Rechnen mit negativen Zahlen – Rechner für ganze Zahlen mit Vorzeichenregeln, Rechenweg und Zahlengerade
Geben Sie die Rechnung ein. Möglich sind ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche (als Division geschrieben, z. B. 1/2), Klammern und Potenzen (^2 oder ²). Bei reinen Aufgaben mit Addition und Subtraktion wird der Weg zum Ergebnis auch auf der Zahlengeraden gezeigt.
× und ÷ können Sie auch als * und / eingeben (der Doppelpunkt als Geteiltzeichen geht hier nicht). Ein Bruch wie 1/2 bedeutet dasselbe wie 1÷2. Geht eine Division nicht auf, wird das Ergebnis exakt als gekürzter Bruch angezeigt, ohne Rundung. Das Malzeichen der Multiplikation darf nicht fehlen.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links eine Rechnung ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier mit jedem Rechenschritt (bei reinen Plus- und Minusaufgaben auch auf der Zahlengeraden).
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Zahlengerade
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Geben Sie eine Rechnung mit positiven und negativen Zahlen wie -3+5-(-2) ein – Sie erhalten nicht nur das Ergebnis, sondern jeden Rechenschritt so, wie er in der Schule gelehrt wird
- Zu jedem Schritt steht in Worten, welche Vorzeichenregel verwendet wurde: „Subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren“, beim Auflösen von Klammern „gleiche Vorzeichen ergeben +, verschiedene Vorzeichen ergeben −“ und beim Multiplizieren und Dividieren „gerade Anzahl negativer Zahlen ergibt +, ungerade ergibt −“
- Bei reinen Aufgaben mit Addition und Subtraktion verfolgen Sie die Rechnung zusätzlich als Pfeile auf der Zahlengeraden (+ nach rechts, − nach links)
- Ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche (als Division eingegeben, z. B. 1/2), verschachtelte Klammern und Potenzen (^2 oder ²) sind möglich. Auch der leicht übersehene Unterschied zwischen \((-2)^2\) und \(-2^2\) wird richtig berücksichtigt
- Geht eine Division nicht auf, steht das Ergebnis als exakter, gekürzter Bruch da statt als gerundete Dezimalzahl. Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Diese Seite rechnet nur mit Zahlen. Terme mit einer Variablen wie x vereinfachen Sie auf der Seite „Terme vereinfachen“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Temperaturunterschiede berechnen (Wetter und Alltag)
„Tiefstwert −5 °C“ in der Wettervorhersage ist eines der bekanntesten Beispiele für negative Zahlen. Steigt die Temperatur von −5 °C am Morgen auf 3 °C am Mittag, beträgt der Anstieg 3 − (−5) = 8 °C – genau die Rechnung „eine negative Zahl subtrahieren“.
Den Unterschied zwischen Höchst- und Tiefstwert oder zwischen heute und gestern berechnen Sie mit derselben Subtraktion, und „5 Grad kälter als gestern“ entspricht der Addition von −5.
Einnahmen und Ausgaben zusammenrechnen (Plus und Minus im Haushaltsbuch)
Schreiben Sie Einnahmen mit + und Ausgaben mit −, dann ist der Monatssaldo die Summe aus positiven und negativen Zahlen. Zum Beispiel ergeben +3.200 € (Nettogehalt), −2.100 € (Lebenshaltung und Miete) und −700 € (sonstige Fixkosten) 3200 − 2100 − 700 = +400 €, also ein Plus.
Bilanzen von Unternehmen und die Kasse eines Ladens funktionieren genauso. Summen mit Verlusten (negativen Zahlen) richtig zu berechnen, ist eine Grundlage im Umgang mit Geld.
Höhenunterschiede berechnen (Erdkunde und Wandern)
Mit dem Meeresspiegel als 0 sind Höhen darüber positiv und Tiefen darunter negativ. Der Gipfel der Zugspitze liegt auf 2.962 m, der tiefste Punkt Deutschlands in Neuendorf-Sachsenbande (Schleswig-Holstein) auf −3,54 m. Der Höhenunterschied ist 2962 − (−3,54) = 2.965,54 m – in einem Schritt berechnet, indem man eine negative Zahl subtrahiert.
