Dreieck berechnen (Dreiecksrechner für Seiten, Winkel, Fläche, Höhen, Inkreis und Umkreis)

Geben Sie drei bekannte Größen aus den Seiten a, b, c und den Winkeln A, B, C ein (Winkel in Grad). Mindestens eine muss eine Seite sein. Die Seite a liegt dem Winkel A gegenüber, die Seite b dem Winkel B und die Seite c dem Winkel C.

Seite a (gegenüber von Winkel A)

Winkel A (Grad)

Seite b (gegenüber von Winkel B)

Winkel B (Grad)

Seite c (gegenüber von Winkel C)

Winkel C (Grad)

Füllen Sie genau drei Felder aus, davon mindestens eine Seite. Geben Sie Winkel in Grad (°) ein, zum Beispiel 90 für einen rechten Winkel. Lassen Sie die übrigen Felder leer.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die drei bekannten Größen aus den drei Seiten und den drei Winkeln ein (mindestens eine muss eine Seite sein) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie drei bekannte Größen aus den Seiten \(a, b, c\) und den Winkeln \(A, B, C\) ein (mindestens eine muss eine Seite sein), und Sie erhalten alle übrigen Seiten und Winkel
Berechnet außerdem Flächeninhalt, Umfang, halben Umfang, die drei Höhen, die drei Seitenhalbierenden, Inkreisradius und Umkreisradius, alles auf einmal
Erkennt automatisch die Art des Dreiecks: gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig sowie spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig
Lassen zwei Seiten und ein Winkel, der einer davon gegenüberliegt (SsW), zwei verschiedene Dreiecke zu, werden beide Lösungen angezeigt (der bekannte „mehrdeutige Fall“)
Eine leicht verständliche Erklärung von Kosinussatz, Sinussatz und Satz des Heron sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Seiten und Winkel sind über die Buchstaben zugeordnet: Die Seite a liegt dem Winkel A gegenüber (sie ist seine Gegenseite), und so weiter, mit Kleinbuchstaben für Seiten und Großbuchstaben für Winkel. Geben Sie Winkel in Grad (°) ein.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Landvermessung und Kartenherstellung (die Entfernung zu einem unerreichbaren Ort messen)

Die Entfernung zu einem Punkt auf der anderen Seite eines Flusses lässt sich bestimmen, ohne ein Maßband über das Wasser zu spannen. Legen Sie auf Ihrer Seite eine 100 m lange Standlinie aus und messen Sie von beiden Enden den Winkel zum Zielpunkt. So entsteht ein Dreieck mit einer Seite (100 m) und zwei Winkeln. Bei Winkeln von 50° und 60° ist der dritte Winkel 70°, und der Sinussatz liefert die Entfernung zum Zielpunkt als \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \approx 81{,}5\) m.
Die Tachymeter der Vermesser und die Triangulation, auf der die Kartenherstellung aufbaute, laufen darauf hinaus, genau diese Rechnung zu wiederholen.

Die Fläche eines dreieckigen Grundstücks oder Ackers messen (Satz des Heron)

Bei einem dreieckigen Grundstück lässt sich die Fläche allein mit einem Maßband bestimmen, ganz ohne Winkelmessgerät. Sind die drei Seiten 30 m, 40 m und 50 m lang, beträgt der halbe Umfang 60 m und der Flächeninhalt \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) m².
„Längen kann jeder genau messen“ ist der Grund, warum der Satz des Heron in der Praxis beliebt ist, und für eine grobe Kontrolle der Fläche eines Ackers oder Baugrundstücks ist er heute noch praktisch.

Bau und Heimwerken (Länge und Winkel schräger Bauteile vorher berechnen)

Gebäude sind voller schräger Bauteile: Dachflächen, Treppen, diagonale Streben und so weiter. Bei einem Pultdach, das 3 m breit ist und 2 m ansteigt, ist die Länge der Dachfläche \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) m (bei einem rechten Winkel fällt der Korrekturterm des Kosinussatzes weg, und es bleibt der Satz des Pythagoras).
Wer Längen und Winkel vor dem Zuschneiden des Holzes berechnet, verschwendet weniger Material und muss auf der Baustelle weniger nachbessern.

