Gefälle berechnen (Prozent, Grad, Verhältnis 1:n und Längen)

Wählen Sie, wie Sie das Gefälle eingeben, und tragen Sie einen Wert ein. Waagerechte Strecke und Höhenunterschied unten können leer bleiben (wenn Sie eines von beiden eintragen, werden auch der Höhenunterschied, die waagerechte Strecke und die Schräglänge dazu berechnet).

Eingabe des Gefälles

Gefälle (%)

Auch Längen berechnen (optional)

Waagerechte Strecke (optional)

Höhenunterschied (optional)

Geben Sie das Gefälle als positive Zahl ohne Vorzeichen ein, egal ob es aufwärts oder abwärts geht. Der Winkel muss kleiner als 90° sein.

Ergebnis und Abbildung

Geben Sie links ein Gefälle ein (in Prozent, in Grad, als Verhältnis 1/n oder mit Höhenunterschied und waagerechter Strecke) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Zeichnungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie ein Gefälle in einer einzigen Form ein, als Gefälle in Prozent (%), als Winkel (Grad), als Verhältnis (1/12, 1/100 und so weiter) oder mit Höhenunterschied und waagerechter Strecke, und alle übrigen Schreibweisen werden auf einmal berechnet
Mit einer waagerechten Strecke erhalten Sie den Höhenunterschied bei diesem Gefälle und die Schräglänge (die Länge des Materials, das Sie tatsächlich brauchen)
Mit einem Höhenunterschied erhalten Sie die waagerechte Strecke, die bei diesem Gefälle nötig ist (die Länge einer Rampe oder eines Rohrs)
Das Gefälle wird als rechtwinkliges Dreieck gezeichnet, sodass Sie sehen, wo waagerechte Strecke, Höhenunterschied, Schräge und Winkel liegen
Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite behandelt das Gefälle von Gelände, Böden, Dächern, Rohren und Ähnlichem, also „wie viel es steigt (oder fällt), wenn man ein Stück waagerecht vorangeht“. Für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte in einem Koordinatensystem nutzen Sie „Steigung berechnen“. Für Steigungshöhe, Auftritt und Winkel einer Treppe mit Stufen nutzen Sie den „Treppenrechner“ (beide finden Sie unter den verwandten Rechnern).

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Eine Rollstuhlrampe vor einem Eingang planen (Barrierefreiheit)

Nach DIN 18040-1 (barrierefreies Bauen, öffentlich zugängliche Gebäude) darf eine Rampe höchstens 6 % Längsneigung haben und keine Querneigung. Nach 6 m Rampenlänge ist ein Zwischenpodest von mindestens 1,50 m Länge nötig, und am Anfang und Ende der Rampe braucht man je eine Bewegungsfläche von 1,50 m × 1,50 m. Für eine Stufe von 30 cm bei 6 % brauchen Sie \(30 \div 0{,}06 = 500\) cm, also 5 m waagerechte Strecke, bei einer Schräglänge von etwa 5,009 m und einem Winkel von etwa 3,4°.
Weil 5 m weniger als 6 m sind, kommt diese Rampe ohne Zwischenpodest aus. Ein steileres Gefälle als 6 % ist bei Neubauten nach dieser Norm nicht vorgesehen. Die Anforderungen unterscheiden sich je nach Gebäudeart (öffentlich zugängliches Gebäude, Wohnung, Bestand): Prüfen Sie bei einem echten Vorhaben die geltenden Vorschriften mit einer Fachperson (Stand 2026-09).

Einer Entwässerungsleitung das richtige Gefälle geben (Grundstücksentwässerung und Außenanlagen)

Abwasserrohre und Rinnen brauchen ein leichtes Entwässerungsgefälle, damit das Wasser von selbst abfließt. In Deutschland nennt die DIN 1986-100 für Grundleitungen außerhalb von Gebäuden ein Mindestgefälle von 1:DN, bei einem Rohr DN 100 also 1:100 (1 cm pro Meter, 1 %); empfohlen werden meist 1 bis 1,5 %, damit auch Feststoffe sicher transportiert werden. Für 12 m Rohr brauchen Sie also mindestens \(1200 \times 0{,}01 = 12\) cm Höhenunterschied zwischen den beiden Enden und bei 2 % 24 cm.
Je länger das Rohr, desto mehr Höhe brauchen Sie: Wer vor dem Verlegen prüft, ob der Auslauf tief genug liegt, merkt nicht erst nach dem Zuschütten des Grabens, dass das Gefälle nicht reicht. Das richtige Gefälle hängt von Nennweite und Verwendung ab: Halten Sie sich an Norm und Herstellerangaben (Stand 2026-09).

Aus der Dachneigung Prozent und Sparrenlänge bestimmen (Gartenhaus)

In Deutschland wird die Dachneigung meist in Grad angegeben, zum Beispiel 35° beim Satteldach oder 15° beim Pultdach. 15° entsprechen einem Gefälle von \(\tan 15^\circ \approx 0{,}268\), also etwa 26,8 %; 22° sind etwa 40,4 %.
Bei einem Gartenhaus mit Pultdach, 3 m breit und 15° geneigt, beträgt der Höhenunterschied \(3 \times \tan 15^\circ \approx 0{,}80\) m und die Länge entlang der Dachfläche (ein Anhaltspunkt für die Sparrenlänge, ein Dachüberstand kommt hinzu) \(3 \div \cos 15^\circ \approx 3{,}11\) m. Jede Dachdeckung hat eine Regeldachneigung (bei Dachziegeln je nach Produkt, häufig etwa 22° oder mehr, Stand 2026-09; Herstellerangaben und ZVDH-Regeln beachten): Erst die Neigung umzurechnen und dann die Deckung zu wählen, spart Zeit.

Ein Verkehrszeichen „10 %“ oder eine Bahnneigung von „12,5 ‰“ lesen (Straße, Rad, Bahn)

Ein Verkehrszeichen „10 %“ (Zeichen 108 „Gefälle“ oder 110 „Steigung“ der StVO) kündigt eine Straße an, die auf 100 m waagerechter Strecke um 10 m fällt (oder steigt), das sind nur etwa 5,7°: 10 % sind nicht 10°. Mit dem Rad wirken 8 bis 10 % schon anstrengend, das hilft bei der Routenwahl.
Die Bahn gibt die Neigung in Promille (‰) an: 12,5 ‰ steigen auf 1.000 m um 12,5 m (1,25 %, etwa 0,7°). Nach § 7 der Eisenbahn-Bau- und Betriebsordnung (EBO) soll die freie Strecke einer neuen Hauptbahn höchstens 12,5 ‰ haben, die einer Nebenbahn höchstens 40 ‰ (4 %, etwa 2,3°). Der Winkel wirkt klein, für einen schweren Zug ist das aber eine große Anstrengung, daher diese feinere Einheit (Stand 2026-09-29).

Das Gefälle einer Terrasse, Zufahrt oder Stellfläche festlegen (Außenanlagen)

Terrassen und Stellflächen im Freien erhalten meist ein Gefälle von etwa 2 % (üblich sind 1,5 bis 3 %) weg vom Haus, damit sich kein Regenwasser sammelt und es nicht zur Hauswand läuft; eine gesetzliche Zahl gibt es dafür nicht (Stand 2026-09). Bei 4 m Terrassentiefe und 2 % ergibt sich \(4 \times 0{,}02 = 0{,}08\) m, also 8 cm Höhenunterschied zwischen Hauswand und Kante.
Umgekehrt wird eine zu steile Zufahrt bei Regen glatt oder lässt Autos aufsetzen: Prüfen Sie das Gefälle (in Prozent und in Grad) aus Höhenunterschied und waagerechter Strecke, bevor Sie planen.

Erleben, wozu tan und arctan gut sind (Mathematik in der Sekundarstufe)

Ein Gefälle ist „Gegenkathete ÷ Ankathete“, also genau der Tangens \(\tan\theta\) eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Frage „Welchen Winkel hat ein Gefälle von 1/12?“ mit der Taste \(\tan^{-1}\) zu lösen, ist eine der anschaulichsten Anwendungen der Trigonometrie.
Die Schräglänge aus waagerechter Strecke und Höhenunterschied zu bestimmen, ist der Satz des Pythagoras aus dem Unterricht. Prüfen Sie selbst, dass die Formeln aus dem Schulbuch zu den echten Maßen von Rampen und Dächern passen.

Formeln und Zeichnungen

Gefälle (Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(i\) \(=\) \(h\) \(\div\) \(L\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(i\): Gefälle \(=\) ① \(h\): Höhenunterschied \(\div\) ② \(L\): waagerechte Strecke

Die Formel in Worten

① Man teilt den \(h\): Höhenunterschied

② durch die \(L\): waagerechte Strecke

③ und erhält das \(i\): Gefälle („wie viel es steigt, wenn man 1 waagerecht vorangeht“)

Einfaches Beispiel

Das Gefälle einer Rampe, die einen Höhenunterschied von 60 cm auf einer waagerechten Strecke von 7,2 m (= 720 cm) überwindet, beträgt

\(i\): Gefälle \(=\) Höhenunterschied (60 cm) \(\div\) waagerechte Strecke (720 cm)

\(60 \div 720 = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}0833\)

Der Kerngedanke

Das Gefälle sagt, „wie viel es steigt (oder fällt), wenn man ein Stück waagerecht vorangeht“. Wie in der Zeichnung stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen beide Katheten die waagerechte Strecke \(L\) und der Höhenunterschied \(h\) sind. Das Gefälle \(i\) ist „Gegenkathete ÷ Ankathete“, also genau der Tangens \(\tan\theta\) aus dem Mathematikunterricht. Bringen Sie Höhenunterschied und waagerechte Strecke vor dem Teilen auf dieselbe Einheit (60 cm ÷ 720 cm, nicht 60 cm ÷ 7,2 m). Bei gleicher Einheit ist das Gefälle eine Zahl ohne Einheit. Geteilt wird durch die Strecke von oben gesehen, nicht durch die Schräglänge. Den Unterschied zwischen beiden behandelt die letzte Formel, „Höhenunterschied, waagerechte Strecke und Schräglänge“.

Prozent (%) und Promille (‰)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(p\) \(=\) \(i\) \(\times\) \(100\)

\(P\) \(=\) \(i\) \(\times\) \(1000\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(p\): Gefälle in Prozent \(=\) ① \(i\): Gefälle \(\times\) ② 100 (auf 100 waagerechte Strecke umgerechnet)

⑤ \(P\): Gefälle in Promille \(=\) \(i\): Gefälle \(\times\) ④ 1000 (auf 1.000 waagerechte Strecke umgerechnet)

Die Formel in Worten

① Man multipliziert das \(i\): Gefälle

② mit 100

③ und erhält das \(p\): Gefälle in Prozent (es steigt um \(p\) auf 100 waagerechter Strecke)

④ Man multipliziert dasselbe Gefälle \(i\) mit 1000

⑤ und erhält das \(P\): Gefälle in Promille (es steigt um \(P\) auf 1.000 waagerechter Strecke)

Einfaches Beispiel

Ein Gefälle \(i = 0{,}0125\) (eine Hauptbahn, die auf 1.000 m waagerechter Strecke um 12,5 m steigt) lautet in Prozent und in Promille

\(p\): Gefälle in Prozent \(=\) Gefälle (0,0125) \(\times\) 100

\(P\): Gefälle in Promille \(=\) Gefälle (0,0125) \(\times\) 1000

\(0{,}0125 \times 100 = 1{,}25\ (\%)\)

\(0{,}0125 \times 1000 = 12{,}5\ (\text{‰})\)

Der Kerngedanke

Das Gefälle in Prozent sagt, „wie viel es steigt, wenn man 100 waagerecht vorangeht“, das Gefälle in Promille „wie viel es steigt, wenn man 1.000 waagerecht vorangeht“. Beides sind zwei Schreibweisen desselben Gefälles \(i\). Ein Verkehrszeichen mit „10 %“ kündigt eine Straße an, die auf 100 m waagerechter Strecke um 10 m fällt (oder steigt), und eine Dachneigung von 40 % steigt pro Meter um 40 cm. In Deutschland gibt man die Neigung eines Dachs allerdings meist in Grad an (40 % ≈ 21,8°). Weil es ein Verhältnis ist, bleibt ein Gefälle von 40 % gleich, egal wie groß das Dach ist. Ein Gefälle von 100 % (es steigt 1 auf 1) entspricht einer Neigung von 45°. Die Bahn gibt die Neigung in Promille (‰) an, \(i \times 1000\): 12,5 ‰ = 1,25 %. Nach § 7 der Eisenbahn-Bau- und Betriebsordnung (EBO) soll die freie Strecke einer neuen Hauptbahn höchstens 12,5 ‰ Neigung haben, die einer Nebenbahn höchstens 40 ‰ (Stand 2026-09-29). Die feinere Einteilung ist nützlich, weil selbst kleine Neigungen für einen schweren Zug zählen.

Verhältnis (1/n)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(n\) \(=\) \(L\) \(\div\) \(h\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(n\): Nenner (das \(n\) in \(1/n\)) \(=\) ① \(L\): waagerechte Strecke \(\div\) ② \(h\): Höhenunterschied

Die Formel in Worten

① Man teilt die \(L\): waagerechte Strecke

② durch den \(h\): Höhenunterschied

③ und erhält den \(n\): Nenner (ein Gefälle \(1/n\) steigt um 1 auf \(n\) waagerechter Strecke)

Einfaches Beispiel

Eine Rampe mit 60 cm Höhenunterschied auf 720 cm waagerechter Strecke lautet als Verhältnis geschrieben

\(n\): Nenner \(=\) waagerechte Strecke (720 cm) \(\div\) Höhenunterschied (60 cm)

\(720 \div 60 = 12\)

\(\dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{12}\)

Der Kerngedanke

Das Gefälle von Rampen und Entwässerungen wird oft als Verhältnis mit der 1 oben angegeben, etwa 1/12 oder 1/100 (in Deutschland meist als 1:12 oder 1:100 geschrieben). Der Nenner \(n\) bedeutet „es steigt um 1 auf \(n\) waagerechter Strecke“: Je größer \(n\), desto flacher das Gefälle. Er ist außerdem der Kehrwert des Gefälles \(i\) (\(n = 1 \div i\)). Ein Gefälle von 1/12 braucht zum Beispiel 12 waagerechte Strecke für 1 Höhenunterschied: Bei 60 cm sind es \(60 \times 12 = 720\) cm. Ein Gefälle von 5 % schreibt man als 1/20, ein Gefälle von 1 cm pro Meter als 1/100. Ist \(n\) keine ganze Zahl, zeigt dieser Rechner es als Dezimalzahl an (ein Dach mit 40 % ergibt zum Beispiel \(10 \div 4 = 2{,}5\), also 1/2,5).

Winkel (Grad)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan\) \((\) \(i\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\theta\): Winkel \(=\) \(\arctan\) \((\) ① \(i\): Gefälle \()\)

Die Formel in Worten

① Man wendet den Arkustangens \(\arctan\) (die Umkehrung von \(\tan\)) auf das \(i\): Gefälle

② an und erhält den \(\theta\): Winkel

Einfaches Beispiel

Der Winkel einer Rampe mit 1/12 (\(i \approx 0{,}0833\)) beträgt

\(\theta\): Winkel \(=\) \(\arctan\) \((\) Gefälle (1/12) \()\)

\(\theta = \arctan\dfrac{1}{12} \approx 4{,}76^\circ\)

Der Kerngedanke

Das Gefälle \(i\) ist die „Gegenkathete ÷ Ankathete“ eines rechtwinkligen Dreiecks, in der Trigonometrie also \(\tan\theta\). Den Winkel \(\theta\) erhalten Sie deshalb mit der Umkehrung von \(\tan\), \(\arctan\) (dem Arkustangens, auf dem Taschenrechner die Taste \(\tan^{-1}\)). Um aus einem Winkel ein Gefälle zu machen, verwendet man \(i = \tan\theta\). Prozent und Winkel sind nicht proportional. 10 % sind etwa 5,7°, aber 100 % sind 45° und selbst 200 % nur etwa 63,4° (je näher der Winkel an 90° kommt, desto stärker wächst das Gefälle ohne Grenze). Achtung: Ein Gefälle von 10 % sind nicht 10°.

Höhenunterschied, waagerechte Strecke und Schräglänge

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(h\) \(=\) \(L\) \(\times\) \(i\)

\(L\) \(=\) \(h\) \(\div\) \(i\)

\(s\) \(=\) \(\sqrt{L^{2} + h^{2}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(h\): Höhenunterschied \(=\) ① \(L\): waagerechte Strecke \(\times\) ② \(i\): Gefälle

⑤ \(L\): waagerechte Strecke \(=\) ④ \(h\): Höhenunterschied \(\div\) \(i\): Gefälle

⑦ \(s\): Schräglänge \(=\) ⑥ Wurzel aus der Summe der Quadrate von waagerechter Strecke \(L\) und Höhenunterschied \(h\)

Die Formel in Worten

① Man multipliziert die \(L\): waagerechte Strecke

② mit dem \(i\): Gefälle

③ und erhält den \(h\): Höhenunterschied (wenn die waagerechte Strecke bekannt ist)

④ Umgekehrt teilt man den \(h\): Höhenunterschied durch das Gefälle \(i\)

⑤ und erhält die \(L\): waagerechte Strecke (wenn der Höhenunterschied bekannt ist)

⑥ Man zieht die Wurzel aus der Summe der Quadrate von waagerechter Strecke \(L\) und Höhenunterschied \(h\) (Satz des Pythagoras)

⑦ und erhält die \(s\): Schräglänge (die tatsächliche Länge des Gefälles)

Einfaches Beispiel

Für eine Rampe mit 1/12, die einen Höhenunterschied von 60 cm (0,6 m) überwindet, betragen die nötige waagerechte Strecke und die Schräglänge

\(L\): waagerechte Strecke \(=\) Höhenunterschied (0,6 m) \(\div\) Gefälle (1/12)

\(s\): Schräglänge \(=\) Wurzel aus der Summe der Quadrate von waagerechter Strecke (7,2 m) und Höhenunterschied (0,6 m)

\(L = 0{,}6 \div \dfrac{1}{12} = 0{,}6 \times 12 = 7{,}2\ (\mathrm{m})\)

\(s = \sqrt{7{,}2^{2} + 0{,}6^{2}} = \sqrt{51{,}84 + 0{,}36} = \sqrt{52{,}2} \approx 7{,}225\ (\mathrm{m})\)

Der Kerngedanke

Stellt man die Formel für das Gefälle \(i = h \div L\) um, erhält man den Höhenunterschied aus der waagerechten Strecke (\(h = L \times i\)) und die waagerechte Strecke aus dem Höhenunterschied (\(L = h \div i\)). Praktische Fragen wie „Wie lang muss die Rampe für diese Stufe bei diesem Gefälle sein?“ oder „Welchen Höhenunterschied ergibt diese Rohrlänge?“ laufen alle auf diese Rechnung hinaus. Die Schräglänge \(s\) ist die tatsächliche Länge des Gefälles, also die Länge des Materials, das Sie brauchen: Bretter einer Rampe, Sparren eines Dachs, Rohr. Sie ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks aus waagerechter Strecke und Höhenunterschied und folgt daher aus dem Satz des Pythagoras. Bei einem flachen Gefälle ist sie fast so lang wie die waagerechte Strecke (bei 1/12 nur etwa 0,35 % mehr), bei einem steilen wie einem Dach wächst der Unterschied (etwa 7,7 % mehr bei einem Dach mit 40 % und etwa 41 % mehr bei 45°).

Alles beginnt mit „Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke“. Prozent (× 100), Promille (× 1000) und das Verhältnis 1/n (Nenner = waagerechte Strecke ÷ Höhenunterschied) sind verschiedene Schreibweisen desselben Werts; nur der Winkel wird mit \(\arctan\) bestimmt (Prozent und Winkel sind nicht proportional). Die Längen berechnen Sie mit \(h = L \times i\), \(L = h \div i\) und der Schräglänge \(s = \sqrt{L^{2} + h^{2}}\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(i\)	i	Das Gefälle (Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke). In Normen wie der DIN 1986-100 für die Entwässerung steht \(i\) für das Gefälle. Es ist eine Zahl ohne Einheit und gleich \(\tan\theta\).
\(h\)	h	Der Höhenunterschied, als Anfangsbuchstabe von „Höhe“. Das ist zum Beispiel die Höhe einer Stufe, der Höhenunterschied zwischen Traufe und First eines Dachs oder zwischen den beiden Enden eines Rohrs.
\(L\)	L	Die waagerechte Strecke. Diese Seite verwendet den Anfangsbuchstaben von „Länge“. Es ist die Länge des Gefälles von oben gesehen, nicht die Schräglänge (\(s\)).
\(p\)	p	Das Gefälle in Prozent, als Anfangsbuchstabe von „Prozent“. \(p = i \times 100\) bedeutet „es steigt um \(p\) auf 100 waagerechter Strecke“.
\(P\)	P	Das Gefälle in Promille, als Anfangsbuchstabe von „Promille“. \(P = i \times 1000\) bedeutet „es steigt um \(P\) auf 1.000 waagerechter Strecke“ (bei 12,5 ‰ ist \(P = 12{,}5\)).
\(n\)	n	Der Nenner des Verhältnisses \(1/n\). \(n = L \div h = 1 \div i\) bedeutet „es steigt um 1 auf \(n\) waagerechter Strecke“ (bei 1/12 ist \(n = 12\)).
\(\theta\)	Theta	Der Winkel des Gefälles gegenüber der Waagerechten (der Neigungswinkel). Der griechische Buchstabe Theta steht oft für Winkel. Man erhält ihn mit \(\theta = \arctan i\).
\(s\)	s	Die Schräglänge (die Hypotenuse). Man erhält sie mit \(s = \sqrt{L^{2} + h^{2}}\).
\(\tan\)	Tangens	Der Tangens, „Gegenkathete ÷ Ankathete“ in einem rechtwinkligen Dreieck. Das Gefälle \(i\) ist genau \(\tan\theta\).
\(\arctan\)	Arkustangens	Der Arkustangens. Er liefert „den Winkel, dessen Tangens diesen Wert hat“ und wird auch \(\tan^{-1}\) geschrieben. Man verwendet ihn, um aus einem Gefälle den Winkel zu bestimmen.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel	Die Quadratwurzel, „die positive Zahl, deren Quadrat diese Zahl ergibt“. Sie dient dazu, mit dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse zu bestimmen (Beispiel: \(\sqrt{25} = 5\)).
\(\approx\)	ungefähr gleich	Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Man verwendet es, wenn man einen nicht aufgehenden Wert oder das Ergebnis von \(\arctan\) als gerundete Dezimalzahl schreibt.

Begriffe

Gefälle	Das Verhältnis, um wie viel es steigt (oder fällt), wenn man waagerecht ein Stück vorangeht: Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke. Dasselbe Gefälle lässt sich auf mehrere Arten schreiben: als Prozent (%), als Promille (‰), als Verhältnis (1/n) oder als Winkel (°). Im Alltag sagt man dazu auch Neigung oder, bergauf, Steigung.
Höhenunterschied	Der Unterschied zwischen der Höhe am Anfang und am Ende eines Gefälles: Höhe einer Stufe, Abstand zwischen Traufe und First eines Dachs, Höhenunterschied zwischen Einlauf und Auslauf eines Rohrs.
waagerechte Strecke	Die Länge des Gefälles von oben gesehen, vom Anfang bis zum Ende. Sie ist immer kürzer als die Länge entlang der Schräge. Bei der Berechnung des Gefälles teilt man den Höhenunterschied durch diese Strecke.
Hypotenuse	Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, gegenüber dem rechten Winkel. In der Zeichnung eines Gefälles ist das die Schräge selbst, und ihre Länge ist die Schräglänge.
Schräglänge	Die tatsächliche Länge, gemessen entlang des Gefälles (die Länge der Hypotenuse). Das ist die Länge des Materials, das wirklich nötig ist: Bretter einer Rampe, Sparren eines Dachs, Rohr. Man bestimmt sie aus waagerechter Strecke und Höhenunterschied mit dem Satz des Pythagoras.
Gefälle in Prozent	Eine Art, ein Gefälle anzugeben: „um wie viel es steigt, wenn man 100 waagerecht vorangeht“. Man kennt sie von Verkehrszeichen („10 %“) und von Dächern, Rampen und Terrassen. Gefälle × 100.
Promille	Die Anzahl der Tausendstel (Zeichen ‰). Bahnstrecken geben ihre Neigung so an, zum Beispiel „12,5 ‰“, das auf 1.000 m um 12,5 m steigt. Gefälle × 1000 (12,5 ‰ = 1,25 %).
Dachneigung	In Deutschland wird die Neigung eines Dachs meist in Grad angegeben: etwa 35° bei einem Satteldach oder 15° bei einem Pultdach. Ein Dach mit 40 % steigt pro Meter waagerechter Strecke um 40 cm (etwa 21,8°), ein Dach mit 100 % hat 45°. Jede Dachdeckung hat eine Regeldachneigung (bei Dachziegeln je nach Produkt, häufig etwa 22° oder mehr); darunter sind zusätzliche Maßnahmen wie ein regensicheres Unterdach nötig.
Neigung von 45°	Ein Gefälle, das auf 1 waagerechter Strecke um 1 steigt. Der Winkel beträgt 45° und das Gefälle in Prozent 100 %.
Gefälle als Verhältnis 1:n	Eine Schreibweise für ein Gefälle, das auf n waagerechter Strecke um 1 steigt: 1/n oder 1:n, zum Beispiel eine Rampe mit 1/20 (5 %) oder eine Entwässerung mit 1/100 (1 cm pro Meter). Je größer n, desto flacher das Gefälle.
Neigungswinkel	Der Winkel eines Gefälles gegenüber der Waagerechten: das Gefälle als Winkel (°), aus dem Gefälle \(i\) mit \(\arctan\) bestimmt. Prozent und Winkel sind nicht proportional (10 % sind etwa 5,7°, aber 100 % sind 45°).
Tangens	Das trigonometrische Verhältnis \(\tan\): „Gegenkathete ÷ Ankathete“ in einem rechtwinkligen Dreieck, also das Gefälle selbst.
Arkustangens	Die Umkehrung von \(\tan\) (\(\arctan\)). Sie liefert „den Winkel, dessen Tangens diesen Wert hat“. Auf einem Taschenrechner ist das die Taste \(\tan^{-1}\) und in Excel die Funktion ARCTAN.
Satz des Pythagoras	In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Damit bestimmt man die Schräglänge aus waagerechter Strecke und Höhenunterschied.
Entwässerungsgefälle	Ein leichtes Gefälle, das man Böden, Gelände und Rohren gibt, damit das Wasser von selbst abfließt. In Deutschland gibt man es meist in Zentimetern pro Meter oder in Prozent an: Für Grundleitungen nennt die DIN 1986-100 mindestens 1:DN (bei DN 100 also 1 cm pro Meter, 1 %), für Terrassen sind etwa 2 % üblich.

Was Sie vorab wissen sollten

Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie an einer Stelle nicht weiterkommen, ist eine Wiederholung dieser Inhalte der kürzeste Weg.

Prozentrechnung (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Verstehen, dass ein Gefälle (Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke) ein Verhältnis ist, „Prozentwert ÷ Grundwert“ Zwischen Dezimalzahl und Prozentangabe wechseln können, zum Beispiel 0,05 = 5 % und 0,4 = 40 %
Brüche, Dezimalzahlen und Kehrwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	\(\dfrac{1}{12}\) als Dezimalzahl schreiben können (etwa 0,0833) und 0,05 als Bruch wie \(\dfrac{1}{20}\) Wissen, dass „durch \(\dfrac{1}{12}\) teilen“ dasselbe ist wie „mit 12 multiplizieren“ (mit dem Kehrwert multiplizieren)
Längeneinheiten umrechnen (Klasse 3–4, 8–10 Jahre)	1 m = 100 cm und 1 cm = 10 mm kennen und Höhenunterschied und waagerechte Strecke auf dieselbe Einheit bringen können
Rechtwinkliges Dreieck und Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck „Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²“ gilt (zum Beispiel 3, 4, 5) Sich ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen können, dessen Katheten waagerechte Strecke und Höhenunterschied sind und dessen Hypotenuse die Schräglänge ist
Trigonometrie, Tangens und Arkustangens (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\tan\theta\) in einem rechtwinkligen Dreieck „Gegenkathete ÷ Ankathete“ ist, also das Gefälle selbst Wissen, dass \(\arctan\) (\(\tan^{-1}\)) „aus dem Wert des Tangens den Winkel liefert“ (rechnen können Taschenrechner oder Excel) Anhand der Kurve von \(\tan\) verstehen, warum Prozent und Winkel nicht proportional sind (100 % = 45°)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Gefälles (Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke)

Höhenunterschied h (cm)	60
Waagerechte Strecke L (cm)	720
Gefälle i	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von Prozent (%), Verhältnis 1/n und Promille (‰)

Gefälle i	0,025
Gefälle in Prozent p (%)	=B1*100
Nenner n (Gefälle 1/n)	=1/B1
Promille P (‰)	=B1*1000

Tabelle zur Berechnung des Nenners des Verhältnisses (1/n)

Höhenunterschied h (cm)	60
Waagerechte Strecke L (cm)	720
Nenner n (Gefälle 1/n)	=B2/B1

Tabelle zur Berechnung des Winkels (Grad)

Gefälle i	=1/12
Winkel θ (°)	=GRAD(ARCTAN(B1))

Tabelle zur Berechnung von Höhenunterschied, waagerechter Strecke und Schräglänge

Höhenunterschied h (m)	0,6
Gefälle i	=1/12
Waagerechte Strecke L (m)	=B1/B2
Schräglänge s (m)	=WURZEL(B3^2+B1^2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen der Spalte B Ihre Eingaben, und die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
B3 der ersten Tabelle ergibt etwa 0,0833 (= 1/12), die zweite Tabelle ergibt 2,5, 40 und 25, B3 der dritten Tabelle ergibt 12, und B2 der vierten Tabelle ergibt etwa 4,76.
„ARCTAN“ ist die Funktion für den Arkustangens (arctan). Sie liefert das Ergebnis im Bogenmaß, das „GRAD“ in Grad umrechnet. „WURZEL“ ist die Quadratwurzel, und „^2“ bedeutet hoch 2.
Die fünfte Tabelle bestimmt die waagerechte Strecke von 7,2 m als „Höhenunterschied ÷ Gefälle“ und die Schräglänge von etwa 7,225 m mit dem Satz des Pythagoras. Wenn Sie stattdessen den Höhenunterschied aus einer waagerechten Strecke bestimmen möchten, ersetzen Sie die Formel in B3 durch „=Strecke*B2“.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Gefälles (Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke)

Höhenunterschied h (cm)	60
Waagerechte Strecke L (cm)	720
Gefälle i	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von Prozent (%), Verhältnis 1/n und Promille (‰)

Gefälle i	0,025
Gefälle in Prozent p (%)	=B1*100
Nenner n (Gefälle 1/n)	=1/B1
Promille P (‰)	=B1*1000

Tabelle zur Berechnung des Nenners des Verhältnisses (1/n)

Höhenunterschied h (cm)	60
Waagerechte Strecke L (cm)	720
Nenner n (Gefälle 1/n)	=B2/B1

Tabelle zur Berechnung des Winkels (Grad)

Gefälle i	=1/12
Winkel θ (°)	=GRAD(ARCTAN(B1))

Tabelle zur Berechnung von Höhenunterschied, waagerechter Strecke und Schräglänge

Höhenunterschied h (m)	0,6
Gefälle i	=1/12
Waagerechte Strecke L (m)	=B1/B2
Schräglänge s (m)	=WURZEL(B3^2+B1^2)

Dieselben Formeln wie in Excel (darunter ARCTAN, GRAD und WURZEL) funktionieren unverändert in Google Tabellen auf Deutsch. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

import math

rise = 2          # Höhenunterschied h (m)
run = 24          # waagerechte Strecke L (m)

gradient = rise / run                          # Gefälle i (= tan θ)
percent = gradient * 100                       # Gefälle in Prozent (%)
permille = gradient * 1000                     # Gefälle in Promille (‰)
pitch = gradient * 12                          # Dachneigung „auf 12“ (x/12, US-Schreibweise für Dächer)
denominator = run / rise                       # der Nenner n im Verhältnis 1/n
angle_deg = math.degrees(math.atan(gradient))  # Winkel (°). atan liefert Bogenmaß, daher Umrechnung in Grad
hypotenuse = math.sqrt(run ** 2 + rise ** 2)   # Schräglänge (m)

print(f"Gefälle: {gradient:.4f}")
print(f"Prozent: {percent:.2f} %")
print(f"Promille: {permille:.2f} ‰")
print(f"Dachneigung x/12 (US-Schreibweise): {pitch:.2f}/12")
print(f"Verhältnis: 1/{denominator:.1f}")
print(f"Winkel: {angle_deg:.2f} °")
print(f"Schräglänge: {hypotenuse:.3f} m")

# Umgekehrt: die nötige waagerechte Strecke aus Gefälle und Höhenunterschied
target_gradient = 1 / 12   # angestrebtes Gefälle (1:12)
rise2 = 2                  # Höhenunterschied (m)
run2 = rise2 / target_gradient
print(f"Nötige waagerechte Strecke für {rise2} m Höhenunterschied bei 1:12: {run2:.3f} m")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. math.atan() ist der Arkustangens (arctan); er liefert das Bogenmaß, das math.degrees() in Grad umrechnet. Ersetzen Sie oben Höhenunterschied und waagerechte Strecke durch Ihre Werte (in derselben Einheit und in Python mit Dezimalpunkt) und starten Sie den Code.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Gefälle (Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke)

i = h ÷ L

i = \frac{h}{L}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>i</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>h</mi><mi>L</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

i = h / L

h/L

i := h/L;

i = h/L;

i = h/L

Prozent (%) und Promille (‰)

p = i × 100,  P = i × 1000

p = 100\,i,\quad P = 1000\,i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>p</mi><mo>=</mo><mn>100</mn><mo>&#x2062;</mo><mi>i</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>P</mi><mo>=</mo><mn>1000</mn><mo>&#x2062;</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

p = 100 i,  P = 1000 i

{100*i, 1000*i}

p := 100*i;  P := 1000*i;

p = 100*i; P = 1000*i;  % i ist das Gefälle (zuerst i = h/L; berechnen)

p = 100i, P = 1000i

Verhältnis (1/n)

n = L ÷ h

n = \frac{L}{h}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>L</mi><mi>h</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

n = L / h

L/h

n := L/h;

n = L/h;

n = L/h

Winkel (Grad)

θ = arctan(i)

\theta = \arctan i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>θ</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(i)

ArcTan[i]*180/Pi

theta := arctan(i)*180/Pi;

theta = atand(i);  % i ist das Gefälle (zuerst i = h/L; berechnen)

θ = tan^(-1)(i)

Höhenunterschied, waagerechte Strecke und Schräglänge

h = L × i,  L = h ÷ i,  s = √(L² + h²)

h = L\,i,\quad L = \frac{h}{i},\quad s = \sqrt{L^{2} + h^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi><mo>=</mo><mi>L</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>i</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>h</mi><mi>i</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>s</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
  </mrow>
</math>

h = L i,  L = h / i,  s = sqrt(L^2 + h^2)

{L*i, h/i, Sqrt[L^2 + h^2]}

h := L*i;  L := h/i;  s := sqrt(L^2 + h^2);

h = L*i; L = h/i; s = sqrt(L^2 + h^2);  % i ist das Gefälle (zuerst i = h/L; berechnen)

h = Li, L = h/i, s = √(L^2 + h^2)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Gefällerechnungen im Hoch- und Tiefbau. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus der Ausführung (nicht aus dem Kopf und nicht geschätzt).

Eine Rampe überwindet einen Höhenunterschied von 60 cm auf einer waagerechten Strecke von 7,2 m.
Berechnen Sie:
1. Das Gefälle (Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke, in derselben Einheit)
2. Das Gefälle in Prozent (%) und in Promille (‰)
3. Den Nenner n im Verhältnis 1/n
4. Den Winkel (in Grad; verwenden Sie arctan und rechnen Sie das Bogenmaß in Grad um)
5. Die Schräglänge (Satz des Pythagoras)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die bei der Ausführung erhaltenen Zahlen.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel