Geben Sie den Ausdruck ein, den Sie berechnen möchten. Sie können ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche (geschrieben als Division, zum Beispiel 1/2), Klammern und Potenzen (^2 oder ²) verwenden. Bei Ausdrücken nur mit Addition und Subtraktion werden die Schritte bis zum Ergebnis auch auf einer Zahlengerade gezeigt.
Sie können × und ÷ auch als * und / eingeben. Ein Bruch wie 1/2 bedeutet dasselbe wie 1÷2. Geht eine Division nicht auf, wird das Ergebnis ohne Rundung exakt als gekürzter Bruch angezeigt. Das × für die Multiplikation darf nicht weggelassen werden.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links einen Ausdruck ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier mit jedem Rechenschritt (bei Ausdrücken nur mit Addition und Subtraktion auch mit einer Zahlengerade).
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Zahlengerade
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie einen Ausdruck mit positiven und negativen Zahlen ein, zum Beispiel -3+5-(-2), und Sie erhalten nicht nur das Ergebnis, sondern jeden Rechenschritt in der Reihenfolge, wie sie in der Schule gelehrt wird
- Jeder Schritt erklärt in einfachen Worten, welche Regel für das Vorzeichen angewendet wurde: „Subtrahieren heißt, die Gegenzahl addieren“, beim Auflösen von Klammern „gleiche Vorzeichen ergeben +, verschiedene Vorzeichen ergeben −“ und beim Multiplizieren und Dividieren „bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen ergibt sich +, bei einer ungeraden −“
- Bei Ausdrücken nur mit Addition und Subtraktion können Sie den Rechenweg auch an Pfeilen auf einer Zahlengerade verfolgen (+ nach rechts, − nach links)
- Ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche (eingegeben als Division, zum Beispiel 1/2), verschachtelte Klammern und Potenzen (^2 oder ²) sind möglich. Auch der leicht zu verwechselnde Unterschied zwischen \((-2)^2\) und \(-2^2\) wird richtig behandelt
- Geht eine Division nicht auf, wird das Ergebnis als gekürzter Bruch (exakter Wert) angezeigt und nicht als gerundete Dezimalzahl. Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite verarbeitet Ausdrücke nur mit Zahlen. Terme mit Buchstaben wie x können Sie auf der Seite zum Vereinfachen von Termen umformen.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Temperaturänderungen (Wetter und Alltag)
Eine Winterprognose von „Tiefstwert −5 °C“ ist eine der vertrautesten negativen Zahlen. Steigt die Temperatur von −5 °C am Morgen auf 3 °C am Mittag, beträgt der Anstieg 3 − (−5) = 8 °C, und das ist genau die „Subtraktion einer negativen Zahl“.
Den Unterschied zwischen Höchst- und Tiefstwert oder zwischen heute und gestern bestimmt man mit derselben Subtraktion, und „5 Grad kälter als gestern“ ist dasselbe wie das Addieren von −5.
Einnahmen und Ausgaben zusammenrechnen (Plus und Minus)
Schreiben Sie Einnahmen mit + und Ausgaben mit −, dann ist die Monatsbilanz die Summe aus positiven und negativen Zahlen. Zum Beispiel ergeben +2.400 € (Nettogehalt), −1.500 € (Miete und Nebenkosten) und −600 € (übrige Ausgaben) zusammen 2400 − 1500 − 600 = +300 €, also ein Plus.
Firmenbilanzen und die Buchführung eines Ladens funktionieren genauso. Summen mit Verlusten (negativen Zahlen) richtig zusammenzurechnen, ist eine Grundfertigkeit im Umgang mit Geld.
Höhenunterschiede (Geografie und Wandern)
Mit dem Meeresspiegel (Normalhöhennull, NHN) als 0 sind Höhen darüber + und Tiefen darunter −. In Deutschland liegt der Gipfel der Zugspitze bei 2.962 m, und die tiefste Landstelle bei Neuendorf-Sachsenbande in Schleswig-Holstein bei −3,54 m (Werte nach der Liste der Extrempunkte Deutschlands, Stand 2026). Der Höhenunterschied ist 2962 − (−3,54) = 2.965,54 m, in einem Schritt durch Subtrahieren einer negativen Zahl gefunden.
Höhen auf Karten und Tiefen auf Seekarten verwenden dasselbe System, und positive und negative Zahlen sind unverzichtbar bei Unterschieden, die über das Bezugsniveau (den Meeresspiegel) hinweg gehen.
Zeitunterschiede (Reisen und Arbeiten über Zeitzonen hinweg)
Zeitzonen gibt man als Abweichung von einer Standardzeit (UTC) mit positiven und negativen Zahlen an, zum Beispiel +1 für Berlin (Mitteleuropäische Zeit, MEZ) und −5 für New York im Winter. Der Zeitunterschied zwischen beiden ist 1 − (−5) = 6 Stunden, also die Subtraktion einer negativen Zahl.
Einen Anruf über Zeitzonen hinweg zu planen oder die Ankunftszeit eines Fluges auszurechnen, beides beruht auf dieser Subtraktion mit Zahlen mit Vorzeichen.
Sportergebnisse und Differenzen (Golf, Fußball und mehr)
Beim Golf wird das Ergebnis relativ zum Par angegeben, etwa −3 (3 unter Par) oder +2 (2 über Par), und die Gesamtzahl ist die Summe der positiven und negativen Zahlen jedes Lochs. Der Unterschied zwischen einem Spieler mit −3 und einem Spieler mit +2 ist (−3) − (+2) = −5, der erste Spieler liegt also 5 Schläge in Führung.
Auch die Tordifferenz im Fußball (erzielte Tore minus Gegentore) ist eine Zahl mit Vorzeichen, und sie wird in vielen Ligen, auch in der Bundesliga, bei Punktgleichheit für die Platzierung herangezogen.
Formeln und Zahlengerade
Zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen addieren
Auf der Zahlengerade
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\((-a)\)
\(+\)
\((-b)\)
\(=\)
\(-(a+b)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-a\): negative Zahl
\(+\)
②
\(-b\): negative Zahl
\(=\)
③
\(-(a+b)\): Summe der Beträge mit dem gemeinsamen Vorzeichen
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(-a\): negative Zahl
②
und die
\(-b\): negative Zahl
(zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen), erhält man
③
die
Summe der Beträge \(a+b\) mit dem gemeinsamen Vorzeichen (−)
Einfaches Beispiel
Bei \((-3) + (-4)\) ist die Summe der Beträge 3 + 4 = 7 und das gemeinsame Vorzeichen −, also
negative Zahl (−3)
\(+\)
negative Zahl (−4)
\(=\)
Ergebnis −7
\((-3) + (-4) = -(3 + 4) = -7\)
Der Kerngedanke
Zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen (+ und +, oder − und −) addiert man mit einer einzigen Regel: Man addiert die Beträge (die Größen der Zahlen ohne ihre Vorzeichen) und behält das gemeinsame Vorzeichen bei. Bei zwei positiven Zahlen ist das die gewöhnliche Addition. Bei zwei negativen Zahlen denken Sie an „30 € Schulden plus 40 € Schulden sind 70 € Schulden“: Beide gehen in dieselbe Richtung und summieren sich.
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen addieren
Auf der Zahlengerade
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\((-a)\)
\(+\)
\(b\)
\(=\)
\(+(b-a)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-a\): negative Zahl
\(+\)
②
\(b\): positive Zahl
\(=\)
③
\(+(b-a)\): Differenz der Beträge mit dem Vorzeichen des größeren
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(-a\): negative Zahl
②
und die
\(b\): positive Zahl
(zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen), erhält man
③
die
Differenz der Beträge \(b-a\) mit dem Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag
(diese Form der Formel gilt für den Fall \(0 < a < b\), in dem \(b\) den größeren Betrag hat)
Einfaches Beispiel
Bei \((-3) + 5\) ist die Differenz der Beträge 5 − 3 = 2, und die Zahl mit dem größeren Betrag (5) hat das Vorzeichen +, also
negative Zahl (−3)
\(+\)
positive Zahl (+5)
\(=\)
Ergebnis +2
\((-3) + 5 = +(5 - 3) = 2\)
Der Kerngedanke
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen (+ und −) zu addieren ist wie ein Tauziehen. −3 zieht 3 nach links und +5 zieht 5 nach rechts, also gewinnt die stärkere Seite (der größere Betrag), und das Ergebnis liegt in Richtung des Gewinners um den Unterschied verschoben. Deshalb lautet die Regel: „Man bildet die Differenz der Beträge und nimmt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag“.