Höhenangaben auf Landkarten und Wassertiefen auf Seekarten nutzen dieses System. Für Unterschiede über den Bezugswert (Meeresspiegel) hinweg sind positive und negative Zahlen unverzichtbar.
Zeitverschiebung berechnen (Reisen und Arbeit über Zeitzonen hinweg)
Zeitzonen werden als Abweichung von der Weltzeit (UTC) mit positiven und negativen Zahlen angegeben, im Winter etwa +1 für Berlin (MEZ) und −5 für New York. Die Zeitverschiebung zwischen beiden ist 1 − (−5) = 6 Stunden – eine Subtraktion einer negativen Zahl.
Ob Sie ein Telefonat über Zeitzonen hinweg planen oder die Ankunftszeit eines Flugs ausrechnen: Beides beruht auf dieser Subtraktion mit Vorzeichen.
Spielstände und Tordifferenz (Golf, Fußball und mehr)
Beim Golf wird das Ergebnis im Verhältnis zum Par angegeben, etwa −3 (3 unter Par) oder +2 (2 über Par), und das Gesamtergebnis ist die Summe der positiven und negativen Zahlen aller Bahnen. Der Unterschied zwischen einem Spieler bei −3 und einem bei +2 ist (−3) − (+2) = −5, der erste führt also mit 5 Schlägen.
Auch die Tordifferenz in der Fußball-Bundesliga ist eine Zahl mit Vorzeichen (erzielte minus kassierte Tore) und entscheidet bei Punktgleichheit tatsächlich über die Platzierung.
Formeln und Zahlengerade
Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen
Auf der Zahlengeraden
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\((-a)\)
\(+\)
\((-b)\)
\(=\)
\(-(a+b)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-a\): negative Zahl
\(+\)
②
\(-b\): negative Zahl
\(=\)
③
\(-(a+b)\): Summe der Beträge mit dem gemeinsamen Vorzeichen
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(-a\): negative Zahl
②
und die
\(-b\): negative Zahl
(zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen), erhält man
③
die
Summe der Beträge \(a+b\) mit dem gemeinsamen Vorzeichen (−)
Einfaches Beispiel
Bei \((-3) + (-4)\) ist die Summe der Beträge 3 + 4 = 7 und das gemeinsame Vorzeichen −, also
negative Zahl (−3)
\(+\)
negative Zahl (−4)
\(=\)
Ergebnis −7
\((-3) + (-4) = -(3 + 4) = -7\)
Der Grundgedanke
Für die Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen (+ und + oder − und −) genügt eine Regel: die Beträge (die Zahlen ohne Vorzeichen) addieren und das gemeinsame Vorzeichen übernehmen. Bei zwei positiven Zahlen ist das die ganz normale Addition. Bei zwei negativen Zahlen denken Sie an Schulden – 30 € Schulden und 40 € Schulden sind zusammen 70 € Schulden. Beide zeigen in dieselbe Richtung und addieren sich.
Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
Auf der Zahlengeraden
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\((-a)\)
\(+\)
\(b\)
\(=\)
\(+(b-a)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-a\): negative Zahl
\(+\)
②
\(b\): positive Zahl
\(=\)
③
\(+(b-a)\): Differenz der Beträge mit dem Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(-a\): negative Zahl
②
und die
\(b\): positive Zahl
(zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen), erhält man
③
die
Differenz der Beträge \(b-a\) mit dem Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag
(diese Form der Formel gilt für den Fall \(0 < a < b\), in dem \(b\) den größeren Betrag hat)
Einfaches Beispiel
Bei \((-3) + 5\) ist die Differenz der Beträge 5 − 3 = 2, und die Zahl mit dem größeren Betrag (5) ist positiv, also
negative Zahl (−3)
\(+\)
positive Zahl (+5)
\(=\)
Ergebnis +2
\((-3) + 5 = +(5 - 3) = 2\)
Der Grundgedanke
Die Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen (+ und −) ist wie Tauziehen. −3 zieht 3 nach links, +5 zieht 5 nach rechts. Die stärkere Seite (der größere Betrag) gewinnt, und das Ergebnis rückt um den Unterschied in ihre Richtung. Daher die Regel: „Differenz der Beträge bilden und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag übernehmen“.
