Komplexe Zahlen Rechner (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren mit Rechenweg, konjugiert komplexe Zahl, Betrag und komplexe Ebene)

Geben Sie Real- und Imaginärteil der beiden komplexen Zahlen z₁ = a + bi und z₂ = c + di ein und wählen Sie die Rechenart (+ − × ÷). Der Ausdruck unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Zahlen also auch direkt darin ändern.

Realteil a von z₁

Imaginärteil b von z₁

Rechenart

Realteil c von z₂

Imaginärteil d von z₂

Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leerer Real- oder Imaginärteil wird als 0 behandelt (ist zum Beispiel nur der Imaginärteil von z₁ leer, ist z₁ die reelle Zahl a).

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links Real- und Imaginärteil ein, wählen Sie eine Rechenart (+ − × ÷) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm in der komplexen Ebene erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren Sie zwei komplexe Zahlen \(z_1 = a+bi\) und \(z_2 = c+di\) sofort. Geben Sie einfach Real- und Imaginärteil ein und wählen Sie die Rechenart
Die Antwort erscheint in der Form \(a+bi\) mit gekürzten Brüchen (exakte Werte), etwa \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\). Bei der Division zeigen die Schritte, wie das Multiplizieren mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners den Nenner reell macht. Bei der Multiplikation zeigen sie das Ausmultiplizieren und wie \(i^2\) durch \(-1\) ersetzt wird
Zusätzlich werden die konjugiert komplexe Zahl \(\overline{z}\) und der Betrag \(|z|\) des Ergebnisses angezeigt. Der Betrag wird als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel angegeben, etwa \(|3+4i| = 5\) oder \(|1+i| = \sqrt{2}\)
Das Ergebnis lässt sich auch in der komplexen Ebene (Gaußsche Zahlenebene) ansehen, die auf einen Blick zeigt, wo \(z_1\), \(z_2\) und das Ergebnis liegen
Real- und Imaginärteil dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein

Diese Seite behandelt die vier Grundrechenarten mit komplexen Zahlen (plus konjugiert komplexe Zahl und Betrag), wie sie in der Oberstufe und in der Hochschulmathematik behandelt werden. Die Polarform (eine Zahl mit Betrag und Argument schreiben) und der Satz von de Moivre werden hier nicht behandelt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Wechselstromrechnung (Elektrotechnik und Elektronik)

Bei der Wechselspannung aus der Steckdose schwingen Spannung und Strom wie Wellen, und verschiedene Teile einer Schaltung verschieben den Zeitpunkt der Welle (die Phase). In der Elektrotechnik ist es die Standardmethode, diese „Größe“ und „Verschiebung“ zu einer komplexen Zahl (der Impedanz) zusammenzufassen, sodass sich eine ganze Schaltung allein mit komplexer Rechnung lösen lässt. Dort schreibt man die imaginäre Einheit meist als \(j\), weil \(i\) für den Strom steht.
Die Rechnung mit komplexen Zahlen gehört zu jedem Elektrotechnik-Studium. Überall, wo Wechselstrom fließt, vom Handyladegerät bis zum Kraftwerk, beruht der Entwurf auf komplexen Zahlen.

Signalanalyse in Kommunikation und Audio (Fourier-Transformation)

Wellen wie Schall und Funk lassen sich mit der Fourier-Transformation, einer Rechnung mit komplexen Zahlen, darin zerlegen, „wie viel von jeder Tonhöhe (Frequenz) enthalten ist“. Mobilfunk (WLAN, 5G), Musikkomprimierung, Rauschunterdrückung und Spracherkennung führen im Inneren riesige Mengen solcher komplexen Rechnungen aus.
Die Stärke der komplexen Zahlen liegt darin, dass eine Zahl sowohl die Größe als auch den Zeitpunkt einer Welle trägt, deshalb verwendet man in der Signalverarbeitung sogar mehr komplexe als reelle Zahlen. Die Fourier-Transformation selbst ist Hochschulstoff, aber im Inneren geschieht genau das Multiplizieren und Addieren komplexer Zahlen, das Sie hier lernen.

Flugzeuge und Roboter steuern (Stabilität prüfen)

Beim Entwurf von Maschinen, die Schwingungen dämpfen und ruhig bleiben müssen, etwa Autopiloten, Drohnen und Roboter, prüfen Ingenieurinnen und Ingenieure die Stabilität, indem sie ansehen, wo die Lösungen (komplexe Zahlen) der Systemgleichung in der komplexen Ebene liegen. Sind die Realteile der Lösungen negativ, klingt die Schwingung ab, ist einer positiv, schaukelt sie sich auf.
In diesem Bereich entscheidet die Lage der Lösungen in der komplexen Ebene direkt darüber, ob eine Maschine sicher fliegen kann. Die Regelungstechnik, die diesen Stabilitätstest behandelt, wird an der Hochschule gelehrt.

Drehungen in Spielen und Computergrafik

Sieht man einen Punkt \((x|y)\) der Ebene als die komplexe Zahl \(x+yi\), dreht das Multiplizieren mit einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1 den Punkt um den Ursprung. Das Multiplizieren mit \(i\) dreht ihn zum Beispiel um 90 Grad. Genau das brauchen 2D-Spiele, um Figuren oder Geschosse zu drehen.
Quaternionen, die in 3D-Spielen und in Smartphones zur Bestimmung der Lage verwendet werden, erweitern diesen Gedanken der „Drehung durch komplexe Zahlen“ auf drei Dimensionen.

Quadratische und kubische Gleichungen vollständig lösen (Mathematik)

Eine quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn ihre Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) negativ ist. Erweitert man aber den Zahlbereich auf die komplexen Zahlen, hat sogar \(x^2 = -1\) die Lösungen \(x = \pm i\), und jede quadratische oder kubische Gleichung hat Lösungen (Fundamentalsatz der Algebra).
Ohne „keine Lösung“-Ausnahmen beruhen nicht nur die Mathematik, sondern auch die Theorien der Physik und der Technik auf komplexen Zahlen. Die Rechnung mit komplexen Zahlen ist der Einstieg.

Formeln und Abbildungen

Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\((a+bi) + (c+di)\) \(=\) \((a+c)\) \(+\) \((b+d)i\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Summe von \(z_1\) und \(z_2\) \(=\) ① Realteile addiert \(+\) ② Imaginärteile addiert, mal \(i\)

Die Formel in Worten

① Die Realteile und die \(i\)-Teile lassen sich getrennt behandeln. Nehmen Sie die Summe der Realteile, \(a+c\)

② und addieren Sie die Summe der Imaginärteile, \(b+d\) mit angehängtem \(i\)

③ so erhalten Sie die Summe von \(z_1\) und \(z_2\)

Einfaches Beispiel

Rechnet man \((2+3i) + (4-i)\) aus (der Imaginärteil von \(4-i\) ist \(-1\)), ergibt sich:

Summe \((2+3i)+(4-i)\) \(=\) Realteile \(2+4\) \(+\) Imaginärteile \(3-1\), mal \(i\)

\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)

Der Kerngedanke

Das Subtrahieren funktioniert genauso: Man subtrahiert Realteile und Imaginärteile getrennt, also \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\). Der Trick: Behandeln Sie \(i\) wie eine Variable wie \(x\) und fassen Sie gleichartige Terme zusammen. Addiert man \(2x + 3\) und \(4x - 1\), fasst man die \(x\)-Terme und die Zahlenterme getrennt zusammen. Ebenso fasst man die \(i\)-Terme (den Imaginärteil) und die Zahlenterme (den Realteil) getrennt zusammen. In der komplexen Ebene ist das Addieren das „Aneinanderhängen zweier Pfeile“, und die vier Punkte \(0\), \(z_1\), \(z_2\) und \(z_1+z_2\) bilden ein Parallelogramm (siehe Abbildung oben).