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen und gleichem Betrag (wie −5 und +5) heben sich auf und ergeben zusammen 0.
Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a\)
\(-\)
\((-b)\)
\(=\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(a\): Zahl
\(-\)
②
\(-b\): negative Zahl
\(=\)
\(a\): Zahl
\(+\)
③
\(+b\): die Gegenzahl
Die Formel in Worten
①
Zieht man von der
\(a\): Zahl
②
die
\(-b\): negative Zahl
ab, ist das dasselbe, wie die
③
\(+b\): Gegenzahl (die Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen)
zu addieren (das − vor der Klammer und das − in der Klammer sind gleiche Vorzeichen, also ergibt das Auflösen der Klammer +)
Einfaches Beispiel
\(8 - (-5)\) wird zur Addition von +5, der Gegenzahl von −5, also
Zahl 8
\(-\)
negative Zahl (−5)
\(=\)
Zahl 8
\(+\)
die Gegenzahl +5
\(8 - (-5) = 8 + 5 = 13\)
Der Kerngedanke
Jede Subtraktion lässt sich als Addition der Gegenzahl schreiben (\(a - b = a + (-b)\)). Ist der Ausdruck so umgeschrieben, ist er nur noch eine Summe aus Summanden, und die beiden Regeln für die Addition oben führen Sie bis zum Ergebnis.
Beim Auflösen von Klammern gibt es vier Fälle für das Vorzeichen, zusammengefasst als „gleiche Vorzeichen ergeben +, verschiedene Vorzeichen ergeben −“ (bei Plusklammern bleibt alles gleich, bei Minusklammern kehrt sich das Vorzeichen um).
\(+(+b) = +b\), \(+(-b) = -b\), \(-(+b) = -b\), \(-(-b) = +b\)
Eine gängige Vorstellung für „Minus mal Minus ergibt Plus“ beim Subtrahieren: Nimmt Ihnen jemand Schulden (eine negative Zahl) ab (subtrahiert sie), haben Sie danach mehr.
Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\((-a)\)
\(\times\)
\((-b)\)
\(=\)
\(+ab\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-a\): negative Zahl
\(\times\)
②
\(-b\): negative Zahl
\(=\)
③
\(+ab\): Produkt der Beträge mit +
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(-a\): negative Zahl
②
mit der
\(-b\): negative Zahl
erhält man, weil es zwei negative Zahlen sind (eine gerade Anzahl),
③
das
Produkt der Beträge \(ab\) mit +
Einfaches Beispiel
Bei \((-2) \times (-3)\) sind es zwei negative Zahlen (eine gerade Anzahl), also ist das Vorzeichen +, und das Produkt der Beträge ist 2 × 3 = 6, also
negative Zahl (−2)
\(\times\)
negative Zahl (−3)
\(=\)
Ergebnis +6
\((-2) \times (-3) = +(2 \times 3) = 6\)
Der Kerngedanke
Das Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten hängt nur davon ab, wie viele negative Zahlen multipliziert oder dividiert werden. Bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen (0, 2, 4, …) ergibt sich +, bei einer ungeraden Anzahl (1, 3, …) ergibt sich −. Für die Division gilt dieselbe Regel (Beispiel: \(6 \div (-2) = -3\)). Kurz gesagt: gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Vorzeichen ergeben Minus.
Eine Möglichkeit, „Minus mal Minus ergibt Plus“ zu verstehen: Die Gegenzahl der Gegenzahl ist die ursprüngliche Zahl. Die Multiplikation mit −1 dreht die Richtung auf der Zahlengerade um, und zweimal umdrehen führt wieder zur ursprünglichen Richtung.
Ist das Vorzeichen bestimmt, bleibt nur die gewöhnliche Multiplikation oder Division der Beträge.
Potenzen und Vorzeichen: der Unterschied zwischen \((-a)^2\) und \(-a^2\)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\((-a)^{2}\)
\(=\)
\(+a^{2}\)
\(-a^{2}\)
\(=\)
\(-(a \times a)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\((-a)^2\): Potenz mit Klammer
\(=\)
②
\(+a^2\): zwei Faktoren \(-a\) miteinander multipliziert
③
\(-a^2\): Potenz ohne Klammer
\(=\)
④
\(-(a \times a)\): \(a\) mal \(a\), dann −
Die Formel in Worten
①
Bei der
\((-a)^2\): Potenz mit Klammer
gilt der Exponent 2 für alles in der Klammer, es ist also \((-a) \times (-a)\). Bei zwei negativen Zahlen (eine gerade Anzahl) ist das Ergebnis
②
die
\(+a^2\): zwei Faktoren \(-a\) miteinander multipliziert
(das Vorzeichen ist +). Dagegen gilt bei der
③
\(-a^2\): Potenz ohne Klammer
der Exponent 2 nur für das \(a\) direkt links davon, das Ergebnis ist also
④
die
\(-(a \times a)\): \(a\) mal \(a\), dann −
und das Vorzeichen des Ergebnisses ist das entgegengesetzte
Einfaches Beispiel
Für \(a = 2\) haben die beiden Ausdrücke Ergebnisse mit entgegengesetztem Vorzeichen
\((-2)^2\) mit Klammer
\(=\)
Ergebnis +4
\(-2^2\) ohne Klammer
\(=\)
Ergebnis −4
\((-2)^{2} = (-2) \times (-2) = +4\)
\(-2^{2} = -(2 \times 2) = -4\)
Der Kerngedanke
Der Exponent einer Potenz (dieselbe Zahl mehrfach multiplizieren) gilt nur für das, was direkt links davon steht. \((-2)^2\) gilt für alles in der Klammer, multipliziert also −2 mit sich selbst und ergibt +4. Bei \(-2^2\) gilt der Exponent nur für die 2, man erhält \(2 \times 2 = 4\) und setzt dann das − davor: −4.
Das ist einer der häufigsten Fehler in Klassenarbeiten. Merken Sie sich also: Um eine negative Zahl selbst zu potenzieren, setzen Sie immer Klammern. Dieser Rechner unterscheidet die beiden Schreibweisen und berechnet jede richtig.
Bei den Grundrechenarten mit positiven und negativen Zahlen gehen Sie in dieser Reihenfolge vor, die der Regel „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“ entspricht: (1) zuerst die Klammern und die Potenzen, (2) Multiplikation und Division (das Vorzeichen ist + bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen und − bei einer ungeraden), (3) die Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben, (4) von links nach rechts addieren (gleiche Vorzeichen: die Beträge addieren und das gemeinsame Vorzeichen beibehalten; verschiedene Vorzeichen: die Beträge subtrahieren und das Vorzeichen des größeren nehmen). Genau diese Schritte zeigt Ihnen dieser Rechner.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(+\) | plus | Ein Zeichen mit zwei Aufgaben. Es steht für die Addition, wie in „3 + 5“, und es zeigt an, dass eine Zahl größer als 0 (positiv) ist, wie in „+3“ (das positive Vorzeichen). Das positive Vorzeichen lässt man meist weg, 3 und +3 sind also dieselbe Zahl. |
| \(-\) | minus | Wie + ein Zeichen mit zwei Aufgaben. Es steht für die Subtraktion, wie in „5 − 3“, und es zeigt an, dass eine Zahl kleiner als 0 (negativ) ist, wie in „−3“ (das negative Vorzeichen). Zwischen diesen beiden Aufgaben zu wechseln (eine Subtraktion als Addition einer negativen Zahl zu schreiben) ist der Schlüssel zum Rechnen mit positiven und negativen Zahlen. |
| \(\times,\ \div\) | mal, geteilt durch | Die Zeichen für die Multiplikation und die Division. In einem Ausdruck werden sie vor der Addition und der Subtraktion ausgeführt (Punkt vor Strich). Auf der Tastatur nimmt man meist * für × und / für ÷, und dieser Rechner akzeptiert beides. In der Schule schreibt man für die Division oft auch einen Doppelpunkt (:). |
| \((\ )\) | Klammern | Zeichen, die einen Teil der Rechnung zusammenfassen. Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Außerdem umschließen sie eine negative Zahl, wenn ein Rechenzeichen und ein Vorzeichen nebeneinanderstehen würden, wie in „5 − (−2)“ (damit nie zwei Zeichen direkt hintereinander geschrieben werden, wie − −). |
| \(a^{2}\) | a hoch zwei | So schreibt man eine Potenz. Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie viele Faktoren derselben Zahl multipliziert werden, also \(a^2 = a \times a\). Der Exponent gilt nur für das, was direkt links davon steht, deshalb sind \((-2)^2 = +4\) und \(-2^2 = -4\) verschiedene Ausdrücke. |
Begriffe
| positive Zahl | Eine Zahl größer als 0, zum Beispiel +3 oder 2,5. Auf der Zahlengerade liegt sie rechts von 0. Das + Vorzeichen kann man weglassen, alle gewöhnlichen Zahlen, mit denen Sie bisher gerechnet haben, sind also positive Zahlen. |
| negative Zahl | Eine Zahl kleiner als 0, zum Beispiel −3 oder −0,5. Auf der Zahlengerade liegt sie links von 0. Man verwendet sie für Größen unterhalb eines Bezugspunkts oder in der Gegenrichtung, etwa bei einer Temperatur von −5 °C oder einem Kontostand von −300 € (ein Minus). 0 ist weder positiv noch negativ. |
| Vorzeichen | Das + oder − vor einer Zahl. Eine Zahl mit + (oder ohne Zeichen) ist positiv, eine Zahl mit − ist negativ. Das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen hat immer zwei Teile - das Vorzeichen bestimmen und den Betrag berechnen. |
| Betrag | Der Abstand einer Zahl von 0 auf der Zahlengerade. Er ist die Größe der Zahl ohne ihr Vorzeichen - der Betrag von −5 ist 5 und der von +3 ist 3. Alle Vorzeichenregeln für die Addition und die Multiplikation werden mit dem Vorzeichen und dem Betrag formuliert. |
| Summand | Jede einzelne Zahl, wenn ein Ausdruck nur noch als Addition geschrieben ist. −3 + 5 − (−2) wird zu −3 + 5 + 2 und hat drei Summanden - −3, +5 und +2. |
| gleiche Vorzeichen | Zwei Zahlen haben gleiche Vorzeichen, wenn beide dasselbe Zeichen haben (+ und +, oder − und −). Sowohl die Regeln für die Addition als auch die Regeln für das Auflösen von Klammern unterscheiden danach, ob die Vorzeichen gleich oder verschieden sind. |
| verschiedene Vorzeichen | Zwei Zahlen haben verschiedene Vorzeichen, wenn ihre Zeichen unterschiedlich sind (+ und −). Sowohl die Regeln für die Addition als auch die Regeln für das Auflösen von Klammern unterscheiden danach, ob die Vorzeichen gleich oder verschieden sind. |
| Grundrechenarten | Die vier Rechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zusammen. Ein Ausdruck, der sie mischt, wird in der Reihenfolge „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“ ausgerechnet (Punktrechnung sind Multiplikation und Division, Strichrechnung sind Addition und Subtraktion). |
| Addition | Zahlen zu einer Summe zusammenfassen. Beim Rechnen mit positiven und negativen Zahlen ist der Ausgangspunkt, dass sich jede Subtraktion in eine Addition verwandeln lässt, indem man das Vorzeichen der abgezogenen Zahl ändert. |
| Subtraktion | Eine Zahl von einer anderen abziehen, um die Differenz zu finden. Beim Rechnen mit positiven und negativen Zahlen schreibt man die Subtraktion als Addition der Gegenzahl der abgezogenen Zahl. |
| Multiplikation | Ein Produkt bestimmen. In einem Ausdruck wird sie vor der Addition und der Subtraktion ausgeführt. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist + bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen und − bei einer ungeraden. |
| Division | Einen Quotienten bestimmen. In einem Ausdruck wird sie vor der Addition und der Subtraktion ausgeführt. Wie bei der Multiplikation ist das Vorzeichen des Ergebnisses + bei einer geraden Anzahl negativer Zahlen und − bei einer ungeraden. |
| Potenz | Dieselbe Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizieren, geschrieben wie \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\). Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie viele Faktoren multipliziert werden. Potenzen werden vor der Multiplikation und der Division berechnet. |
| Exponent | Die kleine hochgestellte Zahl bei einer Potenz. Sie gibt an, wie viele Faktoren multipliziert werden. Der Exponent gilt nur für das, was direkt links davon steht, deshalb ändern Klammern das Ergebnis - \((-2)^2 = +4\), aber \(-2^2 = -4\). |
| Zahlengerade | Eine Zeichnung, die Zahlen als Punkte auf einer geraden Linie zeigt. Positive Zahlen liegen rechts von 0 und negative Zahlen links, und je weiter rechts, desto größer ist die Zahl. Die Addition lässt sich als Pfeile darstellen (nach rechts für +, nach links für −), das macht sie zu einer sehr guten Vorstellung für positive und negative Zahlen. |
| Kehrwert | Die Zahl, mit der man multipliziert, um 1 zu erhalten. Der Kehrwert von \(\dfrac{2}{3}\) ist \(\dfrac{3}{2}\). Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Beachten Sie, dass sich das Vorzeichen nicht ändert (der Kehrwert einer negativen Zahl bleibt negativ). |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.
| Rechnen mit natürlichen Zahlen und Dezimalzahlen (Klasse 1–6, 6–12 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Rechenreihenfolge (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Die Zahlengerade (Klasse 1–6, 6–12 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle, die einen Ausdruck direkt berechnet
| Ausdruck (= eingeben und dann den Ausdruck) | =-3+5-(-2) |
Tabelle zur Kontrolle der Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | -4 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Kontrolle der Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | 5 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Kontrolle der Subtraktion
| Zahl a | 8 |
| Abzuziehende Zahl b | -5 |
| Differenz a−b | =B1-B2 |
Tabelle zur Kontrolle der Vorzeichen bei Multiplikation und Division
| Zahl a | -2 |
| Zahl b | -3 |
| Produkt a×b | =B1*B2 |
| Quotient a÷b | =B1/B2 |
Tabelle zur Kontrolle von Potenzen und Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Exponent n | 2 |
| Potenz a^n | =B1^B2 |
In Excel schreibt man × als „*“, ÷ als „/“ und eine Potenz als „^“. Wie in der ersten Tabelle geben Sie „=“ und dann den Ausdruck in eine Zelle ein, um einen ganzen Ausdruck mit positiven und negativen Zahlen auf einmal zu berechnen. Der Beispielausdruck ergibt 4.
Die anderen Tabellen überprüfen die Regeln für das Vorzeichen aus dem Abschnitt „Formel“ mit Zellbezügen. Die Addition bei gleichen Vorzeichen ergibt −7, die Addition bei verschiedenen Vorzeichen ergibt 2, die Subtraktion ergibt 8−(−5) = 13 und die Multiplikation ergibt (−2)×(−3) = 6.
Die Potenz-Tabelle verwendet Zellbezüge (=B1^B2) und ergibt deshalb (−3)² = 9, wie in der Mathematik. Geben Sie aber direkt „=-3^2“ ein, liefert Excel 9, weil es das führende Minus vor der Potenz anwendet (das Gegenteil der mathematischen Regel, −3² = −9). Wenn Sie −3² möchten, geben Sie „=-(3^2)“ ein.
Die anderen Tabellen überprüfen die Regeln für das Vorzeichen aus dem Abschnitt „Formel“ mit Zellbezügen. Die Addition bei gleichen Vorzeichen ergibt −7, die Addition bei verschiedenen Vorzeichen ergibt 2, die Subtraktion ergibt 8−(−5) = 13 und die Multiplikation ergibt (−2)×(−3) = 6.
Die Potenz-Tabelle verwendet Zellbezüge (=B1^B2) und ergibt deshalb (−3)² = 9, wie in der Mathematik. Geben Sie aber direkt „=-3^2“ ein, liefert Excel 9, weil es das führende Minus vor der Potenz anwendet (das Gegenteil der mathematischen Regel, −3² = −9). Wenn Sie −3² möchten, geben Sie „=-(3^2)“ ein.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle, die einen Ausdruck direkt berechnet
| Ausdruck (= eingeben und dann den Ausdruck) | =-3+5-(-2) |
Tabelle zur Kontrolle der Addition zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | -4 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Kontrolle der Addition zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Zahl b | 5 |
| Summe a+b | =B1+B2 |
Tabelle zur Kontrolle der Subtraktion
| Zahl a | 8 |
| Abzuziehende Zahl b | -5 |
| Differenz a−b | =B1-B2 |
Tabelle zur Kontrolle der Vorzeichen bei Multiplikation und Division
| Zahl a | -2 |
| Zahl b | -3 |
| Produkt a×b | =B1*B2 |
| Quotient a÷b | =B1/B2 |
Tabelle zur Kontrolle von Potenzen und Vorzeichen
| Zahl a | -3 |
| Exponent n | 2 |
| Potenz a^n | =B1^B2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
Auch Google Tabellen liefert 9, wenn Sie direkt „=-3^2“ eingeben (das führende Minus kommt vor der Potenz), genau wie Excel. Wenn Sie −3² möchten, geben Sie „=-(3^2)“ ein.
Auch Google Tabellen liefert 9, wenn Sie direkt „=-3^2“ eingeben (das führende Minus kommt vor der Potenz), genau wie Excel. Wenn Sie −3² möchten, geben Sie „=-(3^2)“ ein.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# Den Ausdruck so schreiben, wie er ist (× ist *, ÷ ist /, eine Potenz ist **)
# Python behandelt Vorzeichen wie die Mathematik: -2**2 ist -(2 zum Quadrat) = -4
result = -3 + 5 - (-2)
print(f"Ergebnis: {result}")
# Bei Ausdrücken mit Division hält Fraction den genauen Wert als Bruch ohne Rundungsfehler fest
exact_value = Fraction(6) / (-4) + 1 # 6 ÷ (−4) + 1
print(f"Ergebnis als Bruch: {exact_value}")
print(f"Als Dezimalzahl: {float(exact_value)}")
Das erste Beispiel berechnet -3+5-(-2) unverändert und gibt „4“ aus. Das zweite Beispiel enthält eine Division. Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek ergibt 6÷(−4)+1 den exakten Bruch „-1/2“ (als Dezimalzahl −0,5). Ersetzen Sie die Ausdrücke durch Ihre eigenen und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen addieren
(−a) + (−b) = −(a + b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a) + (-b) = -(a + b)
(-a) + (-b)
(-a) + (-b);
(-a) + (-b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen addieren
(−a) + b = +(b − a) (für 0 < a < b)
(-a) + b = +(b - a) \quad (0 < a < b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a) + b = +(b - a)
(-a) + b
(-a) + b;
(-a) + b
(-a) + b = +(b - a)
Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren
a − (−b) = a + b
a - (-b) = a + b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a - (-b) = a + b
a - (-b)
a - (-b);
a - (-b)
a - (-b) = a + b
Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division
(−a) × (−b) = +ab
(-a) \times (-b) = +ab
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
(-a) xx (-b) = +ab
(-a) * (-b)
(-a) * (-b);
(-a) * (-b)
(-a) × (-b) = +ab
Potenzen und Vorzeichen: der Unterschied zwischen \((-a)^2\) und \(-a^2\)
(−a)² = +a², −a² = −(a × a)
(-a)^{2} = +a^{2}, \quad -a^{2} = -(a \times a)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>,</mo>
<mo>−</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a xx a)
{(-a)^2, -a^2}
(-a)^2; -a^2;
[(-a)^2, -a^2]
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a × a)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Mathematikaufgaben (Sekundarstufe I). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Berechnen Sie jeden der folgenden Ausdrücke mit positiven und negativen Zahlen. 1. -3+5-(-2) 2. (-2)×(-3)-4 3. 6÷(-2)+1 4. (-2)^2 und -2^2 (erklären Sie auch den Unterschied zwischen beiden) Ändern Sie in Python × zu *, ÷ zu / und Potenzen zu ** und berechnen Sie Ausdrücke mit Division exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek. Erklären Sie zu jedem Ausdruck die verwendeten Vorzeichenregeln (gleiche oder verschiedene Vorzeichen, wie viele negative Zahlen) in Worten, die Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 verstehen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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