Abstand Punkt–Gerade berechnen (Lotfußpunkt und Abstand paralleler Geraden)

Wählen Sie, wie die Gerade geschrieben ist (allgemeine Form oder Hauptform), und geben Sie dann die Koeffizienten und die Koordinaten des Punktes ein. Die Gleichung unten ist mit den Eingabefeldern verbunden, Sie können die Zahlen in der Gleichung also auch direkt ändern.

Gesucht

Form der Geraden

Koeffizient a von x

Koeffizient b von y

Konstante c

Konstante c₂ (2. Gerade)

Steigung m

y-Achsenabschnitt k

Achsenabschnitt k₂ (2. Gerade)

x-Koordinate von P: x₀

y-Koordinate von P: y₀

Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leerer Koeffizient von x oder y zählt als 1 (x bedeutet dasselbe wie 1x), eine leere Konstante oder Koordinate als 0.

Ergebnis und Figur

Geben Sie im Feld links die Koeffizienten der Geraden und die Koordinaten des Punktes ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Koeffizienten und Koordinaten ein, und Sie erhalten sofort den Abstand eines Punktes \(\mathrm{P}(x_0|y_0)\) von einer Geraden \(ax + by + c = 0\) (die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade, das ist der kürzeste Abstand)
Die Antwort wird sowohl als exakter Wert mit rational gemachtem Nenner, etwa \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\), als auch als Dezimalzahl (12 gültige Stellen) angezeigt
Außer dem Abstand erhalten Sie die Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\) (der Punkt der Geraden, der \(\mathrm{P}\) am nächsten liegt) und die Gleichung des Lots selbst
Sie können die Gerade in der allgemeinen Form \(ax + by + c = 0\) oder in der Hauptform \(y = mx + k\) eingeben (bei der Hauptform zeigt der Rechenweg auch, wie sie in die allgemeine Form umgeschrieben wird)
Der Abstand zweier paralleler Geraden \(ax + by + c_1 = 0\) und \(ax + by + c_2 = 0\) lässt sich auf demselben Bildschirm berechnen
Das Ergebnis lässt sich in einer Abbildung des Koordinatensystems prüfen. Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Koeffizienten und Koordinaten können Dezimalzahlen (mit Komma), negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein. Diese Seite behandelt Geraden in der Ebene (2D).

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Woher Navigations- und Karten-Apps wissen, auf welcher Straße Sie gerade fahren

Die Standortdaten, die Ihr Smartphone oder Navigationsgerät empfängt, können einige Meter bis einige Dutzend Meter danebenliegen. Würde die App diesen Punkt einfach einzeichnen, könnten Sie scheinbar in einem Gebäude oder mitten auf einem Feld stehen. Deshalb berechnen Karten-Apps den Abstand vom gemessenen Punkt zu jeder Straße in der Nähe (auf der Karte eine Menge von Strecken) und schieben den Punkt auf die nächstgelegene Straße. Das nennt man Map-Matching, und im Kern steht der Abstand eines Punktes von einer Geraden.
Bestimmt die App zusätzlich den Lotfußpunkt, weiß sie genau, an welcher Stelle der Straße Sie sind, und kann Ihnen sagen, wie weit es bis zur nächsten Abbiegung ist.

Abstände von einer Bezugslinie im Bauwesen und in der Vermessung messen

Bebauungs- und Bauzeichnungen enthalten Rasterlinien, und Straßen- und Bahntrassen haben eine Achse als Bezugslinie. Die Lage von Stützen, Wänden, Bordsteinen und Pflöcken wird als „Abstand von der Bezugslinie“ angegeben. Dieser Versatz ist genau der Abstand eines Punktes von einer Geraden. Vor Ort berechnen ihn Vermesserinnen und Vermesser aus den mit einem Tachymeter gemessenen Koordinaten und prüfen ihn gegen den Sollwert.
Einen Bordstein in der halben Straßenbreite von der Achse zu setzen, ist dieselbe Rechnung, entlang der Straße wiederholt.

Wie maschinelles Lernen eine Linie wählt, die zwei Gruppen trennt

Ein Klassifikationsverfahren namens Support Vector Machine zieht eine Linie (in höheren Dimensionen eine Ebene) zwischen zwei Datengruppen. Es wählt die Linie, die von den Datenpunkten beider Gruppen möglichst weit entfernt ist, und dieses „wie weit“ ist der Abstand eines Punktes von einer Geraden. Man geht davon aus, dass die Wahl der Linie mit dem größten Abstand (dem Rand, englisch margin) bei noch unbekannten Daten weniger Fehler macht.
Es ist seit der Zeit vor der Verbreitung von Deep Learning ein Standardverfahren für Spamfilter und Bildklassifikation und bleibt eine starke Wahl, wenn es wenig Trainingsdaten gibt.

Geraden in Bildern und Punktwolken finden (Bildverarbeitung und autonomes Fahren)

Die Spurerkennung bei selbstfahrenden Autos und das Geraderichten eines gescannten Dokuments brauchen beide die Gerade, die am besten zu einer Menge erkannter Punkte passt. Wie gut eine Gerade passt, misst man, indem man die quadrierten Abstände jedes Punktes zur Geraden addiert, und man wählt die Gerade mit der kleinsten Summe.
RANSAC, ein Verfahren, das eine Gerade unter Ausschluss von Ausreißern anpasst, verwendet ebenfalls den Abstand Punkt–Gerade: Punkte innerhalb eines festgelegten Abstands zur Geraden gelten als passend.

Linienzüge in Karten und Grafiken vereinfachen

Verkleinert man in einer Karten-App den Maßstab, werden kleine Krümmungen von Küstenlinien und Straßen automatisch weggelassen. Dafür wird der Ramer-Douglas-Peucker-Algorithmus verwendet. Er sucht den Punkt, der am weitesten von der geraden Linie zwischen den beiden Enden eines Linienzugs entfernt ist. Ist dieser Abstand kleiner als eine festgelegte Grenze, werden alle Punkte dazwischen weggelassen, andernfalls wird der Linienzug an diesem Punkt geteilt und die Prüfung wiederholt.
Die Form sieht mit viel weniger Daten weiterhin richtig aus, weil der Algorithmus mit einem echten Abstand misst, „wie weit“ jeder Punkt von der Geraden entfernt ist.

Formeln und Abbildungen

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand von \(\mathrm{P}\) zur Geraden \(=\) ① Betrag von \(ax + by + c\) am Punkt \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): Länge des Normalenvektors

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Betrag von \(ax + by + c\), wenn der Punkt \((x_0|y_0)\) eingesetzt wird

② und teilen Sie ihn durch die Länge \(\sqrt{a^2 + b^2}\) des Normalenvektors \(\binom{a}{b}\)

③ und Sie erhalten den Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden

Einfaches Beispiel

Der Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(4|3)\) von der Geraden \(x + 2y - 3 = 0\) ist

Abstand \(d\) \(=\) Betrag am Punkt (\(|4 + 6 - 3| = 7\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

Der Kerngedanke

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge des Lots, das man vom Punkt auf die Gerade fällt. Eine Gerade hat unendlich viele Punkte, aber nur der Lotfußpunkt liegt \(\mathrm{P}\) am nächsten. Jeder andere Punkt der Geraden ist weiter entfernt, weil in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger ist als jede Kathete. Deshalb ist „Abstand = kürzester Abstand = Länge des Lots“ eine klare Definition. Die Umformung von \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) zu \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) heißt Nenner rational machen. Mit einer Wurzel im Nenner kann man die Größe des Wertes schlecht einschätzen und ihn schlecht mit anderen Werten addieren, deshalb schreibt man Antworten meist mit rational gemachtem Nenner. Sind \(a\) und \(b\) beide 0, ist \(ax + by + c = 0\) keine Gerade, und die Formel lässt sich nicht anwenden.

Warum diese Formel den Abstand liefert (mit dem Normalenvektor)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\) \(\div\) \(\left|\vec{n}\right|\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand von \(\mathrm{P}\) zur Geraden \(=\) ① Betrag des Skalarprodukts aus dem Normalenvektor und \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) \(\div\) ② \(|\vec{n}|\): Länge des Normalenvektors \(\vec{n}\)

Die Formel in Worten

① Sei \(\mathrm{A}\) ein beliebiger Punkt der Geraden und \(\vec{n} = \binom{a}{b}\) der Vektor senkrecht zur Geraden (der Normalenvektor). Nehmen Sie den Betrag des Skalarprodukts von \(\vec{n}\) und \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

② und teilen Sie ihn durch die Länge \(|\vec{n}|\) des Normalenvektors \(\vec{n}\)

③ und Sie erhalten den Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden

Einfaches Beispiel

Probieren Sie es mit dem Punkt \(\mathrm{A}(3|0)\) auf der Geraden \(x + 2y - 3 = 0\) und dem Punkt \(\mathrm{P}(4|3)\) (\(\vec{n} = \binom{1}{2}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \binom{1}{3}\))

Abstand \(d\) \(=\) Betrag des Skalarprodukts (\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{5}\))

\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)

\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

Der Kerngedanke

Nehmen Sie die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) der Geraden \(ax + by + c = 0\) so, wie sie sind, dann erhalten Sie den Vektor \(\vec{n} = \binom{a}{b}\). Dieser Vektor steht senkrecht auf der Geraden und heißt Normalenvektor. Um zu sehen, warum, nehmen Sie zwei Punkte \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) der Geraden. Beide erfüllen die Gleichung, also ergibt die Subtraktion \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\). Das Skalarprodukt von \(\vec{n}\) und einem Vektor entlang der Geraden ist 0, also stehen sie senkrecht aufeinander. Da \(\mathrm{A}\) auf der Geraden liegt, gilt \(ax_1 + by_1 + c = 0\). Ausmultipliziert ergibt \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) deshalb genau \(ax_0 + by_0 + c\). Darum ist der Zähler der Abstandsformel „die in die Gleichung eingesetzten Koordinaten des Punktes“. Das Skalarprodukt \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) ist gleich der Länge des Schattens, den \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) senkrecht auf die Richtung von \(\vec{n}\) wirft, mal \(|\vec{n}|\). (Fällt der Schatten in die Gegenrichtung von \(\vec{n}\), ist das Vorzeichen negativ, deshalb bilden wir den Betrag, um eine Länge zu erhalten.) Warum ist dieser Schatten der gesuchte Abstand? Sei \(\mathrm{H}\) der Lotfußpunkt. Dann ist \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\). \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) verläuft entlang der Geraden, steht also senkrecht auf \(\vec{n}\) und wirft in dieser Richtung keinen Schatten. Der übrige Teil \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\) ist parallel zu \(\vec{n}\), sein Schatten ist also seine ganze Länge, und das ist der Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden. Das Ergebnis hängt nicht davon ab, wo Sie \(\mathrm{A}\) auf der Geraden wählen: Verschiebt man \(\mathrm{A}\), ändert sich nur \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), und das beeinflusst den Schatten nie. Teilt man das Skalarprodukt also durch \(|\vec{n}|\), erhält man den Abstand zurück. Das \(\sqrt{a^2 + b^2}\) im Nenner ist dieses \(|\vec{n}|\).

Abstand, wenn die Gerade in der Hauptform \(y = mx + k\) gegeben ist

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\) \(\div\) \(\sqrt{m^{2} + 1}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand von \(\mathrm{P}\) zur Geraden \(=\) ① Betrag von \(mx - y + k\) am Punkt \(\div\) ② \(\sqrt{m^2 + 1}\): Länge des Normalenvektors \(\binom{m}{-1}\)

Die Formel in Worten

① Schreiben Sie die Gerade \(y = mx + k\) als \(mx - y + k = 0\) um. Nehmen Sie dann den Betrag von \(mx - y + k\), wenn der Punkt eingesetzt wird

② und teilen Sie ihn durch die Länge \(\sqrt{m^2 + 1}\) des Normalenvektors \(\binom{m}{-1}\)

③ und Sie erhalten den Abstand \(d\) von \(\mathrm{P}\) zur Geraden

Einfaches Beispiel

Der Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(4|3)\) von der Geraden \(y = 2x + 1\) (in der allgemeinen Form \(2x - y + 1 = 0\)) ist

Abstand \(d\) \(=\) Betrag am Punkt (\(|8 - 3 + 1| = 6\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\))

\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)

\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)

Der Kerngedanke

Ist die Gerade als \(y = mx + k\) gegeben, bringen Sie alles auf die linke Seite und erhalten \(mx - y + k = 0\). Der Vergleich mit der allgemeinen Form \(ax + by + c = 0\) ergibt \(a = m\), \(b = -1\) und \(c = k\), sodass der Nenner \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\) wird. Es gibt also keine neue Formel zu merken. Schreiben Sie die Gerade einfach in der allgemeinen Form und verwenden Sie dieselbe Formel. Wählen Sie in diesem Rechner die „Hauptform“, schreibt er die Gerade zuerst ebenfalls in die allgemeine Form um und zeigt im Rechenweg, wie. Eine vertikale Gerade (parallel zur \(y\)-Achse, etwa \(x = 3\)) hat keine definierte Steigung \(m\), lässt sich also nicht als \(y = mx + k\) schreiben. Verwenden Sie für eine solche Gerade die allgemeine Form und geben Sie \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -3\) ein.

Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\mathrm{H}\) \(=\) \(\left(x_0\,|\,y_0\right)\) \(-\) \(t \cdot \binom{a}{b}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\mathrm{H}\): Lotfußpunkt \(=\) ① \((x_0|y_0)\): Koordinaten von \(\mathrm{P}\) \(-\) ② Normalenvektor \(\binom{a}{b}\) mal \(t\)

Die Formel in Worten

① Legen Sie den Skalierungsfaktor \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\) fest. Nehmen Sie die Koordinaten \((x_0|y_0)\) von \(\mathrm{P}\)

② und ziehen Sie den Normalenvektor \(\binom{a}{b}\) mal \(t\)

③ ab. Sie erhalten die Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\)

Einfaches Beispiel

Der Lotfußpunkt des Lots von \(\mathrm{P}(4|3)\) auf die Gerade \(x + 2y - 3 = 0\) (\(t = \dfrac{7}{5}\)) ist

Lotfußpunkt \(\mathrm{H}\) \(=\) Koordinaten von \(\mathrm{P}\) (\((4|3)\)) \(-\) Normalenvektor mal \(\dfrac{7}{5}\) (\(\binom{\dfrac{7}{5}}{\dfrac{14}{5}}\))

\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)

\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1\,|\,3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5}\,|\,\dfrac{1}{5}\right)\)

Der Kerngedanke

Bewegt man sich von \(\mathrm{P}\) aus geradlinig parallel zum Normalenvektor \(\vec{n} = \binom{a}{b}\), trifft man immer auf die Gerade. Die Stelle, an der man sie trifft, ist der Lotfußpunkt \(\mathrm{H}\). Wie die Subtraktion in \(\mathrm{H} = (x_0|y_0) - t \cdot \binom{a}{b}\) zeigt, gibt der Skalierungsfaktor \(t\) an, wie viele Exemplare von \(\vec{n}\) man zurückgehen muss, um die Gerade zu erreichen. Ist \(t\) positiv, geht man entgegen \(\vec{n}\), ist \(t\) negativ, in Richtung von \(\vec{n}\). Der Zähler von \(t\) ist derselbe wie der Zähler der Abstandsformel (vor dem Bilden des Betrags), und der Nenner ist \(a^2 + b^2\), also \(|\vec{n}|^2\). Die Abstandsformel teilt nur einmal durch \(|\vec{n}|\), hier teilen wir zweimal, und dafür gibt es einen Grund. Man muss um den Abstand \(d\) gehen, und ein Exemplar von \(\vec{n}\) hat die Länge \(|\vec{n}|\), also ist der Skalierungsfaktor \(d \div |\vec{n}|\). Setzt man \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\) ein, teilt man zweimal durch \(|\vec{n}|\). Kennt man den Lotfußpunkt, ist der Spiegelpunkt von \(\mathrm{P}\) an der Geraden einfach \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). In Geometrieaufgaben ist dieser Spiegelpunkt oft der Schlüssel zur Lösung.

Abstand zweier paralleler Geraden

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\left|c_1 - c_2\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(d\): Abstand der Geraden \(=\) ① \(|c_1 - c_2|\): Betrag der Differenz der Konstanten \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): Länge des Normalenvektors

Die Formel in Worten

① Für zwei Geraden \(ax + by + c_1 = 0\) und \(ax + by + c_2 = 0\) mit denselben Koeffizienten von \(x\) und \(y\) nehmen Sie den Betrag der Differenz der Konstanten \(|c_1 - c_2|\)

② und teilen Sie ihn durch die Länge des Normalenvektors \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

③ und Sie erhalten den Abstand \(d\) der Geraden

Einfaches Beispiel

Der Abstand der Geraden \(x + 2y - 3 = 0\) und \(x + 2y + 7 = 0\) ist

Abstand der Geraden \(d\) \(=\) Betrag der Differenz der Konstanten (\(|-3 - 7| = 10\)) \(\div\) Länge des Normalenvektors (\(\sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

Der Kerngedanke

Ob zwei Geraden parallel sind, hängt vom Verhältnis ihrer Koeffizienten von \(x\) und \(y\) ab. Für \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) und \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) sind sie parallel, wenn \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\) gilt. (Das ist nur „die Verhältnisse sind gleich“, als Multiplikation geschrieben, und es funktioniert auch, wenn ein Koeffizient 0 ist.) Zum Beispiel erfüllen \(2x + 4y - 6 = 0\) und \(x + 2y + 7 = 0\) diese Bedingung, sind also parallel. Der Zähler dieser Formel funktioniert aber nur, wenn die Koeffizienten genau übereinstimmen. Multiplizieren Sie deshalb zuerst eine Gleichung mit einer Zahl, damit die Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gleich werden. Dieser Rechner nimmt nur ein Paar von Koeffizienten von \(x\) und \(y\) und zwei Konstanten, sodass Sie diesen Schritt nicht vergessen können. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, an welcher Stelle Sie auch einen Punkt auf einer der Geraden wählen. Wählen Sie also einen beliebigen Punkt der einen Geraden und bestimmen Sie seinen Abstand zur anderen Geraden mit der Formel Punkt–Gerade, dann folgt diese Formel sofort. Ein Punkt auf \(ax + by + c_1 = 0\) erfüllt \(ax_0 + by_0 = -c_1\), also ist \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\). Sind \(c_1\) und \(c_2\) gleich, beschreiben die beiden Gleichungen dieselbe Gerade, und der Abstand ist 0. Zwei Geraden, die nicht parallel sind, schneiden sich immer in einem Punkt, es gibt also keinen Zwischenraum, und ihr Abstand ist 0. Deshalb gilt diese Formel nur für parallele Geraden.

Den Abstand eines Punktes \(\mathrm{P}(x_0|y_0)\) von einer Geraden \(ax + by + c = 0\) finden Sie, indem Sie den Punkt in die Gleichung einsetzen, den Betrag \(|ax_0 + by_0 + c|\) bilden und durch die Länge \(\sqrt{a^2 + b^2}\) des Normalenvektors \(\binom{a}{b}\) teilen. Dieser Abstand ist die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade, und der Lotfußpunkt ist \(\mathrm{H}(x_0 - ta\,|\,y_0 - tb)\) mit \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(d\)	de	Ein Buchstabe, der oft für den Abstand steht, vom Anfangsbuchstaben von „Distanz“. Auf dieser Seite ist es der Abstand vom Punkt zur Geraden (die Länge des Lots).
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Die Koeffizienten der Geraden \(ax + by + c = 0\). \(a\) ist die Zahl vor \(x\), \(b\) die Zahl vor \(y\) und \(c\) das Glied ohne Variable (die Konstante). Für feste Zahlen verwendet man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets.
\(x_0,\ y_0\)	x null, y null	Die Koordinaten des Punktes \(\mathrm{P}\), von dem aus Sie messen. Die kleine 0 unten rechts ist ein Index. Sie zeigt, dass es die Koordinate eines festen Punktes ist und nicht die Variable \(x\).
\(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\)	P, H, A	Namen von Punkten. \(\mathrm{P}\) steht für „Punkt“. \(\mathrm{H}\) ist eine übliche Bezeichnung für den Lotfußpunkt (denken Sie an den Fußpunkt einer Höhe). \(\mathrm{A}\) ist ein Hilfspunkt auf der Geraden.
\(\left\|\ \right\|\)	Betrag	Das Zeichen für den Betrag. Eine positive Zahl bleibt, wie sie ist, eine negative verliert ihr Minuszeichen (\(\|-7\| = 7\)). Ein Abstand ist nie negativ, deshalb bildet die Formel den Betrag des eingesetzten Wertes.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel	Das Zeichen für die Quadratwurzel: die Zahl (0 oder größer), die quadriert die Zahl unter dem Zeichen ergibt. \(\sqrt{5}\) ist die Zahl, deren Quadrat 5 ist. Das Zeichen soll von einem gestreckten Buchstaben r für „radix“ (Wurzel) stammen.
\(\vec{n}\)	Vektor n	Der Normalenvektor: ein Vektor, der senkrecht zur Geraden steht. Der Buchstabe n kommt von „normal“ (senkrecht). Für die Gerade \(ax + by + c = 0\) ist \(\vec{n} = \binom{a}{b}\).
\(\left\|\vec{n}\right\|\)	Betrag des Vektors n	Der Betrag eines Vektors (die Länge des Pfeils). Für \(\vec{n} = \binom{a}{b}\) ist \(\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Das ist der Nenner der Abstandsformel.
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)	n Skalarprodukt AP	Das Skalarprodukt zweier Vektoren: die zusammengehörigen Komponenten multiplizieren und addieren (für \(\binom{a}{b}\) und \(\binom{p}{q}\) ist es \(ap + bq\)). Es zeigt, wie stark die beiden Richtungen übereinstimmen. Der Punkt ist eine andere Rechenoperation als die gewöhnliche Multiplikation.
\(t\)	te	Der Skalierungsfaktor, der angibt, wie viele Exemplare des Normalenvektors man von \(\mathrm{P}\) aus gehen muss, um die Gerade zu erreichen. Der Buchstabe \(t\) wird üblicherweise für eine Zahl verwendet, die sich so verändern kann.
\(m,\ k\)	m, k	Die Steigung und der y-Achsenabschnitt in der Hauptform \(y = mx + k\). \(m\) ist der übliche Buchstabe für die Steigung. In deutschen Schulbüchern heißt der y-Achsenabschnitt meist \(n\) (\(y = mx + n\)). Diese Seite verwendet \(k\), damit er nicht mit dem \(b\) der allgemeinen Form verwechselt wird.
\(c_1,\ c_2\)	c eins, c zwei	Die Konstanten der beiden parallelen Geraden. Die kleinen Zahlen unten rechts sind Indizes, die die erste von der zweiten Geraden unterscheiden.
\(\ell_1,\ \ell_2\)	el eins, el zwei	Namen von Geraden. Für Geraden verwendet man üblicherweise den Schreibschrift-Buchstaben \(\ell\), vom Anfangsbuchstaben von „line“.

Begriffe

Abstand eines Punktes von einer Geraden	Die Länge des Lots vom Punkt auf die Gerade. Sie ist kürzer als der Abstand zu jedem anderen Punkt der Geraden, also ist sie auch der kürzeste Abstand zwischen Punkt und Gerade. Sie wird in der Oberstufe in der analytischen Geometrie behandelt.
Lot	Eine Gerade oder Strecke, die eine andere Gerade rechtwinklig trifft. Fällt man ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade, ist seine Länge der Abstand des Punktes von der Geraden.
Lotfußpunkt	Der Punkt, in dem das Lot von einem Punkt die ursprüngliche Gerade trifft. Es ist die Stelle der Geraden, die diesem Punkt am nächsten liegt.
allgemeine Form	Die Gleichung einer Geraden in der Form \(ax + by + c = 0\) (auch Koordinatenform genannt). Auch vertikale Geraden (wie \(x = 3\)) lassen sich so schreiben, sodass jede Gerade in dieselbe Form passt. (Manche Lehrbücher schreiben \(ax + by = c\). Es ist dieselbe Gerade mit der Konstanten auf der rechten Seite.)
Hauptform	Die Gleichung einer Geraden in der Form \(y = mx + k\) (in den meisten Lehrbüchern \(y = mx + n\), auch Normalform genannt). Steigung und Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse sind auf einen Blick zu erkennen, vertikale Geraden lassen sich so aber nicht schreiben.
Normalenvektor	Ein Vektor, der senkrecht zu einer Geraden (oder einer Ebene) steht. Der Normalenvektor der Geraden \(ax + by + c = 0\) ist \(\binom{a}{b}\). Die Formel für den Abstand Punkt–Gerade bestimmt die Länge, gemessen in Richtung dieses Normalenvektors.
Skalarprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht: die zusammengehörigen Komponenten multiplizieren und addieren (\(\binom{a}{b}\cdot\binom{p}{q} = ap + bq\)). Es ist auch gleich \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\). Ist es 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
orthogonale Projektion	Der Schatten eines Vektors, der senkrecht auf die Richtung eines anderen Vektors fällt. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge des Schattens von \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) in Richtung des Normalenvektors.
Betrag	Die Größe einer Zahl ohne ihr Vorzeichen. Es ist der Abstand von 0 auf der Zahlengeraden (\(\|-7\| = 7\), \(\|7\| = 7\)). Ein Abstand ist nie negativ, deshalb verwendet die Formel den Betrag.
Nenner rational machen	Eine Wurzel im Nenner beseitigen, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Multipliziert man zum Beispiel beide Teile von \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) mit \(\sqrt{5}\), erhält man \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\). Das wird in der Mittelstufe behandelt, und Endergebnisse schreibt man meist so.
parallel	Zwei Geraden, die sich nie treffen, so weit man sie auch verlängert. Für \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) und \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) sind die Geraden parallel oder gleich, wenn die Verhältnisse der Koeffizienten von \(x\) und \(y\) gleich sind (als Gleichung \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)). Folgen auch die Konstanten demselben Verhältnis, liegen die beiden Geraden aufeinander.
Spiegelpunkt	Der Punkt, den man erhält, wenn man einen Punkt an einer Geraden spiegelt, wie ein Spiegelbild. Kennt man den Lotfußpunkt \(\mathrm{H}\), ist der Spiegelpunkt von \(\mathrm{P}\) gleich \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\).
Koordinatensystem	Eine Ebene mit einer \(x\)-Achse und einer \(y\)-Achse, in der jeder Punkt als Paar \((x\|y)\) geschrieben wird. Damit lassen sich Geometrieaufgaben in Rechnungen umwandeln.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Das Koordinatensystem und die Koordinaten von Punkten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass ein Punkt in der Ebene als Zahlenpaar \((x\|y)\) geschrieben wird (der Punkt \((4\|3)\) liegt zum Beispiel 4 rechts und 3 oberhalb des Ursprungs) Wissen, was die \(x\)-Achse, die \(y\)-Achse und der Ursprung sind
Geradengleichungen (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass \(y = mx + k\) eine Gerade ist, wobei \(m\) die Steigung ist (wie stark sich \(y\) ändert, wenn man 1 nach rechts geht) und \(k\) die Höhe, in der sie die \(y\)-Achse schneidet Wissen, dass sich dieselbe Gerade auch als \(ax + by + c = 0\) (allgemeine Form) schreiben lässt, und \(y = 2x + 1\) als \(2x - y + 1 = 0\) umschreiben können Wissen, dass „der Punkt liegt auf der Geraden“ dasselbe bedeutet wie „die Koordinaten des Punktes erfüllen die Gleichung“
Quadratwurzeln und Nenner rational machen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{5}\) die Zahl ist, deren Quadrat 5 ist, und quadratische Faktoren aus einer Wurzel herausziehen können, wie in \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) zu \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) umformen können, indem man Zähler und Nenner mit \(\sqrt{5}\) multipliziert (den Nenner rational machen)
Betrag (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass der Betrag die Größe einer Zahl ohne ihr Vorzeichen angibt, wie in \(\|-7\| = 7\) Verstehen, dass der Betrag der Abstand von 0 auf der Zahlengeraden ist und deshalb nie negativ wird
Der Satz des Pythagoras und die Abstandsformel (Klasse 8–10, 13–16 Jahre)	Wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt Wissen, dass sich der Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras berechnen lässt (Abstandsformel) Wissen, dass die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist (darum ist das Lot der kürzeste Abstand)
Vektoren und das Skalarprodukt (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, dass ein Vektor eine Richtung und einen Betrag hat und sich in der Ebene in Komponenten als \(\binom{a}{b}\) schreiben lässt Wissen, dass sich der Betrag eines Vektors als \(\sqrt{a^2 + b^2}\) berechnen lässt Das Skalarprodukt \(\binom{a}{b}\cdot\binom{p}{q} = ap + bq\) berechnen können und wissen, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn es 0 ist (Sie können die Abstandsformel auch verwenden, wenn Sie dieses Thema noch nicht behandelt haben)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Abstand eines Punktes von einer Geraden

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
Konstante c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Zähler \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Nenner √(a^2+b^2)	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=B6/B7

Tabelle zur Kontrolle der Erklärung mit dem Normalenvektor

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
x-Koordinate von Punkt A auf der Geraden	3
y-Koordinate von Punkt A auf der Geraden	0
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Skalarprodukt n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Länge des Normalenvektors \|n\|	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=ABS(B7)/B8

Tabelle für den Abstand bei der Hauptform

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt k	1
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Abstand d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/WURZEL(B1^2+1)

Tabelle für den Lotfußpunkt H

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
Konstante c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Skalierungsfaktor t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
x-Koordinate von H	=B4-B1*B6
y-Koordinate von H	=B5-B2*B6

Tabelle für den Abstand paralleler Geraden

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
Konstante c1 der 1. Geraden	-3
Konstante c2 der 2. Geraden	7
Abstand d	=ABS(B3-B4)/WURZEL(B1^2+B2^2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten und Koordinaten) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^“ ist die Potenz, ABS liefert den Betrag und WURZEL die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle ist das Beispiel mit dem Punkt (4|3) und der Geraden x + 2y - 3 = 0. Der Zähler ist 7, der Nenner ungefähr 2,2360679775, und der Abstand ist ungefähr 3,1304951685.
Die zweite Tabelle prüft, dass derselbe Abstand aus „Skalarprodukt von Normalenvektor und AP ÷ Länge des Normalenvektors“ entsteht. Das Skalarprodukt ist 7, und der Abstand ist ungefähr 3,1304951685, genau wie in der ersten Tabelle.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel mit dem Punkt (4|3) und der Geraden y = 2x + 1. Der Abstand ist ungefähr 2,683281573.
Die vierte Tabelle liefert 1,4, 2,6 und 0,2, also ist der Lotfußpunkt (2,6|0,2) = (13/5|1/5).
Die fünfte Tabelle ist der Abstand zwischen x + 2y - 3 = 0 und x + 2y + 7 = 0. Die Antwort ist ungefähr 4,472135955.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Abstand eines Punktes von einer Geraden

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
Konstante c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Zähler \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Nenner √(a^2+b^2)	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=B6/B7

Tabelle zur Kontrolle der Erklärung mit dem Normalenvektor

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
x-Koordinate von Punkt A auf der Geraden	3
y-Koordinate von Punkt A auf der Geraden	0
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Skalarprodukt n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Länge des Normalenvektors \|n\|	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Abstand d	=ABS(B7)/B8

Tabelle für den Abstand bei der Hauptform

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt k	1
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Abstand d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/WURZEL(B1^2+1)

Tabelle für den Lotfußpunkt H

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
Konstante c	-3
x-Koordinate von P	4
y-Koordinate von P	3
Skalierungsfaktor t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
x-Koordinate von H	=B4-B1*B6
y-Koordinate von H	=B5-B2*B6

Tabelle für den Abstand paralleler Geraden

Koeffizient a von x	1
Koeffizient b von y	2
Konstante c1 der 1. Geraden	-3
Konstante c2 der 2. Geraden	7
Abstand d	=ABS(B3-B4)/WURZEL(B1^2+B2^2)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten und Koordinaten durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Gerade ax + by + c = 0 (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)

# Koordinaten von Punkt P
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)

# Der in die Gleichung eingesetzte Punkt (mit Vorzeichen) und die quadrierte Länge des Normalenvektors
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b

distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"Zähler |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"Nenner √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"Abstand d = {distance}")

# Lotfußpunkt H (um das t-Fache des Normalenvektors zurückgehen)
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"Skalierungsfaktor t = {t}")
print(f"Lotfußpunkt H = ({foot_x}, {foot_y})")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek werden der Zähler, der Nenner und der Lotfußpunkt als exakte Brüche ohne Rundungsfehler berechnet. Das Beispiel bestimmt den Abstand des Punktes (4|3) von der Geraden x + 2y - 3 = 0. Beim Ausführen zeigt es den Zähler 7, den Nenner √5, den Abstand 3,1304951684997055, den Skalierungsfaktor t = 7/5 und den Lotfußpunkt (13/5, 1/5). Ändern Sie die Koeffizienten und Koordinaten und führen Sie den Code erneut aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Abstand eines Punktes von einer Geraden

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)

Warum diese Formel den Abstand liefert (mit dem Normalenvektor)

d = |n·AP| ÷ |n|

d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}

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    <mi>d</mi>
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        <mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>&#x2192;</mo></mover>
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        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)

d = Abs[n . ap]/Norm[n]

d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);

d = abs(dot(n, ap))/norm(n);

d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |

Abstand, wenn die Gerade in der Hauptform \(y = mx + k\) gegeben ist

d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)

d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}

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    <mi>d</mi>
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      </mrow>
      <msqrt>
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          <msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)

d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]

d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)

Koordinaten des Lotfußpunkts \(\mathrm{H}\)

H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b)　t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)

\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}

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    <mi mathvariant="normal">H</mi>
    <mo>=</mo>
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    <mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>t</mi>
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      <mrow>
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        <mo>+</mo>
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      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)

t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}

t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];

t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];

H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)

Abstand zweier paralleler Geraden

d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    <mi>d</mi>
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        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Mathematik in der Koordinatengeometrie. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten).

Bestimmen Sie für den Punkt (4|3) und die Gerade x + 2y - 3 = 0:
1. Den Abstand des Punktes von der Geraden (als exakten Wert mit rational gemachtem Nenner und als Dezimalzahl)
2. Die Koordinaten des Lotfußpunkts des Lots vom Punkt auf die Gerade (als gekürzte Brüche)
3. Die Gleichung dieses Lots (die Gerade durch den Punkt, senkrecht zur gegebenen Geraden)

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek und sympy, um exakt zu rechnen. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel