Interner Zinsfuß berechnen (IRR aus Zahlungsströmen)

Geben Sie die Anfangsinvestition und den Cashflow für jedes Jahr ab Jahr 1 (das Geld, das Sie in diesem Jahr erhalten) ein. Der Rechner berechnet den Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalwert (NPV) genau 0 ist, das ist der interne Zinsfuß (IRR).

Anfangsinvestition (€)

Geben Sie die Beträge in Euro als einfache Zahlen ein. Die Anfangsinvestition geben Sie als positiven Betrag ein (sie wird intern als negative Auszahlung behandelt). Haben Sie in einem späteren Jahr weiter investiert, geben Sie für dieses Jahr einen negativen Betrag ein (zum Beispiel -50000). Lassen Sie Jahre ohne Geldbewegung leer oder geben Sie 0 ein. Mit „Zeile hinzufügen“ können Sie Zeilen bis zu 20 Jahren ergänzen (20 Jahre genügen für die meisten Investitionsentscheidungen).

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Anfangsinvestition und die Zahlung für jedes Jahr ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Anfangsinvestition und den Cashflow für jedes Jahr (das Geld, das Sie in diesem Jahr erhalten) ein, und Sie erhalten den IRR (internen Zinsfuß, pro Jahr)
Die Anlagedauer, der Gesamtertrag (Gewinn oder Verlust über den gesamten Zeitraum) und die Gesamtrendite werden gleichzeitig angezeigt
Die jährlichen Beträge dürfen alle unterschiedlich sein, und zusätzliche Investitionen in späteren Jahren (negative Cashflows) werden unterstützt
Ein Diagramm des Kapitalwerts (NPV) zeigt auf einen Blick, wo der Kapitalwert 0 wird, das ist der IRR
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite rechnet mit einem Cashflow pro Jahr. Für den Zinssatz einer Anlage mit gleich hohen Zahlungen in jeder Periode ist der „Finanzrechner“ unter den verwandten Seiten (Berechnung von I/Y) praktisch. Der IRR ist hier eine mathematische Berechnung ohne Gebühren und Steuern, und diese Seite empfiehlt keine Geldanlage.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Über eine Investition in Anlagen entscheiden (Investitionsplanung und die Mindestverzinsung)

„Installieren wir eine Maschine für 4.000.000 €, erwarten wir in 3 Jahren Kosteneinsparungen von 1.000.000 €, 2.000.000 € und 3.000.000 €.“ Bei dieser Schätzung beträgt der IRR etwa 19,4 % pro Jahr. Bei Investitionsentscheidungen in Unternehmen vergleicht man diesen IRR üblicherweise mit der geforderten Mindestrendite (der Mindestverzinsung, etwa dem Kreditzins oder den Kapitalkosten) und nimmt das Projekt an, wenn er höher ist. Jedes Lehrbuch der Investitionsrechnung behandelt das.
Künftige Cashflows sind aber nur Schätzungen, deshalb ist es gute Praxis, auch mit einer vorsichtigen Schätzung zu rechnen.

Eine Mietimmobilie bewerten (jährliche Miete plus Verkauf am Ende)

Das Geld einer Immobilieninvestition fließt so: Zuerst kaufen Sie die Immobilie, jedes Jahr kommt Miete herein, und am Ende kommt der Verkaufspreis herein, die jährlichen Beträge sind also alle unterschiedlich. Die Stärke des IRR ist, solche ungleichmäßigen Cashflows in einen einzigen Jahreszinssatz umzurechnen, und Immobilieninvestoren benutzen ihn häufig, um Objekte zu vergleichen.
Anders als die Bruttomietrendite (Jahreskaltmiete ÷ Kaufpreis) enthält er auch den Gewinn oder Verlust beim Verkauf und Jahre, in denen Leerstand die Miete verringert. Auch Kaufnebenkosten wie Grunderwerbsteuer, Notar und Makler lassen sich als Teil der Anfangsinvestition eintragen.