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen und gleichem Betrag (etwa −5 und +5) heben sich auf und ergeben zusammen 0.
Subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a\)
\(-\)
\((-b)\)
\(=\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(a\): Zahl
\(-\)
②
\(-b\): negative Zahl
\(=\)
\(a\): Zahl
\(+\)
③
\(+b\): Gegenzahl
Die Formel in Worten
①
Von der
\(a\): Zahl
②
die
\(-b\): negative Zahl
zu subtrahieren, ist dasselbe, wie
③
ihre
\(+b\): Gegenzahl (die Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen)
zu addieren (das − vor der Klammer und das − in der Klammer sind gleiche Vorzeichen, beim Auflösen der Klammer wird daraus +)
Einfaches Beispiel
Aus \(8 - (-5)\) wird die Addition von +5, der Gegenzahl von −5, also
Zahl 8
\(-\)
negative Zahl (−5)
\(=\)
Zahl 8
\(+\)
Gegenzahl +5
\(8 - (-5) = 8 + 5 = 13\)
Der Grundgedanke
Jede Subtraktion lässt sich als Addition der Gegenzahl schreiben (\(a - b = a + (-b)\)). Danach ist die Rechnung nur noch eine Summe aus Summanden, und die beiden Additionsregeln oben führen bis zum Ergebnis.
Für das Vorzeichen beim Auflösen von Klammern gibt es vier Fälle, kurz gesagt „gleiche Vorzeichen ergeben +, verschiedene Vorzeichen ergeben −“.
\(+(+b) = +b\), \(+(-b) = -b\), \(-(+b) = -b\), \(-(-b) = +b\)
Ein bekanntes Bild für „minus minus ergibt plus“: Nimmt Ihnen jemand Schulden weg (Sie subtrahieren eine negative Zahl), haben Sie am Ende mehr.
Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\((-a)\)
\(\times\)
\((-b)\)
\(=\)
\(+ab\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-a\): negative Zahl
\(\times\)
②
\(-b\): negative Zahl
\(=\)
③
\(+ab\): Produkt der Beträge mit +
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(-a\): negative Zahl
②
mit der
\(-b\): negative Zahl
, erhält man – weil es zwei negative Zahlen sind (eine gerade Anzahl) –
③
das
Produkt der Beträge \(ab\) mit +
Einfaches Beispiel
\((-2) \times (-3)\) enthält zwei negative Zahlen (eine gerade Anzahl), das Vorzeichen ist also +, und das Produkt der Beträge ist 2 × 3 = 6, also
negative Zahl (−2)
\(\times\)
negative Zahl (−3)
\(=\)
Ergebnis +6
\((-2) \times (-3) = +(2 \times 3) = 6\)
Der Grundgedanke
Das Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten hängt nur davon ab, wie viele negative Zahlen beteiligt sind. Bei einer geraden Anzahl (0, 2, 4, …) ist es +, bei einer ungeraden (1, 3, …) −. Für die Division gilt dieselbe Regel (Beispiel \(6 \div (-2) = -3\)).
Warum „minus mal minus ergibt plus“? Die Gegenzahl der Gegenzahl ist wieder die ursprüngliche Zahl. Mal −1 dreht die Richtung auf der Zahlengeraden um, zweimal umdrehen führt zur ursprünglichen Richtung zurück.
Steht das Vorzeichen fest, bleibt nur noch die gewöhnliche Multiplikation oder Division der Beträge.
