Geben Sie den Radius und die Höhe des zylindrischen Teils einer Kapsel ein (ein Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende). Angezeigt werden der Oberflächeninhalt (S = 4πr² + 2πrh), seine Aufteilung und die Umrechnung in cm² und m².
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein, nur als Zahlen ohne Einheit (bei 3 cm geben Sie „3“ ein). Die „Höhe“ ist die Höhe des zylindrischen Mittelteils allein, ohne die Halbkugeln an den Enden. Kennen Sie nur die Gesamtlänge der Kapsel, geben Sie die Gesamtlänge minus den Durchmesser (Radius × 2) ein.
Ergebnis und Figur
Geben Sie im Feld links den Radius und die Höhe des zylindrischen Teils ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie Radius und Höhe des zylindrischen Teils ein, und Sie sehen sofort den Oberflächeninhalt einer Kapsel (ein Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende): \(S = 4\pi r^2 + 2\pi r h\)
- Die Aufteilung wird gleich mit angezeigt: der Flächeninhalt des Kugelteils (\(4\pi r^2\)) und die Mantelfläche des Zylinders (\(2\pi r h\))
- Auch die Umrechnung des Flächeninhalts wird angezeigt (in m² bei Eingabe in cm, in cm² bei Eingabe in m)
- Das Ergebnis wird auch als 3D-Figur dargestellt, die Sie mit der Maus oder per Wischen drehen können
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Die „Höhe“ ist die Höhe des zylindrischen Teils allein, ohne die Halbkugeln an den Enden (nicht die Gesamtlänge der Kapsel). Oberfläche und Volumen anderer Körper wie Kugel und Zylinder behandeln eigene Seiten.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Menge des Überzugs für Kapseln abschätzen (Pharmaindustrie)
Medikamentenkapseln erhalten manchmal einen Überzug (einen Film), der Geschmack oder Geruch verbirgt oder dafür sorgt, dass sie sich im Darm statt im Magen auflösen (magensaftresistent). Die nötige Menge Überzug ist proportional zum Flächeninhalt der Kapsel.
Eine Kapsel mit 0,35 cm Radius und 1,2 cm Höhe des zylindrischen Teils (insgesamt etwa 1,9 cm lang, eine übliche Größe) hat einen Flächeninhalt von \(4\pi \times 0{,}35^2 + 2\pi \times 0{,}35 \times 1{,}2 \approx 4{,}2\,\mathrm{cm^2}\). Bei 100.000 Kapseln sind insgesamt etwa 42 m² zu überziehen: die Grundlage, um die vorzubereitende Menge Überzugsmaterial zu bemessen.
Die Lackmenge für einen Gastank abschätzen (Industrie und Anlagen)
Druckbehälter für Flüssiggas (Propan) und andere Gase haben oft die Form einer Kapsel, „ein Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende“, die dem Druck gut standhält. Wenn der Rostschutzanstrich erneuert wird, lässt sich die Lackmenge aus dem Flächeninhalt abschätzen.
Bei einem Tank mit 1 m Radius und 4 m langem zylindrischem Teil beträgt der Flächeninhalt \(4\pi \times 1^2 + 2\pi \times 1 \times 4 = 12\pi \approx 37{,}7\,\mathrm{m^2}\). Reicht ein Gebinde Lack für 30 m², braucht man 2 Gebinde: Für die Bestellung genügt diese Formel (in der Praxis rechnet man etwas mehr für Rohrleitungen und Stützen).
Die Menge der Wursthülle für Würstchen berechnen (Lebensmittelherstellung)
Ein Würstchen ist Brät in einer Hülle (Darm oder Kunstdarm) und hat fast die Form einer Kapsel. Die Menge der Hülle hängt vom Flächeninhalt jedes Würstchens ab.
Ein Würstchen mit 1 cm Radius und 13 cm langem zylindrischem Teil hat einen Flächeninhalt von \(4\pi \times 1^2 + 2\pi \times 1 \times 13 = 30\pi \approx 94{,}2\,\mathrm{cm^2}\). Für 1.000 Würstchen braucht man also etwa 9,4 m² Hülle (in der Praxis plant man an den Enden etwas mehr für die Abbindungen ein).
Wärmeverluste und Dämmung eines Warmwasserspeichers betrachten (Zuhause und Energiesparen)
Auch der Behälter eines Warmwasserspeichers oder Boilers ist oft ein Zylinder mit gewölbten Enden, nahe an einer Kapsel. Die Wärme des Wassers entweicht über die Oberfläche des Behälters: Sowohl die Wärmeverluste als auch die Menge der Dämmung, die man darumlegen muss, hängen vom Flächeninhalt ab.
Bei einem Behälter mit 0,3 m Radius und 1,2 m Höhe des zylindrischen Teils beträgt der Flächeninhalt \(4\pi \times 0{,}3^2 + 2\pi \times 0{,}3 \times 1{,}2 \approx 3{,}4\,\mathrm{m^2}\). Diese Formel zeigt auch eine Grundregel energiesparender Konstruktion: Bei gleichem Fassungsvermögen verliert man umso weniger Wärme, je kleiner die Oberfläche ist.
Formeln und Abbildungen
Oberflächeninhalt einer Kapsel (die Grundformel)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑨
\(S\): Oberflächeninhalt der Kapsel
\(=\)
①
\(4\): Konstante
\(\times\)
②
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
③
\(r\): Radius
④
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
\(+\)
⑤
\(2\): Konstante
\(\times\)
⑥
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
⑦
\(r\): Radius
\(\times\)
⑧
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(4\): Konstante
②
mal
\(\pi\): Kreiszahl Pi
③
und mal den
\(r\): Radius
④
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
ergibt den Flächeninhalt des Kugelteils.
⑤
Nehmen Sie dann die
\(2\): Konstante
⑥
mal
\(\pi\): Kreiszahl Pi
⑦
mal den
\(r\): Radius
⑧
und mal die
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
ergibt die Mantelfläche des Zylinders.
⑨
Addieren Sie beide, und Sie erhalten den
\(S\): Oberflächeninhalt der Kapsel
Einfaches Beispiel
Bei einer Kapsel mit 3 cm Radius und 10 cm Höhe des zylindrischen Teils (16 cm Gesamtlänge) beträgt der Oberflächeninhalt
\(S\): Oberflächeninhalt der Kapsel
\(=\)
\(4\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
zum Quadrat
\(+\)
\(2\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
\(\times\)
Höhe des Zylinders (10 cm)
\(4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\)
\(2 \times \pi \times 3 \times 10 = 60\pi\)
\(36\pi + 60\pi = 96\pi \approx 301{,}6\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Eine Kapsel besteht aus einem Zylinder in der Mitte und zwei Halbkugeln an den Enden. Beide Halbkugeln zusammen ergeben genau eine Kugel: Die erste Hälfte der Formel, \(4\pi r^2\), ist also die Oberfläche einer Kugel. Die zweite, \(2\pi r h\), ist die Mantelfläche des Zylinders. Die Kreise oben und unten am Zylinder sind mit den Halbkugeln verbunden und liegen innen, sie zählen deshalb nicht zum Oberflächeninhalt. In deutschen Schulbüchern steht für die Oberfläche meist \(O\) und für die Mantelfläche \(M\).
Die „Höhe \(h\)“ ist die Höhe des zylindrischen Teils allein. Die Gesamtlänge der Kapsel ist \(h + 2r\): Kennen Sie die Gesamtlänge, berechnen Sie zuerst \(h\) = Gesamtlänge − Durchmesser, bevor Sie die Formel verwenden.
Flächeninhalt des Kugelteils (die beiden Halbkugeln an den Enden ergeben eine Kugel)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_1\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_1\): Flächeninhalt des Kugelteils
\(=\)
①
\(4\): Konstante
\(\times\)
②
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
③
\(r\): Radius
④
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(4\): Konstante
②
mal
\(\pi\): Kreiszahl Pi
③
und mal den
\(r\): Radius
④
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
⑤
und Sie erhalten den
\(S_1\): Flächeninhalt des Kugelteils
Einfaches Beispiel
Bei einer Kapsel mit 3 cm Radius beträgt der Flächeninhalt des Kugelteils
\(S_1\): Flächeninhalt des Kugelteils
\(=\)
\(4\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
zum Quadrat
\(3 \times 3 = 9\)
\(4 \times \pi \times 9 = 36\pi \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die beiden Enden der Kapsel sind Halbkugeln, genau halbierte Kugeln. Zwei Halbkugeln zusammen ergeben wieder eine ganze Kugel, deshalb lässt sich die in der Schule gelernte Formel für die Kugeloberfläche, \(S = 4\pi r^2\), unverändert verwenden (zwei halbe Oberflächen ergeben eine ganze).
Die Form „π mal Radius zum Quadrat, mal 4“ drückt aus, dass die Oberfläche einer Kugel genau das Vierfache des Flächeninhalts eines Kreises mit demselben Radius ist.
Mantelfläche des Zylinders (sie lässt sich zu einem Rechteck abwickeln)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_2\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_2\): Mantelfläche des Zylinders
\(=\)
①
\(2\): Konstante
\(\times\)
②
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
③
\(r\): Radius
\(\times\)
④
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(2\): Konstante
②
mal
\(\pi\): Kreiszahl Pi
③
und mal den
\(r\): Radius
(das ergibt den Umfang des Kreises)
④
mal die
\(h\): Höhe des zylindrischen Teils
⑤
und Sie erhalten die
\(S_2\): Mantelfläche des Zylinders
Einfaches Beispiel
Bei einer Kapsel mit 3 cm Radius und 10 cm Höhe des zylindrischen Teils beträgt die Mantelfläche des Zylinders
\(S_2\): Mantelfläche des Zylinders
\(=\)
\(2\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
\(\times\)
Höhe des Zylinders (10 cm)
\(2 \times \pi \times 3 = 6\pi\)
\(6\pi \times 10 = 60\pi \approx 188{,}5\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Schneiden Sie die Seitenfläche eines Zylinders der Länge nach mit der Schere auf und klappen Sie sie auf: Sie erhalten ein Rechteck (das Netz des Mantels, auch Abwicklung genannt). Seine Breite ist der Umfang des Grundkreises (\(2\pi r\)) und seine Höhe ist \(h\): Die Mantelfläche ist also „Umfang × Höhe“ = \(2\pi r h\).
Für den Oberflächeninhalt eines gewöhnlichen Zylinders würde man noch die beiden Kreise oben und unten addieren (\(2\pi r^2\) für beide). Bei einer Kapsel sind diese Kreise mit den Halbkugeln verbunden und liegen nicht außen, es wird also nur die Mantelfläche gezählt.
Umrechnung von Flächeneinheiten (cm² → m²)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
\(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
\(10000\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_{\mathrm{m^2}}\): Flächeninhalt in m²
\(=\)
①
\(S_{\mathrm{cm^2}}\): Flächeninhalt in cm²
\(\div\)
②
\(10.000\): Anzahl der cm² in 1 m²
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie den
\(S_{\mathrm{cm^2}}\): Flächeninhalt in cm²
②
durch die
\(10.000\): Anzahl der cm² in 1 m²
③
und Sie erhalten den
\(S_{\mathrm{m^2}}\): Flächeninhalt in m²
Einfaches Beispiel
Der Oberflächeninhalt der Kapsel mit 3 cm Radius und 10 cm Höhe des zylindrischen Teils, etwa 301,6 cm², ergibt in m²
Flächeninhalt in m²
\(=\)
Flächeninhalt in cm² (301,6)
\(\div\)
Anzahl der cm² in 1 m² (10.000)
\(301{,}6 \div 10.000 = 0{,}03016\,\mathrm{m^2}\)
Der Kerngedanke
Der Umrechnungsfaktor für Flächen ist der Umrechnungsfaktor der Länge zum Quadrat. Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^2}\) gleich \(100 \times 100 = 10.000\,\mathrm{cm^2}\). Es ist nicht das 100-Fache, sondern das 10.000-Fache, und genau hier passieren oft Fehler.
Um von m² zurück auf cm² zu kommen, multiplizieren Sie mit 10.000. Dieser Rechner zeigt sowohl den Flächeninhalt in m² bei Eingabe in cm als auch den in cm² bei Eingabe in m an.
Der Oberflächeninhalt einer Kapsel ist „Kugelteil (4πr²) + Mantelfläche des Zylinders (2πrh)“. Die wichtigen Punkte: Die beiden Halbkugeln an den Enden ergeben genau eine Kugel, und vom Zylinder zählt nur der Mantel. Für h verwenden Sie die Höhe des zylindrischen Teils allein, nicht die Gesamtlänge der Kapsel.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein häufiger Buchstabe für einen Flächeninhalt (von „Fläche“). Auf dieser Seite steht er für den Oberflächeninhalt der ganzen Kapsel (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\)). |
| \(S_1\) | S eins | Das Symbol, das auf dieser Seite für den Flächeninhalt des Kugelteils (\(4\pi r^2\)) steht. Die kleine 1 unten rechts ist ein Index und bedeutet „Teil Nr. 1“. |
| \(S_2\) | S zwei | Das Symbol, das auf dieser Seite für die Mantelfläche des Zylinders (\(2\pi r h\)) steht. Die kleine 2 unten rechts ist ein Index und bedeutet „Teil Nr. 2“. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kapsel (die halbe Dicke), der für den zylindrischen Teil und die Halbkugeln an den Enden gleich ist. Er ist halb so lang wie der Durchmesser. |
| \(h\) | h | Die Höhe des zylindrischen Teils (die Länge des geraden Mittelteils ohne die Halbkugeln), h wie „Höhe“. Die Gesamtlänge der Kapsel ist \(h + 2r\). |
| \(\pi\) | Pi | Der griechische Buchstabe für die Kreiszahl, den Wert Umfang ÷ Durchmesser eines Kreises. Ihre Nachkommastellen hören nie auf: \(3{,}14159\ldots\). Das „3,14“ aus der Schule ist ein Näherungswert. |
| \(r^2\) | r Quadrat | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 m², und \(1\,\mathrm{m^2} = 10.000\,\mathrm{cm^2}\). |
Begriffe
| Kapsel | Ein Körper, den man erhält, wenn man an beide Enden eines Zylinders eine Halbkugel mit demselben Radius setzt. Diese Form kommt im Alltag und in der Industrie häufig vor, von Medikamentenkapseln bis zu Gastanks. |
| Halbkugel | Eine Kugel, die durch eine Ebene durch ihren Mittelpunkt genau halbiert wurde. Jedes Ende einer Kapsel ist eine Halbkugel, und zwei Halbkugeln zusammen ergeben eine Kugel. |
| Oberflächeninhalt | Der Flächeninhalt der gesamten Oberfläche eines Körpers, so wie die Fläche des Papiers, das man zum Einpacken bräuchte. Bei einer Kapsel ist es der Kugelteil plus die Mantelfläche des Zylinders. |
| Mantelfläche | Der Flächeninhalt der Fläche, die einen geraden Körper seitlich umgibt (die Seitenfläche). Beim Zylinder lässt sich der Mantel zu einem Rechteck aufklappen, und sein Flächeninhalt ist Umfang × Höhe (\(2\pi r h\)). |
| Netz | Die ebene Figur, die entsteht, wenn man einen Körper aufschneidet und flach ausbreitet. Das Netz des Zylindermantels ist ein Rechteck mit der Breite = Umfang und der Höhe = Höhe, und daraus ergibt sich die Formel für die Mantelfläche. |
| Umfang | Die Länge einmal um einen Kreis herum. Sie beträgt Durchmesser × π (\(2\pi r\)). In der Mantelfläche eines Zylinders spielt sie die Rolle der Breite des Rechtecks. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wie oft der Durchmesser eines Kreises in seinen Umfang passt. Sie ist für jeden Kreis gleich, wird \(\pi\) geschrieben und beträgt etwa 3,14. |
| Einheitenumrechnung | Dieselbe Größe in einer anderen Einheit ausdrücken. Beim Flächeninhalt ist wichtig, dass der Umrechnungsfaktor der Länge zum Quadrat genommen wird (1 m = 100 cm, also 1 m² = 10.000 cm²). |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Der Flächeninhalt des Kreises und der Kreisumfang – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Die Einheiten für den Flächeninhalt – Klasse 4–6 (9–12 Jahre) |
|
| Das Netz und die Mantelfläche des Zylinders – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
| Die Oberfläche der Kugel – Klasse 9–10 (14–16 Jahre) |
|
| Die Kreiszahl π und Terme mit Buchstaben – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Das Rechnen mit Dezimalzahlen – Klasse 5–6 (10–12 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kapsel
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 10 |
| Oberflächeninhalt der Kapsel (cm²) | =4*PI()*B1^2+2*PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts des Kugelteils
| Radius r (cm) | 3 |
| Kugelteil, 4πr² (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der Mantelfläche des Zylinders
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 10 |
| Mantelfläche des Zylinders, 2πrh (cm²) | =2*PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Umrechnung von cm² in m²
| Flächeninhalt in cm² | 301,6 |
| Flächeninhalt in m² | =B1/10000 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
In einer Formel ist „PI()“ die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert. „B1“ und „B2“ bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird).
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 301,593 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,097, die dritte in B3 etwa 188,496 und die vierte in B2 den Wert 0,03016. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch die Maße Ihrer eigenen Kapsel.
In einer Formel ist „PI()“ die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert. „B1“ und „B2“ bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird).
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 301,593 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,097, die dritte in B3 etwa 188,496 und die vierte in B2 den Wert 0,03016. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch die Maße Ihrer eigenen Kapsel.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kapsel
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 10 |
| Oberflächeninhalt der Kapsel (cm²) | =4*PI()*B1^2+2*PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts des Kugelteils
| Radius r (cm) | 3 |
| Kugelteil, 4πr² (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der Mantelfläche des Zylinders
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe des Zylinders h (cm) | 10 |
| Mantelfläche des Zylinders, 2πrh (cm²) | =2*PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Umrechnung von cm² in m²
| Flächeninhalt in cm² | 301,6 |
| Flächeninhalt in m² | =B1/10000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch die Maße Ihrer eigenen Kapsel.
Mit Python berechnen
import math
radius = 3 # Radius (in diesem Beispiel in cm)
height = 10 # Höhe des zylindrischen Teils (in derselben Einheit wie der Radius; nicht die Gesamtlänge)
sphere_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # Flächeninhalt des Kugelteils (zwei Halbkugeln = eine Kugel; in diesem Beispiel in cm2)
lateral_area = 2 * math.pi * radius * height # Mantelfläche des Zylinders (in diesem Beispiel in cm2)
surface_area = sphere_area + lateral_area # Oberflächeninhalt der Kapsel (in diesem Beispiel in cm2)
print(f"Kugelteil: {sphere_area} cm2")
print(f"Mantelfläche des Zylinders: {lateral_area} cm2")
print(f"Oberflächeninhalt der Kapsel: {surface_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ die Potenz (das Quadrat) und „*“ die Multiplikation. Ändern Sie am Anfang Radius und Höhe des zylindrischen Teils und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; teilen Sie das Ergebnis durch 10.000, um m² zu erhalten; bei Eingabe in m ist der Flächeninhalt in m²).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Oberflächeninhalt einer Kapsel (die Grundformel)
S = 4πr² + 2πrh
S = 4 \pi r^{2} + 2 \pi r h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>r</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2 + 2 pi r h
4*Pi*r^2 + 2*Pi*r*h
S := 4*Pi*r^2 + 2*Pi*r*h;
S = 4*pi*r^2 + 2*pi*r*h;
S = 4πr^2 + 2πrh
Flächeninhalt des Kugelteils (die beiden Halbkugeln an den Enden ergeben eine Kugel)
S₁ = 4πr²
S_1 = 4 \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S1 := 4*Pi*r^2;
s1 = 4*pi*r^2;
S_1 = 4πr^2
Mantelfläche des Zylinders (sie lässt sich zu einem Rechteck abwickeln)
S₂ = 2πrh
S_2 = 2 \pi r h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>r</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_2 = 2 pi r h
2*Pi*r*h
S2 := 2*Pi*r*h;
s2 = 2*pi*r*h;
S_2 = 2πrh
Umrechnung von Flächeneinheiten (cm² → m²)
S[m²] = S[cm²] ÷ 10000
S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>10000</mn>
</mrow>
</math>
S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000
sCm2/10000
sM2 := sCm2/10000;
s_m2 = s_cm2/10000;
S(m²) = S(cm²)/10000
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Eine Kapsel (ein Zylinder mit einer Halbkugel an jedem Ende) hat einen Radius von 3 cm und einen zylindrischen Teil von 10 cm Höhe. Berechnen Sie: 1. den Flächeninhalt des Kugelteils (4πr²) in cm² 2. die Mantelfläche des Zylinders (2πrh) in cm² 3. den Oberflächeninhalt der ganzen Kapsel in cm² Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Kugelvolumen berechnen (V = 4/3 × π × r³)
Berechnet das Volumen der Kugel, aus der die beiden Halbkugeln an den Enden der Kapsel stammen, und erklärt die Eigenschaften der Kugel einfach
Zylindervolumen berechnen (V = πr²h)
Berechnet das Volumen des Zylinders, des Mittelteils der Kapsel, und erklärt den Gedanken „Flächeninhalt der Grundfläche × Höhe“
Kreisrechner (Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt)
Erklärt ausführlich den Umfang des Kreises (2πr), die Grundlage der Mantelfläche des Zylinders. Praktisch auch, um aus dem Durchmesser den Radius zu bestimmen
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