Komplexe Zahlen Rechner – addieren, multiplizieren und dividieren mit Rechenweg, Konjugierter, Betrag und Zahlenebene

Geben Sie die Real- und Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen z₁ = a + bi und z₂ = c + di ein und wählen Sie die Rechenart (+ − × ÷). Der Term darunter ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.

Realteil a von z₁

Imaginärteil b von z₁

Rechenart

Realteil c von z₂

Imaginärteil d von z₂

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leerer Real- oder Imaginärteil zählt als 0 (ist zum Beispiel nur der Imaginärteil von z₁ leer, ist z₁ die reelle Zahl a).

Ergebnis und Graph

Geben Sie links Real- und Imaginärteile ein, wählen Sie die Rechenart (+ − × ÷) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung in der gaußschen Zahlenebene erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren zwei komplexe Zahlen \(z_1 = a+bi\) und \(z_2 = c+di\) direkt im Browser. Sie geben nur die Realteile und Imaginärteile ein und wählen die Rechenart
Das Ergebnis steht in der Form \(a+bi\) mit vollständig gekürzten Brüchen (exakte Werte), etwa \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\). Beim Dividieren zeigt der Rechenweg, wie man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert und so den Nenner reell macht. Beim Multiplizieren sehen Sie das Ausmultiplizieren und wie \(i^2\) durch \(-1\) ersetzt wird
Zusätzlich erhalten Sie die konjugiert komplexe Zahl \(\overline{z}\) und den Betrag \(|z|\) des Ergebnisses. Der Betrag wird als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel angegeben, etwa \(|3+4i| = 5\) oder \(|1+i| = \sqrt{2}\)
Eine Zeichnung in der gaußschen Zahlenebene zeigt auf einen Blick, wo \(z_1\), \(z_2\) und das Ergebnis liegen
Als Real- und Imaginärteile sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich

Diese Seite behandelt die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen in der Normalform \(a+bi\) (dazu die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag). Für die Polarform (Darstellung mit Betrag und Argument) und den Satz von de Moivre gibt es eigene Rechner unter den verwandten Seiten.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Wechselstromrechnung (Elektrotechnik und Elektronik)

Der Wechselstrom aus der Steckdose (in Deutschland 230 V bei 50 Hz) hat Spannung und Strom, die wie Wellen schwingen, und Bauteile wie Spulen und Kondensatoren verschieben den Takt dieser Welle (die Phase). In der Elektrotechnik fasst man deshalb „Größe“ und „Verschiebung“ zu einer komplexen Zahl zusammen (der Impedanz) – so lässt sich eine ganze Schaltung allein mit den Grundrechenarten für komplexe Zahlen berechnen.
Die komplexe Wechselstromrechnung gehört zum Grundstoff jedes Elektrotechnik-Studiums und vieler technischer Ausbildungen. Überall, wo Wechselstrom fließt – vom Handy-Ladegerät bis zum Kraftwerk –, stecken komplexe Zahlen in der Auslegung.

Signalanalyse in Nachrichtentechnik und Audio (Fourier-Transformation)

Wellen wie Schall oder Funk lassen sich mit der Fourier-Transformation, einer Rechnung mit komplexen Zahlen, in ihre Bestandteile zerlegen: „wie viel von welcher Tonhöhe (Frequenz) steckt darin“. Mobilfunk und WLAN (bis 5G), Musikkompression wie MP3, Rauschunterdrückung und Spracherkennung führen intern riesige Mengen solcher komplexen Rechnungen aus.
Die Stärke komplexer Zahlen: Eine einzige Zahl trägt sowohl die Größe als auch den Takt einer Welle. In der Signalverarbeitung rechnet man deshalb sogar mehr mit komplexen als mit reellen Zahlen. Die Fourier-Transformation selbst ist Stoff des Studiums, doch in ihrem Inneren passiert nichts anderes als das komplexe Multiplizieren und Addieren von dieser Seite.

Regelung von Flugzeugen und Robotern (Stabilität prüfen)

Bei Maschinen, die Schwingungen dämpfen und ruhig bleiben sollen – Autopiloten, Drohnen, Roboter –, prüft man die Stabilität daran, wo die Lösungen (komplexe Zahlen) der Systemgleichung in der gaußschen Zahlenebene liegen. Sind die Realteile aller Lösungen negativ, klingt die Schwingung ab; ist einer positiv, schaukelt sie sich auf.
In diesem Gebiet entscheidet die Lage der Lösungen in der Zahlenebene direkt darüber, ob eine Maschine sicher fliegt. Die Regelungstechnik, zu der diese Stabilitätsprüfung gehört, lernt man im Ingenieurstudium.

Drehungen in Spielen und Computergrafik

Fasst man einen Punkt \((x\,|\,y)\) der Ebene als komplexe Zahl \(x+yi\) auf, dann dreht das Multiplizieren mit einer komplexen Zahl vom Betrag 1 den Punkt um den Ursprung. Multiplizieren mit \(i\) dreht ihn zum Beispiel um 90 Grad. Genau das brauchen 2D-Spiele, um Figuren oder Geschosse zu drehen.
Quaternionen, mit denen 3D-Spiele und Smartphones ihre Ausrichtung im Raum verfolgen, übertragen diese Idee der „Drehung durch komplexe Zahlen“ in drei Dimensionen.

Quadratische und kubische Gleichungen vollständig lösen (Mathematik)

Eine quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn ihre Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) negativ ist. Erweitert man den Zahlbereich aber auf die komplexen Zahlen, hat sogar \(x^2 = -1\) die Lösungen \(x = \pm i\), und jede quadratische oder kubische Gleichung hat Lösungen (Fundamentalsatz der Algebra).
Weil es keine Ausnahmen mit „keine Lösung“ mehr gibt, bauen nicht nur die Mathematik, sondern auch die Theorien von Physik und Technik auf komplexen Zahlen auf. Die Grundrechenarten auf dieser Seite sind der Einstieg.

Formeln und Abbildungen

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\((a+bi) + (c+di)\) \(=\) \((a+c)\) \(+\) \((b+d)i\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Summe von \(z_1\) und \(z_2\) \(=\) ① Summe der Realteile \(+\) ② Summe der Imaginärteile, mal \(i\)

Die Formel in Worten

① Den reellen Anteil und den Anteil mit \(i\) kann man getrennt behandeln. Zur Summe der Realteile \(a+c\)

② addiert man die Summe der Imaginärteile \(b+d\) mit angehängtem \(i\).

③ So erhält man die Summe von \(z_1\) und \(z_2\)

Einfaches Beispiel

Wir berechnen \((2+3i) + (4-i)\) (der Imaginärteil von \(4-i\) ist \(-1\)):

Summe \((2+3i)+(4-i)\) \(=\) Realteile \(2+4\) \(+\) Imaginärteile \(3-1\), mal \(i\)

\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)

Der Grundgedanke

Die Subtraktion funktioniert genauso: Man subtrahiert Realteile und Imaginärteile getrennt, also \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\). Der Trick: Behandeln Sie \(i\) wie eine Variable \(x\) und fassen Sie gleichartige Terme zusammen. Bei \(2x + 3\) plus \(4x - 1\) fassen Sie die \(x\)-Terme und die Zahlen getrennt zusammen. Genauso fassen Sie hier die Terme mit \(i\) (den Imaginärteil) und die Zahlen ohne \(i\) (den Realteil) getrennt zusammen. In der gaußschen Zahlenebene bedeutet Addieren „zwei Pfeile aneinanderhängen“ – wie bei Vektoren. Die vier Punkte \(0\), \(z_1\), \(z_2\) und \(z_1+z_2\) bilden ein Parallelogramm (siehe Abbildung oben).

Multiplikation komplexer Zahlen und \(i^2 = -1\)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\((a+bi)(c+di)\) \(=\) \((ac-bd)\) \(+\) \((ad+bc)i\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Produkt von \(z_1\) und \(z_2\) \(=\) ① Realteil: \(ac\) minus \(bd\) \(+\) ② Imaginärteil: \(ad\) plus \(bc\), mal \(i\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die Klammern wie bei Termen mit Variablen aus und ersetzt \(i^2\) durch \(-1\), erhält man den Realteil \(ac - bd\)

② und den Imaginärteil \(ad + bc\) mit angehängtem \(i\).

③ Beide zusammen ergeben das Produkt von \(z_1\) und \(z_2\)

Einfaches Beispiel

Wir berechnen \((1+2i)(3+4i)\):

Produkt \((1+2i)(3+4i)\) \(=\) Realteil \(1 \cdot 3 - 2 \cdot 4\) \(+\) Imaginärteil \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 3\), mal \(i\)

\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)

\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

Der Grundgedanke

Sie multiplizieren genauso aus wie bei Termen mit Variablen: \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) („jedes mit jedem“). Für komplexe Zahlen gibt es nur eine einzige Zusatzregel: Wo \(i \cdot i = i^2\) auftaucht, ersetzen Sie es durch \(-1\). Der Grund: \(i\) ist als die Zahl festgelegt, deren Quadrat \(-1\) ist (die imaginäre Einheit). Bei den reellen Zahlen ist jedes Quadrat 0 oder größer, deshalb hat \(x^2 = -1\) dort keine Lösung. Nimmt man dieses \(i\) hinzu, entsteht ein größerer Zahlbereich, die komplexen Zahlen, in dem jede quadratische Gleichung eine Lösung hat. Die Formel müssen Sie nicht auswendig lernen. Wenn Sie jedes Mal „ausmultiplizieren und \(i^2\) durch \(-1\) ersetzen“, kommt dasselbe heraus.

Division komplexer Zahlen (Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a+bi}{c+di}\) \(=\) \(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\) \(+\) \(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Quotient \(z_1\) durch \(z_2\) \(=\) ① Realteil: \(ac+bd\) geteilt durch \(c^2+d^2\) \(+\) ② Imaginärteil: \(bc-ad\) geteilt durch \(c^2+d^2\), mal \(i\)

Die Formel in Worten

① Erweitert man den Bruch mit \(c-di\), der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, wird der Nenner zur reellen Zahl \(c^2+d^2\) (Nenner reell machen). Man erhält den Realteil \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)

② und den Imaginärteil \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\) mit angehängtem \(i\).

③ Beide zusammen ergeben den Quotienten \(z_1\) durch \(z_2\)

Einfaches Beispiel

Wir berechnen \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) und erweitern dazu mit \(3-4i\), der konjugiert komplexen Zahl des Nenners:

Quotient \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) \(=\) Realteil \(\dfrac{11}{25}\) \(+\) Imaginärteil \(\dfrac{2}{25}\), mal \(i\)

\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)

\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)

Der Grundgedanke

Warum gerade mit der konjugiert komplexen Zahl? Weil \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\) ist – das \(i\) verschwindet vollständig. Dahinter steckt die dritte binomische Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) zusammen mit \(i^2 = -1\). Solange im Nenner noch ein \(i\) steht, kann man die Form \(a+bi\) (Realteil und Imaginärteil) nicht ablesen. Deshalb muss das \(i\) zuerst aus dem Nenner. Das ist dieselbe Idee wie beim Rationalmachen des Nenners aus der Mittelstufe, wo man \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) mit \(\sqrt{2}\) erweitert, damit die Wurzel aus dem Nenner verschwindet. Durch \(z_2 = 0\) (Realteil und Imaginärteil beide 0) kann man nicht teilen. Die Regel „durch 0 teilt man nicht“ gilt auch für komplexe Zahlen.

Betrag einer komplexen Zahl \(|z|\)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② Betrag von \(z\) \(=\) ① Wurzel aus (Realteil zum Quadrat + Imaginärteil zum Quadrat)

Die Formel in Worten

① Bei einer komplexen Zahl \(z = a+bi\) ist die Wurzel aus der Summe von Realteil zum Quadrat und Imaginärteil zum Quadrat, \(\sqrt{a^2+b^2}\),

② der Betrag von \(z\) .

Einfaches Beispiel

Der Betrag von \(z = 3+4i\) ist

Betrag von \(3+4i\) \(=\) \(\sqrt{3^2+4^2}\)

\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)

Der Grundgedanke

Der Betrag \(|z|\) ist in der gaußschen Zahlenebene der Abstand vom Ursprung bis \(z\) (siehe Abbildung oben). Der Punkt liegt \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben, der Abstand ergibt sich also einfach mit dem Satz des Pythagoras. Man kann ihn als Erweiterung des Betrags einer reellen Zahl (ihres Abstands von 0 auf der Zahlengeraden) auf die Ebene sehen. Mit der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z} = a-bi\) gilt \(z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\). Deshalb wird beim Dividieren der Nenner durch das Erweitern mit der Konjugierten zu \(|z_2|^2\), also zu einer positiven reellen Zahl. Manchmal geht die Wurzel auf, wie bei \(\sqrt{25} = 5\), manchmal bleibt sie stehen, wie bei \(\sqrt{2}\). Der Rechner zieht auch teilweise die Wurzel, etwa \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), und gibt exakte Werte an.

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen behandeln Sie \(i\) wie eine Variable und ersetzen \(i^2\) überall durch \(-1\). Nur die Division braucht einen Zusatzschritt: Sie erweitern den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, damit der Nenner reell wird, und teilen das Ergebnis dann in Realteil und Imaginärteil auf.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(i\)	i	Die imaginäre Einheit. Sie ist als die Zahl festgelegt, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Der Buchstabe kommt von „imaginär“. (In der Elektrotechnik schreibt man stattdessen \(j\), weil \(i\) dort für die Stromstärke steht.)
\(z\)	z	Der übliche Buchstabe für eine komplexe Zahl. Für komplexe Zahlen nimmt man meist \(z\) und \(w\), um sie von reellen Variablen wie \(x\) und \(y\) zu unterscheiden.
\(z_1,\ z_2\)	z eins, z zwei	Die erste und die zweite komplexe Zahl. Die kleine Zahl rechts unten (der Index) ist nur eine Nummer („die wievielte“). Sie hat nichts mit einem Exponenten zu tun, der rechts oben steht.
\(a,\ b,\ c,\ d\)	a, b, c, d	Auf dieser Seite ist \(a\) der Realteil und \(b\) der Imaginärteil von \(z_1 = a+bi\), \(c\) der Realteil und \(d\) der Imaginärteil von \(z_2 = c+di\). Buchstaben vom Anfang des Alphabets stehen üblicherweise für feste Zahlen.
\(\overline{z}\)	z quer	Die konjugiert komplexe Zahl zu \(z\). Zu \(z = a+bi\) ist das \(a-bi\): Nur das Vorzeichen des Imaginärteils ändert sich. Der Strich oben steht für „das Gegenstück“. Manche Bücher schreiben \(z^*\).
\(\|z\|\)	Betrag von z	Der Betrag von \(z\): der Abstand vom Ursprung bis \(z\) in der gaußschen Zahlenebene, berechnet als \(\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}\). Man schreibt ihn mit zwei senkrechten Strichen, genau wie den Betrag einer reellen Zahl.

Begriffe

komplexe Zahl	Eine Zahl der Form \(a+bi\) mit reellen Zahlen \(a\) und \(b\). Dieser Zahlbereich umfasst die reellen und die imaginären Zahlen; in ihm hat jede quadratische Gleichung eine Lösung.
imaginäre Zahl	Eine komplexe Zahl, die nicht reell ist, also \(a+bi\) mit \(b \ne 0\). (Viele deutsche Bücher meinen mit „imaginäre Zahl“ nur die rein imaginären Zahlen wie \(2i\).) Trotz des Namens („eingebildet“) sind diese Zahlen in Elektrotechnik und Physik sehr nützlich.
imaginäre Einheit	Die Zahl \(i\). Sie ist durch \(i^2 = -1\) festgelegt, und jede imaginäre Zahl wird mit \(i\) geschrieben.
Realteil	Das \(a\) in \(a+bi\), der reelle Anteil einer komplexen Zahl. In der gaußschen Zahlenebene ist er die Koordinate auf der waagerechten Achse (der reellen Achse). Kurz: \(\mathrm{Re}(z)\).
Imaginärteil	Das \(b\) in \(a+bi\) (ohne das \(i\)). In der gaußschen Zahlenebene ist er die Koordinate auf der senkrechten Achse (der imaginären Achse). Der Imaginärteil von \(3-2i\) ist zum Beispiel \(-2\). Kurz: \(\mathrm{Im}(z)\).
rein imaginäre Zahl	Eine komplexe Zahl mit Realteil 0 und einem Imaginärteil ungleich 0, etwa \(2i\) oder \(-3i\). Sie liegt in der gaußschen Zahlenebene auf der imaginären Achse.
konjugiert komplexe Zahl	Zu \(a+bi\) die Zahl \(a-bi\), oft kurz „die Konjugierte“. Ihre wichtigste Eigenschaft: Das Produkt \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) ist eine reelle Zahl, die 0 oder größer ist. Deshalb erweitert man beim Dividieren damit, um den Nenner reell zu machen.
Betrag (Absolutbetrag)	Der Abstand \(\sqrt{a^2+b^2}\) vom Ursprung in der gaußschen Zahlenebene. Er überträgt den Betrag einer reellen Zahl (ihren Abstand von 0 auf der Zahlengeraden) auf die Ebene.
gaußsche Zahlenebene	Eine Ebene mit dem Realteil auf der waagerechten und dem Imaginärteil auf der senkrechten Achse. Die Zahl \(a+bi\) ist darin der Punkt \((a\,\|\,b)\). Auch komplexe Zahlenebene genannt. Diese Seite nutzt sie, um komplexe Zahlen „sichtbar“ zu machen.
reelle Achse	Die waagerechte Achse der gaußschen Zahlenebene, auf der die reellen Zahlen liegen. Eine reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil 0 und liegt deshalb auf der reellen Achse.
imaginäre Achse	Die senkrechte Achse der gaußschen Zahlenebene, auf der die rein imaginären Zahlen liegen (komplexe Zahlen mit Realteil 0 wie \(2i\)).
Nenner reell machen	Einen Bruch mit komplexem Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern, sodass der Nenner reell wird. Das ist die komplexe Variante des Rationalmachens des Nenners (eine Wurzel aus dem Nenner entfernen).
Ausmultiplizieren	Die Klammern eines Terms auflösen und ihn als Summe oder Differenz schreiben. Wie bei \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) wird jeder Summand der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen multipliziert.
gleichartige Terme	Terme mit denselben Variablen. Beim Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen fasst man die Terme mit \(i\) (den Imaginärteil) und die Terme ohne \(i\) (den Realteil) jeweils als gleichartige Terme zusammen.
Diskriminante	Der Term \(D = b^2-4ac\), an dem man erkennt, welche Lösungen die quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) hat. Für \(D < 0\) gibt es keine reelle Lösung, aber zwei komplexe Lösungen \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-D}\,i}{2a}\). Hier begegnet man komplexen Zahlen meist zum ersten Mal.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnungen auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.

Ausmultiplizieren und gleichartige Terme (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Ein Produkt von Klammern ausmultiplizieren können, etwa \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) Die dritte binomische Formel \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) anwenden können (genau deshalb wird das Produkt mit der konjugiert komplexen Zahl reell) Gleichartige Terme zusammenfassen können, etwa \(2x + 3x = 5x\)
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die Quadratwurzel die positive Zahl ist, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ergibt, etwa \(\sqrt{25} = 5\) Teilweise die Wurzel ziehen können, also Quadratzahlen aus der Wurzel herausziehen, etwa \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
Nenner rational machen (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Durch Erweitern eine Wurzel aus dem Nenner entfernen können, etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (den Nenner reell machen ist die komplexe Variante dieser Idee)
Koordinatensystem und Satz des Pythagoras (Klasse 6–9, 11–15 Jahre)	Den Punkt \((a\,\|\,b)\) im Koordinatensystem eintragen können (die gaußsche Zahlenebene ist ein Koordinatensystem mit dem Realteil nach rechts und dem Imaginärteil nach oben) Mit dem Satz des Pythagoras wissen, dass der Abstand zwischen Ursprung und \((a\,\|\,b)\) gleich \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ist (genau das ist der Betrag einer komplexen Zahl)
Quadratische Gleichungen und Diskriminante (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Die Mitternachtsformel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) (oder die pq-Formel) anwenden können Wissen, dass es keine reelle Lösung gibt, wenn die Diskriminante \(D = b^{2}-4ac\) negativ ist (genau hier kommen die imaginären Zahlen ins Spiel)
Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Brüche kürzen und gleichnamig machen können (die Ergebnisse erscheinen als vollständig gekürzte Brüche wie \(\dfrac{11}{25}\)) Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln können (\(\dfrac{11}{25}\) in 0,44)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Komplexe Zahl z₁	=KOMPLEXE(B1;B2)
Komplexe Zahl z₂	=KOMPLEXE(B3;B4)
Summe z₁ + z₂	=IMSUMME(B5;B6)
Differenz z₁ − z₂	=IMSUB(B5;B6)
Produkt z₁ · z₂	=IMPRODUKT(B5;B6)
Quotient z₁ : z₂	=IMDIV(B5;B6)

Tabelle für die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Komplexe Zahl z	=KOMPLEXE(B1;B2)
Konjugiert komplexe Zahl	=IMKONJUGIERTE(B3)
Betrag \|z\|	=IMABS(B3)

Tabelle zum Nachprüfen der Division (Nenner reell machen)

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Nenner c²+d²	=B3^2+B4^2
Realteil des Quotienten (ac+bd) : (c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Imaginärteil des Quotienten (bc−ad) : (c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Excel hat eigene Funktionen für komplexe Zahlen. KOMPLEXE bildet aus Real- und Imaginärteil eine komplexe Zahl (als Text wie „1+2i“), die Sie dann an IMSUMME (Summe), IMSUB (Differenz), IMPRODUKT (Produkt) oder IMDIV (Quotient) übergeben.
Die erste Tabelle rechnet mit z₁ = 1+2i und z₂ = 3+4i. Als Summe erscheint „4+6i“, als Differenz „-2-2i“, als Produkt „-5+10i“ und als Quotient „0,44+0,08i“ (diese Ergebnisse sind Text, keine Zahlen).
Die zweite Tabelle rechnet mit z = 3+4i. Die konjugiert komplexe Zahl ist „3-4i“, der Betrag ist 5 (nur IMABS liefert eine gewöhnliche Zahl).
Die dritte Tabelle prüft die Division ohne die Funktionen für komplexe Zahlen, direkt mit der Formel aus dem Erweitern mit der Konjugierten. Der Realteil des Quotienten ist 0,44 (= 11/25), der Imaginärteil 0,08 (= 2/25) – passend zum Ergebnis von IMDIV. „^“ steht für eine Potenz, „*“ für Multiplizieren und „/“ für Dividieren.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Komplexe Zahl z₁	=KOMPLEXE(B1;B2)
Komplexe Zahl z₂	=KOMPLEXE(B3;B4)
Summe z₁ + z₂	=IMSUMME(B5;B6)
Differenz z₁ − z₂	=IMSUB(B5;B6)
Produkt z₁ · z₂	=IMPRODUKT(B5;B6)
Quotient z₁ : z₂	=IMDIV(B5;B6)

Tabelle für die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Komplexe Zahl z	=KOMPLEXE(B1;B2)
Konjugiert komplexe Zahl	=IMKONJUGIERTE(B3)
Betrag \|z\|	=IMABS(B3)

Tabelle zum Nachprüfen der Division (Nenner reell machen)

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Nenner c²+d²	=B3^2+B4^2
Realteil des Quotienten (ac+bd) : (c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Imaginärteil des Quotienten (bc−ad) : (c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Google Tabellen kennt dieselben Funktionen für komplexe Zahlen wie Excel (bei deutscher Spracheinstellung KOMPLEXE, IMSUMME, IMSUB, IMPRODUKT, IMDIV, IMKONJUGIERTE und IMABS), daher funktionieren dieselben Formeln. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Real- und Imaginärteile durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction
import math

# Real- und Imaginärteil von z1 = a + bi und z2 = c + di (einen Bruch wie 3/4 schreibt man Fraction(3, 4))
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)

# Summe und Differenz: Realteile und Imaginärteile getrennt zusammenfassen
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag

# Produkt: die Formel (ac-bd) + (ad+bc)i, aus Ausmultiplizieren und i^2 = -1
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real

# Quotient: mit der Konjugierten erweitern. Der Nenner wird die reelle Zahl c^2 + d^2
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator

# Betrag des Quotienten: Wurzel aus (Realteil zum Quadrat + Imaginärteil zum Quadrat)
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)

# Als a+bi ausgeben (ist der Imaginärteil negativ, als Subtraktion, etwa -2 - 2i)
def to_complex_str(real, imag):
    sign = "-" if imag < 0 else "+"
    return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"

print(f"Summe: {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"Differenz: {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"Produkt: {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"Quotient: {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"Betrag des Quotienten zum Quadrat (Bruch): {abs_squared}")
print(f"Betrag des Quotienten (Dezimalzahl): {abs_value}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel nutzt z₁ = 1+2i und z₂ = 3+4i. Der Quotient wird als „11/25 + 2/25i“ ausgegeben, das Quadrat seines Betrags als „1/5“ (der Betrag ist also √5/5 ≈ 0,447). Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma. Ändern Sie Real- und Imaginärteile und führen Sie das Skript aus. Brauchen Sie keine exakten Werte, können Sie auch den eingebauten Typ complex nutzen und direkt mit j rechnen, etwa (1+2j)/(3+4j).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]

evalc((a + b*I) + (c + d*I));

z = (a + b*1i) + (c + d*1i);

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Multiplikation komplexer Zahlen und \(i^2 = -1\)

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]

evalc((a + b*I) * (c + d*I));

z = (a + b*1i) * (c + d*1i);

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Division komplexer Zahlen (Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl)

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i

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    <mo>=</mo>
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    <mo>+</mo>
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      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i

ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]

evalc((a + b*I) / (c + d*I));

z = (a + b*1i) / (c + d*1i);

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i

Betrag einer komplexen Zahl \(|z|\)

|a+bi| = √(a²+b²)

\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

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  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)

ComplexExpand[Abs[a + b I]]

abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

|a+bi| = √(a^2+b^2)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (komplexe Zahlen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Geben Sie für die beiden komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i und z2 = 3 + 4i Folgendes an:
1. Die Summe z1 + z2, die Differenz z1 − z2 und das Produkt z1 · z2 (in der Form a+bi)
2. Den Quotienten z1 : z2 (in der Form a+bi mit vollständig gekürzten Brüchen, mit dem Rechenweg des Erweiterns mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners)
3. Die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag des Quotienten (den Betrag als exakten Wert mit vereinfachter Wurzel und als Dezimalzahl)

Berechnen Sie Real- und Imaginärteile in Python mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

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Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel