Geben Sie den Radius des Grundkreises und die Höhe des Zylinders ein. Angezeigt werden das Volumen (V = π · r² · h), die Grundfläche und die Umrechnung in cm³, Liter und m³.
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit und nur als Zahl ein (ohne Einheit – für 3 cm also „3“). Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn zuerst durch 2.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links Radius und Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Radius des Grundkreises und Höhe eingeben – und Sie kennen sofort das Volumen des Zylinders (\(V = \pi r^2 h\))
- Dazu die Grundfläche (\(\pi r^2\)) und die Einheitenumrechnung (bei Eingabe in cm in Liter und m³, bei Eingabe in m in cm³)
- Das Ergebnis erscheint auch als 3D-Zylinder, den Sie mit Maus oder Finger drehen können
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Das Volumen anderer Körper wie Kegel oder Kugel berechnen Sie auf eigenen Seiten.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Fassungsvermögen von Topf und Becher prüfen (Kochen und Küche)
Ein Topf mit 22 cm Durchmesser (11 cm Radius) und 15 cm Tiefe fasst \(\pi \times 11^2 \times 15 \approx 5702\,\mathrm{cm^3}\), also rund 5,7 Liter (weil man ihn nicht bis zum Rand füllt, sind etwa 80 % davon nutzbar).
Ob 2 Liter Wasser plus Nudeln aus dem Rezept hineinpassen oder ob ein Becher eine ganze 0,33-l-Dose aufnimmt, prüfen Sie so schon vor dem Kauf oder Kochen.
Wassermenge einer Regentonne berechnen (Garten und Haus)
Eine zylinderförmige Regentonne mit 0,3 m Radius und 1 m Höhe fasst \(\pi \times 0{,}3^2 \times 1 \approx 0{,}283\,\mathrm{m^3}\), also rund 283 Liter.
Regenwasser ist kein Trinkwasser, aber ideal zum Gießen: 283 Liter sind gut 28 Füllungen einer 10-Liter-Gießkanne. Aus den Maßen der Tonne sehen Sie, wie lange der Vorrat in einer Trockenphase reicht.
Holzvolumen eines Baumstamms abschätzen (Forst und Holz)
Rundholz wird nach Volumen in Kubikmetern (Festmeter) gehandelt. Sieht man einen Stamm mit 30 cm Durchmesser (0,15 m Radius) und 4 m Länge als Zylinder, ergibt sich \(\pi \times 0{,}15^2 \times 4 \approx 0{,}283\,\mathrm{m^3}\).
Weil ein Stamm nach oben dünner wird, misst man in der Praxis den Durchmesser in der Mitte des Stammes und rechnet damit wie mit einem Zylinder. Die Grundlage ist genau diese Volumenformel.
Beton bestellen (Bau)
Für einen Bohrpfahl in einem zylinderförmigen Loch mit 40 cm Durchmesser (0,2 m Radius) und 3 m Tiefe brauchen Sie \(\pi \times 0{,}2^2 \times 3 \approx 0{,}377\,\mathrm{m^3}\) Transportbeton, für 10 Pfähle rund 3,8 m³.
Transportbeton wird in m³ bestellt, deshalb wird die Menge auf der Baustelle genau so berechnet. Fehlt Beton, steht die Baustelle; ist zu viel da, kostet die Entsorgung – die Volumenrechnung geht direkt ins Geld.
Rezept auf eine andere Springform umrechnen (Backen)
Eine Springform mit 26 cm Durchmesser (13 cm Radius), 6 cm hoch gefüllt, fasst \(\pi \times 13^2 \times 6 \approx 3186\,\mathrm{cm^3}\), also rund 3,2 Liter.
Haben Sie nur eine kleine Form mit 20 cm Durchmesser, ändern sich die Zutaten im Verhältnis der Volumen. Bei gleicher Höhe sind das \((10 : 13)^2 \approx 0{,}59\) – Sie nehmen also knapp 60 % der Zutaten. So entscheiden Sie mit Rechnung statt nach Gefühl.
Formeln und Abbildungen
Volumen eines Zylinders (Grundformel)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen des Zylinders
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
②
\(r\): Radius des Grundkreises
③
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
\(\times\)
④
\(h\): Höhe
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert die
\(\pi\): Kreiszahl
②
mit dem
\(r\): Radius des Grundkreises
③
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
④
und dann mit der
\(h\): Höhe
⑤
und erhält das
\(V\): Volumen des Zylinders
Einfaches Beispiel
Ein Zylinder mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe (etwa eine kleine Konservendose) hat das Volumen
\(V\): Volumen des Zylinders
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 2
\(\times\)
Höhe (4 cm)
\(3 \times 3 = 9\)
\(\pi \times 9 \times 4 = 36\pi \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Der Teil \(\pi r^2\) ist die Fläche des Grundkreises. Die Formel nimmt also nur die bekannte Kreisflächenformel (π × Radius × Radius) und multipliziert sie mit der Höhe.
Achten Sie darauf: Nur der Radius wird quadriert, die Höhe nicht. Weil insgesamt drei Längen multipliziert werden, steht das Ergebnis bei Eingabe in cm in cm³ (in m in m³).
Grundfläche × Höhe (gilt für alle Prismen und Zylinder)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V\): Volumen des Zylinders
\(=\)
①
\(S\): Grundfläche
\(\times\)
②
\(h\): Höhe
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(S\): Grundfläche
②
mit der
\(h\): Höhe
③
, erhält man das
\(V\): Volumen des Zylinders
Einfaches Beispiel
Ein Zylinder mit der Grundfläche 28,26 cm² (Kreis mit 3 cm Radius, gerechnet mit π ≈ 3,14) und 4 cm Höhe hat das Volumen
\(V\): Volumen des Zylinders
\(=\)
Grundfläche (28,26 cm²)
\(\times\)
Höhe (4 cm)
\(28{,}26 \times 4 = 113{,}04\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
„Volumen = Grundfläche × Höhe“ gilt nicht nur für den Zylinder, sondern für alle Prismen wie Dreiecks- oder Viereckprisma – also für jeden geraden Körper, bei dem dieselbe Grundfläche senkrecht nach oben „gestapelt“ ist. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis, also \(S = \pi r^2\), und man erhält genau die Formel 1. In deutschen Schulbüchern heißt das meist \(V = G \cdot h\).
Dass die 113,04 cm³ hier etwas kleiner sind als die rund 113,1 cm³ aus Formel 1, liegt am gerundeten π = 3,14 (der Rechner arbeitet mit \(\pi = 3{,}14159\ldots\)).
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ pro Liter
Die Formel in Worten
①
Teilt man das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die Zahl
\(1000\): cm³ pro Liter
③
, erhält man das
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
Einfaches Beispiel
Das Volumen des Zylinders mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe, rund 113,1 cm³, in Liter umgerechnet
Volumen in Liter
\(=\)
Volumen in cm³ (113,1)
\(\div\)
cm³ pro Liter (1.000)
\(113{,}1 \div 1000 = 0{,}1131\,\mathrm{L}\)
Der Grundgedanke
\(1\,\mathrm{l}\) ist \(10\,\mathrm{cm} \times 10\,\mathrm{cm} \times 10\,\mathrm{cm} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) – ungefähr so groß wie eine 1-Liter-Milchtüte.
Außerdem gilt \(1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{ml}\): Das Volumen in cm³ können Sie direkt als Milliliter lesen (113,1 cm³ = 113,1 ml).
Umrechnung des Volumens (cm³ → m³)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V_{\mathrm{m^3}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000000\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{m^3}}\): Volumen in m³
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1000000\): cm³ pro m³
Die Formel in Worten
①
Teilt man das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die Zahl
\(1000000\): cm³ pro m³
③
, erhält man das
\(V_{\mathrm{m^3}}\): Volumen in m³
Einfaches Beispiel
Rund 200.000 cm³ (200 l) Wasser in der Badewanne, in m³ umgerechnet
Volumen in m³
\(=\)
Volumen in cm³ (200.000)
\(\div\)
cm³ pro m³ (1.000.000)
\(200000 \div 1000000 = 0{,}2\,\mathrm{m^3}\)
Der Grundgedanke
Beim Volumen ist der Umrechnungsfaktor der Längenfaktor hoch 3. Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^3}\) gleich \(100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\). Nicht 100, nicht 10.000, sondern eine Million – hier passieren die meisten Fehler.
Umgekehrt multiplizieren Sie von m³ in cm³ mit 1.000.000. Zum Liter gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}\).
Das Volumen eines Zylinders berechnen Sie mit „Grundfläche (π · r²) × Höhe“. Quadriert wird nur der Radius, das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit hoch 3 (bei cm also cm³). Merken Sie sich dazu 1 l = 1.000 cm³ und 1 m³ = 1.000.000 cm³.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Das übliche Zeichen für das Volumen (lateinisch volumen). |
| \(r\) | r | Der Radius des Grundkreises (Abstand vom Mittelpunkt bis zum Rand), halb so lang wie der Durchmesser. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Zylinders (der senkrechte Abstand vom Boden bis zum Deckel). |
| \(\pi\) | pi | Der griechische Buchstabe für die Kreiszahl: Umfang geteilt durch Durchmesser, \(3{,}14159\ldots\) mit unendlich vielen Nachkommastellen. Das „3,14“ aus der Schule ist ein Näherungswert. |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(S\) | S | Ein häufiges Zeichen für eine Fläche. Hier steht es für die Grundfläche (die Kreisfläche \(\pi r^2\)). In deutschen Schulbüchern heißt sie meist \(G\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³. Es gilt 1 cm³ = 1 ml. |
| \(\mathrm{m^3}\) | Kubikmeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat das Volumen 1 m³. Es gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{l}\). |
| \(\mathrm{L}\) | Liter | Eine Volumeneinheit, bekannt von Getränken und Wasser (in Deutschland meist klein „l“ geschrieben, international auch „L“). Es gilt \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{ml}\). |
Begriffe
| Zylinder | Ein gerader Körper mit kreisförmiger Grundfläche; jeder waagerechte Schnitt ergibt denselben Kreis. Konservendose, Ölfass, Klopapierrolle – im Alltag gibt es viele davon. |
| Grundkreis | Der Kreis, der beim Zylinder Boden und Deckel bildet. Oben und unten liegen zwei gleich große Kreise; beide heißen Grundkreis (der obere auch Deckfläche). |
| Grundfläche | Die Fläche des Bodens eines Körpers. Beim Zylinder ist es ein Kreis, also \(\pi r^2\) (π × Radius × Radius). |
| Volumen | Gibt als Zahl an, wie viel Raum ein Körper einnimmt (auch Rauminhalt). Man misst es daran, wie viele Einheitswürfel (z. B. 1 cm³) hineinpassen. |
| Prisma | Ein gerader Körper mit einem Vieleck als Grundfläche, die mit gleichbleibendem Querschnitt nach oben geht (z. B. Dreiecks- oder Viereckprisma). Für alle Prismen und den Zylinder gilt „Volumen = Grundfläche × Höhe“. |
| Kreiszahl | Gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt. Sie ist für jeden Kreis gleich und wird mit \(\pi\) geschrieben (etwa 3,14). |
| Einheitenumrechnung | Dieselbe Größe in einer anderen Einheit angeben. Beim Volumen ist der Faktor der Längenfaktor hoch 3 (1 m = 100 cm, also 1 m³ = 1.000.000 cm³). |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreisfläche (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Volumen und Volumeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Volumen von Prismen und Zylindern (Klasse 8–10, 13–16 Jahre) |
|
| Kreiszahl π und Terme (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen eines Zylinders
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Volumen des Zylinders (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
Tabelle für „Grundfläche × Höhe“
| Radius r (cm) | 3 |
| Grundfläche π · r² (cm²) | =PI()*B1^2 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Volumen des Zylinders (cm³) | =B2*B3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 113,1 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in m³
| Volumen in cm³ | 200000 |
| Volumen in m³ | =B1/1000000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„PI()“ ist die Excel-Funktion für die Kreiszahl π (3,14159…). „B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel rund 113,097 (in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B4 denselben Wert, die dritte in B2 die 0,1131 und die vierte in B2 die 0,2. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Maße Ihres Zylinders.
„PI()“ ist die Excel-Funktion für die Kreiszahl π (3,14159…). „B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel rund 113,097 (in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B4 denselben Wert, die dritte in B2 die 0,1131 und die vierte in B2 die 0,2. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Maße Ihres Zylinders.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen eines Zylinders
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Volumen des Zylinders (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
Tabelle für „Grundfläche × Höhe“
| Radius r (cm) | 3 |
| Grundfläche π · r² (cm²) | =PI()*B1^2 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Volumen des Zylinders (cm³) | =B2*B3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 113,1 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in m³
| Volumen in cm³ | 200000 |
| Volumen in m³ | =B1/1000000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Maße Ihres Zylinders.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius = 3 # Radius des Grundkreises (in diesem Beispiel in cm)
height = 4 # Höhe (in derselben Einheit wie der Radius)
base_area = math.pi * radius ** 2 # Grundfläche (Kreisfläche, hier cm2)
volume = base_area * height # Volumen des Zylinders (Eingabeeinheit hoch 3, hier cm3)
volume_liter = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: Volumen in Liter
print(f"Grundfläche: {base_area} cm2")
print(f"Volumen des Zylinders: {volume} cm3")
print(f"Umgerechnet in Liter: {volume_liter} l")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „*“ für Malnehmen. Ersetzen Sie oben Radius und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; geben Sie in m ein, erhalten Sie m³ und multiplizieren mit 1.000.000, um cm³ zu erhalten).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Volumen eines Zylinders (Grundformel)
V = π × r² × h
V = \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = pi r^2 h
Pi*r^2*h
V := Pi*r^2*h;
V = pi*r^2*h;
V = πr^2 h
Grundfläche × Höhe (gilt für alle Prismen und Zylinder)
V = S × h
V = S \times h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mi>S</mi>
<mo>×</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = S xx h
S*h
V := S*h;
V = S*h;
V = S × h
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_liter = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Umrechnung des Volumens (cm³ → m³)
V[m³] = V[cm³] ÷ 1000000
V_{\mathrm{m^3}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000000</mn>
</mrow>
</math>
V_(m^3) = V_(cm^3) -: 1000000
vCm3/1000000
vM3 := vCm3/1000000;
v_m3 = v_cm3/1000000;
V(m³) = V(cm³)/1000000
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Zylinder hat einen Grundkreis mit 3 cm Radius und ist 4 cm hoch. Berechnen Sie: 1. die Grundfläche in cm² 2. das Volumen des Zylinders in cm³ 3. dieses Volumen umgerechnet in Liter Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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