Berechnen, ob sich eine Photovoltaikanlage oder energiesparende Geräte lohnen

Eine Photovoltaikanlage für das Eigenheim hat einen Cashflow, der zum IRR passt: Zuerst zahlen Sie die Installation, dann sparen Sie jedes Jahr Stromkosten durch Eigenverbrauch und erhalten gegebenenfalls eine Einspeisevergütung nach dem EEG für den ins Netz eingespeisten Strom. Kostet die Installation zum Beispiel 20.000 €, listen Sie die jährlichen Einsparungen auf und berechnen den IRR. Dann können Sie die Anlage auf demselben Maßstab mit einem Tagesgeldkonto oder einem Indexfonds vergleichen: „Diese Anschaffung ist wie eine Geldanlage mit X % pro Jahr.“
Das Ergebnis ändert sich, wenn sich Annahmen ändern, etwa Strompreise, Vergütungsregeln oder die Lebensdauer der Anlage. Es ist deshalb sinnvoll, ein paar Szenarien zu berechnen.

Die Leistung von Fonds und Unternehmenskäufen messen (Finanzberufe)

Bei Investmentfonds wie Venture Capital und Private Equity ist der IRR die Standardkennzahl für die Leistung eines Fonds. Wann Geld von Anlegern abgerufen und wann es zurückgezahlt wird, ist von Fonds zu Fonds verschieden, deshalb ergibt nur der IRR, der die Zeit berücksichtigt, einen fairen Vergleich.
Auch Investmentbanken und Unternehmen, die über M&A (Fusionen und Übernahmen) nachdenken, berechnen den IRR aus dem Kaufpreis und dem künftigen Gewinnplan, um zu entscheiden, ob sie weitermachen. Es ist eine der ersten Rechnungen, die man lernt, wenn man eine Laufbahn im Finanzwesen anstrebt.

In Zahlen sehen, dass früher zurückkommendes Geld mehr wert ist

Angenommen, die Investitionen A und B kosten beide 100.000 € und zahlen in 5 Jahren beide insgesamt 150.000 € zurück (ein Gesamtertrag von 50.000 € und eine Gesamtrendite von 50 %). A zahlt früher mehr (5.000 €, 20.000 €, 25.000 €, 40.000 €, 60.000 €), B zahlt das Meiste am Ende (0 €, 10.000 €, 30.000 €, 30.000 €, 80.000 €).
Die Summen sind gleich, doch der IRR von A beträgt 11,290 % pro Jahr und der von B 10,259 %, sodass A, das Geld früher zurückgibt, vorne liegt. Zurückgekommenes Geld kann wieder angelegt werden. Der IRR zeigt Ihnen diesen Zeitwert des Geldes in Zahlen.

Formeln und Diagramme

Geld in \(t\) Jahren in seinen heutigen Wert umrechnen (Barwert)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(PV\): Barwert \(=\) ① \(CF_t\): Cashflow im Jahr \(t\) \(\div\) ② Abzinsungsfaktor für ein Jahr \((1+r)\) ③ \(t\): Jahre

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(CF_t\): Cashflow im Jahr \(t\)

② und teilen Sie ihn durch den Abzinsungsfaktor für ein Jahr \((1+r)\) (\(r\) ist der Kalkulationszinssatz)

③ einmal mit sich selbst multipliziert für jedes der \(t\): Jahre

④ und Sie erhalten den \(PV\): Barwert

Einfaches Beispiel

Bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % beträgt der Barwert von 1.210.000 €, die Sie in 2 Jahren erhalten, (in Einheiten von 10.000 €)

\(PV\): Barwert \(=\) Geld in 2 Jahren (1.210.000 €) \(\div\) Abzinsungsfaktor (1,1) Jahre (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

Der Kerngedanke

Kann Geld 10 % pro Jahr bringen, sind „1.000.000 € heute“ und „1.210.000 € in 2 Jahren“ gleich viel wert. Zukünftiges Geld in seinen heutigen Wert umzurechnen, heißt Abzinsung, und der dafür verwendete Jahreszinssatz \(r\) heißt Kalkulationszinssatz. Geld hat einen Zeitwert: Das ist die Idee, auf der der IRR aufbaut.