Roboterarme und Maschinenbau (zwei Glieder und der Gelenkwinkel)

Ein Roboterarm in der Fabrik ist selbst ein Dreieck, aus zwei Armgliedern und dem Gelenkwinkel dazwischen. Bei Gliedern von 50 cm und 30 cm und einem auf 120° geöffneten Gelenk liefert der Kosinussatz den Abstand von der Basis zur Hand als \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) cm.
Die Rückrechnung zu den Gelenkwinkeln, die die Hand an eine Zielposition bringen (inverse Kinematik), nutzt ebenfalls einen umgestellten Kosinussatz als Grundbaustein.

Astronomie (die Entfernung zu Sternen mit Dreiecken messen)

Die Entfernung zu einem Stern wird mit einem sehr langen, schmalen Dreieck gemessen, dessen Grundseite die Strecke ist, die die Erde in einem halben Jahr auf ihrer Bahn um die Sonne zurücklegt (das nennt man Parallaxe). Aus der Grundseite und der kleinen Winkelverschiebung die Entfernung zu finden, ist derselbe Gedanke wie die Rechnung „Rest aus einer Seite und Winkeln“ auf dieser Seite.
„Wer ein Dreieck lösen kann, kann die Entfernung zu einem Ort bestimmen, an den er nicht gelangen kann.“ Das gilt von der Landvermessung bis zum Weltraum und ist eine der wirkungsvollsten Anwendungen der Geometrie.

Formeln und Abbildungen

Innenwinkelsumme im Dreieck

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(A\) \(+\) \(B\) \(+\) \(C\) \(=\) \(180^\circ\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(A\): Winkel A \(+\) ② \(B\): Winkel B \(+\) ③ \(C\): Winkel C \(=\) ④ \(180^\circ\) (immer)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie Winkel \(A\)

② plus Winkel \(B\)

③ plus Winkel \(C\)

④ und Sie erhalten immer \(180^\circ\)

Einfaches Beispiel

In einem Dreieck mit den Winkeln 50° und 60° ist der dritte Winkel

dritter Winkel \(C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) Winkel \(A\) (50°) \(-\) Winkel \(B\) (60°)

\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)

Der Kerngedanke

In jedem Dreieck, egal welche Form es hat, ergeben die drei Winkel zusammen 180°. Kennen Sie also zwei Winkel, ist der dritte nur eine Subtraktion. Bei der Eingabe „eine Seite und zwei Winkel“ verwendet dieser Rechner zuerst diese Formel, um den dritten Winkel zu finden.

Kosinussatz (dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(c^{2}\) \(=\) \(a^{2}\) \(+\) \(b^{2}\) \(-\) \(2ab\cos C\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(c^{2}\): die dritte Seite \(c\), quadriert \(=\) ① \(a^{2}\): die bekannte Seite \(a\), quadriert \(+\) ② \(b^{2}\): die bekannte Seite \(b\), quadriert \(-\) ③ \(2ab\cos C\): Korrekturterm

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die bekannte Seite \(a\), quadriert

② addieren Sie die bekannte Seite \(b\), quadriert

③ subtrahieren Sie den Korrekturterm \(2ab\cos C\), der davon abhängt, wie weit der eingeschlossene Winkel geöffnet ist

④ und Sie erhalten die dritte Seite \(c\), quadriert (am Ende die Wurzel ziehen)

Einfaches Beispiel

Bei zwei Seiten von 5 und 7 und einem eingeschlossenen Winkel von 60° (cos 60° = 0,5) ist die dritte Seite

die dritte Seite \(c\), quadriert \(=\) Seite \(a\) quadriert (5²) \(+\) Seite \(b\) quadriert (7²) \(-\) Korrekturterm (2×5×7×0,5)

\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)

\(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\)

