\(1 - r\)) negativ. Die beiden Minuszeichen heben sich beim Teilen auf, das Ergebnis wird also positiv. In Schulbüchern steht oft auch \(S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), das durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit \(-1\) die Vorzeichen vertauscht. Es ist genau dieselbe Formel, nur bequemer, wenn der Quotient größer als 1 ist. Ist der Quotient \(1\), wird der Nenner \(1 - r\) gleich \(0\), und diese Formel funktioniert nicht. Verwenden Sie dann die nächste Formel.

Formel für die Summe, wenn der Quotient \(1\) ist

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\times\) ② \(n\): Anzahl der Glieder

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie das \(a\): Anfangsglied mit der

② \(n\): Anzahl der Glieder ,

③ und Sie erhalten die \(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder

Einfaches Beispiel

Für die geometrische Folge mit dem Anfangsglied 5 und dem Quotienten 1 (5 ; 5 ; 5 ; 5 ; …) ist die Summe der Glieder 1 bis 4

\(S_4\): Summe bis zum 4. Glied \(=\) Anfangsglied (5) \(\times\) Anzahl der Glieder (4)

\(5 \times 4 = 20\)

Der Kerngedanke

Bei einer geometrischen Folge mit dem Quotienten \(1\) ist jedes Glied gleich dem Anfangsglied (5 ; 5 ; 5 ; …). Die Summe ist also einfach „Anfangsglied × Anzahl“. Betrachten Sie sie als den Sonderweg für \(r = 1\), bei dem die zweite Formel nicht funktioniert (dieser Rechner wechselt bei \(r = 1\) automatisch zu dieser Formel).

Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe (wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\div\) \((1 - r)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(S\): Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren \(=\) ① \(a\): Anfangsglied \(\div\) ② \((1 - r)\): 1 minus Quotient

Die Formel in Worten

① Teilen Sie das \(a\): Anfangsglied durch

② \((1 - r)\): 1 minus Quotient ,

③ und Sie erhalten die \(S\): Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren

Einfaches Beispiel

Addiert man die geometrische Folge mit dem Anfangsglied 100 und dem Quotienten 0,5 (100 ; 50 ; 25 ; 12,5 ; …) unendlich lange weiter, erhält man

\(S\): unendliche Summe \(=\) Anfangsglied (100) \(\div\) 1 minus Quotient (1 − 0,5 = 0,5)

\(100 \div (1 - 0{,}5) = 100 \div 0{,}5 = 200\)

Der Kerngedanke

Diese Formel gilt nur, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist (\(-1 < r < 1\)). Dann kommen die Glieder immer näher an \(0\), sodass die Summe sich auch beim unendlichen Weiteraddieren immer mehr einem festen Wert nähert (in diesem Beispiel 200). Man sagt, die Reihe konvergiert, und der Wert, dem sie sich nähert, ist die Summe \(S\) der unendlichen geometrischen Reihe. Ist der Betrag des Quotienten \(1\) oder größer, wächst die Summe über alle Grenzen (oder schwingt mit wechselndem Vorzeichen hin und her), es gibt also keine unendliche Summe. Dieser Rechner zeigt diesen Wert deshalb auch nur an, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist. Woher kommt die Formel? In der zweiten Formel nähert sich \(r^n\) der \(0\), wenn \(n\) immer größer wird, also nähert sich \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) dem Wert \(\dfrac{a}{1 - r}\).

Eine geometrische Folge multipliziert immer wieder mit derselben Zahl (dem Quotienten). Das \(n\)-te Glied ist „das Anfangsglied, \(n-1\)-mal mit dem Quotienten multipliziert“, und die Summe ist „Anfangsglied × (1 − Quotient hoch \(n\)) ÷ (1 − Quotient)“ (bei dem Quotienten \(1\) „Anfangsglied × Anzahl der Glieder“). Ist der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\), ergibt sich die Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren als \(a \div (1 - r)\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a\)	a	Das Anfangsglied. Das allererste Glied (die erste Zahl) der Folge. Bei der Folge 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … ist es 3.
\(r\)	r	Der Quotient. Die feste Zahl, mit der Sie multiplizieren, um zum nächsten Glied zu kommen. Bei 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … ist er 2. Der Buchstabe steht für „Ratio“ (Verhältnis); in vielen deutschen Schulbüchern heißt der Quotient q. Er kann eine Dezimalzahl oder eine negative Zahl sein.
\(n\)	n	Die Anzahl der Glieder. Eine positive ganze Zahl, die angibt, bis zu welchem Glied der Folge gerechnet wird. „Bis zum 10. Glied“ bedeutet \(n = 10\).
\(a_n\)	a Index n	Das \(n\)-te Glied. Die \(n\)-te Zahl der Folge. Der kleine Buchstabe unten rechts (der Index) sagt, das wievielte Glied gemeint ist. Das \(n\)-te Glied, als Formel in \(n\) geschrieben, heißt explizite Darstellung.
\(r^{n-1}\)	r hoch n minus 1	Der Quotient \(r\), \(n-1\)-mal mit sich selbst multipliziert (eine Potenz). Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied sind es \(n-1\) Schritte, Sie multiplizieren also einmal weniger, als es Glieder \(n\) gibt (vom 1. zum 3. Glied sind es 2 Schritte).
\(S_n\)	S Index n	Die Summe der ersten \(n\) Glieder. Eine Kurzschreibweise für \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). Der Buchstabe S steht für „Summe“.
\(S\)	S	Die Summe der unendlichen geometrischen Reihe. Der Wert, dem sich die Summe nähert, wenn Sie die Glieder unendlich lange weiter addieren. Sie wird auch \(S_\infty\) („S Index unendlich“) geschrieben.
\(\cdots\)	drei Punkte (Auslassungspunkte)	Ein Zeichen dafür, dass das Muster auf dieselbe Weise weitergeht. Die Schreibweise 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … bedeutet, dass sich die Zahlen immer weiter verdoppeln.

Begriffe

Zahlenfolge	Zahlen, die in einer festen Reihenfolge aufgelistet sind. Jede Zahl in der Liste heißt Glied. Man sagt kurz auch „Folge“.
geometrische Folge	Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … (jedes Mal mit 2 multiplizieren). Ihre Summe nennt man geometrische Reihe.
Glied	Jede einzelne Zahl in einer Zahlenfolge. Vom Anfang an heißen sie 1. Glied, 2. Glied und so weiter.
Anfangsglied	Das allererste Glied einer Zahlenfolge, also das 1. Glied. Es wird \(a\) oder \(a_1\) geschrieben.
konstanter Quotient	Bei einer geometrischen Folge die feste Zahl, mit der Sie multiplizieren, um zum nächsten Glied zu kommen. Egal, welches benachbarte Paar Sie teilen (späteres Glied ÷ früheres Glied), es ergibt sich derselbe Wert. Er darf eine Dezimalzahl sein (zum Beispiel 0,5, dann halbiert sich die Folge jedes Mal) oder eine negative Zahl (das Vorzeichen wechselt ab).
Potenz	Eine Zahl, die mehrfach mit sich selbst multipliziert wird. \(2^5\) („2 hoch 5“) ist \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\). Die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) gibt an, wie oft multipliziert wird. Das lernt man in Klasse 7–8 (12–14 Jahre).
explizite Darstellung	Das \(n\)-te Glied, als Formel in \(n\) geschrieben (auch allgemeines Glied genannt). Bei einer geometrischen Folge lautet sie \(a_n = a r^{n-1}\). Setzen Sie für \(n\) die Nummer ein, und Sie erhalten sofort den Wert dieses Glieds.
unendliche geometrische Reihe	Die Glieder einer geometrischen Folge, unendlich lange addiert. Nur wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist, konvergiert die Summe gegen einen festen Wert, \(\dfrac{a}{1-r}\). Sie gehört in der Schule zur Oberstufe, aber der Gedanke ist einfach: Jeder Betrag, den Sie hinzufügen, wird kleiner und kleiner.
Konvergenz	Man sagt, etwas konvergiert, wenn es sich mit jedem weiteren Summanden (oder jedem weiteren Schritt in der Folge) einem festen Wert immer weiter nähert. 100 + 50 + 25 + 12,5 + … kommt der 200 mit jedem Summanden näher, also konvergiert es gegen 200.
arithmetische Folge	Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; … (jedes Mal 3 addieren). Sie wächst anders als eine geometrische Folge, die mit derselben Zahl multipliziert, deshalb gelten die Formeln dieser Seite nicht.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Zahlenmuster (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Eine Regel wie „es verdoppelt sich jedes Mal“ in einer Zahlenreihe wie 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … erkennen können Eine Tabelle anlegen können, die jeder Nummer ihren Wert zuordnet
Multiplikation von Dezimalzahlen und Brüchen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass die Multiplikation mit 0,5 eine Zahl halbiert, etwa \(64 \times 0{,}5 = 32\) Wissen, dass die Multiplikation mit einer Zahl kleiner als 1 ein Ergebnis liefert, das kleiner ist als die Ausgangszahl
Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Zwei negative Zahlen multiplizieren können, etwa \((-2) \times (-2) = 4\) (deshalb wechselt das Vorzeichen, wenn der Quotient negativ ist) Zwei negative Zahlen dividieren können, etwa \((-93) \div (-1) = 93\)
Potenzen und Variablen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Potenzen wie \(2^5 = 32\) berechnen können (so oft multiplizieren, wie die kleine Zahl oben rechts angibt) Einsetzen können, etwa \(n = 10\) in \(n - 1\) einsetzen und 9 erhalten
Rechenreihenfolge (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Potenzen und das, was in Klammern steht, zuerst rechnen (bei \(3 \times (1 - 2^5)\) zuerst \(2^5\), dann die Klammer, dann die Multiplikation)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds (Anfangsglied 3, Quotient 2, 10 Glieder)

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
n-tes Glied	=B1*B2^(B3-1)

Tabelle zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
Summe der ersten n Glieder	=WENN(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabelle zur Berechnung der Summe einer unendlichen geometrischen Reihe (wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist)

Anfangsglied a	100
Quotient r	0,5
Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren	=B1/(1-B2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen die Eingaben, und die unterste Zelle zeigt das automatisch berechnete Ergebnis.
In den Formeln bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ eine Potenz (B2^(B3-1) ist „der Quotient hoch (Anzahl der Glieder − 1)“).
In der zweiten Tabelle unterscheidet WENN(B2=1; …) die Fälle: „Ist der Quotient 1, verwende Anfangsglied × Anzahl der Glieder, sonst die Summenformel“ (beim Quotienten 1 wäre der Nenner der Summenformel 0).
Die erste Tabelle zeigt zum Beispiel in B4 den Wert 1536 (das 10. Glied), die zweite in B4 den Wert 3069 (die Summe) und die dritte in B3 den Wert 200. Ersetzen Sie einfach die Eingabezellen durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds (Anfangsglied 3, Quotient 2, 10 Glieder)

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
n-tes Glied	=B1*B2^(B3-1)

Tabelle zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder

Anfangsglied a	3
Quotient r	2
Anzahl der Glieder n	10
Summe der ersten n Glieder	=WENN(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabelle zur Berechnung der Summe einer unendlichen geometrischen Reihe (wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist)

Anfangsglied a	100
Quotient r	0,5
Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren	=B1/(1-B2)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezellen (B1 bis B3) durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

first_term = 3        # Anfangsglied
common_ratio = 2      # Quotient
number_of_terms = 10  # Anzahl der Glieder

# n-tes Glied = Anfangsglied * Quotient hoch (n - 1)
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# Summe der ersten n Glieder = Anfangsglied * (1 - Quotient^n) / (1 - Quotient); bei Quotient 1: Anfangsglied * n
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# die ersten 10 Glieder der Folge (zur Kontrolle)
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"Erste Glieder: {sequence}")
print(f"{number_of_terms}. Glied: {nth_term}")
print(f"Summe der Glieder 1 bis {number_of_terms}: {sum_of_terms}")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Ändern Sie die drei Zahlen am Anfang (Anfangsglied, Quotient, Anzahl der Glieder) und führen Sie ihn aus. In diesem Beispiel werden 1536 für das 10. Glied und 3069 (als Dezimalzahl mit Nachkommastelle) für die Summe ausgegeben. Wenn Sie bei einem Betrag des Quotienten unter 1 auch die Summe der unendlichen geometrischen Reihe wissen möchten, fügen Sie am Ende die Zeile „print(first_term / (1 - common_ratio))“ hinzu.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Formel für das \(n\)-te Glied (explizite Darstellung)

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (wenn der Quotient nicht \(1\) ist)

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

Formel für die Summe, wenn der Quotient \(1\) ist

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe (wenn der Betrag des Quotienten kleiner als \(1\) ist)

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Berechnungen mit geometrischen Folgen. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Berechnen Sie das n-te Glied mit a_n = a × r^(n-1), die Summe mit S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) (S_n = a × n bei r = 1) und die Summe der unendlichen geometrischen Reihe mit S = a/(1 - r) für |r| < 1.

1. Das 10. Glied und die Summe der Glieder 1 bis 10 der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten 2
2. Das 6. Glied, die Summe der Glieder 1 bis 6 und die Summe bei unendlich vielem Weiteraddieren der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 100 und dem Quotienten 0,5
3. Das 6. Glied und die Summe der Glieder 1 bis 6 der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied 3 und dem Quotienten -2

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

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