Die Formel für den Kapitalwert (NPV)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ NPV: Kapitalwert \(=\) ① \(CF_0\): Anfangsinvestition (ein negativer Wert) \(+\) ② Summe der Barwerte der Cashflows von Jahr 1 bis Jahr \(n\)

Die Formel in Worten

① Zur \(CF_0\): Anfangsinvestition (gezahltes Geld, also negativ)

② addieren Sie die Summe der Barwerte des Cashflows jedes Jahres (das Geld jedes Jahres wird mit Formel 1 in den heutigen Wert umgerechnet und alles addiert)

③ und Sie erhalten den NPV: Kapitalwert

Einfaches Beispiel

Bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % beträgt der Kapitalwert einer Investition von 1.000.000 €, die im Jahr 1 550.000 € und im Jahr 2 605.000 € zurückbringt, (in Einheiten von 10.000 €)

NPV: Kapitalwert \(=\) Anfangsinvestition (−1.000.000 €) \(+\) Summe der Barwerte von 550.000 € und 605.000 €

\(55 \div 1{,}1 = 50\)

\(60{,}5 \div 1{,}21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

Der Kerngedanke

Der Kapitalwert ist das, was herauskommt, wenn man alle Zahlungen einer Investition in ihren heutigen Wert umrechnet und addiert. Ist er positiv, ist die Investition besser, als wenn Sie den Kalkulationszinssatz \(r\) verdienen würden. Ist er negativ, ist sie schlechter, und ist er genau 0, ist sie genau gleich gut wie das Verdienen von \(r\). Der Kapitalwert im Beispiel ist genau 0, weil diese Investition genau 10 % pro Jahr bringt.

Die Definition des internen Zinsfußes (IRR)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① Der Kapitalwert, berechnet mit \(\mathrm{IRR}\) als Kalkulationszinssatz \(=\) ② genau \(0\)

Die Formel in Worten

① Der Kapitalwert, berechnet mit \(\mathrm{IRR}\) als Kalkulationszinssatz

② ist genau \(0\) . Der Kalkulationszinssatz, für den das gilt, ist der interne Zinsfuß, der IRR, und er gibt die Rendite der Investition pro Jahr an

Einfaches Beispiel

Bei der Investition von 1.000.000 €, die im Jahr 1 550.000 € und im Jahr 2 605.000 € zurückbringt, ist der Kapitalwert wie im Beispiel der Formel 2 bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % genau 0, also gilt

Kapitalwert (bei einem Kalkulationszinssatz von 10 %) \(=\) genau 0

\(\mathrm{IRR} = 0{,}10\ \ (10\,\%)\)

Der Kerngedanke

Diese Gleichung lässt sich nicht in die Form \(\mathrm{IRR}=\cdots\) umstellen (sie wird zu einer Gleichung \(n\)-ten Grades). Stattdessen verändert ein Computer den Kalkulationszinssatz \(r\) Stück für Stück, berechnet den Kapitalwert und sucht die Stelle, an der er 0 wird (ein numerisches Verfahren). Der Rechner auf dieser Seite löst sie genauso. Eine Warnung: Wechselt das Vorzeichen (Plus und Minus) der Cashflows zweimal oder öfter, zum Beispiel bei „investieren → erhalten → noch einmal viel investieren“, kann es mehr als einen Kalkulationszinssatz geben, der den Kapitalwert zu 0 macht (das Problem mehrfacher interner Zinsfüße). Dann zeigt der Rechner einen Hinweis an. Bei Investitionen mit mehreren IRR entscheidet man üblicherweise nach dem Kapitalwert und nicht nach dem IRR.

Gesamtertrag und Gesamtrendite

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(TR\): Gesamtertrag \(=\) ① \(S\): Summe des erhaltenen Geldes \(-\) ② \(C_0\): Anfangsinvestition

⑤ \(G\): Gesamtrendite \(=\) \(TR\): Gesamtertrag \(\div\) ④ \(C_0\): Anfangsinvestition

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(S\): Summe des erhaltenen Geldes

② ziehen Sie die \(C_0\): Anfangsinvestition ab

③ und Sie erhalten den \(TR\): Gesamtertrag (Gewinn oder Verlust über den gesamten Zeitraum). Teilen Sie diesen wieder durch die

④ \(C_0\): Anfangsinvestition

⑤ und Sie erhalten die \(G\): Gesamtrendite (mit 100 multipliziert ergibt sie die Angabe in %)

Einfaches Beispiel

Investieren Sie 4.000.000 € und erhalten im Jahr 1 1.000.000 €, im Jahr 2 2.000.000 € und im Jahr 3 3.000.000 € (in Einheiten von 10.000 €)

\(TR\): Gesamtertrag \(=\) insgesamt erhalten (6.000.000 €) \(-\) Anfangsinvestition (4.000.000 €)

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0{,}5\ \ (50\,\%)\)

Der Kerngedanke

Die Gesamtrendite ist der Prozentsatz, den Sie über den gesamten Zeitraum im Vergleich zur Investition gewonnen haben, und sie ignoriert die Zeit. Ein Gewinn von 50 % in 3 Jahren und ein Gewinn von 50 % in 10 Jahren sind sehr verschieden. Der IRR berücksichtigt den Zeitwert und rechnet das Ergebnis in eine Rendite pro Jahr um, er ist der Hauptwert dieser Seite. Tatsächlich beträgt die Gesamtrendite in diesem Beispiel 50 %, der IRR aber 19,438 % pro Jahr.

Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Kalkulationszinssatz, der den Kapitalwert (NPV) genau zu 0 macht, also die Rendite der Investition pro Jahr. Er lässt sich nicht durch Umstellen lösen und wird deshalb numerisch gefunden, indem man den Kalkulationszinssatz Stück für Stück verändert. Auch bei gleichem Gesamtertrag ist der IRR umso höher, je früher das Geld zurückkommt.

Symbole und Begriffe

Symbole

IRR	I R R	Der interne Zinsfuß (englisch „internal rate of return“). Der Kalkulationszinssatz, der den Kapitalwert genau zu 0 macht. Er gibt die Rendite der Investition pro Jahr an. (Beispiel - investieren Sie 4.000.000 € und erhalten in 3 Jahren 1.000.000 €, 2.000.000 € und 3.000.000 €, beträgt der IRR 19,438 % pro Jahr.)
NPV	N P V	Der Kapitalwert (englisch „net present value“). Alle Zahlungen einer Investition, in ihren heutigen Wert umgerechnet und addiert. Ist er positiv, ist die Investition besser als der Kalkulationszinssatz.
\(CF_t\)	C F t	Der Cashflow im Jahr \(t\). Das Geld, das Sie in diesem Jahr erhalten (negativ, wenn es gezahltes Geld war).
\(CF_0\)	C F null	Der Cashflow im Jahr 0 (heute). Die Anfangsinvestition ist gezahltes Geld und damit negativ. In diesem Rechner geben Sie sie als positiven Betrag ein, und sie wird als negativ behandelt.
\(r\)	r	Der Kalkulationszinssatz. Der Jahreszinssatz, mit dem zukünftiges Geld in heutigen Wert umgerechnet wird. Der IRR ist das besondere \(r\), bei dem der Kapitalwert 0 ist.
\(t\)	t	Die Jahresnummer. Sie zählt, in welchem Jahr das Geld liegt, wobei der Zeitpunkt der Investition das Jahr 0 ist.
\(n\)	n	Die Anlagedauer in Jahren. Das Jahr des letzten Cashflows.
\(PV\)	P V	Der Barwert (englisch „present value“). Zukünftiges Geld, umgerechnet in seinen heutigen Wert.
\(S\)	S	Die Summe des erhaltenen Geldes. Alle Cashflows von Jahr 1 bis Jahr \(n\) addiert (zusätzliche Investitionen werden als negative Beträge addiert).
\(TR\)	T R	Der Gesamtertrag (englisch „total return“). Die erhaltene Summe minus die Anfangsinvestition, also Gewinn oder Verlust über den gesamten Zeitraum.
\(G\)	G	Die Gesamtrendite (englisch „gross return“). Der Gesamtertrag als Prozentsatz der Anfangsinvestition, ein Prozentsatz für den gesamten Zeitraum, der die Zeit ignoriert. Beachten Sie, dass „brutto“ in der Fondsbranche meist etwas anderes bedeutet, nämlich die Rendite vor Kosten.

Begriffe

Cashflow (Zahlungsstrom)	Geld, das hereinkommt oder hinausgeht. Erhaltenes Geld ist eine positive Zahl, gezahltes Geld eine negative Zahl. Für den IRR sind sowohl der Zeitpunkt als auch die Höhe der Zahlung wichtig.
Kalkulationszinssatz	Der Jahreszinssatz, mit dem zukünftiges Geld in heutigen Wert umgerechnet (abgezinst) wird, auch Abzinsungssatz genannt. Zum Beispiel sind 110.000 € in einem Jahr, mit 10 % pro Jahr abgezinst, heute 100.000 € wert.
Barwert	Der Wert von zukünftigem Geld heute. Weil Geld einen Zeitwert hat, ist der Barwert derselben 1.000.000 € umso kleiner, je später Sie sie erhalten.
Kapitalwert (NPV)	Die Summe der Barwerte aller Cashflows einer Investition. Ein positiver Kapitalwert sagt, dass die Investition mehr bringt als der Kalkulationszinssatz. Er ist der grundlegendste Maßstab für Investitionsentscheidungen (in Deutschland lehrt man die Kapitalwertmethode in Investition und Finanzierung).
Interner Zinsfuß (IRR)	Der Kalkulationszinssatz, der den Kapitalwert genau zu 0 macht (auch interne Verzinsung oder interne Rendite genannt). Er zeigt in einer Zahl, welcher Rendite pro Jahr die Investition entspricht, und wird deshalb häufig zur Bewertung von Unternehmensprojekten und Immobilien benutzt.
Mindestverzinsung (Hurdle Rate)	Die Mindestrendite, die von einer Investition verlangt wird (etwa die Kapitalkosten). In der Praxis wird ein Projekt angenommen, wenn sein IRR über der Mindestverzinsung liegt.
Problem mehrfacher interner Zinsfüße	Eine mathematische Eigenschaft: Wechselt das Vorzeichen der Cashflows zweimal oder öfter, kann es zwei oder mehr Kalkulationszinssätze geben, die den Kapitalwert zu 0 machen. Der IRR allein kann dann nicht entscheiden, deshalb entscheidet man nach dem Kapitalwert.
numerisches Verfahren	Eine Art, eine Gleichung zu lösen, die sich nicht durch Umstellen lösen lässt. Ein Computer probiert Werte Stück für Stück aus und nähert sich der Lösung an. Der IRR wird so gefunden (Intervallhalbierung, Newton-Verfahren und andere).

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass sich ein Prozentsatz als „Prozentwert ÷ Grundwert“ berechnen lässt Zwischen Dezimalzahlen und Prozenten wechseln können, etwa 0,5 und 50 %
Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine Zahlung (Geld, das hinausgeht) als negative Zahl schreiben können Positive und negative Zahlen zusammen addieren können
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass eine Potenz eine wiederholte Multiplikation derselben Zahl ist, etwa \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1\) Ein Gefühl dafür haben, dass das immer wiederholte Multiplizieren mit einer Zahl größer als 1 das Ergebnis immer weiter wachsen lässt
Der Gedanke der Gleichung (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Eine Gleichung als Suche nach dem Wert eines Buchstabens verstehen, für den beide Seiten gleich sind Wissen, dass sich manche Gleichungen nicht durch Umstellen lösen lassen und man sich der Lösung dann durch Ausprobieren von Werten nähern kann (ein numerisches Verfahren)
Zinseszins und Zeitwert des Geldes (Oberstufe, Wirtschaft und Mathematik)	Wissen, dass Geld, das \(r\) pro Jahr bringt, jedes Jahr auf das \((1+r)\)-Fache wächst Wissen, dass sich umgekehrt zukünftiges Geld durch Teilen durch \((1+r)\) in den heutigen Wert umrechnen lässt (Abzinsung und Barwert)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Barwert von Geld in t Jahren

Geld, das Sie in t Jahren erhalten (€)	110000
Kalkulationszinssatz (%)	10
Jahre t	1
Barwert (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für den Kapitalwert (NPV)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-1000000
Cashflow im Jahr 1	550000
Cashflow im Jahr 2	605000
Kalkulationszinssatz (%)	10
Kapitalwert (€)	=NBW(B4/100;B2:B3)+B1

Tabelle für den internen Zinsfuß (IRR)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-4000000
Cashflow im Jahr 1	1000000
Cashflow im Jahr 2	2000000
Cashflow im Jahr 3	3000000
IRR (%)	=IKV(B1:B4)*100

Tabelle für Gesamtertrag und Gesamtrendite

Anfangsinvestition	4000000
Summe des erhaltenen Geldes	6000000
Gesamtertrag (€)	=B2-B1
Gesamtrendite (%)	=(B2-B1)/B1*100

Excel hat eine eigene Funktion für den IRR, IKV. Wie in der dritten Tabelle übergeben Sie die Liste der Cashflows, mit der negativ eingegebenen Anfangsinvestition, an „=IKV(B1:B4)“, und Sie erhalten im Beispiel etwa 19,438 (%).
Die Funktion NBW in der zweiten Tabelle hat eine bekannte Falle. Der Bereich der Excel-Funktion NBW sollte nur das Geld ab Jahr 1 enthalten. Die Anfangsinvestition (Jahr 0) wird außerhalb der Funktion addiert (im Beispiel ergibt sich genau 0).
Die erste Tabelle ergibt genau 100.000, und die vierte ergibt einen Gesamtertrag von 2.000.000 und eine Gesamtrendite von 50 %. Ersetzen Sie einfach Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Barwert von Geld in t Jahren

Geld, das Sie in t Jahren erhalten (€)	110000
Kalkulationszinssatz (%)	10
Jahre t	1
Barwert (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für den Kapitalwert (NPV)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-1000000
Cashflow im Jahr 1	550000
Cashflow im Jahr 2	605000
Kalkulationszinssatz (%)	10
Kapitalwert (€)	=NBW(B4/100;B2:B3)+B1

Tabelle für den internen Zinsfuß (IRR)

Anfangsinvestition (negativ eingeben)	-4000000
Cashflow im Jahr 1	1000000
Cashflow im Jahr 2	2000000
Cashflow im Jahr 3	3000000
IRR (%)	=IKV(B1:B4)*100

Tabelle für Gesamtertrag und Gesamtrendite

Anfangsinvestition	4000000
Summe des erhaltenen Geldes	6000000
Gesamtertrag (€)	=B2-B1
Gesamtrendite (%)	=(B2-B1)/B1*100

Dieselben Formeln und dieselben Funktionen IKV und NBW wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

initial_investment = 4000000                     # Anfangsinvestition (Euro)
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # Cashflow für jedes Jahr ab Jahr 1 (Euro)
# Kapitalwert (NPV): jeden Cashflow in seinen heutigen Wert umrechnen und alles addieren
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))
cfs = [-initial_investment] + cash_flows
# Den Kalkulationszinssatz, bei dem der Kapitalwert 0 ist (den IRR), mit Intervallhalbierung finden
# (eine einfache Version für gewöhnliche Investitionen, deren Vorzeichen nur einmal wechselt)
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2
total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100
print(f"IRR: {irr * 100:.3f} %")
print(f"Gesamtertrag: {total_return} €")
print(f"Gesamtrendite: {gross_return:.3f} %")

Läuft mit der Standardbibliothek allein. Der IRR lässt sich nicht durch Umstellen lösen und wird deshalb mit der Intervallhalbierung gesucht (ein numerisches Verfahren, das den Bereich immer wieder halbiert und sich der Lösung nähert). Ändern Sie oben die Anfangsinvestition und die Liste der Cashflows und führen Sie den Code aus (im Beispiel ergibt sich 19,438 %; Python gibt Dezimalstellen mit Punkt aus).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Geld in \(t\) Jahren in seinen heutigen Wert umrechnen (Barwert)

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

Die Formel für den Kapitalwert (NPV)

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

Die Definition des internen Zinsfußes (IRR)

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

Gesamtertrag und Gesamtrendite

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Investitionsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf oder durch Raten rechnen).
Ich habe 4.000.000 € investiert und im Jahr 1 1.000.000 €, im Jahr 2 2.000.000 € und im Jahr 3 3.000.000 € erhalten.
Berechnen Sie Folgendes:
1. Den IRR (interner Zinsfuß, in %, auf 3 Nachkommastellen) = das r, für das NPV(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3 gleich 0 ist
2. Den Gesamtertrag (in Euro)
3. Die Gesamtrendite (in %, auf 3 Nachkommastellen)
Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

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Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel