Internen Zinsfuß berechnen (IRR) – Rendite aus Cashflows

Geben Sie die Anfangsinvestition und ab Jahr 1 den Cashflow jedes Jahres ein (das Geld, das in dem Jahr zurückfließt). Der Rechner sucht den Kalkulationszins, bei dem der Kapitalwert (NPV) genau 0 ist – das ist der interne Zinsfuß (IRR).

Anfangsinvestition (€)

Geben Sie die Beträge als Zahlen in Euro ein. Die Anfangsinvestition tragen Sie als positiven Betrag ein (sie wird intern als Auszahlung, also negativ, behandelt). Haben Sie in einem späteren Jahr nachinvestiert, geben Sie für dieses Jahr einen negativen Betrag ein (zum Beispiel -50000); Jahre ohne Zahlungen lassen Sie leer oder setzen 0. Mit „Zeile hinzufügen“ sind bis zu 20 Jahre möglich (für die meisten Investitionsentscheidungen genug).

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Anfangsinvestition und den Cashflow jedes Jahres ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Geben Sie die Anfangsinvestition und den Cashflow jedes Jahres ein (das Geld, das in dem Jahr zurückfließt) – und Sie erhalten den internen Zinsfuß (IRR, pro Jahr)
Laufzeit, Gesamtüberschuss (Gewinn oder Verlust über die ganze Laufzeit) und Gesamtrendite werden gleich mit angezeigt
Die jährlichen Beträge dürfen beliebig verschieden sein, auch Nachinvestitionen in späteren Jahren (negative Cashflows) sind möglich
Eine Kurve des Kapitalwerts (NPV) zeigt auf einen Blick, wo er 0 wird – dort liegt der IRR
Außerdem auf dieser Seite: eine verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Diese Seite geht von einem Cashflow pro Jahr aus. Für den Zinssatz einer Anlage mit gleich hohen Raten je Periode ist der „Finanzmathematik-Rechner“ bei den verwandten Rechnern (Berechnung von I/Y) praktisch. Der IRR ist hier eine rein mathematische Rechnung ohne Gebühren und Steuern; diese Seite empfiehlt keine Geldanlage.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Über eine Investition entscheiden (Investitionsrechnung und Mindestrendite)

„Kaufen wir eine Anlage für 4.000.000 €, erwarten wir in 3 Jahren Einsparungen von 1.000.000 €, 2.000.000 € und 3.000.000 €.“ Mit dieser Schätzung liegt der interne Zinsfuß bei etwa 19,4 % pro Jahr. Bei Investitionsentscheidungen in Unternehmen vergleicht man ihn mit der geforderten Mindestrendite (etwa dem Kreditzins oder den Kapitalkosten) und setzt das Projekt um, wenn er darüber liegt. Die Interne-Zinsfuß-Methode gehört zum Standardstoff der Investitionsrechnung im BWL-Studium.
Künftige Cashflows sind aber nur Schätzungen – rechnen Sie am besten auch mit einer vorsichtigen Annahme.

Eine vermietete Immobilie bewerten (jährliche Miete plus Verkauf am Ende)

Bei einer Immobilie als Kapitalanlage fließt das Geld so: Zuerst kaufen Sie die Wohnung, dann kommt jedes Jahr Miete herein und am Ende der Verkaufserlös – die jährlichen Beträge sind also alle verschieden. Die Stärke des IRR ist, solche ungleichmäßigen Cashflows in eine einzige Jahresrendite umzurechnen; Immobilieninvestoren vergleichen damit häufig Objekte.
Anders als die Bruttomietrendite (Jahreskaltmiete : Kaufpreis) berücksichtigt er auch Gewinn oder Verlust beim Verkauf und Jahre, in denen Leerstand die Miete schmälert.

Prüfen, ob sich eine Photovoltaikanlage oder eine Energiesparmaßnahme lohnt

Eine Photovoltaikanlage auf dem eigenen Dach hat einen Cashflow, der gut zum IRR passt: Zuerst zahlen Sie die Installation, danach sparen Sie jedes Jahr Stromkosten und erhalten für eingespeisten Strom die Einspeisevergütung nach dem EEG. Kostet die Anlage zum Beispiel 20.000 €, tragen Sie die jährlichen Einsparungen und Vergütungen ein und berechnen den IRR – so können Sie sie mit Tagesgeld oder einem ETF auf demselben Maßstab vergleichen: „Diese Anlage entspricht einer Geldanlage mit X % pro Jahr.“
Das Ergebnis ändert sich mit den Annahmen, etwa Strompreis, Eigenverbrauchsanteil oder Lebensdauer der Anlage – rechnen Sie am besten ein paar Szenarien durch.

Fonds und M&A bewerten (Berufe in der Finanzbranche)

Bei Investmentfonds wie Venture Capital und Private Equity ist der IRR die Standardkennzahl für den Erfolg eines Fonds. Wann Geld von den Anlegern abgerufen und wann es zurückgezahlt wird, ist von Fonds zu Fonds verschieden – nur der IRR, der die Zeit berücksichtigt, erlaubt einen fairen Vergleich.
Auch Investmentbanken und Unternehmen, die eine Übernahme (M&A) prüfen, berechnen den IRR aus Kaufpreis und Gewinnplanung, um über das Vorhaben zu entscheiden. Er gehört zu den ersten Rechnungen, die man für eine Karriere in der Finanzbranche lernt.

In Zahlen sehen, dass früher zurückfließendes Geld mehr wert ist

Angenommen, die Investitionen A und B kosten beide 100.000 € und bringen in 5 Jahren beide insgesamt 150.000 € zurück (Gesamtüberschuss 50.000 €, Gesamtrendite 50 %). A zahlt früh mehr (5.000 €, 20.000 €, 25.000 €, 40.000 €, 60.000 €), B zahlt vor allem am Ende (0 €, 10.000 €, 30.000 €, 30.000 €, 80.000 €).
Die Summen sind gleich, aber A hat einen IRR von 11,290 % pro Jahr und B von 10,259 % – A, das Geld früher zurückgibt, liegt vorn. Zurückgeflossenes Geld lässt sich erneut anlegen. Der IRR macht diesen Zeitwert des Geldes in Zahlen sichtbar.

Formeln und Graphen

Geld in \(t\) Jahren in seinen heutigen Wert umrechnen (Barwert)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(PV\): Barwert \(=\) ① \(CF_t\): Cashflow im Jahr \(t\) \(\div\) ② Abzinsungsfaktor für ein Jahr \((1+r)\) ③ \(t\): Jahre

Die Formel in Worten

① Den \(CF_t\): Cashflow im Jahr \(t\)

② teilen Sie durch den Abzinsungsfaktor für ein Jahr \((1+r)\) (\(r\) ist der Kalkulationszins),

③ und zwar einmal für jedes der \(t\): Jahre

④ – so erhalten Sie den \(PV\): Barwert

Einfaches Beispiel

Bei einem Kalkulationszins von 10 % beträgt der Barwert von 1.210.000 €, die Sie in 2 Jahren erhalten (in Einheiten von 10.000 €),

\(PV\): Barwert \(=\) Geld in 2 Jahren (1.210.000 €) \(\div\) Abzinsungsfaktor (1,1) Jahre (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

Der Grundgedanke

Lässt sich Geld zu 10 % pro Jahr anlegen, sind „1.000.000 € heute“ und „1.210.000 € in 2 Jahren“ gleich viel wert. Künftiges Geld auf seinen heutigen Wert umzurechnen heißt Abzinsen (Diskontieren), und der dabei verwendete Jahreszins \(r\) heißt Kalkulationszins. Geld hat einen Zeitwert – auf dieser Idee baut der interne Zinsfuß auf.

Formel für den Kapitalwert (NPV)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ NPV: Kapitalwert \(=\) ① \(CF_0\): Anfangsinvestition (negativer Wert) \(+\) ② Summe der Barwerte der Cashflows von Jahr 1 bis Jahr \(n\)

Die Formel in Worten

① Zur \(CF_0\): Anfangsinvestition (ausgezahltes Geld, also negativ)

② addieren Sie die Summe der Barwerte aller jährlichen Cashflows (jeder Jahresbetrag mit Formel 1 auf heute umgerechnet und dann alles addiert)

③ – so erhalten Sie den NPV: Kapitalwert

Einfaches Beispiel

Bei einem Kalkulationszins von 10 % beträgt der Kapitalwert einer Investition von 1.000.000 €, die im Jahr 1 550.000 € und im Jahr 2 605.000 € zurückbringt (in Einheiten von 10.000 €),

NPV: Kapitalwert \(=\) Anfangsinvestition (−1.000.000 €) \(+\) Summe der Barwerte von 550.000 € und 605.000 €

\(55 \div 1{,}1 = 50\)

\(60{,}5 \div 1{,}21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

Der Grundgedanke

Der Kapitalwert ist das, was herauskommt, wenn Sie alle Ein- und Auszahlungen einer Investition auf ihren heutigen Wert umrechnen und addieren. Ist er positiv, bringt die Investition mehr als den Kalkulationszins \(r\); ist er negativ, weniger; ist er genau 0, genau so viel wie \(r\). Im Beispiel ist der Kapitalwert genau 0, weil diese Investition genau 10 % pro Jahr bringt.

Definition des internen Zinsfußes (IRR)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① Kapitalwert, berechnet mit \(\mathrm{IRR}\) als Kalkulationszins \(=\) ② genau \(0\)

Die Formel in Worten

① Der Kapitalwert, berechnet mit \(\mathrm{IRR}\) als Kalkulationszins,

② ist genau \(0\) . Der Kalkulationszins, der diese Gleichung erfüllt, ist der interne Zinsfuß (IRR) – die Rendite der Investition pro Jahr

Einfaches Beispiel

Bei der Investition von 1.000.000 €, die im Jahr 1 550.000 € und im Jahr 2 605.000 € zurückbringt, ist der Kapitalwert wie im Beispiel zu Formel 2 bei 10 % Kalkulationszins genau 0, also

Kapitalwert (bei 10 % Kalkulationszins) \(=\) genau 0

\(\mathrm{IRR} = 0{,}10\ \ (10\,\%)\)

Der Grundgedanke

Diese Gleichung lässt sich nicht in die Form \(\mathrm{IRR}=\cdots\) umstellen (sie wird zu einer Gleichung \(n\)-ten Grades). Stattdessen verändert ein Computer den Kalkulationszins \(r\) Schritt für Schritt, berechnet jeweils den Kapitalwert und sucht die Stelle, an der er 0 wird (ein numerisches Verfahren). Der Rechner auf dieser Seite löst sie genauso. Eine Warnung: Wechseln die Vorzeichen (plus und minus) der Cashflows zweimal oder öfter, etwa „investieren → Rückflüsse → wieder viel investieren“, kann es mehrere Kalkulationszinssätze geben, bei denen der Kapitalwert 0 ist (das Problem mehrerer interner Zinsfüße). Dann zeigt der Rechner einen Hinweis an. Bei Investitionen mit mehreren internen Zinsfüßen entscheidet man üblicherweise nach dem Kapitalwert, nicht nach dem IRR.

Gesamtüberschuss und Gesamtrendite

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(TR\): Gesamtüberschuss \(=\) ① \(S\): Summe der Rückflüsse \(-\) ② \(C_0\): Anfangsinvestition

⑤ \(G\): Gesamtrendite \(=\) \(TR\): Gesamtüberschuss \(\div\) ④ \(C_0\): Anfangsinvestition

Die Formel in Worten

① Von der \(S\): Summe der Rückflüsse

② ziehen Sie die \(C_0\): Anfangsinvestition ab

③ und erhalten den \(TR\): Gesamtüberschuss (Gewinn oder Verlust über die ganze Laufzeit). Teilen Sie ihn noch einmal durch die

④ \(C_0\): Anfangsinvestition

⑤ – so erhalten Sie die \(G\): Gesamtrendite (mal 100 ergibt die Angabe in %)

Einfaches Beispiel

Investieren Sie 4.000.000 € und erhalten im Jahr 1 1.000.000 €, im Jahr 2 2.000.000 € und im Jahr 3 3.000.000 € (in Einheiten von 10.000 €)

\(TR\): Gesamtüberschuss \(=\) Summe der Rückflüsse (6.000.000 €) \(-\) Anfangsinvestition (4.000.000 €)

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0{,}5\ \ (50\,\%)\)

Der Grundgedanke

Die Gesamtrendite sagt, wie viel Prozent Sie über die ganze Laufzeit im Verhältnis zur Investition gewonnen haben – die Zeit spielt dabei keine Rolle. 50 % Gewinn in 3 Jahren und 50 % in 10 Jahren sind aber etwas völlig anderes. Der interne Zinsfuß berücksichtigt den Zeitwert und rechnet das Ergebnis in eine Rendite pro Jahr um; er ist der Hauptwert dieser Seite. Tatsächlich beträgt die Gesamtrendite im Beispiel 50 %, der IRR aber 19,438 % pro Jahr.

Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Kalkulationszins, bei dem der Kapitalwert (NPV) genau 0 ist – also die Rendite der Investition pro Jahr. Er lässt sich nicht durch Umstellen ausrechnen, sondern wird numerisch gefunden, indem man den Kalkulationszins schrittweise verändert. Selbst bei gleichem Gesamtüberschuss gilt – je früher das Geld zurückfließt, desto höher der IRR.

Symbole und Begriffe

Symbole

IRR	I R R	Internal Rate of Return, der interne Zinsfuß. Der Kalkulationszins, bei dem der Kapitalwert genau 0 ist; er zeigt die Rendite der Investition pro Jahr. (Beispiel – 4.000.000 € investiert, in 3 Jahren 1.000.000 €, 2.000.000 € und 3.000.000 € zurück ergibt 19,438 % pro Jahr.)
NPV	N P V	Net Present Value, der Kapitalwert (auch Nettobarwert). Alle Ein- und Auszahlungen einer Investition, auf heute umgerechnet und addiert. Ist er positiv, bringt die Investition mehr als den Kalkulationszins.
\(CF_t\)	C F t	Der Cashflow im Jahr \(t\). Das Geld, das in dem Jahr zurückfließt (negativ, wenn es ausgezahlt wurde).
\(CF_0\)	C F null	Der Cashflow im Jahr 0 (heute). Die Anfangsinvestition ist eine Auszahlung und daher negativ. In diesem Rechner geben Sie sie positiv ein; intern wird sie als negativ behandelt.
\(r\)	r	Der Kalkulationszins. Der Jahreszins, mit dem künftiges Geld auf seinen heutigen Wert umgerechnet wird. Der IRR ist das besondere \(r\), bei dem der Kapitalwert 0 ist.
\(t\)	t	Die Jahresnummer. Sie zählt, in welchem Jahr das Geld fließt; der Zeitpunkt der Investition ist Jahr 0.
\(n\)	n	Die Laufzeit in Jahren, also das Jahr des letzten Cashflows.
\(PV\)	P V	Present Value, der Barwert. Künftiges Geld, umgerechnet auf seinen heutigen Wert.
\(S\)	S	Die Summe der Rückflüsse. Alle Cashflows von Jahr 1 bis Jahr \(n\) addiert (Nachinvestitionen werden negativ mitgezählt).
\(TR\)	T R	Der Gesamtüberschuss (engl. Total Return). Summe der Rückflüsse minus Anfangsinvestition, also Gewinn oder Verlust über die ganze Laufzeit.
\(G\)	G	Die Gesamtrendite (engl. Gross Return). Der Gesamtüberschuss in % der Anfangsinvestition, eine Angabe für die ganze Laufzeit ohne Zeitbezug. Bei Investmentfonds bedeutet „Bruttorendite“ dagegen meist etwas anderes, nämlich die Rendite vor Kosten.

Begriffe

Cashflow	Geld, das hereinkommt oder hinausgeht. Einzahlungen sind positive, Auszahlungen negative Zahlen. Für den IRR zählt, wann und wie viel Geld fließt.
Kalkulationszins	Der Jahreszins, mit dem künftiges Geld auf seinen heutigen Wert umgerechnet (abgezinst) wird, auch Diskontierungszins. Zum Beispiel sind 110.000 € in einem Jahr, mit 10 % pro Jahr abgezinst, heute 100.000 € wert.
Barwert	Was künftiges Geld heute wert ist. Weil Geld einen Zeitwert hat, ist der Barwert derselben 1.000.000 € umso kleiner, je später Sie sie erhalten.
Kapitalwert (NPV)	Die Summe der Barwerte aller Cashflows einer Investition (Kapitalwertmethode). Ein positiver Kapitalwert heißt, dass die Investition mehr bringt als den Kalkulationszins. Er ist der wichtigste Maßstab für Investitionsentscheidungen.
interner Zinsfuß (IRR)	Der Kalkulationszins, bei dem der Kapitalwert genau 0 ist (Interne-Zinsfuß-Methode). Er zeigt in einer einzigen Zahl, welcher Rendite pro Jahr die Investition entspricht, und wird deshalb häufig zur Bewertung von Projekten und Immobilien verwendet.
Mindestrendite	Die Rendite, die eine Investition mindestens bringen muss (etwa die Kapitalkosten), engl. Hurdle Rate. In der Praxis gilt – liegt der IRR über der Mindestrendite, wird das Projekt umgesetzt.
Problem mehrerer interner Zinsfüße	Eine mathematische Eigenschaft – wechseln die Vorzeichen der Cashflows zweimal oder öfter, kann es zwei oder mehr Kalkulationszinssätze geben, bei denen der Kapitalwert 0 ist. Der IRR allein reicht dann nicht zur Entscheidung; man entscheidet nach dem Kapitalwert.
numerisches Verfahren	Ein Lösungsweg für Gleichungen, die sich nicht durch Umstellen lösen lassen – ein Computer probiert schrittweise Werte aus und nähert sich so der Lösung. Den IRR findet man auf diese Weise (Bisektionsverfahren, Newton-Verfahren u. a.).

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen Folgendes.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass man den Prozentsatz als „Prozentwert : Grundwert“ erhält Zwischen Dezimalzahl und Prozent wechseln können, etwa 0,5 und 50 %
Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine Auszahlung (Geld, das hinausgeht) als negative Zahl schreiben können Positive und negative Zahlen zusammen addieren können
Potenzen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre)	Wissen, dass eine Potenz das wiederholte Multiplizieren derselben Zahl ist, wie in \(1{,}1^2 = 1{,}1 \cdot 1{,}1\) Ein Gefühl dafür haben, dass wiederholtes Multiplizieren mit einer Zahl größer als 1 das Ergebnis immer weiter wachsen lässt
Die Idee einer Gleichung (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Eine Gleichung als Suche nach dem Wert einer Variablen verstehen, für den beide Seiten gleich sind Wissen, dass sich manche Gleichungen nicht durch Umstellen lösen lassen und man sich dann durch Ausprobieren der Lösung nähern kann (ein numerisches Verfahren)
Zinseszins und Zeitwert des Geldes (Oberstufe, 15–18 Jahre, Mathematik und Wirtschaft)	Wissen, dass Geld, das mit \(r\) pro Jahr verzinst wird, jedes Jahr auf das \((1+r)\)-Fache wächst Wissen, dass man umgekehrt künftiges Geld durch \((1+r)\) teilt, um seinen heutigen Wert zu erhalten (Abzinsen und Barwert)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Barwert von Geld in t Jahren

Geld in t Jahren (€)	110000
Kalkulationszins (%)	10
Jahre t	1
Barwert (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für den Kapitalwert (NPV)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-1000000
Cashflow Jahr 1	550000
Cashflow Jahr 2	605000
Kalkulationszins (%)	10
Kapitalwert (€)	=NBW(B4/100;B2:B3)+B1

Tabelle für den internen Zinsfuß (IRR)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-4000000
Cashflow Jahr 1	1000000
Cashflow Jahr 2	2000000
Cashflow Jahr 3	3000000
IRR (%)	=IKV(B1:B4)*100

Tabelle für Gesamtüberschuss und Gesamtrendite

Anfangsinvestition	4000000
Summe der Rückflüsse	6000000
Gesamtüberschuss (€)	=B2-B1
Gesamtrendite (%)	=(B2-B1)/B1*100

Excel hat für den internen Zinsfuß eine eigene Funktion: IKV. Übergeben Sie wie in der dritten Tabelle die Liste der Cashflows – die Anfangsinvestition negativ – an „=IKV(B1:B4)“, und Sie erhalten im Beispiel etwa 19,438 (%).
Die Funktion NBW (Nettobarwert) in der zweiten Tabelle hat eine bekannte Falle: In ihren Bereich gehören nur die Zahlungen ab Jahr 1; die Anfangsinvestition (Jahr 0) wird außerhalb der Funktion addiert (im Beispiel ergibt sich genau 0).
Die erste Tabelle ergibt genau 100.000, die vierte einen Gesamtüberschuss von 2.000.000 und eine Gesamtrendite von 50 %. Ersetzen Sie einfach Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Barwert von Geld in t Jahren

Geld in t Jahren (€)	110000
Kalkulationszins (%)	10
Jahre t	1
Barwert (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für den Kapitalwert (NPV)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-1000000
Cashflow Jahr 1	550000
Cashflow Jahr 2	605000
Kalkulationszins (%)	10
Kapitalwert (€)	=NBW(B4/100;B2:B3)+B1

Tabelle für den internen Zinsfuß (IRR)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-4000000
Cashflow Jahr 1	1000000
Cashflow Jahr 2	2000000
Cashflow Jahr 3	3000000
IRR (%)	=IKV(B1:B4)*100

Tabelle für Gesamtüberschuss und Gesamtrendite

Anfangsinvestition	4000000
Summe der Rückflüsse	6000000
Gesamtüberschuss (€)	=B2-B1
Gesamtrendite (%)	=(B2-B1)/B1*100

Dieselben Formeln und dieselben Funktionen IKV und NBW wie in Excel funktionieren direkt (in der deutschen Oberfläche von Google Tabellen heißen sie ebenfalls IKV und NBW). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

initial_investment = 4000000                     # Anfangsinvestition (€)
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # Cashflow je Jahr ab Jahr 1 (€)

# Kapitalwert (NPV): jeden Cashflow auf heute abzinsen und addieren
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))

cfs = [-initial_investment] + cash_flows

# Den Kalkulationszins mit Kapitalwert 0 (den IRR) per Bisektion suchen
# (einfache Version für übliche Investitionen, deren Vorzeichen nur einmal wechselt)
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2

total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100

print(f"Interner Zinsfuß (IRR): {irr * 100:.3f} %")
print(f"Gesamtüberschuss: {total_return} €")
print(f"Gesamtrendite: {gross_return:.3f} %")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. Der IRR lässt sich nicht durch Umstellen lösen, deshalb wird er per Bisektion gesucht (ein numerisches Verfahren, das den Bereich immer wieder halbiert und sich so der Lösung nähert). Ändern Sie oben die Anfangsinvestition und die Liste der Cashflows und führen Sie den Code aus (im Beispiel ergibt sich 19,438 %; Python gibt Dezimalzahlen mit Punkt aus).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Geld in \(t\) Jahren in seinen heutigen Wert umrechnen (Barwert)

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

Formel für den Kapitalwert (NPV)

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

Definition des internen Zinsfußes (IRR)

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

Gesamtüberschuss und Gesamtrendite

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für Investitionsrechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Ich habe 4.000.000 € investiert und im Jahr 1 1.000.000 €, im Jahr 2 2.000.000 € und im Jahr 3 3.000.000 € zurückerhalten.
Berechnen Sie:
1. Den internen Zinsfuß IRR (in %, auf 3 Nachkommastellen) = das r, für das NPV(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3 gleich 0 ist
2. Den Gesamtüberschuss (in Euro)
3. Die Gesamtrendite (in %, auf 3 Nachkommastellen)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

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Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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