Abstand Punkt Gerade berechnen – Rechner mit Lotfußpunkt und Abstand paralleler Geraden

Wählen Sie die Form der Geraden (allgemeine Form oder Normalform) und geben Sie die Koeffizienten und die Koordinaten des Punktes ein. Die Gleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft – Sie können die Zahlen auch direkt in der Gleichung ändern.

Gesucht

Form der Geraden

x-Koeffizient a

y-Koeffizient b

Absolutes Glied c

Absolutes Glied der 2. Geraden c₂

Steigung m

y-Achsenabschnitt k

y-Achsenabschnitt der 2. Geraden k₂

x-Koordinate von P, x₀

y-Koordinate von P, y₀

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leerer Koeffizient vor x oder y zählt als 1 (x heißt 1x), ein leeres absolutes Glied oder eine leere Koordinate als 0.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Koeffizienten der Geraden und die Koordinaten des Punktes ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Zeichnungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Verwandte Funktionen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben Koeffizienten und Koordinaten ein und erhalten sofort den Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(x_0 \,|\, y_0)\) von der Geraden \(ax + by + c = 0\) (die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade, also der kürzeste Abstand)
Das Ergebnis erscheint als exakter Wert mit rationalem Nenner wie \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) und als Dezimalzahl (12 gültige Ziffern)
Neben dem Abstand erhalten Sie die Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\) (des Punktes der Geraden, der \(\mathrm{P}\) am nächsten liegt) und die Gleichung des Lots selbst
Die Gerade können Sie in der allgemeinen Form \(ax + by + c = 0\) oder in der Normalform \(y = mx + k\) eingeben (bei der Normalform zeigt der Rechenweg auch die Umformung in die allgemeine Form)
Auch den Abstand zweier paralleler Geraden \(ax + by + c_1 = 0\) und \(ax + by + c_2 = 0\) berechnen Sie auf derselben Seite
Das Ergebnis sehen Sie auch als Zeichnung im Koordinatensystem. Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Als Koeffizienten und Koordinaten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich. Die Seite behandelt Geraden in der Ebene (2D).

Wofür braucht man diese Berechnung?

Wie Navi und Karten-App erkennen, auf welcher Straße Sie fahren

Die Position, die Ihr Smartphone oder Navi empfängt, weicht oft um einige Meter bis mehrere Dutzend Meter ab. Würde die App diesen Punkt einfach einzeichnen, stünden Sie mitunter in einem Gebäude oder mitten auf einem Feld. Deshalb berechnet die Karten-App den Abstand des gemessenen Punktes zu jeder Straße in der Nähe (auf der Karte eine Folge von Strecken) und setzt den Punkt auf die nächstgelegene Straße. Das nennt man Map-Matching, und im Kern steckt der Abstand Punkt–Gerade.
Bestimmt die App auch den Lotfußpunkt, weiß sie genau, wo auf dieser Straße Sie sind – und kann sagen, wie weit es noch bis zur nächsten Abzweigung ist.

Abstand von einer Bezugslinie in Bauwesen und Vermessung

Baupläne haben ein Achsraster, Straßen- und Bahnplanungen eine Achse (Mittellinie). Die Lage von Stützen, Wänden, Bordsteinen und Pflöcken wird als „Abstand von der Bezugslinie“ angegeben – und dieser Abstand ist genau der Abstand Punkt–Gerade. Auf der Baustelle berechnen Vermesser ihn aus den mit einem Tachymeter gemessenen Koordinaten und vergleichen ihn mit dem Sollwert.
Einen Bordstein im Abstand der halben Fahrbahnbreite von der Straßenachse zu setzen, ist dieselbe Rechnung, entlang der Straße wiederholt.

Wie maschinelles Lernen eine Trennlinie zwischen zwei Gruppen wählt

Das Klassifikationsverfahren Support Vector Machine zieht eine Linie (in höheren Dimensionen eine Ebene) zwischen zwei Gruppen von Daten. Es wählt die Linie, die von den Datenpunkten beider Gruppen möglichst weit entfernt ist, und dieses „wie weit“ ist der Abstand Punkt–Gerade. Die Linie mit dem breitesten Abstand (Margin) macht erfahrungsgemäß weniger Fehler bei Daten, die das Modell noch nicht kennt.
Schon vor dem Siegeszug des Deep Learning war das ein Standardverfahren für Spamfilter und Bildklassifikation, und bei wenigen Trainingsdaten ist es noch heute eine starke Wahl.