Multiplizieren komplexer Zahlen und \(i^2 = -1\)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\((a+bi)(c+di)\) \(=\) \((ac-bd)\) \(+\) \((ad+bc)i\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Produkt von \(z_1\) und \(z_2\) \(=\) ① Realteil: \(ac\) minus \(bd\) \(+\) ② Imaginärteil: \(ad\) plus \(bc\), mal \(i\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Klammern wie bei Variablen aus und ersetzen Sie \(i^2\) durch \(-1\). Sie erhalten den Realteil \(ac - bd\)

② und den Imaginärteil \(ad + bc\) mit angehängtem \(i\).

③ Addieren Sie beide, so erhalten Sie das Produkt von \(z_1\) und \(z_2\)

Einfaches Beispiel

Rechnet man \((1+2i)(3+4i)\) aus, ergibt sich:

Produkt \((1+2i)(3+4i)\) \(=\) Realteil \(1 \times 3 - 2 \times 4\) \(+\) Imaginärteil \(1 \times 4 + 2 \times 3\), mal \(i\)

\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)

\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

Der Kerngedanke

Sie multiplizieren genau wie bei Variablen aus: \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) (jeder Term mit jedem). Nur eine Regel ist bei komplexen Zahlen besonders: Immer wenn \(i \times i = i^2\) auftaucht, ersetzen Sie es durch \(-1\). Das liegt daran, dass \(i\) als die Zahl definiert ist, deren Quadrat \(-1\) ist (die imaginäre Einheit). Bei den reellen Zahlen ist jedes Quadrat mindestens 0, deshalb hat \(x^2 = -1\) keine Lösung. Nimmt man dieses \(i\) zu den Zahlen hinzu, entsteht ein größerer Zahlbereich, die komplexen Zahlen, in dem jede quadratische Gleichung eine Lösung hat. Sie müssen die Formel nicht auswendig lernen. Multiplizieren Sie einfach jedes Mal aus und machen Sie dann aus \(i^2\) ein \(-1\), dann erhalten Sie dasselbe Ergebnis.

Dividieren komplexer Zahlen (mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a+bi}{c+di}\) \(=\) \(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\) \(+\) \(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Quotient von \(z_1\) durch \(z_2\) \(=\) ① Realteil: \(ac+bd\) geteilt durch \(c^2+d^2\) \(+\) ② Imaginärteil: \(bc-ad\) geteilt durch \(c^2+d^2\), mal \(i\)

Die Formel in Worten

① Erweitern Sie den Bruch mit \(c-di\), der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Der Nenner wird zur reellen Zahl \(c^2+d^2\), und Sie erhalten den Realteil \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)

② und den Imaginärteil \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\) mit angehängtem \(i\).

③ Addieren Sie beide, so erhalten Sie den Quotient von \(z_1\) durch \(z_2\)

Einfaches Beispiel

Rechnet man \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) aus (Zähler und Nenner mit \(3-4i\), der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, multiplizieren), ergibt sich:

Quotient \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) \(=\) Realteil \(\dfrac{11}{25}\) \(+\) Imaginärteil \(\dfrac{2}{25}\), mal \(i\)

\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)

\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)

Der Kerngedanke

Warum mit der konjugiert komplexen Zahl multiplizieren? Weil \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\) gilt, sodass \(i\) sauber wegfällt. Das verbindet die dritte binomische Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) mit \(i^2 = -1\). Solange \(i\) noch im Nenner steht, lässt sich die Form \(a+bi\) (Realteil und Imaginärteil) nicht ablesen, deshalb besteht der erste Schritt darin, \(i\) aus dem Nenner zu entfernen. Es ist derselbe Gedanke wie beim Rationalmachen des Nenners, bei dem Sie \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) oben und unten mit \(\sqrt{2}\) erweitern, um die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. Durch \(z_2 = 0\) (Realteil und Imaginärteil beide 0) können Sie nicht teilen. Die Regel „Durch 0 kann man nicht teilen“ gilt auch für komplexe Zahlen.

Betrag (Modul) einer komplexen Zahl \(|z|\)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② Betrag von \(z\) \(=\) ① Wurzel aus (Realteil zum Quadrat + Imaginärteil zum Quadrat)

Die Formel in Worten

① Für eine komplexe Zahl \(z = a+bi\) ist Wurzel aus dem Realteil zum Quadrat plus dem Imaginärteil zum Quadrat, \(\sqrt{a^2+b^2}\)

② gleich dem Betrag von \(z\)

Einfaches Beispiel

Der Betrag von \(z = 3+4i\) ist

Betrag von \(3+4i\) \(=\) \(\sqrt{3^2+4^2}\)

\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)

Der Kerngedanke

Der Betrag \(|z|\) ist der Abstand vom Ursprung zu \(z\) in der komplexen Ebene (siehe Abbildung oben). Der Punkt liegt \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben, der Abstand folgt also einfach aus dem Satz des Pythagoras. Man kann ihn als den Betrag einer reellen Zahl (ihren Abstand von 0 auf der Zahlengeraden) sehen, der auf die Ebene erweitert wurde. Mit der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z} = a-bi\) gilt die Beziehung \(z \times \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\). Deshalb macht das Multiplizieren mit der konjugiert komplexen Zahl bei der Division den Nenner zu \(|z_2|^2\), einer positiven reellen Zahl. Manchmal verschwindet die Wurzel, wie bei \(\sqrt{25} = 5\), und manchmal bleibt sie, wie bei \(\sqrt{2}\). Dieser Rechner vereinfacht auch Wurzeln, etwa \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), und antwortet mit exakten Werten.

Die Grundregel für komplexe Zahlen lautet: \(i\) wie eine Variable behandeln und \(i^2\) jedes Mal durch \(-1\) ersetzen. Nur die Division braucht einen zusätzlichen Schritt: Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multiplizieren, damit der Nenner reell wird, und das Ergebnis dann in Realteil und Imaginärteil aufteilen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(i\)	i	Die imaginäre Einheit. Sie ist als die Zahl definiert, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Der Buchstabe stammt von „imaginär“. (In der Elektrotechnik verwendet man stattdessen \(j\), weil \(i\) für die Stromstärke steht.)
\(z\)	z	Der Buchstabe, der üblicherweise für eine komplexe Zahl steht. Üblicherweise verwendet man \(z\) und \(w\) für komplexe Zahlen, um sie von den reellen Variablen \(x\) und \(y\) zu unterscheiden.
\(z_1,\ z_2\)	z eins, z zwei	Die erste und die zweite komplexe Zahl. Die kleine Zahl unten rechts (der Index) ist nur eine Nummerierung, „welche von beiden“. Sie ist nicht dasselbe wie ein Exponent, der oben rechts steht.
\(a,\ b,\ c,\ d\)	a, b, c, d	Auf dieser Seite ist \(a\) der Realteil und \(b\) der Imaginärteil von \(z_1 = a+bi\), und \(c\) ist der Realteil und \(d\) der Imaginärteil von \(z_2 = c+di\). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets für feste Zahlen.
\(\overline{z}\)	z quer	Die konjugiert komplexe Zahl von \(z\). Für \(z = a+bi\) ist sie \(a-bi\), es ändert sich nur das Vorzeichen des Imaginärteils. Der Strich darüber steht für „den Partner“. Manche Bücher schreiben \(z^*\).
\(\|z\|\)	Betrag von z	Der Betrag (Modul) von \(z\). Er ist der Abstand vom Ursprung zu \(z\) in der komplexen Ebene, berechnet als \(\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}\). Er wird mit zwei senkrechten Strichen geschrieben, genau wie der Betrag einer reellen Zahl.

Begriffe

komplexe Zahl	Eine Zahl der Form \(a+bi\), wobei \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind. Sie bilden einen größeren Zahlbereich, der reelle und imaginäre Zahlen enthält, und in ihm hat jede quadratische Gleichung eine Lösung.
imaginäre Zahl	Eine komplexe Zahl, die nicht reell ist, also \(a+bi\) mit einem Imaginärteil \(b\) ungleich 0. (Manche Bücher nennen nur rein imaginäre Zahlen wie \(2i\) imaginäre Zahlen.) Trotz des Namens sind diese Zahlen in der Elektrotechnik und der Physik sehr nützlich.
imaginäre Einheit	Die Zahl \(i\). Sie ist durch \(i^2 = -1\) definiert, und jede imaginäre Zahl wird mit \(i\) geschrieben.
Realteil	Das \(a\) in \(a+bi\), der „reelle Anteil“ einer komplexen Zahl. In der komplexen Ebene ist es die Koordinate auf der waagerechten Achse (der reellen Achse).
Imaginärteil	Das \(b\) in \(a+bi\) (ohne das \(i\)). In der komplexen Ebene ist es die Koordinate auf der senkrechten Achse (der imaginären Achse). Der Imaginärteil von \(3-2i\) ist zum Beispiel \(-2\).
rein imaginäre Zahl	Eine komplexe Zahl, deren Realteil 0 ist und deren Imaginärteil nicht 0 ist, etwa \(2i\) oder \(-3i\). In der komplexen Ebene liegt sie auf der imaginären Achse.
konjugiert komplexe Zahl	Zu \(a+bi\) die Zahl \(a-bi\). Ihre wichtigste Eigenschaft ist, dass das Produkt \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) eine reelle Zahl ist, die mindestens 0 ist. Deshalb verwendet man sie, um bei der Division den Nenner reell zu machen. „Konjugiert“ bedeutet „zusammengehörig“.
Betrag (Modul)	Der Abstand \(\sqrt{a^2+b^2}\) vom Ursprung in der komplexen Ebene. Er erweitert den Betrag einer reellen Zahl (ihren Abstand von 0 auf der Zahlengeraden) auf die Ebene.
komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene)	Eine Ebene mit dem Realteil auf der waagerechten und dem Imaginärteil auf der senkrechten Achse, in der \(a+bi\) als Punkt \((a\|b)\) dargestellt wird. Sie wird in der Oberstufe und im Studium ausführlich behandelt, hier dient sie als Werkzeug, um komplexe Zahlen „sichtbar“ zu machen.
reelle Achse	Die waagerechte Achse der komplexen Ebene, auf der die reellen Zahlen liegen. Eine reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit dem Imaginärteil 0, sie liegt also auf der reellen Achse.
imaginäre Achse	Die senkrechte Achse der komplexen Ebene, auf der die rein imaginären Zahlen (komplexe Zahlen mit dem Realteil 0, etwa \(2i\)) liegen.
Nenner reell machen	Bei einem Bruch mit komplexem Nenner Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multiplizieren, sodass der Nenner reell wird. Es ist die Version für komplexe Zahlen des Rationalmachens des Nenners (Entfernen einer Wurzel aus dem Nenner).
Ausmultiplizieren	Die Klammern eines Ausdrucks auflösen und ihn als Summe oder Differenz von Termen schreiben. Wie bei \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) wird jeder Term der einen Klammer mit jedem Term der anderen multipliziert.
gleichartige Terme	Terme mit demselben Variablenteil. Beim Addieren oder Subtrahieren komplexer Zahlen fasst man die Terme mit \(i\) (den Imaginärteil) und die Terme ohne \(i\) (den Realteil) jeweils als gleichartige Terme zusammen.
Diskriminante	Der Ausdruck \(D = b^2-4ac\), der angibt, welche Art von Lösungen die quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) hat. Für \(D < 0\) gibt es keine reelle Lösung, aber komplexe Lösungen \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-D}\,i}{2a}\). Meist begegnen einem hier zum ersten Mal komplexe Zahlen.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.

Klammern auflösen und gleichartige Terme (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Ein Produkt von Klammern auflösen können, wie in \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) Die dritte binomische Formel \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) anwenden können (genau deshalb ergibt das Multiplizieren mit der konjugiert komplexen Zahl eine reelle Zahl) Gleichartige Terme zusammenfassen können, wie in \(2x + 3x = 5x\)
Quadratwurzeln und Wurzelterme (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass die Quadratwurzel die positive Zahl ist, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ist, wie in \(\sqrt{25} = 5\) Eine Wurzel vereinfachen können, indem man Quadratfaktoren herauszieht, wie in \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
Nenner rational machen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen können, indem man oben und unten mit derselben Zahl erweitert, wie in \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (den Nenner reell machen ist die Version dieses Gedankens für komplexe Zahlen)
Koordinaten und Satz des Pythagoras (Klasse 6–9, 11–15 Jahre)	Den Punkt \((a\|b)\) in der Ebene einzeichnen können (die komplexe Ebene ist eine Ebene mit dem Realteil waagerecht und dem Imaginärteil senkrecht) Aus dem Satz des Pythagoras wissen, dass der Abstand zwischen dem Ursprung und \((a\|b)\) gleich \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ist (das ist der eigentliche Inhalt des Betrags einer komplexen Zahl)
Quadratische Gleichungen und Diskriminante (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Die Lösungsformel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) anwenden können Wissen, dass es keine reelle Lösung gibt, wenn die Diskriminante \(D = b^{2}-4ac\) negativ ist (hier kommen die imaginären Zahlen ins Spiel)
Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Brüche kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen können (Ergebnisse werden als gekürzte Brüche angezeigt, etwa \(\dfrac{11}{25}\)) Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln können (\(\dfrac{11}{25}\) in 0,44)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für die vier Grundrechenarten mit komplexen Zahlen

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Komplexe Zahl z₁	=KOMPLEXE(B1;B2)
Komplexe Zahl z₂	=KOMPLEXE(B3;B4)
Summe z₁ + z₂	=IMSUMME(B5;B6)
Differenz z₁ − z₂	=IMSUB(B5;B6)
Produkt z₁ × z₂	=IMPRODUKT(B5;B6)
Quotient z₁ ÷ z₂	=IMDIV(B5;B6)

Tabelle für die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Komplexe Zahl z	=KOMPLEXE(B1;B2)
Konjugiert komplexe Zahl	=IMKONJUGIERTE(B3)
Betrag \|z\|	=IMABS(B3)

Tabelle zur Kontrolle der Division (mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern)

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Nenner c²+d²	=B3^2+B4^2
Realteil des Quotienten (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Imaginärteil des Quotienten (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Excel hat einen vollständigen Satz von Funktionen für komplexe Zahlen. KOMPLEXE bildet aus Real- und Imaginärteil eine komplexe Zahl (eine Zeichenfolge wie „1+2i“), die Sie an IMSUMME (Summe), IMSUB (Differenz), IMPRODUKT (Produkt) oder IMDIV (Quotient) übergeben.
Die erste Tabelle verwendet z₁ = 1+2i und z₂ = 3+4i. Die Summe zeigt „4+6i“, die Differenz „-2-2i“, das Produkt „-5+10i“ und der Quotient „0,44+0,08i“ (diese Ergebnisse sind Text, keine Zahlen).
Die zweite Tabelle verwendet z = 3+4i. Die konjugiert komplexe Zahl ist „3-4i“ und der Betrag ist 5 (nur IMABS liefert eine gewöhnliche Zahl).
Die dritte Tabelle prüft die Division ohne die Funktionen für komplexe Zahlen, direkt nach der Formel mit der konjugiert komplexen Zahl. Der Realteil des Quotienten ist 0,44 (= 11/25) und der Imaginärteil 0,08 (= 2/25), was mit dem Ergebnis von IMDIV übereinstimmt. „^“ ist die Potenz, „*“ die Multiplikation und „/“ die Division.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für die vier Grundrechenarten mit komplexen Zahlen

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Komplexe Zahl z₁	=KOMPLEXE(B1;B2)
Komplexe Zahl z₂	=KOMPLEXE(B3;B4)
Summe z₁ + z₂	=IMSUMME(B5;B6)
Differenz z₁ − z₂	=IMSUB(B5;B6)
Produkt z₁ × z₂	=IMPRODUKT(B5;B6)
Quotient z₁ ÷ z₂	=IMDIV(B5;B6)

Tabelle für die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Komplexe Zahl z	=KOMPLEXE(B1;B2)
Konjugiert komplexe Zahl	=IMKONJUGIERTE(B3)
Betrag \|z\|	=IMABS(B3)

Tabelle zur Kontrolle der Division (mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern)

Realteil a von z₁	1
Imaginärteil b von z₁	2
Realteil c von z₂	3
Imaginärteil d von z₂	4
Nenner c²+d²	=B3^2+B4^2
Realteil des Quotienten (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Imaginärteil des Quotienten (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Google Tabellen hat dieselben Funktionen für komplexe Zahlen wie Excel (KOMPLEXE, IMSUMME, IMSUB, IMPRODUKT, IMDIV, IMKONJUGIERTE und IMABS), daher funktionieren dieselben Formeln unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Real- und Imaginärteil durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction
import math

# Real- und Imaginärteil von z1 = a + bi und z2 = c + di (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)

# Summe und Differenz: Realteile und Imaginärteile getrennt zusammenfassen
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag

# Produkt: die Formel (ac-bd) + (ad+bc)i, aus dem Ausmultiplizieren und dem Einsetzen von i^2 = -1
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real

# Quotient: mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern. Der Nenner wird zur reellen Zahl c^2 + d^2
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator

# Betrag des Quotienten: Wurzel aus (Realteil zum Quadrat + Imaginärteil zum Quadrat)
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)

# Als a+bi darstellen (ist der Imaginärteil negativ, wird er als Subtraktion geschrieben, etwa -2 - 2i)
def to_complex_str(real, imag):
    sign = "-" if imag < 0 else "+"
    return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"

print(f"Summe: {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"Differenz: {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"Produkt: {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"Quotient: {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"Betrag des Quotienten, quadriert (Bruch): {abs_squared}")
print(f"Betrag des Quotienten (Dezimalzahl): {abs_value}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen und ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel verwendet z₁ = 1+2i und z₂ = 3+4i. Der Quotient wird als „11/25 + 2/25i“ ausgegeben und das Quadrat seines Betrags als „1/5“ (der Betrag ist also √5/5 ≈ 0,447). Ändern Sie Real- und Imaginärteil und führen Sie den Code aus. Brauchen Sie keine exakten Werte, hat Python auch einen eingebauten Typ complex, mit dem Sie direkt mit j rechnen können, etwa (1+2j)/(3+4j).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

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    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]

evalc((a + b*I) + (c + d*I));

z = (a + b*1i) + (c + d*1i);

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Multiplizieren komplexer Zahlen und \(i^2 = -1\)

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

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  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]

evalc((a + b*I) * (c + d*I));

z = (a + b*1i) * (c + d*1i);

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Dividieren komplexer Zahlen (mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern)

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i

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    <mfrac>
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    </mfrac>
    <mo>=</mo>
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      <mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
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      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i

ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]

evalc((a + b*I) / (c + d*I));

z = (a + b*1i) / (c + d*1i);

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i

Betrag (Modul) einer komplexen Zahl \(|z|\)

|a+bi| = √(a²+b²)

\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

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  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)

ComplexExpand[Abs[a + b I]]

abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

|a+bi| = √(a^2+b^2)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für komplexe Zahlen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Geben Sie für die beiden komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i und z2 = 3 + 4i jeweils an:
1. Die Summe z1 + z2, die Differenz z1 − z2 und das Produkt z1 × z2 (in der Form a+bi)
2. Den Quotienten z1 ÷ z2 (in der Form a+bi mit gekürzten Brüchen, mit den Schritten des Multiplizierens mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners)
3. Die konjugiert komplexe Zahl und den Betrag des Quotienten (den Betrag sowohl als exakten Wert mit vereinfachter Wurzel als auch als Dezimalzahl)

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um Real- und Imaginärteil exakt zu berechnen, und nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel