Wählen Sie, wie Sie Ihre Daten eingeben. „Aus der Urliste“ erstellt aus einer eingefügten Liste von Werten eine Häufigkeitstabelle, und „Aus einer Häufigkeitstabelle“ lässt Sie die untere Klassengrenze, die obere Klassengrenze und die Häufigkeit jeder Klasse einer Tabelle eintippen, die Sie schon haben.
Für die Daten und die unteren und oberen Grenzen sind Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen erlaubt. Häufigkeiten sind ganze Zahlen ab 0. Jede Klasse schließt ihre untere Grenze ein und ihre obere Grenze aus.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie in den Feldern links Ihre Daten (oder eine Häufigkeitstabelle) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Häufigkeitstabelle und ein Histogramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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-
Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
-
Formeln und Diagramm
-
Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
-
Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Fügen Sie eine Urliste ein, etwa Körpergrößen, Testpunkte oder Schulwegzeiten (durch Semikolons, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche getrennt), legen Sie die Klassenbreite und die untere Klassengrenze der ersten Klasse fest, und eine Häufigkeitstabelle (Klasse, Klassenmitte, Häufigkeit, relative Häufigkeit, kumulierte Häufigkeit, kumulierte relative Häufigkeit) wird für Sie erstellt
- Sie können auch eine vorhandene Häufigkeitstabelle (untere Klassengrenze, obere Klassengrenze und Häufigkeit jeder Klasse) direkt eingeben
- Der aus den Klassenmitten geschätzte Mittelwert („Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit) ÷ Gesamthäufigkeit“) wird sowohl als vollständig gekürzter Bruch (exakt) als auch als Dezimalzahl angezeigt. Auch der Modalwert und die Klasse mit dem Median werden bestimmt
- Ein Histogramm und ein Häufigkeitspolygon werden automatisch gezeichnet, und Sie können sie als PNG oder SVG speichern
- Eine verständliche Erklärung von Begriffen wie Klasse, Häufigkeit und relative Häufigkeit sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Jede Klasse schließt ihre untere Klassengrenze ein und ihre obere Klassengrenze aus, „10 bis unter 15“ bedeutet zum Beispiel \(10 \le x < 15\). Ein Wert genau auf einer Grenze kommt in die höhere Klasse.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Verteilung von Testergebnissen betrachten (Schule und Bildung)
Häufigkeitstabellen und Histogramme von Testpunkten, die in Stufen von 10 Punkten zusammengefasst sind, gehören zu jedem Notenspiegel. Auch bei demselben Durchschnitt von 60 Punkten beschreiben ein einzelner Gipfel um 60 und zwei Gipfel bei den 30ern und den 90ern ganz verschiedene Gruppen.
Rechnen Sie die Anzahlen in relative Häufigkeiten um, dann können Sie die Verteilungen von Gruppen unterschiedlicher Größe fair vergleichen, etwa zweier Kurse oder zweier Jahrgangsstufen. Auch die Grafiken in Ergebnisberichten standardisierter Tests, die zeigen, in welchem Bereich Ihr Ergebnis liegt, beruhen auf derselben Idee einer Häufigkeitsverteilung.
Die Schwankung von Produkten überwachen (Qualitätssicherung in der Fertigung)
Das Histogramm gehört zu den sieben grundlegenden Qualitätswerkzeugen (Q7), die in der Qualitätssicherung in der Fertigung verwendet werden. Wenn Sie Größe oder Gewicht von Produkten messen und daraus eine Häufigkeitsverteilung machen, sehen Sie die Mitte und die Breite der Streuung und ob sie zur oberen oder unteren Toleranzgrenze hin abwandert.
Zerfällt die Verteilung in zwei Gipfel, kann das bedeuten, dass zwei Maschinen unterschiedlich eingestellt sind. Die Form liefert Hinweise, um die Ursache von Fehlern zu finden.
Verteilungen von Bevölkerung und Einkommen lesen (amtliche Statistik)
Das Statistische Bundesamt (Destatis) veröffentlicht die Bevölkerung nach Altersgruppen (zum Beispiel „20 bis unter 25 Jahre“) und Haushaltseinkommen nach Einkommensklassen in Form von Häufigkeitstabellen. Bei schief verteilten Daten wie dem Einkommen ziehen einige große Werte den Mittelwert bekanntlich über den Median, ein „durchschnittliches Einkommen von X Euro“ allein kann also einen falschen Eindruck vermitteln.