Der Kerngedanke

\(\cos C\) (Kosinus) gibt als Zahl von −1 bis 1 an, wie weit der eingeschlossene Winkel geöffnet ist. Ist der Winkel genau 90°, gilt \(\cos 90^\circ = 0\), der Korrekturterm fällt weg, und es bleibt der Satz des Pythagoras \(c^2 = a^2 + b^2\). Der Kosinussatz ist also der auf Dreiecke ohne rechten Winkel erweiterte Satz des Pythagoras. Kennen Sie alle drei Seiten und suchen einen Winkel, verwenden Sie die umgestellte Form \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\) (die Eingabe „drei Seiten“ dieses Rechners nutzt diese Form).

Sinussatz (die Brücke zwischen Seiten und gegenüberliegenden Winkeln)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a}{\sin A}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin C}\) \(=\) \(2R\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{\sin A}\): Seite \(a\) ÷ Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(=\) ② \(\dfrac{b}{\sin B}\): Seite \(b\) ÷ Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(=\) ③ \(\dfrac{c}{\sin C}\): Seite \(c\) ÷ Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(=\) ④ \(2R\): Durchmesser des Umkreises

Die Formel in Worten

① Die Seite \(a\) geteilt durch den Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(\dfrac{a}{\sin A}\)

② die Seite \(b\) geteilt durch den Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(\dfrac{b}{\sin B}\)

③ und die Seite \(c\) geteilt durch den Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(\dfrac{c}{\sin C}\) haben alle denselben Wert,

④ nämlich den Durchmesser des Umkreises \(2R\)

Einfaches Beispiel

Bei Seite a = 6, ihrem gegenüberliegenden Winkel A = 45° und Winkel B = 60° ist die Seite b

Seite \(b\) \(=\) Seite \(a\) (6) \(\times\) Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\sin 60^\circ\) \(\div\) Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\sin 45^\circ\)

\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7{,}348\)

Der Kerngedanke

„Seite ÷ Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ ergibt für alle drei Paare denselben Wert. Kennen Sie also ein Paar (eine Seite und ihren gegenüberliegenden Winkel), können Sie es als Brücke nutzen, um die anderen Seiten und Winkel nacheinander zu finden. Die Eingabe „eine Seite und zwei Winkel“ dieses Rechners verwendet diese Formel. Außerdem ist dieser gemeinsame Wert gleich dem Durchmesser \(2R\) des Kreises durch die drei Ecken des Dreiecks (des Umkreises). Der vollständige Sinussatz enthält auch diese Tatsache.

Flächeninhalt (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\times\) \(\sin C\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(S\): Flächeninhalt \(=\) ④ ein Halb \(\times\) ① \(a\): bekannte Seite \(\times\) ② \(b\): bekannte Seite \(\times\) ③ \(\sin C\): Sinus des eingeschlossenen Winkels

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die bekannte Seite \(a\)

② mit der bekannten Seite \(b\)

③ und mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels \(\sin C\)

④ und nehmen Sie davon die Hälfte

⑤ und Sie erhalten den Flächeninhalt \(S\)

Einfaches Beispiel

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten 8 und 5 und einem eingeschlossenen Winkel von 30° (sin 30° = 0,5) ist

Flächeninhalt \(S\) \(=\) ein Halb \(\times\) Seite \(a\) (8) \(\times\) Seite \(b\) (5) \(\times\) Sinus des eingeschlossenen Winkels (0,5)

\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 10\)

Der Kerngedanke

Das ist das aus der Grundschule bekannte „Grundseite × Höhe ÷ 2“, wobei die Höhe durch \(b\sin C\) ersetzt ist (die aus der Seite b und dem eingeschlossenen Winkel berechnete Höhe). Ist der eingeschlossene Winkel 90°, gilt \(\sin 90^\circ = 1\), die Höhe ist die Seite b selbst, und der Flächeninhalt ist so groß wie möglich.