Potenzen und Vorzeichen – der Unterschied zwischen \((-a)^2\) und \(-a^2\)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\((-a)^{2}\)
\(=\)
\(+a^{2}\)
\(-a^{2}\)
\(=\)
\(-(a \times a)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\((-a)^2\): Potenz mit Klammer
\(=\)
②
\(+a^2\): zweimal \(-a\) multipliziert
③
\(-a^2\): Potenz ohne Klammer
\(=\)
④
\(-(a \times a)\): \(a\) mal \(a\), dann −
Die Formel in Worten
①
Bei der
\((-a)^2\): Potenz mit Klammer
gehört der Exponent 2 zum ganzen Klammerinhalt, also \((-a) \times (-a)\). Bei zwei negativen Zahlen (eine gerade Anzahl) ergibt sich
②
\(+a^2\): zweimal \(-a\) multipliziert
(das Vorzeichen ist +). Bei der
③
\(-a^2\): Potenz ohne Klammer
gehört der Exponent 2 dagegen nur zum \(a\) direkt links davon, das Ergebnis ist also
④
\(-(a \times a)\): \(a\) mal \(a\), dann −
und hat das umgekehrte Vorzeichen
Einfaches Beispiel
Für \(a = 2\) haben die beiden Ergebnisse entgegengesetzte Vorzeichen
\((-2)^2\) mit Klammer
\(=\)
Ergebnis +4
\(-2^2\) ohne Klammer
\(=\)
Ergebnis −4
\((-2)^{2} = (-2) \times (-2) = +4\)
\(-2^{2} = -(2 \times 2) = -4\)
Der Grundgedanke
Der Exponent einer Potenz (dieselbe Zahl mehrmals multipliziert) gehört nur zu dem, was direkt links davon steht. Bei \((-2)^2\) gehört er zum ganzen Klammerinhalt, also wird −2 mit sich selbst multipliziert und es ergibt sich +4. Bei \(-2^2\) gehört er nur zur 2, also rechnet man \(2 \times 2 = 4\) und setzt dann − davor: −4.
Das ist einer der häufigsten Fehler in Klassenarbeiten. Merken Sie sich: Soll eine negative Zahl selbst potenziert werden, gehört sie immer in Klammern. Dieser Rechner unterscheidet beide Schreibweisen und rechnet jede richtig.
Rechnen Sie mit positiven und negativen Zahlen in dieser Reihenfolge, wie bei „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“: 1) Potenzen und Klammern zuerst, 2) Multiplikation und Division (das Vorzeichen ist + bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen und − bei einer ungeraden), 3) jede Subtraktion in die Addition der Gegenzahl umwandeln, 4) von links nach rechts addieren (gleiche Vorzeichen – Beträge addieren und das gemeinsame Vorzeichen übernehmen; verschiedene Vorzeichen – Beträge subtrahieren und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag übernehmen). Genau diese Schritte zeigt der Rechner.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(+\) | plus | Ein Zeichen mit zwei Aufgaben. Als Rechenzeichen steht es für die Addition wie in „3 + 5“, als Vorzeichen zeigt es, dass eine Zahl größer als 0 (positiv) ist, wie in „+3“. Das positive Vorzeichen lässt man meist weg, 3 und +3 sind also dieselbe Zahl. |
| \(-\) | minus | Wie + ein Zeichen mit zwei Aufgaben. Als Rechenzeichen steht es für die Subtraktion wie in „5 − 3“, als Vorzeichen zeigt es, dass eine Zahl kleiner als 0 (negativ) ist, wie in „−3“. Zwischen diesen beiden Rollen zu wechseln (eine Subtraktion als Addition einer negativen Zahl schreiben), ist der Schlüssel zum Rechnen mit positiven und negativen Zahlen. |
| \(\times,\ \div\) | mal, geteilt durch | Die Zeichen für Multiplikation und Division („Punktrechnung“). In einer Rechnung kommen sie vor Addition und Subtraktion dran (Punkt vor Strich). In der Schule schreibt man oft · und :, auf der Tastatur meist * und /. Dieser Rechner versteht ×, ÷, * und / sowie den Malpunkt ·. |
| \((\ )\) | Klammern | Zeichen, die einen Teil der Rechnung zusammenfassen. Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Außerdem umschließen sie eine negative Zahl, wenn Rechenzeichen und Vorzeichen direkt aufeinandertreffen würden, wie in „5 − (−2)“ (so stehen nie zwei Zeichen wie − − nebeneinander). |
| \(a^{2}\) | a hoch zwei (a Quadrat) | So schreibt man eine Potenz. Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie viele gleiche Faktoren multipliziert werden, also \(a^2 = a \times a\). Der Exponent gehört nur zu dem, was direkt links davon steht, deshalb sind \((-2)^2 = +4\) und \(-2^2 = -4\) verschiedene Rechnungen. |
Begriffe
| positive Zahl | Eine Zahl größer als 0, etwa +3 oder 2,5. Auf der Zahlengeraden liegt sie rechts von 0. Das Vorzeichen + kann man weglassen, deshalb sind alle bisher bekannten gewöhnlichen Zahlen positive Zahlen. |
| negative Zahl | Eine Zahl kleiner als 0, etwa −3 oder −0,5. Auf der Zahlengeraden liegt sie links von 0. Man braucht sie für Größen unter einem Bezugswert oder in Gegenrichtung, etwa eine Temperatur von −5 °C oder einen Kontostand von −300 € (im Minus). 0 ist weder positiv noch negativ. |
| Vorzeichen | Das + oder − vor einer Zahl. Eine Zahl mit + (oder ohne Zeichen) ist positiv, eine Zahl mit − ist negativ. Rechnen mit positiven und negativen Zahlen besteht immer aus zwei Teilen – das Vorzeichen bestimmen und mit dem Betrag rechnen. |
| Betrag | Der Abstand einer Zahl von 0 auf der Zahlengeraden, also die Zahl ohne ihr Vorzeichen – der Betrag von −5 ist 5, der von +3 ist 3 (geschrieben |−5| = 5). Alle Vorzeichenregeln für Addition und Multiplikation werden mit Vorzeichen und Betrag formuliert. |
| Summand | Jede einzelne Zahl, wenn eine Rechnung als reine Summe geschrieben ist. Aus −3 + 5 − (−2) wird −3 + 5 + 2, mit den drei Summanden −3, +5 und +2. |
| gleiche Vorzeichen | Zwei Zahlen haben dasselbe Vorzeichen (+ und + oder − und −). Sowohl die Additionsregeln als auch das Auflösen von Klammern hängen davon ab, ob die Vorzeichen gleich oder verschieden sind. |
| verschiedene Vorzeichen | Zwei Zahlen haben unterschiedliche Vorzeichen (+ und −). Sowohl die Additionsregeln als auch das Auflösen von Klammern hängen davon ab, ob die Vorzeichen gleich oder verschieden sind. |
| Grundrechenarten | Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammen. Eine Rechnung, die sie mischt, wird nach den Vorrangregeln gerechnet (Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich). |
| Addition | Das Zusammenzählen zu einer Summe (Plusrechnen). Beim Rechnen mit positiven und negativen Zahlen ist der Ausgangspunkt, dass sich jede Subtraktion in eine Addition verwandeln lässt, indem man das Vorzeichen der abgezogenen Zahl umkehrt. |
| Subtraktion | Das Abziehen einer Zahl von einer anderen, Ergebnis ist die Differenz (Minusrechnen). Beim Rechnen mit positiven und negativen Zahlen schreibt man eine Subtraktion als Addition der Gegenzahl der abgezogenen Zahl. |
| Multiplikation | Das Malnehmen, Ergebnis ist das Produkt. In einer Rechnung kommt sie vor Addition und Subtraktion (Punkt vor Strich). Das Vorzeichen des Ergebnisses ist + bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen und − bei einer ungeraden. |
| Division | Das Teilen, Ergebnis ist der Quotient. In einer Rechnung kommt sie vor Addition und Subtraktion (Punkt vor Strich). Wie bei der Multiplikation ist das Vorzeichen des Ergebnisses + bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen und − bei einer ungeraden. |
| Potenz | Dieselbe Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert, geschrieben wie \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\). Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie viele Faktoren es sind. Potenzen werden vor Multiplikation und Division berechnet. |
| Exponent | Die kleine hochgestellte Zahl einer Potenz (auch Hochzahl). Sie gibt an, wie viele Faktoren multipliziert werden. Der Exponent gehört nur zu dem, was direkt links davon steht, deshalb ändern Klammern das Ergebnis – \((-2)^2 = +4\), aber \(-2^2 = -4\). |
| Zahlengerade | Eine Zeichnung, die Zahlen als Punkte auf einer Geraden darstellt. Positive Zahlen liegen rechts von 0, negative Zahlen links, und nach rechts werden die Zahlen größer. Die Addition lässt sich als Pfeile darstellen (+ nach rechts, − nach links) – so kann man sich das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen gut vorstellen. (Der Zahlenstrahl aus der Grundschule kennt nur die Zahlen ab 0.) |
| Kehrwert | Die Zahl, mit der man multiplizieren muss, um 1 zu erhalten. Der Kehrwert von \(\dfrac{2}{3}\) ist \(\dfrac{3}{2}\). Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Achtung – das Vorzeichen ändert sich dabei nicht (der Kehrwert einer negativen Zahl bleibt negativ). |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen Folgendes.
Wenn Sie hängen bleiben, wiederholen Sie am besten diese Themen.
| Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen und Dezimalzahlen (Klasse 1–5, 6–11 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Vorrangregeln (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Zahlenstrahl und Zahlengerade (Klasse 3–6, 8–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle, die eine Rechnung direkt ausrechnet
| Rechnung (= und dann die Rechnung eingeben) | =-3+5-(-2) |
Tabelle zur Probe der Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | -4 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Probe der Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | 5 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Probe der Subtraktion
| Minuend a | 8 |
| Subtrahend b | -5 |
| Differenz a−b | =B1-B2 |
Tabelle zur Probe der Vorzeichen bei Multiplikation und Division
| Zahl a | -2 |
| Zahl b | -3 |
| Produkt a×b | =B1*B2 |
| Quotient a÷b | =B1/B2 |
Tabelle zur Probe von Potenzen und Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Exponent n | 2 |
| Potenz a^n | =B1^B2 |
In Excel schreiben Sie × als „*“, ÷ als „/“ und eine Potenz mit „^“. Wie in der ersten Tabelle tippen Sie in eine Zelle „=“ und dann die Rechnung, um eine ganze Rechnung mit positiven und negativen Zahlen auf einmal auszurechnen. Die Beispielrechnung ergibt 4.
Die übrigen Tabellen prüfen die Vorzeichenregeln aus dem Abschnitt „Formel“ mit Zellbezügen. Das Beispiel mit gleichen Vorzeichen ergibt −7, das mit verschiedenen Vorzeichen 2, die Subtraktion 8−(−5) = 13 und die Multiplikation (−2)×(−3) = 6.
Die Potenz-Tabelle rechnet mit Zellbezügen (=B1^B2) und liefert wie in der Mathematik (−3)² = 9. Tippen Sie aber „=-3^2“ direkt ein, gibt Excel 9 aus, weil es das vorangestellte Minus vor der Potenz anwendet (anders als in der Mathematik, wo −3² = −9 ist). Für −3² schreiben Sie „=-(3^2)“.
Die übrigen Tabellen prüfen die Vorzeichenregeln aus dem Abschnitt „Formel“ mit Zellbezügen. Das Beispiel mit gleichen Vorzeichen ergibt −7, das mit verschiedenen Vorzeichen 2, die Subtraktion 8−(−5) = 13 und die Multiplikation (−2)×(−3) = 6.
Die Potenz-Tabelle rechnet mit Zellbezügen (=B1^B2) und liefert wie in der Mathematik (−3)² = 9. Tippen Sie aber „=-3^2“ direkt ein, gibt Excel 9 aus, weil es das vorangestellte Minus vor der Potenz anwendet (anders als in der Mathematik, wo −3² = −9 ist). Für −3² schreiben Sie „=-(3^2)“.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle, die eine Rechnung direkt ausrechnet
| Rechnung (= und dann die Rechnung eingeben) | =-3+5-(-2) |
Tabelle zur Probe der Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | -4 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Probe der Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | 5 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Probe der Subtraktion
| Minuend a | 8 |
| Subtrahend b | -5 |
| Differenz a−b | =B1-B2 |
Tabelle zur Probe der Vorzeichen bei Multiplikation und Division
| Zahl a | -2 |
| Zahl b | -3 |
| Produkt a×b | =B1*B2 |
| Quotient a÷b | =B1/B2 |
Tabelle zur Probe von Potenzen und Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Exponent n | 2 |
| Potenz a^n | =B1^B2 |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
Auch Google Tabellen gibt bei „=-3^2“ direkt eingetippt 9 aus (das vorangestellte Minus kommt vor der Potenz), genau wie Excel. Für −3² schreiben Sie „=-(3^2)“.
Auch Google Tabellen gibt bei „=-3^2“ direkt eingetippt 9 aus (das vorangestellte Minus kommt vor der Potenz), genau wie Excel. Für −3² schreiben Sie „=-(3^2)“.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# Rechnung direkt hinschreiben (× ist *, ÷ ist /, eine Potenz ist **)
# Python behandelt Vorzeichen wie die Mathematik: -2**2 ist -(2 hoch 2) = -4
result = -3 + 5 - (-2)
print(f"Ergebnis: {result}")
# Bei Rechnungen mit Division behält Fraction den exakten Wert als Bruch, ohne Rundungsfehler
exact_value = Fraction(6) / (-4) + 1 # 6 ÷ (−4) + 1
print(f"Ergebnis als Bruch: {exact_value}")
print(f"Als Dezimalzahl: {float(exact_value)}")
Das erste Beispiel rechnet -3+5-(-2) direkt aus und gibt „4“ aus. Das zweite Beispiel enthält eine Division. Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek ergibt 6÷(−4)+1 den exakten Bruch „-1/2“ (als Dezimalzahl −0,5). Ersetzen Sie die Rechnungen durch Ihre eigenen und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen
(−a) + (−b) = −(a + b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a) + (-b) = -(a + b)
(-a) + (-b)
(-a) + (-b);
(-a) + (-b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
(−a) + b = +(b − a) (when 0 < a < b)
(-a) + b = +(b - a) \quad (0 < a < b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a) + b = +(b - a)
(-a) + b
(-a) + b;
(-a) + b
(-a) + b = +(b - a)
Subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren
a − (−b) = a + b
a - (-b) = a + b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a - (-b) = a + b
a - (-b)
a - (-b);
a - (-b)
a - (-b) = a + b
Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division
(−a) × (−b) = +ab
(-a) \times (-b) = +ab
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
(-a) xx (-b) = +ab
(-a) * (-b)
(-a) * (-b);
(-a) * (-b)
(-a) × (-b) = +ab
Potenzen und Vorzeichen – der Unterschied zwischen \((-a)^2\) und \(-a^2\)
(−a)² = +a², −a² = −(a × a)
(-a)^{2} = +a^{2}, \quad -a^{2} = -(a \times a)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>,</mo>
<mo>−</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a xx a)
{(-a)^2, -a^2}
(-a)^2; -a^2;
[(-a)^2, -a^2]
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a × a)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Sekundarstufe I). Führen Sie die folgenden Berechnungen unbedingt aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Berechnen Sie die folgenden Aufgaben mit positiven und negativen Zahlen. 1. -3+5-(-2) 2. (-2)×(-3)-4 3. 6÷(-2)+1 4. (-2)^2 und -2^2 (erklären Sie auch den Unterschied zwischen beiden) Ersetzen Sie in Python × durch *, ÷ durch / und Potenzen durch **, und rechnen Sie Aufgaben mit Division mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt. Erklären Sie zu jeder Aufgabe die verwendeten Vorzeichenregeln (gleiche oder verschiedene Vorzeichen, Anzahl der negativen Zahlen) so, dass es Lernende der Klasse 7 (12–13 Jahre) verstehen, und geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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