Eine Häufigkeitstabelle zeigt außerdem, in welcher Einkommensklasse die meisten Haushalte liegen (die Modalklasse) und in welcher Klasse der mittlere Haushalt liegt (die Klasse mit dem Median), sodass Sie sich am Gesamtbild der Verteilung orientieren können.
Niederschlag und Temperaturen auswerten (Wetter und Katastrophenschutz)
In der Wetter- und Klimakunde werden beobachtete Niederschlags- und Temperaturdaten in Klassen eingeteilt, zum Beispiel „wie oft im Jahr innerhalb einer Stunde 30 mm Regen oder mehr gefallen sind“. Mit einer Häufigkeitsverteilung lassen sich Trends zwischen Jahren oder Regionen vergleichen und Veränderungen in der Häufigkeit der extremen Klassen erkennen.
Die Planung im Katastrophenschutz beruht auf solchen Informationen zur Verteilung: wie stark ein Ereignis ist und wie oft Ereignisse dieser Stärke vorkommen.
Wissen, wo man steht (Sport und Gesundheit)
Bei den Vorsorgeuntersuchungen (U-Untersuchungen) trägt die Kinderärztin oder der Kinderarzt Größe und Gewicht eines Kindes in Perzentilkurven ein, etwa „größer als 75 % der gleichaltrigen Kinder“. Diese Kurven gehen von der Verteilung der Messwerte vieler Kinder aus, und ein Perzentil ist dieselbe Idee wie die kumulierte relative Häufigkeit: der Anteil aller Daten unterhalb eines Werts.
Auch die Referenzbereiche für Größe, Gewicht, Blutdruck und andere Untersuchungsergebnisse beruhen darauf, die Verteilung von Daten vieler Menschen zu untersuchen.
Formeln und Diagramm
Relative Häufigkeit
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\text{relative Häufigkeit}\)
\(=\)
\(\text{Häufigkeit}\)
\(\div\)
\(\text{Gesamthäufigkeit}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
relative Häufigkeit der Klasse
\(=\)
①
Häufigkeit der Klasse
\(\div\)
②
Gesamthäufigkeit (Anzahl aller Werte)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
Häufigkeit der Klasse (die Anzahl der Werte in der Klasse)
②
teilen Sie sie durch die
Gesamthäufigkeit (Anzahl aller Werte)
③
und Sie erhalten die
relative Häufigkeit der Klasse
Einfaches Beispiel
Haben 6 von 20 Schülerinnen und Schülern eine Schulwegzeit von „10 bis unter 15 Minuten“, ist die relative Häufigkeit dieser Klasse
relative Häufigkeit von 10 bis unter 15 min
\(=\)
Häufigkeit dieser Klasse (6 Personen)
\(\div\)
Gesamthäufigkeit (20 Personen)
\(6 \div 20 = 0{,}3\)
Der Kerngedanke
Die relative Häufigkeit ist der Anteil, den eine Klasse am Ganzen hat. Weil sie ein Anteil ist, ergeben die relativen Häufigkeiten aller Klassen zusammen immer 1.
Nützlich ist sie, weil man damit Daten mit verschiedenen Gesamtzahlen vergleichen kann. „6 Schülerinnen und Schüler“ von 40 und „6 Schülerinnen und Schüler“ von 20 haben zum Beispiel ein unterschiedliches Gewicht, obwohl beide 6 sind, aber als relative Häufigkeiten (0,15 und 0,3) lassen sie sich fair vergleichen.
Relative Häufigkeiten schreibt man meist als Dezimalzahlen (etwa 0,05 oder 0,30), manchmal auch in Prozent (5 % oder 30 %).
Klassenmitte
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\text{Klassenmitte}\)
\(=\)
\((\)
\(\text{untere Grenze}\)
\(+\)
\(\text{obere Grenze}\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Klassenmitte der Klasse
\(=\)
\((\)
①
untere Grenze der Klasse
\(+\)
②
obere Grenze der Klasse
\()\)
\(\div\)
\(2\)
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie die
untere Grenze der Klasse (eingeschlossen)
②
und die
obere Grenze der Klasse (nicht eingeschlossen)
und teilen Sie durch 2 (Sie nehmen also den Wert in der Mitte),
③
und Sie erhalten die
Klassenmitte der Klasse
Einfaches Beispiel
Die Klassenmitte der Klasse „10 bis unter 15 Minuten“ ist
Klassenmitte von 10 bis unter 15 min
\(=\)
\((\)
untere Grenze (10 min)
\(+\)
obere Grenze (15 min)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
\((10 + 15) \div 2 = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\)
Der Kerngedanke
Die Klassenmitte ist der Wert in der Mitte einer Klasse. Sobald Daten in einer Häufigkeitstabelle zusammengefasst sind, weiß man nicht mehr, wie groß jeder einzelne Wert ursprünglich war. Deshalb steht die Klassenmitte für die Klasse: „Wir behandeln jeden Wert in dieser Klasse, als wäre er der Wert in der Mitte.“
In der nächsten Formel (dem geschätzten Mittelwert) spielt die Klassenmitte die Hauptrolle.
Den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle schätzen
Diagramm (Histogramm und Häufigkeitspolygon)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\text{Mittelwert}\)
\(=\)
\(\text{Summe aus (Klassenmitte} \times \text{Häufigkeit)}\)
\(\div\)
\(\text{Gesamthäufigkeit}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
geschätzter Mittelwert
\(=\)
①
Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit)
\(\div\)
②
Gesamthäufigkeit (Anzahl aller Werte)
Die Formel in Worten
①
Berechnen Sie für jede Klasse „Klassenmitte × Häufigkeit“ und addieren Sie alles. Nehmen Sie diese
Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit)
②
teilen Sie sie durch die
Gesamthäufigkeit (Anzahl aller Werte)
③
und Sie erhalten den
geschätzten Mittelwert
Einfaches Beispiel
In einer einfachen Tabelle mit nur zwei Klassen, „3 Personen in der Klasse mit der Klassenmitte 5 und 1 Person in der Klasse mit der Klassenmitte 15“, ist der geschätzte Mittelwert
geschätzter Mittelwert
\(=\)
(5 × 3 Personen) + (15 × 1 Person)
\(\div\)
Gesamthäufigkeit (4 Personen)
\(5 \times 3 + 15 \times 1 = 15 + 15 = 30\)
\(30 \div 4 = 7{,}5\)
Der Kerngedanke
Der Mittelwert ist eigentlich „alle Daten addieren und durch die Anzahl teilen“. Eine Häufigkeitstabelle verrät aber nicht jeden einzelnen Wert, deshalb rechnet man so, als wäre jeder Wert in einer Klasse gleich der Klassenmitte. Für eine Klasse mit der Häufigkeit 6 (Klassenmitte 12,5) steht zum Beispiel \(12{,}5 \times 6\) anstelle der Summe dieser Klasse.
Deshalb ist dieser Mittelwert ein Schätzwert. Er kann etwas vom direkt aus der Urliste berechneten Mittelwert abweichen (wenn Sie eine Urliste eingeben, zeigt der Rechner auf dieser Seite beide nebeneinander, sodass Sie den Unterschied selbst sehen können).
Eine Häufigkeitstabelle teilt Daten in Klassen ein (jede schließt ihre untere Grenze ein und ihre obere Grenze aus) und zählt die Häufigkeit (die Anzahl der Werte) in jeder. Die relative Häufigkeit (Häufigkeit ÷ Gesamthäufigkeit) zeigt den Anteil jeder Klasse am Ganzen, und mit den Klassenmitten lässt sich der Mittelwert schätzen. Zeichnen Sie sie als Histogramm, sehen Sie auf einen Blick, wie die Daten gestreut sind (ihre Verteilung).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Ein Buchstabe für die Gesamthäufigkeit (die Anzahl aller Werte), von „Number“ (Anzahl). |
| \(f\) | f | Ein Buchstabe für die Häufigkeit (die Anzahl der Werte in einer Klasse), vom englischen „frequency“. |
| \(r\) | r | Der Buchstabe für die relative Häufigkeit in den Formeln zum Kopieren auf dieser Seite, von „relative“. |
| \(a,\ b\) | a, b | Die untere Grenze (eingeschlossen) und die obere Grenze (nicht eingeschlossen) einer Klasse. Für feste Zahlen verwendet man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\). |
| \(m\) | m | Der Buchstabe, der auf dieser Seite für die Klassenmitte (den Wert in der Mitte einer Klasse) steht, von „Mitte“. |
| \(\bar{x}\) | x quer | Das Symbol für den Mittelwert. Über den Buchstaben \(x\), der für die Datenwerte steht, wird ein Querstrich gesetzt, der „Mittelwert“ bedeutet. Diese Schreibweise ist in der Statistik weit verbreitet. |
Begriffe
| Häufigkeitstabelle | Eine Tabelle, die Daten in mehrere Klassen (Intervalle) einteilt und zählt, wie viele Werte (die Häufigkeit) in jede Klasse fallen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug der Statistik, um sich ein Gesamtbild (die Verteilung) der Daten zu machen. |
| Klasse | Jedes der Intervalle, in die die Daten eingeteilt werden (nicht zu verwechseln mit einer Schulklasse). Bei Schulwegzeiten verwendet man zum Beispiel üblicherweise Intervalle gleicher Breite ohne Lücken, etwa „0 bis unter 5 Minuten“, „5 bis unter 10 Minuten“ und so weiter. |
| Klassenbreite | Die Größe einer Klasse. Bei „10 bis unter 15 Minuten“ beträgt die Breite 5 Minuten. Wenn Sie die Breite ändern, sehen die Tabelle und das Histogramm anders aus. |
| Klassenmitte | Der Wert in der Mitte einer Klasse, bestimmt durch (untere Grenze + obere Grenze) ÷ 2. Die Klassenmitte von „10 bis unter 15 Minuten“ ist 12,5 Minuten. Sie steht für die Klasse, wenn Sie den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle schätzen. |
| Häufigkeit | Die Anzahl der Werte in einer Klasse (genauer: die absolute Häufigkeit). Sie wird in dem gezählt, was Sie zählen, etwa Personen, Mal oder Stück. |
| relative Häufigkeit | Der Anteil, den die Häufigkeit einer Klasse am Ganzen ausmacht. Sie ergibt sich aus Häufigkeit ÷ Gesamthäufigkeit und wird meist als Dezimalzahl geschrieben. Die relativen Häufigkeiten aller Klassen ergeben zusammen 1. |
| kumulierte Häufigkeit | Die Häufigkeiten von der ersten Klasse bis zu dieser Klasse, alle addiert (auch Summenhäufigkeit genannt). Sie sagt sofort, wie viele Werte unter einem bestimmten Wert liegen. |
| kumulierte relative Häufigkeit | Die relativen Häufigkeiten von der ersten Klasse bis zu dieser Klasse, alle addiert (kumulierte Häufigkeit ÷ Gesamthäufigkeit). Sie sagt, welcher Anteil aller Daten unter einem bestimmten Wert liegt. In der letzten Klasse erreicht sie 1. |
| untere Klassengrenze | Der kleinste Wert einer Klasse, der zur Klasse gehört. Diese Regel beseitigt jeden Zweifel, wohin ein Wert auf einer Grenze kommt. Die Klasse „10 bis unter 15“ enthält einen Wert von genau 10. |
| obere Klassengrenze | Der Wert, bei dem eine Klasse endet und der nicht zur Klasse gehört. Ein Wert von genau 15 kommt also nicht in „10 bis unter 15“, sondern in die nächsthöhere Klasse, „15 bis unter 20“. |
| Histogramm | Eine Häufigkeitstabelle, als Säulendiagramm gezeichnet. Auf der waagerechten Achse stehen die Klassen und auf der senkrechten Achse die Häufigkeiten, und die rechteckigen Säulen stehen ohne Lücken nebeneinander. Man sieht auf einen Blick, wie die Daten gestreut sind (die Form der Verteilung). |
| Häufigkeitspolygon | Ein Liniendiagramm, das die Mitte der Oberseite jeder Histogramm-Säule (an der Klassenmitte) der Reihe nach verbindet. An beiden Enden geht die Linie zur waagerechten Achse hinunter, als gäbe es dort eine Klasse mit der Häufigkeit 0. Es ist praktisch, um zwei Verteilungen übereinanderzulegen und zu vergleichen. |
| Verteilung | Wie die Daten gestreut sind, also wo es viele Werte gibt und wo wenige. Häufigkeitstabellen und Histogramme sind Werkzeuge, um sich eine Verteilung anzusehen. |
| Lagemaß | Eine einzelne Zahl, die zusammenfasst, wo die Daten zentriert sind. Der Mittelwert, der Median und der Modalwert sind die gebräuchlichsten. |
| Mittelwert | Alle Datenwerte addiert und durch die Anzahl der Werte geteilt. Aus einer Häufigkeitstabelle schätzt man ihn durch die Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit) ÷ Gesamthäufigkeit. |
| Median | Der Wert genau in der Mitte, wenn die Daten von klein nach groß geordnet sind. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist er der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Bei einer Häufigkeitstabelle bestimmt man mit der kumulierten Häufigkeit, in welcher Klasse der Median liegt. |
| Modalwert | Der Wert, der am häufigsten vorkommt (auch Modus genannt). Bei einer Häufigkeitstabelle nimmt man als Modalwert die Klassenmitte der Klasse mit der höchsten Häufigkeit (der Modalklasse). |
| Urliste | Die einzelnen Werte so, wie sie gemessen wurden, bevor sie zusammengefasst werden (auch Rohdaten genannt). Wenn Sie eine Urliste in eine Häufigkeitstabelle ordnen, erkennt man das Gesamtbild leichter, dafür geht die Information über jeden einzelnen Wert verloren. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Ungleichungen mit ≤ und < (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Anteile und Prozente (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Brüche und Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Lagemaße (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der relativen Häufigkeit
| Häufigkeit einer Klasse f | 6 |
| Gesamthäufigkeit n | 20 |
| Relative Häufigkeit r = f ÷ n | =B1/B2 |
Tabelle zur Berechnung der Klassenmitte
| Untere Grenze der Klasse a | 10 |
| Obere Grenze der Klasse b | 15 |
| Klassenmitte m = (a + b) ÷ 2 | =(B1+B2)/2 |
Tabelle zur Schätzung des Mittelwerts aus einer Häufigkeitstabelle
| Klassenmitte 1 (0 bis unter 5) | 2,5 |
| Klassenmitte 2 (5 bis unter 10) | 7,5 |
| Klassenmitte 3 (10 bis unter 15) | 12,5 |
| Klassenmitte 4 (15 bis unter 20) | 17,5 |
| Klassenmitte 5 (20 bis unter 25) | 22,5 |
| Klassenmitte 6 (25 bis unter 30) | 27,5 |
| Häufigkeit 1 | 1 |
| Häufigkeit 2 | 5 |
| Häufigkeit 3 | 6 |
| Häufigkeit 4 | 4 |
| Häufigkeit 5 | 3 |
| Häufigkeit 6 | 1 |
| Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit) | =SUMMENPRODUKT(B1:B6;B7:B12) |
| Gesamthäufigkeit n | =SUMME(B7:B12) |
| Geschätzter Mittelwert | =B13/B14 |
Tabelle zum Auszählen der Häufigkeiten aus der Urliste (ZÄHLENWENNS)
| Wert 1 | 3 |
| Wert 2 | 5 |
| Wert 3 | 8 |
| Wert 4 | 12 |
| Wert 5 | 14 |
| Wert 6 | 17 |
| Wert 7 | 22 |
| Wert 8 | 26 |
| Häufigkeit von 0 bis unter 5 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=0";B1:B8;"<5") |
| Häufigkeit von 5 bis unter 10 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=5";B1:B8;"<10") |
| Häufigkeit von 10 bis unter 15 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=10";B1:B8;"<15") |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die letzten Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle ist ein Beispiel für die relative Häufigkeit, und die Antwort ist 0,3. Die zweite Tabelle ist ein Beispiel für eine Klassenmitte, und die Antwort ist 12,5.
Die dritte Tabelle schätzt den Mittelwert für das Rechenbeispiel auf dieser Seite (Schulwegzeiten von 20 Schülerinnen und Schülern). SUMMENPRODUKT ist eine Funktion, die zusammengehörige Zellen multipliziert und die Ergebnisse addiert, sie liefert also die Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit) in einem Schritt. Die Antwort ist 14.
Die vierte Tabelle zählt die Häufigkeit jeder Klasse aus der Urliste aus. ZÄHLENWENNS ist eine Funktion, die die Zellen zählt, die Bedingungen erfüllen. Stellen Sie die zwei Bedingungen „10 oder mehr“ und „weniger als 15“ nebeneinander, dann erhalten Sie die Häufigkeit dieser Klasse.
Die erste Tabelle ist ein Beispiel für die relative Häufigkeit, und die Antwort ist 0,3. Die zweite Tabelle ist ein Beispiel für eine Klassenmitte, und die Antwort ist 12,5.
Die dritte Tabelle schätzt den Mittelwert für das Rechenbeispiel auf dieser Seite (Schulwegzeiten von 20 Schülerinnen und Schülern). SUMMENPRODUKT ist eine Funktion, die zusammengehörige Zellen multipliziert und die Ergebnisse addiert, sie liefert also die Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit) in einem Schritt. Die Antwort ist 14.
Die vierte Tabelle zählt die Häufigkeit jeder Klasse aus der Urliste aus. ZÄHLENWENNS ist eine Funktion, die die Zellen zählt, die Bedingungen erfüllen. Stellen Sie die zwei Bedingungen „10 oder mehr“ und „weniger als 15“ nebeneinander, dann erhalten Sie die Häufigkeit dieser Klasse.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der relativen Häufigkeit
| Häufigkeit einer Klasse f | 6 |
| Gesamthäufigkeit n | 20 |
| Relative Häufigkeit r = f ÷ n | =B1/B2 |
Tabelle zur Berechnung der Klassenmitte
| Untere Grenze der Klasse a | 10 |
| Obere Grenze der Klasse b | 15 |
| Klassenmitte m = (a + b) ÷ 2 | =(B1+B2)/2 |
Tabelle zur Schätzung des Mittelwerts aus einer Häufigkeitstabelle
| Klassenmitte 1 (0 bis unter 5) | 2,5 |
| Klassenmitte 2 (5 bis unter 10) | 7,5 |
| Klassenmitte 3 (10 bis unter 15) | 12,5 |
| Klassenmitte 4 (15 bis unter 20) | 17,5 |
| Klassenmitte 5 (20 bis unter 25) | 22,5 |
| Klassenmitte 6 (25 bis unter 30) | 27,5 |
| Häufigkeit 1 | 1 |
| Häufigkeit 2 | 5 |
| Häufigkeit 3 | 6 |
| Häufigkeit 4 | 4 |
| Häufigkeit 5 | 3 |
| Häufigkeit 6 | 1 |
| Summe aus (Klassenmitte × Häufigkeit) | =SUMMENPRODUKT(B1:B6;B7:B12) |
| Gesamthäufigkeit n | =SUMME(B7:B12) |
| Geschätzter Mittelwert | =B13/B14 |
Tabelle zum Auszählen der Häufigkeiten aus der Urliste (ZÄHLENWENNS)
| Wert 1 | 3 |
| Wert 2 | 5 |
| Wert 3 | 8 |
| Wert 4 | 12 |
| Wert 5 | 14 |
| Wert 6 | 17 |
| Wert 7 | 22 |
| Wert 8 | 26 |
| Häufigkeit von 0 bis unter 5 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=0";B1:B8;"<5") |
| Häufigkeit von 5 bis unter 10 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=5";B1:B8;"<10") |
| Häufigkeit von 10 bis unter 15 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=10";B1:B8;"<15") |
Die gleichen Formeln wie in Excel (SUMMENPRODUKT, ZÄHLENWENNS) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen Daten.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# Urliste (Beispiel: Schulwegzeiten von 20 Schülerinnen und Schülern, in Minuten)
data_values = [5, 12, 8, 14, 3, 22, 15, 9, 11, 26,
7, 14, 19, 6, 13, 24, 10, 16, 21, 18]
class_width = Fraction(5) # Klassenbreite
first_lower = Fraction(0) # untere Grenze der ersten Klasse
data_values = [Fraction(v) for v in data_values]
class_count = max(int((v - first_lower) / class_width) for v in data_values) + 1
# jeden Wert in seine Klasse einordnen (untere Grenze eingeschlossen, obere Grenze nicht eingeschlossen)
freqs = [0] * class_count
for v in data_values:
freqs[int((v - first_lower) / class_width)] += 1
total = sum(freqs)
mid_times_freq_sum = Fraction(0)
print("Klasse / Klassenmitte / Häufigkeit / relative Häufigkeit")
for i, f in enumerate(freqs):
lower = first_lower + i * class_width
upper = lower + class_width
midpoint = (lower + upper) / 2
mid_times_freq_sum += midpoint * f
print(f"{lower} bis unter {upper} / {float(midpoint)} / {f} / {float(Fraction(f, total))}")
estimated_mean = mid_times_freq_sum / total
print(f"Geschätzter Mittelwert (Bruch): {estimated_mean}")
print(f"Geschätzter Mittelwert (Dezimalzahl): {float(estimated_mean)}")
print(f"Mittelwert der Urliste: {float(sum(data_values) / len(data_values))}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek können Sie mit exakten Brüchen rechnen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel ist das Rechenbeispiel auf dieser Seite (Schulwegzeiten von 20 Schülerinnen und Schülern, Klassenbreite 5). Beim Ausführen zeigt es jede Zeile der Häufigkeitstabelle, den geschätzten Mittelwert „14“ und den Mittelwert der Urliste „13,65“ (in der Python-Ausgabe steht statt des Kommas ein Punkt). Ändern Sie die Daten und die Einstellungen der Klassen und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Relative Häufigkeit
r = f ÷ n
r = \dfrac{f}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>f</mi><mi>n</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
r = f/n
r = f/n
r := f/n;
r = f/n;
r = f/n
Klassenmitte
m = (a + b) ÷ 2
m = \dfrac{a + b}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
m = (a + b)/2
m = (a + b)/2
m := (a + b)/2;
m = (a + b)/2;
m = (a + b)/2
Den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle schätzen
x̄ = (m₁×f₁ + m₂×f₂ + … + mₖ×fₖ) ÷ n
\bar{x} = \dfrac{m_1 f_1 + m_2 f_2 + \cdots + m_k f_k}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub><mi>m</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>f</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>m</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>f</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo>
<msub><mi>m</mi><mi>k</mi></msub><msub><mi>f</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
bar x = (m_1 f_1 + m_2 f_2 + cdots + m_k f_k)/n
Total[m*f]/Total[f]
xbar := add(m[i]*f[i], i = 1..k)/n;
xbar = sum(m.*f)/sum(f);
x̄ = (m_1 f_1 + m_2 f_2 + … + m_k f_k)/n
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Erstellen Sie für die folgenden Daten eine Häufigkeitstabelle mit Klassen, die bei der unteren Grenze 0 beginnen und die Klassenbreite 5 haben (jede Klasse schließt ihre untere Grenze ein und ihre obere Grenze aus). Daten: 5 ; 12 ; 8 ; 14 ; 3 ; 22 ; 15 ; 9 ; 11 ; 26 ; 7 ; 14 ; 19 ; 6 ; 13 ; 24 ; 10 ; 16 ; 21 ; 18 Zeigen Sie jeweils: 1. Die Häufigkeitstabelle (Klasse, Klassenmitte, Häufigkeit, relative Häufigkeit, kumulierte Häufigkeit, kumulierte relative Häufigkeit) 2. Den aus den Klassenmitten geschätzten Mittelwert (sowohl als vollständig gekürzten Bruch als auch als Dezimalzahl) 3. Den Modalwert und die Klasse, die den Median enthält 4. Den direkt aus der Urliste berechneten Mittelwert und wie weit die Schätzung davon abweicht Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
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Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite berechnen
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