Geraden in Bildern und Punktwolken finden (Bildverarbeitung und autonomes Fahren)

Die Spurerkennung beim autonomen Fahren und das Geraderücken eingescannter Dokumente brauchen beide die Gerade, die am besten zu einer Menge erkannter Punkte passt. Wie gut eine Gerade passt, misst man, indem man die quadrierten Abstände aller Punkte zur Geraden addiert; gewählt wird die Gerade mit der kleinsten Summe.
Auch RANSAC, ein Verfahren, das eine Gerade unter Nichtbeachtung von Ausreißern anpasst, verwendet den Abstand Punkt–Gerade: Punkte innerhalb eines festen Abstands zur Geraden gelten als passend.

Linienzüge in Karten und Grafiken vereinfachen

Zoomt man in einer Karten-App heraus, verschwinden kleine Biegungen von Küstenlinien und Straßen automatisch. Dahinter steckt der Douglas-Peucker-Algorithmus. Er sucht den Punkt, der am weitesten von der Geraden zwischen den beiden Enden eines Linienzugs entfernt ist. Ist dieser Abstand kleiner als ein festgelegter Grenzwert, fallen alle Punkte dazwischen weg; sonst wird der Linienzug an diesem Punkt geteilt und die Prüfung wiederholt.
Die Form wirkt trotz viel weniger Daten richtig, weil der Algorithmus mit einem echten Abstand misst, „wie weit daneben“ jeder Punkt liegt.

Formeln und Zeichnungen

Abstand Punkt–Gerade

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(d\) \(=\) \(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand von \(\mathrm{P}\) zur Geraden \(=\) ① Betrag von \(ax + by + c\) im Punkt \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): Länge des Normalenvektors

Die Formel in Worten

① Man teilt den Betrag von \(ax + by + c\) nach Einsetzen des Punktes \((x_0 \,|\, y_0)\)

② durch die Länge \(\sqrt{a^2 + b^2}\) des Normalenvektors \((a,\ b)\)

③ und erhält den Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden

Einfaches Beispiel

Der Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(4 \,|\, 3)\) von der Geraden \(x + 2y - 3 = 0\) ist

Abstand \(d\) \(=\) Betrag im Punkt (\(|4 + 6 - 3| = 7\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

Der Grundgedanke

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade. Eine Gerade hat unendlich viele Punkte, aber nur der Lotfußpunkt liegt \(\mathrm{P}\) am nächsten. Jeder andere Punkt der Geraden ist weiter entfernt, weil im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger ist als jede Kathete. Deshalb ist „Abstand = kürzeste Entfernung = Länge des Lots“ eine eindeutige Festlegung. In der Oberstufe lernen Sie die Formel als Hessesche Normalform kennen: Man teilt die Geradengleichung durch \(\sqrt{a^2 + b^2}\) und setzt den Punkt ein – der Betrag des Ergebnisses ist der Abstand. \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) als \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) zu schreiben heißt, den Nenner rational zu machen. Mit einer Wurzel im Nenner sieht man schlecht, wie groß der Wert ist, und kann ihn schlecht mit anderen Werten addieren; deshalb gibt man Ergebnisse meist mit rationalem Nenner an. Sind \(a\) und \(b\) beide 0, ist \(ax + by + c = 0\) keine Gerade, und die Formel lässt sich nicht anwenden.

Warum die Formel den Abstand liefert (mit dem Normalenvektor)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(d\) \(=\) \(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\) \(\div\) \(\left|\vec{n}\right|\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand von \(\mathrm{P}\) zur Geraden \(=\) ① Betrag des Skalarprodukts von Normalenvektor und \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) \(\div\) ② \(|\vec{n}|\): Länge des Normalenvektors \(\vec{n}\)

Die Formel in Worten

① \(\mathrm{A}\) sei ein beliebiger Punkt der Geraden und \(\vec{n} = (a,\ b)\) der Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht (der Normalenvektor). Man teilt den Betrag des Skalarprodukts von \(\vec{n}\) und \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

② durch die Länge \(|\vec{n}|\) des Normalenvektors \(\vec{n}\)

③ und erhält den Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden

Einfaches Beispiel

Probe mit dem Punkt \(\mathrm{A}(3 \,|\, 0)\) auf der Geraden \(x + 2y - 3 = 0\) und dem Punkt \(\mathrm{P}(4 \,|\, 3)\) (\(\vec{n} = (1 \,;\, 2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1 \,;\, 3)\))

Abstand \(d\) \(=\) Betrag des Skalarprodukts (\(|1 \cdot 1 + 2 \cdot 3| = 7\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{5}\))

\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7\)

\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

Der Grundgedanke

Schreibt man die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) der Geraden \(ax + by + c = 0\) einfach nebeneinander, erhält man den Vektor \(\vec{n} = (a,\ b)\). Er steht senkrecht auf der Geraden und heißt Normalenvektor. Warum? Nehmen Sie zwei Punkte \((x_1 \,|\, y_1)\) und \((x_2 \,|\, y_2)\) der Geraden. Beide erfüllen die Gleichung; zieht man die Gleichungen voneinander ab, ergibt sich \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\). Das Skalarprodukt von \(\vec{n}\) mit einem Vektor entlang der Geraden ist 0, also stehen sie senkrecht aufeinander. Weil \(\mathrm{A}\) auf der Geraden liegt, gilt \(ax_1 + by_1 + c = 0\). Multipliziert man \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) aus, erhält man deshalb genau \(ax_0 + by_0 + c\). Darum steht im Zähler der Abstandsformel „der Punkt, in die Gleichung eingesetzt“. Das Skalarprodukt \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) ist die Länge des Schattens, den \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) senkrecht auf die Richtung von \(\vec{n}\) wirft (die Projektion), mal \(|\vec{n}|\). (Fällt der Schatten in die Gegenrichtung von \(\vec{n}\), ist das Vorzeichen negativ; deshalb nimmt man den Betrag, um eine Länge zu erhalten.) Warum ist dieser Schatten der gesuchte Abstand? \(\mathrm{H}\) sei der Lotfußpunkt. Dann ist \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\). \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) verläuft entlang der Geraden, steht also senkrecht auf \(\vec{n}\) und wirft in diese Richtung keinen Schatten. Der Rest \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\) ist parallel zu \(\vec{n}\); sein Schatten hat also seine volle Länge, und das ist der Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden. Wo \(\mathrm{A}\) auf der Geraden liegt, spielt keine Rolle: Verschiebt man \(\mathrm{A}\), ändert sich nur \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), und das beeinflusst den Schatten nie. Teilt man das Skalarprodukt durch \(|\vec{n}|\), erhält man also den Abstand. Das \(\sqrt{a^2 + b^2}\) im Nenner ist genau dieses \(|\vec{n}|\).

Abstand, wenn die Gerade in Normalform \(y = mx + k\) gegeben ist

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(d\) \(=\) \(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\) \(\div\) \(\sqrt{m^{2} + 1}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand von \(\mathrm{P}\) zur Geraden \(=\) ① Betrag von \(mx - y + k\) im Punkt \(\div\) ② \(\sqrt{m^2 + 1}\): Länge des Normalenvektors \((m,\ -1)\)

Die Formel in Worten

① Man schreibt die Gerade \(y = mx + k\) als \(mx - y + k = 0\) und teilt dann den Betrag von \(mx - y + k\) nach Einsetzen des Punktes

② durch die Länge \(\sqrt{m^2 + 1}\) des Normalenvektors \((m,\ -1)\)

③ und erhält den Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden

Einfaches Beispiel

Der Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(4 \,|\, 3)\) von der Geraden \(y = 2x + 1\) (in allgemeiner Form \(2x - y + 1 = 0\)) ist

Abstand \(d\) \(=\) Betrag im Punkt (\(|8 - 3 + 1| = 6\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\))

\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)

\(d = \dfrac{\left|2 \cdot 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)

Der Grundgedanke

Ist die Gerade als \(y = mx + k\) gegeben, bringen Sie alles auf die linke Seite: \(mx - y + k = 0\). Ein Vergleich mit der allgemeinen Form \(ax + by + c = 0\) ergibt \(a = m\), \(b = -1\) und \(c = k\); der Nenner wird damit \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\). Sie müssen sich also keine neue Formel merken: Schreiben Sie die Gerade in die allgemeine Form um und verwenden Sie dieselbe Formel. Wählen Sie im Rechner „Normalform“, formt er die Gerade ebenfalls zuerst um und zeigt die Umformung im Rechenweg. Eine senkrechte Gerade (parallel zur \(y\)-Achse, etwa \(x = 3\)) hat keine Steigung \(m\) und lässt sich nicht als \(y = mx + k\) schreiben. Verwenden Sie dafür die allgemeine Form mit \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -3\).

Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\mathrm{H}\) \(=\) \(\left(x_0,\ y_0\right)\) \(-\) \(t\,(a,\ b)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\mathrm{H}\): Lotfußpunkt \(=\) ① \((x_0,\ y_0)\): Koordinaten von \(\mathrm{P}\) \(-\) ② Normalenvektor \((a,\ b)\) mal \(t\)

Die Formel in Worten

① Mit dem Faktor \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\) geht man von den Koordinaten \((x_0,\ y_0)\) von \(\mathrm{P}\)

② aus, zieht den Normalenvektor \((a,\ b)\) mal \(t\)

③ ab und erhält die Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\)

Einfaches Beispiel

Der Lotfußpunkt des Lots von \(\mathrm{P}(4 \,|\, 3)\) auf die Gerade \(x + 2y - 3 = 0\) (\(t = \dfrac{7}{5}\)) ist

Lotfußpunkt \(\mathrm{H}\) \(=\) Koordinaten von \(\mathrm{P}\) (\((4 \,|\, 3)\)) \(-\) Normalenvektor mal \(\dfrac{7}{5}\) (\(\left(\dfrac{7}{5} \,;\, \dfrac{14}{5}\right)\))

\(t = \dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)

\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \cdot 1 \,\middle|\, 3 - \dfrac{7}{5} \cdot 2\right) = \left(\dfrac{13}{5} \,\middle|\, \dfrac{1}{5}\right)\)

Der Grundgedanke

Geht man von \(\mathrm{P}\) aus geradlinig parallel zum Normalenvektor \(\vec{n} = (a,\ b)\), trifft man immer auf die Gerade. Die Stelle, an der man sie trifft, ist der Lotfußpunkt \(\mathrm{H}\). Wie die Subtraktion in \(\mathrm{H} = (x_0,\ y_0) - t\,(a,\ b)\) zeigt, gibt der Faktor \(t\) an, um wie viele Exemplare von \(\vec{n}\) man zurückgehen muss, um die Gerade zu erreichen. Ist \(t\) positiv, geht man entgegen \(\vec{n}\); ist \(t\) negativ, in Richtung von \(\vec{n}\). Der Zähler von \(t\) ist derselbe wie der Zähler der Abstandsformel (vor dem Betrag), der Nenner ist \(a^2 + b^2\), also \(|\vec{n}|^2\). In der Abstandsformel teilt man nur einmal durch \(|\vec{n}|\), hier zweimal – und das hat einen Grund: Man muss den Abstand \(d\) zurücklegen, und ein Exemplar von \(\vec{n}\) hat die Länge \(|\vec{n}|\), also ist der Faktor \(d : |\vec{n}|\). Setzt man \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\) ein, teilt man zweimal durch \(|\vec{n}|\). Kennt man den Lotfußpunkt, ist der Spiegelpunkt von \(\mathrm{P}\) an der Geraden einfach \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). In Geometrieaufgaben ist dieser Spiegelpunkt oft der Schlüssel zur Lösung.

Abstand zweier paralleler Geraden

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(d\) \(=\) \(\left|c_1 - c_2\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand der Geraden \(=\) ① \(|c_1 - c_2|\): Betrag der Differenz der absoluten Glieder \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): Länge des Normalenvektors

Die Formel in Worten

① Für zwei Geraden \(ax + by + c_1 = 0\) und \(ax + by + c_2 = 0\) mit denselben Koeffizienten von \(x\) und \(y\) teilt man den Betrag der Differenz der absoluten Glieder \(|c_1 - c_2|\)

② durch die Länge des Normalenvektors \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

③ und erhält den Abstand \(d\) der Geraden

Einfaches Beispiel

Der Abstand der Geraden \(x + 2y - 3 = 0\) und \(x + 2y + 7 = 0\) ist

Abstand der Geraden \(d\) \(=\) Betrag der Differenz der absoluten Glieder (\(|-3 - 7| = 10\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

Der Grundgedanke

Ob zwei Geraden parallel sind, hängt vom Verhältnis ihrer Koeffizienten von \(x\) und \(y\) ab. \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) und \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) sind parallel, wenn \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\) gilt. (Das ist „die Verhältnisse sind gleich“, als Multiplikation geschrieben; es funktioniert auch, wenn ein Koeffizient 0 ist.) \(2x + 4y - 6 = 0\) und \(x + 2y + 7 = 0\) erfüllen diese Bedingung zum Beispiel, sind also parallel. Der Zähler dieser Formel funktioniert aber nur, wenn die Koeffizienten genau übereinstimmen – multiplizieren Sie deshalb zuerst eine Gleichung mit einer Zahl, sodass die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gleich sind. Dieser Rechner nimmt nur ein Paar Koeffizienten von \(x\) und \(y\) und zwei absolute Glieder entgegen, sodass Sie diesen Schritt nicht vergessen können. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, egal welchen Punkt auf einer der beiden Sie wählen. Wählen Sie also einen beliebigen Punkt auf der einen Geraden und berechnen Sie seinen Abstand zur anderen mit der Formel Punkt–Gerade – daraus folgt diese Formel sofort. Ein Punkt auf \(ax + by + c_1 = 0\) erfüllt \(ax_0 + by_0 = -c_1\), also ist \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\). Sind \(c_1\) und \(c_2\) gleich, beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade, und der Abstand ist 0. Zwei Geraden, die nicht parallel sind, schneiden sich immer in einem Punkt; es gibt dann keinen Zwischenraum, und ihr Abstand ist 0. Deshalb gilt diese Formel nur für parallele Geraden.

Den Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(x_0 \,|\, y_0)\) von der Geraden \(ax + by + c = 0\) berechnen Sie so – den Punkt in die Gleichung einsetzen, den Betrag \(|ax_0 + by_0 + c|\) nehmen und durch die Länge \(\sqrt{a^2 + b^2}\) des Normalenvektors \((a,\ b)\) teilen (Hessesche Normalform). Dieser Abstand ist die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade; der Lotfußpunkt ist \(\mathrm{H} = (x_0 - ta,\ y_0 - tb)\) mit \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(d\)	d	Ein häufiger Buchstabe für Abstände, nach lateinisch „distantia“ (englisch „distance“). Auf dieser Seite ist es der Abstand des Punktes von der Geraden (die Länge des Lots).
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Die Koeffizienten der Geraden \(ax + by + c = 0\). \(a\) ist die Zahl vor \(x\), \(b\) die Zahl vor \(y\) und \(c\) der Term ohne Variable (das absolute Glied). Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets.
\(x_0,\ y_0\)	x null, y null	Die Koordinaten des Punktes \(\mathrm{P}\), dessen Abstand Sie suchen. Die kleine 0 unten rechts ist ein Index. Sie zeigt, dass es die Koordinate eines festen Punktes ist und nicht die Variable \(x\).
\(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\)	P, H, A	Namen von Punkten. \(\mathrm{P}\) steht für „Punkt“. \(\mathrm{H}\) ist ein üblicher Name für den Lotfußpunkt (wie der Fußpunkt einer Höhe; in deutschen Lehrbüchern auch \(\mathrm{F}\) oder \(\mathrm{L}\)). \(\mathrm{A}\) ist ein Hilfspunkt auf der Geraden.
\(\left\|\ \right\|\)	Betrag	Das Betragszeichen. Eine positive Zahl bleibt, wie sie ist; eine negative verliert ihr Minus (\(\|-7\| = 7\)). Ein Abstand ist nie negativ, deshalb nimmt die Formel den Betrag des eingesetzten Wertes.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel	Das Wurzelzeichen: die Zahl (0 oder größer), die quadriert die Zahl unter der Wurzel ergibt. \(\sqrt{5}\) ist die Zahl, deren Quadrat 5 ist. Das Zeichen soll aus einem gestreckten r für lateinisch „radix“ (Wurzel) entstanden sein.
\(\vec{n}\)	Vektor n	Der Normalenvektor: ein Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht. Das n kommt von „Normale“ (Senkrechte). Für die Gerade \(ax + by + c = 0\) ist \(\vec{n} = (a,\ b)\).
\(\left\|\vec{n}\right\|\)	Betrag von Vektor n	Der Betrag eines Vektors (die Länge des Pfeils). Für \(\vec{n} = (a,\ b)\) ist \(\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\) – das ist der Nenner der Abstandsformel.
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)	n mal AP (Skalarprodukt)	Das Skalarprodukt zweier Vektoren: entsprechende Komponenten multiplizieren und addieren (für \((a,\ b)\) und \((p,\ q)\) ist es \(ap + bq\)). Es zeigt, wie sehr die beiden Richtungen übereinstimmen. Der Malpunkt steht hier für eine andere Rechenart als die gewöhnliche Multiplikation.
\(t\)	t	Der Faktor, der angibt, um wie viele Exemplare des Normalenvektors man von \(\mathrm{P}\) aus gehen muss, um die Gerade zu erreichen. Für solche veränderlichen Zahlen nimmt man gern \(t\) (vom englischen „time“, Zeit), wie beim Parameter einer Geradengleichung.
\(m,\ k\)	m, k	Steigung und y-Achsenabschnitt in der Normalform \(y = mx + k\). \(m\) ist der übliche Buchstabe für die Steigung. In deutschen Lehrbüchern heißt der y-Achsenabschnitt meist \(b\) (\(y = mx + b\)), diese Seite verwendet aber \(k\), damit er nicht mit dem \(b\) der allgemeinen Form verwechselt wird.
\(c_1,\ c_2\)	c eins, c zwei	Die absoluten Glieder der beiden parallelen Geraden. Die kleinen Zahlen unten rechts sind Indizes, die die erste von der zweiten Geraden unterscheiden.
\(\ell_1,\ \ell_2\)	l eins, l zwei	Namen von Geraden. Man verwendet gern ein Schreibschrift-\(\ell\) nach dem englischen „line“; in deutschen Lehrbüchern heißen Geraden oft auch \(g\) und \(h\).

Begriffe

Abstand Punkt–Gerade	Die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade. Sie ist kürzer als die Entfernung zu jedem anderen Punkt der Geraden, also auch der kürzeste Abstand zwischen Punkt und Gerade. Meist Thema der analytischen Geometrie in der Oberstufe (Klasse 11–12, 16–18 Jahre).
Lot	Eine Gerade oder Strecke, die eine andere Gerade im rechten Winkel schneidet. „Fällt“ man von einem Punkt das Lot auf eine Gerade, ist seine Länge der Abstand des Punktes von der Geraden.
Lotfußpunkt	Der Punkt, in dem das Lot von einem Punkt die Gerade trifft. Er ist die Stelle der Geraden, die dem Punkt am nächsten liegt.
allgemeine Form	Die Geradengleichung in der Form \(ax + by + c = 0\) (auch Koordinatenform; manche Bücher schreiben \(ax + by = c\)). Auch senkrechte Geraden wie \(x = 3\) lassen sich so schreiben, also passt jede Gerade in dieselbe Form.
Normalform	Die Geradengleichung in der Form \(y = mx + k\) (in den meisten Lehrbüchern \(y = mx + b\); in Österreich Hauptform). Steigung und Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse sieht man auf einen Blick, senkrechte Geraden lassen sich so aber nicht schreiben. Nicht zu verwechseln mit der Hesseschen Normalform.
Normalenvektor	Ein Vektor, der senkrecht auf einer Geraden (oder Ebene) steht. Der Normalenvektor der Geraden \(ax + by + c = 0\) ist \((a,\ b)\). Die Abstandsformel misst die Länge in Richtung dieses Normalenvektors.
Skalarprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht: entsprechende Komponenten multiplizieren und addieren (\((a,\ b)\cdot(p,\ q) = ap + bq\)). Es ist auch gleich \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\). Ist es 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Projektion	Der Schatten, den ein Vektor senkrecht auf die Richtung eines anderen Vektors wirft (Orthogonalprojektion). Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge des Schattens von \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) in Richtung des Normalenvektors.
Betrag	Die Größe einer Zahl ohne Vorzeichen, also ihr Abstand von 0 auf der Zahlengeraden (\(\|-7\| = 7\), \(\|7\| = 7\)). Ein Abstand ist nie negativ, deshalb verwendet die Formel den Betrag.
Nenner rational machen	Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (erweitert). Erweitert man \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) mit \(\sqrt{5}\), erhält man \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\). Wird meist in Klasse 9 (14–15 Jahre) behandelt; Endergebnisse schreibt man üblicherweise so.
parallel	Zwei Geraden, die sich nie schneiden, so weit man sie auch verlängert. \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) und \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) sind parallel oder identisch, wenn die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) im gleichen Verhältnis stehen (als Gleichung \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)). Stehen auch die absoluten Glieder in diesem Verhältnis, liegen die Geraden aufeinander.
Spiegelpunkt	Der Punkt, den man erhält, wenn man einen Punkt an einer Geraden spiegelt. Kennt man den Lotfußpunkt \(\mathrm{H}\), ist der Spiegelpunkt von \(\mathrm{P}\) gleich \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\).
Koordinatensystem	Eine Ebene mit \(x\)-Achse und \(y\)-Achse, in der jeder Punkt als Paar \((x \,\|\, y)\) geschrieben wird. Damit lassen sich Geometrieaufgaben in Rechnungen verwandeln.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen das folgende Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg.

Koordinatensystem und Koordinaten von Punkten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass ein Punkt der Ebene als Zahlenpaar \((x \,\|\, y)\) geschrieben wird (der Punkt \((4 \,\|\, 3)\) liegt zum Beispiel 4 rechts und 3 oberhalb des Ursprungs) Wissen, was \(x\)-Achse, \(y\)-Achse und Ursprung sind
Geradengleichungen (Klasse 8, 13–14 Jahre, und Oberstufe)	Wissen, dass \(y = mx + k\) eine Gerade ist, wobei \(m\) die Steigung (wie stark sich \(y\) ändert, wenn man 1 nach rechts geht) und \(k\) die Höhe des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse ist Wissen, dass sich dieselbe Gerade als \(ax + by + c = 0\) (allgemeine Form) schreiben lässt, und \(y = 2x + 1\) zu \(2x - y + 1 = 0\) umformen können Wissen, dass „der Punkt liegt auf der Geraden“ dasselbe bedeutet wie „die Koordinaten des Punktes erfüllen die Gleichung“
Quadratwurzeln und Nenner rational machen (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{5}\) die Zahl ist, deren Quadrat 5 ist, und teilweise die Wurzel ziehen können wie bei \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) mit \(\sqrt{5}\) zu \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) erweitern können
Betrag (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass der Betrag die Größe einer Zahl ohne Vorzeichen ist, etwa \(\|-7\| = 7\) Verstehen, dass der Betrag der Abstand von 0 auf der Zahlengeraden ist und deshalb nie negativ wird
Satz des Pythagoras und Abstand zweier Punkte (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt Wissen, dass der Abstand von \((x_1 \,\|\, y_1)\) und \((x_2 \,\|\, y_2)\) gleich \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) ist Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse die längste Seite ist (deshalb ist das Lot der kürzeste Weg)
Vektoren und Skalarprodukt (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, dass ein Vektor eine Richtung und eine Länge hat und in der Ebene durch Komponenten wie \((a,\ b)\) angegeben wird Wissen, dass der Betrag eines Vektors \(\sqrt{a^2 + b^2}\) ist Das Skalarprodukt \((a,\ b)\cdot(p,\ q) = ap + bq\) berechnen können und wissen, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn es 0 ist (die Abstandsformel können Sie auch ohne dieses Thema nutzen)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Abstand Punkt–Gerade

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Zähler \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Nenner √(a^2+b^2)	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=B6/B7

Tabelle zur Probe mit dem Normalenvektor

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
x-Koordinate von A (auf der Geraden)	3
y-Koordinate von A (auf der Geraden)	0
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Skalarprodukt n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Länge des Normalenvektors \|n\|	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=ABS(B7)/B8

Tabelle für den Abstand bei der Normalform

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt k	1
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Abstand d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/WURZEL(B1^2+1)

Tabelle für den Lotfußpunkt H

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Faktor t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
x-Koordinate von H	=B4-B1*B6
y-Koordinate von H	=B5-B2*B6

Tabelle für den Abstand paralleler Geraden

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
Absolutes Glied der 1. Geraden c1	-3
Absolutes Glied der 2. Geraden c2	7
Abstand d	=ABS(B3-B4)/WURZEL(B1^2+B2^2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten und Koordinaten) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^“ steht für die Potenz, ABS liefert den Betrag und WURZEL die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle ist das Beispiel mit dem Punkt (4 | 3) und der Geraden x + 2y − 3 = 0. Der Zähler ist 7, der Nenner etwa 2,2360679775 und der Abstand etwa 3,1304951685.
Die zweite Tabelle prüft, dass „Skalarprodukt von Normalenvektor und AP geteilt durch die Länge des Normalenvektors“ denselben Abstand ergibt. Das Skalarprodukt ist 7, der Abstand etwa 3,1304951685 – wie in der ersten Tabelle.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel mit dem Punkt (4 | 3) und der Geraden y = 2x + 1. Der Abstand ist etwa 2,683281573.
Die vierte Tabelle ergibt t = 1,4 sowie die Koordinaten 2,6 und 0,2; der Lotfußpunkt ist also (2,6 | 0,2) = (13/5 | 1/5).
Die fünfte Tabelle ist der Abstand von x + 2y − 3 = 0 und x + 2y + 7 = 0. Das Ergebnis ist etwa 4,472135955.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Abstand Punkt–Gerade

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Zähler \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Nenner √(a^2+b^2)	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=B6/B7

Tabelle zur Probe mit dem Normalenvektor

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
x-Koordinate von A (auf der Geraden)	3
y-Koordinate von A (auf der Geraden)	0
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Skalarprodukt n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Länge des Normalenvektors \|n\|	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=ABS(B7)/B8

Tabelle für den Abstand bei der Normalform

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt k	1
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Abstand d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/WURZEL(B1^2+1)

Tabelle für den Lotfußpunkt H

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
Absolutes Glied c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Faktor t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
x-Koordinate von H	=B4-B1*B6
y-Koordinate von H	=B5-B2*B6

Tabelle für den Abstand paralleler Geraden

x-Koeffizient a	1
y-Koeffizient b	2
Absolutes Glied der 1. Geraden c1	-3
Absolutes Glied der 2. Geraden c2	7
Abstand d	=ABS(B3-B4)/WURZEL(B1^2+B2^2)

Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Koeffizienten und Koordinaten durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Gerade ax + by + c = 0 (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)

# Koordinaten des Punktes P
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)

# Punkt in die Gleichung eingesetzt (mit Vorzeichen) und das Quadrat der Länge des Normalenvektors
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b

distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"Zähler |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"Nenner √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"Abstand d = {distance}")

# Lotfußpunkt H (um das t-Fache des Normalenvektors zurückgehen)
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"Faktor t = {t}")
print(f"Lotfußpunkt H = ({foot_x}, {foot_y})")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek berechnen Sie Zähler, Nenner und Lotfußpunkt als exakte Brüche ohne Rundungsfehler. Das Beispiel bestimmt den Abstand des Punktes (4 | 3) von der Geraden x + 2y − 3 = 0. Beim Ausführen erscheinen der Zähler 7, der Nenner √5, der Abstand 3,1304951684997055, der Faktor t = 7/5 und der Lotfußpunkt (13/5, 1/5) – Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma und trennt Koordinaten mit Komma. Ändern Sie Koeffizienten und Koordinaten und führen Sie das Programm erneut aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Abstand Punkt–Gerade

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    <mi>d</mi>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)

Warum die Formel den Abstand liefert (mit dem Normalenvektor)

d = |n·AP| ÷ |n|

d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}

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    <mi>d</mi>
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        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>&#x2192;</mo></mover>
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      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)

d = Abs[n . ap]/Norm[n]

d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);

d = abs(dot(n, ap))/norm(n);

d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |

Abstand, wenn die Gerade in Normalform \(y = mx + k\) gegeben ist

d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)

d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}

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    <mi>d</mi>
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        <mi>k</mi>
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      </mrow>
      <msqrt>
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          <msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)

d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]

d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)

Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\)

H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b)　t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)

\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}

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    <mi mathvariant="normal">H</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
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    <mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>t</mi>
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      </mrow>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)

t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}

t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];

t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];

H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)

Abstand zweier paralleler Geraden

d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    <mi>d</mi>
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          <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (analytische Geometrie). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für den Punkt P(4 | 3) und die Gerade x + 2y − 3 = 0:
1. den Abstand des Punktes von der Geraden (als exakten Wert mit rationalem Nenner und als Dezimalzahl)
2. die Koordinaten des Lotfußpunkts des Lots vom Punkt auf die Gerade (als gekürzte Brüche)
3. die Gleichung dieses Lots (der Geraden durch den Punkt, die senkrecht auf der gegebenen Geraden steht)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und mit sympy. Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel