Dreieck berechnen – Seiten, Winkel, Fläche, In- und Umkreis (Sinussatz und Kosinussatz)

Geben Sie von den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ (in Grad) die drei bekannten ein, mindestens eine davon eine Seite. Die Seite a liegt dem Winkel α gegenüber, b dem Winkel β und c dem Winkel γ.

Seite a (gegenüber von α)

Winkel α (Grad)

Seite b (gegenüber von β)

Winkel β (Grad)

Seite c (gegenüber von γ)

Winkel γ (Grad)

Genau drei Felder ausfüllen, mindestens eines davon eine Seite. Winkel in Grad (°), z. B. 90 für einen rechten Winkel. Die übrigen Felder bleiben leer.

Ergebnis und Figur

Tragen Sie links die drei bekannten Werte aus den drei Seiten und drei Winkeln ein (mindestens einer muss eine Seite sein) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Von den drei Seiten \(a, b, c\) und den drei Winkeln \(\alpha, \beta, \gamma\) die drei bekannten eingeben (mindestens eine Seite) – und alle übrigen Seiten und Winkel erhalten (bei drei Seiten prüft der Rechner zuerst die Dreiecksungleichung)
Dazu auf einen Schlag: Fläche, Umfang, halber Umfang, die drei Höhen, die drei Seitenhalbierenden sowie die Radien von Inkreis und Umkreis
Die Dreiecksart wird automatisch bestimmt: gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig sowie spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig
Passen bei zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel zwei verschiedene Dreiecke (der bekannte Fall SSW), werden beide Lösungen angezeigt
Außerdem: verständliche Erklärung von Kosinussatz, Sinussatz und Satz des Heron sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Seiten und Winkel gehören wie im Schulbuch zusammen: Die Seite a liegt der Ecke A und damit dem Winkel α gegenüber (sie ist seine gegenüberliegende Seite), b gehört zu β, c zu γ. Winkel geben Sie in Grad (°) ein.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Vermessung und Kartografie (Entfernung zu einem unerreichbaren Punkt)

Die Entfernung zu einem Punkt am anderen Flussufer lässt sich berechnen, ohne ein Maßband über das Wasser zu spannen. Man steckt auf der eigenen Seite eine 100 m lange Standlinie ab und misst von beiden Enden den Winkel zum Zielpunkt. So entsteht ein Dreieck mit einer Seite (100 m) und zwei Winkeln. Sind die Winkel 50° und 60°, ist der dritte 70°, und der Sinussatz liefert die Entfernung zum Zielpunkt: \(100 \cdot \sin 50^\circ : \sin 70^\circ \approx 81{,}5\) m.
Die Tachymeter der Vermessungsämter und die Triangulation, auf der die Landesvermessung lange beruhte, wiederholen im Grunde genau diese Rechnung.

Die Fläche eines dreieckigen Grundstücks oder Felds bestimmen (Satz des Heron)

Bei einem dreieckigen Grundstück genügt ein Maßband – ganz ohne Winkelmessgerät. Sind die drei Seiten 30 m, 40 m und 50 m lang, ist der halbe Umfang 60 m und die Fläche \(\sqrt{60 \cdot 30 \cdot 20 \cdot 10} = 600\) m².
„Längen kann jeder genau messen“ – deshalb ist der Satz des Heron in der Praxis so beliebt und hilft bis heute, die Fläche eines Felds oder Baugrundstücks grob zu überprüfen.

Bauen und Heimwerken (Länge und Winkel schräger Teile vorab berechnen)

Gebäude stecken voller schräger Bauteile: Dachflächen, Treppen, Streben und mehr. Bei einem Pultdach mit 3 m waagerechter Länge und 2 m Höhe ist die Dachschräge \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\) m lang (beim rechten Winkel fällt das Korrekturglied des Kosinussatzes weg, und es bleibt der Satz des Pythagoras).
Wer Längen und Winkel vor dem Zuschnitt des Holzes berechnet, spart Material und Nacharbeit auf der Baustelle.

Roboterarme und Maschinenbau (zwei Glieder und der Gelenkwinkel)

Ein Industrieroboterarm ist selbst ein Dreieck: zwei Armglieder und der Gelenkwinkel dazwischen. Bei Gliedern von 50 cm und 30 cm und einem auf 120° geöffneten Gelenk liefert der Kosinussatz den Abstand vom Fuß bis zum Greifer: \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ} = 70\) cm.
Auch die Rückrechnung der Gelenkwinkel, mit denen der Greifer eine Zielposition erreicht (inverse Kinematik), nutzt den umgestellten Kosinussatz als Grundbaustein.

Astronomie (Entfernungen zu Sternen mit Dreiecken messen)

Die Entfernung zu einem Stern misst man mit einem sehr langen, schmalen Dreieck, dessen Grundseite die Strecke ist, die die Erde in einem halben Jahr auf ihrer Bahn um die Sonne zurücklegt (jährliche Parallaxe). Aus Grundseite und kleiner Winkelverschiebung die Entfernung zu bestimmen, ist dieselbe Idee wie die Rechnung „aus einer Seite und Winkeln den Rest bestimmen“ auf dieser Seite.
„Wer ein Dreieck berechnen kann, kennt die Entfernung zu Orten, die er nie erreicht“ – das gilt von der Landvermessung bis ins All und ist eine der stärksten Anwendungen der Geometrie.

Formeln und Abbildungen

Winkelsumme im Dreieck

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\alpha\) \(+\) \(\beta\) \(+\) \(\gamma\) \(=\) \(180^\circ\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① Winkel \(\alpha\) \(+\) ② Winkel \(\beta\) \(+\) ③ Winkel \(\gamma\) \(=\) ④ \(180^\circ\) (immer)

Die Formel in Worten

① Der Winkel \(\alpha\)

② plus der Winkel \(\beta\)

③ plus der Winkel \(\gamma\)

④ ergeben immer \(180^\circ\) .

Einfaches Beispiel

In einem Dreieck mit den Winkeln 50° und 60° ist der dritte Winkel

dritter Winkel \(\gamma\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) Winkel \(\alpha\) (50°) \(-\) Winkel \(\beta\) (60°)

\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)

Der Grundgedanke

In jedem Dreieck, egal welcher Form, ergeben die drei Innenwinkel zusammen 180°. Kennt man zwei Winkel, ist der dritte also nur eine Subtraktion. Bei der Eingabe „eine Seite und zwei Winkel“ bestimmt dieser Rechner mit dieser Formel zuerst den dritten Winkel.

Kosinussatz (dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(c^{2}\) \(=\) \(a^{2}\) \(+\) \(b^{2}\) \(-\) \(2ab\cos\gamma\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ gesuchte Seite \(c\) zum Quadrat \(=\) ① bekannte Seite \(a\) zum Quadrat \(+\) ② bekannte Seite \(b\) zum Quadrat \(-\) ③ Korrekturglied \(2ab\cos\gamma\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt die bekannte Seite \(a\) zum Quadrat

② addiert die bekannte Seite \(b\) zum Quadrat

③ zieht das Korrekturglied \(2ab\cos\gamma\), das von der Öffnung des eingeschlossenen Winkels abhängt, ab

④ und erhält die gesuchte Seite \(c\) zum Quadrat (zum Schluss die Wurzel ziehen).

Einfaches Beispiel

Bei zwei Seiten 5 und 7 mit dem eingeschlossenen Winkel 60° (cos 60° = 0,5) ist die dritte Seite

gesuchte Seite \(c\) zum Quadrat \(=\) Seite \(a\) zum Quadrat (5²) \(+\) Seite \(b\) zum Quadrat (7²) \(-\) Korrekturglied (2 · 5 · 7 · 0,5)

\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)

\(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\)

Der Grundgedanke

\(\cos\gamma\) (Kosinus) drückt aus, wie weit der eingeschlossene Winkel geöffnet ist – als Zahl zwischen −1 und 1. Bei genau 90° ist \(\cos 90^\circ = 0\), das Korrekturglied fällt weg, und es bleibt der Satz des Pythagoras \(c^2 = a^2 + b^2\). Der Kosinussatz ist also der Satz des Pythagoras, erweitert auf Dreiecke ohne rechten Winkel. Kennt man alle drei Seiten und sucht einen Winkel, nimmt man die umgestellte Form \(\alpha = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\) (so rechnet dieser Rechner bei der Eingabe „drei Seiten“).

Sinussatz (die Brücke zwischen Seiten und gegenüberliegenden Winkeln)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a}{\sin\alpha}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin\beta}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin\gamma}\) \(=\) \(2R\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① Seite \(a\) durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\alpha\) \(=\) ② Seite \(b\) durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\beta\) \(=\) ③ Seite \(c\) durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\gamma\) \(=\) ④ Durchmesser des Umkreises \(2R\)

Die Formel in Worten

① Seite \(a\) geteilt durch den Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(\dfrac{a}{\sin\alpha}\)

② Seite \(b\) geteilt durch den Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(\dfrac{b}{\sin\beta}\)

③ und Seite \(c\) geteilt durch den Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels \(\dfrac{c}{\sin\gamma}\) haben alle denselben Wert –

④ nämlich den Durchmesser des Umkreises \(2R\) .

Einfaches Beispiel

Bei der Seite a = 6, ihrem gegenüberliegenden Winkel α = 45° und dem Winkel β = 60° ist die Seite b

Seite \(b\) \(=\) Seite \(a\) (6) \(\times\) Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\sin 60^\circ\) \(\div\) Sinus des gegenüberliegenden Winkels \(\sin 45^\circ\)

\(b = \dfrac{6 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7{,}348\)

Der Grundgedanke

„Seite durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ ergibt für alle drei Paare denselben Wert. Kennt man ein Paar (eine Seite und ihren gegenüberliegenden Winkel), kann man es als Brücke nutzen und die übrigen Seiten und Winkel nacheinander bestimmen. Bei der Eingabe „eine Seite und zwei Winkel“ rechnet dieser Rechner mit dieser Formel. Außerdem ist dieser gemeinsame Wert genau der Durchmesser \(2R\) des Kreises durch die drei Ecken des Dreiecks (des Umkreises). Der vollständige Sinussatz enthält auch diese Aussage.

Flächeninhalt (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\times\) \(\sin\gamma\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ Flächeninhalt \(S\) \(=\) ④ ein Halb \(\times\) ① bekannte Seite \(a\) \(\times\) ② bekannte Seite \(b\) \(\times\) ③ Sinus des eingeschlossenen Winkels \(\sin\gamma\)

Die Formel in Worten

① Man multipliziert die bekannte Seite \(a\)

② mit der bekannten Seite \(b\)

③ und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels \(\sin\gamma\)

④ nimmt davon die Hälfte

⑤ und erhält den Flächeninhalt \(S\) .

Einfaches Beispiel

Ein Dreieck mit den Seiten 8 und 5 und dem eingeschlossenen Winkel 30° (sin 30° = 0,5) hat den Flächeninhalt

Flächeninhalt \(S\) \(=\) ein Halb \(\times\) Seite \(a\) (8) \(\times\) Seite \(b\) (5) \(\times\) Sinus des eingeschlossenen Winkels (0,5)

\(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 10\)

Der Grundgedanke

Das ist das bekannte „Grundseite mal Höhe durch 2“, nur dass die Höhe durch \(b\sin\gamma\) ersetzt ist (die aus der Seite b und dem eingeschlossenen Winkel berechnete Höhe). Bei einem eingeschlossenen Winkel von 90° ist \(\sin 90^\circ = 1\), die Höhe ist dann die Seite b selbst, und die Fläche ist so groß wie möglich.

Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(s\) \(=\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(S\) \(=\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② halber Umfang \(s\) \(=\) ① Summe der drei Seiten durch 2

④ Flächeninhalt \(S\) \(=\) ③ Wurzel aus \(s\) mal den drei Faktoren „\(s\) minus Seite“

Die Formel in Worten

① Man addiert die drei Seiten \(a, b, c\) und teilt durch 2. \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

② heißt halber Umfang \(s\) .

③ Dann multipliziert man \(s\) mit den drei Zahlen \(s-a\), \(s-b\), \(s-c\) und zieht die Wurzel

④ – das Ergebnis ist der Flächeninhalt \(S\) .

Einfaches Beispiel

Ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 hat den Flächeninhalt

halber Umfang \(s\) \(=\) Summe der drei Seiten (3 + 4 + 5) durch 2

\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)

\(S = \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6\)

Der Grundgedanke

Die Stärke des Satz des Heron: Er liefert die Fläche allein aus den drei Seitenlängen, ohne Winkel oder Höhe zu messen. Drei Seiten mit dem Maßband zu messen genügt – deshalb nutzt man ihn seit jeher etwa für dreieckige Grundstücke. Der Trick ist, zuerst den halben Umfang \(s\) zu bestimmen.

Radius des Inkreises

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(r\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(s\)

③ Inkreisradius \(r\) \(=\) ① Flächeninhalt \(S\) \(\div\) ② halber Umfang \(s\)

Die Formel in Worten

① Man teilt den Flächeninhalt \(S\)

② durch den halben Umfang \(s\)

③ und erhält den Inkreisradius \(r\) .

Einfaches Beispiel

Beim Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 (Fläche 6, halber Umfang 6) ist der Inkreisradius

Inkreisradius \(r\) \(=\) Flächeninhalt (6) \(\div\) halber Umfang (6)

\(r = 6 : 6 = 1\)

Der Grundgedanke

Der Inkreis ist der Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt. Zerlegt man das Dreieck vom Mittelpunkt des Inkreises aus in drei kleine Dreiecke, hat jedes „Grundseite = eine Seite, Höhe = r“. Die Gesamtfläche ist also \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\), nach \(r\) aufgelöst \(r = S : s\).

Radius des Umkreises

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(R\) \(=\) \(abc\) \(\div\) \(4S\)

③ Umkreisradius \(R\) \(=\) ① Produkt der drei Seiten \(abc\) \(\div\) ② das Vierfache der Fläche \(S\)

Die Formel in Worten

① Man teilt das Produkt aller drei Seiten \(abc\)

② durch das Vierfache der Fläche \(S\)

③ und erhält den Umkreisradius \(R\) .

Einfaches Beispiel

Beim Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 (Fläche 6) ist der Umkreisradius

Umkreisradius \(R\) \(=\) Produkt der drei Seiten (3 · 4 · 5) \(\div\) Vierfaches der Fläche (4 · 6)

\(R = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5\)

Der Grundgedanke

Der Umkreis ist der Kreis durch alle drei Ecken des Dreiecks. Die Formel folgt, wenn man den Sinussatz \(\frac{a}{\sin\alpha} = 2R\) mit der Flächenformel \(S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha\) kombiniert. Das 3-4-5-Dreieck im Beispiel ist rechtwinklig, daher liegt der Mittelpunkt seines Umkreises genau in der Mitte der Hypotenuse, und \(R\) ist die halbe Hypotenuse (\(5 : 2 = 2{,}5\)) – genau dasselbe Ergebnis (Satz des Thales).