Satz des Heron (Flächeninhalt aus drei Seiten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(s\) \(=\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(S\) \(=\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(s\): halber Umfang \(=\) ① Summe der drei Seiten ÷ 2

④ \(S\): Flächeninhalt \(=\) ③ Wurzel aus \(s\) mal „\(s\) − jede Seite“ (drei Faktoren)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie alle drei Seiten \(a, b, c\) und teilen Sie durch 2. \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

② Das nennt man den halben Umfang \(s\)

③ Multiplizieren Sie als Nächstes \(s\) mit den drei Zahlen, die Sie erhalten, wenn Sie von \(s\) jede Seite abziehen (\(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)), und ziehen Sie die Wurzel

④ und das Ergebnis ist der Flächeninhalt \(S\)

Einfaches Beispiel

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 ist

halber Umfang \(s\) \(=\) Summe der drei Seiten (3+4+5) ÷ 2

\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)

\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)

Der Kerngedanke

Die Stärke des Satzes des Heron ist, dass er den Flächeninhalt allein aus den drei Seitenlängen liefert, ohne dass ein Winkel oder eine Höhe gemessen werden muss. Drei Seiten mit dem Maßband zu messen genügt, deshalb wird er seit Langem zum Beispiel für die Fläche eines dreieckigen Grundstücks genutzt. Der Kniff ist, zuerst den halben Umfang \(s\) auszurechnen. Voraussetzung ist, dass die drei Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen, sonst gibt es kein Dreieck.

Radius des Inkreises (Inkreisradius)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(r\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(s\)

③ \(r\): Inkreisradius \(=\) ① \(S\): Flächeninhalt \(\div\) ② \(s\): halber Umfang

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Flächeninhalt \(S\)

② teilen Sie ihn durch den halben Umfang \(s\) (die Hälfte des Umfangs)

③ und Sie erhalten den Inkreisradius \(r\)

Einfaches Beispiel

Beim Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 (Flächeninhalt 6, halber Umfang 6) ist der Inkreisradius

Inkreisradius \(r\) \(=\) Flächeninhalt (6) \(\div\) halber Umfang (6)

\(r = 6 \div 6 = 1\)

Der Kerngedanke

Der Inkreis (Inkreis) ist der Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt. Zerlegt man das Dreieck vom Mittelpunkt des Inkreises (dem Inkreismittelpunkt) aus in drei kleine Dreiecke, hat jedes „Grundseite = eine Seite, Höhe = r“, also ist der gesamte Flächeninhalt \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\). Aufgelöst nach \(r\) ergibt das \(r = S \div s\).

Radius des Umkreises (Umkreisradius)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(R\) \(=\) \(abc\) \(\div\) \(4S\)

③ \(R\): Umkreisradius \(=\) ① \(abc\): Produkt der drei Seiten \(\div\) ② \(4S\): das Vierfache des Flächeninhalts

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das Produkt aller drei Seiten \(abc\)

② teilen Sie es durch das Vierfache des Flächeninhalts \(S\)

③ und Sie erhalten den Umkreisradius \(R\)

Einfaches Beispiel

Beim Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 (Flächeninhalt 6) ist der Umkreisradius

Umkreisradius \(R\) \(=\) Produkt der drei Seiten (3×4×5) \(\div\) das Vierfache des Flächeninhalts (4×6)

\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5\)

Der Kerngedanke

Der Umkreis (Umkreis) ist der Kreis durch alle drei Ecken des Dreiecks. Diese Formel entsteht, wenn man den Sinussatz \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) mit der Flächenformel \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\) kombiniert. Das 3-4-5-Dreieck im Beispiel ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb liegt der Mittelpunkt seines Umkreises genau in der Mitte der Hypotenuse (Satz des Thales), und \(R\) ist die halbe Hypotenuse (\(5 \div 2 = 2{,}5\)). Das Ergebnis stimmt genau überein.

Ein Dreieck ist durch drei Angaben festgelegt (mindestens eine davon eine Seite). Bei drei Seiten verwenden Sie den nach dem Winkel aufgelösten Kosinussatz. Bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel verwenden Sie den Kosinussatz. Bei einer Seite und zwei Winkeln verwenden Sie die Innenwinkelsumme und den Sinussatz. Mit diesen drei Werkzeugen erhalten Sie alle übrigen Seiten und Winkel, und daraus folgen nacheinander der Flächeninhalt, der Inkreis und der Umkreis.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a, b, c\)	a, b, c (klein)	Die Längen der drei Seiten des Dreiecks. Üblicherweise bekommt jede Seite den Kleinbuchstaben des Winkels, der ihr gegenüberliegt (die Seite a liegt dem Winkel A gegenüber und ist seine Gegenseite).
\(A, B, C\)	A, B, C (groß)	Die drei Innenwinkel des Dreiecks (in Grad), hier nach den Ecken A, B, C benannt (in der Schule oft α, β, γ). Zusammen ergeben sie immer 180°.
\(S\)	S	Der Flächeninhalt des Dreiecks. (In manchen Büchern steht \(A\) für den Flächeninhalt.)
\(s\)	s (klein)	Der halbe Umfang, die Hälfte des Umfangs (\(a+b+c\)). Er wird im Satz des Heron und in der Formel für den Inkreisradius verwendet.
\(\sin\theta\)	Sinus Theta	Eines der Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktion). Im rechtwinkligen Dreieck ist es die Gegenkathete im Verhältnis zur Hypotenuse, und man erhält damit aus einem Winkel den senkrechten Anteil. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) und \(\sin 90^\circ = 1\).
\(\cos\theta\)	Kosinus Theta	Eines der Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck. Im rechtwinkligen Dreieck ist es die Ankathete im Verhältnis zur Hypotenuse. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) und \(\cos 90^\circ = 0\). Der „Kosinus“ im Kosinussatz ist diese Funktion.
\(r\)	r (klein)	Der Radius des Inkreises (des Kreises, der alle drei Seiten von innen berührt).
\(R\)	R (groß)	Der Radius des Umkreises (des Kreises durch alle drei Ecken).

Begriffe

Gegenseite	Die einem Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenseite dieses Winkels. Auf dieser Seite ist Seite a die Gegenseite von Winkel A, Seite b die von Winkel B und Seite c die von Winkel C.
gegenüberliegender Winkel	Der einer Seite gegenüberliegende Winkel. Auf dieser Seite liegt Winkel A der Seite a gegenüber, Winkel B der Seite b und Winkel C der Seite c.
Innenwinkelsumme	Die Tatsache, dass die drei Innenwinkel eines Dreiecks zusammen immer 180° ergeben (Winkelsummensatz). Kennen Sie zwei Winkel, findet man den dritten durch Subtraktion.
Dreiecksungleichung	Die Bedingung dafür, dass drei Längen ein Dreieck bilden, nämlich dass die Summe zweier Seiten größer ist als die dritte. Zum Beispiel bilden 1, 2 und 4 kein Dreieck, weil 1 + 2 = 3 kleiner als 4 ist.
Kosinussatz	Die Regel \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), mit der man aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite findet. Sie erweitert den Satz des Pythagoras auf Dreiecke ohne rechten Winkel und liefert, umgestellt, aus drei Seiten einen Winkel. Sie wird in der Mittelstufe (Klasse 9–10) behandelt.
Sinussatz	Die Regel, dass „Seite ÷ Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ für alle drei Paare gleich ist und dem Durchmesser \(2R\) des Umkreises entspricht. Kennt man eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel, führt sie zu den anderen Seiten und Winkeln. Sie wird in der Mittelstufe (Klasse 9–10) behandelt.
Satz des Heron	Eine Formel, die den Flächeninhalt allein aus den drei Seitenlängen liefert, ohne einen Winkel. Sie ist nach Heron von Alexandria benannt, einem antiken griechischen Mathematiker (auch Heronsche Formel genannt).
halber Umfang	Die Hälfte des Umfangs eines Dreiecks. Er kommt im Satz des Heron und in der Formel für den Inkreisradius vor.
Inkreis	Der Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt. Sein Mittelpunkt (der Inkreismittelpunkt) ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Umkreis	Der Kreis, der durch alle drei Ecken des Dreiecks geht. Sein Mittelpunkt (der Umkreismittelpunkt) ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten.
Seitenhalbierende	Die Strecke von einer Ecke des Dreiecks zum Mittelpunkt der Gegenseite. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt (dem Schwerpunkt).
spitzwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, dessen größter Winkel kleiner als 90° ist. Nach ihren Winkeln werden Dreiecke in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige eingeteilt.
rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, dessen größter Winkel genau 90° ist. Nach ihren Winkeln werden Dreiecke in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige eingeteilt.
stumpfwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, dessen größter Winkel größer als 90° ist. Nach ihren Winkeln werden Dreiecke in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige eingeteilt.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Für die Innenwinkelsumme und den Satz des Heron genügt das Wissen der Mittelstufe (bis Klasse 8). Kosinussatz und Sinussatz sind Stoff der Klassen 9–10.

Winkel im Dreieck (Klasse 5–8, 10–14 Jahre)	Wissen, dass die Winkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben Die Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke kennen (Winkel, die gleich langen Seiten gegenüberliegen, sind gleich)
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass die Quadratwurzel die Zahl ist, die quadriert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt, etwa \(\sqrt{36} = 6\) Einen Wert wie \(\sqrt{39}\) abschätzen können, zum Beispiel als zwischen 6 und 7
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(c^2 = a^2 + b^2\) gilt (das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten) Den Kosinussatz als diesen Satz verstehen, erweitert auf Dreiecke ohne rechten Winkel
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass Sinus und Kosinus Verhältnisse von Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind Die Werte gängiger Winkel verwenden können, etwa \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) und \(\cos 90^\circ = 0\)
Sinussatz und Kosinussatz (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Anhand der drei bekannten Werte (SSS, SWS, WSW oder WWS und so weiter) den passenden Satz auswählen können Wissen, dass es bei zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel (SsW, dem mehrdeutigen Fall) zwei mögliche Dreiecke geben kann

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des dritten Winkels (Innenwinkelsumme)

Winkel A (Grad)	50
Winkel B (Grad)	60
Dritter Winkel C (Grad)	=180-B1-B2

Tabelle zur Berechnung der dritten Seite mit dem Kosinussatz

Seite a	5
Seite b	7
Eingeschlossener Winkel C (Grad)	60
Dritte Seite c	=WURZEL(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(BOGENMASS(B3)))

Tabelle zur Berechnung einer weiteren Seite mit dem Sinussatz

Seite a	6
Ihr gegenüberliegender Winkel A (Grad)	45
Winkel B (Grad)	60
Seite b	=B1*SIN(BOGENMASS(B3))/SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

Seite a	8
Seite b	5
Eingeschlossener Winkel C (Grad)	30
Flächeninhalt S	=B1B2SIN(BOGENMASS(B3))/2

Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts (Satz des Heron)

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Halber Umfang s	=(B1+B2+B3)/2
Flächeninhalt S	=WURZEL(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabelle zur Berechnung des Inkreisradius

Flächeninhalt S	6
Halber Umfang s	6
Inkreisradius r	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung des Umkreisradius

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Flächeninhalt S	6
Umkreisradius R	=B1B2B3/(4*B4)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile wird automatisch berechnet.
COS und SIN in Excel erwarten Winkel im Bogenmaß, deshalb steht die Funktion BOGENMASS dazwischen, die Grad in Bogenmaß umrechnet. WURZEL ist die Quadratwurzel.
In der zweiten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel etwa 6,245. Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Werte.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des dritten Winkels (Innenwinkelsumme)

Winkel A (Grad)	50
Winkel B (Grad)	60
Dritter Winkel C (Grad)	=180-B1-B2

Tabelle zur Berechnung der dritten Seite mit dem Kosinussatz

Seite a	5
Seite b	7
Eingeschlossener Winkel C (Grad)	60
Dritte Seite c	=WURZEL(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(BOGENMASS(B3)))

Tabelle zur Berechnung einer weiteren Seite mit dem Sinussatz

Seite a	6
Ihr gegenüberliegender Winkel A (Grad)	45
Winkel B (Grad)	60
Seite b	=B1*SIN(BOGENMASS(B3))/SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

Seite a	8
Seite b	5
Eingeschlossener Winkel C (Grad)	30
Flächeninhalt S	=B1B2SIN(BOGENMASS(B3))/2

Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts (Satz des Heron)

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Halber Umfang s	=(B1+B2+B3)/2
Flächeninhalt S	=WURZEL(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabelle zur Berechnung des Inkreisradius

Flächeninhalt S	6
Halber Umfang s	6
Inkreisradius r	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung des Umkreisradius

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Flächeninhalt S	6
Umkreisradius R	=B1B2B3/(4*B4)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (Google Tabellen kennt BOGENMASS, SIN, COS und WURZEL unter denselben Namen).
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Werte.

Mit Python berechnen

import math

side_a = 3.0   # Seite a
side_b = 4.0   # Seite b
side_c = 5.0   # Seite c (Beispiel, bei dem alle drei Seiten bekannt sind)

# Die drei Winkel mit dem nach dem Winkel aufgelösten Kosinussatz bestimmen (in Grad)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b

# Flächeninhalt mit dem Satz des Heron
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
                 * (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))

inradius = area / half_perimeter                            # Radius des Inkreises
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area)        # Radius des Umkreises

print(f"Winkel A = {angle_a}°, Winkel B = {angle_b}°, Winkel C = {angle_c}°")
print(f"Flächeninhalt = {area}")
print(f"Inkreisradius = {inradius}, Umkreisradius = {circumradius}")

Funktioniert allein mit math aus der Standardbibliothek. math.acos ist der Arkuskosinus (der rückwärts gelesene Kosinus), und math.degrees rechnet Bogenmaß in Grad um. Ersetzen Sie die drei Seiten am Anfang durch Ihre eigenen Werte und führen Sie den Code aus (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Innenwinkelsumme im Dreieck

A + B + C = 180°

A + B + C = 180^\circ

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>180</mn><mo>&#xB0;</mo>
  </mrow>
</math>

A + B + C = 180^@

angleA + angleB + angleC == 180

A + B + C = 180;

C = 180 - A - B;

A + B + C = 180°

Kosinussatz (dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel)

c² = a² + b² − 2ab·cos C

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C

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    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C

cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]

c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));

c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Sinussatz (die Brücke zwischen Seiten und gegenüberliegenden Winkeln)

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

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    <mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]

b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);

b = a*sind(B)/sind(A);

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

Flächeninhalt (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

S = (1/2)·ab·sin C

S = \frac{1}{2}ab\sin C

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    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

S = 1/2 ab sin C

area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]

S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);

S = a*b*sind(C)/2;

S = (1/2)ab sin(C)

Satz des Heron (Flächeninhalt aus drei Seiten)

s = (a+b+c)/2,  S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

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    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mi>s</mi>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2

s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Radius des Inkreises (Inkreisradius)

r = S/s

r = \dfrac{S}{s}

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    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S/s

inradius = area/s

r := S/s;

r = S/s;

r = S/s

Radius des Umkreises (Umkreisradius)

R = abc/(4S)

R = \dfrac{abc}{4S}

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    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (abc)/(4S)

circumradius = a b c/(4 area)

R := a*b*c/(4*S);

R = a*b*c/(4*S);

R = abc/(4S)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Dreiecke. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

In einem Dreieck ist die Seite a = 7, die Seite b = 10 und der Winkel A = 40° (der Winkel A liegt der Seite a gegenüber).
1. Bestimmen Sie den Winkel B mit dem Sinussatz. Beachten Sie, dass es bei diesen Angaben zwei mögliche Dreiecke geben kann (der mehrdeutige Fall). Gibt es zwei Lösungen, zeigen Sie beide.
2. Bestimmen Sie für jede Lösung den übrigen Winkel C, die Seite c und den Flächeninhalt.

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel