Wählen Sie die Eingabeart. „Aus Rohdaten“ erstellt die Häufigkeitstabelle aus einer eingefügten Liste von Werten. Bei „Aus einer Häufigkeitstabelle“ tippen Sie untere und obere Grenze sowie die Häufigkeit jeder Klasse einer vorhandenen Tabelle ab.
Für Daten sowie untere und obere Grenzen sind Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen möglich. Häufigkeiten sind ganze Zahlen ab 0. Die Klassen gehen jeweils „von … bis unter …“.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links Ihre Daten (oder eine Häufigkeitstabelle) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Häufigkeitstabelle und das Histogramm erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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-
Das können Sie auf dieser Seite
-
Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
-
Formeln und Graph
-
Symbole und Begriffe
-
Das sollten Sie vorher wissen
-
So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Rohdaten wie Körpergrößen, Testpunkte oder Schulwegzeiten einfügen (getrennt durch Semikolons oder Leerzeichen), Klassenbreite und untere Grenze der ersten Klasse wählen – und die Häufigkeitstabelle (Klasse, Klassenmitte, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, kumulierte Häufigkeit, kumulierte relative Häufigkeit) wird automatisch erstellt
- Sie können auch eine vorhandene Häufigkeitstabelle direkt eingeben (untere und obere Grenze sowie Häufigkeit jeder Klasse)
- Der aus den Klassenmitten geschätzte Mittelwert („Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit) : Summe der Häufigkeiten“) erscheint als gekürzter Bruch (exakt) und als Dezimalzahl. Auch der Modalwert und die Klasse mit dem Median werden bestimmt
- Histogramm und Häufigkeitspolygon werden automatisch gezeichnet und lassen sich als PNG oder SVG speichern
- Dazu verständliche Erklärungen der Begriffe wie Klasse, absolute und relative Häufigkeit sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die Klassen werden wie in Schulbüchern und amtlichen Statistiken „von … bis unter …“ gebildet: „10 bis unter 15“ bedeutet \(10 \le x < 15\). Ein Wert genau auf einer Grenze kommt in die höhere Klasse.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Verteilung von Testergebnissen ansehen (Schule und Bildung)
Häufigkeitstabellen und Histogramme von Punktzahlen in 10er-Klassen gehören zu jeder Auswertung von Klassenarbeiten und Tests. Selbst bei gleichem Durchschnitt von 60 Punkten ist es ein völlig anderes Bild, ob es einen Gipfel um 60 Punkte gibt oder zwei Gipfel bei 30 und bei 90 Punkten.
Rechnet man die Anzahlen in relative Häufigkeiten um, lassen sich auch unterschiedlich große Gruppen – zwei Parallelklassen oder zwei Jahrgänge – fair vergleichen. Auch die Grafiken in Rückmeldungen zu Vergleichsarbeiten, die zeigen, in welchem Bereich das eigene Ergebnis liegt, beruhen auf dieser Idee der Häufigkeitsverteilung.
Die Streuung von Produkten überwachen (Qualitätssicherung in der Fertigung)
Das Histogramm gehört zu den „sieben elementaren Qualitätswerkzeugen“ (Q7) der Qualitätssicherung. Misst man Maße oder Gewichte von Produkten und erstellt eine Häufigkeitsverteilung, sieht man Mitte und Breite der Streuung – und ob sie in Richtung der oberen oder unteren Toleranzgrenze wandert.
Zerfällt die Verteilung in zwei Gipfel, sind vielleicht zwei Maschinen unterschiedlich eingestellt. Die Form liefert so Hinweise auf die Ursache von Fehlern.
Verteilungen von Bevölkerung und Einkommen lesen (amtliche Statistik)
Das Statistische Bundesamt (Destatis) veröffentlicht zum Beispiel die Bevölkerung nach Altersgruppen und Haushalte nach Einkommensklassen („von … bis unter … Euro“) in Form von Häufigkeitstabellen. Bei schiefen Daten wie Einkommen ziehen wenige große Werte den Mittelwert über den Median – ein „Durchschnittseinkommen von X Euro“ allein kann daher in die Irre führen.
Eine Häufigkeitstabelle zeigt außerdem, in welcher Klasse die meisten Haushalte liegen (die Modalklasse) und in welcher der mittlere Haushalt (die Klasse mit dem Median). So können Sie aus dem Gesamtbild der Verteilung urteilen.
Niederschlag und Temperaturen auswerten (Wetter und Katastrophenschutz)
In der Meteorologie teilt man gemessene Niederschlags- und Temperaturdaten in Klassen ein, etwa „wie oft im Jahr fielen in einer Stunde 30 mm Regen oder mehr“. Mit einer Häufigkeitsverteilung lassen sich Jahre oder Regionen vergleichen und Veränderungen in der Häufigkeit extremer Klassen erkennen.
Planungen im Katastrophenschutz beruhen auf solchen Informationen über die Verteilung: wie stark ein Ereignis ist und wie oft Ereignisse dieser Stärke vorkommen.
Sehen, wo man steht (Sport und Gesundheit)
Bei den Vorsorgeuntersuchungen (U-Untersuchungen) trägt die Kinderärztin oder der Kinderarzt Größe und Gewicht eines Kindes in Perzentilkurven ein, etwa „größer als 75 % der gleichaltrigen Kinder“. Diese Kurven beruhen auf der Verteilung der Messwerte sehr vieler Kinder, und eine Perzentile ist dieselbe Idee wie die kumulierte relative Häufigkeit: der Anteil aller Daten unterhalb eines Wertes.
Auch die Referenzbereiche für Größe, Gewicht, Blutdruck und andere Messwerte beim Arzt beginnen damit, die Verteilung der Daten vieler Menschen zu untersuchen.
Formeln und Graph
Relative Häufigkeit
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\text{relative Häufigkeit}\)
\(=\)
\(\text{absolute Häufigkeit}\)
\(\div\)
\(\text{Summe der Häufigkeiten}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
relative Häufigkeit der Klasse
\(=\)
①
absolute Häufigkeit der Klasse
\(\div\)
②
Summe der Häufigkeiten (Anzahl aller Werte)
Die Formel in Worten
①
Man teilt die
absolute Häufigkeit der Klasse (Anzahl der Werte in der Klasse)
②
durch die
Summe der Häufigkeiten (Anzahl aller Werte)
③
und erhält die
relative Häufigkeit der Klasse
Einfaches Beispiel
Haben von 20 Schülern einer Klasse 6 einen Schulweg von „10 bis unter 15 Minuten“, beträgt die relative Häufigkeit dieser Klasse
relative Häufigkeit von 10 bis unter 15 min
\(=\)
absolute Häufigkeit der Klasse (6 Schüler)
\(\div\)
Summe der Häufigkeiten (20 Schüler)
\(6 \div 20 = 0{,}3\)
Der Grundgedanke
Die relative Häufigkeit ist der Anteil einer Klasse am Ganzen. Weil sie ein Anteil ist, ergeben die relativen Häufigkeiten aller Klassen zusammen immer 1.
Ihr Nutzen: Sie können Daten mit unterschiedlicher Gesamtzahl vergleichen. „6 Schüler“ von 40 und „6 Schüler“ von 20 wiegen unterschiedlich schwer, obwohl es beide Male 6 sind. Als relative Häufigkeiten (0,15 und 0,3) lassen sie sich fair vergleichen.
Relative Häufigkeiten schreibt man meist als Dezimalzahl (etwa 0,05 oder 0,30), manchmal auch in Prozent (5 % oder 30 %).
Klassenmitte
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\text{Klassenmitte}\)
\(=\)
\((\)
\(\text{untere Grenze}\)
\(+\)
\(\text{obere Grenze}\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Klassenmitte
\(=\)
\((\)
①
untere Klassengrenze
\(+\)
②
obere Klassengrenze
\()\)
\(\div\)
\(2\)
Die Formel in Worten
①
Man addiert die
untere Klassengrenze (gehört dazu)
②
und die
obere Klassengrenze (gehört nicht dazu)
und teilt durch 2 (nimmt also den Wert in der Mitte).
③
So erhält man die
Klassenmitte
Einfaches Beispiel
Die Klassenmitte der Klasse „10 bis unter 15 Minuten“ ist
Klassenmitte von 10 bis unter 15 min
\(=\)
\((\)
untere Grenze (10 min)
\(+\)
obere Grenze (15 min)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
\((10 + 15) \div 2 = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\)
Der Grundgedanke
Die Klassenmitte ist der Wert in der Mitte einer Klasse. Sobald die Daten in einer Häufigkeitstabelle stehen, sieht man nicht mehr, welchen Wert jede einzelne Beobachtung ursprünglich hatte. Deshalb steht die Klassenmitte stellvertretend für die Klasse: Man tut so, als hätten alle Werte dieser Klasse genau den mittleren Wert.
In der nächsten Formel (dem geschätzten Mittelwert) spielt die Klassenmitte die Hauptrolle.
Den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle schätzen
Graph (Histogramm und Häufigkeitspolygon)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\text{Mittelwert}\)
\(=\)
\(\text{Summe von (Klassenmitte} \cdot \text{Häufigkeit)}\)
\(\div\)
\(\text{Summe der Häufigkeiten}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
geschätzter Mittelwert
\(=\)
①
Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit)
\(\div\)
②
Summe der Häufigkeiten (Anzahl aller Werte)
Die Formel in Worten
①
Man rechnet für jede Klasse „Klassenmitte · Häufigkeit“ aus und addiert alles. Diese
Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit)
②
teilt man durch die
Summe der Häufigkeiten (Anzahl aller Werte)
③
und erhält den
geschätzten Mittelwert
Einfaches Beispiel
In einer einfachen Tabelle mit nur zwei Klassen – „3 Personen in der Klasse mit Klassenmitte 5 und 1 Person in der Klasse mit Klassenmitte 15“ – ist der geschätzte Mittelwert
geschätzter Mittelwert
\(=\)
(5 · 3 Personen) + (15 · 1 Person)
\(\div\)
Summe der Häufigkeiten (4 Personen)
\(5 \cdot 3 + 15 \cdot 1 = 15 + 15 = 30\)
\(30 \div 4 = 7{,}5\)
Der Grundgedanke
Eigentlich berechnet man den Mittelwert, indem man alle Daten addiert und durch ihre Anzahl teilt. Eine Häufigkeitstabelle verrät aber die einzelnen Werte nicht. Darum rechnet man so, als wäre jeder Wert einer Klasse gleich ihrer Klassenmitte. Bei einer Klasse mit der Häufigkeit 6 (Klassenmitte 12,5) steht \(12{,}5 \cdot 6\) für die Summe dieser Klasse.
Deshalb ist dieser Mittelwert eine Schätzung. Er kann leicht von dem Mittelwert abweichen, den man direkt aus den Rohdaten berechnet. (Geben Sie Rohdaten ein, zeigt der Rechner auf dieser Seite beide Werte nebeneinander – so sehen Sie den Unterschied selbst.)
Eine Häufigkeitstabelle teilt die Daten in Klassen „von … bis unter …“ ein und zählt die Häufigkeit (Anzahl der Werte) in jeder Klasse. Die relative Häufigkeit (Häufigkeit : Summe der Häufigkeiten) zeigt den Anteil am Ganzen, und mit den Klassenmitten lässt sich der Mittelwert schätzen. Als Histogramm gezeichnet, sehen Sie auf einen Blick, wie die Daten verteilt sind (ihre Verteilung).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Buchstabe für die Summe der Häufigkeiten (Anzahl aller Werte), von englisch „number“ (Anzahl). |
| \(f\) | f | Buchstabe für die Häufigkeit (Anzahl der Werte in einer Klasse), von englisch „frequency“ (Häufigkeit). |
| \(r\) | r | Buchstabe für die relative Häufigkeit in den Formeln zum Kopieren auf dieser Seite (von „relativ“). In Schulbüchern steht oft auch \(h\). |
| \(a,\ b\) | a, b | Die untere Klassengrenze (gehört dazu) und die obere Klassengrenze (gehört nicht dazu). Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\). |
| \(m\) | m | Buchstabe für die Klassenmitte (den Wert in der Mitte einer Klasse) auf dieser Seite – „m“ wie Mitte. |
| \(\bar{x}\) | x quer | Das Zeichen für den Mittelwert. Über den Buchstaben \(x\) für die Datenwerte setzt man einen Querstrich, der für „Mittelwert“ steht. Diese Schreibweise ist in der Statistik weit verbreitet. |
Begriffe
| Häufigkeitstabelle (Häufigkeitsverteilung) | Eine Tabelle, die die Daten in mehrere Klassen (Intervalle) einteilt und zählt, wie viele Werte (die Häufigkeit) in jede Klasse fallen. Ein Grundwerkzeug der Statistik, um einen Überblick über die Daten (ihre Verteilung) zu bekommen. |
| Klasse | Jedes der Intervalle, in die man die Daten einteilt. Bei Schulwegzeiten zum Beispiel nimmt man üblicherweise gleich breite Intervalle ohne Lücken: „0 bis unter 5 Minuten“, „5 bis unter 10 Minuten“ und so weiter. |
| Klassenbreite | Die Breite einer Klasse. Bei „10 bis unter 15 Minuten“ beträgt sie 5 Minuten. Mit der Klassenbreite ändert sich auch, wie Tabelle und Histogramm aussehen. |
| Klassenmitte | Der Wert in der Mitte einer Klasse, berechnet als (untere + obere Grenze) : 2. Die Klassenmitte von „10 bis unter 15 Minuten“ ist 12,5 Minuten. Sie vertritt die Klasse, wenn man den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle schätzt. |
| absolute Häufigkeit (Häufigkeit) | Die Anzahl der Werte in einer Klasse. Gezählt wird in dem, was man zählt – Personen, Male, Stück. |
| relative Häufigkeit | Der Anteil der Häufigkeit einer Klasse am Ganzen, berechnet als Häufigkeit : Summe der Häufigkeiten, meist als Dezimalzahl geschrieben. Die relativen Häufigkeiten aller Klassen ergeben zusammen 1. |
| kumulierte Häufigkeit | Die Summe der Häufigkeiten von der ersten Klasse bis zu dieser Klasse. Sie zeigt sofort, wie viele Werte unter einer bestimmten Grenze liegen. Sie heißt auch Summenhäufigkeit (so in der Tabelle des Rechners). |
| kumulierte relative Häufigkeit | Die Summe der relativen Häufigkeiten von der ersten Klasse bis zu dieser Klasse (kumulierte Häufigkeit : Summe der Häufigkeiten). Sie zeigt, welcher Anteil aller Daten unter einer bestimmten Grenze liegt. In der letzten Klasse erreicht sie 1. Sie heißt auch relative Summenhäufigkeit. |
| untere Klassengrenze | Der kleinste Wert einer Klasse; er gehört zur Klasse. Diese Regel klärt eindeutig, wohin ein Wert auf einer Grenze gehört. Die Klasse „10 bis unter 15“ enthält den Wert 10. |
| obere Klassengrenze | Der Wert, an dem eine Klasse endet; er gehört nicht mehr zur Klasse („bis unter“). Ein Wert von genau 15 kommt deshalb nicht in „10 bis unter 15“, sondern in die nächsthöhere Klasse „15 bis unter 20“. |
| Histogramm | Eine Häufigkeitstabelle als Säulendiagramm. Auf der waagerechten Achse stehen die Klassen, auf der senkrechten die Häufigkeiten, und die Rechtecke stehen ohne Lücken nebeneinander. So sieht man auf einen Blick, wie die Daten verteilt sind (die Form der Verteilung). |
| Häufigkeitspolygon | Ein Liniendiagramm, das die Mitten der oberen Kanten der Histogramm-Säulen (bei den Klassenmitten) der Reihe nach verbindet. An beiden Enden führt die Linie bis zur waagerechten Achse hinunter, als gäbe es dort eine Klasse mit der Häufigkeit 0. Praktisch, um zwei Verteilungen übereinander zu legen und zu vergleichen. |
| Verteilung | Wie die Daten streuen – wo es viele Werte gibt und wo wenige. Häufigkeitstabellen und Histogramme sind Werkzeuge, um eine Verteilung anzusehen. |
| Lageparameter (Lagemaß) | Eine einzelne Zahl, die beschreibt, wo die Daten liegen. Am gebräuchlichsten sind Mittelwert, Median und Modalwert. |
| Mittelwert | Die Summe aller Datenwerte geteilt durch ihre Anzahl (arithmetisches Mittel). Aus einer Häufigkeitstabelle schätzt man ihn mit Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit) : Summe der Häufigkeiten. |
| Median (Zentralwert) | Der Wert genau in der Mitte, wenn man die Daten der Größe nach sortiert. Bei einer geraden Anzahl ist es der Mittelwert der beiden mittleren Werte. In einer Häufigkeitstabelle findet man mit der kumulierten Häufigkeit heraus, in welcher Klasse der Median liegt. |
| Modalwert (Modus) | Der Wert, der am häufigsten vorkommt. In einer Häufigkeitstabelle nimmt man die Klassenmitte der Klasse mit der größten Häufigkeit (der Modalklasse) als Modalwert. |
| Rohdaten (Urliste) | Die einzelnen Werte, so wie sie gemessen wurden, bevor man sie zusammenfasst. Ordnet man Rohdaten in einer Häufigkeitstabelle, wird das Gesamtbild übersichtlicher, die Information über jeden einzelnen Wert geht aber verloren. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, wiederholen Sie am besten diese Themen.
| Ungleichungen mit ≤ und <, „bis unter“ (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Anteile und Prozent (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Brüche und Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Lageparameter (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die relative Häufigkeit
| Häufigkeit einer Klasse f | 6 |
| Summe der Häufigkeiten n | 20 |
| Relative Häufigkeit r = f : n | =B1/B2 |
Tabelle für die Klassenmitte
| Untere Klassengrenze a | 10 |
| Obere Klassengrenze b | 15 |
| Klassenmitte m = (a + b) : 2 | =(B1+B2)/2 |
Tabelle zum Schätzen des Mittelwerts aus einer Häufigkeitstabelle
| Klassenmitte 1 (0 bis unter 5) | 2,5 |
| Klassenmitte 2 (5 bis unter 10) | 7,5 |
| Klassenmitte 3 (10 bis unter 15) | 12,5 |
| Klassenmitte 4 (15 bis unter 20) | 17,5 |
| Klassenmitte 5 (20 bis unter 25) | 22,5 |
| Klassenmitte 6 (25 bis unter 30) | 27,5 |
| Häufigkeit 1 | 1 |
| Häufigkeit 2 | 5 |
| Häufigkeit 3 | 6 |
| Häufigkeit 4 | 4 |
| Häufigkeit 5 | 3 |
| Häufigkeit 6 | 1 |
| Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit) | =SUMMENPRODUKT(B1:B6;B7:B12) |
| Summe der Häufigkeiten n | =SUMME(B7:B12) |
| Geschätzter Mittelwert | =B13/B14 |
Tabelle zum Zählen der Häufigkeiten aus Rohdaten (ZÄHLENWENNS)
| Wert 1 | 3 |
| Wert 2 | 5 |
| Wert 3 | 8 |
| Wert 4 | 12 |
| Wert 5 | 14 |
| Wert 6 | 17 |
| Wert 7 | 22 |
| Wert 8 | 26 |
| Häufigkeit von 0 bis unter 5 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=0";B1:B8;"<5") |
| Häufigkeit von 5 bis unter 10 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=5";B1:B8;"<10") |
| Häufigkeit von 10 bis unter 15 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=10";B1:B8;"<15") |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die letzten Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle ist ein Beispiel für die relative Häufigkeit; das Ergebnis ist 0,3. Die zweite Tabelle ist ein Beispiel für die Klassenmitte; das Ergebnis ist 12,5.
Die dritte Tabelle schätzt den Mittelwert für das Rechner-Beispiel dieser Seite (Schulwegzeiten von 20 Schülern). SUMMENPRODUKT multipliziert zusammengehörige Zellen und addiert die Ergebnisse – so erhalten Sie die Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit) in einem Schritt. Das Ergebnis ist 14.
Die vierte Tabelle zählt die Häufigkeit jeder Klasse aus Rohdaten. ZÄHLENWENNS zählt die Zellen, die Bedingungen erfüllen. Mit den beiden Bedingungen „mindestens 10“ und „kleiner als 15“ erhalten Sie die Häufigkeit dieser Klasse.
Die erste Tabelle ist ein Beispiel für die relative Häufigkeit; das Ergebnis ist 0,3. Die zweite Tabelle ist ein Beispiel für die Klassenmitte; das Ergebnis ist 12,5.
Die dritte Tabelle schätzt den Mittelwert für das Rechner-Beispiel dieser Seite (Schulwegzeiten von 20 Schülern). SUMMENPRODUKT multipliziert zusammengehörige Zellen und addiert die Ergebnisse – so erhalten Sie die Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit) in einem Schritt. Das Ergebnis ist 14.
Die vierte Tabelle zählt die Häufigkeit jeder Klasse aus Rohdaten. ZÄHLENWENNS zählt die Zellen, die Bedingungen erfüllen. Mit den beiden Bedingungen „mindestens 10“ und „kleiner als 15“ erhalten Sie die Häufigkeit dieser Klasse.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die relative Häufigkeit
| Häufigkeit einer Klasse f | 6 |
| Summe der Häufigkeiten n | 20 |
| Relative Häufigkeit r = f : n | =B1/B2 |
Tabelle für die Klassenmitte
| Untere Klassengrenze a | 10 |
| Obere Klassengrenze b | 15 |
| Klassenmitte m = (a + b) : 2 | =(B1+B2)/2 |
Tabelle zum Schätzen des Mittelwerts aus einer Häufigkeitstabelle
| Klassenmitte 1 (0 bis unter 5) | 2,5 |
| Klassenmitte 2 (5 bis unter 10) | 7,5 |
| Klassenmitte 3 (10 bis unter 15) | 12,5 |
| Klassenmitte 4 (15 bis unter 20) | 17,5 |
| Klassenmitte 5 (20 bis unter 25) | 22,5 |
| Klassenmitte 6 (25 bis unter 30) | 27,5 |
| Häufigkeit 1 | 1 |
| Häufigkeit 2 | 5 |
| Häufigkeit 3 | 6 |
| Häufigkeit 4 | 4 |
| Häufigkeit 5 | 3 |
| Häufigkeit 6 | 1 |
| Summe von (Klassenmitte · Häufigkeit) | =SUMMENPRODUKT(B1:B6;B7:B12) |
| Summe der Häufigkeiten n | =SUMME(B7:B12) |
| Geschätzter Mittelwert | =B13/B14 |
Tabelle zum Zählen der Häufigkeiten aus Rohdaten (ZÄHLENWENNS)
| Wert 1 | 3 |
| Wert 2 | 5 |
| Wert 3 | 8 |
| Wert 4 | 12 |
| Wert 5 | 14 |
| Wert 6 | 17 |
| Wert 7 | 22 |
| Wert 8 | 26 |
| Häufigkeit von 0 bis unter 5 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=0";B1:B8;"<5") |
| Häufigkeit von 5 bis unter 10 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=5";B1:B8;"<10") |
| Häufigkeit von 10 bis unter 15 | =ZÄHLENWENNS(B1:B8;">=10";B1:B8;"<15") |
Bei deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Formeln wie in Excel (SUMMENPRODUKT, ZÄHLENWENNS). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen Daten.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# Rohdaten (Beispiel: Schulwegzeiten von 20 Schülern in Minuten)
data_values = [5, 12, 8, 14, 3, 22, 15, 9, 11, 26,
7, 14, 19, 6, 13, 24, 10, 16, 21, 18]
class_width = Fraction(5) # Klassenbreite
first_lower = Fraction(0) # untere Grenze der ersten Klasse
data_values = [Fraction(v) for v in data_values]
class_count = max(int((v - first_lower) / class_width) for v in data_values) + 1
# jeden Wert seiner Klasse zuordnen (untere Grenze gehört dazu, obere nicht)
freqs = [0] * class_count
for v in data_values:
freqs[int((v - first_lower) / class_width)] += 1
total = sum(freqs)
mid_times_freq_sum = Fraction(0)
print("Klasse / Klassenmitte / Häufigkeit / relative Häufigkeit")
for i, f in enumerate(freqs):
lower = first_lower + i * class_width
upper = lower + class_width
midpoint = (lower + upper) / 2
mid_times_freq_sum += midpoint * f
print(f"{lower} bis unter {upper} / {float(midpoint)} / {f} / {float(Fraction(f, total))}")
estimated_mean = mid_times_freq_sum / total
print(f"Geschätzter Mittelwert (Bruch): {estimated_mean}")
print(f"Geschätzter Mittelwert (Dezimalzahl): {float(estimated_mean)}")
print(f"Mittelwert der Rohdaten: {float(sum(data_values) / len(data_values))}")
Mit dem Modul fractions der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Das ist das Rechner-Beispiel dieser Seite (Schulwegzeiten von 20 Schülern, Klassenbreite 5). Die Ausgabe zeigt jede Zeile der Häufigkeitstabelle, den geschätzten Mittelwert 14 und den Mittelwert der Rohdaten 13,65 (Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Ändern Sie die Daten und die Klasseneinteilung und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Relative Häufigkeit
r = f ÷ n
r = \dfrac{f}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>f</mi><mi>n</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
r = f/n
r = f/n
r := f/n;
r = f/n;
r = f/n
Klassenmitte
m = (a + b) ÷ 2
m = \dfrac{a + b}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
m = (a + b)/2
m = (a + b)/2
m := (a + b)/2;
m = (a + b)/2;
m = (a + b)/2
Den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle schätzen
x̄ = (m₁×f₁ + m₂×f₂ + … + mₖ×fₖ) ÷ n
\bar{x} = \dfrac{m_1 f_1 + m_2 f_2 + \cdots + m_k f_k}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub><mi>m</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>f</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>m</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>f</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo>
<msub><mi>m</mi><mi>k</mi></msub><msub><mi>f</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
bar x = (m_1 f_1 + m_2 f_2 + cdots + m_k f_k)/n
Total[m*f]/Total[f]
xbar := add(m[i]*f[i], i = 1..k)/n;
xbar = sum(m.*f)/sum(f);
x̄ = (m_1 f_1 + m_2 f_2 + … + m_k f_k)/n
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Erstellen Sie für die folgenden Daten eine Häufigkeitstabelle mit Klassen, die bei der unteren Grenze 0 beginnen und die Klassenbreite 5 haben (jede Klasse „von … bis unter …“, die untere Grenze gehört dazu, die obere nicht). Daten: 5 ; 12 ; 8 ; 14 ; 3 ; 22 ; 15 ; 9 ; 11 ; 26 ; 7 ; 14 ; 19 ; 6 ; 13 ; 24 ; 10 ; 16 ; 21 ; 18 Geben Sie Folgendes an: 1. Die Häufigkeitstabelle (Klasse, Klassenmitte, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, kumulierte Häufigkeit, kumulierte relative Häufigkeit) 2. Den aus den Klassenmitten geschätzten Mittelwert (als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl) 3. Den Modalwert und die Klasse, in der der Median liegt 4. Den direkt aus den Rohdaten berechneten Mittelwert und wie weit die Schätzung davon abweicht Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Ad 