Ein Dreieck ist durch drei Angaben festgelegt (mindestens eine davon eine Seite). Bei drei Seiten hilft der nach dem Winkel umgestellte Kosinussatz, bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel der Kosinussatz, bei einer Seite und zwei Winkeln die Winkelsumme und der Sinussatz. Mit diesen drei Werkzeugen erhält man alle übrigen Seiten und Winkel – und daraus nacheinander Fläche, Inkreis und Umkreis.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a, b, c\)	a, b, c (klein)	Die drei Seitenlängen des Dreiecks. Üblicherweise heißt jede Seite wie die gegenüberliegende Ecke, nur klein geschrieben (die Seite a liegt der Ecke A gegenüber).
\(\alpha, \beta, \gamma\)	Alpha, Beta, Gamma	Die drei Innenwinkel des Dreiecks (in Grad) an den Ecken A, B und C. Sie ergeben zusammen immer 180°.
\(S\)	S	Der Flächeninhalt des Dreiecks (in deutschen Schulbüchern meist \(A\); hier \(S\), weil \(A\) schon die Ecke bezeichnet).
\(s\)	s (klein)	Der halbe Umfang, die Hälfte des Umfangs (\(a+b+c\)). Er wird im Satz des Heron und für den Inkreisradius gebraucht.
\(\sin\theta\)	Sinus Theta	Eine der Winkelfunktionen. Im rechtwinkligen Dreieck ist es das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse; damit bestimmt man aus einem Winkel den senkrechten Anteil. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) und \(\sin 90^\circ = 1\).
\(\cos\theta\)	Kosinus Theta	Eine der Winkelfunktionen. Im rechtwinkligen Dreieck ist es das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) und \(\cos 90^\circ = 0\). Der „Kosinus“ im Kosinussatz ist genau diese Funktion.
\(r\)	r (klein)	Der Radius des Inkreises (des Kreises, der alle drei Seiten von innen berührt). Manche Bücher schreiben \(\rho\).
\(R\)	R (groß)	Der Radius des Umkreises (des Kreises durch alle drei Ecken). In manchen Schulbüchern heißt er \(r\).

Begriffe

gegenüberliegende Seite	Die Seite, die einem Winkel gegenüberliegt. Auf dieser Seite liegt a dem Winkel α gegenüber, b dem Winkel β und c dem Winkel γ.
gegenüberliegender Winkel	Der Winkel, der einer Seite gegenüberliegt. Auf dieser Seite liegt α der Seite a gegenüber, β der Seite b und γ der Seite c.
Winkelsumme	Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180° (Winkelsummensatz). Kennt man zwei Winkel, erhält man den dritten durch Subtraktion.
Dreiecksungleichung	Die Bedingung, unter der drei Längen ein Dreieck ergeben – die Summe zweier Seiten muss immer größer sein als die dritte. Aus 1, 2 und 4 entsteht zum Beispiel kein Dreieck, weil 1 + 2 = 3 kleiner als 4 ist.
Kosinussatz	Der Satz \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\), mit dem man aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnet. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf Dreiecke ohne rechten Winkel; umgestellt liefert er einen Winkel aus drei Seiten. In der Schule meist in Klasse 10 (15–16 Jahre).
Sinussatz	Der Satz, dass „Seite durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels“ für alle drei Paare gleich ist und dem Durchmesser \(2R\) des Umkreises entspricht. Kennt man eine Seite und ihren gegenüberliegenden Winkel, führt er zu den übrigen Seiten und Winkeln. In der Schule meist in Klasse 10 (15–16 Jahre).
Satz des Heron	Eine Formel, die den Flächeninhalt allein aus den drei Seitenlängen liefert, ohne Winkel (auch Heronsche Formel). Benannt nach dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria.
halber Umfang	Die Hälfte des Umfangs eines Dreiecks. Sie kommt im Satz des Heron und in der Formel für den Inkreisradius vor.
Inkreis	Der Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Umkreis	Der Kreis durch alle drei Ecken des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Seitenhalbierende	Die Strecke von einer Ecke des Dreiecks zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt.
spitzwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, dessen größter Winkel kleiner als 90° ist. Nach den Winkeln unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, dessen größter Winkel genau 90° ist. Nach den Winkeln unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
stumpfwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, dessen größter Winkel größer als 90° ist. Nach den Winkeln unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Für die Winkelsumme und den Satz des Heron genügt der Stoff bis Klasse 9. Kosinussatz und Sinussatz kommen meist in Klasse 10 dran.

Winkel im Dreieck (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Wissen, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben Die Eigenschaften gleichschenkliger und gleichseitiger Dreiecke kennen (gleich langen Seiten liegen gleich große Winkel gegenüber)
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die Quadratwurzel die Zahl ist, deren Quadrat die Ausgangszahl ergibt, etwa \(\sqrt{36} = 6\) Einen Wert wie \(\sqrt{39}\) grob abschätzen können, etwa „zwischen 6 und 7“
Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(c^2 = a^2 + b^2\) gilt (das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate über den Katheten) Den Kosinussatz als Erweiterung dieses Satzes auf Dreiecke ohne rechten Winkel einordnen können
Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass Sinus und Kosinus Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck sind Die Werte besonderer Winkel nutzen können, etwa \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) und \(\cos 90^\circ = 0\)
Sinussatz und Kosinussatz (Klasse 10, 15–16 Jahre)	Je nachdem, welche drei Größen bekannt sind (SSS, SWS, WSW, SWW usw.), den passenden Satz wählen können Wissen, dass es bei zwei Seiten und einem Winkel, der einer davon gegenüberliegt (Fall SSW), zwei mögliche Dreiecke geben kann

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den dritten Winkel (Winkelsumme)

Winkel α (Grad)	50
Winkel β (Grad)	60
Dritter Winkel γ (Grad)	=180-B1-B2

Tabelle für die dritte Seite mit dem Kosinussatz

Seite a	5
Seite b	7
Eingeschlossener Winkel γ (Grad)	60
Dritte Seite c	=WURZEL(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(BOGENMASS(B3)))

Tabelle für eine weitere Seite mit dem Sinussatz

Seite a	6
Gegenüberliegender Winkel α (Grad)	45
Winkel β (Grad)	60
Seite b	=B1*SIN(BOGENMASS(B3))/SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle für die Fläche (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

Seite a	8
Seite b	5
Eingeschlossener Winkel γ (Grad)	30
Flächeninhalt S	=B1B2SIN(BOGENMASS(B3))/2

Tabelle für die Fläche (Satz des Heron)

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Halber Umfang s	=(B1+B2+B3)/2
Flächeninhalt S	=WURZEL(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabelle für den Inkreisradius

Flächeninhalt S	6
Halber Umfang s	6
Inkreisradius r	=B1/B2

Tabelle für den Umkreisradius

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Flächeninhalt S	6
Umkreisradius R	=B1B2B3/(4*B4)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben; die Formel in der letzten Zeile wird automatisch berechnet.
COS und SIN erwarten in Excel den Winkel im Bogenmaß, deshalb steht die Funktion BOGENMASS dazwischen und rechnet Grad ins Bogenmaß um. WURZEL ist die Quadratwurzel.
In der zweiten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel etwa 6,245. Ersetzen Sie die Eingaben einfach durch Ihre eigenen Werte.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den dritten Winkel (Winkelsumme)

Winkel α (Grad)	50
Winkel β (Grad)	60
Dritter Winkel γ (Grad)	=180-B1-B2

Tabelle für die dritte Seite mit dem Kosinussatz

Seite a	5
Seite b	7
Eingeschlossener Winkel γ (Grad)	60
Dritte Seite c	=WURZEL(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(BOGENMASS(B3)))

Tabelle für eine weitere Seite mit dem Sinussatz

Seite a	6
Gegenüberliegender Winkel α (Grad)	45
Winkel β (Grad)	60
Seite b	=B1*SIN(BOGENMASS(B3))/SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle für die Fläche (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

Seite a	8
Seite b	5
Eingeschlossener Winkel γ (Grad)	30
Flächeninhalt S	=B1B2SIN(BOGENMASS(B3))/2

Tabelle für die Fläche (Satz des Heron)

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Halber Umfang s	=(B1+B2+B3)/2
Flächeninhalt S	=WURZEL(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tabelle für den Inkreisradius

Flächeninhalt S	6
Halber Umfang s	6
Inkreisradius r	=B1/B2

Tabelle für den Umkreisradius

Seite a	3
Seite b	4
Seite c	5
Flächeninhalt S	6
Umkreisradius R	=B1B2B3/(4*B4)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (BOGENMASS, SIN, COS und WURZEL gibt es in der deutschen Oberfläche von Google Tabellen unter denselben Namen).
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.

So berechnen Sie es in Python

import math

side_a = 3.0   # Seite a
side_b = 4.0   # Seite b
side_c = 5.0   # Seite c (Beispiel mit drei bekannten Seiten)

# Die drei Winkel mit dem umgestellten Kosinussatz (in Grad)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b

# Fläche mit dem Satz des Heron
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
                 * (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))

inradius = area / half_perimeter                            # Inkreisradius
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area)        # Umkreisradius

print(f"α = {angle_a}°, β = {angle_b}°, γ = {angle_c}°")
print(f"Flächeninhalt = {area}")
print(f"Inkreisradius = {inradius}, Umkreisradius = {circumradius}")

Läuft nur mit math aus der Standardbibliothek. math.acos ist der Arkuskosinus (der Kosinus rückwärts), math.degrees rechnet das Bogenmaß in Grad um. Die Variablen angle_a, angle_b und angle_c stehen für α, β und γ. Ersetzen Sie die drei Seiten oben durch Ihre eigenen Werte (mit Punkt als Dezimaltrennzeichen) und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Winkelsumme im Dreieck

α + β + γ = 180°

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B1;</mi><mo>+</mo><mi>&#x3B2;</mi><mo>+</mo><mi>&#x3B3;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>180</mn><mo>&#xB0;</mo>
  </mrow>
</math>

alpha + beta + gamma = 180^@

alpha + beta + gamma == 180

alpha + beta + gamma = 180;

gamma = 180 - alpha - beta;

α + β + γ = 180°

Kosinussatz (dritte Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel)

c² = a² + b² − 2ab·cos γ

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\gamma

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B3;</mi>
  </mrow>
</math>

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos gamma

cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[gamma Degree]]

c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma*Pi/180));

c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(gamma));

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(γ)

Sinussatz (die Brücke zwischen Seiten und gegenüberliegenden Winkeln)

a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R

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    <mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B2;</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B3;</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

a/sin alpha = b/sin beta = c/sin gamma = 2R

bSide = a Sin[beta Degree]/Sin[alpha Degree]

b := a*sin(beta*Pi/180)/sin(alpha*Pi/180);

b = a*sind(beta)/sind(alpha);

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R

Flächeninhalt (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel)

S = (1/2)·ab·sin γ

S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

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    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B3;</mi>
  </mrow>
</math>

S = 1/2 ab sin gamma

area = (1/2) a b Sin[gamma Degree]

S := (1/2)*a*b*sin(gamma*Pi/180);

S = a*b*sind(gamma)/2;

S = (1/2)ab sin(γ)

Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten)

s = (a+b+c)/2,  S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

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    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mi>s</mi>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2

s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Radius des Inkreises

r = S/s

r = \dfrac{S}{s}

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  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S/s

inradius = area/s

r := S/s;

r = S/s;

r = S/s

Radius des Umkreises

R = abc/(4S)

R = \dfrac{abc}{4S}

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  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (abc)/(4S)

circumradius = a b c/(4 area)

R := a*b*c/(4*S);

R = a*b*c/(4*S);

R = abc/(4S)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Dreiecke. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen).

In einem Dreieck sind die Seite a = 7, die Seite b = 10 und der Winkel α = 40° gegeben (α liegt der Seite a gegenüber).
1. Bestimmen Sie mit dem Sinussatz den Winkel β. Achtung: Bei diesen Angaben kann es zwei mögliche Dreiecke geben (Fall SSW). Gibt es zwei Lösungen, zeigen Sie beide.
2. Bestimmen Sie für jede Lösung den Winkel γ, die Seite c und den Flächeninhalt.

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

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3

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